Chuyen de ham so

Tìm điều kiện để các điểm cực đại , c ực tiểu nằm về hai phía một đường thẳng cho trước.. Bài 1.[r]

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ

BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định (a, b); x1, x2(a, b)

+ f hàm số tăng (đồng biến) (a, b) x1 < x2 f(x1) < f(x2) + f hàm số giảm (nghịch biến) (a, b) x1 < x2 f(x1) > f(x2) + Hàm số tăng, giảm gọilà hàm số đơn điệu

(*) Đặt x x1 x2 y= f(x1) - f(x2) + Nếu 0

  y x

 hàm số đồng biến + Nếu 0

  y x

 hàm số nghịch biến 2 Định lý 1

+ Nếu f'(x)0 x(a,b) f(x) tăng (a, b) + Nếu f'(x)0 x(a,b) f(x) giảm (a, b) + Nếu f'(x)0 x(a,b) f(x) = const

3 Định lý

+ f(x) tăng (a, b) f'(x)0 x(a,b) + f(x) giảm (a, b) f'(x)0 x(a,b) (ta không xét trường hợp f'(x)0)

4 Chú ý

Cho hàm số y = f(x, m) (m: tham số)

+ Điều kiện để hàm số đồng biến (a, b) f'(x,m)0 x(a,b) + Điều kiện để hàm số nghịch biến (a, b) f'(x,m)0 x(a,b) 5 Điểm tới hạn hàm số

a Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định (a, b) Điểm x0 (a, b); x0 gọi điểm tới hạn hàm số f'(x0)0 f'(x0) không xác định

b Chú ý

Giả sử x1, x2 hai điểm tới hạn kề hàm số f(x) khoảng (x1, x2) f'(x) giữ nguyên dấu

B Phương pháp giải toán

I Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số Phương pháp: - Tìm miền xác định hàm số

- Tính đạo hàm y' tìm điểm tới hạn - Xét dấu y' lập bảng biến thiên VD1: Tìm điểm tới hạn hàm số

y = x3 – 2x2 + x + x

x x

y

2

  

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD2: Xét tính đơn điệu hàm số sau:

a y = -2x3 – 3x2 + 12x + (NB/(-2, 1); ĐB/(-, -2) (1, +)) b

1 2

   

x x x

y (ĐB/(-, )

2 10 1 (

2 10

1 , +); NB/( 10

1 ,1) (1, 10 1 ) c y 2xx2 (ĐB/(0, 1); NB/(1, 2)

d

2 2

    

x x x

y (ĐB/(-5, -2) (-2, 1); NB/(-, -5) (1, +)

VD3: Xét tính đơn điệu hàm số f(x) = sinx khoảng (0, 2 )

Giải + Hàm số cho xác định (0,2 )

+ Ta có f’(x) = cosx, x (0,2 )

f’(x) = 0, x (0, 2 ) ,

  x

2 3  x + Lập bảng biến thiên:

x f'(x)

f(x)

/2

0

+ +

3 /2

-0

0

1

-1

0

Hàm số đồng biến trên…; hàm số nghịch biến trên… VD4: Khảo sát biến thiên hàm số:

a y = 2x – sin2012x b y = xx

Giải a

+ TXĐ: D = R

+ Ta có y’ = – cos2012x > Vậy hàm số tăng R

b

+ TXĐ: D = (0, +)

+ ln vế: lny = lnxx  ' x'lnx(lnx)'.xlnx1 y' x (lnx1) y

y x

e x

y'0 1 (y’ không xác định x0) + Lập bảng biến thiên:

x y'

y

0 1/e +

0

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD5: Xét chiều biến thiên hàm số sau:

  

 x x x

y

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có:

1

1

1 2

'

2

2

  

 

    

x x x

x x

x x

x y

Xét:

g(x) = x2 x12x1 4x2 4x42x1 (2x1)2 32x1|2x1|2x10 x Vậy y’ > x nên hàm số cho đồng biến R

BT1 Xét chiều biến thiên hàm số sau: a y = x3 – 3x2 + 4x – b y =

3

x3 + x2 – 3x + c

1 2

  

x x x

y d

2 2

    

x x x y

BT2 Xét chiều biến thiên hàm số sau:

a yx xx2 b y x2 3x2 BT3 Xét chiều biến thiên hàm số sau:

a y = x3 + x – cosx – b y = cosx khoảng (0, 2 ) c y = sin x + cosx khoảng (0, ) d y = cos2x – 2x +

II Dạng 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu khoảng cho trước Phương pháp: Sử dụng định lý 2:

+ f(x) tăng (a, b) f'(x)0 x(a,b) + f(x) giảm (a, b) f'(x)0 x(a,b) *) Hàm số y = f(x, m) tăng    '0    '0

 y I

x y

I x

I x

*) Hàm số y = f(x, m) giảm    '0    '0  y Max I

x y

I x

I x

VD1: Tìm m để hàm số sau ln giảm R: (2 1) 3

1 )

(      

 f x x x m x m

y

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có: y’ = -x2 + 4x + 2m + 1, ' = 2m + + Lập bảng xét dấu '

m ' y'

-5

- +

+

0

-*) m = -5/2 y'(x2)2 0, xR Hàm số nghịch biến R

*) m < -5/2 y'0,xR Hàm số nghịch biến R

*) m > -5/2 y'0 có nghiệm x1, x2 (x1< x2) Hàm số đồng biến khoảng (x1< x2) Không thỏa mãn

+ Vậy hàm số nghịch biến R

2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD2: Tìm a để hàm số sau tăng R:

3 )

(    

 f x x ax x

y

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có y’ = x2 + 2ax + 4, ' = a2 - + Lập bảng xét dấu:

a ' y'

-2

- +

0

- +

0 +

VD3: Tìm m để hàm số y = x + mcosx đồng biến R Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có: y’ = – msinx

Cách 1: hàm số đồng biến R  y'0,xR 1msinx0,xRmsinx1,xR (1) *) m = (1) ln

*) m > (1) sin  1,  1 0m1

m R

x m x

*) m < (1) sin  1,  1 1m0

m R

x m x Vậy 1m1

Cách 2: hàm số đồng biến R

0 ) ; min( ' ,

0

'       

 y x R y m m 1

0

0

    

 

 

 

 m

m m

VD4: Tùy theo m khảo sát biến thiên hàm số: 1) 2

1 (

1

    

 x m x mx

y

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có y'x2 (m2)x2m;  = m2 + 4m + – 8m = (m – 2)2 *) Nếu m = 0 y'0,xR hàm số đồng biến R

*) Nếu m  20 y'0 có nghiệm phân biệt:   

 

m x x 2 Ta có x1 – x2 = – m

- Với m >  x1 < x2, ta có bảng biến thiên:

x y'

y

2

- m +

0

-Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số - Với m < 2 x1 > x2, ta có bảng biến thiên:

x y'

y

m

- +

0

- +

-Kết luận:

- Với m = 2: hàm số đồng biến R

- Với m > 2: hàm số ĐB/(2, m); NB/(-, 2) (m, +) - Với m < 2: hàm số ĐB/(m, 2); NB/(-, m) (2, +) VD5: Cho hàm số:

1      m x m mx y

a Tìm m để hàm số tăng khoảng xác định b Tìm m để hàm số đồng biến trên(4, )

c Tìm m để hàm số nghịch biến (,3)

Giải + Miền xác định: D = R\m1

+ Ta có:

 2

2 '      m x m m y

a Hàm số tăng khoảng xác định                            ) ( ) ( ' m m m x m m m x y

b Hàm số tăng (4, ):

                                                                5 1 ) , ( 1 ) , ( ' m m m m m m m m m m m x y

c Hàm số giảm trên(,3):

1 3 1 ) , ( 1 ) , ( '                                             m m m m m m m x y

VD6: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 +3mx – a Tăng TXĐ

b Giảm (-1, +) c Tăng (-2, 3)

Giải + TXĐ: D = R

+ y’ = 3x2 + 6x + 3m

a Để hàm số tăng TXĐ y'0 xR '0m1

b Để hàm số giảm (-1, +) thì: y'0 x(1,)3x2 6x3m0 x(1,)(*)

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số c Để hàm số tăng (-2, 3) y'0 x(2,3)x2 2xm

Đặt g(x) = x2 + 2x

g’(x) = 2x + g’(x) = x = -1 Lập bảng biến thiên:

x g'(x)

g(x)

-2 -1 -3 +

-0

+

0

8

8

8

Trên BBT ta thấy ming(x)/(-2, -3) = g(-1) = -1

Vậy điều kiện để bphương trình x22xm nghiệm x(2,3) -m1m1

VD7: Tìm m để hàm số sau: a

m x mx x f y

  

 ( ) giảm (-, 1)

b y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến (- 1, 1)

Giải a

+ TXĐ: D = R\m + Ta có:

x m x m

m x f

y 

  

 '( ) ,

' 2

2

+ Hàm số nghịch biến khoảng (-, 1)

1

1 2

1 )

1 , (

) , ( ,

0

'

     

 

 

    

 

 

   

 

  

   

 m

m m m

m m

x y

Vậy 2m1

b y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m + TXĐ: D = R

+ Ta có: ' '( )    

 f x x x m

y

Cách 1:

Hàm số cho nghịch biến khoảng (-1, 1)  f'(x)0,x(1,1)

 x  x m x   g x m  ( ) )

1 , ( , ) (

] , [

Xét hàm số ( ) (3 1), ( 1,1)      

 x x x

x g

g'(x)6x60,x(1,1) g(x) nghịch biến (-1, 1) Ta có: lim ( )

1

 

  

x g x

; lim ( ) 10

 

  

x g x

x f'(x)

f(x)

-1 -1

-2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Cách 2:

6 ) (

'' x  x f

1

) (

'' x   x 

f Do hàm số cho nghịch biến khoảng (-1, 1) lim ( ) 10

1 

 

   g x m

x Vậy m 10

Cách 3:

Điều kiện để hàm số nghịch biến (-1, 1) y'0 x(1,1)

Vì y’ liên tục R nên y’ liên tục x = -1 va x = nên y'0 x(1,1) y'0 x[1,1] x

m x x x

g( )3 6  10  [1,1] 

Khi g(x) phải có nghiệm phân biệt x1, x2 [-1, 1][x1,x2] hay x1 11x2 10

0 10

0

) (

0 ) (

) (

0 ) (

   

 

 

   

 

    

 

  

 m

m m g

g g

a g a

VD8: Tìm m để hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài

Giải + TXĐ: D = R

+ y’ = 3x2 + 6x + m

+ Điều kiện để hàm số nghịch biến đoạn có độ dài = là: y’ có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: |x1 – x2| =

Vì y'0 x[x1,x2] Điều kiện là:

4

| x -x |

3

| x -x |

0 '

2

1

  

 

   

 

  

m m

BT1 Tìm m để hàm số sau:

a y = f(x) = 2x3 – 2x2 – mx – tăng khoảng (1, +) b y = f(x) = mx3 – x2 + 3x + m – tăng (-3, 0) c y = f(x) = x 2(m1)x (m1)xm

3

1

tăng (2, +) BT2 Với giá trị m hàm số sau ln đồng biến với x

y = (2m + 3)sinx + (2 – m)x BT3 Tìm m để hàm số y = (m –x)x2 – m đồng biến (1, 2)

BT4 Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 - (m + 1)x - 4m nghịch biến (-1, 1) BT5 Tìm m để hàm số y = (m - 3)x – (2m + 1)cosx nghịch biến với x?

BT6 Tìm m để hàm số y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + đồng biến (-, -1] [2, +) HD:

+ TXĐ: D = R

+ Ta có: y’ = 3x2 – 6(2m + 1)x + 12m +

+ ĐK để hàm số đồng biến (-, -1] [2, +) là: y'0,x(- ,-1][2,+)

5 12 ) (

    

 x m x m , (*) x(- ,-1][2,+)

Cách 1: sử dụng tam thức bậc điều kiện là:     

  

   

 

 

2

0 '

0 '

2 x x

Cách 2: sử dụng hàm số ĐS    

   

12 ; 12

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số BT7 Cho hàm số:

1 2

 

   

m x

m mx

x y

a Xét chiều biến thiên m =

b Xác định k để hàm số đồng biến (1, +) BT8 Tìm m để hàm số

2

   

x x mx

y nghịch biến [1, +) BT9 Tìm a b để hàm số y = asinx + bcosx + 2x đồng biến R?

HD:

+ TXĐ: D = R

+ Ta có: y’ = acosx – bsinx +

+ ĐK để hàm số đồng biến y'0,xR ,

0 sin

cos   

a x b x xR

0 ) sin cos

(

min   

 a x b x

R

Ta có: ' cos sin 2 2cos 

2 2

2 2

  

      

  

 

 

 x a b x 

b a

b x

b a

a b

a

y ,

Với

2 cos

b a

a  



Ta có: cos(x)1,xR nên y' a2 b2cosx22 a2 b2 Chứng tỏ y' a2 b2

R   

4

0

0 '

miny    a2 b2   a2 b2  a2 b2  R

BT10 Tìm m để hàm số sau đồng biến khoảng ra: a

3 ) ( ) (

1

    

 mx m x m x

y [2, +)

b ( 1) ( 3)

3

1

     

 x m x m x

y (0, 3)

III Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải phương trìnhm bất phương trình HPHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp: Sử dụng định lý sau:

Định lý 1:Hàm số f(x) liên tục đơn điệu [a, b] x1,2[a,b] mà f(x1) = f(x2) x1 x2 Định lý 2: Hàm số f(x) liên tục đơn điệu [a, b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm (a, b)

Định lý 3: Hàm số f(x) liên tục đơn điệu tăng (giảm) [a, b] hàm số g(x) liên tục đơn điệu giảm (tăng) [a, b] phương trình f(x) = g(x) có nghiệm trên[a, b] nghiệm

Chú ý: Khi gặp hệ có dạng:   

 

) ( ) , (

) ( ) ( ) (

y x g

y f x f

ta tìm lời giải theo hai hướng sau:

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD1: Giải phương trình:

a x5 x3  13x40

b x x5 x7 x16 14 c x1x34x5

d 4x1 4x2 1 (ĐHNH KD00) e x2 4x13 x23

Giải a 3

   

x x

x + ĐK:

3

 x

+ Xét hàm số: y = 3   

x x

x (

3

 x )

3

3

5

'

    

x x

x y

 y hàm số tăng (-,

3

)

Mà f(-1) = chứng tỏ phương trình cho có nghiệm x = -1 b, c, d, e: em làm tương tự

VD2: Giải bất phương trình: 7 5 13

  

    

 x x x x

y

Giải + ĐK:

7

 x

+ , )

7 [

) 13 (

13 )

5 (

7 )

7 (

5

2 '

5

4

3

      

 

 



 x

x x

x x

y

Chứng tỏ hàm số đồng biến , )

[ 

Mặt khác f(3) = nên bphương trình  f(x) f(3) với , )

[ 



x

7

 

 x

VD3: Giải phương trình:

a 3x(2 9x2 3)(4x2)( x2 x11)0 b x3 4x2 5x63 7x2 9x4

c (2 3)x (2 3)x 4x

Giải a 3x(2 9x2 3(4x2)( x2 x11)0

2 ( ) 3 (2 1)2 (2 ) 3

3        



 x x x x x

+ Đặt u = -3x, v = 2x +1 phương trình thành: u2 u2 3 v2 v2 3 (*) + Xét hàm số:

3

)

(t t t t

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

x f'(x)

f(x)

+

2 +

0

+

Ta có:

3 2 ) ( '      t t t t t

f với t >  f(t) đồng biến (0, +) Khi (*)

5 1 ) ( ) (          

 f u f v u v x x x

Vậy   x

b x3 4x2 5x63 7x2 9x4

+ Đặt y3 7x2 9x4 Khi phương trình đã cho              3 x x y x x x y                               (*) ) ( 4 3 3 3 x x y y x x x y x x x y y x x x y (*) có dạng f(y) = f(x + 1) + Xét hàm số f(t) = t3 + t, tR

f’(t) = 3t2 + > 0, tR nên f(t) đồng biến R Suy (*) có y = x + Từ ta tính x

Tập nghiệm là:

           , , S

c x x x

4 ) ( ) (     (*) ) ( ) (    

 x x

Đặt f(x) = x )x

4 ( )

(    , )

4 ln( ) ( ) ln( ) ( ) (

' x   x    x  

f => f(x) nghịch biến

Mà f(1) = = f(x) => x = nghiệm

VD4: Chứng minh phương trình 2x2 x211 có nghiệm

Giải + Xét hàm số f(x)2x2 x2 liên tục [2,)

+ Ta có 0,

2 ) ( ) ( '       x x x x x f

+ Lập bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số f(x)2x2 x2 cắt đường thẳng y = 11 điểm Do phương trình cho có nghiệm

VD5: Giải bất phương trình:

2

3

3  

   x x x Giải + Điều kiện:

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

+ Bphương trình ( ) ( )

1

5

3

3 x f x g x

x

x    

 

 (*)

+ Xét hàm số:

1 3 ) (     x x x

f liên tục 

     , Ta có                 , , 3 ) (

' 3 x

x x

x

f nên f(x) nghịch biến 

     , + Xét hàm số g(x) = 2x + 6, g’(x) = > nên g(x) đồng biến R

Ta thấy f(1) = g(1) =

*) Nếu x >  f(x) < f(1) = g(1) < g(x) nên (*) *) Nếu x < 1 f(x) > f(1) = g(1) > g(x) nên (*) vơ nghiệm Vậy nghiệm bất phương trình là:

2 1x VD6: Giải hệ phương trình:

a              4 4 x y y x b          x y y y x x 2 3 c           ) ( ) ( 3 6 3 y x y y x x Giải a Điều kiện

             4 y x

Ta có: x x y y

x y y x                      4 4 4 (*) + Xét hàm số f(t) = 2t3 4t 

     ,

+ Ta có f’(t) =

4     t

t , 

    

 ,4

2

x Từ (*) ta có f(x) = f(y) x = y Từ ta tìm x, y…

b Xét hàm số f(t) = t3 + 2t, f’(t) = 3t2 + > suy f(t) đồng biến R Hệ phương trình thành:

     x y f y x f ) ( ) (

+ Nếu x > y f(x) > f(y) y > x (mâu thuẫn) + Nếu x < y f(x) < f(y) y < x (mâu thuẫn)

x = y……

Vậy hệ có nghiệm x = y = c Từ (2) (x,y)[1,1]

Từ (1)  f(x) f(y) (3)

+ Xét hàm số f(t) = t3 – 3t liên tục [1,1]

+ Ta có f’(t) = 3t2 – 0, t[1,1] nên f(t) nghịch biến [1,1], o từ (3) x y Thay lại (2) ta giải được:

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD7: Giải bất phương trình: 2x3 3x2 6x162 3 4x

Giải

+ ĐK:

0 16

2

             x x x x x

+ bphương trình 3 16

     

 x x x x

+ Đặt f(x) 2x3 3x2 6x16 4x

, f(x) liên tục [-2, 4]

+ Ta có:

4 16 ) ( ) ( '          x x x x x x x

f , x(2,4)

Vậy hàm số f(x) đồng biến (2,4) Mà f(1) = 3 f(x) f(1)x1

Vậy nghiệm phương trình cho là: 2x1

BT1 Giải phương trình: 4

8

1

1  

     x x x x Giải + ĐK: 0x1

+ Xét f(x)4 x41x,

4 4 4 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( ' x x x x x x x f        ) ( ) (

' 4

     

 x x x

x f

Lập bảng biến thiên ta có )

1 ,

( ( )

max f x  x = 1/2 + Xét x x x g    1 ) ( , x x x g    2 ) ( ' 1 ) (

' x   x  x  x

g

Lập bảng biến thiên ta có max ( )

) ,

( g x  x = 2

1

Vậy 4

) ,

( 1 8

1

1

max  

          x x x

x x =

2

Suy nghiệm phương trình x =

2

BT2 Giải phương trình: x2 153x2 x2 8

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có x2 153x2 x2 8 x2 153x2 x2 8

+ Đạo hàm vế trái: x

x x x x x x x x

VT  

        

 0,

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số hàm sốy x2 153x nghịch biến trên R

+ Đạo hàm vế phải:

  

  

    

0 ,

0 , )'

(

2 x

x x

x VP

Nên hàm số y2 x2 8 ĐB/[0, +); NB/(,0) *) Xét x(,0) ta có y x2 153x0

2

15

2     

 x x x

y , phương trình vơ nghiệm

*) Xét x[0,), VT đồng biến, VP nghịch biến Mà VT có f(1) =

VP có f(1) = => x = nghiệm BT3 Tìm x để f(x) = x(1 – x)(x – 3)(4 – x) đạt GTNN HD: f(x) = x(1 – x)(x – 3)(4 – x) = (4x – x2)(4x – x2 – 3) Tính f’(x), lập bảng biến thiên

2 10

9 ) (

min f x  tai x  BT4 Giải bất phương trình:

a x7 + x3 > 2(3- x – x2) b x5 2x39

BT5 Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + BT6 Giải phương trình:

256 81 cos

sin

81 10 x 10 x

BT7 Giải phương trình: 7 2 x 17 12 2 x cos3x

cos cos

 

 

BT8 Giải phương trình: etg2x cosx2,    

   

2 ;

  x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

NHỮNG BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

1 Điều kiện để f(x) = a có nghiệm là: a Nếu M = Maxf(x) D

m = mìn(x) D điều kiện là: maM

b Nếu M = Maxf(x) D, khơng có GTNN điều kiện aM c Nếu m = minf(x) D, khơng có GTLN điều kiện am Điều kiện để bất phương trình f(x) > m xD m f(x)

D 

f(x) > m với xD Max f x m

D ( )

Điều kiện để bất phương trình f(x) < m xD Max f x m

D ( )

f(x) < m với xD f x m

D ( )

min

VD1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x 6x  (3x)(6x) m (*)

Giải + Điều kiện: 3x6

+ Đặt

2 )

