phuong trinh luong giac 11

 Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi về phương trình cơ bản.[r]

Bài 2: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I Tìm tập xác định hàm số lượng giác

Chú ý : 1) A

B có nghĩa B0 (A có nghĩa) ; A có nghĩa A0 2)  1 s inx ; -1 cosx 1  

3) sinx x k ; sinx = x = k2 ; sinx = -1 x = k2

 

  

       

4) c xos x k ; osx = 1c x = ; osx = -1k c x = k2 

   

      

5) Hàm số y = tanx xác định x k 



 

Hàm số y = cotx xác định xk Ví dụ: Tìm tập xác định hàm số sau:

1) y = sin x4 2) y = sinx 3) y = tan(x + 4 

) 4) y = cot(2x - 3) 

5) y =

1 osx

1-sinx c 

6) y = cos x x



 7) y =

1

sinx  osxc II Xét tính chẵn, lẻ hàm số lượng giác

Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) =  

2 sin(-x)

= (-sinx)2 = sin2x

PP: Bước : Tìm TXĐ: D ; Kiểm tra x D   x D x, Bước : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có khả

+ Nếu f(-x) = f(x) f(x) hàm số chẵn + Nếu f(-x) = - f(x) f(x) hàm số lẻ

+ Nếu f(-x) - f(x) f(x) f(x) hàm số khơng chẵn khơng lẻ. Ví dụ: Xét tính chẵn – lẻ hàm số sau:

a) y=sin 2x cot 3x b) y=cosx+sin2x c) y=tanx

1+cos2x d) y=

|sinx|+5 sin 2x III Tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác

Chú ý :  1 s inx ; -1 cosx 1   ; sin2 x 1 ; A2 + B B PP: B1: Biến đổi hàm số dạng y = asinx + b y = acosx + b

B2: Ta có  1 sinx 1  a a sinxa  a b a  s inx+b a b B3: GTLN y là: a + b sinx = -

2

x  k 

  

GTNN y là: - a + b sinx = x k2 



  

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN hàm số a) y = 2sin(x-2



) + b) y = -1 -

os (2x + )

c 

c) y = 1cos(4x )2 - d) y=√3 cosx −sinx e) y = sin4x + cos4x f) y=cosx+cos(x+π

3) ĐS: a, LN: 5, NN: b, LN: - 1, NN: - c, LN: 2 , NN: - d, LN:

1

2 , NN: 

e, LN: 1, NN:

1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác: – Tìm tập xác định D

– Tìm chu kỳ T0 hàm số – Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần)

– Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T0 chọn: 0, 0

x T

0,

2

T T

x  

 .

– Vẽ đồ thị đoạn có độ dài chu kỳ

– Rồi suy phần đồ thị lại phép tịnh tiến theo vectơ v k T i

 

bên trái phải song song với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vị trục Ox)

2) Một số phép biến đổi đồ thị:

a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy đồ thị hàm số y = f(x) + a cách tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trục hoành a đơn vị a > tịnh tiến xuống phía trục hoành a đơn vị a <

b) Từ đồ thị y = f(x), suy đồ thị y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thị y = f(x) qua trục hoành

c) Đồ thị 

( ), ( )

( )

( ), ( )

f x f x

y f x

f x f x 

 

  suy từ đồ thị y = f(x) cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) phía trục hồnh lấy đối xứng phần đồ thị y = f(x) nằm phía trục hồnh qua trục hồnh

Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = f(x) = sinx b) y = f(x) = cosx c) y = sin2x d) y = + cosx e) y = sinx

Bài tập tương tự:

Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau: a) y=sinx+5

sin 2x b) y= sinx

1−2 cosx c) y= tanx

√2−2cos 3x d) y= cot 2x

√3+2 sinx ĐS: a, \{ }

k 

b, \{ k2 } 

   

c,

2

\{ , }

12

k

k

  



  



d,

2

\{ , , }

3

k

k k

  

 

 

 Bài 2: Xét tính chẵn - lẻ hàm số sau:

a) y = sinx + x b) y = sin x + x2 c) y = tan5x.cot7x

d) y = cosx + sin2x e) y = sin2x.cos3x

Bài 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số sau.

a) y = os 3 c x 1 b) y = sinx 3 c) y = sinx + cosx + d) y = 3cosx – 4sinx + ĐS: a, LN: 3, NN: b, LN: 5, NN: c, LN: 1 , NN:  1 d, LN: 7, NN: - ………***………

sin u = sin v 

u=v+k2π ¿ u=π − v+k2π

¿ ¿ ¿ ¿

( k  Z )

cos u = cos v  u =  v + k2 ( k  Z )

tanu = tanv  u = v + k ( k  Z )

cotu = cotv  u = v + k ( k  Z )

Phương trình đặt bi t ệ :

sinx =  x = k , sinx =  x = π

2 + k2 ,sinx = -1  x = - π + k2

cosx =  x = π

2 + k  , cosx =  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 Ví dụ 1: Giải phương trình lượng giác bản.

