Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Khai thác phát triển
mt số toán THCS bất đẳng thức I / Cơ sở lí thuyết :
BĐT côsi ( and ) Bunhiacopsky , cụ thể BĐT đơn giản sau : “ (a+b)(1
a+
1
b)≥4,∀a , b>0 , dÊu = x¶y
khi a = b “
II./ khai thác phát triển bất đẳng thức : 1./ chứng minh :
“ (a+b)(1 a+
1
b)≥4,∀a , b>0 , dÊu = x¶y a = b “
Chó ý:
+ Các cách giải dới thoả m n dấu “ = “ ã
x¶y a = b
Cách 01 : kỹ thuật nhân BĐT côsi ===== Ta có : a+b ≥2√ab (1) vµ
a+
1
b≥2√
1
a
1
b (2)
Lấy (1) X (2) ta đợc (a+b)(1 a+
1
b)≥4,∀a , b>0 (§PCM)
Bình luận : Lời giải q đơn giản phải không bạn ? Cách 02 : kỹ thuật Bunhiacôpsky
=====
Ta cã (a+b)(1 a+
1
b)=¿ [(√a)
2
+(√b)2][( √a)
2
+( √b)
2
]≥(√a
√a+√b
1
√b)
2
=4
Bình luận : lại phải tạo bình phơng ? Cách 03 : kỹ thuật 01 tạo bình phơng
====== Ta cã (a - b)2 0⇔(a+b)2≥4 ab⇔(a+b)2
(a+b) ≥
4 ab
(a+b)
( v× a, b > ) ⇔(a+b)≥ (a+4b)
ab
⇔(a+b)≥
1
a+
1
b
⇔(a+b)(1 a+
1
b)≥4
(§PCM)
Bình luận :+ Tại lại chia hai vế cho ( a + b )> 0 ?
+ Nhân tử mẫu cho tích ab để làm gì ?
(2)a ≥ b⇔a − b ≥0⇔(a −b)2≥0⇔a2+b2−2 ab≥0⇔ (a2+b2)≥2 ab
(a2+b2)
ab ≥2⇔
a b+
b
a≥2⇔2+ a b+
b
a≥2+2⇔(1+ a b)+(1+
b a)≥4 (aa+
a b)+(
b b+
b
a)≥4⇔a(
1
a+
1
b)+b(
1
a+
1
b)≥4⇔(a+b)(
1
a+
1
b)≥4 (§PCM)
B×nh luËn :
+ Tại lại cộng hai vế với ? + Tách = + để làm ?
Cách 05 : kỹ thuật 03 tạo bình phơng ======
Ta cã ( a – b )2 0⇔a2
+b2≥2 ab
⇔ a b+
b a≥2⇔
a b+
b
a+2≥2+2⇔( a b+
b
a+2)≥4
⇔(a
b+ b a+2)
2
≥42⇔
(ab+ b a)
2
+4(a b+
b
a)+4≥16
⇔a2
b2+ b2
a2+
4a b +
4b
a +6≥16
⇔a2
b2+ b2 a2+
2a b + 2a b + 2b a + 2b
a +4+2≥16
⇔(a2
b2+1+
2a b )+(
2b a +
2a b +4)+(
b2
a2+1+
2b a )≥16 ⇔ (a
2
b2+ a2 a2+
2a2
ab )+( ab
a2 +
2 ab
b2 +
4 ab ab )+(
b2 a2+
b2 b2+
2b2
ab )≥16
⇔a2(1 b2+
1
a2+
2
ab)+2 ab(
a2+
1
b2+
2 ab)+b
2
(a12+
1
b2+
2 ab)≥16
⇔(a2+2 ab+b2)( a2+
2 ab+
1
b2)≥16⇔(a+b)
(1a+
1
b)
2
≥42⇔(a+b)(1 a+
1
b)≥4
( §PCM)
Bình luận : Lời giải thật phức tạp , lại biến đổi đợc nh ?