6 )( (

3

2        

 x x x x t

t

+ Phương trình (*) thành: tt  m

9

(**)

 x x x x

x x

x

x x

x x

t

 

  

 

 

       

6 3

6

2

3

6

1

2 '

t’ = => x = 3/2 + Lập bảng biến thiên:

x t'

t

0

+

3

2

2

3

Vậy t[3,3 2]

Như (*) có nghiệm (**) có nghiệm t[3,3 2]

+ Xét hàm số

2 )

(

2   t t t

f , t[3,3 2]

f'(t)1t + Lập bảng biến thiên:

t f'(t)

f(t)

-

-1 3

3

3

2 -

Dựa vào bảng biến thiên suy (**) có nghiệm t[3,3 2]

9

3   

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm ]

4 , [  

x : cos3 – sin3x = m (*)

Đặt 

  

 

 

 

4 cos sin

cosx x x 

t Do

2

4

  



     

 x x

2

1 cos

0    

  

 

 

 x  t

Ứng với giá trị t[0, 2] có tương ứng giá trị ] , [  

x cho 

  

 

 

4 cos

2 x 

t

(*) (3 ) (**)

2 1 )

cos sin )( cos

sin

2

m t t m t

t m t

t m x x x

x       

  



 

   



(*) có nghiệm ] , [  

x (**) có nghiệm t[0, 2]

+ Đặt f(t)t3 3t, f'(t)3t2 3, f'(t)0t1 t

f'(t)

f(t)

0 +

0 +

-0

2

2 -1

2

Từ bảng biến thiên ta có (**) có nghiệm t[0, 2]

2 2

2 m  m VD3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x3m1 (*)

Đặt t  x30xt2 3 (*)

2 1

) ( , )

3

( 2 2

       

     

t t m t

t m t

m t t

m

Đặt ,

2 )

( 2 

 

 t

t t t f

Khảo sát biến thiên, dựa vào bảng biến thiên suy

4 1  m

VD4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 54x2 x18 4x2 9x5m0

Giải + TXĐ: D = 

    

4 ,

+ Đặt 54x2 x1t (Chú ý xét giá trị t VD0) Ta có: t2 ( 54x2 2 x12)(12 12)1t2 21t + Phương trình thành:

    

 

  

2

2 2 t

m t

t

+ Xét ( ) 2   t t t

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

4 ) (

' t  t

f , [1, 2]

4

) (

' t  t   

f Vậy hàm số đồng biến [1, 2]

1 ) ( ) (

] ,

[ f t  f  ; [1, 2] ( ) ( 2) 2    f

t f Max Vậy 1m2

VD5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

m x x x

x x

x 2 2) 4 2 2 2 4 

( 2

Giải + TXĐ: D = R

+ Đặt x2 2x2 t1 Phương trình trở thành: t3 – 2t2 – 4t – m + = (*)

+ Điều kiện để phương trình cho có nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt

1

 t

+ Ta có f’(t) = 3t2 – 4t –

   

    

3 2

) ( '

t t t

f

+ Lập bảng biến thiên

t f'(t)

f(t)

1

- +

0

- +

-1

-4

+

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có nghiệm phân biệt t1 4m1

VD6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm    

   

2 ;

 

x : + 2sin2x = m(1 + cosx)2

Giải + Xét cosx = - nghiệm phương trình + Phương trình cho:

(*) cos

1

cos sin

2

) cos (

) sin (

2

m x

x x

m x

x

    

 

  

 

 

+ Đặt

2

x tg

t  Do 

  

   

2 ;

 

x nên t1;1

Ta có 2

1 sin

t t x



 ; 2

2

1 cos

t t x

 

 nên (*) thành (2t1t2)2 m

2

+ Xét hàm số: 2

) ( )

(t t t

f   

)

( ) (

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số             2 1 ) ( ' t t t t

f (loại)

Ta có f(1) = 2, f(-1) = 2, f(1 2) =

Vậy điều kiện để phương trình có nghiệm t1;1 ( ) () ] , [ ] ,

[ f t mMax f t  m VD7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x 2x (2x)(x2) m1

Giải + ĐK: x[2,2]

+ Đặt 2x 2x = t  t 

2 ) 2 )( (    

 x t

+ Phương trình thành: -t2 + 2t + = 2m

2 2t t

-   

m Xét hàm số:

2 2t t -) (    t

f [ , ] f'(t)1t

Lập bảng biến thiên tìm minf(t), Maxf(t) Kết luận minf(t)m Maxf(t)

VD8: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x: m 2x2 7xm

Giải

Bphương trình m

x x     2 Xét hàm số:

1 ) (    x x x f  

   2

2 2 2 7 7 2 ) ( '                     x x x x x x x x f 21 ) (

' x   x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số x

f'(x)

f(x)

21

- - - 21 +

0

- +

-2

-2

21

-6

21

2 Vậy minf(x) =

6 21 )

(

21 

  

 

m x f

m

VD9: Tìm m để bất phương trình:

a 4 (4x)(x2)x2 2xm18có nghiệm x[2,4] b (12x)(3x)2x2 5xm3 có nghiệm ,3]

2 [  x c x2 12 m x2 2 4 có nghiệm với x

Giải a TXĐ x[2,4]

+ Bphương trình 4 (4x)(x2)x2 2xm184 (4x)(x2) x2 2x18m + Đặt (4x)(x2) t00t3

Bất phương trình có dạng: t2 – 4t + 10 < m (*)

Bài tốn trở thành tìm m để bất phương trình nghiệm t[0,3] Xét hàm số f(t) = t2 – 4t + 10, f’(t) = 2t – 4, f’(t) = suy t =

t f'(t)

f(t)

0

- +

0

3 +

-10 7

6 Từ BBT ta thấy f(t)6, Max f(t)10

D D

Vậy để bphương trình nghiệm x[2,4] m > 10 b, c: em làm tương tự

VD10: Tìm m để bất phương trình: 92x2x2(m1).62x2x (m1)42x2x 0 có nghiệm với x thỏa mãn: |x|

2



Giải

Chia vế cho 42x2x ta ( 1)

3 ) (

9

2

2 2

2

               

  

m m

x x x

x

(1)

Đặt t

x x

     

 

2

2

2

Với |x|

2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số m

t t t

 

  

1

1 2

Xét

1

1 2

   

t t t

y với t 1

Khảo sát y => miny = nên m3

VD11: Tìm m để bất phương trình: m.92x2x (2m1).62x2xm.42x2x 0 có nghiệm với x thỏa mãn: |x|

2

 Làm tương tự VD7 ĐS: m0

VD12: Tìm số nghiệm phương trình: x3 – 3sin(x2 + a100 – a) + 3x – a3 =

Giải Xét hàm số: f(x) = x3 – 3sin(x2 + a100 – a) + 3x – a3

f’(x) = 3x2 – 6xcos(x2 + a100 – a) + '= 9cos2(x2 + a100 – a) – 

 f’(x) 0 nên f(x) đồng biến R

Mặt khác  

 ( ) lim f x

x xlim f(x)

Mà hàm số liên tục R nên đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành điểm nên phương trình cho có nghiệm

VD13: Tìm m để phương trình

(x2 + 2x)2 – (m+ 1)(x2 + 2x) + m + = có nghiệm phân biệt x[3,0] Đặt x2 + 2x = t, x[3,0]t[0,3]

Bài tốn trở thành tìm m để phương trình:

t2 – (m + 1)t + m + = có nghiệm phân biệt t[0,3] m

t t t

 

  

1

Xét hàm số:

1 )

(

   

t t t t

f , f'(t)2(t 1), f'(t)0t 1 Lập BBT…

IV Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức + Đưa bất đẳng thức dạng f(x)M, x(a,b)

+ Xét hàm số y = f(x), x(a,b)

+ Lập bảng biến thiên hàm số khoảng (a, b) + Dựa vào bảng biến thiên kết luận

VD1: CMR: sinx + tgx > 2x với       

2 ,  x

Giải + Xét hàm số: f(x) = sinx + tgx - 2x liên tục 

    

2 , 

+ Ta có f’(x) = cosx + 2

cos cos

2 cos

1

2

2     

x x

x , 

    

2 ,  x

Nên f(x) đồng biến      

2 ,

0  f(x) > f(0),        

2 , 

x hay sinx + tgx > 2x với       

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD2: Chứng minh rằng:

a sinx  x,         ,  x b sinx > x -

6 x , ) , (   x c cosx < -

24 x x  , ) , (   x

d x

x x cos sin        , ) , (   x Giải a Xét hàm số f(x) = sinx – x liên tục đoạn 

     ,  Ta có f’(x) = cosx – 10, 

       , 

x f(x) hàm nghịch biến       ,  f(x)  f(0)sin xx, 

       ,  x

b Xét hàm số f(x) = sinx – x +

3 x

liên tục nửa khoảng       ,  Ta có f’(x) = cosx – +

2 x sin ) ( ' '   

 f x x x với 

       , 

x (theo câu a) ) ( ' ) ( '  

 f x f , 

       , 

x  f(x) f(0)0,         ,  x

 sinx > x - x , ) , (   x

c Xét hàm số f(x) = cosx – +

24 x x

 , liên tục nửa khoảng       ,  Ta có f’(x) = -sinx + x -

6  x ,         , 

x (theo câu b)  f(x) f(0)0,         ,  x

 cosx < -

24 x x  , ) , (   x d Theo câu b ta có:

sinx > x - x , ) , (   x 216 12 sin

sin x2 x2 x4 x6

x x x x x                                         24 24

sin x2 x4 x4 x2 x x Vì 24 sin ) , ( x x x x x

x    

          

Mặt khác theo câu c): cosx < -

24 x x  , ) , (  

x  x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số *) Tổng quát: CMR  3, ta có sin cosx,

x x

     

 

) ,

( 

 x

Ta có < sinx < x 0 sin 1

x x

, )

2 ,

( 



x x

x x x

x

cos sin

sin

              



, )

2 ,

( 

 x

VD3: Chứng minh rằng: sin

2

2

2 x  tgx  x với        

2 ,  x

Giải Ta có: x tgx x tgx x 2tgx

1 sin sin

2 sin

2

2 2 2

2    

Ta chứng minh;

2

1 sin

2

3

1

sin x

tgx x

x tgx x

 

 



với 

      

2 ,  x

Xét hàm số:

2

1 sin )

(x x tgx x

f    liên tục      

2 , 

Ta có:

cos

) cos ( ) (cos cos

2

1 cos cos 2 cos

1 cos

) (

' 2

2

2

2 

 

  

  



x x x

x x x

x x

x f ) (x f

 đồng biến      

2 ,

0   f(x) f(0)0

2

1

sinx tgx x, 

      

2 ,  x

VD4: Chứng minh rằng: 2sinx + 2tgx > 2x+1 với ) ,

( 



x (tương tự VD3)

VD5: Cho tam giác ABC nhọn CMR: (sinA)2sinB + (sinB)2sinC + (sinC)2sinA >

Giải Ta có: sinA, sinB, sinC (0,1)nên:

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

BÀI CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y

x y = f(x)

x0

f(x )0

CT C§

C§

CT CT

C§

o

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa

Cho hàm số f: (a, b) R, x0(a,b)

+ f đạt CĐ x0 tồn lân cận V x0 cho f(x) f(x0),xV + f đạt CT x0 tồn lân cận V x0 cho f(x) f(x0),xV + Gọi chung CĐ, CT cực trị

*) Nếu hàm số y = f(x) liên tục (a, b) x = a, x = b không gọi điểm cực trị *) Các điểm cực trị có tính chất địa phương

2 Điều kiện để hàm số có cực trị

a Định lý Fecma: x0 điểm cực trị hàm số có đạo hàm x0 f’(x0) = b Hệ quả: Mọi điểm cực trị hàm số điểm tới hạn hàm số

3 Các định lý cực trị a Định lý 1

Cho f đạt cực trị x0 tồn f’(x0) f’(x0) =

*) Nhận xét: - Có thể xảy f đạt cực trị x0 mà f’(x0) không tồn - Có thể xảy f’(x0) = mà f không đạt cực trị x0 VD: Với f(x) = |x| f đạt cực tiểu x = khơng có f’(x0) Với f(x) = x3 f’(0) = f khơng đạt cực trị x = b Định lý 2

Cho f: (a, b) (a, b) R có đạo hàm

+ Nếu f’(x) đổi dấu từ “+” sang “–” x0 hàm số đạt cực đại x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ “–” sang “+” x0 hàm số đạt cực tiểu x0 *) Nhận xét: hàm số f đạt cực trị x0 f’(x) đổi dấu x0 c Định lý 3

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

B Phương pháp giải tốn

I Dạng 1: Tìm điểm cực trị hàm số Phương pháp 1: Áp dụng định lý

+ Tìm f’(x)

+ Tìm điểm xi (i = 1, 2, 3…) có f’(xi) = hàm số liên tục đạo hàm

+ Xét dấu f’(x) Nếu f’(x) đổi dấu x qua x0 hàm số đạt cực trị điểm x0 Phương pháp 2: Áp dụng định lý

+ Tìm f’(x)

+ Tìm nghiệm xi (i = 1, 2, 3…) phương trình f’(x) =

+ Với xi ta tính f”(xi):

- Nếu f”(xi) < hàm số đạt cực đại điểm xi - Nếu f”(xi) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi VD1: Tìm cực trị hàm số sau:

a y = x4 – 2x2 + b y = x2(3 – 2x)2 c yx 2x2 1 d y x 9x2 e y = x1/x f y = excosx g y x sinx

2

 a Hàm số đạt CĐ x = 0, yCĐ = 1; xCT = -1, yCT = b y’ = 6x(3 – 2x)(1 – x)

Hàm số đạt CĐ x = 1, yCĐ = Hàm số đạt CT x = 0, x = 3/2 c, d: em học sinh tự làm

e TXĐ: D = (0, +)

Ta có    x

x x y x x

y y x

x x

y

x

x ln ' 1 ln ' 1 ln

ln

ln 2

1

2

 

 

  



Ta có y’ = 0x = e + Bảng biến thiên:

x y'

y

0 e +

0

+

-

CÐ

Vậy hàm số đạt cực đại x = e f TXĐ: D = R

Ta có: y’ = excosx - exsinx = ex(cosx – sinx)

y’ = 0sinx = cosx x = , ( ) k kZ



y’’ = ex(cosx – sinx) – ex(sinx + cosx) = – 2exsinx

Tại , ( )

4 k k Z

x    , ta có    

 

  

k y

4 '

' – 2exsin 

  

 

  

k + Khi k chẵn: y''

4 sin

2 



     

  

k

e nên y đạt cực đại x =  k

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số + Khi k lẻ, ta có sin 

  

 

  

k

4 = sin ''

2

sin

4    

 

 



l    y



nên y đạt CT x =  k

4 , (kZ)

g Các em tự làm

VD2: Tìm cực trị hàm số sau:

a y = |x| b y = |x|(x – 3) c y = |2x|(x2)

Giải a y = |x|

+ TXĐ: D = R

+   

 

 

0 x khi x

x khi x y + Ta có

  

 

 

0

0

'

x khi

x khi y

+ Lập bảng biến thiên: x y'

y

- +

-

-0

+ +

0 Hàm số đạt cực tiểu x = 0, f(0) =

b y = |x|(x – 3) + TXĐ: D = R

+   

 



 



0 )

3 (

0 )

3 (

x khi x

x

x khi x

x y + Ta có:

  

 



 



0

2

0

2 '

x khi x

x khi x

y

2

' x y

Hàm số liên tục x = khơng có đạo hàm x = + Lập bảng biến thiên:

x y'

y

- +

+ +

0

-

+

3/2 -0

9/4 Vậy hàm số đạt cực đại x = 0, f(0) =

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số c y = |2x|(x2)

+ Hàm số xác định liên tục R

+ Ta có

    

 



 

  

0 )

2 (

0 )

2 ( ) ( | |

x khi x

x

x khi x

x x

x y

+ Ta có

      

 

 

 

  

0

2

0

2 ) ( | | '

x khi x x

x khi x x x

x y

5

' x y

+ Lập bảng biến thiên:

x y'

y

- +

+ +

0

-

+

-2/5

-0

5 16

Vậy hàm số đạt cực đại x = -2/5, f(-2/5) = 5

16 Hàm số đạt cực tiểu x = 0, f(0) =

VD3: Cho hàm số

x x x y

   

1

4

Tìm khoảng tăng, giảm, cực trị hàm số

Giải + TXĐ: D = R\ 1

+ Ta có: 2

2

) (

2 '

x x x y

  

 , 

 

   

2 0

'

x x y

+ Lập bảng biến thiên:

x y'

y

- +

- +

1

0 +

2

0

-4

0

Vậy hàm số ĐB/(0, 1) (1, 2); NB/(-, 0) (2, +) Hàm số đạt CĐ x = 2, yCĐ = y(2) =

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

VD4: Tìm điểm cực trị hàm số: y = – 2cosx – cos2x

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có: y’ = 2sinx + 2sin2x = 2sinx(1 + cosx)

( )

2 2

1 cos

0 sin

' k Z

k x

k x x

x

y 

   

     

  

   



  

y''2cosx4cos2x 3 cos '

'   

  

 



  k  

y  y đạt CĐ  2

3

k

x  ,y k  kZ

  

 



 ,

4

 

 k k k Z

y''  2cos  4.0,   y đạt CT xk, y(k)2(1cosk)

II Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Phương pháp: sử dụng định lý định lý với ý:

*) Hàm số f xác định D có cực trị x0D thỏa mãn hai điều kiện:

+ Tại đạo hàm hàm số x0 phải triệt tiêu hàm số khơng có đạo hàm x0 + f’(x) phải đổi dấu qua x0 f”(x0) 0

*) Nếu f’(x) tam thức bậc hai triệt tiêu dấu với tam thức bậc hai hàm có cực trị phương trình f’(x) = có hai nghiệm phân biệt thuộc TXĐ

VD1: Tìm m để hàm số sau:

a y = (2m – 1)x3 + 2x2 – 3x + đạt cực đại x = b y =

m x

mx x

 



2

đạt cực đại x =

c y =

3

1

  mx x

mx đạt cực đại x = d y = x3 + (m + 3)x2 + – m đạt cực đại x = -4

Giải a

+ TXĐ: D = R

+ Ta có: y’ = 3(2m – 1)x2 + 4x – y’’ = 6(2m – 1)x + + Hàm số đạt cực đại x =

      

   

 

 

   

 

  

6

2 12

0 ) ( ' '

0 ) ( '

m m m

m y

y

(vô nghiệm)

Vậy khơng có giá trị m để hàm số đạt cực đại x = b

+ TXĐ: D = R\ m + Ta có:

 2 2

1

'

m x

m mx x

y



  

 , xm

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số *) Với m =

 1 ,

2 ' 2      x x x x

y ; 

      0 ' x x y

Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên để kết luận *) Tương tự với m = –3

c

+ TXĐ: D = R

+ Ta có: y'mx2 2mx1; y''2mx2m + Điều kiện để hàm số đạt cực đại x = là:

3 ) ( ' ' ) ( '                          m m m m m y y Vậy   m d

+ TXĐ: D = R

+ Ta có: y = 3x2 + (2m + 6)x = x(3x + 2m + 6)           0 ' m x x y

+ Lập bảng biến thiên: x y'

2m+6

- +

-0 + y - 0 +

Hàm số đạt cực đại x = -4 3      

 m m

VD2: Tìm a, b để hàm số y = x3 – ax2 + bx + đạt cực đại A(1, -7)

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có y’ = 3x2 – 2ax + b; y’’ = 6x – 2a

+ Điều kiện để hàm số đạt cực đại xCĐ= 1, yCĐ = là:                                                        5 3 11 4 ) ( ' ' ) ( ' ) ( b a a b a a b a b a a b a b a y y y Vậy      b a

VD3: Tìm a, b để hàm số: y = 2x3 – mx2 + nx + có xCĐ = 1, xCT =

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có y’ = 6x2 – 2mx + n; y’’ = 12x -2m

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số                                                                          21 18 21 18 54 12 2 36 12 54 12 ) ( ' ' ) ( ' ' ) ( ' ) ( ' n m m m n m m m n m n m m m n m n m y y y y Vậy         21 n m

VD4: Tìm m để hàm số: y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + a Hàm số có cực trị

b Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại c Hàm số có cực tiểu cực đại

Giải + TXĐ: D = R

+ Ta có: y’ = 4x3 + 12mx2 + 6(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3m +3); y’’ = 12x2 + 24mx + 6m +            3 ) ( 0 ' 2 m mx x x f x y

Nhận xét:

*) Nếu f(x) có nghiệm x1, x2 khác y’ đổi dấu qua điểm 0, x1, x2 hàm số có cực tiểu cực đại

*) Nếu f(x) có nghiệm x = 0, y’ đổi dấu từ - sang + qua điểm nên hàm số có cực tiểu

*) Nếu f(x) có nghiệm kép vơ nghiệm y’ đổi dấu từ - sang + qua x = nên hàm số đạt cực tiểu x =

Như hàm số ln có cực trị

a Hàm số có cực trị f(x) có nghiệm phân biệt khác

                                7 ) ( ) 2 ( ' m m m f m m

b Theo nhận xét hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại hàm số khơng có cực trị:

3 7      m

c Giống câu a)

VD5: Tìm hệ số a, b, c, d để hàm số f(x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu x = 0, f(0) = đạt cực đại x = 1, f(1) =

Giải + TXĐ: D = R

+ f’(x) = 3ax2 + 2bx + c; f”(x) = 6ax + 2b

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

    

    

   

 

  

   

  

(*) 0

0

0

0 ) ( ' '

0 ) ( '

1 ) (

b c d

b c d

f f f

(1) + Hàm số đạt cực đại x = 1, f(1) = khi:

    

 

  

     

   

  

(**)

0

3

0

0 ) ( ''

0 ) ( '

0 ) (

b a

c b a

d c b a

f f f

(2)

Từ (1) (2)

      

    

      

 

  

   

1

1

0

1

d c b a

d c

b a

b a

(không thỏa mãn điều kiện (*) (**)

Vậy khơng có giá trị a, b, c , d thỏa mãn tốn

BT1 Tìm m để hàm số f(x)3x3m x2 4x5 có cực đại

BT2 Tìm m để hàm số f(x) = x3 – 3(m + 1)x2 – x + có cực trị BT3 Tìm m để hàm số:

m x

m x mx x f

   

2 )

( khơng có cực trị

BT4.(ĐHKiến trúc99) Tìm m để hàm số: y = mx4 + (m – 1)x2 + – 2m có điểm cực trị + y’ = 2x(2mx2 + m – 1)

+ Trường hợp m = => y’ = -2x => hàm số có cực trị + Trường hợp m 0: để y có cực trị có trường hợp: *) f(x) = có nghiệm kép vơ nghiệm 

 

     

1 0

m m *) f(0) =  m =

Vậy   

 

0 m m

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số BT7.(ĐHXD) Tìm m để hàm số:

m x

m x m mx

x f



   

 (2 )

) (

2

có cực trị BT8.(ĐHBK02) Tìm m để hàm số: f(x, m) = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 có cực trị

III Dạng3: Tìm điều kiện để điểm cực trị hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

+ Từ điều kiện tốn, thơng qua tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số từ ta tìm

được điều kiện tham số

Chú ý:

+ Nếu gặp biểu thức đối xứng hoành độ điểm cực trị hoành độ điểm cực trị nghiệm tam thức bậc ta sử dụng định lý Viét

+ Khi tính giá trị cực trị hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng kết sau:

Định lý 1: Cho hàm đa thức y = P(x), giả sử y = (ax + b)P’(x) + h(x) x0 điểm cực

trị hàm số giá trị cực trị hàm số y(x0) = h(x0) Khi phương trình y(x) = h(x) gọi phương trình quỹ tích điểm cực trị

Định lý 2: Cho hàm phân thức

) (

) (

x g

x u

y , x0 điểm cực trị hàm số giá trị

cực trị hàm số là:

) ( '

) ( ' ) (

0 0

x g

x u x

y  ,

) ( '

) ( '

x g

x u

y phương trình quỹ tích điểm cực trị

VD1: Tìm m để đồ thị hàm số (2 1)

1

   

 x mx m x

y có điểm cực trị dương

+ TXĐ: D = R

+ Ta có y’ = x2 – 2mx + 2m – 1; y'0x2 2mx2m10 (*)

Hàm số có điêm cực trị dương (*) có nghiệm dương phân biệt:

VD2: Tìm m để đồ thị hàm số

2 2

2

    

x m mx mx

y có cực đại, cực tiểu điểm nằm hai phía trục Ox?

