ABC thì H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC. bNeáu G laø giao ñieåm cuûa AM vôùi ñöôøng thaúng noái O vaø tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC thì G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC.. b[r]
(1)MỘT TRĂM BÀI TỐN HÌNH HỌC ƠN TẬP TỐT NGHIỆP THCS Bài
:Đường trịn(O,R)có ABlàđường
kính dâyMN=R(MvàNthuộcnửađường
trịntheothứtưA,M,N,B).GọiSlàgiao điểmcủaAMvàBN,Hlàgiaođiểm
BMvàAN
a)TínhsốđocungMN
b)TínhsốđocácgócASB,MHN c)Chứngminh SMHNnộitiếp d)Chứngminh: SH⊥ AB
e)GọiIlàtrungđiểmSH.ChứngminhIMlà tiếptuyếncủađườngtrịn(O)
Bài 2Chohìnhvẽ:Biết ∆ABC nộitiếp(O)
cóAK,CE,BFlàba đườngcao,ADlà
đườngkínhcủa(O),AKcắt(O)tạiM(khác A) xylàtiếptuyếntạiAcủa(O)
Bài
:Cho∆ABCnộitiếp đườngtrịn(O;R)có
AK,BF,
CElàbađườngcaocắtnhautaiïH.GọiIlàtrung điểmBC
A Chứngminh
a)NếuMvàHđốixứngnhauquaKthì M∈ (O)
b)NếuDvàHđối xứngmhauquaIthìD∈(O) c)OA ⊥EF (bacách)vàH làtâmđườngtrịn
nội tiếp ∆EKF
d)Tính R( ∆BHC) theoR
Bài
:Chohìnhvẽ:Biết tamgiácABCnộitiếp
(O;R)AD,BElàhaiđườngcao cắtnhautạiH AKlàđườngkính,ADcắtđườngtrịntạiI,Gọi FlàgiaođiểmCHvàAB.ĐườngthẳngEFcắt (O)tạiMvàN
I
a)Tìmvàchứng minhbatứgiáccóđỉnhlàH
nộitiếp đướngtrịn
b)Tìmvàchứng minhbatứgiáccócạnhlần
lượtlà bacạnhcủatamgiácABC nộitiếp
đướngtròn c)Chứngminh:
BH=BM; HE=NE
d)Chứngminh: EF//NP//xy
a)ChứngminhBIKClàhìnhthangcân b)ChứngminhBHCKlàhìnhbìnhhành c)Chứngminh
AE.AC=AF.AB
(2)e)ChứngminhBMDClàhìnhthangcân Bài
:Chohìnhvẽ:Biết tamgiácABCnội
tiếpđườngtròn (O)(AB<AC)AH;AKlần
lượtlà đườngcaovàphângiáccủatamgiác
ABC,AIcắtđườngtròntạiđiểmthứhai
K (KkhaùcA)
a)Chứngminh:BK= CK
CD.CB=CE.CA
AH.AD = AF.AB
d)ChứngminhAM=AN
e)ChứngminhOA ⊥EF
f)Chobiết:AC=R 3 TínhFÊDvàđộdài
cácđoạnthẳng DF,BHtheoR
g)TínhDA2+DB2+DC2+DI2theoR.
Bài
:Chohìnhvẽ:Biếthaiđư ngtrịn(O;R)
và(O’;R’)ti pxúcngồit iA.CDlàtiếptuyến
chungngồicủahaiđườngtrịn (C ∈ (O),D ∈(O')
b)ChứngminhAKlàphângiáccủH c)KẻđườngkínhADcủađườngtrịn(O) Chứngminh: AB.AC= AH.AD
d)Chứngminh : IA.IK=IB.IC
vàAB.KC=AK.BI e)ChứngminhKBtiếpxúcvớiđườngtròn ngoạitiếptamgiácABI
Bài 6:
Chođườngtrịn(O;R),Vớicáckíhiệucó trênhình hãychứngminh:
a)Chứngminh ∆CADvng
b)GọiMlàtrungđiểmcủaCD.ChứngminhMA làtiếptuyến chungcủahaiđườngtrịn(O)và
(O’),từđósuyraOM ⊥O’M
c)CácđườngthẳngCAvàDAlầnlượtcắt(O) và(O’)ở Fvà E .Chứngminh C,O,E
thẳnghàngvàD,O,Fthẳnghàng d)TínhCD2 +EF2 theoRvaøR’.
e)Chứngminh : S∆CADS∆EAF Bài
:
a)TứgiácCAIM,BDMInộitiếp b)TamgiácCIDvng
c)EF//AB
d)KhiMcốđinhIthayđổitrên AO,tìm vị
trícủaIđểAC.BD lớnnhất
R
tínhđộdàiđoạnthẳngCDvàdiệntíchtam
Chohìnhvẽ,vớicáckíhiệucótrênhình chứng
minh:
a)CD=AC+ BD CƠD=900
giác heo
Bài
:Chođườngtrịn (O;R)vàđiểmM
(3)b) C M
CE
DM
DE saochoOM=2R.QuaMvẽhaitiếptuyến
MAvàMBvớiđườngtrịn(O)(A,Bthuộc (O) ).ClàđiểmbấtkìthuộccungnhỏAB
.TiếptuyếntạiCcắtMAvàMBlầnlượttại EvàF
a)Chứngminh:EF= EA+FB
b)TínhchuvicủatamgiácMEFtheoR c)Tính F
c)GọiIvàKlầnlượtlàgiaođiểmcủaOEvà OFvớiAB.Chứngminhbốnđiểm F,I,O,B
c)CN=CA
d)GọiIlàgiaođiểmcủaBCvàAD,Flàgiao điểmcủaMIvàAB.ChứngminhMI//ACvàI làtrungđiểmcủaMF
e)Chứngminh:ABtiếpxúcđườngtrịnđường kínhCD
Bài
11 :Chođườngtrịn(O);R)vàđiểmMnằm ngồiđườngtrịn.QuađiểmMvẽhaitiếptuyến MA,MB(AvàBthuộc(O))vàcáttuyếnMCD (MC<MD).GọiIlàtrungđiểmcủaCD.Đường thẳngOIcắtđườngthẳngABtạiK.Ch ngminh
a)CáctứgiácMAOB,MHIKnộitiếp đườngtròn
b)OI.OK=R2
c)MH.MO=MC.MD
d)CĤD=2CÂD
cùngthuộcmộtđườngtrịn
d)KhiSđcungBCbằng900,TínhđộdàiEF e)
BC
BD
AC AD vàdiệntíchtamgiácOIKtheoR
Bài
10 :Chođườngtrịn (O;R)cóABlà
đườngkínhTrênhainửakhácnhaucủa đườngtrịntalấyhaiđiểmMvàNsaocho AM=R ;AN=R 2.Cácđườngthẳng
AMvàANcắttiếptuyếntạiBcủađường tròn ởCvàD.Chứngminh
a)AM.AC=AN.AD
b)TứgiácMNDCnộitiếp
c)GọiMK,NI,AJlàbađườngcaocủatam
f)ChobiếtOM=3R,CD= R ,Tínhdiệntích
tamgiácMKCvàMKtheoR Bài
12 : giácAMN.Tínhsốđogócvàđộdàicáccạnh
củatamgiácKIJ
(4)hailàCkhácD.ĐườngthẳngBCcắtMAtạiF ,đườngthẳngACcắtMBtạiE
Bài 13 :Chođư ngtrịntâm(O;R)cóABvà
CDlàhaiđư ngkínhvnggócnhau.Ilàm t
1)Chứngminh:
a) TứgiácMAOBnộitiếp
đi mn mtrênOBsaochoOI=
3OB.Đư ng
b) EB2=EC.EA
c) ElàtrungđiểmcủaMB
th ngCIc tđư ngtrònt iEvàc tBDt iK
Đư ngth ngAEc tCDt iF.Ch ngminh: d)e) CFBC.làMBtiaphân=MCgiác.ABMĈA.
