Tài liệu giảng dạy môn toán cao cấp

MỤC LỤC Nội dung Trang Chương bổ sung : Các trường số ………………………………………….……….… …….2 Chương 1: Hàm số - Giới hạn -Liên tục….…….……………………… ……………….… Chương 2: Đạo hàm - Vi phân -Tính tích phân hàm biến số……………….…… ……16 Bài 1: Đạo hàm - Vi phân hàm biến số ……… …………….…… ….…… 16 Bài 2: Phép tính tích phân hàm biến số…………….…………….….………… 27 Chương 3: Lý thuyết chuỗi.………… … …………………………… ………………… 44 Chương 4: Đạo hàm, -Vi phân - Hàm nhiều biến … ………………… …………… … 52 Chương 5: Ma trận - Định thức – Hệ phương trình tuyến tính………… … ………………61 Bài 1: Ma trận…………………………………… …… … ………….…………… 61 Bài 2: Định thức…………………………………………… ………….……….…… 66 Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính…………………… … ………….……….… … 78 Chương 6: Phương trình vi phân bản…………… …………………………………… 92 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………… 103 Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp Chương bổ sung CÁC TRƯỜNG SỐ  Mục tiêu: Sau học xong phần này, người học nhận dạng kiến thức trường số TẬP CÁC SỐ   Z =  0;  1;  2;   Tập số tự nhiên: N = 1; 2;  Tập số nguyên:   p Q =  x cho x  ; p, q  Z , q  0 q   Một số hữu tỷ viết dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vơ hạn tuần hồn Ví dụ:  0,25 ;  0,75 4 7  1,1666 ta viết  1,1(6) 6 15 15  1,363636 hay  1, (36) 11 11 Ngược lại, cho số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn biểu diễn số hữu tỷ a a a p  Số thập phân hữu hạn a0,a1, a2,…an biểu thị số hữu tỷ  a0   22    nn q 10 10 10  Số thập phân vơ hạn tuần hồn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) biểu thị số hữu tỷ a b a a p 10 mn b1 b2  a0   22    nn  m (     mm ) q 10 10 10 10  10 10 10 + Nhận xét: Một số thập phân hữu hạn xem số thập phân vơ hạn tuần hồn, 1  0,25(0) chẳng hạn:  0,25000 hay 4 Như có đồng tập số hữu tỷ tập số thập phân vô hạn tuần hoàn Một số biểu diễn dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi số vơ tỷ Tập số vơ tỷ kí hiệu là: I Ví dụ:  1,414213562 ; Tập số thực R = Q  I   3,141592653 Đường thẳng thực ( trục số ): Trên đường thẳng  lấy điểm O làm gốc chọn vectơ đơn vị OE  e số x số thực tồn điểm M thuộc đường thẳng  cho OE  xe Khi điểm M gọi điểm biểu diễn hình học số thực x đường thẳng  đường thẳng  gọi đường thẳng thực hay trục số x O E M Hình 1.1 SỐ PHỨC  Số phức số có dạng: z = a + ib Trong a, b  R, i đơn vị ảo với i2 = -  Ta ký hiệu: a = Rez gọi phần thực; b = Imz gọi phần ảo C tập hợp tất số phức  Tập số hữu tỷ: Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp  Số phức z = a + ib biểu diễn hình học điểm M(a; b) mp Oxy  Số phức z  a  ib đựoc gọi số phức liên hợp số phức z = a + ib, hai số phức liên hợp đối xứng qua Ox y 2.1 Phép toán Cho số phức z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2, b M(a; b) ta có:     z z =  a a - b b  + i  a b + a b  z a a +bb ba -a b = +i ; z z a +b a +b z = a + ib z1 ± z2 = a1 + a + i b1 + b2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Rez1 = Rez2 z1 = z2 Û  Imz1 = Imz2 r  2 ¹0  a x z  a  ib -b H 1.2 Chú ý: Ta thực phép toán theo quy tắc chung thuận tiện Ví dụ: (1 – 3i) + (- + 7i) = - + 4i ( – i)(2 + i) = + i – 2i – i2 = – i 4i 4i    i   i   i  17 2.2 Dạng lượng giác số phức Ta biểu diễn số phức z = a + ib vectơ OM , gọi r  OM  a  b mođun số phức z, ký hiệu: z   Góc   Ox, OM xác định sai khác 2k ; k  Z gọi argumen, b Ký hiệu: Argz Ta có tg  a Từ ý nghĩa hình học, ta có a  r cos  ; b  r sin   z  r cos   i sin   Ví dụ: Biểu diễn số phức z = + i dạng lương giác Giải     Ta có: r  12  12  , tg      z   cos  i sin  4 4  Cho số phức z  r cos   i sin  ; z1  r1 cos 1  i sin 1 ; z2  r2 cos 2  i sin 2      z z  r z cos       i sin          z z  z z ; Arg  z z   Argz  Argz  2k z r  cos       i sin        z r  1 2 1 2 1  z1 z2  z1 z2 ; 1 2  2 z  Arg    Argz1  Argz2  2k z   2 n zn  rn cos n  i sin n   z n  z ; n z  u  un  z Biểu diễn u dạng u   cos   i sin   Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp   Arg z n  nArgz  2k Ta có: u n  z  n cos n  i sin n  r cos   i sin        r n  r      k2 ; k  0; n  n    k2    n    k2   k2   u  n r  cos  