Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, [r]
(1)§Ị thi hsg líp 8 (120 phút) Bài (4đ):
1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4. 2/ a,b,c cạch tam giác Chứng minh rằng: 4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
Bài (3đ):
Chứng minh x + y = xy ≠ :
y
x
3−
1
−x
y
3−
1
=2
(
x − y
)
x
2y
2+
3
Bài (5đ):Giải phương trình: 1,
x
2
−
24
2001
+x
2−
22
2003
=x
2−
20
2005
+x
2−
18
2007
2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3 Bài (6đ):
Cho ∆ABC vng A Vẽ phía ngồi ∆ ∆ABD vng cân B ∆ACE vng cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm AC BE Chứng minh rằng:
1, AH = AK 2, AH2 = BH.CK Bài (2đ):
Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
đề thi học sinh giỏi Thời gian 150 phút Bài 1:
1) Rót gän biĨu thøc:
A =
1
6
5
5
n nx
x
x
x
víi /x/ = 1 2) Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + = TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc:B =
2
7
52
(
)
x
xy
x
y
x y
Bµi 2:
1) Giải phơng trình:
(x 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72 2) Tìm x để biểu thức:
A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ ? Bài 3:
1) Tìm số tự nhiên x cho: x2 + 21 số phơng ?
2) Chøng minh r»ng: NÕu m, n lµ hai sè phơng lẻ liên tiếp thì: (m 1).(n 1) 192
Bài 4:
Cho đoạn thẳng AB Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C cho AC > BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai hình vuông ACNM, BCEF Gọi H giao điểm AE BN
1) Chứng minh: M; H; F thẳng hàng
2) Chứng minh: AM tia phân giác
AHN
3) Vẽ AI
HM; AI cắt MN G Chứng minh: GE = MG + CF Bài 5:1) Gải phơng tr×nh:
(2)Chøng minh r»ng:
1
1 1
9
a
b
c
§Ị sè 1
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức
A
=
(
1
3
+
3
x
2−
3
x
)
:
(
x
227
−
3
x
2+
1
x
+
3
)
a) Rót gän Ab) Tìm x A < -1
c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)
Giải phơng trình: a)
1
3
y
2+3 x2
−3x
:
(
27
−
x
23
x
)
b)x −
x
2
−
3
+x
4
2
=
3
−
(
1
−
6
− x
3
)
.
1
2
2
Bài 3: (2 điểm)
Mt xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h
Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN
b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 ®iĨm)
Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4) Chøng minh r»ng: a + b + số phơng
Đề số 2
Câu I: (2điểm)
1) Phân tích đa thức thành nh©n tư a) x2+4x −5
b)
ab
(
a −b)
−
ac
(a+
c)+
bc
(
2
a − b+c)
2) Giải phơng trình1
x
2+
x
+
1
x
2+
3
x
+
2
Câu II: (2 điểm)1) Xỏc định a, b để da thức
f
(
x)=x
3+
2
x
2+
ax
+
b
chia hết cho đa thứcg(
x)=
x
2+
x
+
1
2) Tìm d phép chia đa thứcP(
x)=
x
161+
x
37+
x
13+
x
5+
x
+
2006
cho đa thứcQ
(
x)=x
2+
1
Câu III: (2 điểm)1) Cho ba sè a, b, c khác a + b + c = Tính giá trị biểu thức:
P=
a
2
a
2−b
2− c
2+
b
2b
2− c
2− a
2+
c
2c
2−a
2−b
2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·na ≠ −b , b ≠ −c , c ≠ − a
CMR:
a
2−
bc
(a+
b)(a+
c
)
+
b
2−
ac
(
b+a)(b+
c)
+
c
2ab
(c
+a)(c
+b)
=
0
Câu IV: (3điểm)1) Cho đoạn thẳng AB, M điểm nằm A B Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hình vuông ACDM MNPB Gọi K giao điểm cđa CP vµ NB CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K thẳng hàng
c) Khi M di chuyển A B khoảng cách từ K đến AB khơng đổi 2) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, ba đờng cao AA”, BB’, CC’ đồng quy H
CMR:
HA
'
AA
'
+
HB
'
BB
'
+
HC
'
(3)C©u V: (1 ®iĨm):