2)Tínhdiệntích ∆ BADtheoR
3)TínhkhoảngcáchgiữahaiđườngthẳngADvà MB
Baøi 15 :
a)TứgiácOIEDnộitiếp vàtínhCI.CEtheo
R
c)ChứngminhIlàtrọngtâmcủatamgiác CBDtừđótínhKE.KCtheoR
d)ChứngminhFlàtrungđiểmcủaOD e)TínhdiệntíchcủatamgiácACEtheoR f)TrongtrườnghợpIthayđổitrênOBchứng minhdiệntíchtứgiácCAFIkhơngđổi Bài
14 :
Vớihìnhvẽtrênchobiết:MAvàMBlàhaitiếp tuyếncủa(O),CD ⊥ AB ;CE ⊥ MA ;CF ⊥ MB
a)Tìmvàchứngminhbốntứgiácnội tiếpcó
tronghìnhvẽ
b)ChứngminhCE.CF=CD2
c)GọiHlàgiaođiểmcủaACvàDE,Klà giaođiểmBCvàFD.Chứngminhtứgiác CHDKnộitiếp
d)ChứngminhKH // AB
Bài 16 : Vớihinhvẽtrênchobiết:MAvàMBlàhai
tiếptuyếncủa(O),CI ⊥ AB ;CK ⊥ MA ;
CD ⊥ MB
a) Tìmvàchứngminhbốntứgiácnội tiếpcótronghìnhvẽ
b) ChứngminhCK.CD=CI2..
c) GọiHlàgiaođiểmcủaACvàKI,E làgiaođiểmBCvàID.Chứngminhtứ giácCHIEnộitiếp
(5)Chođườngtròn(O,R)vàđiểmMsaochoOM= e) Chứngminh: KI22
CK
CD
3R.QuaMvẽhaitiếptuyếnMAvàMB(AvàB thuộc(O)).GọiElàtrungđiểmcủaMB,đường Bài 17 :Chonửađườngtrịn(O)cóđường
kínhAB.Từ A,BvẽhaitiếptuyếnAxvàBy
.QuamộtđiểmMthuộcnửađườngtrịnnày ,kẻtiếptuyếnthứbacắtcáctiếptuyếnAx ,BytạiEvàF
a)ChứngminhtứgiácAEMOnộitiếp b)AMcắtOEtạiP,BMcắtOFtạiQ.Tứgiác MPOQlàhìnhgì?
c)Chứngminh:OP.OE=OQ.OFvàAE.BF= R2
d)KẻMHvuônggócAB,KlàgiaiểmMH vàEB.SosánhMKvàHK
e)ChoAB=2Rvàrlàbánkínhđườngtrịn nộitiếptamgiácEOF.Chứngminh
thẳngEAcắtđườngtrịn tạiđiểmthứhailàC
khácA.ĐườngthẳngMCcắtđườngtròn tạiD
khácC,đườngthẳngBCcắtMAtạiF 1)Chứngminh:
a)TứgiácMAOBnộitiếp b)EB2=EC.EA
c)AD//MB
d)BC.MB=MC.AB
e)TamgiácDBAcân 2)Tínhdiệntích ∆ BADtheoR
3)TínhkhoảngcáchtừAđếnđườngthẳngBD Bài
19 : Chohaiđườngtrịn(O,R)và(O’;R’) cắt
nhautạiAvàB.TiếptuyếntạiAcủa(O’)cắt (O)tại C,tiếptuyếntạiAcủa(O)cắt (O’)tại
D.GọiKlàđiểmđốixứngcủaAquaBChứng minh:
1
r
R
1
Bài 18 :Chonửađườngtrịn(O;R)cóđường kínhAB,kẻtiếptuyếnBxvớinửađườngtrịn ,Clàđiểmtrênnừađườngtrịnsaochocung ACbằngcungCB.TrêncungCBlấyđiểmD tù(DkhácCvàB).CáctiaACvàAD cắtBxlầnlượttạiEvàF.Chứngminh:
a)BƠO’=BÊA
b)AB2=BC.BDvàBKlàphângiácgócCBD.
c)ME2=MA.MBvàMlàtrungđiểmcủaEF.
d)TứgiácACKDnộitiếpvà AC
AD
R R' Baøi
20 : Chohaiđườngtrịn(O,R)và(O’;R’) cắt
nhautạiAvàB.ĐườngkínhACcủa(O)cắt (O’)
tại E,đườngkínhADcủa(O’)cắt (O)tại F
GọiMlàgiaođiểmcủaCFvàDE.Chứngminh:
a)TamgiácABEvngcân b)TứgiácCEFDnộitiếp
c)KhiCdiđộngtrênnửađườngtrịn,Ddi độngtrêncungCBthìAC.AE=ADAFvàcó
DI
(6)giátrịkhơngđổi
d)KhiSđcungCDbằng 600vàKthuộctia
DAsaochoDK=DB.Tínhdiệntích ∆AKB vàchuvicủatứgiácCDFEtheoR
Bài
21 : Chođườngtrịn(O)vàmộtdâycung
AB.TrêntiaABlấymộtđiểmCnằmngồi đườngtrịn.TừđiểmchínhgiữaPcủacung lớnABkẻđườngkínhPQcắtdâyABtạiD TiaCPcắtđườngtrịntạiđiểmthứhaiI.Các dâyABvàQIcắtnhautạiK.Chứngminh
a)C,B ,Dthẳnghàng vàCD=2OO’
b)CáctứgiácAEMF; CFED,OO’EFnộitiếp c)M,A,BthẳnghàngvàAlàtâmđườngtrịn nộitiếp∆EBF
d)CA.CE+DA.DF= CD2
e)CáctiếptuyếntạiEvàFcủađườngtrịnngoại a)TứgiácPDKInộitiếp
b)CI.CP= CK.CD
c)IClàtiaphângiáccủagócngồiđỉnhIcủa tamgiácAIB
d)KhiA,B,Ccốđịnhđườngtrịn(O)thay đổinhưngvẫnđiquaA,BthìđườngthẳngQI
tiếptứgiácCFEDđồngquytạimộtđiểmtrên MB.â
Bài
23: ChotứgiácABCDnộitiếpđườngtrịn (O,R)cóhaiđườngchéoACvàBDvnggóc nhautạiđiểmIkhácO.KẻđườngkínhCEcủa (O).Chứngminh
luônđiquamộtđiểmcốđịnh
Bài 22:Chođườngtrịn(O;R)vàmộtđường thẳngdcắt(O)tạiCvàD.MộtđiểmMdi độngtrêndsaochoMC<MDvàớngồi đườngtrịn(O).QuaMkẻhaitiếptuyếnMA vàMB.GọiHlàtrungđiểmcủaCD vàgiao
củaOM,d,OHvớiABlầnlượtlàI,Evà F
a)IA.IC=IB.ID
b)Đườngthẳng quaIvnggócABthìđiqua
trungđiểm củaCD
c)ĐườngthẳngquaIvàtrungđiểmcủaBCthì vnggócAD
d) AB2+CD2 =4R2 vàAB2+BC2 +CD2+AD2
=8R2
Chứngminh:
a)CáctứgiácMIHF ;OHEInộitiếp
Baøi 24:
b)MA2= MCMD vaøMC.MD=MI.MO
AB2
c)FI.EI= vaøOH.OF=OI.OM
4
(7)Baøi 25 :
Chođườngtrịn(O,R)cóABlàđườngkính ,CvàDlàhaiđiểmnằmtrênhainửađường trịnkhácnhausaochoAC=RvàOD ⊥AB
.Tính 24.1
ChotamgiácABCcó B=600,
BA=6cm
BC=8cm .AD,BE,CFlàba
đường
caocắtnhautạiH
a)Tínhđộdàicácđoạnthẳng AD,AC, BE, CF
b)Tínhdiệntích;øbánkínhđườngtrịnnộitiếp, bánkínhđườngtrịnngoạitiếpcủatamgiác ABC
24.2 TamgiácABCcó
BC=6cm
B=600 ,Ĉ=450
a)Tínhđộdài đườngcao
AHcủatam a)SốđocácgóccủatamgiácACEvàtam
giaùcACD
b)ĐộdàicáccạnhcủatứgiácACDBtheoR c)Độdàicácđoạnthẳng AE,CE,BE,CD
theoR
giaùcABC
b)TínhAB,AC,diệntíchtamgiácABC ,bán
kínhđướngtrịnngoạitiếp ,bánkínhđườngtrịn
nộitiếpcủatamgiácABC d)DiệntíchtamcáctamgiácACEvàCDB
Bài 26 :
Chođườngtrịn(O,R)cóOMlàbánkính BClàdâycungtrungtrựccủaOM.Alàmột điểmbấtkỳtrêncunglớnBC.GọiAD ,BE,
CFlàbađườngcaocắtnhautạiH
24.3
AC=8cm cao AK
TamgiácABCcóAB=6cm, BC=12cm AKlàđường
a)TinhBK ,CK,
b)Tính bánkính
đườngtrịn
ngoạitiếp ,đường
trònnộitiếp
củatamgiácABC Bài
27 : Chođườngtrịn(O,R)vàđiểmMsao choOM=2R.QuaMvẽhaitiếptuyếnMAvà MBvới(O) (A,Bthuộc(O)).Đườngthẳng
MOcắtđườngtròntạiCvàD(MC<MD)
(8)e)GọiKlàtrungđiểmHC.Chứngminhtứ giácEFDKnộitiếp
f)Tínhbánkínhđườngtrịnngoạitiếptam giácEFD
Bài 29 :ChotamgiácABCnộitiếpđường trịn(O,R).Cácđườngphângiáccủatam giáckẻtừcácđỉnhA,B,CđồngquytạiS vàlầnlượtcắtđườngtrịntạiQ,P,R
a)ChứngminhCA=CB
a)ChứngminhClàtâmđườngtrịnnộitiếptam
giácMAB
c)TứgiácACBOvàMADBlàhìnhgì?Tínhdiện tíchcáctứgiáctrêntheoR
d)GọiNlàtrungđiểmAD,đườngthẳngMN cắt
ACtạiE.ChứngminhElàtrungđiểmMN e)TínhđộdàiMNvàdiệntíchcác tamgiác
MND,MEDtheoR
f)HãygiảilạicâuekhiNlàgiaođiểmcủatia a)ChứngminhQcáchđềucácđỉnhcủatam
giácBSC
b)GọiEvàFlầnlượtlàgiaođiểmcủaRP vớiABvàAC.ChứngminhAQvnggóc RP;ĐiểmSgọilàgìtrongtamgiácQRP?