Cách 06 : kỹ thuật 04 tạo lập phơng ====== Theo Ta có ( a – b )2 0⇔a2
+b2≥2 ab
⇔ a
b+ b a≥2⇔
a b+
b
a+2≥2+2⇔( a b+
b
a+2)≥4
⇔(a
b+ b a+2)
3
=43⇔(a b+
b a)
3
+6(a b+
b a)
2
+12(a b+
b
a)+8≥64
⇔(a
b+ b a)
3
+6(a
2
b2+
b2 a2)+12(
a b+
b
(3)⇔(a
b+ b a)
3
−3(a
b+ b a)+6(
a b+
b a)+9(
a b+
b a)+6(
a2
b2+ b2
a2)+20≥64
⇔(a
b+ b a)
3
−3(a
2
b2 b a+
a b
b2 a2)+6(
a b+
b a)+9(
a b+
b a)+6(
a2 b2+
b2
a2)+20≥64
⇔a3
b3+ b3 a3+6(
a b+
b a)+9(
a b+
b a)+6(
a2 b2+
b2
a2)+20≥64
⇔a3
b3+ b3
a3+
3a b + 3a b + 3b a + 3b a + 9a b + 9b a +
3a2
b2 +
3a2
b2 +
3b2
a2 +
3b2
a2 +20≥64
⇔(1+a
3
b3+
3a b +
3a2 b2 )+(
3b a +
3a2 b2 +9+
9a b )+(
3b2 a2 +
3a b +
9b a +9)+(
b3 a3+1+
3b2 a2 +
3b a )
64⇔(a3
a3+ a3
b3+
3a3
a2.b+
3a3
a.b2)+(
3a2b
a3 +
3a2b
b3 +
3a2b 3
a2b +
3a2b 3
ab2 )+¿
+ (3 aba32+
3 ab2
b3 +
3 ab2
a2b +
3a2b.3
a2b )+(
b3 a3+
b3 b3+
3b3 a2b+
3b3
ab2 )≥64
a3( a3+
1
b3+
3
a2b+
3 ab2)+3a
2
b(1 a3+
1
b3+
3
a2b+
3
ab2)+3 ab
(a13+
1
b3+
3
a2b+
3 ab2)+¿
+ b3
(a13+
b3+
a2b+
ab2)≥64⇔(a
+3a2b+3 ab2+b3)(1
a3+
a2b+ ab2+
1
b3)≥4
(a+b)3(1 a+
1
b)
3
≥43⇔(a+b)(1 a+
1
b)≥4 ( §PCM)
B×nh ln :
+ Q trình biến đổi chứng minh thật khơng bình thờng chút phải không bạn
+ Liệu có cách tạo đợc ; ; ; … ; n tơng tự nh trên1 không ? Xin dành cho bạn đọc
C¸ch 07 : Kỹ thuật gắn hình học.
===== Xét tứ giác ABCD có AB = 2ab ( đvđ d)
; CD =
√ab (®v® d) Mét ®iĨm M thc miỊn
trong tø gi¸c cho MA = a ( ®v® d) ; MB = b (®v ® d) ;
MC = 1b (®v ® d) ; MD = 1a (®v® d) ( a ; b > ) XÐt tam gi¸c MAB cã : MA+MA≥AB⇔a+b ≥2√ab (*)
XÐt tam gi¸c MCD cã : MC+MD≥CD⇔1 a+
1
b≥
2
√ab (**)
LÊy (*) X (**) ta cã : (a+b)(1 a+
1
(4)dÊu “ = “ a = b hay MA = MB vµ MC = MD (tam giác MAB cân M tam giác MCD cân M )
B×nh luËn :
+ táo bạo , ngợc dịng nớc chuyển từ đại số sang hình học.
Cách 08 : Kỹ thuật biến đổi tơng đơng ======
Ta cã : (a+b)(1 a+
1
b)≥4⇔2+ a b+
b
a−4≥0⇔ a b−2
√a √b
√b √a+
b
a≥0⇔(√a −√b)
2
≥ 0
(luôn ) ( ĐPCM)
Bình luận : LG thật giản đơn phải không bạn Cách 09 : Kỹ thut lng giỏc
====== Đặt a = Sin2x > ; b = Cos2x >
nên a + b = 1 Mà
(a+b)(1 a+
1
b)≥4⇔ (a+b)2
ab ≥4⇔4 ab≤1⇔4 cos
2x sin2x ≤1⇔
(sin 2x)2≤1
(luôn đúng) a + b =1 (ĐPCM) Bình luận : Các bạn thấy ? Cách 10 : Kỹ thuật đổi biến ===== Đặt a = xy>0 ; b = y
x>0⇒a.b=1
Ta cã : (a+b)(1 a+
1
b)≥4⇔ (a+b)2
ab ≥4⇔(
x y+
y x)
2
≥4⇔(x
y− y x)
2
≥0 (đúng)
(§PCM)
Bình luận : đặt a = (xy)n ; b = (xy)
n
; n∈N❑
C¸ch 11 :
=== Kỹ thuật chuẩn hoá(biểu thức đối xứng đồng bc )
Không tổng quát ta giả sö a + b = k > Ta cã (a+b)(1
a+
1
b)≥4⇔ (a+b)2
ab ≥4⇒k
2≥4a(k − a)⇔(k −2a
(5)Bình luận :
Cách 12 : Kỹ thuật 01 thêm biến
====== Không tÝnh tỉng ta gi¶ sư 0 a ≤ b⇒ tån t¹i sè K cho a + K = b
(a+b)(1 a+
1
b)≥4⇒(2a+K)(
2a+K
a(a+K))≥4⇔(2a+K)
2≥4a(a+K
)⇔K2≥0
(đúng)
C¸ch 13 : Kü thuËt 02 thêm biến.