Cho hai số a, b khơng đồng thời Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức:
Q=
a
2
ab
+
b
2a
2+
ab
+
b
2Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a+b
2(
a b)
c
+
a
2(
c − a)+
c
¿
b+
c
¿
2(b − c)+b
¿
a
¿
b) Cho a, b, c khác nhau, khác
1
a
+
1
b
+
1
c
=
0
Rót gän biÓu thøc:N=
1
a
2+
2 bc
+
1
b
2+
2ca
+
1
c
2+
2 ab
Bài 2: (2điểm)a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M=x2+y2xy x+y+1
b) Giải phơng trình:
y
5,5
4−
1
=
0
y −
4,5
¿
4+
¿
¿
Bµi 3: (2®iĨm)
Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau đợc 15 phút, ngời gặp tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp ngời xe máy một địa điểm cách B 20 km
Tính quãng đờng AB Bài 4: (3điểm)
Cho hình vng ABCD M điểm đờng chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vuông góc với
b) Chứng minh ba đờng thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
3
x
2+
5
y
2=
345
Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x
√
x
- 3x +√
x
-2 víi x Bµi : (1,5®iĨm)Cho abc = Rót gän biÓu thøc:
A
=
a
ab
+
a+
2
+
b
bc
+b
+
1
+
2
c
ac
+
2
c+
2
Bài 3: (2điểm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b 0 Tính:
P=
ab
4
a
2b
2 Bài : (3điểm)Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đờng thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF BiÕt : AB =7cm b) Chøng minh : AFEN hình thang cân
(4)d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF l hỡnh vuụng
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh với số nguyên n : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23.
Đề số 5
Bài 1: (2điểm)
Cho biÓu thøc:
M
=
1
x
2−
5
x+
6
+
1
x
2−
7
x+
12
+
1
x
2−
9
x
+
20
+
1
x
2−
11
x+
30
1) Rót gän M2) Tìm giá trị x để M > Bài 2: (2điểm)
Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vòi chảy vào mạnh gấp lần vịi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy
2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể Bài 3: (1im)
Tìm x, y nguyên cho: x2+2 xy+x+y2+4y=0 Bài 4: (3điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD cố định, có độ dài cạnh a E điểm di chuyển đoạn CD (E khác D) Đờng thẳng AE cắt BC F, đờng thẳng vuông góc với AE A cát CD K
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK
2) Gọi I trung điểm KF, J trung ®iĨm cđa AF Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI
3) Đặt DE = x (a x > 0) tính độ dài cạnh tam giác AEK theo a x 4) Hãy vị trí E cho độ dài EK ngn nht
Bài 5: (1điểm)
Cho x, y, z khác thoả mÃn:
1
xy
+
1
yz
+
1
zx
=
0
TÝnh
N=
x
yz
+
y
2zx
+
z
2xy
Đề số 6
Câu I: (5 điểm)
Rút gọn phân thức sau: 1)
|
x
1
|
+
|
x
|
+
x
3
x
2−
4
x
+
1
2)
a −
1
¿
2+
30
¿
a −
1
¿
4−
18
(a
2−
2
a)
−
3
3
¿
a −
1
¿
4−
11
¿
¿
¿
Câu II: (4 điểm)
1) Cho a, b số nguyên, chứng minh a chia cho 13 d vµ b chia cho 13 d th× a2+b2 chia hÕt cho 13
2) Cho a, b, c số nguyên thoả mÃn abc = Tính giá trị biểu thức:
A
=
a
1
+a+
ac
+
b
1
+b
+
bc
+
c
1
+c
+
ac
3) Giải phơng trình:x
2
+
2
x+
1
x
2+
2
x+
2
+
x
2+
2
x+
2
x
2+
2
x+
3
=
7
6
C©u III: (4 ®iĨm)
Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đồn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy đợc giao làm khối lợng cơng việc Nếu hai tổ làm chung hồn thành 15 Nếu tổ I làm giờ, tổ làm làm đợc 30% cơng việc
(5)Cho h×nh b×nh hành ABCD (AC > BD) Gọi E, F lần lợt hình chiếu B, D lên AC; H, K lần lợt hình chiếu C AB AD
1) Tứ giác DFBE hình ? v× ?