phângiácgócAMDvớiAD
Bài 28 :
ChotamgiácABCnhọnnộitiếpđườngtrịn (O,R)
MlàmộtđiểmtrêncungnhỏBC.Chứngminh: c)GọiIlàgiaođiểmcủaRQvàAB,Jlàgiao
điểmcủaPQvàAC Chứngminhtứgiác
ARISnộitiếp
d)ChứngminhbađiểmI,S ,Jthẳnghàng
Baøi 30 :
ChotamgiácABCcóbagócđềunhọnnội tiếptrongđườngtrịn(O)AD,AMlầnlượtlà đườngcaovàtrungtuyếncủatamgiácABC, dlàtrungtrựccủađoạnBC.Chứngminh
a)NếuMH ⊥ AB, MI ⊥BCvàKlàgiaiểm củaHIvàACthìMK ⊥AC
b)NếuMH ⊥ AB, MK ⊥ACvàIlàgiaiểm củaHKvàBCthìMI ⊥BC
c)NếuMH ⊥AB,MI ⊥BCvàMK ⊥AC.thìba điểmH,I ,Kthẳnghàng(ĐườngthẳngIHKnói
trêngọilàđườngthẳngSimSon*) *RobertSimson(1687-1768)nhàtốnhọc a)NếuHlàgiaođiểmcủaADvớiđường
thẳngnốiOvà trọngtâmGcủatamgiác Scotlandc)NếuOlàgiaođiểmcủadvớiđườngthẳngnối
(9)Bài 33 :Chođườngtrịn(O;R)vàmộtdây cungABkhơngquatâm.CáctiếptuyếntạiA vàBcủađườngtrịn(O)cắtnhautạiC.GọiP làđiểmtrên dâyABsaocho AP=2
BP.ĐườngthẳngvnggócvớiOPkẻtừP cắtđườngthẳngCAởEvàcắtđườngthẳng CBởD
1)Chöngminh:
a) CáctứgiácOPDB,OPAEnộitiếp b) PlàtrungđiểmcủađoạnthẳngDE c) CE.CD=CA2 -AE2
2)ChobiếtAB=R Tínhdiệntíchtam
giácEOCtheoR Bài
34 : Chođườngtrịn(O,R),đườngthẳng dkhơngquaOcắtđườngtrịntạihaiđiểmA vàB.TừmộtđiểmC trênd(Cnằmngồi
trựctâmHvà trọngtâmGcủatamgiácABCthì
Olàtâmcủa(ABC)
d)VớiH,Glầnlượtlàtrựctâm,trọngtâmcủa tamgiácABC.ChứngminhO,H,Gthẳnghàng Bài
31: Chohaiđườngtrịn(O)và(O’)cắtnhau
tạiAvàB(Tâmđườngtrịnnàynằm ngồi
đườngtrịnkia).QuaAvẽmộtcáttuyếnthayđổi MN(M∈(O),N∈(O')).HaitiếptuyếntạiMvà NcủahaiđườngtrịncắtnhautạiK Haitiếp tuyếntạiAcủa(O)và(O’)lầnlượtcắt(O’)và (O)tạiDvàC
Chứngminh:
a) ∆BMNvà∆AOO’đồngdạng
b)SốđocácgócMBN,ABC,ANDkhơngthay đổi
c)TứgiácKMBNnộitiếpvàsốđogócMKN khơngđổi
d)TìmvịtrícủacáttuyếnMNđểMNlớnnhất Bài
32 : ChotamgiácABCcântạiAnộitiếp (O,R)vàÂ=450ù BMvàCNlàhaiđườngcaocắt
nhautạiH.Chứngminh: đườngtròn),kẻhaitiếptuyếnCMvàCN(M
vàNthuộc(O)).GoÏiHlàtrungđiểmAB ,đườngthẳngOHcắttiaCNtạiK.Đoạnthẳng COcắt(O)tạiI.Chứngminh:
a)BM=CN , MN//BC , AH=BC
b)NămđiểmB,C,N,O,Mcùngthuộcmột đườngtrịn
(10)d)CáctứgiácBMON,MONH ,BHCDlàhình
gì?
