Tài liệu giảng dạy Toán ứng dụng A - Trường CĐ Kinh tế - Kỹ thuật Vinatex TP. HCM

Tài liệu giảng dạy này giúp cho sinh viên những kiến thức cơ bản về Cực trị hàm hai biến; tích phân kép; tích phân đường; giải phương trình vi phân cấp một, cấp hai và khảo sát sự hội tụ của chuỗi số. Nội dung tài liệu gồm có 4 chương như sau: Chương 1 Hàm số một biến số; Chương 2 Hàm hai biến, tích phân kép, tích phân đường; Chương 3 Phương trình vi phân; Chương 4 Chuỗi. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ

Ánh xạ là một quy luật giữa hai tập hợp X và Y, trong đó mỗi phần tử x thuộc X được ánh xạ tới một phần tử y thuộc Y Ký hiệu ánh xạ này là f: X → Y, với x là phần tử tạo ảnh của y và y là ảnh của x Cách viết này được thể hiện qua f: x ↦ y = f(x).

- Cho A  X, tập f( ) = {f(x) x  } gọi là ảnh của tập ( qua f )

- Cho B  Y, tập f –1 (B) = { x  X  f(x)  } là nghịch ảnh của tập ( qua f )

- f: X  Y là một đơn ánh, nếu: f(x1) = f(x2)  x1 = x2

- f: X  Y là một toàn ánh, nếu: f(X) = Y

- f: X  Y là một song ánh, nếu f vừa đơn ánh vừa là toàn ánh

- Cho các ánh xạ f: X  Y, g: Y  Z Ánh xạ h: X  Z với h(x) = g[f(x)],

x X, gọi là tích của f và g, ký hiệu h = gof

- Cho song ánh f: X  Y, ánh xạ f –1 : Y  X thỏa: nếu y = f(x) thì x = f –1 (y) ; f

–1 gọi là ánh xạ ngược của f

) Ánh xạ f: N  R, với f(x) = 2x + là một đơn ánh nhưng không toàn ánh;

2) Ánh xạ g: R  R + , với g(x) = x 2 là một toàn ánh nhưng không đơn ánh;

Ánh xạ h: R  R với h(x) = 2x + là một song ánh Định nghĩa hàm số thực f: X  R, với miền xác định X ≠ ∅, cho phép viết y = f(x) và miền giá trị Y = f(X) Đồ thị của hàm số y = f(x) được xác định bởi tập hợp điểm M(x,f(x)) trên mặt phẳng tọa độ, với mọi x thuộc miền xác định X Hàm số u: N  R được gọi là dãy số, ký hiệu là {u n } với các số hạng u 1, u 2, , u n Dãy số này có thể hữu hạn hoặc vô hạn tùy thuộc vào số lượng hạng tử.

I.1.2 Một số tính chất của hàm số

1) Hàm số đơn điệu: Hàm số f gọi là đơn điệu tăng ( giảm ) trên miền X, nếu: với mọi x 1 , x2  X : x1  x2  f(x1)  f(x2), ( f(x1)  f(x2) )

2) Hàm số bị chặn: Hàm số f gọi là bị chặn trong miền X, nếu tồn tại số k  0, sao cho : f(x) k, mọi x X

3) Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Hàm số f xác định trên miền đối xứng X gọi là hàm số chẵn (lẻ) nếu với mọi x X: f(– x ) = f(x), (f(–x) = –f(x))

4) Hàm số tuần hoàn: Hàm số f tu n hoàn trên miền X nếu tồn tại số k  0, sao cho: f(x+k) = f(x), x X Số t  0 nhỏ nhất trong các số k gọi là chu kỳ của hàm số

I.1.3 Hàm số hợp, hàm số ngược Định nghĩa I.1.5: Cho X, Y là hai tập hợp con của R và các hàm số f: X  Y, g:

Y  R Ánh xạ tích: h = gof là hàm số hợp của hai hàm số f và g

- Cho song ánh f: X  R, ánh xạ ngược f –1 của f gọi là hàm ngược của hàm f

I.1.4 Các số hàm sơ cấp cơ bản

4) Hàm số lượng giác: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cotg x

5) Hàm số lượng giác ngược: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx

I.2.1 Giới hạn của dãy số Định nghĩa I.2.1: Số a gọi là giới hạn của dãy số {u n } nếu   0,  N  0, sao cho n  N : un – a   ý hiệu: lim u n a n 

- Nếu a là giới hạn của dãy số {un}, ta cũng nói {u n } hội tụ về a

- Dãy số {un} d n đến vô tận, nếu 

 n n u lim Định I.2.1: Cho hai dãy số {un} và {vn} có giới hạn

- Nếu n : un = vn thì n n n n u limv lim    

Nếu dãy số {un} có giới hạn lớn hơn dãy số {vn}, thì khi n tiến tới vô hạn, giới hạn của {un} cũng sẽ lớn hơn giới hạn của {vn} Theo định lý I.2.2, nếu dãy số {un} có giới hạn, thì giới hạn đó là duy nhất và dãy số này bị chặn Định lý I.2.3 khẳng định rằng với ba dãy số {un}, {vn} và {zn} có giới hạn, nếu {un} nhỏ hơn hoặc bằng {vn} và {vn} nhỏ hơn hoặc bằng {zn}, thì giới hạn của {un} bằng giới hạn của {zn}.

Định lý I.2.5 cho biết rằng nếu dãy số {u_n} tăng và bị chặn trên, hoặc giảm và bị chặn dưới, thì dãy số này sẽ hội tụ Định lý I.2.6 chỉ ra rằng nếu hai dãy số {u_n} và {v_n} hội tụ, thì tổng, hiệu, tích và thương của chúng cũng sẽ hội tụ Cụ thể, nếu lim u_n = L và lim v_n = M, thì lim (u_n ± v_n) = L ± M và lim (u_n * v_n) = L * M, cũng như lim (u_n / v_n) = L / M, miễn là M khác 0.

Ví dụ: Chứng tỏ {un}: un n 2

Giải: Ta có: Do un+1 1 n 2

 > un , nên dãy số tăng Mặt khác: un n 2

1    = 1 Nên dãy số bị chặn trên Vậy nó hội tụ

I.2.2 Giới hạn của hàm số Định nghĩa I.2.2: Số k gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x  a   > 0 cho trước,  >0 sao cho x – a<  thì f(x) – k<  í hiệu :

Các định lý về giới hạn hàm số nêu rõ rằng nếu hai hàm số f(x) và g(x) đều có giới hạn khi x tiến tới a, thì các phép toán như tổng, hiệu, tích và thương của chúng cũng sẽ có giới hạn.

 f ( x ) g ( x )  lim f ( x ) lim g ( x ) lim a x a x a x       , lim  f ( x ) g ( x )  lim f ( x ) lim g ( x ) a x a x a x    

 ) Định I.2.8: Nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) cùng có giới hạn khi x  a và: f(x)  g(x)  h(x) và lim f ( x ) lim h ( x ) k a x a x  

Ví dụ: Tính x x lim sin x 0

2 , ta có : 1 x x x sin cos   , mà lim cos x 1

I.2.3 Giới hạn một phía của hàm số Định nghĩa I.2.3: Số k gọi là giới hạn bên phải của f(x) khi x  a   > 0 cho trước,  > 0 sao cho x – a >  thì f(x) – k<  í hiệu : lim f ( x ) k a x  

- Số k gọi là giới hạn bên trái của f(x) khi x  a   > 0 cho trước,  > 0 sao cho a – x >  thì f(x) – k<  í hiệu : lim f ( x ) k a x  

I.2.4 Giới hạn ở vô tận Định nghĩa I.2.4: Số k gọi là giới hạn của f(x) khi x     > 0 cho trước,

M > 0 sao cho x> M thì f(x) – k<  í hiệu: lim f ( x ) k x 

I.2.5 Giới hạn bằng vô tận Định nghĩa I.2.5: Hàm số f(x) có giới hạn bằng vô tận khi x  a (hoặc x   )

 M > 0,  >0 sao cho x> M thì f(x)  > M í hiệu: lim  f ( x )   a x

I.3.1 Khái niệm Định nghĩa I.3.1: Cho hàm số f(x) xác định trong một lân cận của điểm xo nếu:

 , ta nói f(x) liên tục tại điểm xo

 , ta nói f(x) liên tục phải tại điểm xo,nếu lim f ( x ) f ( x o ) x x o 

Hàm số f(x) được coi là liên tục trái tại điểm xo nếu nó không có sự gián đoạn khi tiến gần đến xo từ bên trái Để hàm số f(x) được xem là liên tục tại điểm xo, nó cần phải liên tục cả từ bên trái và bên phải tại điểm đó Theo định nghĩa I.3.2, hàm số f(x) được xem là liên tục trong khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại tất cả các điểm trong khoảng này.

- Hàm số f(x) liên tục trong đoạn [a ; b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a ; b) và (x) liên tục phải tại a, f(x) liên tục trái tại b

Chú ý rằng hàm số f(x) được xác định trong một lân cận V(xo) của điểm xo, với mọi x thuộc V(xo) và x khác xo Đặt Δx = x – xo và Δy = f(x) – f(xo), trong đó Δx và Δy lần lượt được gọi là số gia của biến x và số gia của f(x) tại xo Theo định nghĩa, hàm số f(x) liên tục tại điểm xo nếu và chỉ nếu giới hạn của f(x) khi x tiến gần đến xo bằng f(xo).

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số: f(x)  

1 = f(0) Vậy f(x) liên tục tại điểm x = 0

Các tính chất của hàm số liên tục được mô tả như sau: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) cùng liên tục tại điểm x0, thì các phép toán như tổng, hiệu, tích và thương (với g(x0) khác 0) của chúng cũng sẽ liên tục tại x0 Hơn nữa, nếu hàm số f(x) liên tục tại x0 và hàm g(u) liên tục tại điểm u0 = g(x0), thì hàm hợp gof cũng sẽ liên tục tại x0.

Định Weiest’rass 1 khẳng định rằng hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] sẽ bị chặn trong khoảng đó Theo Định Weiest’rass 2, hàm số f(x) không chỉ liên tục mà còn đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn [a; b] Định Bonzano – Cauchy 1 nêu rõ rằng nếu f(x) liên tục trên [a; b] và f(a)f(b) < 0, thì tồn tại ít nhất một giá trị c trong khoảng (a; b) sao cho f(c) = 0 Cuối cùng, Định Bonzano – Cauchy 2 khẳng định rằng hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] sẽ nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b).

Ví dụ: Chứng minh phương trình: x 5 + 3x – = 0 luôn có ít nhất một nghiệm dương

Giải: Đặt f(x) = x 5 + 3x – thì f(x) liên tục trên tập số thực R, ta có: f(0) = – 1, f( ) = 3 nên f(0).f( ) < 0, vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1)

I.3.3 Hàm gián đoạn Định nghĩa I.3.4: Hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm xo nếu nó không liên tục tại điểm đó

Điểm x₀ được gọi là điểm gián đoạn loại 1 nếu hàm số f(x) gián đoạn tại điểm đó, nhưng tồn tại giới hạn lim f(x) khi x tiến gần x₀ từ phía bên phải và lim f(x) khi x tiến gần x₀ từ phía bên trái Đặc biệt, nếu hai giới hạn này bằng nhau và khác với giá trị f(x₀), thì x₀ được xác định là điểm gián đoạn bỏ được của hàm f(x).

- Điểm xogọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu nó là điểm gián đoạn của f(x) nhưng không là gián đoạn loại 1

) 0 x ( x x sin điểm x o = 0 là điểm gián đoạn bỏ được vì x x lim sin x 0 = 1  0

I.4 Đ O HÀM, VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

I.4.1 Đạo hàm cấp một Định nghĩa I.4.1: Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của điểm xo Đặt: x = x – xo, y = f(x) – f(xo) = f( xo + x ) – f(xo)

 có giới hạn hữu hạn khi x  0 thì giới hạn đó gọi là đạo hàm cấp

1 của hàm số f(x) tại x o Kí hiệu: f(xo) hay y(xo)

- Nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x o ta nói f(x) khả vi tại điểm x o

- Hàm số f(x) gọi là khả vi trong tập U  R, nếu nó khả vi tại mọi điểm xo  U

Lưu ý : - Nếu tồn tại x lim y

 ta gọi đó là đạo hàm bên phải của f(x) tại điểm xo

 Tương tự: đạo hàm bên trái của f(x) tại điểm xo, và f'(x o  ) x lim y

- Nếu f'(x o  ) = f'(x o  ) = A thì f(xo) = A Định I.4.1: Nếu f(x) khả vi tại điểm x o thì liên tục tại điểm đó

Lưu ý : - Định lí trên chỉ là một điều kiện c n, điều ngược lại chưa chắc đã đúng

Chẳng hạn hàm số f(x) = x liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0 ( tự chứng minh )

Các quy tắc tính đạo hàm

- Quy ước: u = u(x), v = v(x) và các hàm số này có đạo hàm tại cùng một điểm

Bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp Đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm hàm hợp

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:

2) Ta có: y '  2 sin  cos( 2 x  1 )   cos cos( 2 x  1 )   2 sin( 2 x  1 ) 

Đạo hàm có những tính chất quan trọng, được thể hiện qua định lý Ro e và định lý Lagrange Theo định lý Ro e, nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trên khoảng (a; b) với f(a) = f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c trong (a; b) sao cho f'(c) = 0 Đồng thời, định lý Lagrange khẳng định rằng nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trên khoảng (a; b), thì cũng tồn tại một điểm c trong (a; b) thỏa mãn điều kiện nhất định liên quan đến độ dốc trung bình của hàm số Những tính chất này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích và hiểu biết về hành vi của các hàm số trong toán học.