2) Chứng minh tam giác CHK đồng dạng với tam giác BCA 3) Chứng minh AC2=AB AH+AD AK
Câu V: (2 điểm)
Giải phơng trình:
|
x
2002
|
2002+
|
x
2003|
2003=
1
Đề số 7
Câu I: (2điểm)
1 Thc hin phộp chia A=2x4− x3− x2− x+2 cho B=x2+1 Tìm x Z để A chia hết cho B Phân tích đa thức thơng câu thành nhân tử
C©u II: (2điểm)
1 So sánh A B biết:
A=532−1 vµ
B=
6
(
5
2+
1
)(
5
4+
1
)(
5
8+
1
)(
5
16+
1
)
Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hết cho 44.Câu III: (2điểm)
1 Cho tam giác có ba cạnh a, b, c tho¶ m·n:
a+b
+c
¿
2=
3
(
ab
+
bc
+
ca
)
¿
Hỏi tam giỏc ó cho ltam giác ?
2 Cho ®a thøc f(x) =
x
100+
x
99+
+
x
2+
x
+
1
Tìm d phép chia đa thức f(x) cho đa thứcx
21
Câu IV: (3điểm)Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH Gọi E, F lần lợt hình chiếu H lên AB AC Gọi M giao điểm BF CE
1 Tứ giác AEHF hình ? T¹i ? Chøng minh AB CF = AC AE
3 So s¸nh diƯn tÝch tø gi¸c AEMF diện tích tam giác BMC Câu V : (1 điểm)
Chứng minh nghiệm phơng trình sau mét sè nguyªn:
x −
2
2005
+
x −
3
2004
+
x −
4
2003
=
x −
2005
2
+
x −
2004
3
+
x
2003
4
Đề số 8
Câu 1: (2®iĨm)
a) Cho x2−2 xy+2y2−2x+6y+13=0 TÝnh
N
=
3
x
2
y −
1
4 xy
b) Nếu a, b, c số dơng đơi khác giá trị đa thức sau số dơng
A=
a
3+b
3+
c
33 abc
Câu 2: (2 điểm)
Chứng minh r»ng nÕu a + b + c = th×:
A
=
(
a −b
c
+
b − c
a
+
c − a
b
)(
c
a − b
+
a
b − c
+
b
c a
)
=
9
Câu 3: (2 điểm)Một ô tô phải quãng đờng AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đờng đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đờng sau với vận tốc vận tốc dự định km/h
Tính thời gian tơ qng đờng AB biết ngời đến B Câu 4: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đờng thẳng vng góc vơi AE cắt đờng thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đờng thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chøng minh tø giác MENF hình thoi
b) Chng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC Câu 5: (1 điểm)
T×m nghiệm nguyên phơng trình: x6+3x2+1=y4
Đề số 9
(6)Cho M=
(
x+1x
)
−
(
x6+ x6)
−2(
x+1 x)
3
+x3+ x3
a) Rót gän M
b) Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ M Bài 2: (2 điểm)
a) Tìm x biÕt :
x −
3
¿
3x −
2
¿
3=
¿
2
x −
5
¿
3−
¿
¿
b) Tìm số tự nhiên n để n + 24 n - 65 hai số phơng Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x y thoả mÃn:
4
x
2+
17 xy
+
9
y
2=
5 xy
4|
y
2
|
TínhH
=
x
3+
y
3+
xy
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a+b+c=abc
Chứng minh:
a(
b
21
)(c
21
)+b(
a
21
)(
c
21
)+c
(a
21
)(b
21
)=
4 abc
Bài 4: (4 điểm)Cho hình thang ABCD đáy nhỏ AB, Gọi I giao điểm AC BD Qua I vẽ đờng thẳng song song với AB cắt AD BC lần lợt M N
a) Chøng minh IM = IN b) Chøng minh:
1
AB
+
1
CD
=
2
MN
c) Gọi K trung điểm DC, vẽ đờng thẳng qua M song song với AK cắt DC, AC lần lợt H E Chứng minh HM + HE = 2AK
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2) Tính S(ABCD) theo a b.