e)TínhđộdàicácđoạnthẳngBD,AB theoR
Bài 35: Chođườngtrịn(O)vàđiểmAnằm ngồiđườngtrịn.TừAvẽtiếptuyếnABvàcát tuyếnACD(nằmgiũaAvàD)
1)C,O,H,Ncùngthuộcmộtđườngtrịn
2)KN.KC=KH.KO
3)Icáchđều CM,CN,MN
4)MộtđườngthẳngquaOsongsongMNcắt tiaCMvàCNtạiEvàF.XácđịnhvịtríC trêndđểdiệntíchtamgiácCEFnhỏnhất
Bài
37 :Chođườngtrịn(O,R),Mlàmột điểmsaochoOM=2R.QuaMvẽ haitiếp
tuyếnMAvàMB (A,Bthuộc(O)) .Đường
thẳngMOcắtđườngtròntạiEvàF(ME< MF)
1)Chứngminh:
1) ChứngminhAB2=AC.AD
2) GọiHlàtrungđiểmCD.Chứngminhtứgiác
ABOEcóbốnđiểmcùng thuộcmộtđường
tròn
3) VẽtiaBx//CDcắt(O)tạiI,IEcắt(O)tạiK
.ChứngminhAKlàtiếptuyếncủa(O) 4) ĐườngthẳngBHcắt(O)tạiF.Chứngminh
KF//CD
5) TímvịtrícủacáttuyếnACDđềdiệntíchtam giácAIDlớnnhất
Bài
36.1 : ChohìnhvngABCDcóđộdài cạnhlàa.GọiElàtrungđiểmCD,đường thẳng
AEcắtBCtạiF.TiavnggócvớiAEtạiAcắt CDtạiK
a)MOlàtrungtrựccủađoạnthẳngABvàE cáchđềubacạnhcủatamgiácMAB b)TamgiácMABđều.Tínhdiệntích∆MAB c)MA=AFvàtứgiácMAFBlàhìnhthoi 2)GọiClàđiểmđốixứngcủaBquaO ĐườngthẳngMCcắtABtạiS.Chứngminh diệntíchhìnhtrịnngoạitiếp∆MBSgấpba lầndiệntíchhìnhtrịnngoạitiếp∆ASC Bài
38.1:Chođườngtrịn(O,R),Mlàmột điểmsaochoOM=3R.QuaMvẽ haitiếp
tuyếnMAvàMB (A,Bthuộc(O)) .Tia
1)ChứngminhtứgiácKACFnộitiếpđườngtrịn XácđịnhtâmI
2)ChứngminhtamgiácKAFvngcân vàba
điểmB,DIthẳnghàng
3)BIcắtAEtạiJ.ChứngminhtứgiácIJCFnội tiếp
đốicủatia MOcắtđườngtròntạiC.GọiD
(11)1) ĐộdàicáccạnhcủatamgiácMAB 2) ĐộdàicạnhCA
3) ĐộdàiđoạnthẳngCDvàdiệntíchcác tamgiácMDC,DGC,DBC
4) TỉsốdiệntíchhaitamgiácDAKvà BCK
(VớiKlàgiaođiểmCDvàAB) Bài
38.2 : XácđịnhcácgócBvàCcủatam giácvngởAbiếtBC=2vàdiệntíchtam
4)TínhdiệntíchtamgiácBJCtheoa 5)TínhchuvitứgiácIDEFtheoa
Bài
36.2 : Chohìnhvẽ: a)Chứngminh ABOClàhình
vuông
b)Tínhđộdàicác đoạnthẳng
BD,BE BFtheo
bánkính
Rcủađườngtrịn (O)
Bài39 :Chođườngtrịn(O)vàmộtdâycung ABkhơngđiquatâm.VẽđườngkínhCDtạiK (D∈cungnhỏAB).TrêncungnhỏBClấyđiểm N(NkhácBvàC).DNvàKBcắtnhautạiF, CNvàABkéodàicắtnhautạiE
giácABClà
2
Bài
41 :Chohaiđườngtrịn tâmO,hai
đườngkínhABvàCDvnggócnhau,gọiI làtrungđiểmcủaOA.QuaIvẽdâycungMQ vnggócvớiOA(
M∈cungAC,Q∈cungAD).Đườngthẳng
vnggócMQtạiMcắtđườngtrịn(O)tạiP
a)ChứngminhtứgiácKFNCnộitiếpmộtđường trịn
b)ChứngminhDF.DN=DK.DC
c)TiếptuyếntạiNcủađườngtrịn(O)cắtđường thẳngABtạiI.ChứngminhIE=IF
d)Chứngminh EB
FB
KE KA Bài
40.1 : Chođườngtrịn(O,5cm)cóABlà đườngkính(d)làtiếptuyếntạiA.GọiMlàđiểm 1) Chứngminhrằng:
a)TứgiácPMIOlàhìnhthangvng b)CácđiểmP,O,Q thẳnghàng
2)GọiSlàfgiaiểmcủaAPvàCQ.Tínhsố đogócCSP
3)GọiHlàgiaođiểmcủaAPvàMQ.Chứng minhrằng:
a)MH.MQ=MP2
trên(O)vàP,QlầnlượtlàhìnhchiếucủaMtrên ABvà(d),IlàtrungđiểmcủaPQ
(12)Bài 42:Chođư ngtrịn(O;R),đi mAn m ngồiđư ngtrịn(O).K ti ptuy nAM,AN;
đư ngth ngch ađư ngkính,songsongv i MNc tAM,ANl nlư tt iBvàC.Ch ng
minh:
a)T giácMNCBlàhìnhthangcân b)MA.MB=R2.
c)Kthu ccungnh MN.K ti ptuy nt iK
c tAM,ANl nlư tt iPvàQ.Ch ngminh: BP.CQ=BC2/4.
d)Chobiết:OA=2R,TínhSMBCN theoR
Bài 45:Chohaiđư ngtrịn(O)và(O’)c t
1)ChứngminhtamgiácAIOvng 2)TiếptuyếntạiMcắtđườngthẳng(d)ởT ChứngminhMAlàphângiáccủahaigócQMO vàTMP
3)ChứngminhcáccặptamgiácAIQ,ATMvà AIP,AOMđồngdạng
4)TínhđộdàicácđoạnAQ,AI,APbiếtAT=
10cm
Bài
40.2 : XácđịnhcácgócBvàCcủatamgiác vngởAbiếtBC= 2 vàđườngcaoAH=
2
Bài 43:Chon ađư ngtrịntâmOđư ngkính
AB=2R.Clàtrungđi mc ađo nth ngAO,
đư ngth ngCxvnggócv iđư ngth ngAB, Cxc tn ađư ngtrịntrênt iI.,Klàm tđi m
b tkìn mtrênđo nth ngCI(KkhácC;Kkhác I),tiaAKc tn ađư ngtrònđãchot iM.Ti p
tuy nv in ađư ngtròntâmOt iđi mMc tCx t iN,tiaBMc tCxt iD
nhaut iAvàB,ti ptuy nchungv ihai
đư ngtrịn(O)và(O’)v phían am tph ng b OO’ch ađi mB,cóti pđi mth t làE
vàF.QuaAk cáttuy nsongsongv iEFc t đư ngtròn(O),(O’)th t t iC,D.Đư ng th ngCEvàđư ngth ngDFc tnhaut iI
1)Ch ngminhr ngb nđi mA,C,M,Dcùng n mtrênm tđư ngtrịn
2)Ch ngminh∆MNKcân
3)Tínhdi ntích∆ABDkhiKlàtrungđi mc a đo nth ngCI
4)Ch ngminhr ng:KhiKdiđ ngtrênđo n th ngCIthìtâmc ađư ngtrònngo iti p∆AKD n mtrênm tđư ngth ngc đnh
1)Ch ngminhIAvnggócv iCD
2)Ch ngminht giácIEBFlàt giácn iti p 3)Ch ngminhđư ngth ngABđiquatrung mc aEF
Bài 44 :Chođư ngtrịn(O),m tđư ngkínhAB
c đnh,m tđi mIn mgi aAvàOsaochoAI= 2/3AO.K dâyMNvnggócv iABt iI.G iC
là
m tùy ý thu c cung l n MN, cho C không
Bài 46 :Chođư ngtrịntâmObánkínhR,
trùngv iM,NvàB.N iACc tMNt iE
haiđi mCvàDthu cđư ngtròn,Blàtrung
(13)trêntiađ ic atiaABl yđi mS,n iSv iC c t(O)t iM;MDc tABt iK;MBc tAC
t iH
a)Ch ngminht giácIECBn iti pđư ctrong đư ngtròn
b)Ch ngminh∆AMEđ ngd ngv i∆ACMvà AM2=AE.AC.
c)Ch ngminhAE.AC-AI.IB=AI2.
d)Hãyxácđnhv tríc ađi mCsaochokho ng cácht Nđ ntâmđư ngtrònngo iti ptamgiác CMElành nh t
Bài 47:T mA ngồiđư ngtrịn(O),k
a)Ch ngminh∠BMD=∠BAC,t đósuyra t giácAMHKn iti p
b)Ch ngminh:HK//CD
c)Ch ngminh:OK.OS=R2.