  Định I.4.3 (Định auch ): Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều liên tục trong đoạn [a ; b], khả vi trong khoảng (a ; b) và g(x)  0 thì tồn tại c  (a ; b) sao cho :

Qu tắc 1: Nếu các hàm số f(x), g(x) đều liên tục trong đoạn [a ; b] và c (a ; b) sao cho : f(c) = g(c) Nếu trong lân cận của điểm c tồn tại f(x), g(x) (g(x)  0) thì

Qu tắc 2: Nếu các hàm số f(x), g(x) đều liên tục trong đoạn [a ; b] và c (a ; b) sao cho:  

 f(x) limg(x) lim c x c x Nếu trong lân cận của điểm c tồn tại f(x), g(x) (g(x)  0) thì:

Lưu ý : - Quy tắc ’ hospitalle vẫn đúng khi x   (nếu các điều kiện trên thỏa mãn)

1) Các hàm số f(x) = x – sinx, g(x) = x 3 đều thỏa mãn các điều kiện của quy tắc ’hospitalle trong mọi lân cận của điểm x = 0, nên ta có:

Cực trị của hàm số được định nghĩa như sau: Đối với hàm số f(x) xác định và liên tục trong khoảng (a;b), f(x) có giá trị cực đại tại điểm x0 ∈ (a;b) nếu tồn tại một lân cận của x0 với bán kính δ, sao cho với mọi x thuộc lân cận đó, ta có f(x) < f(x0) (đối với giá trị cực tiểu, f(x) > f(x0)), với điều kiện x ≠ x0.

- Điểm x0 gọi là điểm cực trị (c c đại hay c c ti u tương ứng) Định I.4.4: Nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và đạt cực trị tại x 0 thì f(x0) = 0

Lưu : Điều kiện f(x0) = 0 chỉ là một điều kiện c n của điều kiện cực trị

Hàm số f(x) = x² có đạo hàm tại x = 0 là f'(0) = 0 và đạt cực trị tại điểm này, trong khi hàm số f(x) = x³ cũng có f'(0) = 0 nhưng không đạt cực trị Theo định lý I.4.5, nếu hàm f(x) có đạo hàm trong một lân cận của x₀ với bán kính δ và đạo hàm f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀, thì x₀ là điểm cực trị của f(x) Cụ thể, nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x₀, thì x₀ là điểm cực đại; ngược lại, nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, thì x₀ là điểm cực tiểu.

Lưu : Điều kiện trên không nhất thiết f(x) phải có đạo hàm tại x0, miễn rằng f(x) vẫn xác định tại x0

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số y2x1 3 x 2

Giải: Hàm số có tập xác định R Ta có:  

Hàm số có 2 điểm tới hạn là x1 = – 5 và x2 = 0 ảng xét dấu của f(x): x – – 1/5 0 + f(x) + 0 – +

Vậy hàm số đạt cực đại tại x1 = – 1/5,

5 5. y  3 ; đạt cực tiểu tại x2 = 0, y CT  0

Giả sử f(x) có đạo hàm tại xo : x lim y ) x ( ' f o x 0

Vi phân cấp 1 của hàm số f(x) tại điểm x₀ được định nghĩa là biểu thức f'(x₀).Δx, ký hiệu là dy, trong đó Δy = f'(x₀).Δx + θ(Δx) và θ(Δx) là một đại lượng vô cùng bé bậc cao hơn Δx.

Khi y = x, ta có dy = dx = Δx, do đó dy = f'(x)dx Theo định lý I.4.6, nếu các hàm số u(x) và v(x) đều có vi phân tại x₀, thì tại điểm đó, ta có: d(u ± v) = du ± dv và d(u·v) = vdu + udv.

4 Các số hàm sơ cấp cơ bản

2 Giới hạn của dãy số

Giới hạn của hàm số

Định nghĩa I.2.2: Số k gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x  a   > 0 cho trước,  >0 sao cho x – a<  thì f(x) – k<  í hiệu :

Các định lý về giới hạn hàm số cho biết rằng nếu hai hàm số f(x) và g(x) cùng có giới hạn khi x tiến tới a, thì các phép toán như tổng, hiệu, tích và thương của chúng cũng sẽ có giới hạn.

 f ( x ) g ( x )  lim f ( x ) lim g ( x ) lim a x a x a x       , lim  f ( x ) g ( x )  lim f ( x ) lim g ( x ) a x a x a x    

 ) Định I.2.8: Nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) cùng có giới hạn khi x  a và: f(x)  g(x)  h(x) và lim f ( x ) lim h ( x ) k a x a x  

Ví dụ: Tính x x lim sin x 0

2 , ta có : 1 x x x sin cos   , mà lim cos x 1

Giới hạn một phía của hàm số

Định nghĩa I.2.3: Số k gọi là giới hạn bên phải của f(x) khi x  a   > 0 cho trước,  > 0 sao cho x – a >  thì f(x) – k<  í hiệu : lim f ( x ) k a x  

- Số k gọi là giới hạn bên trái của f(x) khi x  a   > 0 cho trước,  > 0 sao cho a – x >  thì f(x) – k<  í hiệu : lim f ( x ) k a x  

Giới hạn ở vô tận

Định nghĩa I.2.4: Số k gọi là giới hạn của f(x) khi x     > 0 cho trước,

M > 0 sao cho x> M thì f(x) – k<  í hiệu: lim f ( x ) k x 

Giới hạn bằng vô tận

Định nghĩa I.2.5: Hàm số f(x) có giới hạn bằng vô tận khi x  a (hoặc x   )

 M > 0,  >0 sao cho x> M thì f(x)  > M í hiệu: lim  f ( x )   a x

3 hái niệm

Các tính chất của hàm số liên tục

Định I.3.1: Nếu các hàm số f(x), g(x) cùng liên tục tại x o thì tổng, hiệu, tích, thương ( g(x o )  0 ) của chúng cũng liên tục tại x0 Định I.3.2: Nếu hàm số f(x) liên tục tại x o và tương ứng hàm g(u) liên tục tại điểm uo = g(xo) thì hàm hợp gof cũng liên tục tại xo

Trong toán học, các định lý quan trọng về hàm số liên tục trên đoạn [a; b] bao gồm: Định Weiest’rass 1 (Định I.3.3) khẳng định rằng hàm số f(x) liên tục trên đoạn này thì bị chặn Định Weiest’rass 2 (Định I.3.4) chỉ ra rằng f(x) sẽ đạt giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn [a; b] Định Bonzano – Cauchy 1 (Định I.3.5) cho biết nếu f(x) liên tục và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại c thuộc (a; b) sao cho f(c) = 0 Cuối cùng, Định Bonzano – Cauchy 2 (Định I.3.6) khẳng định rằng f(x) liên tục trên đoạn [a; b] sẽ nhận mọi giá trị trung gian giữa f(a) và f(b).

Ví dụ: Chứng minh phương trình: x 5 + 3x – = 0 luôn có ít nhất một nghiệm dương

Giải: Đặt f(x) = x 5 + 3x – thì f(x) liên tục trên tập số thực R, ta có: f(0) = – 1, f( ) = 3 nên f(0).f( ) < 0, vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Hàm gián đoạn

Định nghĩa I.3.4: Hàm số f(x) gọi là gián đoạn tại điểm xo nếu nó không liên tục tại điểm đó

Điểm x₀ được gọi là điểm gián đoạn loại 1 nếu hàm f(x) gián đoạn tại điểm này nhưng tồn tại giới hạn lim f(x) khi x tiến tới x₀ từ bên phải và lim f(x) khi x tiến tới x₀ từ bên trái Nếu đặc biệt lim f(x) khi x tiến tới x₀ từ bên phải bằng lim f(x) khi x tiến tới x₀ từ bên trái và khác với f(x₀), thì x₀ được xem là điểm gián đoạn bỏ được của hàm f(x).

- Điểm xogọi là điểm gián đoạn loại 2 nếu nó là điểm gián đoạn của f(x) nhưng không là gián đoạn loại 1

) 0 x ( x x sin điểm x o = 0 là điểm gián đoạn bỏ được vì x x lim sin x 0 = 1  0.

Đ O HÀM, VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

I.4.1 Đạo hàm cấp một Định nghĩa I.4.1: Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của điểm xo Đặt: x = x – xo, y = f(x) – f(xo) = f( xo + x ) – f(xo)

 có giới hạn hữu hạn khi x  0 thì giới hạn đó gọi là đạo hàm cấp

1 của hàm số f(x) tại x o Kí hiệu: f(xo) hay y(xo)

- Nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x o ta nói f(x) khả vi tại điểm x o

- Hàm số f(x) gọi là khả vi trong tập U  R, nếu nó khả vi tại mọi điểm xo  U

Lưu ý : - Nếu tồn tại x lim y

 ta gọi đó là đạo hàm bên phải của f(x) tại điểm xo

 Tương tự: đạo hàm bên trái của f(x) tại điểm xo, và f'(x o  ) x lim y

- Nếu f'(x o  ) = f'(x o  ) = A thì f(xo) = A Định I.4.1: Nếu f(x) khả vi tại điểm x o thì liên tục tại điểm đó

Lưu ý : - Định lí trên chỉ là một điều kiện c n, điều ngược lại chưa chắc đã đúng

Chẳng hạn hàm số f(x) = x liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm x = 0 ( tự chứng minh )

Các quy tắc tính đạo hàm

- Quy ước: u = u(x), v = v(x) và các hàm số này có đạo hàm tại cùng một điểm

Bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp Đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm hàm hợp

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:

2) Ta có: y '  2 sin  cos( 2 x  1 )   cos cos( 2 x  1 )   2 sin( 2 x  1 ) 

Đạo hàm có những tính chất quan trọng, trong đó Định lý Rolle chỉ ra rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trên khoảng (a; b) với f(a) = f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c trong khoảng (a; b) sao cho f'(c) = 0 Bên cạnh đó, Định lý Lagrange khẳng định rằng nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và khả vi trên khoảng (a; b), thì cũng tồn tại một điểm c trong (a; b) sao cho đạo hàm tại điểm đó liên quan đến độ dốc của đoạn thẳng nối hai đầu đoạn.

  Định I.4.3 (Định auch ): Nếu các hàm số f(x) và g(x) đều liên tục trong đoạn [a ; b], khả vi trong khoảng (a ; b) và g(x)  0 thì tồn tại c  (a ; b) sao cho :

Qu tắc 1: Nếu các hàm số f(x), g(x) đều liên tục trong đoạn [a ; b] và c (a ; b) sao cho : f(c) = g(c) Nếu trong lân cận của điểm c tồn tại f(x), g(x) (g(x)  0) thì

Qu tắc 2: Nếu các hàm số f(x), g(x) đều liên tục trong đoạn [a ; b] và c (a ; b) sao cho:  

 f(x) limg(x) lim c x c x Nếu trong lân cận của điểm c tồn tại f(x), g(x) (g(x)  0) thì:

Lưu ý : - Quy tắc ’ hospitalle vẫn đúng khi x   (nếu các điều kiện trên thỏa mãn)

1) Các hàm số f(x) = x – sinx, g(x) = x 3 đều thỏa mãn các điều kiện của quy tắc ’hospitalle trong mọi lân cận của điểm x = 0, nên ta có:

Cực trị của hàm số là khái niệm quan trọng trong toán học Định nghĩa cho biết rằng, với hàm số f(x) xác định và liên tục trong khoảng (a;b), giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm x0 thuộc (a;b) được xác định nếu tồn tại một lân cận của x0 với bán kính δ, sao cho mọi x trong lân cận đó đều thỏa mãn f(x) < f(x0) (đối với giá trị cực đại) hoặc f(x) > f(x0) (đối với giá trị cực tiểu), với x khác x0.

- Điểm x0 gọi là điểm cực trị (c c đại hay c c ti u tương ứng) Định I.4.4: Nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 và đạt cực trị tại x 0 thì f(x0) = 0

Lưu : Điều kiện f(x0) = 0 chỉ là một điều kiện c n của điều kiện cực trị

Hàm số f(x) = x² có đạo hàm f'(0) = 0 và đạt cực trị tại x = 0, trong khi hàm số f(x) = x³ cũng có f'(0) = 0 nhưng không đạt cực trị tại x = 0 Định lý I.4.5 chỉ ra rằng, nếu hàm số f(x) có đạo hàm trong một lân cận của x₀ với bán kính δ và f'(x) đổi dấu khi x đi qua x₀, thì x₀ là điểm cực trị của f(x) Cụ thể, nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại x₀, thì x₀ là điểm cực đại; ngược lại, nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, thì x₀ là điểm cực tiểu.

Lưu : Điều kiện trên không nhất thiết f(x) phải có đạo hàm tại x0, miễn rằng f(x) vẫn xác định tại x0.

4 Đạo hàm cấp một

Vi phân cấp một

Giả sử f(x) có đạo hàm tại xo : x lim y ) x ( ' f o x 0

Vi phân cấp 1 của hàm số f(x) tại điểm x₀ được định nghĩa là biểu thức f’(x₀)·Δx, ký hiệu là dy, trong đó Δy = f’(x₀)·Δx + θ(Δx) và θ(Δx) là một đại lượng vô cùng bé bậc cao hơn Δx.

Nếu y = x, thì dy = dx = Δx, và do đó dy = f'(x)dx Định lý I.4.6 cho biết rằng nếu các hàm số u(x) và v(x) đều có vi phân tại x₀, thì tại điểm đó ta có: d(u ± v) = du ± dv và d(u·v) = vdu + udv.