a) sin(x + 1) = b) sin(2x+30

∘

)+√2=0

c) cos(x  

) = 

d) cos(2x −π

3)+√3=0 e) tan(2x + 100) = f) tan(x

2− π

4)−√3=0 g) cot(x – 2) = h) √3 cot( x 2+

2π

5 )+1=0 ĐS: a, x k2





  

b,

0

0

(75 / 2) 180 (195 / 2) 180

x k

x k

  



 

 c,

/ 2

x k

x k

 

 

 



  

 d,

7 /12 /

x k

x k

 

 

 



  



e, x(35 / 2)0k900 f, x7 / 6 k2 g, x 2 arc cot 3k h, x22 /15 k2 . Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi phương trình

Áp dụng : + Cơng thức biến đổi góc + Cơng thức nhân đôi + Công thức hạ bậc + Cơng thức biến đổi tổng thành tích

a) sin3x – cos5x = b) sin(5x + 600) + sin3x = c) cos2x =

4 d) tan3x = cotx e)

2cos sin

x x  

f) tanx.tan2x = ĐS: a, x /16k / 4, x/ 4k b, x = (-15/2)0 + k450, x =600 + k1800

c, x / 6k, x / 6k d, x / 8k / 4 e, x3 / 4 k f, x / 6k / 3 Ví dụ 3: Tìm nghiệm thuộc miền cho trước.

) cos

6

a x  

  với  x b) tan 2x 12 

 

 

 

  với x

 

  

ĐS: a)

5

{- ; }

2

x  

b)

5

{- ; ; }

3 6

x    

Bài tập tương tự: Giải phương trình sau:

1) 2sin(x + 150) + = 2) 3cos(x – 1) = 3) 2cos(3x – 150) + 2= 4) tan(12 12 )x 

 

5)

0

cot( 20 )

4 x

  

6)2sin2x – = 7)sin3x + cos2x = 8)cotx.cot4x = 9)

2 2

0 sin

co x x 



ĐS: 1, x = - 450 + k3600, x = 1950 + k3600 2, x = 1

2

arccos

3 k 

 

3,x500 k1200, x = -400+ k1200 4,

5

144 12 k x   

5, x = - 2000 + k7200 6, k x  

7,

2

10

k x   

, x k2 



8, 10 k x  

9, x k 

  

II – Phương trình bậc hai hàm số lượng giác

acos2x b cosx c 0 Đặt t = cosx ,   1 t asin2x b sinx c 0 Đặt t = sinx ,   1 t atan2 x b tanx c 0 Đặt t = tanx

acot2x b cotx c 0 Đặt t = cotx Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) 2sin2x – 3sinx + = b) tan2x + ( 3+ 1)tanx - 3 = 0 Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác

+ Nếu phương trình có góc áp dụng đẳng thức lượng giác biến đổi + Nếu phương trình khơng góc áp dụng cơng thức hạ bậc, cơng thức nhân đơi, cơng thức biến đổi tích thành tổng cơng thức biến đổi góc

1) cos2x + 2sinx + = 2) cos2x + sin2x – sinx + = 3) cos4x + cos2x + = 4)

3

3cot

sin x x 5) 7tanx – 4cotx = 12 6) t anx tan x 

 

   

  7) + 2sinx.sin3x = 3cos2x

8)

4

sin os sin

2 x c x x

9)

2

2cos 5sin

2

x  x 

   

   

   

    10) 3(tanx + cotx) = 2(2 + sin2x)

ĐS: 1, x k2 



 

2, x k2 



 

3, , k

x   x  k

4, x k , x k

 

 

   

5,

2

arctan , arctan( )

7

x k x  k

6, x k ,xarctan 3k 7, x k  8, x k 



 

9, x

2

3 k

 

 

10, x k 



 

Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: 1)

2

sin 2cos

2

x x

  

2) 4sin4x + 12cos2x = 3) 3cos2x + 10sinx + = 4)

1

2 tan

os x

c x  5) 2 cos 2x2cosx 0 6) 5tanx – 2cotx = 7)

2

os2 3cos 4cos

2 x

c x x

8)

2 cot t anx 4sin

sin

x x

x

  

ĐS: 1, x4k 2,

k x  

3,

1

arcsin( ) , rcsin( )

3

x  k  x   k 

4, x k 



 

5, x k2 

  

6,

2

, arctan( )

4

x k x  k 7,

2

x  k 

8, x k 

   III – Phương trình bậc sinx cosx

Ph ng trình có d ng : acosx + bsinx = c (1) aươ 2 + b2



+ N u aế 2 + b2 < c2 (1) vô nghi m + N u aệ ế 2 + b2  c2 (2) có nghi mệ

Đặt th a s chung v trái cho ố ế a2b2 

2

2 cos 2 sinx

a b

a b x c

a b a b

 

   

 

  (2)

(2)  √a

2

+b2 cos(x −ϕ) = c v i ớ cosϕ= a √a2

+b2 ,

2

sin b

a b

  

(2)  √a

2

+b2 sin(x+ϕ)