Bài49(Đềthi tốtnghiệp04-05 -Đà
cácti ptuy nAB,ACv iđư ngtròn(B,Clàcác ti pđi m).Trêntiađ ic atiaBCl yđi mD.G i
Elàgiaođi mc aDOvàAC.QuaEv ti ptuy n th haiv iđư ngtròn(O),ti ptuy nnàyc t
đư ngth ngAB K Nẵng)
ChohìnhvngABCD,gọiElàtrungđiểm củaAD.NốiBvớiE.ĐườngthẳngquaE vnggócvớiEBcắtCDtạiF.Chứngminh:
Ch ngminhb nđi mD,B,O,Kcùngthu cm t đư ngtròn
Bài 48 1: ChotamgiácABCvngt iAcóM
a)TứgiácCBEFnộitiếpđượctrongmột đườngtrịn.XácđịnhtâmIcủađườngtrịnđó
b)EDlàtiếptuyếncủađườngtrịntâmI c)BE =2EF
d)FElàphângiáccủagócDFB
Bài
50 : (Đềthi tốtnghiệp04-05 -Hà
làtrungđi mc aBC.Cóhaiđư ngth nglưu đ ngvàvnggócv inhaut iMc tcácđo n ABvàACl nlư tt iDvàE.Xácđnhcácv trí c aDvàEđ di ntíchtamgiácDMEđ tgiátr nh nh t
nội)
Chotamgiác ABCvuôngtạiA.LấiểmM
tù nằmgiữaAvàB.Đườngtrònđường
(14)làE.CácđườngthẳngCMvàAElầnlượtcắt đườngtròntạicácđiểmthứhailàHvàK
Bài 48.2:Chohaiđư ngtròn(O)và(O’)c t haiđi mAvàB.QuaAv haiđư ng th ng(d)và(d’),đư ngth ng(d)c t(O)t iCvà
c t(O’)t iD,đư ngth ng(d’)c t(O)t iMvà c t(O’)t iNsaochoABlàphângiácc agóc MAD
1)Chứngminh:
a) TứgiácAMEClàtứgiácnộitiếp b) GócACMbằnggócKHM c) CácđườngthẳngBH,EM,vàAC
đồngqui
2)GiảsửAC<AB,hãyxácđịnhvịtrícủaM đểtứgiácAHBClàhìnhthangcân
Bài53: (Phỏngtheo bàitậpbáo Tốn
họcvà tuổitrẻ)
Gọi AvàBlàcácgiaođiểmcủahaiđường
trịn(O,R)và(O’;R’).Trênnửamặtphẳng
Ch ngminhr ngCD=MN
Bài 51 :
(Đềthi tốtnghiệp04-05 -ThànhphốHồChí
Minh)
ChotamgiácABCcóbagócnhọnnộitiếptrong đườngtrịn(O,R),haiđườngcaoADvàBEcắt tạiH(D∈BC,E∈AC,AB AC)
cóbờlàđườngthẳngOO’vàcóchứađiểmB vẽ TT’làtiếptuyến chungcủahaiđường
trịn(Tthuộc(O)vàT’thuộc(O’)).GọiIlà giaođiểmcủaABvàTT’.Chứngminh
a)Ch ngminhAEDB vàCDHElàcáctứgiác
nộitiếp
b)ChứngminhCE.CA=CD.CB
1) OO’vuônggócAB
2) IT2 = IB.IA suyraIlàtrungđiểm c)ChứngminhOCDBvng.DC=gócDH.DADE.
TT’ d)ĐườngphângiáctrongANcủagócAcủatam
3) SOIO’=
2S OO’T’T
giácABCcắtBCtạiNvàcắtđườngtròn(O)
KkhácA.GọiIlàtâmđườngtrònngoạitiếptam
4) Blàtrọngtâmcủatamgiác ATT’khi
(15)2
Bài
54: (Phỏngtheo bàitậpbáo Tốnhọc
và tuổitrẻ)
ChohìnhvngABCD.TrêncạnhBCvàCD lấyhaiđiểmtươngứngMvàNsaochoMÂN =450,BDcắtAMvàANtạiIvàK.Chứng
minh
1).Chứngminh
giácCAN.ChứngminhKOvàCIcắtnhautại mộtđiểmthuộcđườngtrịn(O)
Bài
52 : (Đềthi lớp10 02-03 -Hảiphòng
)
MộtđườngtròntiếpxúcvớihaicạnhOxvàOy củagócxOylầnlượttạiAvàB.TừđiểmAvẽ đườngthẳngsongsongvớiOBcắtđườngtrịnđã chotạiđiểmthứhailàC.TiaOCcắtđườngtrịn tạiE ,HaiđườngthẳngAEvàOBcắtnhautại K
a)Tứ giácAINDnộitiếpđườngtrịnsuy
raNI ⊥ AM 1) Chứng minhOK=KB
EB
EA
CB CA b)AK.AN= AI.AM
2)GọiHlàgiaiểmcủaNIvàMK.Tính KI
AH
3)Chứngminh S∆CIK=SMNIK
Baøi
57 : (Đềthi HSG03-04-TỉnhThừa Thiên–Huế -Vòng1 )
ChotamgiácABC nhọnnộitiếpđườngtrịn
tâmO,gọiMlàtrungđiểmcủacạnhBC,H làtrựctâmtamgiácABCvàKlàhìnhchiếu vnggóccủaAtrêncạnhBC
2) Gọia,b,cthứtựlàkhoảngcáchtừCđếnAB
,OB
OA.Chứngminha2= bc
Bài55.1ChotamgiácABCcóbagócnhọnnội tiếpđườngtrịn(O)vàAD,BE,CFlầnlượtlàba đườngcaocủatamgiácABC.GọiM,N,Qlần lượtlàgiaođiểmcủaAD,BE,CFvớiđươngtrịn (O)
Chứngminhrằng: AM
AD
BN
BE
CQ
CF 4
BAØI
55.2 ChoptamgiácABC.Trêncáctia đốicủatiaBAvàCAlấycácđiểmEvàF(khác BvàC)theothứtự.BFcắtCEtạiđiểmM
Chứng
(16)MB MF
(17)TínhđộdàiAKvàdiệntíchtamgiácABC
4
Bài
58: : (Đềthi HSG03-04-TỉnhThừa
Thiên–Huế -Vòng2 )
ChotamgiácABCnộitiếpđườngtrịntâmO
nàodấu“=“xảyra
Bài
56: ChonửađườngtrịntâmOđườngkính ABvàmộtđiểmCthuộc đoạnAB,Mlàmột
điểmtrênnửa đườngtrịn.ĐườngthẳngquaM
vnggócMCcắtcáctiếptuyếnquaAvàBcủa nửađườngtrịntạiEvàF
,gọiIlàtrungđiểmcủacạnhBC,Mlàđiểm trênđoạnCI(MkhácCvàD),đườngthẳng AMcắtđườngtrịn(O)tạiD.Tiếptuyếncủa đườngtrịnngoạitiếptamgiácAMItạiMcắt cácđườngthẳngBD,DCtạiPvàQ
1) KhiMcốđịnh,Cdiđộng.TìmvịtrícủaCđể AE.BFlớn
2) KhiCcốđịnh,Mdiđộng.TìmvịtrícủaMđể
S∆CEFlớn nhất
Bài59(Đềthi HSG03-04 -ThànhphốHồ
ChíMinh)
ChotamgiácABCcântạiAnộitiếpđườngtrịn
1)ChứngminhDM.IA=MP.IB
MP MQ
Bài
61: (Đềthituyểnvàolớp10 ,95-96
ThànhphốHồChíMinh)
ChohìnhvngABCDcốđịnhcạnha.Điểm Edi chuyểntrêncạnhCD (E≠ D)Đường
thẳngAEcắtđườngthẳngBCtạiF,đường thẳngvnggócvớiAEtạiAcắtđường thẳngCDtạiK
tâmO,đườngkínhAI.GọiElàtrungđiềmAB vàKlàtrungđiểmOI
ChứngminhtứgiácAEKCnộitiếpđườngtrịn
Bài60.1:ChonửađườngtrịntâmOđường kínhAB=2R,Mlàmộtđiểmtrênnửa đường
tròn(khácAvàB).Tiếptuyến của(O)tạiM cắt
cáctiếptuyếntạiAvàBcủanửađườngtrịn(O) tạiCvàD
1)Chứngminh∆ABF=∆ADK,suyra∆AKF vngcân
2)Gọi I trung điểm FK Chứng minh
làtâm đường tròn qua A ,C , F ,K I di chuyển
biếtrằngOM=HK= KM vàAM=30cm
(18)trênmộtđườngthẳngcốđịnhkhiEdiđộng trênCD