+ TXĐ: + Ta có:

   2

2

2

2

2

2

) )( 2 ( '



    

     



x

m mx mx

x

m mx mx

x m mx y

) (

' mx2  mx m  x

y (*)

Hàm số cho có điểm cực trị (*) có nghiệm phân biệt khác x1, x2 khác

      

   

  

 

 

0

0

m m

    

   

   

  

 

     

1

1

0

0

'

m m m

P m S

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số + Hai điểm cực trị nằm hai phía trục Ox  y(x1).y(x2)0

Áp dụng định lý ta có y(x1) = 2m(x1 + 1), y(x2) = 2m(x2 + 1)



Cách 2: Điều kiện để CĐ, CT nằm phía trục hồnh đồ thị hàm số khơng cắt trục Ox Suy phương trình y = vơ nghiệm

VD3: Tìm m để hàm số y = x3 + 3mx2 – 3x + 2m – có cực đại, cực tiểu điểm cách trục Oy?

+ TXĐ:

+ Ta có y’ = 3x2 + 6mx – = 3(x2 + 2mx – 1) (*)

Vì (*) ln có nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số ln có cực trị Gọi x1, x2 hoành độ điểm cực trị cách trục tung Oy ta có:

|x1| = |x2| x1 = -x2 x1 + x2 = (vì x1  x2) -2m =  m =

VD4: Tìm m để hàm đồ thị hàm số y = mx3 + (3m – 1)x2 + 2mx + m – có CĐ, CT nằm phía trục tung?

+TXĐ:

+ Ta có y’ = 3mx2 + (6m – 2)x + 2m

+ Điều kiện để hàm số có CĐ, CT nằm phía trục tung phương trình y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1< < x2 3m.y’(0) < 3m(m – 1) < …

VD5: Tìm m > để hàm số

x

m m x m x

y

2

2

   

 đạt CT x(0,2m) + TXĐ:

+ Ta có: ' 2 (2) ( 0)

2

 

  

 x

x x g x

m m x y

+ Hàm số đạt CT x(0,2m) g(x) = có nghiệm x1, x2 (x1 < x2) thỏa mãn:

x1< < x2 < 2m

   

 

    

   

  

2

1

1

0 ) (

0 ) (

0

m m m

g g m

VD6: Tìm m để hàm số y = (x – m)(x2 – mx + m – 1) có cực đại cực tiểu thỏa mãn: |xCĐ.xCT| = + TXĐ:

+ y’ = …; y’ = …(*)

+ Hàm số có điểm cực trị thỏa mãn : |xCĐ.xCT| =  (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: |xCĐ.xCT| = 1

1 | |

0  

   

  

a c

VD7: Tìm m để hàm số ( 2) ( 1)

1

   



 mx m x m x

y có CĐ, CT đồng thời hoành độ cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn: x1 + 2x2 =

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số + y’ = mx2 – 2(m + 2)x + m -

y’ =  mx2 – 2(m + 2)x + m – = (*)

+ Điều kiện để hàm số có CĐ, CT phương trình (*) có nghiệm phân biệt … + Theo định lý Viet u cầu tốn ta có:

VD8: Tìm m để hàm số

1 2      x m x x

y có CĐ, CT điểm có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn: |y(x2) – y(x1)| =

+ TXĐ: + Ta có

1 2 2           x m x x m x x y +    

 2  2

2 2 ) ( 3 2 '                 x x g x m x x m x m x x y

+ Điều kiện để hàm số có CĐ, CT phương trình g(x) = có nghiệm phân biệt khác 1: '          

m (1)

Khi ta có: | |

3 4 ) ( ) ( ) ( ) ( 2            

 x x

x x y y x y x y

Theo đề | ( ) ( ) |

2

1  y   m

y x x (2)

Từ (1) (2) suy m = …

VD9: Tìm m để hàm số

m x m x x y   

2

2

có CĐ, CT điểm có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn:

6 | |y(x1)  y(x2) 

VD10: Tìm m để hàm số y = x4 – 2m2x2 + có điểm cực trị đình tam giác vng cân? + TXĐ:

+ Ta có y’ = 4x(x2 – m2), y’ =           m x m x x

+ Điều kiện để hàm số có cực trị m 0

+ Tọa độ điểm cực trị là: A(0, 3), B(m, – m4), C(-m, – m4)…

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD10: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 + m4 + 2m có điểm cực trị lập thành tam giác đều? VD11: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + (2m – 1)x + m + có CĐ, CT điểm CĐ, CT đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y = 2x + (d)

+ TXĐ:

+ Ta có y’ = 3x2 – 6x + 2m – 1; '     

 x x m

y (*)

Hàm số có cực trị (*) có nghiệm phân biệt x1, x2 '0126m0m2 + Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là:

3

5

2 

 

 m x m

y (d’)

Suy điểm cực trị là: A( )

7

5

, 1

1

 

 m

x m

x ; B( )

3

5

, 2

21

 

 m

x m x

Gọi I giao điểm đường thẳng (d) (d’) => tìm tọa độ điểm I(…, …) A B đối xứng với qua d nên

4

1

5

'    

d m m

d => tọa độ điểm I, A, B => I trung điểm AB => A B đối xứng qua (d) Vậy m = …

VD12: Tìm m để đồ thị hàm số

2 2

   

x mx x

y có cực trị khoảng cách điểm cực trị 5? + Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

+ Viết phương trình đường thẳng qua cực trị => tọa độ điểm cực trị + Viết cơng thức tính khoảng cách điểm cực trị => m

VD13: Tìm giá trị m để đồ thị hàm số

2 2

   

x mx x

y có CĐ, CT khoảng cách từ điểm đến đường thẳng x + y – () nhau?

+ TXĐ:

+ Tính đạo hàm

+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

+ Gọi x1, x2 nghiệm phương trình y’ =

=> A(x1, 2x1 + 2m), B(x2, 2x2 + 2m) điểm cực trị

+ Tính khoảng cách từ A B đến () cho tìm m (VD15/85)

VD14: Tìm m để đồ thị hàm số

1 )

(

2

    

x mx x x f

y có điểm cực tiểu nằm Parabol (P): y = x2 + x -

+ TXĐ: D = R\ 1 + Ta có:

 2  2

1 ) (

2

) ( ' '

  

    

x x g x

m x x x f y

+ Hàm số có CĐ, CT phương trình g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác 1:

0

0

) (

0 '

   

 

  

   

 

  

 m

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số + Khi

                       2 3 2 ' 2 1 m m y m x m m y m x y

+ Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biến thiên suy ra: A(1 m3;m22 m3)

Do A(P)m22 m31 m32 1 m3-4m-2

VD15: Tìm m để đồ thị hàm số y = f(x) = -x3 + 3(m+1)x2 + (3m2 + 7m – 1)x + m2 – có điểm cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ 1?

+ TXĐ: D = R

+ f’(x) = -3x2 + 6(m + 1)x + 3m2 + 7m –

+ Hàm số đạt cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ 1:

 f’(x) = -3x2 + 6(m + 1)x + 3m2 + 7m – = có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

                                                           1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ' ) ( ' 1 2 2 2 m m m m m m m m m S f f x x x x

VD16: Tìm m để đồ thị hàm số

1 ) (       x m mx x x f

y có cực trị đồng thời tích giá trị CĐ CT đạt giá trị nhỏ nhất?

+ TXĐ: D = R\ 1

+ Ta có 2 2

2 2 ) ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) )( ( ) ( ' '                 x x g x m x x x m mx x x m x x f y

+ Hàm số đạt CĐ, CT phương trình g(x) = có nghiệm phân biệt khác … Viết điều kiện…

Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) điểm cực trị, với x1, x2 nghiệm phương trình g(x) =

Khi 

          ' 2 1 y x y x y

=> y1.y2 = … tìm GTNN tích

BT1. Tìm m để hàm số y = f(x) = x3 + 3x2 + (2m – 1)x + m – có CĐ, CT yCĐ.yCT >

BT2. Tìm m để hàm số

1 ) ( ) (        x m x m x x f

y có cực trị

2

2

 yCT y

CĐ + Điều kiện để hàm số có cực trị m > -1/2

+ Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y = 2x + m +

+ Gọi A(x1, 2x1 + m + 2); B(x2, 2x2 + m + 2) điểm cực đại cực tiểu + Theo yêu cầu toán suy 

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

BT3 Tìm m để đồ thị hàm số

m x

m m x m mx x f y



     

3

2

4 ) ( )

( có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) mặt phẳng tọa độ

+ TXĐ: D = R\m + Ta có:

    , )

) (

2

' 2 2

3

2

m x m x

x g m

x

m x m mx

y 

  

 



+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị…

+ Đồ thị hàm số có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) mặt phẳng tọa độ khi:

*) m.g(0)03m4 0m0 (1)

*) Đồ thị hàm số không cắt trục Ox mx2 (m2 1)x4m3m0 vô nghiệm

 

   

 

    

   

   

 

   

  

   

  

  

 

5

5

5 0

1 15

0

)

(

2

4

2

m m m

m m

m m m

m m m

m

(2)

*) m < (3) Từ (1), (2), (3) 

5   m

BT4. Cho hàm số

1 3



    

x

m mx

x x

y Tìm m để hàm số có CĐ, CT nằm phía đường thẳng x + 2y – = 0?

BT5. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2mx – m + a Tìm m để hàm số có CĐ, CT

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

ÔN TỔNG HỢP CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ

Ngồi tốn làm trên, em ơn tổng hợp dạng tốn sau:

Dạng 1: Tìm cực trị hàm số

- Sử dụng dấu hiệu I dấu hiệu II (đã trình bày trên) - Các em làm số ví dụ sau:

Tìm điểm cực trị hàm số: a y x cos2x

2

cos 

 b y = 4x3 x2 1 c

2 sin cos

3   

 x x x

y

d y = excosx e

2 sin

sin  

 x x

y y = |-x2 + 4x - 3|

Dạng 2: Tìm cực trị hàm số chứa tham số

Bài 1. Cho hàm số y = -x3 + mx2 – m + Với giá trị cùa m tìm điểm CĐ, CT hàm số

Bài 2. Với giá trị m tìm điểm CĐ, CT hàm số sau: a

1 3

    

x

m x

x

y b

m x m x

y

   

 1 c

m x

m x

m m x y



   



2

2

1 ) (

Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị + Bước 1: Tìm miền xác định

+ Bước 2: Tính đạo hàm y’ + Bước 3: Sử dụng định lý:

*) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu x0 là:     

 

0 ) ( " 0

0

x y

han toi

điem

là x

D x

*) Điều kiện để hàm số đạt cực đại x0 là:     

 

0 ) ( " 0

0

x y

han toi

điem

là x

D x

Bài 1. Cho hàm số y = x3– 3mx2 + (m – 1)x + a CMR hàm số có cực trị m b Xác định m để hàm số có cực tiểu x =

Bài 2. Xác định m để hàm số y = (x – m)3 – 3x đạt cực tiểu x =

Bài 3. Tìm m để hàm số

1

   

x mx x

y đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = -1

Bài 4. (TNTHPHƯƠNG TRÌNH-2005) Xác định m để hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 – 1)x + đạt cực đại x = 2?

Bài 5. (ĐH Mỏ-1997) Xác định m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + (m2– 1)mx - có CĐ CT

Bài 6. (ĐH BK-2000) Xác định m để hàm số y = mx3 + 3mx2– (m– 1)mx – khơng có cực trị?

Bài 7. (ĐH Kiến trúc-1999) Cho hàm số: y = kx4 +(k – 1)x2 + – 2k Xác định k để đồ thị hàm số có cực trị

Bài 8. (ĐHKB-2002) Cho hàm số y = mx4 +(m2 – 9)x2 + 10 Tìm m để hàm số có điểm cực trị?

Bài 9. (ĐH CĐ-1999) Xác định m để hàm số

1 2

m x

m mx x

y

  

 có cực trị?

Bài 10. (ĐHXD-1997) Xác định m để hàm số

m x

m x m mx

y



  



 (2 )

2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Bài 11. Cho hàm số:

m x

mx x y

  



2

xác định m để: a Hàm số só cực tiểu (0, m)

b Hàm số đạt cực đại x =

Dạng 5: Tìm điều kiện để điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

A Tìm điều kiện để điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng cho trước

Bài 1. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m2 + 2m – 3) + Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT phía trục tung

Bài 2. Cho hàm số

1

   

x m x x

y Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT phía trục tung

Bài 3. Cho hàm số

m x

m mx

x y

    

2

3

Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT phía trục tung

Bài 4. Cho hàm số

1

    

x m mx x

y Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT phía đường thẳng 9x – 7y – =

Bài 5. Cho hàm số

1

4 ) (

    

x

m x m x

y Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT phía đường thẳng x + y + =

Bài 6. Cho hàm số

1

1



   

x

m mx mx

y Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT phía trục hồnh

Bài 7. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + Xác định m để hàm số có CĐ, CT hai điểm nằm phía khác đường tròn: x2 + y2 – 2mx – 4my + 5m2 – =

B Tìm điều kiện để giá trị cực đại, cực tiểu dấu, trái dấu

Bài 1. (HVQHQT-2000) Cho hàm số y = 4x3 – mx2 – 3x + m CMR hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời CMR hồnh độ điểm cực đại hoành độ điểm cực tiểu hàm số luôn trái dấu?

Bài 2. (ĐH Cơng đồn-1997) Cho hàm số ( 0)

 

 

 m

m x

m mx x y a.Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu? b Tìm m để giá trị cực đại cực tiểu trái dấu nhau?

Bài 3. (ĐH Cần thơ-1999) Cho hàm số

m x

m m x m x

y



   

 (2 3)

2

Tìm tất giá trị m để hàm số có hai cực trị hai cực trị trái dấu?

Bài 4. (Cao đẳng Bến tre-2005) Cho hàm số

1

1 ) (



     

x

m x m mx

y

Tìm m để hàm số có cực trị hai giá trị cực trị trái dấu?

C Khoảng cách hai điểm cực trị, khoảng cách từ điểm cực trị đến đường thẳng

Bài 1. (ĐH Thuỷ lợi -1998) Ch hàm số

   

x m mx x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Bài 2. (HVKT QS-2001) Tìm m để hàm số

3

1

   

 x mx x m

y có khoảng cách điểm cực trị nhỏ

Bài 3. (Dự bị KD-2002)Cho hàm số

 

 

x mx x

y Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị m, khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị 10?

Bài 4. (Dự bị KA-2003) Cho hàm số

) (

4 )

1

(

2

m x

m m x m x

y



     

Tìm m để hàm số có cực trị tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số?

Bài 5. (ĐHCĐKB-2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số (*)

1 )

1 (



    

x

m x m x y

CMRm đồ thị (Cm) ln ln có điểm CĐ, điểm CT khoảng cách hai điểm 20

Bài 6.Bài 7. (ĐHQG-1997) Với giá trị a đồ thị hàm số 2x3 + ax2 – 12x – 13 có điểm cực đại điểm cực tiểu điểm cách trục tung

Bài 7. Cho hàm số

1 2

   

x mx x

y Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu khoảng cách từ hai điểm đến đường thẳng x + y + = nhau?

Bài 8. (ĐHCĐKA-2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số (*)

1

x mx

y  Tìm m để hàm số (*) có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên (Cm)

2

D Các toán liên quan đến giá trị cực đại, cực tiểu hoành độ điểm cực trị

Bài 1.(ĐHQGKA-1999) Cho hàm số

1

2 )

1

(

2



     

x

m m x m x

y

Tìm m để hàm số có cực trị tích giá trị cực đại cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 2. Cho hàm số

1

1 )

1 (



    

x

m x m x

y CMR hàm số ln có cực trị m Tìm m để yCĐ2 2yCT

Bài 3. Ch hàm số

2

2 

   

x m x x

y Chứng tỏ hàm số đạt cực đại x1 cực tiểu x2 ta có: |y(x1) – y(x2)| = 4|x1- x2|

Bài 4. Cho hàm số

1

   

x mx x

y Xác định m để |ymax ymin |4

Bài 5. Cho hàm số

2

m x

m x x y

  

 Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu |ymax ymin |8

Bài 6. Cho hàm số

4

    

x

m x x

y Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu ymax ymin 4

Bài 7. (Đ62) Tìm m để hàm số

3 ) ( ) (

1

    

 mx m x m x

y có cực đại cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực đại cực tiểu x1, x2 thoả mãn x1+ 2x2 =

Bài 8. (CĐSP Sóc trăng KA-2005) Cho hàm số

2 ) (

    

x x m x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Bài 9. (ĐH Y Thái bình -1997) Cho hàm số 2

2

x

m m x m x

y     Với giá trị m hàm số có cực tiểu nằm khoảng (0, 2m)

Bài 10. (CĐYT Thanh hoá-2005) Cho hàm số ( 1) ( 2)

m x

m m mx x

m y



    

 Tìm m để hàm số

có hồnh độ điểm cực trị thuộc (0, 2) E Một số toán khác

Bài 1. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 Tìm m để điểm cực đại cực tiểu đồ trị hàm số đối xứng qua đường thẳng x – y =

Bài 2. Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + Tìm m để điểm cực đại cực tiểu đồ trị hàm số đối xứng qua đường thẳng y = x +

Bài 3. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4m2x + m Tìm m để điểm cực đại cực tiểu đồ trị hàm số đối xứng qua đường thẳng x – 2y – =

Bài 4. (HVQHQT-1997) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + 2m n+ m4 Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều?

Bài 5. (ĐHCĐKA-2007) Cho hàm số

2

4 )

1 (

2

2



    

x

m m x m x

y Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực đại cực tiểu đồ thị với gốc toạ độ O tạo thành tam giác vuông O

Bài 6. Cho hàm số ( 1)

3

2

m x

m m m x m mx y



    

 Tìm m để hàm số có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II), điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV)?

Bài 7. Cho hàm số

1

1



   

x

m mx mx

y Tìm m để hàm số có điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV)?

Bài 8. Cho hàm số

1

5 ) (



    

x

m x m x

y điểm P(2, -1) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị đồ thị với điểm P tạo thành tam giác nhọn đỉnh P?

Bài Cho hàm số

1

   

x mx mx

y Tìm m để hàm số có CĐ, CT đường thẳng qua điểm CĐ, CT hợp với đường thẳng y = 2x – góc 600

Bài 10 Cho hàm số

3 2

   

x mx mx

y Tìm m để hàm số có CĐ, CT đường thẳng qua điểm CĐ, CT hợp với đường thẳng y = 2mx – góc 450

Dạng Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trịcủa đồ thị hàm số

A Lập Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số

Chúng ta nhắc lại phương pháp sau:

Phương pháp:

+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

+ Từ điều kiện tốn, thơng qua tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số từ ta tìm

được điều kiện tham số

Chú ý:

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

+ Khi tính giá trị cực trị hàm số qua điểm cực trị ta thường dùng kết sau:

Định lý 1: Cho hàm đa thức y = P(x), giả sử y = (ax + b)P’(x) + h(x) x0 điểm cực

trị hàm số giá trị cực trị hàm số y(x0) = h(x0) Khi phương trình y(x) = h(x) gọi phương trình quỹ tích điểm cực trị

Định lý 2: Cho hàm phân thức

) (

) (

x g

x u

y , x0 điểm cực trị hàm số giá trị

cực trị hàm số là:

) ( '

) ( ' ) (

0 0

x g

x u x

y  ,

) ( '

) ( '

x g

x u

y phương trình quỹ tích điểm cực trị

Bài 1. (HVKT Mật mã -1999) Cho hàm số: y = x3 – 3(m + 1)x2 + 2m(m2 + 7m + 2)x – 2m(m + 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó?