Trong định nghĩa I.4.7, nếu hàm số f(x) có x là biến độc lập hoặc là một hàm của biến khác, thì vi phân của hàm số này sẽ có dạng dy = f’(x)dx, thể hiện tính bất biến của vi phân.

Đạo hàm và vi phân cấp cao

Đạo hàm cấp cao được định nghĩa như sau: Nếu hàm số f(x) khả vi tại điểm x, thì đạo hàm f'(x) cũng là một hàm số của biến x Nếu f'(x) cũng khả vi tại điểm x, thì đạo hàm của f'(x), ký hiệu là f''(x), được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm f(x).

Định nghĩa I.4.5: Nếu hàm số f(x) khả vi đến cấp n tại điểm x, thì đạo hàm của đạo hàm cấp n - 1 của f(x) được gọi là đạo hàm cấp n của f(x), ký hiệu là f(n)(x), với công thức f(n)(x) = [f(n - 1)(x)]'.

2) Sử dụng phép quy nạp, ta có: 

Giả sử khi n = k, ta có: 

Vậy: Công thức trên đúng khi n = k + , nên: 

Vi phân cấp cao được định nghĩa như sau: Giả sử hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x, thì vi phân dy = f’(x)dx cũng là một hàm số của x Khi đó, vi phân bậc hai được tính bằng công thức d(dy) = [f’(x)dx]’dx = f’’(x)dx^2 Do đó, chúng ta có thể viết d²y = f’’(x)dx².

- Một cách tổng quát, ta có vi phân cấp n (n  2) của hàm số f(x): d n y = f (n) (x)dx n

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Khái niệm Định nghĩa I.5.1: Cho hai hàm số F(x), f(x) cùng xác định trong khoảng (a; b)

Hàm số F(x) gọi là một nguyên hàm của f(x) nếu F(x) = f(x), x  (a; b)

- F(x) gọi là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] nếu F(x) = f(x), x  (a; b) và F(a + ) = f(a), F(b – ) = f(b) Định I.5.1: Nếu hàm số f(x) có các nguyên hàm là F(x) và G(x) thì :

G(x) = F(x) + C , ( C = const) Định nghĩa I.5.2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C gọi là tích phân bất định của hàm số f(x), kí hiệu:  f ( x ) dx

Vậy:  f ( x ) dx = F(x) + C , trong đó : F(x) = f(x), ( C = const)

Kí hiệu  là dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân

Tính chất của tích phân bất định

Giả thiết các hàm số dưới đây đều thỏa mãn các điều kiện để có tích phân

Bảng các nguyên hàm cơ bản

Hàm cơ bản Nguyên hàm

1 lnx e x e x a x (a > 0, a  1) a ln a x sinx – cosx cosx sinx x cos

Các phương pháp tính tích phân bất định

Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (a; b) và x = (t) có đạo hàm xác định trong khoảng (; ) với: a = (), b = () và khi a < x < b thì  < t <  Ta có:

Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử ta phải tính:  f ( x ) dx trong đó f(x) = u(x).v(x) với u(x) có đạo hàm trên đoạn [a ; b] Ta có:

 u ( x ) v ' ( x ) dx  u ( x ) v ( x )  v ( x ) u ' ( x ) dx hay viết gọn :  udv  u v   vdu

Vậy: I   x 3 ln xdx  x 4 4 lnx  1 4  x 3 dx  x 4 4 lnx  16 x 4  C

Vậy: I   e x cos xdx  e x sin x   e x sin xdx

Vậy: I 1 e x sinxdx e x cosxe x cosxdx e x cosxI

Vậy: Ie x sinxI 1 e x sinxe x cosxI hay: 2I = e x (sinx + cosx) + 2C  C

Tích phân một số hàm số

1 Tích phân hàm hữu tỉ

Giả sử ta phải tính: I   Q P ( ( x x ) ) dx, trong đó P(x), Q(x) là các hàm đa thức

- Nếu: bậc P(x)  bậc Q(x), ta biến đổi:

- Nếu: bậc P(x)  bậc Q(x), khi đó ta có thể phân tích

P thành tổng của các phân thức dạng x a m

14 hi đó:  Q P ( ( x x ) ) dxđược chuyển thành tổng của các tích phân dạng:  ( x  A a ) m dx hay  ( x 2 M x  px   N q ) m dx

- Nếu m = 1: gọi I 1   x 2  dx px  q Đặt: x  2 p  4 q 2  p 2 t , ta đưa I 1 về tích phân

Gọi: I 2   x 2 M x  px  N  q dx  M 2  x 2 2  x px  p  q dx      N M p 2     x 2  dx px  q hay: C p q 4 p x arctg 2 p q 4

- Nếu m >1: gọi J m   ( x 2  px dx  q ) m Đặt: x  2 p  t , 4 q  4 p 2  α 2 , ta đưa J m về dạng: J m   ( t 2  dt α 2 ) m , J m được tính theo công thức truy chứng:

Với: I m   ( x 2 M x  px   N q ) m dx, ta biến đổi như dạng (I.5.4), ta có:

2 Tích phân các hàm số ượng giác

Với tích phân: I   R (sin x , cos x ) dx

  hi đó ta đưa về tích phân một hàm hữu tỉ

Lưu ý : Trong một số trường hợp đặc biệt, ta có thể dùng các phép thế khác để dẫn đến một kết quả nhanh hơn

1) Ta có : I   sin x ( 1  cos 2 x ) cos 2 xdx   (cos 2 x  cos 4 x ) sin xdx Đặt: t = cosx  dt = – sinxdx

2) Ta có : I   tg 2 x cos dx 2 x Đặt : t = tgx  x cos dt dx 2

3 Tích phân các hàm vô tỉ

   dx = (t)dt hi đó ta đưa tích phân (I.5.7) về tích phân một hàm hữu tỉ

- Với tích phân dạng: I   x m ( ax n  b ) p dx, (m,n,p  Q) (I.5.8)

Người ta chứng minh được nếu một trong ba số: p, n

1 m  là các số nguyên thì có thể hữu tỉ hóa biểu thức trong (I.5.8)

- Khi p nguyên có thể đưa (I.5.8) về dạng (I.5.7) bằng cách đặt: q

1 x t  với q là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số trong m và n

1 m nguyên, đặt: ax n + b = t  (  là mẫu số của p ), ta đưa (I.5.8) về dạng (I.5.7)

1 m  nguyên, đặt: a + bx – n = t  (  là mẫu số của p ), ta đưa (I.5.8) về dạng (I.5.7)

- Với tích phân dạng: I   R  x , ax 2  bx  c  dx (I.5.9)

+ Nếu ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm thực  và  Ta viết:

) x x ( c bx ax 2 , ta đưa (I.5.9) về dạng (I.5.7)

+ Nếu ax 2 + bx + c > 0 , x Đặt: ax 2 bxc t a.x, ta đưa (I.5.9) về dạng (I.5.7)

Khái niệm và định nghĩa

Bài toán diện tích hình thang cong

- Cho hình thang cong aABb giới hạn bởi: a  x  b ; 0  y  f(x) với hàm số f(x) liên tục, f(x)  0 trên [a ;b]

- Chia đoạn [a ;b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm: a = xo < x1 < x2 < < xn = b

- Trên mỗi đoạn con [xk–1;xk], lấy điểm k bất kì, dựng hình thang cong xk–1MN xk và hình chữ nhật xk–1PQ xk có chiều cao bằng f(k) y

Diện tích hình thang cong xk–1MN xk g n có thể được xem như diện tích hình chữ nhật xk–1PQ xk, được tính bằng f(μk) nhân với (xk – xk–1), đặc biệt khi khoảng cách giữa xk và xk–1 rất nhỏ Do đó, chúng ta tự nhiên tổng hợp lại kết quả này.

( f (I.5.10) là giá trị g n đúng của diện tích hình thang cong aABb

- Gọi d = max[xk–1;xk],( k = 0,1,2, ,n) thì khi d  0, nếu tổng (I.5.10) có giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó gọi là diện tích hình thang cong aABb Ta có:

Tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] là một khái niệm quan trọng trong toán học, thường xuất hiện trong nhiều bài toán liên quan đến giới hạn Định nghĩa tích phân xác định giúp chúng ta hiểu rõ hơn về diện tích dưới đường cong của hàm số trong khoảng từ a đến b.

Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a ; b]

- Chia đoạn [a ; b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm: a = xo < x1 < < xn = b

Mỗi phép chia như vậy gọi là một phép phân hoạch  của đoạn [a ; b]

- Trên mỗi đoạn con [x k–1 ;x k ], lấy điểm k bất kì và lập tổng:

( f (I.5.12) tổng (I.5.12) gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) ứng với phép phân hoạch 

- Gọi d = max[xk–1;xk],( k = 0,1,2, ,n), ta nói   I khi d  0 nếu:  > 0, 

Để đảm bảo rằng với mọi phép phân hoạch \( \Pi \) thỏa mãn \( d\Pi < \delta \) và mọi lựa chọn điểm \( \mu_k \) trên mỗi đoạn con \([x_{k-1}; x_k]\), ta luôn có \( | \sigma_\Pi - I | < \epsilon \) Định nghĩa I.5.3 nêu rõ rằng nếu tồn tại giới hạn hữu hạn, điều này sẽ được áp dụng.

Giới hạn không phụ thuộc vào phép phân hoạch và cách chọn điểm trong khoảng [xk–1; xk] được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) từ a đến b, được ký hiệu là ∫[a, b] f(x) dx.

I (I.5.14) khi đó hàm số f(x) gọi là khả tích trên đoạn [a ; b], trong đó a, b gọi là các cận của tích phân xác định, a là cận dưới, b là cận trên

Chú ý : Nếu hàm f khả tích trên [a ; b] thì:  b a dx ) x ( f   b a dt ) t ( f

Tính chất của tích phân xác định Định I.5.2: ( Tiêu chuẩn khả tích )

- Nếu hàm f(x) khả tích trên [a ; b] thì nó bị chặn trên đoạn đó

Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a ; b], thì hàm này khả tích trên đoạn đó Theo định lý I.5.3, nếu hàm f(x) bị chặn trên [a ; b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn, thì hàm f(x) cũng khả tích trên đoạn [a ; b].

Một số tính chất i Tính chất 1 : - Nếu f(x) = c, x  [a ; b] thì: cdx c(b a) b a

  ii Tính chất 2 : - Nếu c  [a ; b] và f(x) khả tích trên [a ; b], thì:

   b c c a b a dx ) x ( f dx ) x ( f dx ) x ( f iii Tính chất 3 : - Nếu f(x), g(x) cùng khả tích trên [a ; b], thì:

    b a b a b a dx ) x ( g dx ) x ( f dx ) x ( g ) x ( f iv Tính chất 4 : - Nếu f(x) khả tích trên [a ; b] và k  R thì:

  b a b a dx ) x ( f k dx ) x ( kf v Tính chất 5 : - Nếu f(x), g(x) cùng khả tích trên [a ; b] và f(x)  g(x) thì:

  b a b a dx ) x ( g dx ) x ( f vi Tính chất 6 : - Nếu f(x) khả tích trên [a ; b] và m  f(x)  M,x  [a ; b] thì: a) - (b M dx ) x ( f ) a b ( m b a

  vii Tính chất 7 : - Nếu f(x) khả tích trên [a ; b] và m  f(x)  M,x  [a ; b] thì   [m ; M] sao cho: f(x)dx μ(b a) b a

Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm

20 Định I.5.4: Cho hàm f khả tích trên [a ; b] và với mỗi điểm x  [a ; b] đặt:

F , thì F(x) là hàm số khả vi tại mọi điểm x và F(x) = f(x), hay F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a ; b] Định I.5.5: ( công thức Newton – Leibnitz )

- Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn đó, ta có:

Các phương pháp tính tích phân xác dịnh

Phương pháp đổi biến số

Cho hàm số f(x) xác định trong đoạn [a; b] và x = (t) có đạo hàm xác định trong đoạn [; ] với: a = (), b = () và khi x  [a ; b] thì t  [; ] Ta có:

 ;2 t 2  dx = acostdt Khi: x = 0 thì t = 0, x =a thì t  2

2 tdt a cos a tdt cos a.t sin a aI

Phương pháp tích phân từng phần

Giả sử ta phải tính  b a dx ) x ( f trong đó f(x) = u(x).v(x), các hàm số u(x), v(x) cùng các đạo hàm của nó khả tích trong đoạn [a ; b] Ta có:

I.5.3 Ứng dụng của tích phân xác định

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi: a  x  b, g(x)  y  f(x)

( f(x) và g(x) cùng liên tục trên [a ; b] )

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y = x 2 – 2x + 2, y = 2x – 1

Giải: Xét: x 2 – 2x + 2 = 2x – 1  x = 1, x = 3; trên đoạn [1; 3] các hàm y = 2x – 1 và y = x 2 – 2x + 2 liên tục và 2x – 1  x 2 – 2x + 2 Ta có:

Thể tích vật thể không gian

Cho vật thể (U) trong không gian Oxyz, với các mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy có cao độ z > 0, cắt (U) tạo thành các thiết diện có diện tích S(z) Hàm S(z) là hàm liên tục trên đoạn [a; b], trong đó a và b được xác định bởi cao độ của các mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy và (U) được giới hạn giữa hai mặt phẳng đó.