Đề số 10
C
âu 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2− x −12 b) x8+x+1 c)
(
x
2+
3
x
+
2
)(x
2+
11
x
+
30
)−
5
Câu 2: (2 điểm) 1) So sánh A B biÕt:A
=
5
32 vµB=
24
(
5
2+
1
)(
5
4+
1
)(
5
8+
1
)(
5
16+
1
)
2) Cho
3
a
2+
2
b
2=
7 ab
3a>b>0 Tính giá trị biểu thức:P=
2005
a
2006
b
2006
a
+
2007
b
Câu 3: (2 điểm)1) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:2
9
6
6
12
1974
2
x
y
xy
x
y
A
2) Giải phơng trình:
y
2+
4
x+
2
y −
2
x+1+
2
=
0
3) Chøng minh r»ng:2 2
8
8
b
c
d
4
a
b
c
d
a
Câu 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G
a) Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi b) Chøng minh AF2 = FK FC.
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu 5: (1 điểm)
a/ Cho a > 1, b > Chøng minh r»ng
a
b−
1
+
b
2a −
1
≥
8
b/ Cho
|
a|
<1,|
b|
<1 Chøng minh r»ng:1
1
− a
2+
1
1
− b
2≥
2
1
−
ab
§Ị sè 10
C
âu 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử:
a)
x
2x −
12
b)x
8+
x+
1
c)(
x
2+
3
x
+
2
)(x
2+
11
x
+
30
)−
5
C©u 2: (2 điểm) 1) So sánh A B biết: A=532 vµB=
24
(
5
2+
1
)(
5
4+
1
)(
5
8+
1
)(
5
16+
1
)
2) Cho 3a2+2b2=7 ab vµ
3
a>
b>
0
Tính giá trị biểu thức:P=
2005
a
2006
b
(7)Câu 3: (2 điểm)1) Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
2
9
6
6
12
1974
2
x
y
xy
x
y
A
2) Giải phơng trình: y2+4x+2y 2x+1+2=0 3) Chøng minh r»ng:
2 2 8
8
b
c
d
4
a
b
c
d
a
C©u 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB c¾t AI ë G
a) Chøng minh tứ giác EGFK hình thoi b) Chøng minh AF2 = FK FC.
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu 5: (1 điểm)
a/ Cho a > 1, b > Chøng minh r»ng
a
b−
1
+
b
2a −
1
≥
8
b/ Cho
|
a
|
<
1,
|
b
|
<
1
Chøng minh r»ng:1
1
− a
2+
1
1
− b
2≥
2
1
ab
Đề số 11
Câu 1: (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
A=
(
1
4+
1
4
)(
3
4
+
1
4
)
(
19
4
+
1
4
)
(
2
4+
1
4
)(
4
4
+
1
4
)
(
20
4
+
1
4
)
b) Chøng minh r»ng: TÝch cña sè tự nhiên liên tiếp cộng với số phơng Câu 2: (2 điểm)
a) Cho xyz = 2006
Chøng minh r»ng:
2006
x
xy
+
2006
x
+
2006
+
y
yz
+
y
+
2006
+
z
xz
+
z+
1
=
1
b) Tìm n nguyên dơng để A = n3 + 31 chia hết cho n + 3.c) Cho
a+
2
b+
3
c ≥
14
Chøng minh rằng: a2+b2+c214 Câu 3: (2 điểm)Cho ph©n thøc:
B=
(
3
x
2+
3
x
3−
1
−
x −
1
x
2+
x+
1
−
1
x −
1
)
.
x −
1
2
x
2−
5
x
+
5
a) Rót gän Bb) Tìm giá trị lớn B Câu 4: (3 ®iĨm)
Cho M lµ mét ®iĨm bÊt kì đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB vẽ hình vuông AMCD vµ BMEF
a) Chøng minh: AE BC
b) Gọi H giao điểm AE BC, chứng minh rằng: D, H, F thẳng hàng
c) Chứng minh đờng thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB Câu 5: (1 điểm)
a) Chøng minh r»ng với n N n > thì:
C
=
1
+
1
2
3+
1
3
3+
1
4
3+
1
5
3+
1
n
3<
2
b) Giải phơng trình:(
x −
1
)(x −
2
)(
x −
3
)(x −
4
)=(x+
1
)(x
+
2
)(
x
+
3
)(x
+
4
)
§Ị sè 12
Câu 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử a) x27x 6
b)
(
x+
2
)(
x
+
3
)(
x
+
4
)(
x
+
5
)
24
c)x
4+
4
2) Rót gän:
A
=
1
x
2+
5
x
+
6
+
1
x
2+
7
x
+
12
+
1
x
2+
9
x+
20
+
1
x
2+
11
x
+
30
Câu 2: (2 điểm) (8)f(x) chia cho x2 - 5x + đợc thơng 1-x2 cịn d.
2) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức sau số nguyên
A
=
2
x
3
+
x
2+
2
x
+
5
2
x
+
1
Câu 3: (2 điểm)Giải phơng trình: a)
x −
1
99
+
x −
3
97
+
x −
5
95
=
x −
2
98
+
x −
4
96
+
x −
6
94
b)
x
2+x
+
1
¿
2+(
x
2+
x+
1
)
−
12
=
0
¿
C©u 4: (3 ®iĨm)
Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC lần lợt E, K, G Chứng minh rằng:
1) AE2=EK EG 2)
1
AE
=
1
AK
+
1
AG
3) Khi đờng thẳng d xoay quanh điểm A Chứng minh: BK DG = const Cõu 5: (1 im)
Tìm giá trị nhá nhÊt nÕu cã cđa biĨu thøc sau:
B=
16
x
2
+
4
x
+
1
2
x
(víi x > 0)Đề số 13
Câu 1: (6 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử; a) 2x −2y − x2+2 xy− y2 b)
2 xy
+
2
x − y
2− y
c)
2
3
3
10
2
xy
y
x
y
x
Câu (4 điểm)
Cho a+b+c=0 abc0 Chứng minh rằng: Câu (4 ®iÓm)
Cho biÓu thøc
Q=
x
+
x
x
2− x
+
1
+
1
−
2
x
2+
3
x
+
1
x
+
1
(x ≠ −
1
) a) Rót gän biĨu thøc Qb) Tìm giá trị nhỏ Q Câu 4: (6 ®iĨm)
Vẽ phía ngồi tam giác nhọn ABC tam giác ABD ACE Gọi M, N lần lợt trung điểm AD CE H hình chiếu N AC, từ H kẻ đờng thẳng song song với AB cắt BC I
a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác HIN b) Tính góc tam giác MNI
c) Gi¶ sư gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b.
Đề số 14
Câu 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số:
a
+b
+c
3a
3b
3c
3b) Rót gän:
2
x
−
7
x
2−
12
x+
45
3
x
3−
19
x
2+
33
x
9
Câu 2: (2 điểm)Chứng minh rằng:
n
−
7
¿
2−
36
n
A=n
3¿
chia hÕt cho 5040 với số tự nhiên nCâu 3: (2 ®iÓm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nớc giếng Nếu làm máy bơm A hút hết nớc 12 giờ, máy bơm B hút hếtnớc 15 máy bơm C hút hết nớc 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B
TÝnh xem giếng hết nớc
(9)Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C ngời ta kẻ tia Ax, By vuông góc với AB Đờng thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By lần lợt điểm M, N
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC
c) Chøng minh: gãc MIN = 900.
d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC Câu 5: (1 điểm)
Chøng minh r»ng sè:
224 99 9
⏟
n-2 sè
1 00 09
⏟
n sè số phơng (
n
2
)Đề số 15
Câu 1: (2 điểm) Cho
P=
a
3
−
4
a
2− a+
4
a
3−
7
a
2+
14
a −
8
a) Rót gän Pb) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: (2 điểm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phơng chúng chia hết cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức:
P=(
x −
1
)(x
+
2
)(
x+
3
)(x
+
6
)
có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 3: (2 điểm)a) Giải phơng trình:
1
x
2+
9
x
+
20
+
1
x
2+
11
x+
30
+
1
x
2+
13
x
+
42
=
1
18
b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng;
A
=
a
b
+
c − a
+
b
a+c − b
+
c
a+b − c
≥
3
C©u 4: (3 ®iĨm)Cho tam giác ABC, gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC lần lợt D E Chứng minh:
a)
BD CE
=
BC
2
4
b) DM, EM lÇn lợt tia phân giác góc BDE CED Câu 5: (1 điểm)
Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên dơng số đo diện tích số đo chu vi
Đề số 16
Bài 1: (2 điểm)
a, Giải phơng trình
6
x −
10
¿
3=
0
1
− x
2¿
3+
¿
x
2−
6
x
+
9
¿
3+
¿
¿
b) Cho x, y tho¶ m·n:
x
2+
2
y
2+
2 xy
−
6
x
2
y
+
13
=
0
Tính giá trị biểu thức:H
=
x
2
−
7 xy
+
52
x − y