= c v i 2

sin a

a b

 

 , 2

os b

c

a b

  

+ acosx + bsinx = a2b c2 os: ta biến đổi vế trái dạng √a2+b2 cos(x −ϕ) = 2 os

a b c 

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

a) sin 3x os3c x1 b) 3cos2x – 4sin2x = c) 2sin 5x os3c xsin 3x0

ĐS: a,

2

,

18 3

k k

x   x  

b, k

 

 

c,

2 ,

24

k

x    x   k

Ví dụ 2: Giải phương trình biến đổi phương trình bậc sinx cosx

a) sin 2x sin 2x 

 

   

  b)sin 8x cos 6x sin 6 xcos8x c) 2sin x



 



 

  + sin x 

 



 

  =

3

2 d) cos 2x sin 2x 2sin 2x 2 

 

    

 

ĐS: a, x k 



 

b, , 84 k x  k x  

c,x k2 , x 2 k2

 

  

    

d,x k 



 

Bài tập tương tự: Giải phương trình sau:

a) cosx sinx 2 b) sinxc so x sin 5x c) 2sin2x sin 2x3 d)

3

8cos

sin cos

x

x x

 

e) cosx + sinx cos x 

 

   

 

ĐS: a,

2 ,

12 12

x  k  x k 

b, 16 ,

k k

x   x  

c, 12 x  k

d, 12 , k

x   x k

e, x k 



 

IV - Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx Dạng : a.cos2x + b.sinx.cosx + c.sin2x = d

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = có thoả mãn (1) hay không?

Lưu ý: cosx =

2

sin sin

2

x  k x x

      

 Khi cosx 0, chia hai vế phương trình (1) cho

2

cos x 0 ta được:

2

.tan tan (1 tan )

a x b x c d  x

 Đặt: t = tanx, đưa phương trình bậc hai theo t:

2

(a d t ) b t c d   0

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos sin cos

(1)

2 2

x x x

a  b c  d

   

.sin ( ).cos 2

b x c a x d a c

      (đây PT bậc sin2x cos2x)

Ví dụ : Giải phương trình sau:

a) 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - b) 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8

√3 - 9)cos2x =

c) 4sin2x +3

√3 sin2x – 2cos2x = d) 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx

S: a, Đ

1 , arctan( )

4

x k x k

b,

8

, arctan

3

x  k x   k

 

c, x k , x k

 

 

   

d, x k 



Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: a) sin2xsin 2x 2cos2x1 / b)

2

sin xsin 2x 3cos x0 c) sin2x+3 sinxcosx=1 ĐS: a,x / 4k,xarctan( 5) k b,x / 4k,xarctan( 3) k c, x / 2k,xarctan(1/ 3)k

V- Các phương trình lượng giác khác.

1, Áp dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng tổng thành tích Cơng thức biến đổi tổng thành tích

cos os 2cos cos

2

a b a b

a c b   

cos cos 2sin sin

a b a b

a b  

sin sin 2sin cos

a b a b

a b   

sin sin 2cos sin

a b a b

a b   

Cơng thức biến đổi tích thành tổng công thức hạ bậc

 

 

 

2 2

1 cos

cos cos cos( ) cos( ) cos

2

1 cos

sin sin cos( ) cos( ) sin

2

1 cos

sin cos sin( ) sin( ) tan

2 cos

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

 

 

 

 

    



    



    



a) sin os3x c xsinx b) cos os3x c x c os5 os7x c x c) sinx sin 2 xsin 3x0 d) s inx sin 2 xcosx c os2x ĐS: a, ,

k k

x  x  

b, ,

k k

x  x 

c,

2

,

2

k

x  x  k 

d,

2 ,

6

k x  k  x   2, Áp dụng công thức hạ bậc biến đổi tổng thành tích a) sin2xsin 22 xsin 42 xsin 32 x b)

2 2

os os os

2

c x c x c x

ĐS: a, , ,

k k

x k x  x 

b, 16 , k

x   x  k 3, Phương trình dạng khác.

a) (1 – tanx)(1 + sin2x) = + tanx b) tanx + tan2x = sin3x.cosx c) sinx + cosx = os2 sin

c x

x  d) + sinx + cosx + sin2x + cos2x = e) (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 1) = – 4cos2x ĐS: a, x k , x k



 

  

b, k x 

c, x k2 , x k , x k2

 

  

    

d,

2

,

4

x  k x  k 

e,

5

, ,

4 6

k

x   x k  x  k  Bài tập tương tự: Giải phương trình sau:

a) cosx.cos2x = cos3x b) sin5x + sin3x = sin4x c) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 d) sin3x.cosx = cos3x.sinx e) cos3x – sin3x = sinx – cosx f) sin2

2

tan os

2

x x

x c 

 

  

 

 

ĐS: a, , k x k  x 

b, , k

x  x  k 

c, , 10 ,

k k

x k x   x  

d, , ,

k x k  x k x  

e, x k 



 

f, x k2 , x k , x k2

 

   

     