3)ChứngminhtứgiácABFInộitiếpđược 4)ChoDE=x (0<x ≤a).Tínhđộdàicác cạnhcủa∆AEKtheoavàx
5)HãychỉravịtrícủaEđểEKngắnnhất
Bài
62: (Đềthituyểnvàolớp10 ,02
-03 trườngLêQĐơn,ĐàNẵng)
Cho đườngtrịntâmOvàmộtdâycungAB
củađườngtrịnđó.CáctiếptuyếnvẽtừAvà BcủađườngtrịncắtnhautạiC.KẻdâyCD củađườngtrịn tâmI cóđườngkínhOC.(D
khácAvàB).CDcắtcungABcủađường
1)Tìm giá trị nhỏ của:
a)ĐộdàiđoạnthẳngCDvàdiệntíchtamgiác COD
b)DiệntíchvàchuvitứgiácACDB
c)Tồngdiệntíchcủa tamgiácACMvàBDM
2) Tìm giá trị lớn của:
a)Diệntíchvàchuvi tamgiácMAB
b)TíchMA.MB
Bài
60.2:(Đềthituyểnvàolớp10 ,02-03 trườngTrầnĐạiNghĩa TPHồChíMinh)
Chotam giác ABC(AB<AC)nộitiếp(O,R),
AD làphângiáctrong.TiếptuyếntạiAcủa
đườngtrịn(O)cắtđườngthẳngBCtạiE,Cho BD=b;CD=c.TínhEA
trịn(O)tạiE(EnằmgiữaCvàD).Chứng minh:
Bài63: ChotamgiácABCcóbagócđềunhọn
nộitiếpđườngtròn(O), AA’vàBB’làhai
đườngcao.Gọidlàtiếptuyếncủađườngtròn (O)tạiC.HạAM⊥d,BN⊥d ,A’H⊥d,B’K 1) BÊD=DÂE vàDE2=DA.DB
2) GọiSlàdiệntíchtứgiácAIOB.Chứng minh
⊥d
OI +AB ≥ 2S
Baøi
65: Cho∆ABCvớiBC=a,AC=b,
AB=a.GọiIlàtâmđườngtrịnnộitiếptam giácvàtiếpxúcvới BC,AC,AB lầnlượttại
D,E,F Vẽ
BK ⊥AItạiK vàAH ⊥BItạiH
Chứngminh:A’H= B’KvàMH =NK
Bài
64.1 :ChotamgiácABC cógócA=450 1)TínhAF,DC,BD theoa,b ,c
2)ChứngminhtứgiácAEHInộitiếp
(19)Baøi
66: ChotamgiácABCcóbagócđều nộitiếpđườngtrịn(O,R).KẻcácđườngcaoAA’ vàBB’củatamgiácABC.GọiO’làđiểmđối xứngcủaOquađườngthẳngB’C’
1)ChứngminhtứgiácCC’OB’làhìnhthangcân
nhọn.GọiHlàtrựctâmcủatamgiác,MvàN lầnlượtlàhìnhchiếucủaHlênphângiác trongvàphângiácngồicủagócAtrongtam giácABC
2)ChứngminhA ,B’,C’,O’cùngnằmtrênmột đườngtrịnvàtínhB’C’theoR
Bài
64.2:Chođườngtròntâm(O,R).Trên đườngtròntheochiềukimđồnghồlấytheothứ tựcácđiểmA,B,C,Dsaocho SđcungAB=
1)ChứngminhMNđiquatrungđiểmScủa AH
2)GọiOlàtâmđườngtrònngoạitiếptam giácABC,cịnI,Elầnlượtlàtrungđiểmcủa BCvàAC.ChứngminhtamgiácOIEđồng dạngvơiùtamgiácAHB
3Chứngminh bađiểmM,I,Nthẳnghàng
300,sđcungBC=450,sđcungCD=1200
a)TínhsốđocáccungAC,BD b)TínhđộdàicácđoạnAB c)Tínhdiệntíchcáctamgiác
OCD,OBC,OAB
d*)Tínhdiệntíchtứgiác ABCDtheoR
4)Chứngminh OI=
2 AH
e)TínhđộdàicácđoạnAC,BD
Bài
69 ; Từmột điểmởngồiđườngtrịn
Bài67.1: Chotamgiác ABCvớiBC=a,
AC=b,AB=a.GọiS ,p,r lầnlượtlàdiệntích
,vẽ
hai tiếp tuyến IA IB đến (O) Gọi M tamgiácABC,nửachuvitamgiácABCvàbán
trungđiểmcủaIB,AMcắt(O)tạiAvàK
1)ChứngminhIOvnggócAB 2)GọiClàgiaođiểmcủaIOvàAB
.ChứngminhhaitamgiácAKBvàAMCđồng dạng ,suyraAB2=2AK.AM
(20)kínhđườngtrịnnộitiếptamgiácABC
1)Chứngminh S=p.r
r hb hc
,hclàchiềucaocủatamgiácABChạtừA,B,C Bài
67.2:
3)GọiDlàgiaođiểmthứhaicủaIKvà(O) ChứngminhMB2=MK.MA vàAD//IB.
4)ChứngminhABtiếpxúcvớiđườngròn ngoạitiếptamgiácIKB
Bài70.1:ChotamgiácABCvngtạiA vàđiểmDtrêncạnhBC.GọiElàđiểmđối
tiếpmột làavà
Tínhbánkínhđườngtrịnnội tam giácvụơngcócạnhhuyền
chuvilà2p
xứng vớiDquaABvàGlàgiaođiểmcủa
ABvớiDE.TừgiaođiểmHcủaABvớiCE hạIH ⊥BCtạiđiểmI.CáctiaCHvàIGcắt nhautạiK.Chứngminh
Bài
68: ChotamgiácABCnộitiếptrong đườngtrịntâmO.LấyđiểmDtrêncungBC khơngchứađiểmA.KẻdâyAEsongsongBC dâyDEcắtcạnhBCtạiF.HạDH,DI,DKlần 1)TứgiácGHDI vàBKHInộitiếp lượtvnggócvớicạnhBC,AC,AB
2)KClàtiaphângiáccủagócIKA
Bài70.2:ChohaiđiểmAvàBcốđịnh ĐườngtrịntâmOvàđườngtrịntâmO’lần lượttiếpxúcABtạiAvàB,biết(O)và(O’) cắtnhautạiMvàN .Chứngminhđường
thẳngMNlnđiquađiểmcốđịnhkhihai đườngtrịnthayđổi
1) ChứngminhtamgiácBDFđồngdạngtam giácADC
2) ChứngminhtamgiácDCFđồngdạngtam giácBAD
Baøi
73 ; ChotamgiácABCnộitiếpđường 3) Chứngminh: DHBC AB DI DKAC
(21)a) ChứngminhO,I ,Athẳnghàng
b) ChứngminhgócIAC=gócHAB
c) KẻdâyAEcủa(I)songsongMN,HEcắt MNtạiK.ChứngminhKM=KN d) HEcắt(I)tạiD.Chứngminhtứgiác
BHDMnộitiếp
Bài74; Đườngtròn(O)nộitiếptamgiác ABCtiếptạicácđiểmA’,B’, C’Đường
4) ChứngminhbađiểmI,H ,K thẳnghàng
Bài71 ; ChotamgiácABCvngởC,Ilà điểmcốđịnhtrênAB
(IB<IA)và(BC<CA).KẻđườngthẳngdquaI vàvnggócvớiAB,dcắtACvàBC lầnlượt
tại FvàE.GọiMlàđiểmđốixứngcủaBquaI
a)Chứngminh∆IMEđồng dạng∆IFAvàIE.IF=
IA.IB
b)ĐườngtrònngoạitiếptamgiácCEFcắtAEở N.ChứngminhbađiểmF,N,Bthẳnghàng c)ChoA,Bcốđịnh,Cthayđổi.Chứngminh( AEF)lnlnđiquahaiđiểmcốđịnhvàtâm đườngtrịnđónằmtrênđườngthẳngcốđịnh
Bài72 ; ChotamgiácđềuABCnộitiếp(O; R),MvàNdi độngtrênBC,CAsaochoBM=
CN thẳngB’C’cắtOAởHvàBCởK ,AA’cắt
OKởM.Chứngminh
1)Tínhdiệntíchphầnhìnhtrịnnằm ngồitam
giácABCtheoR a) HaitamgiácOAA’vàOA’Hđồngdạng
b) TứgiácAHMKnộitiếp c) AA’vnggócOK
d) NămđiểmO,A ,B’, C’,M cùngnằm
trênmộtđườngtrịn
2)ChứngminhOM=ON 3)TứgiácCMONnộitiếp
4)ĐườngthẳngquaOvnggócvớiMNcắtAB tạiE.TamgiácMNEcótínhchấtgi?