Bài 2. (ĐHTCKT-1996) Cho hàm số y = x3 + mx2 + 7x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó?

Bài 3.(ĐH-KA-2002) Cho hàm số y = –x3 + 3m x2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số

Bài 4.(ĐHTCKT-1999) Cho hàm số

2

m x

m mx x y

   

 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đó?

B Lập phương trình parabol qua điểm cực trị thoả mãm tính chất (T)

Bài 1. (ĐH Thái nguyên KA+B-2000) Cho hàm số

3

1  

 x x

y Lập phương trình parabol qua điểm cực trị đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = 4/3

Bài 2. Cho hàm số y = x3 + 2x2 - x + 16 Lập phương trình parabol qua điểm cực trị đồ thị tiếp xúc với đường thẳng x – 2y + = (d)

Bài 3. Cho hàm số y x32x2x

3

Lập phương trình parabol qua điểm cực trị đồ thị tiếp xúc với đường thẳng 2x – y =

Bài 4. Cho hàm số y = x4 + 2(m + 1)x2 + a Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

b Xác định phương trình đường cong qua điểm cực trị đồ thị hàm số?

Bài 5.(ĐH An ninh KA-1999) Cho hàm số

9

   

x x x

y Lập phương trình parabol qua điểm cực trị đồ thị tiếp xúc với đường thẳng 2x – y – 10 = 0?

Bài 6. Cho hàm số

1 2

   

x x x

y Lập phương trình parabol qua điểm cực trị đồ thị tiếp xúc với đường thẳng x + y – =

Bài 7.(ĐH An ninh KA-1998)Cho hàm số

 

x x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số C Xác định điều kiện tham số để đường thẳng qua điểm cực trị thoả mãn tính chất (T) nào

Bài 1. Cho hàm số

2

m x

m mx x

y

  

 Xác định m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích

Bài 2. Cho hàm số

2

m x

mx x y

  

 Xác định m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích

Bài 3. Cho hàm số

1

    

x

m mx

x

y Xác định m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số tạo với trục toạ độ tam giác cân?

Bài 4. Cho hàm số

1 2

   

mx mx x

y Xác định m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số vng góc với đường thẳng x + 2y – =

Bài 5. Cho hàm số ( 1)

3

2

m x

m m x m mx y



   

 Xác định m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số tiếp xúc với đường tròn (x – 1)2 + (y + 1)2 = 5?

Dạng Quỹ tích điểm cực trị

Bài 1. (ĐH Đà nẵng-2000) Cho hàm số

1

    

x m mx x

y Tìm m để hàm số có cực trị Xác định tập hợp điểm cực trị đó?

Bài 2. (ĐH Ngoại thương -1998) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 +3(m2 – 1)x + m3- 3m CMR với m hàm số ln có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu chạy hai đường thẳng cố định

Bài 3. Cho hàm số

2

   

x m x x

y Tìm m để hàm số có cực trị Xác định tập hợp điểm cực trị

Bài Cho hàm số y = x2 – 3x - 2 x m

a Tìm m để hàm số có cực trị

b CMR đố cực trị nằm đường cong

HD: Hàm số có điểm cực trị y’ = có nghiệm phân biệt khác - Dựa vào bảng biến thiên ta có -1 < m <

b Khi -1 < m < tọa độ điểm cực trị thỏa mãn hệ phương trình:

Chứng tỏ điểm cực trị hàm số nằm đường cong y3x26x

x x y x x xy x

m x x y

m x x x

m x x y y

6

3

0

2

0 '

2

3

3

2      

    

  

   

    

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

BÀI GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định D

- Số M gọi GTLN hàm số D nếu: + xD cho f(x)M

+ x0Dsao cho f(x)M + Ký hiệu: M Max f(x)

D 

- Số m gọi GTNN hàm số D nếu: + xD cho f(x)m

+ x0Dsao cho f(x)m + Ký hiệu: m f(x)

D 

2 Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số

Phương pháp chung:

+ Để tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) D ta tính y’, tìm điểm tới hạn lập bảng biến thiên

+ Từ bảng biến thiên ta suy GTLN, GTNN Chú ý:

*) Nếu hàm số tăng giảm [a, b] ( ) max ( ), ( ) ]

,

[ f x f a f b

Max b

a 

( ) min ( ), ( ) ]

,

[ab f x  f a f b

*) Nếu hàm số y = f(x) liên tục [a, b] ln có GTLN, GTNN đoạn cách tìm sau: - Tính y’ tìm điểm tới hạn: xi

- Tính giá trị f(xi) f(a), f(b)

- Khi đó: ( ) max ( ), ( ), ( ) ]

,

[ f x f x f a f b

Max i

b

a 

( ) min ( ), ( ), ( ) ]

,

[ab f x  f xi f a f b

*) Nếu hàm số y = f(x) tuần hồn chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN D ta cần tìm GTLN, GTNN đoạn thuộc D có độ dài T

*) Cho hàm số y = f(x) xác định D Khi ta đặt ẩn phụ t = u(x), ta tìm tE,xD ta có y = g(t) Max, hàm f D Max, hàm g E

*) Khi tốn u cầu tìm Min, Max mà khơng nói tập ta hiểu tìm Min, Max tập xác định hàm số

**** Ngồi ta cịn dùng phương pháp Miền giá trị, sử dụng Bất đẳng thức để tìm Min, Max VD1: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y = sin2012x + cos2012x

+ TXĐ: D = R

+ Đặt sin2x = t cos2x = – t (0t1) + Ta có f(t) = t1006 + (1 – t)1006

+ Bài tốn trở thành tìm Max, Min f(t) [0, 1] + Tính f’(t) = 1006t1005 – 1006t(1 – t)1005

Cho f’(t) = [0,1]

1

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

+ Ta có:                      ) ( 2 2 1 ) ( 1005 1006 1006 f f f

Nên 1005

] ,

[ 2

1 ) (

min  

      f t

f , ( )  1 (0)

] ,

[ f t  f  f  Max

VD2: Tìm Max, Min hàm số sau:

x x

x x

y 4 2

2 cos sin sin cos   

+ TXĐ: D = R

+ Đặt sin2x = t cos2x = – t (0t1) Khi 2 1 ) ( ) ( 2          t t t t t t y Ta có:

 2 2

2 '     t t t

y , [0,1]

3

' t 

y Ta có:                   ) ( 3 ) ( f f f

 Max, Min

VD3: Tìm GTNN của: 

           2 2 4 4 ) , ( x y y x y x x y x y y x y x f + TXĐ: (x, y)0

+ Đặt t

y x x y



 , |t|2 Khi f(t) = t4 – 6t2 + t + với |t|2 f’(t) = 4t3 – 12t +

*) Nếu t(,2)=> f”(t) = 12t2 – 12 > nên f’(t) đồng biến (,2) ) ( ) ( ' ) (

' t f f t

f     

 nghịch biến (,2) ( ) ( 2) ) , (     

 f t f *) Nếu t[2,) ta làm tương tự

Kết luận minf(t) = - xy0

VD4: Tìm GTLN hàm số: , 2      x x x x y + TXĐ: D = 0,

+

 x  x x x x

x x x x x y              2 2 2 1 1 1

+ Hàm số đạt GTLN khoảng 0, hàm số: f x   x2 x )

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

+ Ta có

9 ) ( '    x x x f ; 1 72 9 ) (

' 2  

          x x x x x x f => 2 ) (

0 

               

 f x f Maxx y y

x

VD5: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y = |x3 – 3x2 + 1| đoạn [-2, 1] + Đặt g(x) = x3 – 3x2 + 1, x[2,1]

+ Ta có g’(x) = 3x2 – 6x

                       19 ) ( ) ( ) ( ) ( ] , [ 0 ) ( ' ] , [ ] , [ g x g g x g Max x x x g ] 19 , [ | ) ( | ) ( ] , 19 [ ) ( ] , [      

 g x f x g x

x

Mà g(0).g(1) < x0(0,1) cho g(x0) = Vậy            ) ( 19 ) ( ) ( ] , [ ] , [ x f f x f Max

VD6: Tìm m để GTLN hàm số: y = |x2 + 2x + m - 4| đoạn [-2, 1] đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm m, n để GTLN hàm số: y = |x2 + mx + n| đoạn [-1, 1] đạt giá trị nhỏ nhất?

1

+ y = |x2 + 2x + m - 4| = y = |(x + 1)2 + m - 5| + Đặt t = (x + 1)2 Do x[2,1]t[0,4] + Ta có f(t) = |t + m – 5|, t[0,4]

+ Khi ( )  (0), (4) | 5|,| 1|

] , [ ] , [ ] , [ ] , [           m m Max f f Max t f Max y Max t t t x

*) |m – 5||m – 1| m Max f t m m

t    

  

 ( ) | 5| ] , [

*) |m – 5||m – 1| () | 1| ] , [       

 f t m m

Max m

t

+ Mặt khác f t m R

m m m m                    , ) ( max , 3 , 5 ] , [ Vậy GTNN max ( )

] ,

[ f t  m =

+ Xét hàm số f(x) = x2 + mx + n, xác định [-1, 1] nên y = |f(x)| + Ta có f(-1) = – m + n, f(0) = + m + n

+ Giả sử Maxy = f( )                 | | | ) ( ) ( | ) ( | | ) ( | | | | ) ( ) ( | ) ( | | ) ( m f f f f m f f f f

*) m >

2 ) ( ) ( | ) ( | | |             

 f 

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số *) m <

2 ) ( ) ( | ) ( | | |              

 f 

f f m                

[ 1,1] max 2 ; f( 1); f(1) m

f y

Max x

*) m = f x x n f f mn f   f  n         

 , ( 1) (1)

2 ) ( , ) (

Giá trị lớn y hai giá trị |n|, |1 + n| *) ) ( ) ( 1         

 n f f 

q *) ) ( ) ( 2       

 n f f 

q

*) 0,

2 ) ( max 2 ) ( 2           

 f x x f x x x

q GTNN f()

VD7: Tìm GTLN, GTNN hàm số: a x x y cos sin  

b y 1sinx 1cosx a x x y cos sin  

+ Xét hàm số g(x) = sinx  cosx liên tục       ,  + Ta có

x x x x x x x x x x x g cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos ) ( '     ,        ,  x , cos , , ) ( '                           x x x s x x g 8 ) ( 1 , , ) ( 4                    

 g g g x y

g  

Vậy miny =

8

, Maxy = b y 1sinx  1cosx + Hàm số xác định khi:

       cos sin x x (luôn đúng)

+ Do y >  y2 sinxcosx22 sin xcosxsinxcosx1 (*) + Đặt t = sinx + cosx =

2 cos sin 2 , sin 2            

 t x x t

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

+ Khi  1 2

2 2 )

(t t  t2  t t  t f                        , 2 1 , 2 ) ( t t t t t f                  2 1 , ) ( ' t t t f

+ Hàm số khơng có đạo hàm t = -1 x

f'(t)

f(t)

2 -1 +

-1

8 - 2 8

- +

4-2 2 4+2 2

Từ bảng biến thiên ta max f(x) 42

R , minR f(x)1

VD8: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau [-1, 2] biết rằng:        ) ( ' ) ( ) ( 2 x x x f x f f

+ Ta có:   ( )

3 ) ( ) ( ' )

(

3 2 const c x x x x f x x x f x

f        

+ Do f(0) =

3

 c

Do hàm số f(x)3 3x3 3x2 3x1

Xét hàm số g(x) = 3x33x23x1, liên tục [-1, 2] Ta có g’(x) = 3x2 + 6x +

          1 ) ( ' x x x g

Ta có max ( ) (2) 40, ( ) ( 1)

9 , 40 ) ( , ) ( ] , [ ] , [                     

 g x g g x g

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số VD9: Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức x2+ y2 =

Tìm GTLN, GTNN biểu thức:   2 2 y xy xy x P   

 (ĐHKB08)

Cách 1:

Ta có:   2  2

2 2 2 y xy x xy x y xy xy x P        

+ Nếu y = => P =

+ Nếu y 0 ta đặt x = ty    ( ) 2 2 2 2 t f y ty y t ty y t P     

+ Xét hàm số f(t) ta có:

  23, lim ( )

3 ) ( ' , 18 ) ( ' 2 2                   t f t t t f t t t t t f t

+ Lập bảng biến thiên ta được: MaxP = 3, MinP = -6 Cách 2:   3 ) ( 3 12 3 12 2 2 2 2 2 2 2                        P y xy x y x y xy x xy x P y xy x xy x y xy xy x P

Đẳng thức xảy

                   2 3 2 y x y x y x ) ( 12

6 2 2

2 2               P y xy x y x y xy x xy x P

Đẳng thức xảy

                     13 13 3 2 y x y x y x 

VD10: Cho số x, y khác thay đổi thỏa mãn: (x + y)xy = x2 + y2 – xy Tìm GTLN biểu thức: 13 13

y x

A  (ĐHKA06) + Đặt

y b x

a1, 1 tốn thành:

4 ) ( 2         

b a b ab a b a b

a

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

BÀI 4: TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

A Tóm tắt lý thuyết

1 Đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang

+ Đường thẳng y = y0 gọi đường tiệm cận ngang (TCN) đồ thị hàm số y = f(x)

) ( lim f x y

x  xlim f(x) y0

+ Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (TCĐ) đồ thị hàm số số y = f(x) 



 

) ( lim

0 x f x x



 

) ( lim

0 x f x x

hoặc 

 

) ( lim

0 x f x x



 

) ( lim

0 x f x x

2 Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a0) gọi tiệm cận xiên (TCX) đồ thị hàm số y = f(x)

 

 ( ) 

) (

lim    



 f x f x ax b

x xlim f(x)f(x)axb0

Trong

x x f a

x

) ( lim

 

 , b f x ax

x 

   ( )

lim

x x f a

x

) ( lim

 

 , b f x ax

x 

   ( ) lim Chú ý: a = o TCX trở thành TCĐ

BÀI 5: TRỤC ĐỐI XỨNG, TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Sau tổng hợp dạng toán liên quan đến Chuyên đề Khảo sát hàm số Các em áp dụng để làm tất toán Chương I mà Thầy giao

Dạng 1: Cho hàm số y = f(x, m) có TXĐ D Tìm điều kiện tham số m để hàm số đơn điệu trên D

Cách giải  Hàm số đồng biến D  y'0, xD  Hàm số nghịch biến D  y'0, xD  Nếu y ax2 bxc

'

  

 

    

0 ,

0

' x R a

y

  

 

    

0 ,

0

' x R a

y

Dạng 2: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f(x, m) đơn điệu trên một khoảng (a, b)

Cách giải  Hàm số đồng biến (a, b)  y'0, x(a,b)  Hàm số nghịch biến D  y'0, x(a,b)  Sử dụng: ( ), ( , ) max ( )

) , ( f x m

b a x x f m

b â   

 

( ), ( , ) ( ) ) , ( f x m

b a x x f m

b â   

 

Dạng 3: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f(x, m) = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên một

khoảng có độ dài cho trước.

Cách giải  Ta có y’ = 3ax2 + 2bx + c

 Hàm số ĐB/(x1, x2)  y'0 có nghiệm phân biệt x1, x2 (*) 0   

 



 a

 Biến đổi |x1 – x2| = k thành (x1 + x2)2 – 4x1x2 = k2 (**)  Sử dụng Viet, đưa (**) theo m

 Giải phương trình kết hợp với (*) tìm m

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f(x, m) có cực trị

Cách giải

 Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, ta có y’ = 3ax2 + 2bx + c Hàm số có cực trị (CĐ, CT)  y’ = có nghiệm phân biệt  Đối với hàm số

 2  2

2

) (

' ,

n mx

x g n

mx

cm bn anx amx

y n

mx c bx ax y

  

  

 

  

Hàm số có cực trị (CĐ, CT)  ( ) 2    

amx anx bn cm x

g có nghiệm phân biệt khác

m n 

Dạng 5: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f(x, m) có cực trị tại x0

Cách giải

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số *) Nếu y hàm bậc 3, bậc y"(x0)0x0 điểm CĐ

 0 ) ( " x0

y x0 điểm CT *) Nếu

1 Bâc Bâc

y ta lập BBT để kiểm tra

Dạng 6: Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f(x, m) có cực trị điểm x1, x2 điểm cực trị thỏa mãn một hệ thức đó.

Cách giải  Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (*)

 Áp dụng Viet ta hệ thức liên hệ x1 x2  Biến đổi hệ thức cho vận dụng Viet để tim m  Kết hợp với điều kiện để kết luận

Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y = f(x)

Cách giải

 Đối với hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, y’ = 3ax2 + 2bx + c + Thực phép chia y cho y’ được: y = g(x).y’ + Px + Q

+ Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) điểm cực trị y'0 Khi y1 = Px1 + Q; y2 = Px2 + Q + Do phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y = Px + Q

 Đối với hàm số

n mx

c bx ax y

   

2

+ Ta chứng minh bổ đề: hàm số

) (

) (

x v

x u

y  có

  

 

0 ) (

0 ) ( '

0 x v

x y

) ( '

) ( ' ) (

0 0

x v

x u x

y 

+ Áp dụng: Gọi A(x1, y1), B(x2, y2) điểm cực trị

m b ax y

m b ax

y    

 1 , 2 2

+ Khi phương trình đường thẳng qua điểm cực trị

m b x m

a y 

Dạng 8: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = f(x, m) có điểm cực trị nằm phía

của trục tung

Cách giải

 Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Áp dụng Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  A B nằm phía trục Oy  x1x2 0

 Kết hợp điều kiện (1) đưa kết

Dạng 9: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = f(x, m) có điểm cực trị nằm về phía của trục hoành

Cách giải

 Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Áp dụng Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính y1 y2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Dạng 10: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = f(x, m) có điểm CĐ, CT đối xứng với nhau qua đường thẳng d: ax + by + c = 0

Cách giải

 Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Áp dụng Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính y1 y2  Tọa độ điểm cực trị A(x1, y1), B(x2, y2)  A B đối xứng với qua d

  

  

d I

d AB

với I trung điểm AB  m  Kết hợp điều kiện (1) đưa kết

Dạng 11: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = f(x, m) có điểm CĐ, CT nằm

phía của đường thẳng d: ax + by + c = 0

Cách giải

 Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Áp dụng Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính y1 y2  Tọa độ điểm cực trị A(x1, y1), B(x2, y2)  A B nằm phía d ax1by1 cax2 by2 c0  Kết hợp điều kiện (1) đưa kết

Dạng 12: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = f(x, m) có điểm CĐ, CT cách đường thẳng d: ax + by + c = 0

Cách giải

 Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Áp dụng Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính y1 y2  Tọa độ điểm cực trị A(x1, y1), B(x2, y2)  A B cách đường thẳng d: 

 

 

d I

d AB//

với I trung điểm AB  m  Kết hợp điều kiện (1) đưa kết

Dạng 13: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = f(x, m) có điểm cực trị A, B thỏa mãn một hệ thức (AB ngắn nhất,, AB = c, OA = kOB )

Cách giải

 Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Áp dụng Viet ta có hệ thức liên hệ x1 x2 (2)  Tính y1 y2  Tọa độ điểm cực trị A(x1, y1), B(x2, y2)  Tìm hệ thức liên hệ điểm A, B ta tìm m

 Kết hợp điều kiện (1) đưa kết

Dạng 14: Tìm M thuộc đường thẳng d: ax + by + c = cho tổng khoảng cách từ điểm M đến đường điểm cực trị hàm số y = f(x) là nhỏ nhất

Cách giải

 Tìm điểm cực trị A(x1, y1), B(x2, y2) đồ thị hàm số y = f(x)  Viết phương trình đường thẳng AB

 Kiểm tra xem A B nằm phía hay nằm phía đường thẳng d + Nếu A, B nằm phía d:

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số - Khi MA + MB = MA’ + MB A'B MA + MB nhỏ  M giao điểm

A’B với đường thẳng d

+ Nếu A, B nằm hai phía d:

- MA + MB nhỏ  M giao điểm AB với đường thẳng d

Dạng 15: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = f(x, m) có điểm cực trị đường

thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thằng d: ax + by + c = góc 

Cách giải

 Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (*)  Viết phương trình đường thẳng (d’) qua điểm cực trị

 Khi ta có:      

 

      



 

' ' '

'

1 '

1 '

// '

d d

d d d

d d d

k k

k k tg goc

mot d voi tao d

k k d d

k k d d

 

 Kết hợp điều kiện (*) đưa kết

Dạng 16: Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c,có điểm CĐ, CT tạo

thành một tam giác vuông cân.

Cách giải

 Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị x1 x2 (1)  Tìm tọa độ điểm cực trị A, B, C đồ thị hàm số

 Xác định xem tam giác ABC cân đỉnh nào, giả sử cân A  ABC vuông cân  AC.AB0 giá trị m

Dạng 17: Tìm giá trị m để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

n mx

c bx ax y

   

2

chắn trên hai trục

tọa độ tam giác có diện tích S?