Nhận xét : - Nếu (U) là khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay quanh trục Ox hình thang cong

(H) giới hạn bởi: a  x  b, 0  y  f(x) thì thể tích của (U) là:

Ví dụ: Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình thang cong (H) giới hạn bởi: y = sinx, y = 0, x = 0, x 2

 Độ dài cung đường cong phẳng

Giả sử MN là cung đường cong của đồ thị hàm số y = f(x) với M[a ; f(a)] và N[b ; f(b)], ( a < b ), gọi l là độ dài của cung MN, ta có:

- Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số : x =  (t) , y = (t) ; với   t  , trong đó  (t),

(t) có đạo hàm liên tục theo biến t  [ ; ]

Với M[ () ; ()], N[ () ; ()], độ dài cung MN là:

Ví dụ: Tính độ dài cung Xycloit cho bởi: x = a(t – sint) , y = a(1 – cost) ; ( 0  t  2 )

Giải: Ta có : xt = a(1 – cost), yt = asint

2 sin t a 2 dt t cos 2 2 a dt t sin a ) t cos 1 ( a l a

Diện tích xung quanh của khối tròn xoay

Cho khối tròn xoay sinh bởi hình thang cong (H) giới hạn bởi: a  x  b, 0  y  f(x), với f(x) liên tục trong đoạn [a ; b]

Diện tích xung quanh của khối tròn xoay trên là :

- Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số : x =  (t),y = (t); với   t  , trong đó  (t),(t) có đạo hàm liên tục theo biến t  [ ; ] và (t)  0,t [ ; ]

Ví dụ: Tính diện tích mặt cong sinh bởi đường Astroit : x = acos 3 t, y = asin 3 t với 0  t   và a > 0

Giải: Ta có: xt = – 3acos 2 tsint, yt = 3asin 2 tcost

3t 9a (cos tsin t sin tcos t)dt 6 a sin tcostdt sin a 2

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

I.6.1 Tích phân có cận ở vô tận Định nghĩa I.6.1: Cho hàm số f(x) xác định trong [a ; +), khả tích trong mọi đoạn hữu hạn [a ; ] Tích phân suy rộng của f(x) trên [a ; +) được xác định:

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn, ta nói   a dx ) x ( f hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kì

- Tương tự, ta có các định nghĩa về tích phân suy rộng cho hàm số f(x) xác định trong các khoảng ( –  ; b] và (–  ; +), như sau:

- Các tính chất của tích phân suy rộng cũng như tích phân hàm số f(x) trên [a ; b]

I.6.2 Tích phân của hàm không bị chặn Định nghĩa I.6.2: Cho hàm số f(x) xác định trong [a ; b) nhưng không bị chặn tại b và khả tích trong mọi đoạn [a ; ], ( a <  < b) Ta có:

Nếu giới hạn trên tồn tại hữu hạn, ta nói  b a dx ) x ( f hội tụ, ngược lại ta nói nó phân kì

- Tương tự, ta có các định nghĩa về tích phân cho hàm số f(x) xác định trong các khoảng (a ; b], (a ; b) như sau :

) 2 arctg ( lim arctgx x lim 1 lim dx

1 Tìm giới hạn các dãy số sau:

2 Tìm giới hạn các hàm số sau:

7) x lim    x  x 2  1  8) lim x 0 ( x cot g 2 x ) 9) lim x  0 ( 1  sin 2 x ) x 1

3 Xét tính liên tục của các hàm số sau:

4 Chọn A và B bằng bao nhiêu để hàm số sau liên tục trên R ?

5 Tìm điểm gián đoạn của các hàm số sau:

6 Tính đạo hàm và vi phân cấp một của các hàm số sau:

7 Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra:

8 Dùng quy tắc ’hospitalle tính các giới hạn sau:

9 Cho f(x) = anx n + an – 1 x n – 1 + + a1x + ao (n  N, ai  R )

2) Áp dụng: Tìm hệ số của x 2 trong khai triển của hàm số: f(x) = (x 2 – x + 1) 2013

10 Tính các tích phân sau:

4)  sin 4 xdx 5)  cos sin x  x sin x dx 6)  cos x 2 x dx

12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

13 Tính thể tích các vật thể tròn xoay sinh bởi các hình phẳng:

2) (H) giới hạn bởi các đường: y = x, x= 0, x 2y quay quanh trục Oy

14 Tính độ dài cung của các đường sau đây:

15 Tính diện tích mặt nhận được bởi phép quay Xicloit: x = a(t – sint), y = a(1 – cost), 0  t  2 quay quanh trục Ox

CHƯ NG II : HÀM HAI BIẾN, T CH PH N K P, T CH PH N ĐƯỜNG

II.1.1 Khái niệm hàm hai biến Định nghĩa II.1.1: Xét tích Descarter R 2 và D  R 2 Ánh xạ f: D  R là một hàm hai biến xác định trên D Tập D gọi là miền xác định của hàm f, cặp số thực có thứ tự (x,y)  D gọi là các biến độc lập của hàm f

- Ta thường viết hàm hai biến dưới dạng: z = f(x,y)

Cặp số thực có thứ tự (x,y) được coi là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng, từ đó hàm hai biến f(x,y) có thể được hiểu như hàm điểm z = f(M) với M(x; y) thuộc tập D Định nghĩa II.1.2: Tập điểm P(x,y,z) trong không gian Oxyz được xác định với z.

Đồ thị của hàm số hai biến z = f(x,y) được biểu diễn dưới dạng một mặt cong trong không gian Theo định nghĩa, xét tích Descarter R n và một tập D thuộc R n, ánh xạ f: D  R là một hàm n biến xác định trên tập D.

Vậy một hàm n biến là một phép tương ứng cho ứng mỗi bộ n số thực có thứ tự (x 1 , x 2 , , x n )  D với một số thực xác định là f(x1, x 2 , , x n )

II.1.2 Giới hạn, tính liên tục của hàm hai biến Định nghĩa II.1.4: Ta nói dãy điểm {M n (xn,yn)} d n tới điểm Mo(xo,yo) nếu: o nlim xn x

- Nếu gọi n là khoảng cách giữa các điểm Mn và Mo, n = MoMn thì rõ ràng dãy điểm {M n } d n tới điểm Mo, khi và chỉ khi lim ρ n 0 n 

 Định nghĩa II.1.5: Giả sử hàm z = f(x,y) xác định trong một lân cận của điểm

Số A được xác định là giới hạn của hàm f(x,y) tại điểm M(x,y) khi M tiến gần tới điểm Mo(xo,yo) Điều này có nghĩa là với mọi dãy điểm {Mn(xn,yn)} tiến tới điểm Mo(xo,yo), giá trị của hàm f(x,y) sẽ tiệm cận đến số A.

Chú thích : - Tương tụ như đối với hàm một biến, ta có thể định nghĩa các giới hạn sau đây:

- Cũng như hàm một biến, ta có định nghĩa sau về giới hạn của hàm hai biến:

29 Định nghĩa II.1.6: Ta nói rằng số A là giới hạn của hàm f(x; y) = f(M) khi điểm

M d n đến điểm Mo nếu  > 0, > 0: 0 <  = Mo M <   f(M) – A < 

- Các định lí về giới hạn của tổng, tích, thương của hàm hai biến cũng tương tự các định lí tương ứng ở hàm một biến

    Định nghĩa II.1.7: Xét hàm z = f(x,y) = f(M) xác định trong miền D chứa điểm

M o (x o ,y o ) Hàm f(x,y) gọi là liên tục tại M o nếu:

  Đặt: x = x – xo, y = y – yo, z = f(x,y) – f(xo,yo) = f(xo+x, yo+y) – f(xo,yo)

Ta gọi x, y là các số gia của các biến độc lập x, y ; z là số gia toàn ph n tương ứng của hàm z hi đó f(x,y) gọi là liên tục tại M o nếu: lim z 0

 Định nghĩa II.1.8: Hàm z = f(x,y) không liên tục tại điểm Mo(xo,yo) gọi là gián đoạn tại điểm đó

II.1.3 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến Đạo hàm riêng và vi phân cấp một Định nghĩa II.1.7: Xét hàm z = f(x,y) xác định trong miền D chứa điểm

Khi cho điểm Mo(xo, yo) và biến x thay đổi trong khi y được cố định ở yo, ta nhận được hàm một biến f(x, yo) Nếu hàm f(x, yo) có đạo hàm theo x tại x = xo, đạo hàm này được gọi là đạo hàm riêng của hàm z đối với biến x tại điểm Mo(xo, yo) và được ký hiệu là z' x hoặc xz.

- Đặt xz = f(xo + x, yo) – f(xo,yo) : gọi là số gia riêng của f(x,y) theo x tại điểm (xo,yo) Ta có: x lim z x z x

- Tương tự, khi cố định x = xo, ta được hàm f(xo,y) và ta có định nghĩa đạo hàm theo biến y của hàm z tại Mo(xo,yo), kí hiệu: zy hay y z

- Đặt yz = f(xo, yo+ y) – f(xo,yo) : gọi là số gia riêng của f(x,y) theo y tại điểm (xo,yo) Ta có: y lim z y z x

Ví dụ: Cho z = x 2 y + xy 2 – 3xy + 2x – 5y + 1 Tính zx và zy

Giải: Ta có: zx = 2xy + y 2 – 3y + 2, zy = x 2 + 2xy – 5 Định nghĩa II.1.8: Ta gọi vi phân riêng của hàm z = f(x,y) đối với x tại điểm

Mo(xo,yo) là biểu thức zx x kí hiệu là dxz, ta có : dxz = zx x = zxdx

- Tương tự, vi phân riêng của hàm z = f(x,y) đối với y tại Mo(xo,yo) là dyz = zydy Định nghĩa II.1.9: Xét hàm z = f(x,y) xác định trong miền D chứa điểm

Mo(xo,yo) Ta gọi biểu thức A.x + B.y là vi phân toàn ph n của hàm f(x,y) tại

Trong toán học, ký hiệu dz thể hiện sự thay đổi của hàm z = f(x,y) với các đạo hàm riêng zx và zy Khi thực hiện việc lấy đạo hàm riêng theo biến x và y, chúng ta có thể xác định các đạo hàm riêng cấp hai của hàm z Điều này giúp hiểu rõ hơn về sự biến đổi của hàm trong không gian hai chiều.

Ta có: (zx)x = zxx, (zx)y = zxy, (zy)x = zyx, (zy)y = zyy

Trong bài viết này, chúng ta định nghĩa các đạo hàm hình vuông là zxx, zyy và các đạo hàm hình chữ nhật là zxy, zyx Theo Định lý II.1.1, nếu hàm z = f(x,y) có các đạo hàm riêng cấp hai zxy, zyx liên tục tại điểm Mo(xo,yo), thì ta có zxy = zyx Hơn nữa, Định nghĩa II.1.11 cho biết rằng biểu thức này được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của hàm z.

= f(x,y) và kí hiệu : d 2 z d 2 z = zxxdx 2 + 2 zxydxdy + zyydy 2 = (zxdx + zydy) 2

- Tương tự, ta có các vi phân toàn ph n cấp ba, cấp bốn, Một cách tổng quát: d n z = (zxdx + zydy) n

II.1.4 Cực trị của hàm hai biến Định nghĩa II.1.12: Hàm z = f(x,y) liên tục trong miền D chứa (xo,yo), f(x,y) đạt cực đại tại (xo,yo)  f(x,y)  f(xo,yo), M(x,y)  D

- f(x,y) đạt cực tiểu tại (x o ,y o )  f(x,y)  f(xo,y o ), M(x,y)  D

- các điểm cực đại và cực tiểu của hàm z = f(x,y) gọi chung là điểm cực trị Định lí II.1.2: Nếu f(x,y) đạt cực trị tại (x o ,yo) thì: zx(xo,yo) = 0, zy(xo,yo) = 0

Lưu ý: - định lí II.1.2 chỉ là điều kiện c n

Quy tắc tìm cực trị

3 Đạo hàm riêng và vi phân của hàm hai biến

Bài toán thể tích hình trụ cong

Hình trụ cong (U) được xác định bởi các mặt phẳng Oxy, mặt trụ (T) có đường sinh song song với trục Oz, cùng với mặt cong z = f(x,y), trong đó hàm f(x,y) liên tục và không âm trên miền D.

Tính thể tích hình trụ cong (U)

- Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không giao nhau Gọi tên cùng diện tích mỗi mảnh là S1, S2, ., Sn

Xét hình trụ cong có đáy là Si ( i = ,2, ,n) và có đường sinh song song với trục

Trên mỗi mảnh Si, chọn điểm Mi(xi,yi) tùy ý, hình trụ thẳng có đáy Si và chiều cao f(xi,yi) sẽ có thể tích bằng f(xi,yi)Si Khi mảnh Si đủ nhỏ, có thể coi

32 f(xi,yi)Si là xấp xỉ thể tích của hình trụ cong có đáy là Si Một cách tự nhiên ta xem thể tích của trụ cong là :

Độ chính xác của phép tính này tăng lên khi n trở nên lớn và các Si giảm nhỏ Vì vậy, thể tích V của hình trụ cong sẽ được xác định bởi giới hạn (nếu tồn tại) của tổng khi n tiến tới vô cực, với điều kiện rằng đường kính lớn nhất trong các đường kính của các mảnh Si tiến về không.

(II.2.1) trong đó di là đường kính của mảnh Si(xem đường kính là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trên biên của mảnh đó)

- Nhiều bài toán kĩ thuật dẫn tới giới hạn của tổng (II.2.1), dẫn tới định nghĩa

Định nghĩa tích phân kép

Hàm z = f(x,y) được xác định trong miền hữu hạn D trên mặt phẳng Oxy Miền D được chia thành n mảnh nhỏ không giao nhau, với diện tích mỗi mảnh lần lượt là S1, S2, , Sn.