5)ChứngminhtrungđiểmIcủaMNthuộcđưởng thẳngcốđịnh
Bài 77: Cho hai đường tròn (O; R ) (O;
R ’ )
cắt AvàB.Mộtđườngthẳng(d)
(22)6)ChoOM= R
3 Tínhdiệntích cáctamgiác
OMNvàEBMtheoR
Bài75; TamgiácABCvngtạiAcóđường caoAH.Gọi(O;R),(O’;R’) ;(O”;R”)lần
lượtlàcácđườngtrịnnộitiếpcacùtamgiácABC ;ABH;ACH.Chứngminh
1)Chứngminhđườngtrungtrựccủađoạn thẳngCDlnđiquađiểmcốđịnh.Xácđịmh điểmcốđịnhấy
2)Vớivịtrínàocủađườngthẳng(d) thìtam
giácBCDcódiệntíchlớnnhất
Bài
78 (Thilớp10BùiThịXuân94-95 HCM)
Cho∆ABCcântạiAvàđiểmDdichuyển trêncạnhBC(DkhácBvàC).DựngquaD haiđườngtròn(O;R)và(O’;R’)lầnlượt tiếpxúcvớiABtạiB vàACtạiC,haiđường
trònnàycắtnhautạiKvàD
a) R2 =R”2 +R’2
b) OA=OO’
c) R” + R’ ≤ R 2
d) ChứngminhOlàtrựctâmcủatamgiác AO”O’
e) ĐườngthẳngO’O”cắtABvàACởKvàM
.ChứngtỏtamgiácAKM vuôngcân
Bài76 ; Chohaiđườngtròn (O;R)và(O;
R’)cắtnhautạiAvàB.Mộtđườngthẳng(d) quayquanhBcắt(O)và(O’)tạiCvàD.GọiM làtrungđiểmcủaCDvàNlàđiểmđốixứngcủa CquaD
1)ChứngtỏtứgiácABKDnộitiếpđược 2)ChứngtỏbađiểmA ,D,Kthẳnghàngvà
tíchAD.AKkhơngđổi
3)ChứngtỏtổngR+R’khơngphụthuộcvào vịtrícủađiểmDtrêncạnhBC
4)TìmđườngdichuyểncủatrungđiểmM
(23)AvàBXácđịnhtâmvàbánkínhcủachúng 2)CáctiếptuyếntạiCvàDcủahaiđườngtrịn MA (A∈(O))vàcáttuyếnMBC(B;Cthuộc cắtnhautạiE.ChứngtỏtứgiácACEDnộitiếp
3)OCvàODcắtnhautạiK.Chứngtỏnămđiểm A,C,ED,Kcùngthuộcmộtđườngtrịn
Bài
79: Chođườngtrịn(O)vàmộtdâyAB GọiMlàmộtđiểmchínhgiữacủacungnhỏAB VẽđườngkínhMNcắtABtạiI.GọiDlàmột điểmthuộcdâyAB.TiaMDcắtđườngtrịn(O) tạiC
Bài81.2 : ChohìnhvuôngABCD.Lấy
điểmMnằmtronghìnhvngsaochoMÂB= MBA=150.ChứngminhtamgiácMCDđều.
a)ChứngminhtứgiácCDIMnộitiếpđược
Bài
82.1 : ChotứgiácABCDcóAC=10 cm,BD=12cmvàgócgiữaACvàBDbằng 300.Tínhdiệntíchtứgiácđó.
Bài
82.2 : ChotamgiácABCcóAB<AC vàBM,CNlàhaitrungtuyến.SosánhBM vàCN
b)ChứngminhtíchMC.MDcógiátrịkhơngđổi khiDdiđộngtrêndâyAB
c)GọiO’làtâmđườngtrònngoạitiếp tamgiác
1
d)ChứngminhbađiểmA,O’,Nthẳnghàngvà MAlàtiếptuyếncủađườngtrònngoạitiếptam giácACD
Bài80 : ChođườngtrịntâmOcóđườngkính BC.GọiAlàmộtđiểmtrêncungBCsaocho AB<AC,Dlàmộtđiểmtrên bánkínhOC
.ĐườngvnggócvớiBCtạiDcắtACởEvàcắt tiaABởF
a) ChứngminhtứgiácADCFnộitiếp
b) GọiMlàtrungđiểmEF.Chứngminh
GócAME=góc2ACB
Bài
85 :ChotamgiácABCnộitiếpđường tròn(O;R),Mlàmộtđiểmtrêncungnhỏ BC,MAcắtBCtạiD.Chứngminhrằng:
Bài81.1 : Chođườngtròn(O),từmột
điểmMnằmngồiđườngtrịnkẻtiếptuyến (O), MB<MC)).ChoAB=c,BC=a,AC
=b.TínhMA
(24)c) ChứngminhAMlàtiếptuỵến củađường
tròn(O)
d)Gọi KlàgiaođiểmCFvàđườngtrịn(O)
.ChứngminhB,E ,Fthẳnghàng vàOM ⊥AK a) AD.AM=AB2
b) MA=MB +MC
c) MA+MB +MC ≤ 4R d) MA2+MB2+MC2 =6R2
e) MA4+MB4+MC4=18R4
Bài
83 : ChohìnhthangABCDcóđáylớnAD ,đáynhỏBCnộitiếpđườngtròntâmO.ABvà kéodàicắtnhautạiI.Cáctiếptuyếncủađường tròntâm(O)tạiBvàDcắtnhautạiK
f)
MD
1
MB
1 MC
Baøi 86.1 :
ChotamgiácABCvngtạiAcóAHlà đườngcao.VẽđườngtrịntâmOđườngkính HC.KẻtiếptuyếnBKvới(O)(Klàtiếp điểm).Tínhtỉsố AB
BK
a)ChứngtỏtứgiácBIKDnộitiếp vàIK//BC
c)HìnhthangABCDcầnđiềukiệngì đểtứgiác
AIKDlàhìnhbìnhhành.Khiđóchứngminhhệ thức IC.IE=ID.CE
d)VẽhìnhbìnhhànhBDKMđườngtrịnngoại
Bài
86.2 :ChotamgiácđềuABCnộitiếp đườngtròn(O;R).ĐiểmDdiđộngtrêncung AC.GọiElàgiaođiểmcủaACvàBD,Flà giaođiểm củaADvàBC.Chứngminhrằng:
tiếptamgiácBKMcắtđườngtròn(O)tạiđiểm thứhaiN.ChứngminhrằngD ,N ,Mthẳng
haøng
Baøi 84 :
ChotamgiácABCvngtạiC(CA>CB).Ilà điểmthuộccạnhAB.Trênnủamặtphẳngcóbờ ABcóchứađiểmCkẻtiaAxvàByvnggóc AB.ĐườngthẳngvnggócICkẻquaCcắtAx vàBy tạiMvàN
a)GócAFB =gócABD
b)TíchAE.BFkhơngđổi
Bài 89:
(25)a) ChưngminhhaitamgiácCAIvàCBNđồng dạng
b) SosánhhaitamgiácABCvàINC
a) Chứngminhrằng:AMC+ANC=2ACB
b) ChứngminhtíchAI.AMkhơngđổi c) VẽdâycungIKsongsongvớiBC,IKcắt ACởE.Chứngminh :∆ACK~∆AMB,
∆ACM~∆AKBvà∆AEK~∆AIB d)XácđịnhvịtrícủaIđểAB=MB
c) ChứngminhIMvnggócIN
d) TìmvịtrícủaIsaochodiệntíchtamgiác
IMNlớngấpđơidiệntíchtamgiácABC
Bài
87 :ChotamgiácABCvngtạiA(AB< AC).LấyđiểmDthuộccạnhAC.Vẽđườngtrịn đườngkínhCDcắtBDởEvàcắtAEởF
Bài 90 :
Chođườngtrịn(O)vàmộtđiểmSnằmngồi đườngtròn.TừSkẻhaitiếptuyếnSAvàSA’ vàcáttuyếnSBCtớiđườngtròn(Bnằmgiữa CvàS).PhângiácBÂCcắtdâyBCởDvà cắtcungBCởE.GọiFlàgiaođiểmcủaAA’ vớiBC;GlàgiaođiểmcủaOEvớiBC
a) ChứngminhA ,B,C,Ecùngthuộcmộpt
đườngtròn
b) ChứngminhBĈA=AĈF
c) GọiM,NlầnlượtlàđiểmđốixứngcủaD quaABvàBC.ChứngminhtứgiácBNCM nộitiếp
d) XácđịnhvịtríđiểmDsaochobánkính a) ChứngminhEC2=ED.EA.