Cách giải  Tìm TCX đồ thị hàm số

 Tìm tọa độ giao điểm A(xA, yA) B(xB, yB) TCX với 2trục tọa độ  Ta có OA = |xA| OB = |xB| SABC  OAOB |xA || yB |Sm

2

2

Dạng 18: Tìm điểm M đồ thị (C) hàm số:

d cx

b ax y

 

 cho tổng khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận là nhỏ nhất

Cách giải

 Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số  giao điểm A đường tiệm cận

 Biến đổi p q R

d cx

q p d cx

b ax

y 

   



 , ,

 Gọi , (C)

d cm

q p m

M 

  

 



Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số  Áp dụng BĐT Cosi cho số không âm suy M

(*) Làm tương tự hàm

n mx

c bx ax y

   

2

Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) điểm M(x0, y0)

Cách giải  Tính y’  y'(x0)

 Phương trình tiếp tuyến M(x0, y0) đồ thị hàm số y = y'(x0)(x – x0) + y0

Dạng 20: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k

Cách giải

 Tính f’(x) giải phương trình f’(x) = k  hoành độ tiếp điểm x0  y0 = f(x0)  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = k(x – x0) + y0

Dạng 21: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA, yA)

Cách giải

 Đường thẳng d qua A(xA, yA) với hệ số góc k có phương trình y = k(x – xA) + yA (*)  d tiếp tuyến (C)

  



   

) ( )

( '

) ( )

( ) (

x f k

y x x k x f

HPT A A có nghiệm

 Thay k từ (2) vào (1) ta f(x) f'(x)(xxA)yA (3)

 Giải phương trình (3)  x k phương trình tiếp tuyến (thay k vào (*))

Dạng 22: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ n tiếp tuyến tới đồ thị (C): y = f(x)

Cách giải

 Giả sử M(x0, y0) Phương trình đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng y = k(x – x0) + y0  (d) tiếp tuyến (C)

  



   

) ( )

( '

) ( )

( )

( 0 0

x f k

y x x k x f

có nghiệm  Thay k từ (2) vào (1) ta f(x) f'(x)(xx0)y0 (3)

 Khi đó, từ M kẻ n tiếp tuyến đến (C)  (3) có n nghiệm phân biệt  kết Dạng 23: Tìm điểm M cho từ điểm M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C): y = f(x)

và hai tiếp tuyến vng góc với nhau.

Cách giải

 Giả sử M(x0, y0) Phương trình đường thẳng d qua M với hệ số góc k có dạng y = k(x – x0) + y0  (d) tiếp tuyến (C)

  



   

) ( )

( '

) ( )

( )

( 0 0

x f k

y x x k x f

có nghiệm  Thay k từ (2) vào (1) ta f(x) f'(x)(xx0)y0 (3)

 Khi đó, từ M kẻ tiếp tuyến đến (C)  (3) có nghiệm phân biệt x1, x2  Hai tiếp tuyến vng góc với nhay nên f’(x1).f’(x2) = -1

Chú ý: Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) cho hai tiếp điểm nằm hai phía trục hồnh

  

 

0 ) ( ) (

2 ) (

2 f x x f

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Dạng 24: Tìm giá trị m để đồ thị (C1): y = f(x, m) cắt đồ thị (C2): y = g(x) tại n điểm phân biệt

Cách giải

 (C1) cắt (C2) n điểm phân biệt  f(x,m)g(x)có n nghiệm phân biệt

 Tìm m số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm phương trình bậc 2, dựa vào bảng biến thiên, dựa vào đồ thị kết

Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: f(x, m) =

Cách giải

 Biến đổi phương trình f(x, m) = dạng f(x) = f(m), đồ thị hàm số y = f(x) vẽ phải vẽ lập bảng biến thiên

 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị (C): y = f(x) với đường thẳng y = f(m)

Dạng 26: Tìm giá trị m để đường thẳng d: y = px + q cắt đồ thị (C):

d cx

b ax y

 

 tại hai điểm phân

biệt M, N cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất?

Cách giải  d cắt (C) điểm phân biệt  px q

d cx

b ax

   

có nghiệm phân biệt khác c

d 

ĐK m  Khi d cắt (C) hai điểm phân biệt M(x1, y1), N(x2, y2)

 Áp dụng Viet tìm mối quan hệ x1, x2

 Tính MN2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 kết m để MN nhỏ (*) Làm tương tự hàm

n mx

c bx ax y

   

2

Dạng 27: Tìm giá trị m để đường thẳng d: y = px + q cắt đồ thị (C):

d cx

b ax y

 

 tại hai điểm phân

biệt thuộc cùng một nhánh (C)

Cách giải  Xác định TCĐ (C)

 d cắt (C) hai điểm phân biệt thuộc nhánh (C)

 px q

d cx

b ax

   

có nghiệm phân biệt nằm phía TCĐ

2

  

Ax Bx C có nghiệm phân biệt khác c

d 

nằm phía TCĐ  kết m (vận dụng kiến thức điểm nằm phía đường thẳng)

Dạng 28: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C): y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục Ox điểm

phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Cách giải  Điều kiện cần:

+ Hoành độ giao điểm x1, x2, x3 nghiệm ax3 + bx2 + cx + d = (1) + Theo Viet: x1 + x2 + x3 =

a b 

(2)

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số  Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay không  Kết luận: Đưa giá trị m

Dạng 29: Tìm giá trị m để đường thẳng đồ thị (C): y = ax3 + bx2 + cx + d cắt trục Ox điểm

phân biệt có hồnh độ lập thành một cấp số nhân

Cách giải  Điều kiện cần:

+ Hoành độ giao điểm x1, x2, x3 nghiệm ax3 + bx2 + cx + d = (1) + Theo Viet: x1x2x3 =

a d 

(2)

+ Do x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng nên x1x3 = x22 thay vào (2) suy x2 + Thay vào (1) ta tìm m

 Điều kiện đủ: Thử lại giá trị m vừa tìm xem PT cho có nghiệm hay khơng  Kết luận: Đưa giá trị m

Dạng 30: Cho họ đường cong (Cm): y = f(x, m), với m là tham số Tìm điểm cố định mà họ đường

cong qua với giá trị m.

Cách giải

 Gọi A(x0, y0) điểm cố định họ (Cm) Khi ta có y0  f(x0,m),m AmB0,m

0

x B

A  

 

 

 y0 điểm cố định A

 Kết luận điểm cố định mà họ (Cm) qua

Dạng 31: Cho họ đường cong (Cm): y = f(x, m), với m là tham số Tìm điểm mà họ đường cong trên

đi không qua với giá trị m.

Cách giải

 Gọi A(x0, y0) điểm mà họ (Cm) không qua với m  Khi ta có y0  f(x0,m) vô nghiệm  điều kiện x0 y0 Dạng 32: Cho đồ thị (C): y = f(x) Vẽđồ thị hàm số: y = f(|x|)

Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

 Ta có: y = f(|x|) =   

 

 )

(

0 )

(

x nêu x f

x nêu x f

 Do đồ thị hàm số y = f(|x|) hợp phần: + Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Ox + Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Oy

Dạng 33:Cho đồ thị (C): y = f(x) Vẽ đồ thị hàm số: y = |f(x)|

Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

 Ta có: y = |f(x)| =   

 

 ) ( )

(

0 ) ( )

(

x f nêu x f

x f nêu x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số  Do đồ thị hàm số y = |f(x)| hợp phần:

+ Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên trục Ox + Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Oy Dạng 34:Cho đồ thị (C): y = f(x) Vẽ đồ thị hàm số: |y| = f(x)

Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

 Ta có: |y| = f(x) =        

  



) (

) (

0 ) (

x f y

x f y

x f

 Do đồ thị hàm số |y| = f(x) hợp phần: + Phần 1: phần đồ thị (C) nằm bên trục Ox + Phần 2: phần đối xứng với phần qua trục Ox

Dạng 35:Cho đồ thị (C): y = f(x) Vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = |u(x)|.v(x)

Cách giải  Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

 Ta có: y = f(x) = |u(x)|.v(x) =   

 

 ) ( )

( ) (

0 ) ( )

( ) (

x u neu x

v x u

x u neu x

v x u

 Do đồ thị hàm số y = f(x) hợp phần: + Phần 1: phần đồ thị (C) miền u(x)0

+ Phần 2: phần đối xứng với phần đồ thị (C) miền u(x) < qua trục Ox

BÀI SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 TXĐ: D =  Sự biến thiên

+ Tính y’, tìm điểm tới hạn

+ Hàm số đồng biến khoảng ( , ) + Hàm số nghịch biến khoảng ( , ) + yCĐ = y( ) =

+ yCT = y( ) = + Tính giới hạn + Lập bảng biến thiên  Vẽ đồ thị hàm số

+ Đồ thị hàm số qua điểm

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số HÀM BẬC BA

Bài Cho hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – có đồ (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để phương trình 2|x|3 – 9x2 + 12|x| + = m có nghiệm phân biệt c Tìm m để phương trình |2x3 – 9x2 + 12x – | = m có nhiều nghiệm Bài (A-2006) Cho hàm số y = 2x3 – 9x2 + 12x – có đồ thị (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để phương trình 2|x|3 – 9x2 + 12|x| - = m có nghiệm phân biệt Bài (B-2008) Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + có đồ thị (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1, -9) Bài (D-2005) Gọi (Cm) đồ thị hàm số

3

3

1

 

 x mx

y a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị

b Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ –1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x – y =

Bài (B-2004) Cho hàm số y x 2x 3x

3

1

 

 có đồ (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) điểm uốn CMR  tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất?

Bài Cho hàm số y = 4x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2, m tham số a Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (2, +)

b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (-, -1) (2, +) c Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

Bài Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6mx có đồ thị (Cm), m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

b Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = (m – 18)x điểm phân biệt? Bài Cho hàm số y = x3 + 3x2 – có đồ thị (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) qua điểm cực đại

c Tìm m để đường thẳng y = 3mx + cắt (C) điểm phân biệt cách nhau?

Chú ý: Định lý Viet hàm bậc 3:         

 

 



   

a d x

x x

a c x x x x x x

a b x x x

3

1 3 2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Bài (D-2008) Cho hàm số y = x3 - 3x2 + có đồ thị (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b Chứng minh đường thẳng qua I(1, 2) với hệ số góc k (k > -3) cắt (C) điểm phân biệt I, A, B I trung điểm AB

Bài 10 (B-2007) Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

b Tìm m để hàm số có CĐ, CT điểm cực trị đồ thị cách gốc tọa độ Bài 11 (D-2006) Cho hàm số y = x3 - 3x + có đồ thị (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b Gọi (d) đường thẳng qua A(3, 2) có hệ số góc m Tìm điều kiện m để (d) cắt (C) điểm phân biệt?

Bài 12 (A-2002) Cho hàm số y = -x3 + 3mx2 + 3(1 – m2)x + m3 – m2 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

b Tìm k để phương trình -x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = có nghiệm phân biệt Bài 13 (B-2003) Cho hàm số y = x3 - 3x2 + m

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

b Tìm m để đồ thị hàm số có điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ Bài 14 (D-2004) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x +

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số thuộc đường thẳng y = x +

Bài 15 Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = -3x + cho từ M kẻ tiếp tuyến tới (C) tiếp tuyến vng góc với nhau?

Bài 16 Cho hàm số y x33x2m x m2 

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại cực tiểu đồ thị đối xứng qua đường thẳng

2

y x

Bài 17.cho hàm số y x45x24

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt x45x2m2 3m0

Bài 18 Cho hàm số

3

y x  x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số b Tìm đồ thị (C) điểm mà tiếp tuyến đồ thị (C) vng góc với đường thẳng

1

3

y  x 

Bài 19 cho hàm số

3

y x  x m

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m =

3

b Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt Bài 20 cho hàm số

2 yx  x x

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b Tìm diện tích giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng y4x Bài 21 Cho hàm số

3 y x  x

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b CMR m thay đổi, đường thẳng cho phương trình ym x( 1) 2ln cắt đồ thị hàm số điểm A cố định

Bài 22 Cho hàm số y x33(a1)x23 (a a2)x1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho a=0

b Với giá trị a hàm số đồng biến tập hợp giá trị x cho: 1 x 2

Bài 23 Cho hàm số 3

y x mx  x m

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m =

b Trong tất tiếp tuyến với đồ thị hàm số khảo sát tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài 24 Cho hàm số y x33x2

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số trên, biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng

3

y x

Bài 25 Cho hàm số

1

x y

x  



a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

b Cho điểm A(0; a) Xác định a để từ A kẻ hai tiếp tuyến đến C cho hai tiếp điểm tương ứng nằm hai phía trục Ox

Bài 26 Cho hàm số y2x33(2m1)x26 (m m1)x1 a khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m =

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số HÀM PHÂN THỨC

Bài (D-2002) Cho hàm số

1 )

(

   

x m x m

y , m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = b Biện luận theo k số nghiệm phương trình k

x x

 1

c Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x

Bài Cho hàm số

m x

x m m y



  

 ( 1)

2

có đồ thị (Cm), m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =

b Tìm điểm thuộc đường thẳng x = cho đths không qua với m? )

, ( )

(d M a

M 

m x

m m a R m C

a

M m

    

  

( ) , 2

) , (

2

(*) Khảo sát

m x

m m y

   

 2

2

(C’) Điều kiện (*) xảy (C’) không cắt đường thẳng y = a hay 2 146a2 146

Bài (D-2007) Cho hàm số

1

 

x x

y có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b Tìm tọa độ M thuộc (C), biết tiếp tuyến M cắt Ox, Oy A, B cho diện tích tam giác ABC ¼

Bài (ĐHKA-2011) Cho hàm số

x y

x   



a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho

b Chứng minh với m đường thẳng y = x + m ln cắt đồ (C ) điểm phân biệt A B Gọi k1 k1 hệ số góc tiếp tuyến với ( C ) A B Tìm m để tổng k1 + k1 đạt giá trị lớn

2)

+ Hoành độ giao điểm nghiệm phương trình: (*) + Tính delta suy d ln cắt (C) điểm phân biệt với M + Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (*) ta có:

   

 

 2

2

2 2

2

1

1

1 ) (

2

2

4

1

2

  

  

       

x x x x

x x x

x x

x k

k

Theo định lý Viét suy 4 12 2

2

1k  m  m  m   k

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Bài (ĐHKD-2011) Cho hàm số

1

x y

x  



a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

b Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành

+ Xét phương trình hồnh độ giao điểm: + Điều kiện để (d) cắt (C) điểm phân biệt:

+ Khoảng cách từ điểm đến Ox nên: yA=yB => k = -3 Bài Cho hàm số

1

  

x x

y có đồ thị (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C),

biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến 2 + Tìm giao điểm đường tiệm cận

+ Gọi M(xo,

1 0

  x x

) (C) (x0 1) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm với (C) Khi phương

trình tiếp tuyến ( C ) M là:

0 )

1 (

2 )

( ) (

1

0 2 0

0

0

           

 x x y x x

x x x x x

y (d)

+ Vì

) (

2 )

1 ( )) ( , (

4

0 2

 



      

x

x x x

d I d

0

0

0

) ( ) ( 2 )

1 (

2

   

 

 



 x x

x x

Đặt t(x0 1)2 ( đk: t > 0) phương trình có dạng: t2 2t10t 1 (tmđk)

+ Với 

 

      

2

) (

0

0

x x x

t

Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: 

 

  

  

0

0 y x

y x

Bài Cho hàm số 1 x y

x  

 (1)

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1)

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Bài Cho hàm số y x C  

x

 

 a Khảo sát vẽ  C

b Viết phương trình tiếp tuyến  C , biết tiếp tuyến qua điểm A6;5 

Phương trình đường thẳng qua A6;5  d : yk x 65 (d) tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm :

 

 

   

 

      

   

2

2 2

2 2

2

4 x

x x 6 5

k x

x x

x

4 4

k k

x x 2

4 x x

4 x x x x x 0; k

4

4 k

k x 6; k

x

x

 



     

   

   

 



 

     



  

 

             

  

    

  

    

    

 

Suy có tiếp tuyến :  d : y1 x 1; d 2 : y x

4

     

Bài Cho hàm số

1

  

x x

y

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I(1;2)tới tiếp tuyến (C) M lớn

Gọi ( )

1 ;

0

0 C

x x

M 

  

 



 tiếp tuyến M có phương trình ( )

) (

3

3

2 2 0

0

x x x

x

y 

   

 hay

0 ) ( ) ( ) ( ) (

3 xx0  x0  y  x0   Khoảng cách từ I(1;2) tới tiếp tuyến là:

 

0

0

0 0

) ( ) (

9 )

1 (

1

9

) ( ) (

   

 

 

 

    

x x

x x x

x x

d

Theo BĐT Côsi: ( 1)

) (

9

0

   

 x

x Vậy d  Khoảng cách d lớn

 1 3

) ( ) (

9

0

0 2

        

 x x x

x

Vậy M: M1 3;2 3 M1 3;2 3

Bài 10 Cho hàm số

1

x y

x  



a Khảo sát vẽ đồ thị  C hàm số

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Từ giả thiết ta có: ( ) :d yk x( 1) 1. Bài tốn trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm

1 2

( ;x y ), ( ;x y )phân biệt cho x2x12y2y12 90(*)

( 1) ( )

( 1) x

k x

I x

y k x  

  

   

   



Ta có:

2

(2 3)

( )

( 1)

kx k x k

I

y k x

     

 

  



Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt phương trình kx2(2k3)x  k 0(**) có hai nghiệm phân biệt Khi dễ có 0,

8

k  k 

Ta biến đổi (*) trở thành: (1k2)x2x12 90(1k2)[x2x124x x2 1]90(***) Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1 x2 2k 3,x x1 2 k 3,

k k

 

   vào (***) ta có phương trình:

3 2

8k 27k 8k 3 0(k3)(8k 3k1)0 3, 41, 41

16 16

   

  

k k k

KL: Vậy có giá trị k thoả mãn Bài 11 Cho hàm số

1

x y

x  



a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  C hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình

1

x

m x

  

Bài 12 Cho hàm số y 2x

x

 

 có đồ thị (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn

Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là: (2; 2) Lấy điểm M m;

m

 



 



  C Ta có :    2

1 y ' m

m

  

Tiếp tuyến (d) M có phương trình:

 2  

1

y x m

m

m

    

 

Giao điểm (d) với tiệm cận đứng là: A 2; 2 m

 



 



 

Giao điểm (d) với tiệm cận ngang là: B(2m – ; 2)

Ta có:  

 

2

2

AB m

m

 

    



 

 

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Bài 13

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y 3x 4 x 2

 

 Tìm điểm thuộc (C) cách

đường tiệm cận

b Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm đoạn 2 0;

3



 

 

 

sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x ) a Gọi M(x;y) (C) cách tiệm cận x = y = 3

| x – | = | y – 3 | x 3x x x

x x



      

 

x x 2 x x x

 

     



 

b Xét phương trình: sin6x + cos6x = m ( sin4x + cos4x )

2

3

1 sin 2x m sin 2x

4

 

     

 (1)

Đặt = sin22x Vì x 0;2



 

   t0;1 Khi (1) trở thành: 2m =

3t

t



 với t0;1 Nhận xét: với t0;1ta có: sin 2x t sin 2x t

sin 2x t

  

 



 

Để (2) có nghiệm thuộc đoạn 0;2



 

 

 thì  

3

t ;1 t ;1

2

 

  

 

Dựa vào đồ thị (C) ta có: y(1) < 2m ≤ y(3/4) 2m

  

Vậy giá trị cần tìm là: 7; 10

 

 

  Bài 14 Cho hàm số

1

2   

x x y

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

b Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0) B(0 , 2) Pt đường trung trực đọan AB : y = x

Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồng độ nghiệm pt:

x

x x

  

1

2

   

 

 

  

   

2

2

0

x x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Hai điểm đồ thị thỏa ycbt :

                    , ; , Bài 15

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

1 x y x   

b Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến Tiếp tuyến (C) điểm M x( 0; (f x0))( )C có phương trình

y f x'( 0)(xx0)f x( 0)

Hay 2

0 0

( 1) 2

x x  y  x  x   (*)

*Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*)

4 2

2 ( 1)

x x     

giải nghiệm x0 0 x0 2

*Các tiếp tuyến cần tìm : x   y x  y Bài 16 Cho hàm số

2    x x y

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B. Gọi I là giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ

Ta có: , x

2 x x ; x M 0 0

0  

       ,

 2

0 x ) x ( ' y    Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng:

  x

3 x ) x x ( x y : 0        

Toạ độ giao điểm A, B   hai tiệm cận là: ; B2x 2;2 x x ; A 0         

Ta thấy A B x0 xM

2 x 2 x x       , M 0 B A y x x 2 y y     

suy M trung điểm AB Mặt khác I = (2; 2) tam giác IAB vuông I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

S =  

                                ) x ( ) x ( 2 x x ) x ( IM 2 2 0 2

Dấu “=” xảy 

        x x ) x ( ) x ( 0 2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Bài 17 Cho hàm số

1

x y

x

 



a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) N(-1; -1) Gọi điểm cần tìm A, B có ; ; ; ; ,

1

A a B b a b

a b

   

   

   

 

   

Trung điểm I AB: I ; 2

2 1

a b a b

a b

  

 



 

 

 

Pt đường thẳng MN: x + 2y +3 = Có : AB MN

I MN

 

 

  

 

=> (0; 4) (2;0)

a A

b B

 

 



 



 

Bài 18 Cho hàm số :

1

x y

x  

 (C)

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b Chứng minh rằng: với giá trị m, đường thẳng d: y  x m cắt đồ thị (C) hai điểm A,B phân biệt Tìm giá trị nhỏ độ dài đoạn thẳng AB

* Phương trình hồnh độ giao điểm d( )C là:

2

x mxm  (1) ; đ/k x1

Vì

2

4

(1)

m m

f

    



   

với m,nên p/t (1) có nghiệm phân biệt khác với m.Suy d( )C hai điểm phân biệt với m

*Gọi giao điểm d( )C là: A(xA;xAm) ; B(xB;xBm);với xA;xB nghiệm p/t (1)



 

2

2

2

2( ) ( )

2 4( 2) ( 2)

A B A B A B

AB x x x x x x

m m m



    



 

      

 

Vậy: ABmin2 2, đạt m =

Bài 19 Cho hàm số 2

1

x y

x  

 (C)

a Khảo sát hàm số

b Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho

AB =

Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x2 + mx + m + = , (x≠ - 1) (1)

d cắt (C) điểm phân biệt  PT(1) có nghiệm phân biệt khác -1  m2 - 8m - 16 > (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 nghiệm PT(1)

Theo ĐL Viét ta có

1

1

2 2

m

x x

m x x 

  

  



 

 

AB2 =  2

1 2

(x x ) 4(x x ) 5 

1 2

(x x ) 4x x 1  m2 - 8m - 20 =  m = 10 , m = - ( Thỏa mãn (2))

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Bài 20 Cho hàm số 2 4 ( )

1

x

y C

x

 



a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

b Gọi M điểm đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận (C) A, B CMR diện tích tam giác ABI (I giao hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí M

