Lời giải: Rõ ràng ta chỉ cần chứng minh AI là phân giác góc ∠ BAC là có ngay tất cả các điều phải cần phải chứng minh theo bài toán 5... các kết luận của bài toán 5.[r]
(1)Mở rộng khai thác tốn
hay đề Brazil TST 2017
Tóm tắt nội dung: Trong viết này, muốn đề cập số khai thác liên quan đến toán hay đềBrazil TST 2017 Qua viết muốn nhấn mạnh tầm quan trọng phép đổi mô hình việc giải tốn sáng tạo hình học Bài tốn có nội dung sau:Bài toán 1(Brazil TST 2017): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy M, N AB, AC cho: BM =M N = CN Lấy I tâm nội tiếp tam giác AM N Tiếp tuyến (O) A cắt M N P Chứng minh rằng: P A=P I
(2)giải tốn tơi xin mở rộng toán sau:
Bài toán 2(Mở rộng Brasil TST 2017): Cho tam giác ABC có đường phân giác BE, CF cắt I Tiếp tuyến A (AEF) cắt BC P Chứng minh rằng: P IkEF P I =P A
Lời giải(Nura Rhyon): GọiS, G, H giao điểm EF với BC, AD, AP (chú ý AI ∩BC =D), theo hàng điểm điều hoà thì: (SD, BC) =−1 đó: ∠SAG = 90◦ Ta có: ∠HAG= ∠HAF +∠GAF =∠GAE +∠AEF =∠HGA đóH trung điểmSG Áp dụng định líM enelauscho tam giácSGD với cát tuyến AHP ta thu được: P S
P D = AG
AD đó: AG AD =
IG
(3)Lời giải toán 1: GọiN I∩AM =F, M I∩AN =E Ta có: F B F A =
M N +F M
F A =
M N F A +
M N
AN Tương tự thì: EC EA =
M N EA +
M N
AM Ta để ý rằng: EA − AN = EN EA.AN = M N AM.AN = F M F A.AM =
1 F A −
1
AM F B F A =
EC
EA EFkBC theo định lí T hales đảo Vậy (AEF) tiếp xúc (ABC) P A tiếp tuyến tới (AEF) Vậy áp dụng tốn cho tam giácAM N thì: P I =P A hay điều phải chứng minh
Nhận xét: Nhờ việc sử dụng hợp lí tốn mở rộng cho lời giải tuyệt đẹp tự nhiên
Trong q trình đổi mơ hình để giải tốn 2, tơi tìm tốn sau:
(4)Lời giải: Bổ đề : Cho tam giácABC có trực tâmH đường caoAD, BE, CF Gọi BH∩DF =P, CH ∩DE =Q Gọi I tâmEuler tam giác ABC Chứng minh rằng: AI ⊥P Q
Chứng minh(Bạn đọc tự vẽ hình): Lấy K tâm (BHC) Ta cần chứng minh IK ⊥ P Q Lại có: ∠HF B =∠HDB = 90◦ HF BD nội tiếp nên P H.P B = P F.P D, ýF, D ∈(Euler)của tam giác ABC nên PP /(Euler) =PP /(BHC) Chứng
minh tương tự thì: PQ/(Euler) = PQ/(BHC) P Q trục đẳng phương (Euler)
và (BHC) ýI, K tâm(Euler) (BHC) đóIK ⊥P Qhay ta có điều phải chứng minh
Quay trở lại tốn ban đầu, theo bổ đề thì: IJ ⊥ AM, lấy P = AM ∩IJ P AF J nội tiếp GọiK trung điểm đoạn AM Ta có: ∠LDA=∠LDI−∠EBA= 90◦−∠IJ D−90◦+∠A=∠A−(∠HJ D−∠HJ I) =∠A+∠M AB−(180◦−∠B−
(5)Nhận xét: Lời giải khai thác tính chất thú vị nhiều ứng dụng tâm Euler Từ cho ta lời giải cộng góc Viết lại tốn mơ hình trực tâm, ta có tốn sau:
Bài tốn 4: Cho tam giácABC có đường caoAD, BE, CF cắt tạiH Lấy I = DF ∩BE, J = DE ∩CF Tiếp tuyến D (DIJ) cắt EF K Chứng minh rằng: KH =KD vàKHkIJ