i sin  ; k  0; n  n n   n Ví dụ:  Tính A   i  20 u   i    Giải: Ta có: A   cos  i sin   A  210 cos 5  i sin 5   210 4      k2  k2  z2   cos  i sin   4       k8   k8   cos  i sin  ; k  0; 16 16    u   i có giá trị:    u0   cos  i sin  16 16    9 9  u1   cos  i sin  16 16    17  17   u2   cos  i sin  16 16    25 25  u3   cos  i sin  16 16   KHOẢNG - LÂN CẬN 3.1 Định nghĩa Khoảng tập hợp số thực ( điểm ) nằm hai số thực ( hay hai điểm ) Phân loại khoảng: Khoảng hữu hạn: Khoảng đóng: a, b  x  R \ a  x  b Khoảng mở: a, b  x  R \ a  x  b Khoảng nửa đóng, nửa mở: a, b  x  R \ a  x  b; a, b  x  R \ a  x  b Khoảng vô hạn:  , a  x  R \ x  a;  , a  x  R \ x  a b,    x  R \ x  b; b,    x  R \ x  b 3.2 Định nghĩa: Giả sử a số thực, khoảng mở (a -  , a +  ) (với  > 0) gọi lân cận bán kính  a ( ) a - a a + Hình 1.3 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp  Câu hỏi củng cố 4.1 Hãy dùng giản đồ Vence để biểu diễn trường số mà bạn học? 4.2 Bài tập tự luận: 4.2.1 Thực phép toán sau: a) (2  i)(3  i)  (3  2i)(4  i); b) (3  5i)(2  i)  (1  2i)(5  3i); (5  i)(7  6i) (5  i)(3  5i) c) d) ; ; 3i 2i (1  i ) e) (2  i)  (2  i) ; f) ; (1  i ) 4.2.2 Tính: i77, i98, i-57, in, n  Z 4.2.3 Chứng minh đẳng thức: a) (1  i) 8n  4n , n  Z ; b) (1  i) 4n  (1) n 2n , n  Z ; 4.2.4 Tìm số thực x,y thỏa mãn phương trình: a) (2  i) x  (1  2i) y   4i; b) (3  2i) x  (1  3i) y   9i 4.2.5 Tìm dạng lượng giác số phức sau: (a) 5; (b)  2; (c)  3i; (d )  i; (e)  i;  i; ( g )1  (2  (f) 4.2.6 Tính biểu thức: (a) (1  i )1000 ; 3)i; (b) (1  i 3)150 ; i 24  ) ; 2  i 12 (c) (2   i)12 ; ( f ) ( ) 1 i 4.2.7 Hãy giải phương trình sau: (a) X2  i; (b) X2   4i; (b) (c) (  i )30 ; (c) (d ) (1  X2  5X   10i  0; (d) X2  12i; X2  (2i  7)X  13  i  4.2.8 Nếu z  C , chứng minh: (b) z ảo  z   z (a) z  R  z  z 4.2.9 Chứng minh tính chất sau số phức: (1) | z1  z |  | z1 |  | z |; (2) (| z1 |  | z |) |  | z1  z |; (3) | z1  z |  | z1 |  | z | véctơ bán kính Oz1 , Oz đồng hướng; (4) | z1  z |  (| z1 |  | z |) véctơ bán kính Oz1 , Oz ngược hướng 4.2.10 Chứng minh rằng: (a) Nếu | z1 |  | z  z  i |  3; (b) Nếu | z1 |   | z  |  4.2.11 Viết dạng lượng giác phần tử tập hợp sau: (a) i ; (b) 8 (1  i) ; (c) 1; (d )  4.2.12 Viết dạng lượng giác phần tử tập hợp sau: (a) (c)  2i;  72(1  i 3) ; (d) Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp (b) 3 1 i  24i 3i Chương I HÀM SỐ - GIỚI HẠN – LIÊN TỤC  Mục tiêu: Sau học xong này, người học giải tập giới hạn dãy số dãy hàm biến số I HÀM SỐ Định nghĩa: Cho X  R , hàm số f xác định X quy tắc cho ứng với giá trị biến x thuộc X có giá trị thực biến y Kí hiệu y = f(x)  x gọi biến độc lập, y gọi biến phụ thuộc  X gọi miền xác định hàm số, kí hiệu Df  Tập Y = y  R \ y  f ( x), x  D f  gọi miền giá trị hàm số, kí hiệu Rf Ví dụ : Khi ni bị, quan sát q trình tăng trọng bị ta có mối liên hệ thời gian nuôi t (ngày) trọng lượng m (kg) bò hàm số m = m(t) Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm M( x, f(x)) hệ toạ độ Descartes G = M ( x, f ( x), x  D Các tính chất 3.1 Hàm số đơn điệu  Hàm số y = f(x) gọi tăng ( hay tăng nghiêm ngặt ) tập E  Df , với x1, x2  E , x1 < x2 f(x1)  f(x2) ( hay f(x1) < f(x2)  Hàm số y = f(x) gọi giảm ( hay giảm nghiêm ngặt ) tập E  Df , với x1, x2  E , x1 < x2 f(x1)  f(x2) ( hay f(x1) > f(x2)  Hàm số y = f(x) gọi hàm số đơn điệu ( hay đơn điệu nghiêm ngặt) E  Df tăng giảm ( hay tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt ) E Nếu ta sử dụng thuật ngữ mà không nhắc đến tập E coi E = Df Ví dụ: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt (-  , 0] tăng nghiêm ngặt trên[0, +  ) Thật vậy, giả sử x1, x2  [0, +  ) x1 < x2 Khi ta có f(x1) – f(x2) = x12 – x22 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) <  f(x1) < f(x2) Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt [0, +  ) Chứng minh tương tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt (-  , 0] 3.2 Hàm số chẵn hàm số lẻ  Tập X gọi tập đối xứng qua gốc toạ độ O với x  X – x  X Người ta thường gọi tắt tập đối xứng  Cho hàm số y = f(x) xác định tập đối xứng X, ta có: + Hàm số y = f(x) hàm