Trên mỗi mảnh Si lấy điểm Mi(xi,yi) tùy ý và lập tổng:

I (II.2.2) tổng (II.2.2) gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y) trong miền D, gọi d i là đường kính của mảnh Si

Khi n tiến tới vô cùng và giá trị lớn nhất của di tiến về 0, nếu giới hạn của tổng tích phân không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm Mi(xi,yi) trong mỗi mảnh ΔSi, thì giới hạn này được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trong miền D Ký hiệu cho tích phân kép này là:

Các tính chất của tích phân kép

ta gọi: f(x,y) là hàm số dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân Nếu tồn tại tích phân trên ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D

II.2.3 Các tính chất của tích phân kép

Ta giả thiết các hàm số dưới đây đều khả tích trên miền lấy tích phân

Tính chất 3 : Nếu D chia thành hai miền D1, D2 thì:

Tính chất 4 : Nếu f(x,y)  g(x,y) tại mọi điểm thuộc D thì:

Tính chất 5 : Nếu m  f(x,y)  M tại mọi điểm thuộc D thì:

Tính chất 6 : Nếu f(x,y) liên tục trên miền liên thông D thì trong D phải có ít nhất một điểm Mo(xo,yo) sao cho: f ( x , y ) dxdy f ( x o , y o ) S

Cách tính tích phân kép trong hệ trục tọa độ Đề - các

Miền D là hình chữ nhật:

- Cho D là miền phẳng giới hạn bởi hình chữ nhật : a  x  b, c  y  d

  d              c b a d c b a D dx y)dy f(x, dy y)dx f(x, y)dxdy f(x,

Miền D là hình phẳng bất kì:

9 2 x 4 dy x x x y dy x y dx dx x y dxdy x 2

Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Trong hệ tọa độ Oxy, điểm M có tọa độ (x,y) được liên kết với bán kính cực r và góc cực φ, trong đó r = OM = √(x² + y²) và φ = (Ox, OM) Công thức chuyển đổi giữa tọa độ (x,y) và tọa độ cực (r,φ) của cùng một điểm là rất quan trọng trong việc hiểu mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ này.

- Nếu D là miền phẳng trong hệ tọa đô cực (r,) giới hạn bởi các đường và các tia:

Giải: Chuyển sang tọa độ cực, ta có

Ứng dụng của tích phân kép

Thể tích hình trụ cong (U) được xác định bởi mặt phẳng Oxy, mặt trụ (T) với đường sinh song song trục Oz và mặt cong z = f(x,y) Hàm f(x,y) phải liên tục trên miền D trong mặt phẳng Oxy và đảm bảo f(x,y) ≥ 0 với mọi (x,y) thuộc D.

Ví dụ: Tính thể tích hình trụ cong (U) giới hạn bởi các mặt : z = 4 – x 2 – y 2 , x 2 + y 2 = 2, z = 0

V , trong đó D là hình tròn: x 2 + y 2  2

Chuyển sang tọa độ cực, D giới hạn bởi: 0    2, 0r 2

- Diện tích hình phẳng D trên mặt phẳng Oxy:  

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: x y a

2 ln a x ln x a a dx dy dx dxdy

Mặt cong có phương trình z = f(x,y) được giới hạn trong một mặt trụ đứng, với đường sinh song song với trục Oz Hàm f(x,y) là liên tục trên miền D trong mặt phẳng Oxy Diện tích của mặt cong này được tính theo công thức cụ thể.

Ví dụ: Tính diện tích mặt (P): z = x 2 + y 2 phía trong mặt trụ: x 2 + y 2 = 1

Chuyển sang tọa độ cực, ta có D: 0    2, 0  r  1

     hối ượng của ột n phẳng h ng đ ng chất

Cho một bản phẳng U chiếm một miền D trong mặt phẳng Oxy với khối lượng riêng là một hàm liên tục ρ(x,y) Khối lượng của bản có thể được tính toán dựa trên hàm khối lượng riêng này.

Ví dụ: Tính khối lượng của bản phẳng xác định bởi: x 2 + y 2 – R 2  0, x  0, y  0, biết khối lượng riêng (x,y) = xy

D xydxdy m , với D là ph n hình tròn: x 2 + y 2  R 2 , x  0, y  0 Chuyển sang tọa độ cực, ta có D: 0    /2, 0  r  R

T CH PH N ĐƯỜNG

II.3.1 Tích phân đường loại một Định nghĩa

- Cho hàm số f(M) = f(x,y) xác định trên một cung phẳng Chia cung thành n cung nhỏ bởi các điểm 0 = A, A 1 , , A n = Gọi độ dài cung

Ai – 1Ai là si Trên mỗi cung i – 1Ai lấy một điểm

Mi(xi,yi), lập tổng:

Khi n tiến tới vô cùng và max Δsi tiến tới 0, nếu (II.2.4) hội tụ tới một giới hạn xác định không phụ thuộc vào cách chia cung và cách chọn điểm Mi trên cung, thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại một của hàm f(x,y) dọc theo cung, ký hiệu là ∫.

- Nếu là một đường cong kín, ta dùng ký hiệu 

Nếu cung trơn và hàm f(x,y) liên tục trên cung, thì tích phân đường loại một tồn tại Tích phân này có những tính chất tương tự như tích phân xác định Đường cong B trơn được xác định bởi phương trình y = y(x), với a ≤ x ≤ b.

2 AB dx y' 1 y(x)). f(x, y)ds f(x, ung B được cho b i phương tr nh tham số (t), y = (t), t A  t  t B :

3 Tích phân đường loại một

Tích phân đường loại hai

Bài toán tính công dịch chuyển chất điể trên đường cong phẳng

- Một chất điểm M di chuyển dọc theo một cung đường cong phẳng L từ A dến dưới tác của lực

F Giả sử F(M)có các thành ph n tọa độ là các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục dọc theo cung

- Nếu F không đổi và AB thẳng thì công của lực

F là : A  F AB cos   F , AB  F AB Để tính công do lực FF(M) sinh ra trên cung ta làm như sau :

- Chia cung AB thành n cung nhỏ liền kề nhau bởi các điểm Ao=A,A1,A2, ,An=B

Độ dài cung Ai – 1 Ai được ký hiệu là Si, với các thành phần chiếu của vectơ A i  1 A i lên hai trục Ox và Oy lần lượt là xi và yi Điểm Mi(xi,yi) di chuyển trên cung Ai – 1 Ai từ Ai – 1 đến Ai dưới tác động của lực biến thiên F(M i ) Khi cung Ai – 1 Ai đủ nhỏ, lực có thể được coi là không đổi.

F không đổi trên cung đó và bằng F(M i ), khi đó công sinh ra xấp xỉ bằng : i i i i i i i

  hi đó công sinh ra trên cung xấp xỉ bằng :

Khi giới hạn của tổng tồn tại hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng và maxΔSi tiến đến 0, giới hạn này được gọi là công sinh ra khi lực biến thiên F làm vật M di chuyển từ điểm A đến điểm B Đây là định nghĩa của tích phân đường loại hai.

- Cho hai hàm số P(x,y), Q(x,y) xác định trên đường L từ đến B Chia cung AB thành n cung nhỏ liền kề nhau bởi các điểm Ao = A,A1,A2, ,An = B Gọi độ dài y

38 cung Ai – 1 Ai là Si và chiếu của vectơ Ai  1Ai lên hai trục Ox, Oy theo thứ tự là

xi , yi Với điểm Mi(xi,yi) tùy ý trên cung Ai – 1 Ai Lập tổng:

Khi n tiến tới vô cùng và max ΔSi tiến tới 0, nếu tích phân đường loại hai của hai hàm số P(x,y) và Q(x,y) dọc theo đường L từ A đến B đạt một giới hạn xác định không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm Mi(xi,yi) trên cung Ai-1 Ai, thì giới hạn này được ký hiệu là: \[\int_L P(x,y) \, dy + \int_L Q(x,y) \, dx.\]

  người ta chứng minh được nếu cung trơn và các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục trên cung thì tích phân đường loại hai tồn tại

Chú thích : - hi ta đổi hướng đi trên cung từ đến thì tích phân đường loại hai đổi dấu

Nếu đường cong kín, ta quy ước chiều dương ngược với chiều quay của kim đồng hồ Tích phân đường loại hai trên L theo chiều dương được ký hiệu như sau:

 P ( x , y ) dx  Q ( x , y ) dy hay:  Pdx  Qdy

- Tích phân đường loại hai có các tính chất như tích phân xác định

Cách tính ung B trơn được cho b i phương tr nh y y ), a  x  b:

Ví dụ: Tính I y dx xdy

Cung AB được cho b i phương tr nh tham số (t), y = (t), t A  t  t B :

  với cung AB là nửa đường tròn: y R 2 x 2

Giải: Phương trình tham số của cung AB: x = Rcost, y = Rsint ; 0  t  

R dt t cos R t cos R ) t sin R ( t sin R

Liên hệ giữa tích phân đường loại hai và tích phân kép

- Nếu P(x,y), Q(x,y) cùng các đạo hàm riêng cấp một của chúng liên tục trong miền D, ta có:

Pdx , ( L: biên của miền D) (IV.3.6)

Chú thích : - Nếu lấy P(x,y) = –y, Q(x,y) = x thì:      

Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân được nêu trong Định lý II.2.1: Nếu P(x,y) và Q(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đơn liên D, thì bốn mệnh đề sau đây là tương đương: i) Py = Qx tại mọi điểm (x,y) thuộc D ii) Pdx + Qdy = 0.

  với là đường cong kín bất kì trong D iii) P dx Qdy

  không phụ thuộc đường lấy tích phân mà chỉ phụ thuộc vào A, B iv) Pdx + Qdy là vi phân toàn ph n của hàm u(x,y) nào đó trong D

1 Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau:

2 Tính đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau:

3 Cho 2 2 y x ln 1 z  Chứng tỏ: zxx + zyy = 0

4 Tính vi phân cấp I và vi phân toàn ph n cấp hai của các hàm số sau:

5 Tìm cực trị của các hàm số sau:

( , với D giới hạn bởi các đường: i) D: 1  x  2, 0  y  1 ii) D: 0  x  3, 0  y  – x + 3

( , với D giới hạn bởi các đường: y = x 2 , và y 2 = x

D xydxdy, với D giới hạn bởi các đường: y = x – 4, và y 2 = 2x

D y x dxdy e 2 2 , với D là hình tròn: x 2 + y 2  R 2

7 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi:

2) Mặt phẳng z = x + y và mặt paraboloit: z = x 2 + y 2

8 Tính diện tích các mặt cong giới hạn bởi:

1) Ph n mặt c u z 4x 2 y 2 nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2y

2) Ph n mặt nón: x 2 – y 2 = z 2 nằm trong mặt trụ x 2 + y 2 = 1

9 Tính các tích phân đường loại một sau:

 , là đoạn thẳng nối hai điểm (0,0), (4,3)

I , là biên của hình chữ nhật CD, (0,0), (4,0), C(4,2), D(0,2)

 , là cung ph n tư thứ nhất của đường tròn x 2 + y 2 = R 2

10 Tính các tích phân đường loại hai sau:

  từ A(1 ;0) đến B(0 ;2) theo các đường: i) 2x+ y = 2 ii) 4x + y 2 = 4 iii) D: x = cost, y = 2sint

11 Dùng tích phân đường tính diện tích đường astroit: x = acos 3 t, y = sin 3 t;(a > 0)

2) Tính I theo công thức Green

CHƯ NG III: PHƯ NG TRÌNH VI PH N

2 Các phương trình khuyết

tổng (II.2.2) gọi là tổng tích phân của hàm f(x,y) trong miền D, gọi d i là đường kính của mảnh Si

Khi n tiến tới vô cùng và giá trị lớn nhất của di tiến tới 0, nếu giới hạn của tổng các giá trị của hàm f(x,y) trong miền D không phụ thuộc vào cách chia miền và cách chọn điểm Mi(xi,yi) trong mỗi mảnh Si, thì giới hạn đó được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trong miền D.

(II.2.3) ta gọi: f(x,y) là hàm số dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân Nếu tồn tại tích phân trên ta nói hàm f(x,y) khả tích trên miền D

II.2.3 Các tính chất của tích phân kép

Ta giả thiết các hàm số dưới đây đều khả tích trên miền lấy tích phân

Tính chất 3 : Nếu D chia thành hai miền D1, D2 thì:

Tính chất 4 : Nếu f(x,y)  g(x,y) tại mọi điểm thuộc D thì:

Tính chất 5 : Nếu m  f(x,y)  M tại mọi điểm thuộc D thì:

Tính chất 6 : Nếu f(x,y) liên tục trên miền liên thông D thì trong D phải có ít nhất một điểm Mo(xo,yo) sao cho: f ( x , y ) dxdy f ( x o , y o ) S

II.2.4 Cách tính tích phân kép trong hệ trục tọa độ Đề - các

Miền D là hình chữ nhật:

- Cho D là miền phẳng giới hạn bởi hình chữ nhật : a  x  b, c  y  d

  d              c b a d c b a D dx y)dy f(x, dy y)dx f(x, y)dxdy f(x,

Miền D là hình phẳng bất kì:

9 2 x 4 dy x x x y dy x y dx dx x y dxdy x 2

II.2.5 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Trong hệ tọa độ Oxy, điểm M có tọa độ (x,y) được liên kết với bán kính cực r = OM = √(x² + y²) và góc cực φ = (Ox, OM) Bán kính r thể hiện khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm M, trong khi góc φ xác định hướng của điểm M so với trục Ox Công thức liên hệ giữa tọa độ (x,y) và tọa độ cực (r, φ) của cùng một điểm là rất quan trọng trong việc chuyển đổi giữa hai hệ tọa độ này.