====== Không tính tổng quát ta giả sử
0<a b tồn K cho b = K.a (a+b)(1
a+
1
b)≥4⇒(a+Ka)(
1
a+
1
Ka)≥4⇔(a+Ka)
2
≥4 ka2⇔(K −1)2≥0
(§óng)
Cách 14 : Kỹ thuật 03 thêm biến.
====== Không tính tổng quát ta giả sử ab = K >
(a+b)(1 a+
1
b)≥4⇒(a+ K a )(
a+K a
K )≥4⇔(a+ K
a)
2
≥4K⇔(a −K a)
2
≥0
(§óng)
Cách 15 : Kỹ thuật đánh giá.
===== Kh«ng mÊt tÝnh tổng quát ta giả sử
a b>0
a+b ≥2b>0 ab≥ b2
>0
⇔
¿(a+b)2≥4b2>0
ab≥ b2
>0 (∗)
¿{
Mặt khác :
(a+b)(1 a+
1
b)≥4⇔ (a+b)2
ab ≥4⇒
4b2
b2 ≥4⇒4≥4 (luụn ỳng)
Cách 16 : Kỹ thuật Bunhia ngợc dÊu. ===== Ta cã : (1a+1
b)≥ (1+1)2
a+b ⇔(a+b)(
1
a+
1
b)≥4 (v× a+b > 0)
(6)Cách 17 : Kỹ thuật 01 đổi biến
===== Không tính tổng quát ta giả sử a + b = K tồn t > cho : a = t.x >0 vµ b = t.y > 0 suy
a+ b = t.x + t.y suy x+ y = Kt Mµ (a+b)(1
a+
1
b)≥4⇔ (a+b)2
ab ≥4⇒
t2(x+y)2
t2.x.y ≥4⇔(x − y)
≥0 (đúng)
Bình luận : Thật không đơn giản chút nào. Cách 18 : Kỹ thuật 02 đổi biến
Đặt a = t.x > b = K.y > ( k ; t ; x ;y > ) Do từ (a+b)(1
a+
1
b)≥4⇔ (a+b)2
ab ≥4⇒
(t.x+Ky)2
t.K.x.y ≥4⇔(tx−Ky)
2≥0
(đúng)
C¸ch 19: Kü thuËt chuÈn ho¸ 02
===== Khơng tính tổng qt ta giả sử a + b =2 Do (a+b)(1
a+
1
b)≥4⇔ (a+b)2
ab ≥4⇔ab≤1
V× ab (a+b4 )2=1 ; a + b =2
Bình luận : Tại lại chuẩn hoá a + b = ? Cách 20 : Kỹ thuật thêm biến
====== Đặt
a=x
z>0 b=y
z>0 ¿{
¿
;
không tính tổng quát giả sử a b>0⇔x ≥ y ≥1
Do (a+b)(1 a+
1
b)≥4⇔( x z+
y z )(
z x+
z
y)≥4⇔(x+y)
2
≥4 xy⇔(x − y)2≥0
(luôn đúng)
(7)====== Đặt
s=a+b>0
p=ab>0 ¿{
¿
; thÕ th× a b nghiệm của phơng trình bậc hai sau : X2 – sX + p =
Hay X2 – ( a+b )X + ab = (*) , rõ ràng thoả m n Ã
đầu phơng trình (*) có nghiệm
⇔Δ ≥0⇔(a+b)2−4 ab≥0 ⇔(a+b)2≥4 ab⇔(a+b)
2
(a+b) ≥
4 ab
(a+b)
(v× a,b > ) ⇔(a+b)≥ (a+4b)
ab
⇔(a+b)≥
1
a+
1
b
⇔(a+b)(1 a+
1
b)≥4
(§PCM)