số chẵn với x thuộc X f(-x) = f(x) + Hàm số y = f(x) hàm số lẻ với x thuộc X f(-x) = - f(x) Ví dụ: Hàm số f(x) = x2 hàm số chẵn R Hàm số g(x) = x3 hàm số lẻ R Thật vậy, với x  R , ta có: f(-x) = (- x)2 = x2 = f(x) g(-x) = (- x)3 = - x3 = - f(x) Chú ý: Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 3.3 Hàm số bị chặn  Hàm số y = f(x) gọi bị chặn tập X  Df tồn số a  R cho f(x)  a x  X Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp  Hàm số y = f(x) gọi bị chặn trên tập X  Df tồn số b  R cho f(x)  b x  X  Hàm số y = f(x) gọi bị chặn tập X  Df vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn hai số a, b  R cho a  f(x)  b x  X Chú ý: Đồ thị hàm số bị chặn nằm hai đường thẳng y = a y = b Ví dụ: Hàm số f(x) = bị chặn tập X= [1, +  ) x 4 Thật vậy, với x  X ta ln có: f(x) = > f(x) = cho trước (bé tùy ý), tồn số tự nhiên N cho:  n > N xn  a   Ký hiệu: lim x n  a hay xn  a n   n  1.3 Định nghĩa - Nếu dãy {xn} có giới hạn số hữu hạn a ta nói dãy số {x n} hội tụ hay hội tụ a Giải - Nếu dãy {xn} khơng hội tụ ta nói dãy số{xn} phân kì n Ví dụ : Chứng minh lim x n  lim 1 n  n  n  n 1 1     n  1 Với   0, ta xét x n   n 1 n 1  1  n Vậy   (bé tùy ý),  N    1 : n  N  1   n 1   n Vậy : lim x n  lim 1 n  n  n  1.4 Định nghĩa Dãy số {xn} gọi dãy số dần tới  n   M > 0, lớn tùy ý,  N cho n  N x n  M Ký hiệu: lim x n   hay xn  n  n  Ví dụ: Chứng minh lim x n  lim 5n   n  Giải: n  Xét x n    M  n  log5M n n M n M  , lớn tùy ý:  N  log5  : n  N   M Vậy: lim 5n   n  Các tính chất Nếu dãy số {xn} có giới hạn giới hạn Nếu dãy số {xn} có lim x n  a a > p (hay a < q) tồn số dương N n  cho n  N  x n  p (hay xn < q) Nếu dãy {xn } có giới hạn bị chặn, tức tồn số M > cho x n  M, n Giả sử {xn}, {yn} dãy số có giới hạn thì: - Nếu xn = yn lim x n  lim yn n  - n  Nếu xn  yn lim x n  lim yn n  n  Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} thoã xn  yn  zn n Khi đó, lim x n  lim zn  a lim yn  a n  n  n  Giả sử {xn}, {yn} dãy số hội tụ, ta có : Dãy số {xn  yn} hội tụ lim  x n  yn   lim x n  lim yn n  n  n  Dãy số {xn yn} hội tụ lim  x n y n   lim x n lim y n n  Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp n n Dãy số {k xn} hội tụ lim kx n  k lim x n n  n lim x n   x Dãy số  x n  hội tụ lim n  n ,  lim y n   n  y   lim yn  n n   y n  n  III GIỚI HẠN HÀM CỦA HÀM SỐ Các định nghĩa: Trong phần ta giả sử f(x) hàm số xác định lân cận điểm x0, không thiết phải xác định x0 1.1 Định nghĩa: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L với dãy số {xn} lân cận x0 thoã: xn  x0 n lim x n  x lim f(x n )  L n  n  Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L x  x0 x  x0 1.2 Định nghĩa: Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x  x0 với ε  cho trước ( bé tùy ý) tồn số δ dương cho với x thoã  x  x   ta có f(x)  L   1.3 Định nghĩa: Số L gọi giới hạn phải ( trái ) hàm số f(x) x  x0 với ε  cho trước ( bé tùy ý) tồn số δ dương cho với x thoã  x0  x  x0   x0    x  x0  ta có f(x)  L     Kí hiệu: lim f(x)  L  lim f(x)  L  x  x0 x  x0   1.4 Định nghĩa: Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x   với ε  (bé tùy ý) tồn số M  (lớn tùy ý) cho với x thoã x  M ta có f(x)  L  ε Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L x   x  Ví dụ : Chứng minh: lim sin x  x x2  6 x x  3 Chứng minh: lim  x  x Chứng minh: lim Giải:   sin x  x       bé tùy ý:      :  x   x    sin x   sin x  x   Vì x  ta rút: x  Vậy lim sin x  x Khi x   x –  ta có: x2  6  x36  x3   x3   0;     :  x     x2  6 Vậy: lim x x  Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp x2  6   x3 10   x = 5x + 2x = -x  1    -x1 + 3x = -3x   x =  - x3 -3x 3 17 - x3 -1 - 3x 17  x3 17  16 x3 17  3 + Suy họ nghiệm hệ là:X = -16.t với tR\{0}    17 * Tổng quát cho hệ phương trình tuyến tính ẩn: Ví dụ a 1x + b 1x + c 1x =  Giải hệ phương trình: a x + b x + c x = a x + b x + c x = 3  Đặt: a1 b1 c1 detA = a b c = 3 a3 b3 c3 Nếu: + detA = 3   hệ có nghiệm tầm thường + detA = 3 =  hệ có vơ số nghiệm  Nếu tồn 2   hệ có vơ số nghiệm với bậc tự  Nếu tất 2 =  hệ có vơ số nghiệm với hai bậc tự (với 2 định thức cấp thành