- Nếu D là miền phẳng trong hệ tọa đô cực (r,) giới hạn bởi các đường và các tia:

Giải: Chuyển sang tọa độ cực, ta có

II.2.6 Ứng dụng của tích phân kép

Thể tích hình trụ cong (U) được xác định bởi các mặt như mặt phẳng Oxy, mặt trụ (T) với đường sinh song song trục Oz và mặt cong z = f(x,y) Hàm f(x,y) phải liên tục trên miền D trong mặt phẳng Oxy và thỏa mãn điều kiện f(x,y) ≥ 0 với mọi (x,y) thuộc D.

Ví dụ: Tính thể tích hình trụ cong (U) giới hạn bởi các mặt : z = 4 – x 2 – y 2 , x 2 + y 2 = 2, z = 0

V , trong đó D là hình tròn: x 2 + y 2  2

Chuyển sang tọa độ cực, D giới hạn bởi: 0    2, 0r 2

- Diện tích hình phẳng D trên mặt phẳng Oxy:  

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường: x y a

2 ln a x ln x a a dx dy dx dxdy

Mặt cong được xác định bởi phương trình z = f(x,y) nằm trong một mặt trụ đứng có đường sinh song song với trục Oz, với hàm f(x,y) liên tục trên miền D trong mặt phẳng Oxy Diện tích của mặt cong này có thể được tính toán theo công thức nhất định.

Ví dụ: Tính diện tích mặt (P): z = x 2 + y 2 phía trong mặt trụ: x 2 + y 2 = 1

Chuyển sang tọa độ cực, ta có D: 0    2, 0  r  1

     hối ượng của ột n phẳng h ng đ ng chất

Để tính khối lượng của một bản phẳng U trong miền D của mặt phẳng Oxy với khối lượng riêng là hàm liên tục ρ(x,y), ta áp dụng công thức tích phân để xác định tổng khối lượng của bản.

Ví dụ: Tính khối lượng của bản phẳng xác định bởi: x 2 + y 2 – R 2  0, x  0, y  0, biết khối lượng riêng (x,y) = xy

D xydxdy m , với D là ph n hình tròn: x 2 + y 2  R 2 , x  0, y  0 Chuyển sang tọa độ cực, ta có D: 0    /2, 0  r  R

II.3.1 Tích phân đường loại một Định nghĩa

- Cho hàm số f(M) = f(x,y) xác định trên một cung phẳng Chia cung thành n cung nhỏ bởi các điểm 0 = A, A 1 , , A n = Gọi độ dài cung

Ai – 1Ai là si Trên mỗi cung i – 1Ai lấy một điểm

Mi(xi,yi), lập tổng:

Khi n tiến tới vô hạn và max Δsi tiến gần 0, nếu (II.2.4) hội tụ đến một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung và cách chọn điểm Mi trên cung, thì giới hạn này được gọi là tích phân đường loại một của hàm f(x,y) dọc theo cung, ký hiệu là ∫.

Nếu cung trơn và hàm f(x,y) liên tục trên cung, thì tích phân (II.2.5) sẽ tồn tại Tích phân đường loại một có những tính chất tương tự như tích phân xác định Đường cong trơn B được xác định bởi phương trình y = y(x), với a ≤ x ≤ b.

Giải: Phương trình đường tròn có thể viết (x – 1) 2 + y 2 = 1, có phương trình tham số: x = 1 + cost, y = sint, –   t   Do đó: (x) 2 + (y) 2 = 1, x 2 + y 2 = 2 + 2cost cos 2 4 t 2

II.3.2 Tích phân đường loại hai

Độ dài cung Ai – 1 Ai được ký hiệu là Si, với các chiếu của vectơ A i  1 A i lên hai trục Ox và Oy lần lượt là xi và yi Điểm Mi(xi, yi) di chuyển trên cung Ai – 1 Ai từ Ai – 1 đến Ai dưới tác động của lực biến thiên F(M i ) Nếu cung Ai – 1 Ai đủ nhỏ, lực có thể được coi là không đổi.

Khi tổng giới hạn tồn tại hữu hạn khi n tiến tới vô cùng và max ΔSi tiến tới 0, giới hạn này được gọi là công sinh ra khi lực biến thiên F làm vật M di chuyển từ điểm A đến điểm B Đây là định nghĩa của tích phân đường loại hai.

Khi n tiến tới vô cùng và max ΔSi tiến gần 0, nếu tích phân đường loại hai của hai hàm số P(x,y) và Q(x,y) dọc theo đường L từ A đến B đạt một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm Mi(xi,yi) trên cung Ai-1Ai, thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại hai.

Nếu đường cong kín, chiều dương được quy ước ngược với chiều quay của kim đồng hồ Do đó, tích phân đường loại hai trên L theo chiều dương sẽ được ký hiệu tương ứng.

Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân được nêu trong Định lý II.2.1 Theo đó, nếu P(x,y) và Q(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đơn liên D, thì bốn mệnh đề sau đây là tương đương: i) Py = Qx tại mọi điểm (x,y) thuộc D; ii) Pdx + Qdy = 0.

III.1 PHƯ NG TRÌNH VI PH N CẤP MỘT

III.1.1 Khái niệm Định nghĩa III.1.1: Phương trình vi phân cấp một là phương trình dạng:

Để giải phương trình đối với y, ta có thể chuyển đổi phương trình (III.1.1) thành dạng y = f(x,y) hoặc f(x,y) dx dy = 0 (III.1.2), trong đó f là một hàm phụ thuộc vào hai biến độc lập x và y Định nghĩa III.1.1 liên quan đến tính tồn tại của nghiệm.

Phương trình vi phân cấp một có dạng y' = f(x,y) và nếu hàm f(x,y) liên tục trong một miền chứa điểm (xo, yo), thì tồn tại ít nhất một nghiệm y = y(x) sao cho y(xo) = yo Hơn nữa, nếu đạo hàm f'y cũng liên tục, nghiệm này sẽ là duy nhất.

- Điều kiện y = y(x) lấy giá trị y o khi x = x o gọi là điều kiện đ u, ta viết: x o x y y

 ài toán tìm nghiệm của phương trình (III .2) thỏa mãn điều kiện đ u gọi là bài toán Cauchy

Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng

- Ta gọi nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một là hàm: y = (x,C) (III.1.3) trong đó C là một hằng số tùy ý

- Nghiệm riêng của phương trình (III.1.2) là hàm: y = (x,Co) được suy ra từ

(III.1.3) bằng cách thay C = Co cố định

- Phương trình (III .2) có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát, các nghiệm đó gọi là nghiệm kỳ dị của (III .2)

- Nếu nghiệm của phương trình (III.1.2) là hàm:

(x,y,C) = 0 (III.1.4) phương trình (III.1.4) gọi là tích phân tổng quát của phương trình (III.1.2)

III.1.2 Các phương trình khuyết

Ba trường hợp thường gặp là:

) Phương trình giải được đối với y, có dạng y = f(x) hi đó nghiệm tổng quát của phương trình là:

Ví dụ: Giải phương trình vi phân: (x 2 + 3)y – x 3 + 1 = 0

Giải: Phương trình tương đương:

2) Phương trình giải được đối với x, có dạng x = f(y) Đặt y = t, ta có x = f(t), dx = f (t)dt, dy = tdx = tf (t)dt Vậy:

C (t)dt tf' y        , với F(t) là một nguyên hàm của f(t) Ta được phương trình tham số của đường tích phân: x = f(t), y = tf(t) – F(t) + C

Ví dụ: Giải phương trình vi phân: x = (y) 2 + y + 1

Giải: Đặt y = t, x = t 2 + t + 1  dx = (2t + 1)dt, dy = tdx = t(2t + 1)dt Vậy:

Phương trình tham số của đường tích phân:

3) Phương trình có thể tham số hóa: x = f(t), y = g(t) Ta có dy = ydx g(t)f (t)dt Do đó:y g(t)f' (t)dtCF(t)C, với F(t) là một nguyên hàm của g(t)f (t) g(t)f (t)

) Phương trình dạng y = f(y)  f(y) dx dy ấy tích phân hai vế, ta được: x = F(y) + C, với F(y) là một nguyên hàm của hàm f(y)1

Ví dụ: Giải phương trình vi phân:

Giải: Phương trình tương đương: dy

  Tích phân hai vế, ta được:

2) Phương trình dạng: y = f(y) Đặt y = t, suy ra y = f(t), dy = f (t)dt Mặt khác dy

(t) dx  f'  x = F(t) + C, F(t) là một nguyên hàm của hàm t

3) Phương trình tham số hóa của F(y,y) = 0 dưới dạng y = f(t), y = g(t) Ta có dy = f (t)dt = g(t)dx  dt g(t)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân: (y) 2 + y 2 = 1

Giải: Đặt y = cost, y = sint, ta được dy = costdt = costdx Có 2 trường hợp:

- Nếu cost  0 thì dt = dx  t = x + C, y = sin(x + C)

III.1.3 Phương trình vi phân có biến phân li (phương trình tách biến)

Trong đó f1(x) và f2(y) là các hàm của các biến x, y

Lấy tích phân tổng quát, ta được :

Giải: Ta có, tích phân tổng quát: y C 3

- Nếu M2(x)  0 và N1(y)  0, ta chia hai vế (III.1.8) cho tích M2(x) N1(y), ta có:

- Nếu M2(x) = 0 và N1(y) = 0, tại x = a và y = b thì bằng cách thử trực tiếp, ta thấy x = a ( y  b ) và y = b ( x  a ) cũng là nghiệm của (III.1.8)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân: x 2 (y + 1)dx + (x 3 – 1)(y – 1)dy = 0

- Với x 3 – 1  0 và y + 1  0, phương trình đã cho có thể viết:

- Với x 3 – 1 = 0 khi x = 1, y + 1 = 0 khi y = – , ta cũng có các nghiệm riêng là: x

III.1.4 Phương trình đẳng cấp

Cách giải: Đặt: x u y  y = ux  dx xdu u ' y  thay vào (III.1.9), ta có:

- Nếu (u) – u  0, ta có: ln C ( u ) ln C u ) u ( x du u ln ) u ( du x dx   

- Nếu (u) – u = 0 tại u = uo, thì hàm y = u o x cũng là nghiệm của (III.1.9)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân y x y x dx dy

  , đặt x u y  y = ux  dx xdu u ' y  thay vào phương trình, ta có: u 1 u

  tích phân tổng quát, ta được: du ln C u 1 u x 1 ln 2 

2 arctgu 1 x ln    2   ln x 1  u 2  arctgu  ln C hay: x arctg y 2

III.1.5 Phương trình tuyến tính cấp một

Dạng: y + p(x)y = q(x) (III.1.10) trong đó p(x), q(x) là các hàm số theo biến x

- Nếu q(x)  0, ta được phương trình gọi là phương trình tuyến tính thu n nhất : y + p(x)y = 0 (III.1.11) phương trình (III.1.11) có công thức nghiệm:

C.e  p x dx y phương trình (III.1.10) có công thức nghiệm:

Ví dụ: Giải phương trình vi phân y 3 x x

Giải: Ta có: y  C e   dx x  e   dx x  3 x e  dx x dx  C x  x 1  3 x 2 dx  C x  x 2

Dạng: y + p(x)y = q(x).y  (III.1.12) trong đó p(x), q(x) là các hàm số theo biến x

- Nếu  = 0 hay  = ta đưa về dạng (III.1.11) hay (III.1.10), nên ta có thể giả thiết   0 và   1

Với y khác 0, chia hai vế của phương trình (III.1.12) cho y^α, ta có y - α.y' + p(x).y^(1-α) = q(x) Đặt z = y^(1-α), ta chuyển đổi về dạng z' + (1 - α)p(x)z = (1 - α)q(x) Đây là phương trình tuyến tính bậc nhất đối với hàm z Sau khi tìm được nghiệm tổng quát, ta sẽ quay trở lại biến y.

Ta thấy y = 0 cũng là nghiệm của (III.1.12)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân y – 2xy = x 3 y 2

Giải: Với y  0, chia hai vế phương trình trên cho y 2 , ta được: y – 2 y – 2xy – 1 = x 3 Đặt z = y – 1 ta có z = – y – 2 y, ta đưa về phương trình: z + 2xz = – x 3

Bằng cách thử trực tiếp thì y = 0 cũng là nghiệm của phương trình trên

III.1 Phương trình vi phân toàn ph n

7 Phương trình vi phân toàn ph n

PHƯ NG TRÌNH VI PH N CẤP HAI

Khi n tiến tới vô cùng và maxΔsi tiến tới 0, nếu (II.2.4) hội tụ đến một giới hạn xác định không phụ thuộc vào cách chia cung và cách chọn điểm Mi trên cung, giới hạn này được gọi là tích phân đường loại một của hàm f(x,y) dọc theo cung, ký hiệu là ∫.

Nếu cung trơn và hàm f(x,y) liên tục trên cung, thì tích phân (II.2.5) sẽ tồn tại Tích phân đường loại một sở hữu các tính chất tương tự như tích phân xác định Đường cong B trơn được xác định bởi phương trình y = y(x), với a ≤ x ≤ b.