Gọi ;2 4   1

1

a

M a C a

a



 

  

 



 

Tiếp tuyến M có phương trình:

 2 

6 2 4

1 1

a

y x a

a a



  

 

Giao điểm với tiệm cận đứng x 1 1;2 10 1

a A

a



 



 



 

Giao điểm với tiệm cận ngang y 2 B2a1;2

Giao hai tiệm cận I(-1; 2)

   

12 1 1

; 2 1 . .24 12

1 IAB 2 2

IA IB a S IA AB dvdt

a

      



Suy đpcm

Bài 21: Cho hàm số :

1 x 2

1 x y

  

 (C)

a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận trục Ox

Giao điểm tiệm cận đứng với trục Ox    

 

 ,0 A

Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng      

 

2 x k y

() tiếp xúc với (C) /

x 1

k x

2x

x

k co ù nghieäm 2x

    

    

   

   

 

 

 

   

 

      

  

     

  

  

) ( k x

3

) ( x k x

1 x

2

Thế (2) vào (1) ta có pt hoành độ tiếp điểm

 2

1 x

x

2x 2x

 



 

   

 

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số (x 1)(2x 1) 3(x 1)

2

     x

2

  x

2

  

x

  Do

12

k

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y x

12

 

    

 

Bài 22 Cho hàm số

2 1 2

  

x x

y có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b.Chứng minh đường thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ

Hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng d nghiệm phương trình 

 

    

      



) ( ) (

2

1

2

m x

m x

x m x x

x

Do (1) cóm2 10va (2)2 (4m).(2)12m30m nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt A, B

Ta có yA = m – xA; yB = m – xB nên AB2 = (xA – xB)2 + (yA – yB)2 = 2(m2 + 12) suy AB ngắn  AB2 nhỏ  m = Khi AB 24

Bài 23 Cho hàm số

1

x y

x  



a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

b Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ Gọi M(x0;y0) điểm thuộc (C), (x0- 1) 0

0

2

1

x y

x  



Gọi A, B lần lợt hình chiếu M TCĐ TCN MA = |x0+1| , MB = | y0- 2| = |

0

2

1

x x



 - 2| = | 0

1

x  |

Theo Cauchy MA + MB  0

0 x

1 x 

 =2

 MA + MB nhỏ x0 = x0 = -2.Nh ta có hai điểm cần tìm (0;1)

(-2;3)

Bài 24.Cho hàm số 1 x y

x  

 (1)

1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1)

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc -

+) Ta có I(- 1; 2) Gọi 0 2

0

3

( ) ( ; )

1 ( 1)

M I

IM

M I

y y

M C M x k

x x x x

 

     

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số +) Hệ số góc tiếp tuyến M:

 

0

0

3 '( )

1

M

k y x

x

 



+) Ta có I(- 1; 2) Gọi 0 2

0

3

( ) ( ; )

1 ( 1)

M I

IM

M I

y y

M C M x k

x x x x

 

     

  

+) Hệ số góc tiếp tuyến M:

 

0

0

3 '( )

1

M

k y x

x

 

 +) ycbtk kM IM  9

+) Giải x0 = 0; x0 = -2 Suy có điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) +) ĐK: x ( 2; 2) \ {0}

+) Đặt y   x2,y  Ta có hệ: 2

2

x y xy

x y

 

 

 



+) Giải hệ đx ta x = y =

1 3

2 ;

1 3

2

x x

y y

     

 

 

 

 

   

 

 

 

 

+) Kết hợp điều kiện ta được: x =

2

x   Bài 25 Cho hàm số

1 x

x y



 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân

Bài 26 Cho hàm số

1

  

x x y

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

b Tìm (C) điểm phân biệt đối xứng với qua đường thẳng x = y +

Bài 27 Cho hàm số

2

  

x x y

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN VÀ SỰ TIẾP XÚC GIỮA HAI ĐƯỜNG CONG

(Sử dụng sách thầy Phan Huy Khải)

Các toán tiếp tuyến tiếp xúc hai đường cong chiếm vị trí quan trọng lớp toán hàm số Sự tiếp xúc hai đường nói chung thể qua hai tiêu chuẩn sau đây: - Hoặc phản ánh tồn nghiệm bội phương trình f(x) = g(x)

- Hoặc thể qua tương thích hệ phương trình dạng: 

 

 

) ( ' ) ( '

) ( ) (

x g x f

x g x f

Chính mà có hai phương pháp để tiếp cận toán Ở sử dụng hai phương pháp: phương pháp không dùng đạo hàm phương pháp dùng đạo hàm để giải toán tiếp xúc chung

PHƯƠNG PHÁP KHÔNG DÙNG ĐẠO HÀM

Loại Tìm điều kiện để hai đường thằng tiếp xúc với nhau.

Bài

a Tìm m để đường cong y = x3 – m(x – 1) – tiếp xúc với trục hoành

b Tìm m để đường cong y = x4 – 5x2 + m(x2 – x – 2) + tiếp xúc với trục hoành

HD:

a Điều kiện để đường cong y = x3 – m(x – 1) – tiếp xúc với trục hoành phương trình: x3 – m(x – 1) – = có nghiệm bội

(x1)(x2 x1m)0

Điều kiện để đường cong y = x4 – 5x2 + m(x2 – x – 2) + tiếp xúc với trục hồnh phương trình: x4 – 5x2 + m(x2 – x – 2) + = tiếp có nghiệm bội

( 1)( 2)( 2)     



 x x x x m

Bài 2. Tìm m để hai đường cong sau tiếp xúc với y = mx3 – (m – 1)x2 + (m + 1)x +

y = – mx2 + (m – 1)x – m

HD:

Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với phương trình sau có nghiệm bội: mx3 – (m – 1)x2 + (m + 1)x + = – mx2 + (m – 1)x – m

( ( 1) 1) )

1

(      

 x mx m x m

Bài

a CMR m thay đổi, đường cong y = –x3 – 3x2 + (2m + 1)x – m2 tiếp xúc với đường cong cố định

b CMR với m, đường cong: y = x4 – 2x3 + 2x2 – (2m + 1)x + m2 + 2m + luôn tiếp xúc với đường cong cố định

HD: Để chứng minh đường cong tiếp xúc với đường cong cố định, ta xét đường cong cho xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong ta đẳng thức

Ta có: y = –x3 – 3x2 + (2m + 1)x – m2= –x3 – 2x2 + x + 2mx – m2 = –x3 – 2x2 + x – (x – m)2 + Xét đường cong: y = –x3 – 2x2 + x

+ Xét pthđgđ đường cong: –x3 – 2x2 + x – (x – m)2= –x3 – 2x2 + x (xm)2 0 Phương trình ln có nghiệm kép với m nên đường cong:

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số b Làm tương tự câu a) Xét đường cong: y = x4 – 2x3 + x2 + x +

Loại 2: Các bài toán về tiếp tuyến chung

Bài 4. Cho hai parabol y = x2 – + y = –x2 – x + 14 Viết phương trình tiếp tuyến chung hai parabol

HD: Gọi y = ax + b (d) tiếp tuyến chung cần tìm

+ (d) tiếp tuyến parabol y = x2 – + nên phương trình sau có nghiệm kép: ax + b = x2 – + => mối quan hệ a b (1)

+ (d) tiếp tuyến parabol y = –x2 – x + 14 nên phương trình sau có nghiệm kép: ax + b = y = –x2 – x + 14 => mối quan hệ a b (2)

+ Từ (1) (2) tìm a b ĐA: y = 3x – 10; y = -9x +

Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường

x x

y

2 

 y = x2 – 2x + chứng minh hai đường có hai tiếp tuyến chung

HD: Gọi y = ax + b (d) tiếp tuyến chung cần tìm Khi phương trình sau có nghiệm kép: x2 – 2x + = ax + b (1)

b ax x

x

  1

(2)

+ Từ điều kiện phương trình ta có:

      

   

   

   

    

 

    

   



 

    

   

  

    

0 240 64

24

4

0 16 4

4 4

4

4

0 4

0 20 4

2

2

2

2

2

b b

b a a

b b

b b a a

a b

b a a a

Ta có: b4 242 64b2400(b2)(b3 2b2 28b120)0 (3) b = nghiệm (3) => a = (tmđk)

Do tiếp tuyến chung đường cong y = 2x + Ta cần chứng minh đường cong có tiếp tuyến chung:

+ Xét hàm số f(b)b3 2b2 28b120, f'(b)3b2 4b280 b nên f(b) đồng biến f(b) = có nghiệm

+ Mà f(0) 0, f(2) 0, f(-2) 0, nên f(b) = có nghiệm khác 0, 2, -2 + Gọi b1 nghiệm f(b) = đó: 1,

4

1

1

1  



b a

a => y = a1x + b1 tiếp tuyến chung thứ đường cong

Vậy đường cong có tiếp tuyến chung

Bài 6. CMR m0các parabol sau; y = mx2 – (4m – 1)x + 4m – tiếp xúc với đường thẳng cố định Tìm tiếp tuyến chung họ parabol

HD: Gọi y = ax + b tiếp tuyến cố định với đường cong Khi phương trình sau có nghiệm kép: mx2 – (4m – 1)x + 4m – = ax + b

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số 1 1                  

 y x

b a a

b a

Bài 7. Cho họ đường cong: m x m x m y   

( 1) với m0 Tìm tiếp tuyến chung với đường họ

HD: Gọi y = ax + b tiếp tuyến cố định với đường cong Khi phương trình sau có nghiệm kép: b ax m x m x m     1) (

(*)

Do m0 nên x = m nghiệm nhị thức (m – 1)x + m Khi (*) ax2 [(b1)m(a1) m(b1)0 (**)

(**) có nghiệm kép khi:

                       ) ( ) )( ( ) ( 0 ) ( )] ( ) [( 2 2 b b a m a m a b am a m b a (***) Hệ (***) nghiệm với m0 khi:

                       1 ) ( ) )( ( ) ( 2 b a b b a a a

Loại 3: Các bài toán về tiếp tuyến xuất phát từ điểm

Bài 8. Cho parabol y = x2 – 5x + Tìm điểm mặt phẳng cho từ vẽ hai tiếp tuyến với parabol hai tiếp tuyến vng góc với

HD: Gọi M(x0, y0) điểm cần tìm Đường thẳng với hệ số góc k qua M là: y = k(x – x0) + y0 Đường thẳng tiếp tuyến (P) phương trình sau có nghiệm kép:

x2 – 5x + = k(x – x0) + y0

1 ) (

2 0 0

2     

 k k x y

Vì qua M(x0, y0) có tiếp tuyến với (P) tiếp tuyến vng góc với nên 0 phải có nghiệm k1, k2 phân biệt k1.k2 = -1

2 1

1

4 0    0 

 y y

Vậy điểm nằm đường thẳng

2

 

y điểm cần tìm

Bài 9. Cho đường cong:

x x

y

2 

 Tìm điểm mặt phẳng cho từ vẽ hai tiếp tuyến với đường cong hai tiếp tuyến vng góc với

HD: Gọi M(x0, y0) điểm cần tìm Đường thẳng với hệ số góc k qua M là: y = k(x – x0) + y0 Đường thẳng tiếp tuyến (P) phương trình sau có nghiệm kép:

x x2



= k(x – x0) + y0 ( 1) ( 0)     

 k x y kx x (*)

(*) có nghiệm kép

                     (**) ) ( ) ( ) ( 0 2

0 k x k x y y

k k

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số Theo đề (**) cần có nghiệm k1, k2 phân biệt k1.k2 = -1

    

 

    

     

   

     

0 ) (

4

0 )

2 (

1

2 0

2 0

2 0

0 2 0

y x

y x x

y y x x

x y x

Từ hệ phương trình ta thấy điểm M đường trịn tâm O(0, 0), bán kính R = 2, bỏ điểm giao điểm trục tung đường thẳng y = x với đường tròn Các điểm A(0, 2); B(0, -2); C( 2, 2); D( 2, 2)

Bài 10. Cho đường cong:

1

  

x x

y Tìm trục hồnh điểm từ vẽ tiếp tuyến tới đường cong cho

HD: Gọi M(x0, 0) điểm cần tìm Đường thẳng với hệ số góc k qua M là: y = k(x – x0) Đường thẳng tiếp tuyến (P) phương trình sau có nghiệm kép:

0

1

kx kx x

x

  

 + Do x = -1 nghiệm x2 – nên:

0 )

1 ( )

1 (

4

0

2

2

    

  

 



kx x x k x k kx

kx x

x

(*) Phương trình (*) có nghiệm kép khi:

  

   

 

(**) 16 ) ( ) (

1

0

0

k x x

k k

Bài toán trở thành tìm k để hệ có nghiệm + Nếu x0 + =

+ Nếu x0 + 

- (**) có nghiệm kép khác

- (**) có nghiệm phân biệt có nghiệm =1 ĐS: M(-2, 0), M(-1, 0), M(1, 0), M(2, 0)

Bài 11. Cho

1

   

x x x y

Tìm điểm trục tung cho từ vẽ tiếp tuyến tới đồ thị

HD: Gọi M(0, y0) điểm cần tìm Đường thẳng với hệ số góc k qua M là: y = kx + y0 Đường thẳng tiếp tuyến (P) phương trình sau có nghiệm kép:

0

1

y kx x

x x

  

 

Tính delta cần điều kiện phương trình ẩn k có nghiệm

Loại 4: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Bài 13. Cho đường cong:

x x

y

2 

 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong, biết qua điểm A(1, 8)

Bài 14. Cho đường cong: y = x3 – 3x + Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong, biết qua điểm B(2, 4)

Loại 5: Các tốn định tính tiếp tuyến

Bài 15. Cho đường cong: y = x4 – 4x3 + CMR tồn tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong hai điểm phân biệt

HD: Đường thẳng y = ax + b tiếp xúc với đường cong y = x4 – 4x3 + điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 phương trình sau có nghiệm kép phân biệt:

x4 – 4x3 + = ax + b  x4 – 4x3 – ax + + b =  x4 – 4x3 – ax + + b  (x – x1)2(x – x2)2

  

 

  

1 b a

Bài 16. Cho đường cong: y = x3 + px2 + qx + r A, B, C ba điểm thẳng hàng nằm đường cong Tiếp tuyến với đường cong A, B, C cắt lại đường cong A’, B’, C’ CMR ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng

Xét bổ đề: điều kiện cần đủ để điểm M, N, P đường cong y = x3 + px2 + qx + r thẳng hàng x1 + x2 + x3 = -p, với x1, x2, x3 tương ứng hoành độ điểm M, N, P

Chứng minh:

2 Điều kiện cần: Giả sử M,, N, P thẳng hàng Gọi y = ax + b phương trình đường thẳng nối M, N, P Như x1, x2, x3 nghiệm phương trình: x3 + px2 + qx + r = ax + b

 x3 + px2 + (q – a)x + r – b = (*) Theo Viét ta có: x1 + x2 + x3 = -p

2 Điều kiện đủ: Giả sử x1 + x2 + x3 = -p Gọi y = a’x + b’ phương trình đường thẳng qua M, N Gọi P’ giao điểm thứ y = a’x + b’ với đường cong cho Gọi x3’ hồnh độ P’ Khi x1, x2, x3 nghiệm phương trình x3 + px2 + qx + r = a’x + b’

 x3 + px2 + (q – a’)x + r – b’ = (**)

Theo Viét ta có: x1 + x2 + x3’ = -p x3 x3' PP' Vậy M, N, P thẳng hàng (đpcm)

Bây ta chứng minh toán cho Gọi y = ax + b tiếp tuyến với đường cong y = x3 + px2 + qx + r A Giả sử đường cong cắt lại đường cong A’ Gọi x1’là hoành độ A’ Rõ ràng phương trình x3 + px2 + qx + r = ax + bx3 + px2 + (q – a)x + r – b = có nghiệm kép x1 nghiệm đơn x1’ Theo Viét ta có: x1 + x1 + x1’ = -p => x1’ = -p – 2x1

Lý luận tương tự, gọi x2’, x3’ tương ứng hoành độ điểm B’, C’ ta có x2’ = -p – 2x2, x3’ = -p – 2x3

Vậy x1’ + x2’ + x3’ = -3p – 2(x1 + x2 + x3)

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐẠO HÀM

Phương pháp dùng đạo hàm dùng để giải toán tiếp xúc nói chung (và tiếp tuyến nói riêng) dựa tiêu chuẩn sau đây:

Hai đường y = f(x) y = g(x) tiếp xúc với M có hồnh độ x0 hệ sau thỏa mãn:

  

 

) ( ' ) ( '

) ( ) (

0

0

x g x f

x g x f

Muốn sử dụng phương pháp bắt buộc phải tính đến tiếp điểm

Sử dụng đạo hàm phương pháp có ưu việt nhiều so với phương pháp không dùng đạo hàm

Loại 1: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc với nhau

Bài 1. Tìm m để đường cong: y = 2x3 – 3(m + 3)x2 + 18mx – tiếp xúc với trục hồnh

Bài 2. Tìm m để hai đường cong sau tiếp xúc với nhau: y = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 2m2 + m

y = 2x3 – 10x2 + 10x +

Loại 2: Bài toán về tiếp tuyến xuất phát từ điểm

Bài 3. Cho đường cong: y = x3 – 3x + Tìm đường thẳng y = –2 điểm vẽ hai tiếp tuyến tới đường cong hai tiếp tuyến vng góc với

+ Gọi điểm cần tìm M(x0, -2) Đường thẳng hệ số góc k qua M có phương trình y = k(x – x0) – + Gọi x1 hồnh độ tiếp điểm Ta có:

0

) (

3

2 ) (

2

0

1

2

0

1

  

   

   

 

    

x x x x x

k x x

x x k x

x

0 ] ) ( )[

( 1  12   0 1  

 x x x x (*)

Với x0 (*) ln có nghiệm x1 = => k = (loại tiếp tuyến đường cong cho khơng thể có dạng x = c)

+ Do để thỏa mãn điều kiện đề phương trình sau có nghiệm phân biệt x’, x” (ẩn x1) thỏa mãn (3x’2 – 6x’)(3x”2 - 6x”) = -1:

0 ) (

2x12   x0 x1   ĐS: M( , 2)

27 55



Bài 4. Cho đường cong: y = –4x3 + 3x Tìm đường thẳng y = –9x + điểm mà từ vẽ hai tiếp tuyến tới đường cong chúng vng góc với

Bài 5. Cho đường cong: y = x4 – x2 = Tìm điểm trục tung cho từ vẽ ba tiếp tuyến đến đường cong cho

+ Gọi M(0, y0) điểm nằm trục tung Đường thẳng hệ số góc k qua M có dạng: y = kx + y0 + Gọi x0 hồnh độ tiếp điểm Khi ta có hệ:

(*)

2

1

0 0

3

0

0

     

   

 

   

y x x x

x k

y kx x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số + Từ điều kiện tốn (*) phải có nghiệm phân biệt Đây phương trình trùng phương nên có nghiệm phân biệt phải có nghiệm => y0 =

Vậy M(0, 1) điểm cần tìm

Bài 6. Cho đường cong: y = x3 – 3x + đường thẳng y = 9x – 14 M điểm chạy đường thẳng cho Theo vị trí M, biện luận số tiếp tuyến vẽ từ M tới đường cong cho + Gọi M(x1, 9x1 – 14) điểm nằm đường thẳng y = 9x – 14

+ Gọi x0 hoành độ tiếp điểm

+ Số nghiệm phương trình (*) số tiếp tuyến vẽ từ M tới đường cong cho Loại 3: Các bài toán khác

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong: y = 3x – 4x3, biết tiếp tuyến qua P(1, 3)

Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong: y = x4 – 4x2, biết tiếp tuyến qua A(2, 0)

Bài 9. Cho hai đường cong: y = x2 – 5x + y = x3 + 3x – 10 Viết phương trình tiếp tuyến chung

ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC VÀO PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT

PHƯƠNG TRÌNH CĨ THAM SỐ

Loại 1: Sử dụng bài toán về tiếp xúc với đường cong bậc 2, bậc 3.

Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x3 + mx2 – =

Bài 2. Biện luận theo a số nghiệm phương trình: (x – 1)2 – 2|x – a| =

Bài 3. Tìm m để bất phương trình: (x – 2)2 + 2|x – m| 3 với x

Bài 4. Tìm m để phương trình 4|x|3 – 3|x| - = mx – m có nghiệm phân biệt

Loại 2: Sử dụng tiếp xúc với đường cong khác

Bài 5. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x3m1

Bài 6. Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4x2 mxm2

Bài 7. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm nhất: 

   

 

  



1

y x

m xy y

x

Bài 8. Với giá trị m hệ sau có ba nghiệm phân biệt: 

 

 

  

  

) (

0 )

)( ( ) (

2 2

2

x m y

x x x

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số CÁC BÀI TỐN VỀ HÀM SỐ CĨ THAM SỐ

TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG PHỤ THUỘC THAM SỐ

Bài 1. Cho họ đường cong: y = mx3 + (1 – m)x Tìm điểm mặt phẳng mà họ đường cong qua với m

A(0, 0); B(1, 1); C(-1,-1)

Bài Cho họ đường thẳng:

1

1

2 2

      

 

 

 

m m

m x

m m

m y

Tìm điểm cố định họ đường A(1, 1)

Bài Cho họ đường cong: thẳng: y = x3 + 2(m – 1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 + 1) Tìm điểm mà họ đường cong qua với m

A(2, 0)

Bài CMR m0 họ parabol y = mx2 – (2m – 1)x + m + tiếp xúc với đường thẳng cố định điểm cố định

+ Gọi M(x0, y0) điểm cố định họ Tìm điểm cố định (1, 3) + y’ = 2mx – (2m -1) => y’(1) =

+ Họ đường cong tiếp xúc với đường thẳng y = x +

Bài CMR với đường họ tham số sau: y = (m + 1)x2 + (4m – 5)x + 4m + tiếp xúc với điểm cố định

+ Làm tương tự Bài => điểm cố định (-2, 18)

II TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH MÀ HỌ ĐƯỜNG PHỤ THUỘC THAM SỐ KHÔNG HỀN ĐI QUA

Làm 1, 2, phần I

III KHẢO SÁT SỐ ĐƯỜNG CONG CỦA HỌ ĐI QUA MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC

Cho họ đường phụ thuộc tham số y = f(x, m) Hãy tìm điểm mặt phẳng tọa độ cho có đúng k đường họ qua.