lập từ 3) * Tổng quát cho hệ phương trình ẩn số: a1x + b1x + c1x + d1x = a x + b x + c x + d x =  2 2  a x + b x + c x + d3 x = a x + b x + c x + d4 x = a1 a Nếu: detA = detD = |A4| = a3 a4 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 d1 d2 0 d3 d4 suy hệ (*) có nghiệm tầm thường + rankA =  Tồn D3   hệ có vơ số nghiệm với bậc tự     Suy họ nghiệm X =  .t     1  Nếu tất D3 =  Xét định thức cấp 2: + Nếu rankA =  Tồn 2  Khi (*) có vơ số nghiệm với hai bậc tự do.Họ nghiệm là: Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 89   '   '  X =  .t +   v 1  0      0  1  Ví dụ  x - 3x + 4x + 2x =  2x + x + x + 4x = Giải hệ phương trình tuyến tính:   - x - 2x + x - 2x = -2x - 4x + 2x - 4x =  -3    1   Ta có: M = [A|B] =  -1 - -     -2 - 4   Lấy dòng(3) nhân với (-2) cộng vào dòng(4):  -3    1     -1 - -     0 0 0 Lấy dòng(1) nhân với (-2) cộng vào dòng(2); Lấy dòng(1) nhân với cộng vào dòng(3):  Lấy dòng(2) nhân với (5/7) cộng vào dòng(3):  -  0  -     -  0  -   suy hệ phương trình    - 5  0  0 0  0 tương đương với:  x1 - 3x2 + 4x3 + 2x = x1 = -x - 2x   7x2 - 7x3 =  x = x x = x1 = -1 chọn:    x = x = x = x1 = -2 chọn:    x = x = 1 2  1  0   t +  .t với t1 , t2  R Vậy: họ nghiệm hệ phương trình là:X =  1        1  0 hay hệ có vơ số nghiệm với hai bậc tự Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 90  Câu hỏi củng cố 4.1 Bài tập 1.1 - Giải hệ phương trình sau: a 2x + y - z =1 b 3x - 5y + 2z + 4u = x- y+z=2 7x - 4y + z + 3u = 4x + 3y + z = 5x + 7y - 4z - 6u = 1.2 - Giải hệ phương trình Grame: a x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 30 b 3x1 + 2x2 - x3 = -1 - x1 + 2x2- 3x3 + 4x4 = 10 -x1 + 4x2 + 2x3 = -4 x2 – x3 + x4 = 2x1 + 3x2 + x3 = x1 + x2 + x3 + x4 = 10  x1  x2  x3   x1  x2  x3   c 2 x1  x2  x3  d 4 x1  x2  x3   x  x  x  2 x  x  x  2 3   1.3 - Xét xem hệ phương trình sau có phải hệ Crame hay không giải chúng: a 3x1 + 2x2 + x3 = b x1 + 2x2 + x3 = 31 2x1 + 3x2 + x3 = 5x1 + x2 + 2x3 = 29 2x1 + x2 + 3x3 = 11 3x1 - x2 + x3 = 10 1.4 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1 2  2  2        a A   1  b A   3  c A    4 8 1   2 3        1 1     1 1 1  d  ; 1 0     0 1    1 1   1 3      1 1 1  0   e A   f A   1 1  1 3       1 1   2 5      1.5 Giải biện luận (theo tham số thực) hệ phương trình sau: mx  x  x  1; ax  x  x  4; 3   a  x1  mx2  x  m; b  x1  bx2  x  3;  x  x  mx  m2  x  2x  x  4; 3   1.6 Tìm hạng ma trận sau 1 2   1 2      1 2  2    B , A 1 1   3     1 1   5  1.7 Tìm hạng hệ vectơ a) v1 = (1,2,3), v2 = (2,3,4), v3 = (3,4,5), v4 = (4,5,6) b) v1 = (2,1,-3,1), v2 = (4,2,-6,2), v3 = (6,3,-9,3), v4 = (1,1,1,1) 1.8 Các hệ vectơ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính ? a) v1 = (4,-5,2,6), v2 = (2,-2,1,3), v3 = (6,-3,3,9), v4 = (4,-1,5,6) R4 b) v1 = (1,0,0,2,5) v2 = (0,1,0,3,4), v3 = (0,0,1,4,7), v4 = (2,-3,4,11,12) R5 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 91 Chương VI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I, II VÀ ỨNG DỤNG Cũng phép tính đạo hàm vi phân, phương trình vi phân (PTVP) có tầm quan trọng lớn có ứng dụng rộng rãi lĩnh vực khoa học kỹ thuật kinh tế Cụ thể nhiều toán kinh tế, kỹ thuật điện tử, y học, dẫn đến phương trình vi phân Trong tốn học, phương trình vi phân chuyên ngành phát triển Phần cung cấp kiến thức phương trình vi phân thường (gọi tắt phương trình vi phân) Để học tốt phần này, yêu cầu sinh viên phải nhận dạng đươc loại phương trình vi phân, qua tích phân (tìm nghiệm), khơng có phương pháp chung để giải phương trình vi phân Giải PTVP q trình tính tích phân, u cầu sinh viên phải thơng thạo phép tính tích phân vi phân, nội dung cốt lõi toán học cao cấp Một PTVP phương trình có dạng F(x, y, y', , y(n)) = x biến số độc lập, y = y(x) hàm số phải tìm, y', y'', , y(n) đạo hàm hàm số phải tìm, (trong PTVP thiết phải có mặt đạo hàm cấp k hàm phải tìm) Cấp cao đạo hàm hàm số y phải tìm có mặt PTVP gọi cấp PTVP, chẳng hạn: y' + x = (PTVP cấp 1) y" + (y')2 = (PTVP cấp 2) Hàm số y = y(x) nghiệm PTVP thoả mãn phương trình tức thay vào phương trình nhận đồng thức Giải hay tích phân PTVP tìm tất