Giải: Phương trình đường tròn có thể viết (x – 1) 2 + y 2 = 1, có phương trình tham số: x = 1 + cost, y = sint, –   t   Do đó: (x) 2 + (y) 2 = 1, x 2 + y 2 = 2 + 2cost cos 2 4 t 2

II.3.2 Tích phân đường loại hai

Độ dài cung Ai – 1 Ai được ký hiệu là Si, trong đó vectơ A i  1 A i được chiếu lên hai trục Ox và Oy với các giá trị lần lượt là xi và yi Điểm Mi(xi,yi) di chuyển trên cung Ai – 1 Ai dưới tác động của lực biến thiên F(M i ) Nếu cung Ai – 1 Ai đủ nhỏ, lực có thể được coi là không đổi.

Khi giới hạn của tổng tồn tại hữu hạn khi n tiến tới vô cùng và maxΔSi tiến tới 0, giới hạn này được gọi là công sinh ra khi lực biến thiên F tác động lên M để di chuyển từ A đến B Đây là định nghĩa của tích phân đường loại hai.

Khi n tiến tới vô cùng và max ΔSi tiến tới 0, nếu tích phân đường loại hai của hai hàm số P(x,y) và Q(x,y) dọc theo đường L từ A đến B đạt một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm Mi(xi,yi) trên cung Ai-1 Ai, thì giới hạn đó được ký hiệu là: \[\int_{A}^{B} Q(x,y) \, dx + \int_{A}^{B} P(x,y) \, dy.\]

Nếu đường cong là kín, ta quy ước chiều dương ngược với chiều quay của kim đồng hồ Tích phân đường loại hai trên đường L theo chiều dương sẽ được kí hiệu tương ứng.

Để tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi, cần thỏa mãn điều kiện theo Định lý II.2.1: Nếu P(x,y) và Q(x,y) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục trong miền đơn liên D, thì bốn mệnh đề sau đây là tương đương: i) Py = Qx tại mọi điểm (x,y) thuộc D ii) Tích phân đường Pdx + Qdy = 0.

III.1 PHƯ NG TRÌNH VI PH N CẤP MỘT

III.1.1 Khái niệm Định nghĩa III.1.1: Phương trình vi phân cấp một là phương trình dạng:

Để giải phương trình đối với y, chúng ta có thể chuyển đổi phương trình (III.1.1) thành dạng y = f(x,y) Từ đó, ta có thể biểu diễn nó dưới dạng f(x,y) dx dy = 0 (III.1.2), trong đó f là một hàm phụ thuộc vào hai biến độc lập x và y Định lý III.1.1 liên quan đến tính tồn tại của nghiệm.

Phương trình vi phân cấp một có dạng y' = f(x,y) Nếu hàm f(x,y) liên tục trong miền chứa điểm (xo, yo), thì tồn tại ít nhất một nghiệm y = y(x) của phương trình, với giá trị y tại x = xo là yo Hơn nữa, nếu đạo hàm f' theo y cũng liên tục, thì nghiệm này sẽ là duy nhất.

- Điều kiện y = y(x) lấy giá trị y o khi x = x o gọi là điều kiện đ u, ta viết: x o x y y

 ài toán tìm nghiệm của phương trình (III .2) thỏa mãn điều kiện đ u gọi là bài toán Cauchy

- Ta gọi nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp một là hàm: y = (x,C) (III.1.3) trong đó C là một hằng số tùy ý

- Nghiệm riêng của phương trình (III.1.2) là hàm: y = (x,Co) được suy ra từ

(III.1.3) bằng cách thay C = Co cố định

- Phương trình (III .2) có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát, các nghiệm đó gọi là nghiệm kỳ dị của (III .2)

(x,y,C) = 0 (III.1.4) phương trình (III.1.4) gọi là tích phân tổng quát của phương trình (III.1.2)

) Phương trình giải được đối với y, có dạng y = f(x) hi đó nghiệm tổng quát của phương trình là:

Ví dụ: Giải phương trình vi phân: (x 2 + 3)y – x 3 + 1 = 0

Giải: Phương trình tương đương:

2) Phương trình giải được đối với x, có dạng x = f(y) Đặt y = t, ta có x = f(t), dx = f (t)dt, dy = tdx = tf (t)dt Vậy:

C (t)dt tf' y        , với F(t) là một nguyên hàm của f(t) Ta được phương trình tham số của đường tích phân: x = f(t), y = tf(t) – F(t) + C

Ví dụ: Giải phương trình vi phân: x = (y) 2 + y + 1

Giải: Đặt y = t, x = t 2 + t + 1  dx = (2t + 1)dt, dy = tdx = t(2t + 1)dt Vậy:

Phương trình tham số của đường tích phân:

3) Phương trình có thể tham số hóa: x = f(t), y = g(t) Ta có dy = ydx g(t)f (t)dt Do đó:y g(t)f' (t)dtCF(t)C, với F(t) là một nguyên hàm của g(t)f (t) g(t)f (t)

) Phương trình dạng y = f(y)  f(y) dx dy ấy tích phân hai vế, ta được: x = F(y) + C, với F(y) là một nguyên hàm của hàm f(y)1

Giải: Phương trình tương đương: dy

  Tích phân hai vế, ta được:

2) Phương trình dạng: y = f(y) Đặt y = t, suy ra y = f(t), dy = f (t)dt Mặt khác dy

(t) dx  f'  x = F(t) + C, F(t) là một nguyên hàm của hàm t

3) Phương trình tham số hóa của F(y,y) = 0 dưới dạng y = f(t), y = g(t) Ta có dy = f (t)dt = g(t)dx  dt g(t)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân: (y) 2 + y 2 = 1

Giải: Đặt y = cost, y = sint, ta được dy = costdt = costdx Có 2 trường hợp:

- Nếu cost  0 thì dt = dx  t = x + C, y = sin(x + C)

III.1.3 Phương trình vi phân có biến phân li (phương trình tách biến)

Trong đó f1(x) và f2(y) là các hàm của các biến x, y

Lấy tích phân tổng quát, ta được :

Giải: Ta có, tích phân tổng quát: y C 3

- Nếu M2(x)  0 và N1(y)  0, ta chia hai vế (III.1.8) cho tích M2(x) N1(y), ta có:

- Nếu M2(x) = 0 và N1(y) = 0, tại x = a và y = b thì bằng cách thử trực tiếp, ta thấy x = a ( y  b ) và y = b ( x  a ) cũng là nghiệm của (III.1.8)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân: x 2 (y + 1)dx + (x 3 – 1)(y – 1)dy = 0

- Với x 3 – 1  0 và y + 1  0, phương trình đã cho có thể viết:

- Với x 3 – 1 = 0 khi x = 1, y + 1 = 0 khi y = – , ta cũng có các nghiệm riêng là: x

III.1.4 Phương trình đẳng cấp

Cách giải: Đặt: x u y  y = ux  dx xdu u ' y  thay vào (III.1.9), ta có:

- Nếu (u) – u  0, ta có: ln C ( u ) ln C u ) u ( x du u ln ) u ( du x dx   

- Nếu (u) – u = 0 tại u = uo, thì hàm y = u o x cũng là nghiệm của (III.1.9)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân y x y x dx dy

  , đặt x u y  y = ux  dx xdu u ' y  thay vào phương trình, ta có: u 1 u

  tích phân tổng quát, ta được: du ln C u 1 u x 1 ln 2 

2 arctgu 1 x ln    2   ln x 1  u 2  arctgu  ln C hay: x arctg y 2

III.1.5 Phương trình tuyến tính cấp một

Dạng: y + p(x)y = q(x) (III.1.10) trong đó p(x), q(x) là các hàm số theo biến x

- Nếu q(x)  0, ta được phương trình gọi là phương trình tuyến tính thu n nhất : y + p(x)y = 0 (III.1.11) phương trình (III.1.11) có công thức nghiệm:

C.e  p x dx y phương trình (III.1.10) có công thức nghiệm:

Ví dụ: Giải phương trình vi phân y 3 x x

Giải: Ta có: y  C e   dx x  e   dx x  3 x e  dx x dx  C x  x 1  3 x 2 dx  C x  x 2

Dạng: y + p(x)y = q(x).y  (III.1.12) trong đó p(x), q(x) là các hàm số theo biến x

- Nếu  = 0 hay  = ta đưa về dạng (III.1.11) hay (III.1.10), nên ta có thể giả thiết   0 và   1

Với y ≠ 0, chia hai vế của phương trình (III.1.12) cho y^α, ta có được phương trình mới: y - α.y' + p(x).y^(1 - α) = q(x) Đặt z = y^(1 - α), ta chuyển đổi về dạng z' + (1 - α)p(x)z = (1 - α)q(x), đây là phương trình tuyến tính bậc nhất đối với hàm z Sau khi tìm được nghiệm tổng quát, ta sẽ quay trở lại biến y.

Ta thấy y = 0 cũng là nghiệm của (III.1.12)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân y – 2xy = x 3 y 2

Giải: Với y  0, chia hai vế phương trình trên cho y 2 , ta được: y – 2 y – 2xy – 1 = x 3 Đặt z = y – 1 ta có z = – y – 2 y, ta đưa về phương trình: z + 2xz = – x 3

Bằng cách thử trực tiếp thì y = 0 cũng là nghiệm của phương trình trên

III.1 Phương trình vi phân toàn ph n

Dạng phương trình vi phân P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 (III.1.13) trong đó P(x,y) và Q(x,y) là các hàm liên tục cùng với đạo hàm riêng cấp một trong miền đơn liên D, thỏa mãn điều kiện P'y = Q'x Phương trình này cho thấy Pdx + Qdy là vi phân toàn phần của một hàm u(x,y) nào đó Nếu miền D = R², hàm u(x,y) sẽ được xác định theo các điều kiện trên.

   hi đó phương trình (III 3) có thể viết lại: du(x,y) = 0

Tích phân tổng quát: u(x,y) = C (III.1.14)

Ví dụ: Giải phương trình [(1+ x + y)e x +e y ]dx +[e x +xe y ]dy = 0

Tích phân tổng quát của phương trình: (x + y)e x +xe y = C

III.2 PHƯ NG TRÌNH VI PH N CẤP HAI

III.2.1 Khái niệm Định nghĩa III.2.1: Phương trình vi phân cấp hai là phương trình dạng:

Nếu giải được phương trình đối với y'', ta có thể chuyển đổi (III.2.1) thành dạng y'' = f(x,y,y') (III.2.2), trong đó f là một hàm phụ thuộc vào các biến độc lập x, y, y' Đây là định lý III.2.1 về sự tồn tại của nghiệm.

Phương trình vi phân cấp hai có dạng y'' = f(x,y,y') Nếu hàm f(x,y,y') liên tục trong miền chứa điểm (xo;yo;y'o), thì tồn tại nghiệm y = y(x) cho phương trình này Nghiệm y(x) và đạo hàm y' tại x = xo sẽ nhận giá trị đã cho, cụ thể là y(xo) = yo và y'(xo) = y'o.

 cũng liên tục thì nghiệm ấy là duy nhất

- Điều kiện y và ylấy tại x = xo các giá trị yo, yo gọi là các điều kiện đ u, ta viết: x o x y y

- Ta gọi nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp hai là hàm: y = (x,C1,C2) (III.2.3) trong đó C 1 ,C2 là các hằng số tùy ý

- Nghiệm riêng của phương trình (III.2.2) là hàm  o 2  o

1,C C , x y được suy ra từ (III.2.3) bằng cách lấy những giá trị cố định C 1 o , C o 2

- Phương trình (III.2.2) có thể có một số nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát, các nghiệm đó gọi là nghiệm kỳ dị của (III.2.2)

(x,y, C1,C2) = 0 (III.2.4) (III.2.4) gọi là tích phân tổng quát của phương trình (III.2.2)

Nghiệm tổng quát của (III.2.5) là:

Ví dụ: Giải phương trình vi phân x2

Giải: Ta có: 2 dx C1x C2 x 1 xdx y 2   

Với các điều kiện đ u, ta có : C 1 = 0, C 2 = 1 vậy: y = xln(1 + x 2 ) + 2arctgx + 1

- Đặt y = p, ta đưa (III.2.6) về dạng: p = f(x,p) là phương trình vi phân cấp một cho hàm p Nếu giải được ta có nghiệm tổng quát : p = (x,C1) hay y = (x,C1)

Vậy nghiệm tổng quát của (III.2.6) là:

Ví dụ : Giải phương trình vi phân x

Giải: Đặt y = p, ta có: x x p ' p   đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp một, nên có nghiệm: x

' dp ' y  thay vào (V.2.9), ta có:

( f p dy. dp  , nếu phương trình giải được, ta có p = (y,C1) hay (y,C ) dx dy

Ví dụ: Giải phương trình vi phân 2y.y + (y) 2 = 0 (*)

' dp ' y  thay vào (*) ta được : p 0 dy ypdp

2  2  (**) + Với p = 0, ta được y = C là nghiệm của (**), nên cũng là nghiệm của (*)

+ Với p  0, ta có: p 0 dy ydp

III.2.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Định nghĩa III.2.2: Phương trình tuyến tính cấp hai, có dạng: y + P(x).y + Q(x).y = f(x) (III.2.8) trong đó P(x), Q(x), f(x) là các hàm số theo biến x

- Nếu f(x) = 0, ta gọi là phương trình tuyến tính cấp hai thu n nhất: y + P(x).y + Q(x).y = 0 (III.2.9) ghiệ của phương trình tu ến tính cấp hai thuần nhất

- Xét phương trình: y + P(x).y + Q(x).y = 0 (III.2.9) Định III.2.2: Nếu y 1 (x), y 2 (x) là các nghiệm độc lập tuyến tính với nhau của

(III.2.9) thì y = C1 y1(x) + C2 y2(x) (C1, C2 là các hằng số) là nghiệm tổng quát của phương trình (III.2.9) ( hai hàm số y 1 (x), y2(x) là độc lập tuyến tính với nhau nếu y1(x)  k.y2(x), k là hằng số)

Định lý III.2.3 chứng minh rằng nếu y1(x) là một nghiệm riêng của phương trình (III.2.9), thì nghiệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính với y1(x) sẽ có dạng y2(x) = u(x) * y1(x).