b) ChứngminhSA2=SG.SF.
c) KhicáttuyếnSBCquayquanhSthìDdi
đườngtrịn(BNCM)đạtgiátrịnhỏnhất
Bài
88 :ChonửađườngtrịntâmOđườngkính
độngtrênđườngcốđịnhnào? ABvàClàđiểmchínhgiữacungAB.LấyMlà d) BiếtSB=a;BC= a
3 tínhSF
điểmtrêncungBCvàvẽđườngcaoCHcủatam giácACM
Baøi
(26)a) ChứngtỏOHlàtiaphângiáccủagócCOM b) GọiIlàgiaođiểmcủaOHvàBC,Dlàgiao
điểmthứhaicủaMIvớinửađưởngtrịn(O) 1)Chứngminh:
a) A,O,HthẳnghàngvàAC2=2AO.AH.
b) Bốn điểmO,I ,C,Hcùngthuộcmột
đườngtrịn cótâmlà(O’)
c) Đườngtrịn(O’)tiếpxúcvới(O) 3) GọiH’làđiểmđốixứngcủaHquaAC
.ChứngminhCH’làtiếptuyếncủa(O) 4) GọiE,Glầnlượtlàtrọngtâmcủatam
giácACDvàABC.Chứngminhhaitam giácAGCvàIEOđồngdạng
Bài
94.1 :
ChotamgiácABCvuôngtạiA cóAHlà
đườngcao,Ilàtâmđườngtrịnnộitiếptam giácABC.PhângiácBÂHvàCÂHcắtBCtại DvàE
ChứngminhIlàtâmđườngtrịnnộitiếptam giácABC
Bài
94.2 : ChotamgiácABCnộitiếp đườngtrịn (O),phângiác trongAD
a)XácđịnhtâmO’của đườngtrònđiquaAvà
tiếpxúcvớiBCtạiD
ChứngminhMC//BD
c) TìmvịtrícủaMsaochoD ,H,Bthẳnghàng
d) GọiNlàgiaođiểm củaOHvàBM.Chứng
minhNdiđộngtrênmộtđồngtrịncốđịnh
Bài
91: Chođườngtrịn(O)vàdâycungAB Trêntiađốicủatia ABlấyđiểmM,,kẻcáctiếp
tuyếnMCvàMDtớiđườngtrịn.phângiáccủa gócACBcắtABởE.GọiIlàtrungđiểm
dâyAB.Chứngminh:
a) MC=ME
b) DElàphângiáccủagócADB
c) ĐườngtrịnquabađiểmM,C,Dthìđiqua
haiđiểmcốđịnhOvàI
d) IMlàtiaphângiáccủagócCID
e) XácđịnhvịtrícủađiểmMtrênđườngthẳng
ABđểtamgiácMCDlàtamgiácđều
b)Chứngminhđường trịnO’)tiếpxúcvới -đườngtrịn(O)
Bài 97 :
ChotamgiácABCcóbagócđềunhọn,AH làđườngcao.KẻHM ⊥ AB; HN ⊥ AC.GọiI làđiểmđốixứngcủaHquaM,Klàđiểm đốixứngcủaHquaN.ĐườngthẳngIKcắt ABvàACtạiEvàF.Chứngminh:
a) GócAIK=gócAKI b) TứgiácMNBCnộitiếp c) CEvnggócAB
d) ∆ABCthỏiềukiệngìthìIN=MK
Bài
(27)Baøi
92 : ChotamgiácABCnộitiếpđườngtrịn (O).GọiIlàgiaođiểmcủahaiphângiáctrong kẻtừBvàC,Klàgiaođiểmcủahaiphângiác ngồi kẻtừBvàC.GọiMlàđiểmchínhgiữa
củacungBC,DlàgiaiểmcủaAM vàBC
a)ChứngminhA,I,Mthẳnghàng
b)BIcắtACởN,MNcắtAC,BClầnlượtởE vàF.ChứngminhtamgiácEFCcân
c)Chứngminh4điểmI ,B,K,Ccùngthuộc
mộtđườngtrònvàtâmcủađườngtrònnàythuộc (O)
Bài95 : ChohaiđườngtrịntâmOvàO’ở ngồinhau.KẻtiếptuyếnchungngồiABvà tiếptuyếnchungtrongEF(A,E
∈(O); B, D∈(O')).GọiMlàgiaođiểmcủaAB vàEF,NlàgiaođiểmcủaAEvàBF.Chứngminh :
a)XácđịnhvịtrícủaMđểtứgiácBHCMlà hìnhbìnhhành
b)GọiNvàElầnlượtlàđiểmđốixứngcủa MquaABvàAC.ChứngminhtứgiácANBH nộitiếp
c)ChứngminhN,H,Ethẳnghàng
Bài
98.2 : ChotamgiácABCvngtạiB cóđườngcaoAH.Trêntiađối củaBAlấyE
saochoBE=BA.GọiDlàtrungđiểmHB
a) HaitamgiácAOMvàBMO’đồngdạng
b) AEvuônggócBF
c) O ,N,O’thẳnghàng
Bài 96.1:ChotamgiácABC,cácđườngtrịn đườngkínhABvàACcắtnhautạitạiAvàDvà lầnlượtcắtcáccạnhAB,ACtạiEvàF ChứngminhHEvnggócCD
(28)b) ChứngminhIlàtâmđườngtrịnnộitiếptam giácDEF
c) ĐườngtrịnđườngkínhABcắtCEtạiN ,đườngtrịnđườngkínhACcắtBFởM ChứngtỏtamgiácANMcân
Bài
96.2 : ChotamgiácABCcântạiA.Trên BClấyhaiđiểmM,NsaochoBM=MN=NC Chứngminh
GócBAM=gócNAC<gócMAN
Bài
99.1 : ChotamgiácABCvngtạiAcó ADlàđườngcao,kẻ DE ⊥ AB, DF ⊥ AC Chứngminh:
a) DB.DC=EA.EB+FA.FC.Hệthứccócịn đúngkhơngkhiDlàđiểmtùtrênBC? b) AC33 CF
BE
Baøi
99.2 :
Trongtamgiáccân ABCtừ
trungđiểmHcủacạnh đáyBC
takẻHEvuônggóc AC.GọiO
làtrungđiểmHE ChứngminhAOvng gócBE
Bài
(29)đườngkính AB=2R.GọiIlàtrungđiểmOA.Đườngthẳngvng gócvớiOAtạiIcắt(O)tạiK.ĐiểmMdiđộngtrên đoạnIK.ĐườngthẳngAMcắt(O)tạiđiểmC.Tiếp tuyếntạiCvới(O)cắtIKtạiN,BCcắtIKtạiD
a) Chứngminh∆AOKđềuvàtamgiácCMNcân
b) GỌiJlàđiểmđốixứngcủaBquaJ.Chứngminh tứgiácAMDJnộitiếp