PP: Gọi (x0, y0) điểm phải tìm, phương trình (ẩn m) có k nghiệm: y0 = f(x0, m) (*)

Khi ta quy tốn việc tìm điều kiện m để (*) có k nghiệm.

Bài 1. Cho họ đường cong:

) (

2

2

m x

m m mx y

  

 Tìm điểm mặt phẳng tọa độ cho có đường họ qua

Bài 2. Cho họ đường cong:

m x

m mx x y

    

2

Tìm điểm mặt phẳng tọa độ cho có hai đường họ qua

Bài 3. Cho họ đường cong:

x m x m x

y (2  )(  )

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Bài 4. Cho họ đường cong:

) (

2

2

m x

m m mx y

   

Giả sử M(x0, y0) điểm cho trước mặt phẳng tọa độ Tùy theo vị trí M biện luận số đường cong họ qua điểm

IV CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH KHÁC

Các toán liên quan đến điểm cực trị họ đường phụ thuộc tham số

Mệnh đề 1:Giả sử đường cong y = ax3 + bx2 + cx + d có cực đại, cực tiểu

Gọi x phần dư phép chia đa thức y : y’ Khi y = x phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đường cong bậc 3:

y = ax3 + bx2 + cx + d Mệnh đề 2:Cho

) (

) (

x v

x u

y Giả sử (x*, y*) cực trị hàm số Khi ta có

) ( '

) ( '

* * *

x v

x u y  Mệnh đề 3:

' '

b x a

c bx ax y

  



Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu Khi đường thẳng qua cực đại, cực tiểu có phương trình:

' '

a b x a

a

y 

Bài 1/245 Cho y = x3 – 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x – m3 – Tìm m để hàm số có cực trị ymax.ymin >

Bài Cho họ đường cong: y = 2x3 + 3(m – 1)x2 +6(m – 2)x – Tìm m để đường cong có cực đại, cực tiểu đường thẳng nối chúng song song với đường thẳng y = kx Biện luận theo k số đường cong thỏa mãn yêu cầu

Bài Cho đường cong:

1

1 | sin | ) (sin



 

 

x x x

y  

a.Tìm  để có CĐ, CT ymax + ymin = b.Tìm  để ymax ymin >

Bài Cho họ đường cong:

1

   

x n mx x

y với m + n –1

CMR tồn k để đường thẳng y = k khơng cắt đường cong đường cong có CĐ, CT

Bài 5. Tìm m để hàm số: f(x) = –2x3 + 3(m – 2)x2 + 6(m – 1)x – 2(m + 1) có CĐ CT dương f(x) > x0

HD:

1 Điều kiện cần. Giả sử f(x) thỏa mãn yêu cầu toán Do f(x) > x0 f(0)0m1

2 Điều kiện đủ. Giả sử m < -1 Tính f’(x), lập BBT

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Bài 6. Cho họ y = x4 – 2p2x2 + p với p0 Tìm p q để điểm cực trị đồ thị hàm số lập thành tam giác

HD: Tìm điểm cực trị Viết điều kiện để tam giác cân thành tam giác

3

 

p , q tùy ý

Bài

a.Cho y = (x – m)(x – n)(x – p) với m < n < p CMR hàm số ln có cực trị x1, x2 thỏa mãn điều kiện: m < x1 < n < x2 < p

b Cho y = x4 + 4mx3 +3(m +1)x2 + Tìm m để hsố có CT khơng có CĐ

c Cho y = x3 – 3mx2 +4m3 Tim m để hàm số có CĐ, CT đồ thị hàm số CĐ CT hai điểm đối xứng với qua đường phân giác y = x

a Xét hàm số: y = f(x) = (x – m)(x – n)(x – p)

Ta có f(m) = f(n) = f(p) = 0, f(x) liên tục có đạo hàm nên f’(x) = có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: m < x1 < n < x2 < p => hàm số đạt CĐ, CT x1 x2 (đpcm)

b

+ Xét hàm số f(x) = x4 + 4mx3 +3(m +1)x2 +

f’(x) = 2x[2x2 + 6mx + 3(m + 1)]; f’(0) = + Xét trường hợp sau:

-

3

7

'     

 m => 2x2 + 6mx + 3(m + 1) > với x Lập BBT kết luận hàm số đạt CT x =

-

   

 

 

    

3

3

'

m m

Lập BBT thấy m thỏa mãn

- '0

*) Tam thức 2x2 + 6mx + 3(m + 1) có nghiệm x = => m = -1 Tính y’, lập BBT thấy thỏa mãn

*) Xét   

   

1 '

m Lúc y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3) Lập BBT thấy không thỏa mãn

ĐS: Các giá trị m là: m = -1,

3

7

1 

  

m

Bài 8. Cho y = x3 – 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) Tìm m để đường cong cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lớn

+ Bài tốn trở thành tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt lớn 1: x3 – 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x – 4m(m + 1) = (x – 2)[x2 – (3m + 1)x + 2m(m + 1)] =

+ Vậy theo đề bài, phương trình bậc 2: f(x) = x2 – (3m + 1)x + 2m(m + 1) = có nghiệm phân biệt lớn khác

ĐA:     

 

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Bài 9. Tìm m để đường cong: y = x3 – 3x2 + (2m – 2)x + m – cắt trục hồnh tai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x1 < –1 < x2 < x3

2 Điều kiện cần: Giả sử thỏa mãn yêu cầu đề bài, ta có: f(x) = x3 – 3x2 + (2m – 2)x + m – = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

+ Do x1 < -1 < x2 => 1.f(-1) > => m < -5

2 Điều kiện đủ: Giả sử m < -5 Ta có f(-1) = -m – > f(0) = m – <

+ Vì 

  ( ) lim f x

x nên tồn b < -1 cho f(b) <

+ Vì 

  ( ) lim f x

x nên tồn a > cho f(a) >

+ Mà hàm số f(x) liên tục nên từ f(b) < 0; f(-1) > 0; f(0) < 0; f(a) > nên tồn x1, x2, x3 cho f(x1) = fx2) = f(x3) =

Trong b < x1 < - < x2 < < x3 < a

Như đường cong y = x3 – 3x2 + (2m – 2)x + m – cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x1 < - < x2 < x3 m < -5

Bài 10. Biện luận theo m số giao điểm đường cong sau với trục hoành: y = x3 – 3x2 + 3(1 – m)x + 3m +

HD: Viết phương trình đường thẳng qua cực trị => y1, y2 Đường cong cắt trục hoành điểm khi:

a Hoặc đường cong khơng có cực trị b Hoặc y1y2 >

2 Đường cong cắt trục hoành điểm y1y2 = Đường cong cắt trục hoành điểm y1y2 <

Bài 11. Cho y = (x – 2)(x2 + 2mx + m + 2) Tìm m để đường cong chắn trục hoành hai đoạn

HD:

+ Đường cong ln cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x =

+ Điều kiện để đường cong cắt trục trục hoành điểm phân biệt phương trình sau có nghiệm phân biệt khác 2:

f(x) = x2 + 2mx + m + = (1)

      

    

    

 

 

    

 

  

5

2

6

0

) (

0

'

m m m m

m m

f (*)

Giả sử x1, x2 (x1 < x2) nghiệm (1) Có khả xảy ra: x1 < < x2 => f(2) = 5m + < m < -6/5

Theo đề ta có: x2 – 2= – x1 x1 + x2 = m = -2 (thỏa mãn (*)) 2

   

   

  

 

 

 



1

6

' ) ( ]

, [

m m f

x

x (**)

Khi ( 2)

2   m  x1x2 

S

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

' )

' (

) ' (

2

2          

 m m m

Kết hợp với (**) suy

16 873 13  m ĐS: m = -2,

16 873 13  m

Bài 12. Cho đường cong: y = x3 – 3ax2 + 4a3 Tìm a để đường thẳng y = x cắt đồ thị ba điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC

HD:

2 Điều kiện cần Giả sử y = x cắt đường cong điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC Gọi A’, B, C’ hình chiếu A, B, C lên trục hoành => A’B’ = B’C’ Gọi x1, x2, x3 tương ứng hoành độ A’, B’, C’ Như x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng x1, x2, x3 nghiệm phương trình:

x3 – 3ax2 + 4a3 = x  x3 – 3ax2 – x + 4a3 = + Theo Viet ta có x1 + x2 + x3 = 3a => x2 = a

    

   

2 a a

2 Điều kiện đủ

2.1 Nếu a = => x3 = x có nghiệm -1, 0, lập thành cấp số cộng (thỏa mãn)

2.2 Nếu  2

2 2

2

       

  

 

 x x x

a (thỏa mãn)

2.3 Nếu

2  

a làm tương tự

Bài 13. Cho họ đường cong y = x4 + 2(2m + 1)x2 – 3m

Tìm m để đường cong chắn trục hoành ba đoạn

HD:

+ Phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 + 2(2m + 1)x2 – 3m =

+ Hay phương trình t2 + 2(2m + 1)t – 3m = (*) có nghiệm dương phân biệt

8 33 7   m

+ Gọi A, B, C, D giao điểm đường cong với trục hồnh nên có hồnh độ là: -x2, -x1, x1, x2 (x2 > x1 > 0) Từ AB = BC = CD => x2 – x1 = x1 – (-x1) = -x1 – (-x2) => x2 = 3x1

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ

(Sử dụng tài liệu thầy Hào ĐHBK)

I LÝ THUYẾT

1 Cho hai điểm A x y 1; 1;B x y 2; 2AB x2x12y2y12

2 Cho điểm M x y 0; 0 đường thẳng d: Ax + By + C = 0, khoảng cách từ M đến d:

  0

2

Ax

; By C

h M d

A B

 

 



3 Khoảng cách từ M x y 0; 0 đến tiệm cận đứng: x = a h x0a

4 Khoảng cách từ M x y 0; 0đến tiệm cận ngang: y = b là: h y0b

5 Chú ý: Hai điểm A B thường hai điểm cực đại, cực tiểu giao đường thẳng với đường cong (C) Vì trước áp dụng cơng thức, ta cần phải tìm tọa độ chúng (Tìm điều kiện tồn A B)

- Nhớ điều kiện tồn hai điểm cực trị cho hàm phân thức hàm đa thức

- Khi tìm giao hai đường: Lập phương trình hồnh độ điểm chung, sau tìm điều kiện cho phương trình có hai nghiệm phân biệt

II CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

A ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

1 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Hãy tìm (C) hai điểm A và B cho khoảng cách AB ngắn

nhất.

CÁCH GIẢI

- Giả sử (C) có tiệm cận đứng: x = a Do tính chất hàm phân thức, đồ thị nằm hai phía tiệm cận đứng Cho nên gọi hai số  , hai số dương

- Nếu A thuộc nhánh trái xA axA a  a ( )C , - B thuộc nhánh phải xB axB a  a ( )C

- Tính: yA  f x( A);yB  f x( B); Sau tính

 2  2      2

2

B A B A B A

AB  x x  y y  b  a   y y

- Khi AB có dạng: AB2 ga b ;   ;  Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có kết cần tìm

VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ (ĐH - NGoại Thương - 99). Cho hàm số  

1

1

x x

y x C

x x

 

  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau, cho AB ngắn

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Gọi A thuộc nhánh trái xA  1 với số  0, đặt

 

1 1

1 1 1

1 1

A A A

A

x y x

x

  

 

           

  

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

 

1 1

1 ; 1

1 1

B B B

B

x y x

x

  

 

          

  

- Vậy:

       

       

 

2

2

2

2

2 2 2 2

2

2

1

1 1

1 1

( ; ) 1

2

( ; ) 2 1 8 4.8 8

B A B A

AB x x y y

g g

AB

   

 

            

     

    

   

   

               

 

 

 

     

                     

     

 

            

 

  8 2

- Dấu đẳng thức xảy khi:

 2

1 ;

4

8

2

   

 

 

 

  

 

     

 

 



- Do ta tìm hai điểm: 4

4 4

1 1

1 ;1 ; ;1

2 2

A     B    

   

Ví dụ 2.(ĐH - GTVT - 98). Cho hàm số  

2

3 13

5

2

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Gọi A thuộc nhánh trái xA 2với số  0, đặt

 

13 13 13

2 7

2 2

A A A

A

x y x

x

  

 

            

  

- Tương tự B thuộc nhánh phải xB 2 với số >0, đặt:

 

13 13

2 ; 5

2 2

B B B

B

x y x

x

  

 

            

  

- Vậy

       

       

 

2

2

2

2

2 2 2 2

2

2

2

13 13

2 7

13 13 13 26 169

( ; ) 1

26 169 52

( ; ) 2 1 104

B A B A

AB x x y y

g

g

   

 

            

     

    

   

   

               

 

 

 

     

                     

     

 

        

 

104 104 104 104 2 26 26

AB

 

    

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

 

2

2

1 ;

52

8 338 338

 

 

 

 

 

 



 

     

  

 



- Do ta tìm hai điểm: 338;7 338 13 ; 338; 338 13

338 338

A     B    

   

Ví dụ (ĐH - SPTPHCM - 2000) Cho hàm số  

3

2

1

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Gọi A thuộc nhánh trái xA   1 với số  0, đặt

 

1 1

1 2 1

1 1

A A A

A

x y x

x

  

 

              

   

- Tương tự B thuộc nhánh phải xB   1 với số >0, đặt:

 

1 1

1 ; 2

1 1

B B B

B

x y x

x

  

 

             

   

- Vậy

       

       

 

2

2

2

2

2 2 2 2

2

2

1

1 1

1 1

( ; ) 1

2

( ; ) 2 1 8 4.8 8

B A B A

AB x x y y

g

g

   

 

            

     

    

   

   

                 

 

 

 

     

                     

     

 

            

 

 AB 8 2

- Dấu đẳng thức xảy khi:

 2

1 ;

4

8 2

2

   

 

 

 

  

 

     

 

 



- Do ta tìm hai điểm: 4

4 4

1 1

1 ;1 ; ;1

2 2

A     B    

   

Ví dụ 4.(ĐH - An ninh - 98). Cho hàm số  

1

1

x

y x C

x x

   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Gọi A thuộc nhánh trái xA  1 với số  0, đặt

 

1 1

1 1 1

1 1

A A A

x y x

x

  

 

             

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số - Tương tự B thuộc nhánh phải xB  1 với số >0, đặt:

 

1 1

1 ; 1 2

1 1

B B B

B

x y x

x

  

 

            

  

- Vậy

       

       

 

2

2

2

2

2 2 2 2

2

2

1

1 2

1 1

( ; ) 1

2

( ; ) 2 1 8 4.8 8

B A B A

AB x x y y

g

g AB

   

 

            

     

    

   

   

               

 

 

 

     

                     

     

 

            

 

  8 2

- Dấu đẳng thức xảy khi:

 2

1 ;

4

8 2

2

   

 

 

 

  

 

     

 

 



- Do ta tìm hai điểm: 4

4 4

1 1

1 ; 2 ; ; 2

2 2

A     B    

   

Ví dụ 5 Cho hàm số  

3

x

y C

x x



  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác cho AB ngắn GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Gọi A thuộc nhánh trái xA  3 với số  0, đặt

 

6 6

3 1 1

3 3

A A

A

x y

x 

 

         

  

- Tương tự B thuộc nhánh phải xB  1 với số >0, đặt:

 

6 6

3 ; 1

3 3

B B

B

x y

x 

 

        

  

Vậy:

       

2

2

2 6

3 1

B A B A

AB x x y y  

 

   

             

 

 

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

         

 

2

2 2 2

2

2

6

( ; ) 36

2

( ; ) 2 36 148 8 4.148 8 37

8 37

g

g AB

          

     

    

   

     

                   

     

 

            

 

  

- Dấu đẳng thức xảy khi:

 2

1 ;

4

148 37

37

   

 

 

 

  

 

     

 

 

 - Do ta tìm hai điểm:

4 4

1 6

3 ;1 ; ;1

37 37 37 37

A    B   

   

2 BÀI TOÁN 2 Cho đồ thị (C) có phương trình y = f(x)

Tìm (C) điểm M cho

a Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ

b Khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ (Hay: Khoảng cách từ M đến trục hoành k lần khoảng cách từ M đến trục tung)

c Khoảng cách từ M đến I (là giao hai tiệm cận) nhỏ

CÁCH GIẢI

A Đối với câu hỏi: Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

- Gọi M(x; y) với y = f(x) tổng khoảng cách từ M đến hai trục d d  x  y

- Xét khoảng cách từ M đến hai trục M nằm vị trí đặc biệt: Trên trục hoành, trục tung

- Sau xét tổng qt,những điểm M có hồnh độ, tung độ lớn hoành độ tung độ M nằm hai trục, để suy cách tìm GTLN - GTNN d

Ví dụ 1 Cho hàm số  

2

2

2

2

x

y x C

x x



   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm điểm M (C) cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Xét điểm M nằm trục Ox, cho y =

   

2

1

2 2 2; ; 2;

x x x M M

         

- Khoảng cách từ M đến hai trục d d    

- Xét điểm M nằm trục Oy: cho x = 0, y = 1, suy tồn điểm M(0; 1) Vậy khoảng cách từ M đến hai trục d = + = <

- Xét điểm M có hồnh độ: x  2d  x  y  - Xét điểm M có hồnh độ thỏa mãn: x 

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

 2

2 2

2 '

2 2

d x y x x y

x x x

             

   Ch

ứng tỏ hàm số nghịc biến Do mind = y(0) = Có điểm M(0; 1)

 Trường hợp:

 2

2 2

0 2; 2 ; '

2 2

x y d x x x y x x

x x x

                 

  

Bằng cách lập bảng biến thiên, ta suy mind = y(0) = Có điểm M(0; 1)

- Kết luận: Trên (C) có điểm M(0; 1) có tổng khoảng cách từ đến hai tiệm cân nhỏ

Ví dụ 2. Cho hàm số  

2

3

1

2

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm đồ thị (C) điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị

b - Xét điểm M nằm trục Ox, cho y = 0,

3 0; 12

x x

          Vơ nghiệm Khơng có điểm M nằm trục Ox

- Xét điểm M nằm trục Oy, cho x = suy y = 3/2 Tồn điểm M(0; 3/2) Khoảng cách từ M đến hai trục d = + 3/2 = 3/2

- Xét điểm M có hồnh độ lớn 3/2

2

d x y

   

- Xét điểm M có hồnh độ nhỏ 3/2:

 Với y>3/2 ; d= x 3/2

2

x y

    

 Với

 2

3 1

0; 1 ; '

2 x y d x x x x d x

              

   Chứng tỏ

hàm số nghịc biến Suy mind = y(0) = 3/2 Có điểm M(0; 3/2)

- Kết luận: Trên (C) có điểm M(0; 3/2) mà tổng khoảng cách từ M đến hai trục nhỏ

Ví dụ 3. Cho hàm số  

3

x

y C

x x



  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục nhỏ GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b - Tìm điểm M nằm trục Ox: cho y = suy x = - Tồn điểm M(- 2; 0)

2

M d

    

- Tìm điểm M nằm trục tung: cho x = 0, suy y = - 2/3 2 3 M

d

     

- Xét điểm M có hồnh độ: 2

3 M

x  d  x  y 

- Xét điểm M có hồnh độ thỏa mãn: 2; 2(*)

3 3

x  y   y  + ) Trường hợp:

3

x

  Do (*) cho nên:

3

M

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số + ) Trường hợp:

 2

2 5

0; ; '

3 x y dM x x d M x

             

 

3

'

3

M

x d

x      

  

Khi lập bảng biến thiên,ta thấy hàm số nghịch biến với 2; x  

  Vậy

2

min (0)

3

M M

d d  Trên (C) có điểm M(- 2/3; 0) thỏa mãn yêu cầu toán B Đối với câu hỏi:

Tìm m (C) cho khoảng cách từ M đến Ox k lần khoảng cách từ M đến trục Oy

CÁCH GIẢI

- Theo đầu ta có:  

 

;

;

g x k y kx

y k x

y kx h x k

 

 

   

  

 

- Bằng phương pháp tìm GTLN - GTNN hàm số ta có kết

MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1. Cho hàm số  

2

5 15

2

3

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) điểm M cho khoảng cách từ M đến trục Ox hai lần khoảng cách từ M đến trục Oy

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Theo giả thiết:

2

2

2

0

5 15

2 61 61

2 3 15

2

2 15 11 15

2 ô n

3

x x

x

y x x x x x x

y x x x x x

x v

x

  



    

 

   

      

   



       

    



 



Như (C) có hai điểm M với hồnh độ chúng là: 61 61

2

x   x 

Ví dụ 2.Cho hàm số  

1

x

y C

x x



  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) điểm M cho khoảng cách từ M đến trục Ox ba lần khoảng cách từ M đến trục Oy

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Theo giả thiết ta có:

0

2

ô n

3 1 2

2 10 10

3

3 3 3

1 x

v x

y x x x x

y x x x x x x x

x 

 



 

   

  

          

     

    

  



Vậy (C) có hai điểm M có hồnh độ: 10 10

3

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số C Đối với câu hỏi:

* Tìm M (C) cho khoảng cách từ M đến I (là giao hai tiệm cận) nhỏ

CÁCH GIẢI - Tìm tọa độ hai tiệm cận I(a; b)

- Tính khoảng cách IM cách: IMx a y b ;  IM2 x a 2y b 2 g x a b ; ,  - Sử dụng phương pháp tìm GTLN - GTNN hàm số ta có kết

MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1.(ĐH - Ngoại ThươngA - 2001) Cho hàm số  