Lời giải(Nguyễn Duy Khương): Đường thẳng qua A vng góc IJ cắt BC M HM ∩(AEF) = L, H, lấy LA∩BC = R Do ∠ADM = ∠M LA = 90◦ H trực tâm tam giác ARM Theo toán ta có: DS qua tâm (ADM) đó: (DIJ) tiếp xúc (ADM) Gọi EF ∩BC = S, DA∩IJ = T Ta lấy trung điểm BC X, ta có SH vng góc AX Y đó: SH.SY =SD.SM =SE.SF S thuộc trục đẳng phương (Euler) (HBC) S thuộc IJ Gọi LP ∩AH = G, EF ∩AH = G0, theo phép chiếu xuyên tâm hàng điều hoà ta dễ dàng chứng minh được: (AH, G0D) = (AH, GD) = −1do đó: G≡G0 Do ý rằng: F I, EJ, DG đồng quy H theo hàng chùm điểm điều hồ S(GT, HD) = −1 =S(ET, HR) ý STkHR nên SE qua trung
(6)(ADM)do đóK0Dtiếp xúc(DIJ)hay ta có: K ≡K0 VậyKD=KH đồng thời KHkIJ(điều phải chứng minh)
Nhận xét: Bài tốn có lời giải ý tưởng phức tạp Đây lời giải ảo diệu chobài toán 2, khác hẳn cách khai thác giả thiết trực tiếp ban đầu Quay trở lại mơ hình tốn 2, tốn tiếp tục mở rộng thay I điểm phân giác góc ∠BAC
Bài toán 5(Nguyễn Trần Hữu Thỉnh): Cho tam giác ABC Lấy I điểm nằm phân giác góc ∠BAC BI, CI cắt AC, AB E, F Tiếp tuyến A (AEF)cắt BC điểm P Chứng minh rằng: P IkEF P I =P A
Lời giải: Lấy S = EF ∩BC, AP ∩EF = K, AI ∩EF, BC = L, D Theo hàng điểm điều hồ thì: (SD, BC) = −1 ∠SAL = 90◦ Ta có: ∠KAL = ∠F AK +∠BAD = ∠KLA KA = KL = KS K trung điểm SL Áp dụng định líM enelauscho tam giácSLD với cát tuyếnAP K thì: SP
P D = AL AD =
(7)Nhận xét: Bài toán sử dụng ý tưởng giống lời giải toán
Cũng mở rộng toán 1, theo ý tưởng khai thác điều kiện điểmM, N Tác giả Trần Quốc Thịnh đề nghị tốn sau(hiển nhiên hệ toán 5)
Bài toán 6(Trần Quốc Thịnh): Cho tam giácABC không cân nội tiếp(O) Trên AB, AC lấy điểmM, N choBM =CN Đường thẳng quaM song song BN cắt đường thẳng quaN song songCM điểm I Tiếp tuyến(O)tại Acắt M N P Chứng minh rằng: AI phân giác góc ∠BAC đồng thời P A=P I
Lời giải: Rõ ràng ta cần chứng minh AI phân giác góc ∠BAC có tất điều phải cần phải chứng minh theobài toán GọiM I, N I cắt AC, AB tạiL, K Theo định líCeva sinthì: sin∠IAB
sin∠IAC
sin∠LM N sin∠LM A
sin∠KN A
sin∠KN M = Do ý rằng: sin∠LM N
sin∠LM A =
sin∠M N B sin∠M BN =
M B
M N Tương tự:
sin∠KN A sin∠KN M =
M N N C Do đó: sin∠IAB
(8)các kết luận toán Lời giải theo ý tưởng bạn Trần Anh Qn
Bài tốn cịn ẩn chứa nhiều điều thú vị, bạn tìm tịi khai thác thêm Bạn đọc thử chứng minh toán xem tập luyện tập Bài toán 7(Nguyễn Trần Hữu Thỉnh): Cho tam giác ABC Lấy E, F AC, AB vàBE∩CF =X Tiếp tuyến tạiAcủa (AEF)cắt BC tạiP Đường thẳng qua P song song EF cắt phân giác góc ∠BAC I Chứng minh rằng: P I =P A Bài toán 8(Nguyễn Duy Khương): Cho tam giácABCcó đường caoAD, BE, CF cắt tạiH LấyI =DF ∩BE, J =DE∩CF Giao điểm thứ hai (F IB)và (HID) làP giao điểm thứ hai (HJ D)cùng (CEJ)là Q Gọi tâm (AP Q)là T Chứng minh rằng: AT qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC