Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9 của Sở Giáo dục và Đào tạo Đắk Lắk năm 2018- 2019

Viết phương trình đường thẳng d , biết hình thang ABCD có diện tích bằng 20. Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua.. Cho hình vuông ABCD.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK

ĐỂ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2018-2019

Câu

a) Rút gọn biểu thức A 3 3 33 12 5 3 37 30 3 b) Giải hệ phương trình: 12

2

x x x x y y

x x y

    

 

  



Câu a) Cho phương trình

4 2

x  x x  m (mlà tham số) Tìm tất giá trị mđể phương trình có nghiệm phân biệt

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,một đường thẳng dcó hệ số góc k di qua điểm M 0;3 cắt Parabol  P :y x2tại hai điểm A B, Gọi C D, hình chiếu vng góc

,

A Btrên trục Ox.Viết phương trình đường thẳng d,biết hình thang ABCDcó diện tích 20

Câu

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2  y2 2xy6x4y20

b) Tìm tất số tự nhiên có chữ số, biết số lập phương tổng chữ số

Câu

Cho điểm Anằm ngồi đường trịn  O Vẽ hai tiếp tuyến AB AC B C, ( , tiếp điểm) cát tuyến ADEcủa (O) cho ADEnằm hai tia AOvà AB(D E, thuộc  O ) Đường thẳng qua Dsong song với BEcắt BC AB, ,P Q

a) Gọi Hlà giao điểm BCvới OA.Chứng minh tứ giác OEDH nội tiếp b) Gọi Klà điểm đối xứng Bqua E Chứng minh , ,A P Kthẳng hàng

Câu Cho hình vng ABCD.Trên cạnh CB CD, lấy điểm M N, (M khác B C, N khác C D) cho MAN 45 Chứng minh đường chéo BDchia tam giác AMNthành hai phần có diện tích

Câu Cho , ,a b c0thỏa mãn a  b c 3.Chứng minh rằng: 2 2 2

1 1

a b c

b c a

     

ĐÁP ÁN Câu a) Ta có:

     

         

  

3

2

3 33 12 3 33 12

3 33 12 3 21 12 3 3

3 3 3

A        

         

   

b) ĐKXĐ: ,x y0

Ta có: x x 6x12 x  8 y y  x2  3  y  y  x2 Thế vào phương trình thứ hai

   1( )

2

9 1

x y ktm

x x x x x

x y y

    

         

    



Vậy hệ có nghiệm    x y;  9;1 Câu

a) Ta có phương trình tương đương x22 2 x   2 m Đặt x  2 t Ta có phương trình

2 0(*)

t    t m Để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt phương trình  * phải có nghiệm tdương phân biệt Khi đó:

'

0

2

1

m

m m

m   

  

      

   

   



b) Gọi phương trình đường thẳng  d :yaxb.Vì  d qua M 0;3 nên

 d :yax3

Hoành độ giao điểm  d  P nghiệm phương trình: x2 ax 3 0,

 

1  3 0nên phương trình x2 ax 3 0ln có nghiệm phân biệt hay  d cắt  P tai hai điểm phân biệtAvà Bcó hồnh độ x xA, B Theo Vi-et

A B

A B

x x a

x x

 



  

 Khi tọa độ

 2  2

; , ;

A A B B

Ta có:       2 20 2

A B A B

ABCD

x x x x

AC BD CD

S      

 2  2  2  2

2 40 12 40

A B A B A B A B

x x x x x x x x a a

 

          

Đặt

12

a  t, ta có: t3 6t 40  0 t 4t2  4t 100

   2 2

4 12

t  t  t a a

              

Phương trình đường thẳng  d :y  2x 3;  d :y2x3 Câu

a) Ta có phương trình tương đương: x1 2  x y 22 25

  2 2 2 2 2 2

1 25

x x y

          Xét trường hợp sau:

           

         

         

1

1: ; 1; ; 1;4

2 5

2 : ; 6;4 ; 4;

2

3 : ; 2; ; 2;0 ; 4;6 ; 4; 2

1

4 : ; 3; ; 3; ; 5; ; 5;0

x

TH x y

x y x

TH x y

x y x

TH x y

x y x

TH x y

x y                                                        

b) Gọi số tự nhiên cần tìm abcd a  b c d3, theo 1000abcd 9999

Đặt

1000 9999 10 21 a    b c d n n    n

Mặt khác abcd 999a99b9c n n3n3 n 9n1 n n1 9

Do số n1; ;n n1phải có số chia hết cho 9,kết hợp với 10 n 21

10;17;18;19

n  

Vậy n4913;5832 Câu

a) Áp dụng phương tích đường trịn ta có AB2  AD AE Áp dụng hệ thức lượng tam giác ABO vng có:AB2 AH AO AH AO AD AE

AH AD

AHD AEO

AE AO

    

AHD AEO

  nên tứ giác OEDHnội tiếp b) Gọi Ilà giao điểm AEvới BC.Ta có: AHDDEOODEOHEBHDBHE

Suy HIlà phân giác DHEmà HI AHnên HAlà phân giác DHE Do HD AD ID

HE  AE  IE mà PQ/ /BKnên

DQ AD ID DP

DQ DP EB  AE  IE  EB   Ta có: DQDP EB, EKvà PQ/ /BKnên , ,A P Kthẳng hàng

I

K

H Q

P D

C B

O A

Câu

Đường chéo BDcắt AN AM, Pvà Q Ta có PAM PBAPAM 450nên tứ giác ABMPnội tiếp Suy PMAPBAPAM 450 APM vuông cân

Tương tự

45

NDQNAQ nên tứ giác ADNQnội tiếp QNA QDA QAN  450 AQN

  vuông cân Kẻ PH AMtại HHAHM PHhay AM 2PN

Ta có:

.2

APQ

AMN APQ

AMN

S PH AQ PH NQ

S S

S  NQ AM  NQ PH    Câu

Áp dụng Cô si ta có          

2

2

1

1

1 1

1 2

a b a b

a ab b

a a a

b b b

 

          

 

Tương tự ta có 2  1 ; 2  1

1 2

b bc c c ca a

b c

c a

         

 

Cộng vế theo vế ta được:

Q H

P

N C

D

A B

2 2

1 1

3

1 1 2

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

a b c

b c a

                   

  

Mặt khác ta có BDT a b c2 3ab bc caab bc ca3 Do : 2 2 2

1 1

a b c

b c a

     