2

2

3

1

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm M (C) cho khoảng cách từ M đến I nhỏ (với I giao hai tiệm cận) GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b - Tọa độ I giao hai tiệm cận: I = (1; 4) - Gọi M(x; y) thuộc (C), ta có:

     

2

2

2 1

1; ( ) 1

1

IM x y IM g x x x x x

x x

   

                  

 

   



   

     

2 2

2

1

( ) 1 2 2 2

1

g x x x x

x x

            

 

minIM 2

   Đạt khi:

 

   

4

2

2

4

1

1

2 ;

1

1

1

x

x x

x

x 

   

      

 

   

- Như (C) tìm hai điểm M có hồnh độ: x = -

1

2 x = +

2 thỏa mãn yêu cầu tốn

Ví dụ (ĐH - SPII - 2001). Cho hàm số  

1

1

x x

y x C

x x

 

  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm A(x; y) thuộc (C) với (x>1) cho khoảng cách từ A đến I đạt GTNN (với I giao hai tiệm cận)

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b - Giao hai tiệm cận I (1; 1)

- M điểm thuộc (C) suy M(x; y) (x>1) - Theo giả thiết ta có:

       

 

2

2 2

2

2

1

1; 1 1

1 1

IM x y IM x x x x

x x

 

                



  



 

 

2

2

1

( ) 2 2 2; ( ) 2

1

g x IM x g x

x

          

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

- Do đó:  

   

4

2

2

4

1

1

min 2 2 1 ;

1

1

1

x

IM x x

x

x 

   

        

 

    - Kết luận: Trên (C) có hai điểm M có hồnh độ là: x =

4 1

2

 x =

1

2

  , thỏa mãn u cầu tốn

3 BÀI TỐN 3

Cho đường cong (C) đường thẳng d: Ax + By + C = Tìm điểm I (C) cho khoảng cách từ I đến d ngắn

CÁCH GIẢI - Gọi I thuộc (C) I x y 0; 0  f x( )0 

- Tính khoảng cách từ I đến d: 0   0

2

Ax

( ) ; By C

g x h I d

A B

 

 

 - Khảo sát hàm số yg x( )0 , để tìm minh

MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG

Ví dụ 1.Cho hàm số  

2

4

2

2

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến d: y + 3x + = nhỏ nhất? GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b - Gọi M điemr thuộc (C), thì:  ;  2

M x y y x

x

 

     



 

- Khoảng cách từ M đến d h(M; d):

 

3 1 1

( ; ) ( )

2

10 10 10

x y

h M d g x x x x

x x

 

          

 

+ ) Khi x> - 2,x + 2>0

 2

5

1 1

4( 2) 4( 2) ;

3

2

2 x

x x x

x x

x 

    

           

      

 Vậy: minh(M; d) =

10, x = - 3/2 + ) Khi x< - 2, x + 2<0

 

     

2

1

4 4 ;

2 2

x x x x

x x

               

 

Do minh(M; d) =

10 x = - Tóm lại: minh(M; d) =

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Ví dụ (ĐH - KA - 2005) Cho hàm số y mx Cm x

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) với m =

b Tìm m để khoảng cách từ điểm cực tiểu đến đường thẳng tiệm cận xiên Cmbằng GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.Ta có:

-

2

1

' 0

y m x m

x m

       Qua bảng biến thiên, ta thấy điểm cực tiểu

;

M m

m

 

  

 

- Tiệm cận xiên Cm d: y = mx

- Khoảng cách từ M đến d h(M; d) bằng: 2

2

1

( ; )

1

1

m m

m m

m h M d

m

m m



  



 

- Theo giả thiết: 2 2 1; 2 0;

1 2

m m

m m m

m   m         

- Kết luận: Với m = thỏa mãn yêu cầu tốn

Ví dụ 3.(ĐH - KB - 2005). Cho hàm số    

2

1 1

1 m

x m x m

y x m C

x x

   

   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) với m =

b Chứng tỏ với m hàm số ln có cực đại, cực tiểu khoảng cách chúng 20 GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Ta có:

 

   

2

2

0

1

1

'

2

1

x x

y

x

x x



  

     

 

  

Khơng phụ thuộc vào m, hay nói cách khác với m hàm số có cực đại A(- 2; m - 3) điểm cực tiểu B(0; m + 1)

- Khoảng cách hai điểm cực đại cực tiểu AB

 

2

( ; ) 4 20 20 dpcm

AB g x m AB

      

4.BÀI TOÁN 4

Cho đường cong (C) có phương trình y = f(x) đường thẳng d: y = kx + m Tìm m để d cắt (C) hai điểm A, B cho:

- AB số a - AB ngắn

CÁCH GIẢI

- b1: Tìm điều kiện (*) m để phương trình hồnh độ điểm chung: f(x) = kx + m (1) có hai nghiệm - b2: Gọi A x y 1; 1;B x y 2; 2là hai giao điểm d (C) x x1; 2 hai nghiệm (1)

- b3: Tính AB x2x12y2y12 g x( 1x x x m2; 1 2; )  2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1.(ĐH - Cần Thơ - 98). Cho hàm số 3  

x C

x    

 a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Chứng minh với m đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) hai điểm A, B có hồnh độ x x1, 2 Tìm m để khoảng cách x2x12đạt giá trị nhỏ

c Tìm m để khoảng cách AB đạt GTNN GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Hoành độ A, B x x1, 2 hai nghiệm phương trình:

   

2

3

3 ; 3 0; ( ; )

1

x x m x m g x m x m x m

x x

                  

 

Điều kiện để có A, B :  

2 12( 3)

72 (1; )

m m

m m R

g m

     



    



   



- Khi đó:  2 12 72 12

6

x x    m   m

b Khoảng cách AB2 x2x122x2m  2x2m2 x2x125 - Vậy:

2

72

5 12

6 m

AB x x    m

Ví dụ 2.(DB - ĐHKD - 2003). Cho hàm số    

1

1 m

x m x m

y C

x

   



 a Khảo sát vẽ đồ thị (C) với m =

b Tìm m để Cm cắt trục Ox hai điểm A, B cho AB ngắn GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Nếu Cm cắt trục Ox hai điểm A, B thì:

   

2

( ; )

g x m x m x m

       có hai nghiệm x khác

 2  

10

1 32 32

(*)

1

(1; ) 4

m m

m m m m

m m

g m m

               

 

  

  

   

  



- Khoảng cách AB x2x1    m210m7  m5232minAB32

Ví dụ 3.(ĐHKD - 2003). Cho hàm số  

2

2 4

2

x x

y x C

x x

 

  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để đường thẳng d: y = mx + - 2m cắt (C) hai điểm A, B cho AB = GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b - Phương trình hồnh độ điểm chung (C) d

     

2

2

2 ; ( ; ) 4

2

x x

mx m g x m m x m x m

x

 

           

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số - Để tồn A, B thì:

 2     

1

1

' 1 *

4

(2; )

m

m

m m m m

m

g m

  

  

          

  



   

- Khi đó:

 2 2 2 2

2 2

2 ' 4

1 1

1

m

AB x x m x x x x m m m

m m

 

           

 

  

        

2

2

2

4 1

2 1 ; 4

1

m m

AB m m m m m m

m

 

 

              



2

1

1

4

m

m

m m

  

  

  



.Vi phạm điều kiện (*) Cho nên không tồn m

Ví dụ 4.(ĐH - Duy Tân - 2001). Cho hàm số    

2

3

3

2 m

mx m x m

y mx m C

x x

   

    

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) với m =

b Tìm m đẻ đồ thị (1) cắt trục Ox hai điểm M,N cho MN ngắn GIẢI

a.Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Nếu (1) cắt trục Ox hai điểm M,N thì:

   

2

( ; )

g x m mx m x

      có hai nghiệm x khác

 2

0

7

3 0 (*)

6

(2; )

6

m m

m m m m m m

g m m

m  

  

 

              

    

   

 Khi đó:

 2

2

2 2

1 2 9 2 9

1

m m m

MN x x MN

a m m m m

 

  

         

- Đặt 1

( ; ) '( ; ) 2(1 ) ; ( ; )

9 9

t g t m t t g t m t t g m

m

             

- 2; 1

9 9

MN t m

m

            Thỏa mãn (*)

Ví dụ (ĐH - KA - 2004). Cho hàm số

   

2

3

2

x x

y C

x

  



 a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để đường thẳng d: y = m cắt (C) A, B cho AB = GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Nếu d cắt (C) A, B hồnh độ A, B hai nghiệm phương trình:

     

2

3 0; ( ; ) 3

x x m x g x m x m x m

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

   

 

2

2

1

2 2

4 *

3 (1; )

2 m

m m

m m

g m m

   

     



      

 

 

 

 - Khi A x m B x m 1; ;  2 AB x2x1  

2 2

1

4 1; 4

1 m

AB m m m m m m

m

 

  

             

 

  

Thỏa mãn (*)

Ví dụ 6.(ĐH - QGA - 2000). Cho hàm số 1  

y x C

x   

 a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) điểm M (có hồnh độ x>1) cho tiếp tuyến M tạo với hai tiệm cận tam giác có:

+ ) Chu vi nhỏ

+ ) Một tam giác có diện tích khơng đổi GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.Gọi  0 0 0 0

0

; ( )

1

M x y C y x

x

    

 - Tiếp tuyến M có PT:

 2  0  

0

1

1 *

1

y x x x

x x

 

      

 

 

 

và I giao hai tiệm cận - Tọa độ I (1; 2)

- Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng: x = điểm B

0

1

2 1;

1

B

y B

x x

   

       

 

   

- Tiếp tuyến cắt tiệm cận xiên: y = x + điểm A

 0 2  0 0  0

1

1 1 2 1;

1

1 A A A

x x x x x x A x x

x x

 

             

 

 

 

+ ) Diện tích tam giác AIB S sin 450  1

2

S IA IB IA IB

  

Ta có: IA2x02; 2x02IA2 8x012 IA x01 2

Tương tự: 0

0 0

2 2

0; ; 2

1 1

IB IB IA IB x

x x x

 

      

  

 



 

1

2.4 2

4

S dvdt

   Khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M + ) Gọi chu vi tam giác IAB P = IA + IB + AB

Nhưng

     

2 2

2 os45 2 2

2

AB IA IB  IA IB c  IA IB IA IB IA IB     

(Dáu đẳng thức xảy IA = IB (a))

- Mặt khác:

2 2

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

- Do đó:   4

2 2 2 2 2 2

P       P  

- Xảy khi:  

4

0 4

2

0

4

0

0 4

1

1 2

2

1 2

1

1 2

2

x y

x x

x

x y



     

 

     

 

     

 

Như có hai điểm M: 4 4

1 4 4

1

1 2; 2 2; 2

2

M   y    M   y    

   

Ví dụ 7.Cho hàm số 2  

2

x

y C

x x



  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt (C) hai điểm A, B cho AB nhỏ GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b - Nếu d cắt (C) A, B hồnh độ A, B hai nghiệm phương trình:

 

2

2

; ( ; ) (4 )

2

x

x m g x m x m x m

x 

          

 có hai nghiệm khác -

   

 

2

2 12

4

*

2 ( 2; )

2 m

m m

m m

g m m

  

     

 

   



   

 

 

- Khi A x 1;x1m B x;  2;x2mAB2 x2x12x1x22 2x2x12 - Vậy: AB x2x1   2 m212 22 32 6;m0

Khi m = AB nhỏ

Ví dụ 8 Cho hàm số  

2

2

2

1 m

x mx m

y x m C

x x

  

    

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C) với m =

b Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách từ hai điểm tới đường thẳng d: x + y + =

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Tập xác định: D = R\ 1

- Đạo hàm:

 

2

2

2 2

'

1

x x m

y

x

  





- Hàm số có cực đại, cực tiểu, y' = có hai nghiệm phân biệt khác -

 

2

( ; ) 2

g x m x x m

      (có hai nghiệm x x1, 2  1)

 

' 3

*

( 1; )

m

m

g m m

   



  

   



- Gọi A x y 1; 1;B x y 2; 2là hai điểm cực trị đồ thị hàm số x x1, 2  1là hai nghiệm phương trình (1) Theo định lý Vi - ét: x1x2  2; x x1 2  2m

- Mặt khác đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình: y = 2x + m, cho nên:

   

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số - Theo giả thiết:

1 2

1 2

2

2 2 2

2

x y x y

x y x y x m x m

   

            

 2  2    

1 2

3x 2m 3x 2m x x x x 4m

             

   2  

1

3 4 4

2

x x m x m m

             Thỏa mãn (*) Vậy giá trị m cần tìm là:

2

m 

Ví dụ 9 Cho hàm số  

1

3 m

y x mx  x m C a Khảo sát vẽ đồ thị (C) với m =

b Chứng minh với m hàm số ln có cực đại, cực tiểu Tìm m để khoảng cách diểm cực đại, cực tiểu nhỏ

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Tập xác định: D = R - Ta có đạo hàm:

'

y x  mx

- Xét:  

( ; ) 1 '

g x m x  mx    m    m R Chứng tỏ hàm số ln có CĐ,CT - Bằng phép chia đa thức: ' 2 1

3 3

m

y x y  m  x m

  Cho nên đường thẳng qua hai

điểm cực trị có PT: 2 

1

3

y  m  x m

- Gọi hai điểm cực trị là:    

2 2

; 1 ; ; 1

3 3

A x  m  x  m  B x  m  x  m 

   

        

2

2

2 2 2 2

2 2

2 '

1 1 1

3 9

AB x x  m x x  x x m  m

              

 

 2    2

2 2

2 1 1

9

AB m m m  m 

          

 

- Đặt: 4

1 ( ) ( ) ; '( ) 1

9

tm    AB f t  t  t g t  t t g t  t    t Hàm số g(t) ln đồng biến Do ming(t) = g(1) = 7/3

- Vậy 21 1; 1

3

AB    t m   m

Ví dụ 10.Cho hàm số  

3

y x  x  C a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Cho điểm I(- 1; 0) Xác định tham số thực m để đường thẳng d: y = mx + m cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt I,A, B cho AB < 2

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

  

   

3 2

2

1

1 2

3 ( 1); 4

( ; ) 2

0 x

x x m

x x m x x x x m

g x m x m x m

m      

   

           

     

 

   - Do A, B có hoành độ hai nghiệm (1)

- Gọi A x mx 1; 1m;B x mx 2; 2mAB x2x12m2x2x12  x2x1 m21

- Theo giả thiết: AB < 2

     

2 2

2 1 2; 2 2 2

x x m m m m m m

            

  

3

2

m m m m m m

           Kết hợp với m>0, ta có: 0<m<1 đáp số tốn

Ví dụ 11 Cho hàm số 2  

2

x

y C

x x



  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Gọi d tiếp tuyến (C) M(0; 1) Hãy tìm (C)những điểm có hồnh độ x>1 mà khoảng cách từ đến d ngắn

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.Ta có:

 2

5

' '(0)

4

y y

x

    



- Phương trình tiếp tuyến d M: 5 0 1; 4

4

y  x    x  x y  - Gọi M x y ; ( )C với x>1 Khoảng cách từ M đến d h(M; d) thì:

5 4 1 20

( ; ) 4 4

2

25 16 41 41 41

x y

h M d x y x x

x x

   

            

 

  

 

 2

20 20

( ) ; '( ) 0

2

g x x x g x x x

x x

           

 

- Bằng cách lập bảng biến thiên, ta thấy ming(x) = g(4) = 34 - Kết luận: ( ; ) 34

41

h M d  x = y = : 4;9  

2 A C

 

     

 

Ví dụ 12 Cho hàm số 2  

2

x

y C

x x



  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm hai điểm M,N thuộc (C) cho tiếp tuyến M,N song song với khoảng cách hai tiếp tuyến lớn

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Tập xác định: D = R\ 2

- Đạo hàm:

 2

5 '

2

y

x  

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số - Gọi:      

   

1 2 2

1

5

; ; ; ;

2

M N

M x y N x y C k k

x x

    

 

- Nếu hai tiếp tuyến song song với nhau:

          

2

2 2

2

1

5

2

2

M N

k k x x x x x x

x x

               

 

   

1 1

x x x x

    

- Khoảng cách hai tiếp tuyến ngắn MN vng góc với hai tiếp tuyến:

 

 

      

2

2 2 2

5

1 5

1; 2

2 2 2

MN M MN

x x

y y

k k k

x x x x x x x x x x x x

     



            

            

 2     2

5 5

2

2

M MN M

k k k

x x

x x

      

 

  Từ (1) x2  2 x1

      

3 4 3 2

1 1 1

2

1 1

5

1 25 6.25 25.16 8.25

2 x x x 2 x x 25 x x x x

           

   

Ví dụ 13.Cho hàm số  

1

x

y C

x x



   

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Gọi d đường thẳng qua M(1; 3) có hệ số góc k.Tìm k để d cắt (C) hai điểm A, B cho AB = 10

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Đường thẳng d: y = k(x - 1) +

- Nếu d cắt (C) A, B hồnh độ A, B hai nghiệm phương trình:

   

2

2

1 ; ( ; ) 3

1

x

kx k g x k kx k x k

x 

          

 (có hai nghiệm phân biệt khác1)

 2    

0 0

0

3 9 *

9 24

24

(1; )

k k

k

k k k

k k

g k 

  

   

        

  



   



- Với điều kiện (*) d cắt (C) hai điểm A, B

- Gọi A x kx 1; 1 3 k;B x kx 2; 2 3 kAB x2x12k2x2x12  x2x1 k21

- Theo giả thiết:

  

2 2

9 24

1 10 24 90 24 81 24

k

AB k k k k k k k

k 

            

    

2

3

3 3 41 3 41 **

8

16 16

k k

k k k

k k k k

    

 

          



     





Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

Ví dụ 14. Cho hàm só yx33x2  C a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M cắt (C) N mà MN = GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

- Đạo hàm: y'3x2 3 0x  1 x1 - Gọi    

0; 0

M x y  C y x  x  - Tiếp tuyến d M có phương trình:

         

0 0 0 0 0

3 3 1

y x  xx x  x   x   x  xx  x x  

 

- Nếu d cắt (C) N thì:

3

x x

   3x023xx0x033x02

          

3 2 2

0 3 0 0 3

x x x x x x x x x  x xx x x 

                

0

0

0

2

0

0

0

0

4

4

2

x x

x x x x

x x

x x

x xx x

x x  

  

  

    

 

   

  



- Như vậy, điểm N điểm có hồnh độ là: xN  4x0N4 ; 4x0  x01 2 4x02

- Ta có:          

2

2 2

0 0 0

5 4 2

MN   x  x  x   x  x  

 

 2  2

2 2

0 0 0 0

25 65 15 13 169 78 10

MN x x x x x x x x

          

- Theo giả thiết:

  

2 2

0 0 0

5 x 169x 78x 10 25x 169x 78x 10 24

       

Ví dụ 15.Cho hàm số 3  

1

x

y C

x x



  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình đường thẳng qua M(1; 3) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho AB = GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Gọi d đường thẳng qua M có hệ số góc k, d: y = k(x - 1) + (1)

- Nếu d cắt (C) hai điểm A, B hồnh độ A, B hai nghiệm phương trình:

 

2

3

3 ( ; ) 2

1

x

kx k g k x kx kx k

x 

         

 Có hai nghiệm phân biệt khác

   

2

0

' 0 *

0 (1; )

k

k

k k k k

k

g k

 

  

        

 

   



- Gọi      2 2 2

1; ; 2; 2 1

A x kx  k B x kx  k AB x x k x x  x x k  Với 1,

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số - AB ' k2 k k2 3; k k 1 k k k 1 3k2

a k



           

2 5

1 3

2

k k k k k  k 

           Thỏa mãn (*)

- Vậy đáp số: 5

2

k   k 

Ví dụ 16. Cho hàm số 2  

1

x

y C

x x

  

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm giá trị m để đường thẳng d: y = mx - m + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho đoạn AB có độ dài nhỏ

GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Nếu d cắt (C) A, B hồnh độ A, B hai nghiệm phương trình:

 

2

2

2 ( ; ) 2

1

x

mx m g x m mx mx m

x

         

 có hai nghiệm x khác

   

2

' 0 *

2

(1; ) m

m

m m m m

m

g m

 

  

        

  

   

- Với điều kiện (*) d cắt (C) A, B có hồnh độ hai nghiệm (1)

- Gọi A x mx 1; 1m2 ; B x mx 2; 2m2AB x2x12m2x2x12  x2x1 m21

   

2

2

2

2 ' 2

m m m m 4

AB m m

a m m m

 



        

- Vậy AB = m =

Ví dụ 17 Cho hàm số yx33x21  C a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Tìm hai điểm A, B (C) cho tiếp tuyến A, B song song với AB = GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b.Ta có 2

1 2

' A ; B

y  x  xk  x  x k  x  x - Nếu hai tiếp tuyến A, B song song thì:

  

 

1

2

2 1 2

1

3 6 ;

2 *

x x

x x x x x x x x

x x

 

          

 



- Do 3    2  

1 1 2 2 1 2

, ( ) 1; 3

A B C y x  x  y x  x   y y  x x  x x x x  x x 

 

   2          

2 1 2 3.2 2 2 **

y y x x  x x x x x x  x x x x x x x x

               

 

 12  12  12  1 2 22 1 2 22

AB x x y y x x x x x x x x x x

             

Văn Phong Chuyên đề Khảo sát hàm số

     

   

2 2

2 1 2 1

2

1 2

1 2 32

4 32;

x x x x x x x x

x x x x x x

 

        

 

   

     

   

- Đặt t = x x1 2, thay x1x2 2 (do *)ta có:

  2   

4 4 t 4 tt 320;t 3t   t 0 t 1 t3    0 t

- Vậy ta có hệ:

1

2

1 2

1

2

2 3

3

1 x x

x x

X X X X

x x x

x   

 



 

          

 

   



    

- Do tồn hai điểm A 1; ; B3;1A3;1 ; B 1; 3thỏa mãn u cầu tốn

CỊN RẤT NHIỀU DẠNG TOÁN NỮA MÀ CÁC EM CẦN THAM KHẢO THÊM