nghiệm Về mặt hình học, nghiệm PTVP đường cong (đồ thị nghiệm), người ta gọi đường cong đường cong tích phân PTVP BÀI 1: TỔNG QUÁT VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN  Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học giải phương trình vi phân 1.1 Các toán thực tế 1.1.1 Bài toán Một chất điểm có khối lượng m chuyển động dọc theo trục Ox tác dụng lực –bx (b > 0) hướng gốc tọa độ Hãy tìm qui luật chuyển động chất điểm biết lúc t = chất điểm vị trí x = x0 có vận tốc v = v0 Giả sử hàm x = x(t) biểu diễn qui luật chuyển động chất điểm x hoành độ chất điểm thời gian t 2 v Theo định luật II Newton ta có: m d x   bx hay là: d x  b x  ;  2 2 m dt dt m  d x + 2 x = (1) dt dễ dàng thấy hàm x = x(t) = a1 cos t + a2 sin t; a1, a2 số tuỳ ý thỏa mãn (1) Tại t = x = x0; x0 = a1 ; v = dx dt v = – a1.sint + a2 .cost t = v = v0 v0 = a2.  a2 = v  Do qui luật chuyển động chất điểm là: x = x(t) = x0 cost + v sint  Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 92 1.1.2 Bài tốn Viết phương trình đường cong qua điểm có tọa độ (2, 3) thỏa mãn tính chất tiếp tuyến đường cong nằm hai trục tọa độ luôn bị tiếp điểm chia làm hai phần Giả sử y = y(x) phương trình đường cong cần tìm M(x;y) điểm nằm đường cong Suy Hệ số tiếp tuyến với đường cong y = y(x) M(x;y) y’(x) Vì M(x;y) điểm nằm AB nên P điểm OA nên PA = OP = x  tg  = – y x y Vì tg  = y’(x) nên:  y’ = – (2) x c , c số tùy ý thỏa mãn (2) x c Vì đường cong qua (2, 3) nên: = –  c = Dễ thấy hàm: y = Vậy phương trình đường cong cần tìm y = x 1.2 Định nghĩa phương trình vi phân Phương trình vi phân phương trình liên hệ biến số độc lập (hay biến số độc lập) với hàm số phải tìm đạo hàm chúng Nếu hàm số phải tìm hàm biến số độc lập phương trình vi phân tương ứng cịn gọi phương trình vi phân thường Nếu hàm số phải tìm hàm nhiều biến số độc lập phương trình vi phân cịn gọi phương trình đạo hàm riêng Cấp một phương trình vi phân cấp cao đạo hàm (hay vi phân) hàm phải tìm có mặt phương trình vi phân Ví dụ 1: Phương trình vi phân d x  2 x  phương trình vi phân cấp hai x = x0 dt y’= – y phương trình vi phân cấp y = y(x) x Nghiệm phương trình vi phân hàm số thỏa mãn phương trình vi phân Ví dụ 2: x = x(t) = c1cost + c2sint thỏa mãn x’t + 2x nên nghiệm y = phương trình y’ = – y x Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp c nghiệm x trang 93 BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I  Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học: Giải phương trình vi phân cấp thường gặp 2.1 Tổng quát phương trình vi phân cấp I 2.1.1 Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F(x, y, y’) = (1) đó: x dy biến số độc lập; y hàm phải tìm; y’ đạo hàm cấp y Hay y’ = f(x;y) hay = dx f(x;y) (2) Ví dụ 3: Phương trình vi phân 3yy’ + 3x2 = y2 dx + xdy = y y’ = – x 2.1.2 Định lý tồn nghiệm Xét y’ = f(x;y) Nếu hàm f(x;y) liên tục miền chứa (x0, y0) phương trình vi phân cấp cho tồn nghiệm y = y(x0); nghiệm nhận giá trị y0 = y(x0) Ngoài f liên tục miền nói y = y(x) nghiệm y phương trình vi phân cấp cho Điều kiện để hàm y = y(x) nhận giá trị y0 x = x0 gọi kiện hay điều kiện đầu phương trình vi phân cấp một thường ký hiệu: y xx  y Như phương diện hình học mà nói thì: hàm f(x;y) f liên tục miền có chứa y (x0, y0) tồn nghiệm: y = y(x) mà đồ thị ln ln qua điểm (x0, y0) 2.1.3 Nghiệm tổng quát nghiệm riêng phương trình vi phân cấp Ta gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp số có dạng y = (x, c) c số tùy ý thỏa mãn phương trình Ta gọi nghiệm riêng phương trình vi phân cấp nghiệm y = (x,c0) có từ nghiệm tổng quát ta cho c = c0 giá trị cụ thể Ví dụ 4: Phương trình vi phân y’ = – c y có y = nghiệm tổng quát; y = nghiệm riêng x x x c = Nhiều giải phương trình vi phân cấp ta tìm nghiệm tổng qt phương trình vi phân khơng phải dạng thường mà dạng ẩn: (x,y,c) = c số tùy ý, hệ thức liên hệ biến độc lập x nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp gọi tích phân tổng qt phương trình vi phân cấp Rồi từ tích phân tổng quát cho c = c0 giá trị cụ thể (x,y,c) = gọi tích phân riêng phương trình vi phân cấp Về phương