- Để tìm hàm u(x), ta l n lượt lấy các đạo hàm đến cấp hai, thay vào (III.2.9) cho kết quả u(x)

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

  , biết một nghiệm riêng của nó là y1 = x

Giải: Đặt y 2 = u.x  y2 = u.x+ u; y2 = u.x + 2u thay vào phương trình trên

Lấy tích phân tổng quát, ta được: 

 y2 = x 2 + 1 Vậy nghiệm tổng quát là: y = C1x + C2(x 2 + 1) ghiệ của phương trình tu ến tính cấp hai tổng quát

- Xét phương trình: y + P(x).y + Q(x).y = f(x) (III.2.8) phương trình: y + P(x).y + Q(x).y = 0 là phương trình tuyến tính thu n nhất tương ứng với phương trình (III.2.8)

Giả sử rằng phương trình (III.2.9) có nghiệm tổng quát là y = C1 y1(x) + C2 y2(x), trong đó C1 và C2 là các hằng số Nghiệm tổng quát của phương trình (III.2.8) cũng có dạng tương tự, với C1 và C2 là các hàm số phụ thuộc vào biến x Để tìm ra các hàm C1 và C2, chúng ta sử dụng một hệ phương trình.

Giải hệ trên ta tìm được: C1 = 1(x), C2 = 2(x) hi đó:

Nghiệm tổng quát của (III.2.8) là:

Ví dụ: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: x x

Giải: Trước hết ta tìm nghiệm của phương trình tuyến tính thu n nhất: 0 x

- Xét C1, C2 là các hàm của biến x, ta có :

Vậy : Nghiệm tổng quát của phương trình trên là: 2

Đ I CƯ NG VỀ CHU I SỐ

Định nghĩa IV.1.1: Cho dãy vô hạn các số u1, u2, , un, Biểu thức:

 (IV.1.1) gọi là chuỗi số, trong đó u 1 , u 2 , , u n , là các số hạng, trong đó u n gọi là số hạng tổng quát

S là tổng riêng thứ n của chuỗi số (IV.1.2)

- Xét dãy tổng riêng {Sn}, nếu: lim S n S n 

1 n u hội tụ, S là tổng của n nó và ta viết:  

- Nếu khi n   , {Sn} không dẫn tới một giới hạn xác định, ta nói  

1 n u hội tụ có tổng S, ta gọi rn n = S – Sn là số dư thứ n của dãy số

Ví dụ: Xét chuỗi số a.q a aq aq 2 aq n 1

- Nếu q < 1 : chuỗi là cấp số nhân lùi vô hạn, có 

 , Sn có giới hạn không xác định, chuỗi phân kì

. a hội tụ khi q < 1 , phân kì khi q  1 Định IV.1.1: Nếu chuỗi số  

Ví dụ: Xét tính hội tụ của chuỗi số  

 Vậy chuỗi số trên phân kì

 thì không có kết luận gì về tính hội tụ của chuỗi  

 n nlim S , chuỗi phân kì ( Dù 0 n lim 1 u lim n n n  

Một số tính chất của chuỗi số

Tính chất 1: Nếu chuỗi số  

1 n u hội tụ có tổng S, thì chuỗi số n  

1 n au cũng hội tụ n có tổng bằng aS

Tính chất 3: Tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đ u tiên.

CHU I SỐ DƯ NG

Định nghĩa IV.2.1: Chuỗi số  

1 n u gọi là chuỗi số dương nếu mọi số hạng của n nó đều là số dương

Khi các số hạng trong chuỗi số là số âm, ta có một chuỗi số âm Việc nghiên cứu các tính chất của chuỗi số âm tương tự như nghiên cứu chuỗi số dương.

Nhận xét : Cho chuỗi số dương  

1 n u , Sn n là tổng riêng thứ n và S n+1 là tổng riêng thứ n + 1 thì Sn+1 > Sn, vậy {Sn} là dãy tăng, nếu {Sn} bị chặn trên thì chuỗi hội tụ.

2 Các định lí so sánh

Các tiêu chuẩn hội tụ

2n n hội tụ Định I 2.4: ( Tiêu chuẩn Cauchy )

3 phân kì Định I 2.5: ( Tiêu chuẩn tích phân )

Hàm n liên tục f(x) có các số hạng tương ứng với giá trị tại các trị số nguyên dương của đối số Hàm f(x) này đơn điệu giảm trong khoảng từ 1 đến vô cùng dương.

1 đơn điệu giảm trong khoảng [1 ; +), đặt:     

1 hội tụ khi  > 1, phân kì khi   1

Chuỗi trên có tên gọi là chuỗi điều hòa.

CHU I SỐ CÓ DẤU BẤT KÌ

IV.3.1 Chuỗi đan dấu Định nghĩa IV.3.1: Chuỗi số:

  (IV.3.1) gọi là chuỗi đan dấu Định IV.3.1: ( Tiêu chuẩn Leibnitz )

Nếu dãy {un} đơn điệu giảm và giới hạn của un khi n tiến tới vô cùng là 0, thì chuỗi đan dấu (IV.1.3) sẽ hội tụ, với tổng không vượt quá số hạng đầu tiên.

Thỏa mãn các điều kiện của tiêu chuẩn Leibnitz nên hội tụ Chuỗi trên có tên gọi là chuỗi đan dấu điều hòa

IV.3.2 Chuỗi có dấu bất kì, sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ

- Với chuỗi số có dấu bất kì ta có định lí so sánh sau: Định I 3.2: Nếu chuỗi số  

1 n u hội tụ chỉ là điều kiện đủ Chẳng hạn chuỗi số n

61 Định nghĩa IV.3.2: Chuỗi số  

1 n u gọi là hội tụ tuyệt đối nếu nó và n  

1 n u không hội tụ, ta nói n  

1 n v hội tụ tuyệt đối có tổng là Sn 1,S2 thì tích của chúng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng là S = S1.S2

Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối với tổng là S, thì việc thay đổi tùy ý các số hạng trong chuỗi đó vẫn sẽ dẫn đến sự hội tụ tuyệt đối với tổng là S.

Khi thay đổi tùy ý các số hạng của một chuỗi hội tụ, có thể tạo ra một chuỗi mới hội tụ về một tổng khác hoặc dẫn đến sự phân kỳ.

CHU I LŨY THỪA

IV.4.1 Khái niệm Định nghĩa IV.4.1: Ta gọi chuỗi hàm là chuỗi mà các số hạng của nó là các hàm theo biến số x:

- Nếu cho x = xo , ta được chuỗi số:  

Nếu chuỗi số (IV.4.2) hội tụ, điểm xo được gọi là điểm hội tụ của chuỗi (IV.4.1), và tập hợp các điểm hội tụ này được gọi là miền hội tụ của chuỗi (IV.4.1) Ngược lại, nếu chuỗi số (IV.4.2) phân kỳ, điểm xo sẽ được xem là điểm phân kỳ của chuỗi (IV.4.1).

S gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (IV.4.1) Nếu ) x ( S ) x

 ta gọi S(x) là tổng của (IV.4 ), trong trường hợp hợp đó ta nói chuỗi (IV.4.1) hội tụ về hàm S(x)

S   khi x < 1, và phân kì khi x  1 Vậy miền hội tụ của chuỗi trên là (– 1 ; 1 ) Định I 4.1: (Tiêu chuẩn Weierst’rass )

1 n n(x) u Nếu có một chuỗi số dương  

1 n a hội tụ vàun n( x)  an

Ví dụ: Xét sự hội tụ của chuỗi hàm:  

1 n n n n x hội tụ tuyệt đối Định nghĩa IV.4.2: Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm, có dạng: a (x x ) a o a 1 (x x o ) a n (x x o ) n

- Với xo = 0, ta có chuỗi lũy thừa:

Chú ý: Chuỗi (IV.4.3) có thể đưa về chuỗi (IV.4.4) bằng phép đổi biến x – xo = x vì vậy ta chỉ c n nghiên cứu chuỗi (IV.4.4) Định IV.4.2: (Định l Abel )

- Nếu chuỗi (IV.4.4) hội tụ tại x = xo  0 thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x: x < xo

Hệ quả: Nếu chuỗi (IV.4.4) phân kì tại x = x o thì nó phân kì tại mọi x: x > xo

- Khi x = 0 thì chuỗi (IV.4.4) hội tụ về a o Vậy chuỗi (IV.4.4) luôn có điểm hội tụ

Theo định lý Abel, nếu \( x_0 \) là điểm hội tụ, thì mọi điểm trong khoảng \((-|x_0|; |x_0|)\) cũng là điểm hội tụ Ngược lại, nếu \( x_0 \) là điểm phân kỳ, thì mọi điểm trong các khoảng \((- \infty; -|x_0|)\) và \((|x_0|; + \infty)\) đều là điểm phân kỳ Do đó, tồn tại một số \( 0 \leq r < + \infty \) để chuỗi (IV.4.4) hội tụ tuyệt đối trong khoảng \((-r; r)\) và phân kỳ trong các khoảng \((- \infty; -r)\) và \((r; + \infty)\).

Số r được gọi là bán kính hội tụ và khoảng(– r ; r) của chuỗi (IV.4.4)

Quy tắc tìm bán kính hội tụ Định I 4.3: Nếu ρ a lim a n

Ví dụ: Tìm bán kính và miền hội tụ của chuỗi lũy thừa: n

 là chuỗi điều hòa nên phân kì

 là chuỗi đan dấu nên hội tụ

Vậy miền hội tụ của chuỗi trên là [– 1 ; 1)

IV.4.2 Khai triển một hàm sơ cấp theo chuỗi lũy thừa

Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm xo và có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa, ta có thể viết f(x) = ao + a1(x – xo) + a2(x – xo)² + + an(x – xo)ⁿ + với ai là các hằng số Trong đó, ao = f(xo) và a1 = f'(xo),

Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin là hai khái niệm quan trọng trong toán học Định nghĩa I.4.4 chỉ ra rằng, nếu hàm số f(x) có đạo hàm đến mọi cấp trong một lân cận của điểm x₀ và trị tuyệt đối của các đạo hàm đó bị chặn bởi một số nhất định, thì f(x) có thể được khai triển thành chuỗi Taylor trong lân cận đó.

Khai triển một số hà sơ cấp thành chuỗi Maclaurin

- Trong ph n này ta sẽ khai triển một số hàm sơ cấp thành chuỗi Maclaurin:

1) f(x) = e x : Với mọi x, ta đều có f (n) (x) = e x , hơn nữa f (n) (0) = e o = Do đó chuỗi

Maclaurin của hàm số e x là:

 2 n π x sin ) x ( f ( n ) và f ( n ) ( x )  1, x Ta lại có: f(0) = f (2k) (0) = 0, f (4k+1) (0) = 1, f (4k+3) (0) = – Do đó chuỗi Maclaurin của hàm số sinx là:

3) f(x) = (1 + x)  : Ta có: f(0) = 1, f(0) = , f(0) = ( – 1), , f (n) (0) = ( – 1) (  – n + ) Do đó chuỗi Maclaurin của hàm số (1 + x)  là:

Tìm khoảng hội tụ của chuỗi đó, ta có:

Vậy chuỗi hội tụ khi x < 1 Chuỗi (III.2.11) gọi là chuỗi nhị thức Đặc biệt khi n = – 1: 1 x x ( 1 ) x x 1

IV.4.3 Ứng dụng chuỗi để tính g n đúng

- Giả sử f(x) khai triển được thành một chuỗi Taylor trong một lân cận của điểm xo

Vì x – xo khá nhỏ, nên ta có thể cho : n o o

Tùy theo độ chính xác cho trước, ta có thể xác định được số số hạng c n lấy ở vế phải của (IV.4.7)

Ví dụ: Tính số e với độ chính xác đến 0,00001

Giải: Ta có công thức g n đúng tính số e:

2 x      , số e chính là trị của hàm e x khi x = 1

Với mọi x  [0 ; 1], ta có: f ( n  1 ) ( x ) e x e Do đó:

  Để tính e với đô chính xác 0,0000 ; ta c n xác định n sao cho: 0 00001

1 Tính tổng riêng và tổng (nếu có) của các chuỗi số sau:

2 Xét tính hội tụ ( phân kì ) của các chuỗi số sau:

3 Chứng minh rằng các chuỗi số  

4 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

5 Khai triển Maclaurin cho các hàm sơ cấp sau:

6 Tính g n đúng ln2 với độ chính xác đến 0,00001

Tiêu đề	Toán Ứng Dụng A
Tác giả	Nguyễn Minh Tuấn, ê Nguyễn ăng Châu
Trường học	Trường Cao Đẳng Kinh Tế - Kỹ Thuật Vinatex TP.HCM
Chuyên ngành	Công Nghệ Thông Tin
Thể loại	Giáo Trình
Năm xuất bản	2019
Thành phố	TP.HCM

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	1,32 MB