Bµi 2: (2 ®iĨm)Cho víi ; ;
Chøng minh r»ng: Bµi 3:
Tìm x nguyên để biểu thức y có giá trị nguyên Với
Bài 4: (3 điểm)
Cho ABC cân A (AB = AC > BC) Trên cạnh BC lấy M cho MB < MC Từ M kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB E, kẻ đờng thẳng song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua đờng thẳng EF
(10)Cho ®a thøc
T×m a, b, c biÕt ; ;
Đề số 17
Bài 1: (2 điểm)
1) Phân tích đa thức thành nhân tử: a)
b)
2) Cho Tính giá trị biểu thức: Bài 2: (2 điểm)
Cho biểu thøc: a) Rót gän M
b) Tìm cặp số nguyên (x, y) để biểu thức M có giá trị -7 Bài 3: (2điểm)
Ngời ta đặt vòi nớc chảy vào bể vòi nớc chảy lng chừng bể Khi bể cạn, mở hai vịi sau 42 phút bể đầy nớc Cịn đóng vịi chảy mở vịi chảy vào sau 1giờ rỡi đầy bể Biết vịi chảy vào mạnh gấp lần vòi chảy
1) Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy
2) Nếu chiều cao bể 2m khoảng cách từ chỗ đặt vòi chảy đến đáy bể Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC (E khác B C) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G a) Chứng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi
b) Chng minh AKF đồng dạng với CAF AF2 = FK FC
c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Bài 5: (1 điểm)
Cho a lµ mét sè gåm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số (n số tự nhiên, )
Chứng minh rằng: số phơng
Đề số 18
Câu 1: (2 điểm)
Giải phơng trình sau: a)
b) Câu 2: (2 điểm)
Cho biÓu thøc:
a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > Câu 3: (2 điểm)
Hai anh em Trung vµ Thành cuốc mảnh vờn, hoàn thành giê 50 Nhng sau giê lµm chung Trung bận việc khác nên không làm nữa, anh thành phải làm tiếp cuốc xong mảnh vờn
Hỏi làm anh phải làm bao lâu? Câu 4: (3 ®iĨm)
Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD Qua A vẽ đờng thẳng AK song song với BC Qua B vẽ đờng thẳng BI song song với AD cắt AC F, AK cắt BD E Chứng minh rằng:
a) EF song song víi AB b) AB2 = CD EF Câu 5: (1 điểm)
Chøng minh r»ng biÓu thøc:
chia hÕt cho 27 với n số tự nhiên
Đề số 19
Câu 1: (1 điểm)
a) Phân tích thành nhân tử: b) Tính:
Câu 2: (2 ®iĨm)
a) Cho a, b, c lµ hai sè khác khác thoả mÃn: Tính giá trị biểu thức:
b) Giải phơng trình: Câu 3: (1 ®iĨm)
Cho (n N)
(11)Câu 4: (2 điểm)
Cho ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F lần lợt điểm đối xứng H qua AB, AC a) Chứng minh E, A, F thng hng
b) Chứng minh BEFC hình thang
c) Tìm vị trí H BC để BEFC hình thang vng, hình bình hành Câu 5: (1 điểm)
Cho
Tính giá trị : Câu 6: (3 điểm)
a/ Tìm giá trị nhỏ nhÊt nÕu cã cđa biĨu thøc sau: (víi x > 0)
b/ Chøng minh r»ng sè: lµ sè chÝnh ph¬ng ( ) Cho víi ; ;
c/Chøng minh r»ng:
§Ị sè 20
Bài 1: (2 điểm)
a) Cho x > 0, y > thoả mÃn: Tính giá trị biểu thøc: b) Víi Rót gän biĨu thøc: Bµi 2: (2 điểm)
Chứng minh với giá trị nguyên x biểu thức có giá trị nguyên
Bài 3: (2 điểm)
Mt ngời xe đạp, ngời xe máy, ngời ô tô từ A B khởi hành lần lợt lúc giờ, giờ, với vận tốc thứ tự 10 km/h, 30 km/h,
40 km/h Hỏi lúc ô tô cách ngời xe đạp xe máy Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB AC ) có O giao điểm ba đờng trung trực, vẽ phía ngồi tam giác hai hình vng ABDE, ACGH Biết OE = OH
TÝnh số đo góc BAC ? Bài 5: (1 điểm)