diện hình học tích phân tổng qt phương trình vi phân cấp xác định cho ta họ đường cong mặt phẳng, họ phụ thuộc vào số tùy ý c đường cong họ gọi đường cong tích phân riêng 2.2 Phương trình vi phân có biến phân ly 2.2.1 Định nghĩa Phương trình vi phân có biến phân ly phương trình có dạng: M(x)dx + N(y)dy = (1) Trong đó: M  M(x) hàm phụ thuộc x, y (x biến độc lập; y hàm cần tìm) N  N( y )  Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 94 Ví dụ 5: x dx  (y  1)dy  ; (e2 + x + 1)dx + (siny + 2cosy)dy = x 1 2.2.2 Cách giải Từ (1) ta có: M(x)dx = – N(y)dy Lấy tích phân hai vế:   M(x)dx   N(y)dy  C tích phân tổng qt (1)  M(x)dx   N(y)dy  C  Chú ý: Xét phương trình vi phân cấp M1(x) N1(y)dx + M2(x) N2(y)dy = Nếu M2(x), N1(y)  chia hai vế cho M2(x), N1(y) (2)  M1 (x) dx  N2 (y) dy  tích phân tổng quát (2) M (x) N1 (y) M1 (x) N (y)  M (x) dx   N (y) dy  C M2 (x)  x  a Nếu  cách thử trực tiếp:  N ( x )  y  b   x = a (khi y  b)  y = b (khi x  a) chúng nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình: x2(y + 1)dx + (x3 – 1)(y – 1)dy = * Nếu x   ( x )dx  ( y  1)dy  x3  y 1 y   (1) (2) Tích phân tổng quát phương trình ( x )dx  ( y  1)dy  C   x 1  y 1 d(x  1) 2d(y  1)  yC  3 x 1 y 1  ln x3   ln y   y  C x 1 x  * Nếu     y  1 y   Thử: Khi x  (1)  x2(y + 1)dx = y  1 Hàm f(x;y) gọi hàm đẳng cấp cấp k x, y f(x, y)= k.f(x;y);   Khi đó, k = 0: f(x,y) = f(x;y) Ta nói f(x;y) hàm đẳng cấp cấp đẳng cấp x, y Nếu f(x;y) hàm đẳng cấp cấp k x, y ln ln biểu diễn với dạng: f(x;y) = xk ( y ) x CM:   nên ta chọn  = x Vì f(x, y) = k.f(x;y)  f(1; y ) = ( )k f(x;y) x x  f(x;y) = xk f(1; y y ) = xk ( ) x x Nếu f(x;y) hàm đẳng cấp x, y ln ln biểu diễn f(x;y) = ( Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 95 y ) x y y 2( ) 2xy Ví dụ 7: f(x;y) = = x =( ) x x y y 1 ( ) x y x y x  ( y ) f ( x, y )   x  y 1 y x x 1 2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp Định nghĩa: Phương trình vi phân đẳng cấp cấp phương trình y’ = f(x;y) y y f(x;y) hàm đẳng cấp x, y nghĩa f(x;y) =  ( ) y’ =  ( ) (1) x x y 2( ) 2xy Ví dụ 8: y’ = phương trình vi phân đẳng cấp cấp hay y’ = x x  y2 y  ( )2 x y Cách giải: y’ =  ( ) (1) x Đặt y = u với u hàm số x  y = u.x x  dy = u + x du  u + x du = (x) x du = (u) – u (2) dx dx dx dx dx du  Nếu (u) – u  (ln ln khác 0) từ (2) ta có = lấy tích phân x (u)  u hai vế ln x  (  du ) + ln C = (u) + ln C (u)  u  ln x = (u)  x = e( u )  x = C e( u ) = C e( yx ) C C Tích phân tổng quát (1) x = C e  y x Nếu (u) – u =  ( ) =  ln y   ( yx ) y y dy dx hay dy =  = x x x y dx ln x + ln C  ln y  ln Cx  Nếu (u) – u = số hữu hạn giá trị u = u0, u = u1=, , u = un; y = u0x, y = u1x, …, y = unx y 2( ) y 2xy x = ( ) Ví dụ 9: y’ = = x x y y  ( )2 x y Đặt u =  y = u x  y’ = u + x du x dx 3 2u du = u – u = u  u  u = u  u u + x du = x  u2  u2 dx  u2 dx  u du = u(1  u2 )  dx = (1  u )du x dx u(1  u2 ) (1  u2 )  x  ( dx 2u + ln C  ln x – ln C =  (  ) =  (1  u )du )du x u (1  u2 ) u(1  u ) Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 96  ln u x u x x =   ln u – ln  u  ln  = ln C  u2 1 u C C y C.y y = x2(x2 + y2)  x= x x = C y (x  y )  ( )2 x x x y x  y 1 ( ) y * Giải: y’ = = x = ( ) x xy y 1 ( ) x C du du  u Đặt u = y y = u x  y’ = u + x u + x = dx dx  u x du  u du (1  u ) = – u = 1 u  u  u  x = x dx  u dx (1  u ) 1 u dx (1  u )du (1  u)  =  ln x + ln C =  du x  u2 (1  u ) 1 ln  u2 +  du  ln xC arctgu  ln  u2 2  u2 arctgu 2  ln x.C + ln  u = arctgu  x C 1 u = e  ln x.C   y = earctg yx  x.C  x2 Sang hệ tọa độ cực  x2  y2 = arctg (*) e C y x x  r cos  , (*)r = e  họ đường xoắn ốc logarit  e y  r sin  2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp I 2.4.1 Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng: y’ + p(x)y = q(x) (1) Trong đó: p(x), q(x) hàm số liên tục biến x  Nếu q(x) = (1): y’ + p(x)y = (2) gọi phương trình  Nếu q(x)  (1) gọi phương trình khơng Ví dụ 10: y’ + 3x2 y = phương trình y' 2x y  ex phương trình khơng 1 x 2.4.2 Cách giải Để tìm nghiệm tổng quát phương trình (1) trước hết ta tìm nghiệm tổng quát phương trình tương ứng: y’ + p(x)y = C (2) Từ (2), dy   p(x)y dx  Nếu y  0 dy   p(x)dx   dy    p(x)dx  ln C y y  ln y   p(x)dx  ln C  ln y    p(x)dx C  y  Ce   p ( x ) dx (3) nghiệm tổng quát (1)  Nếu y = nghiệm nghiệm riêng phương trình (1) ứng với C =  Ta tìm nghiệm tổng quát (1) dạng (3) ta coi C số biến x: C = C(x) để (3) nghiệm (1) Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 97  p ( x ) dx dC  p ( x ) dx Từ (3) có: dy = e  + C[– p(x)] e  thay vào (1): dx e dx dC – Cp(x) dx   p ( x ) dx dC = q(x) e  p ( x ) dx e  p( x )dx + p(x).C e  p( x )dx = q(x) .dx  C =  q( x).e  p ( x ) dx dx   (4) (3) nghiệm (1) Vậy nghiệm tổng quát (1) là: p ( x ) dx y = [  q( x).e  dx   ] e  p( x )dx hay y =  e  p( x )dx +  q( x).e  p ( x ) dxdx e  p( x )dx (5) Vậy nghiệm tổng quát phương trình khơng (1) ln ln nghiệm cộng với nghiệm riêng phương trình khơng (1) x Ví dụ 11: Tìm nghiệm tổng quát phương trình: y' y  3x (1) tìm nghiệm riêng thỏa mãn điều kiện y(1) = Ta thấy (1) phương trình tuyến tính không cấp Trước hết ta giải: y' y  C x  dy =  dx y = y  dy =- dy  ln y   ln x  ln C x dx y C ; C số tùy ý nghiệm tổng quát phương trình y' y  x x Ta coi C = C(x) C' x  C C  y’ = x2 x C C' C' x  C Thay vào (1) + x = 3x  = 3x  C’ = 3x2+  C = x3 +  x x x y= Vậy: nghiệm tổng quát phương trình cho: y = (x3 + )  hay y = x2 + y’x = = nên = +    = x x y = x2 nghiệm riêng phương trình (1) thỏa mãn y’x = = 2.5 Phương trình BECNOULLI 2.5.1 Định nghĩa  Phương trình Becnoulli phương trình có dạng: y’ + p(x).y = q(x) y , p(x), q(x) hàm số liên tục x  số thực bất kỳ,   {0, 1} 2.5.2 Cách giải    1 Với giả thiết y  chia hai vế (1) cho y , y’ y + p(x) y = q(x) (2) Đặt Z = Z(x) = y  1 (*) Z’ = (1 – ) y y’  y y’ =   thay vào (2), ta có: Z' + p(x) Z = q(x) Z’ 1 1   Z’ + (1 – ).p(x) Z = (1 – ) q(x) (3) phương trình (3) phương trình tuyến tính cấp khơng Z = Z(x) hàm số phải tìm  1 Giải phương trình (3) ta nhận nghiệm Z = Z(x) sau thay Z vào Z = y ta nghiệm tổng quát phương trình Becnoulli Ví dụ 12: Phương trình y’ – 2x.y = x3.y2 (1); ( = 2) Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 98  Nếu y  0: y ' – x = x3 -1 -2  y’ y – 2x.y = x  Z’ = – y y’  : – Z’ + 2x.Z = x y y (2)  Z’ + 2xZ = – x3 dz dz Giải phương trình: Z’ + 2xZ = (*)  = – 2xZ  = – 2x.dx z dx  ln z = –  xdx + ln C  ln Z = – x2 C  Z = C e  x2 nghiệm tổng quát Ta coi C = C(x): Z = C e e x (C’ – 2Cx)  e x x  C’ = – x3 e  Z’ = 2  x2 e x C’ + C (– 2x) e x x x (C’ – 2Cx) + 2xC e = – x3  C’ e = – x3 Z’ = 2 2 C = –  x3ex dx = – 1 x x e d(x2 ) = – [x2 e x – e x ] = ex (1  x2 )    2 2 2 nghiệm tổng quát (2) là: Z=[ 1 x e (1 – x2) + ] e x = (1  x2 )  e x 2 2 Thay Z vào (2) nghiệm tổng quát (1) là: Z = y- 1  y = Z-1 = (1  x2 )  e  x 2.6 Phương trinh vi phân tồn phần 2.6.1 Định nghĩa Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = (1) gọi phương trình vi phân toàn phần vế trái (1) vi phân tồn phần hàm u(x;y) D nghĩa D: u u P(x, y)  ; Q(x, y)  x y 2.6.2 Cách giải Để nhận biết phương trình (1) có phải phương trình vi phân tồn phần hay khơng tìm cách giải ta xét định lý sau: Giả sử hàm P(x;y); Q(x;y) hàm số liên tục với đạo hàm riêng cấp chúng miền D điều kiện cần đủ cho P(x;y)dx + Q(x;y)dy vi phân toàn phần hàm (x;y) D điểm (x;y)D; P = Q x y Chứng minh: u * Điều kiện cần (x;y)D: P = Q vì P(x, y)  ; Q(x, y)  u x x y y u u dx + dy = Pdx + Qdy x y 2 Q =  u P =  u ; x yx y x.y 2u 2u Vì P ; Q liên tục (x;y)D  ; liên tục D x.y yx y x 2u 2u P = Q Theo định lý Sơvacxơ: =  x.y yx x y du = Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 99 Vậy: (x;y)D rõ ràng P(x;y)dx + Q(x;y)dy vi phân phần hàm u(x;y) miền D u Pdx + Qdy = du = Q dx + dy y x 2 u u P =  u ; Q =  u ;Q=  x y yx y x.y x 2 u u P = Q  =  x x.y yx y Q  Điều kiện đủ (x;y)D: P = chứng minh Pdx + Qdy = du x y P= Với u(x;y) miền D  u(M) = u(x;y) =  Pdx  Qdy  C với A(x0, y0) điểm cố định tùy ý miền D M(x;y) điểm chạy tùy ý nằm miền D, C số tùy ý Thật vậy: Trước hết điều kiện (x;y)D: P = Q điều kiện cần đủ để y x  Pdx  Qdy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân nên ta chọn đường lấy tích phân  AM đường gấp khúc ALM hay ANM có cạnh song song với trục tọa độ Chẳng hạn ta chọn đường lấy tích phân đường gấp khúc ALM: u(x;y) = Pdx  Qdy +  Pdx  Qdy + C   LM  AL Trên AL; y = y0  dy = 0; Trên LM; x = x0 dx = u(x;y) =  Pdx  Qdy +  AL u(x;y) = +C y x  Pdx +  Qdy + C x0  u(x;y) =  Pdx  Qdy  LM y0 x y x0 y0  P(x, y )dx +  Q(x , y)dy + C (2) Tương tự ta chọn đường lấy tích phân ANM thì: u(x;y) =  Pdx  Qdy +  AN y  NM u(x;y) = Q(x , y)dy +  y0 Từ (2): du = u = Q(x;y) y y x y0 x0  Pdx  Qdy + C =  Qdy +  Pdx + C x  P ( x, y x0 )dx + C (3) Từ (3): u = P(x;y) x u u dx + dy = P(x;y)dx + Q(x;y)dy (4) x y  P(x;y)dx + Q(x;y)dy vi phân phần hàm u(x;y) mà u(x;y) xác định (2) (3) Phương trình P(x;y)dx + Q(x;y)dy = nghiệm tổng quát (1) u(x;y) =  xác định (2) (3) Thật vậy: (1)  du = u = u(x;y) =  Ví dụ 13: Giải phương trình 2x.y dx + x2dy = (1) Ta có: P = 2x.y Q = x2 liên tục với đạo hàm riển R2 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 100  P = 2x; Q = 2x x y  P = Q = 2x  (1) phương trình vi phân toàn phần x y Suy nghiệm tổng quát (1) là: u(x;y) = C u xác địn (2) (3) x y x0 y0 u(x;y) = Pdx + Qdy +    cho x0 = 0; y0 = y x u(x;y) =  2xy dx x0 +  x dy +  = x2y + x2y +  = x2y +   x2y =  y0 Giải phương trình: e (2 + 2x – y2)dx – 2y e dy = (2) x x P = e (2 + 2x – y2) ; Q = – 2y e x x  P = – 2y e ; Q = – 2y e x y x  P = Q = – 2y e (x;y) x y  (2) phương trình vi phân tồn phần  nghiệm tổng qt (1) là: u = (x;y) = C (x;y) xác định bởi: u(x;y) x x x =  Pdx  Q(x , y)dy   x0 Gọi x0 = 0; y0 =  u(x;y) = y x x x  e (2  2x  0)dx +  (2ye )dy   y0 x0 x  u(x;y) = ex (1  x)dx – e  x0  u(x;y) = 2x e – x  2x e – x x y  ydy   y0 e x y2 +  e x y2 =   Bài tập cố: 1) Giải phương trình sau: a) x(1 + y2)dx – y(1 + x2)dy = b) x  y2 dx  y  x2 dy  c) Tìm nghiệm riêng phương trình: (1 + x2)dy = xydx biết y(1) = d) (x2 + 2xy)dx + xydy = e) (x + y)dx + (2x + 2y + 1) = 1) Giải phương trình sau: a) y’ + y = x  b) Tìm nghiệm phương trình y’ + ycotgx = 5.ecosx biết: y( ) = – c) Tìm nghiệm tổng quát phương trình y’+ y = 3x tìm nghiệm riêng thỏa mãn x điều kiện ban đầu y(1) = 3) Giải phương trình sau: y dy sin x  4y  x2 y a) y’ – y = xy5 b) y’ – =– y c) x 2x 2x dx Giải phương trình có biến số phân li a) (1 + x)ydx + (1 – y)xdy = b) (x2 – yx2)y’ + y2 + xy2 = c) y’cos2y – siny = d) y’ = x2 + 2xy – + y2 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 101 5.Giải phương trình vi phân đẳng cấp cấp e) (y – x)dx + (y + x)dy = f) xdy – ydx = x  y dx g) xyy’ + x2 – 2y2 = h) (3x2 + y2)y + (y2 – x2)xy’ = 6.Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số i) y” – 7y’ + 6y = sinx j) y” + 9y = 6e3x k) y” – 3y’ = – 6x l) y” – 2y’ + 3y = e-xcosx Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO  TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỂ BIÊN SOẠN NỘI DUNG MÔN HỌC [1] Tốn cao cấp Tập II, Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí, Nhà xuất giáo dục,1999 [2] Tốn cao cấp PII, Lê Văn Hốt, Tủ sách Đại học Kinh tế, 2004 [3] Vi tích phân B,Lê Phương Quân, Đại học Cần Thơ, 2002 [4] Toán cao cấp B vá C, Nguyễn Viết Đông- Trần Ngọc Hội, Đại học mở bán công TPHCM, 2005  TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀ NGHỊ CHO HỌC VIÊN [1] Toán cao cấp Tập II, Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí, Nhà xuất giáo dục,1999 [2] Phép tính vi phân tập 2, Phan Quốc Khánh, NXB Giáo dục, 1997 [3] Đại số tuyến tính, Trần Văn Hạo, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997 [4] WWW.ebook.edu.vn Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp trang 103 ... yn n  n  n  Dãy số {xn yn} hội tụ lim  x n y n   lim x n lim y n n  Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp n n Dãy số {k xn} hội tụ lim kx n  k lim x n n  n lim x n   x Dãy... f(x) xác định x0 lân cận x0, hàm f(x) gọi liên tục x0 lim f (x)  f (x ) x x Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp 13 1.2 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định x0 lân cận x0, hàm f(x) gọi liên...  dx 2x   dx      dx  dx  3 x 1  x  1) x  x 1  x  x  x  1 Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp 31 (2 x  1)dx dx  C x  x 1 x  x 1 d ( x  x  1) dx  ln x    