Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với nhau.Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị e1 , e2 .Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông[r]
(1)Saùng kieán kinh nghieäm SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VÉCTƠ VAØ TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BAØI TOÁN SƠ CẤP THƯỜNG GẶP giáo viên:nguyĐn cĐnh phong TĐ :toán,tin hĐc ĐĐn vĐ:THPT HiĐp Hòa SĐ Trang Lop10.com (2) Saùng kieán kinh nghieäm HIỆP HÒA THÁNG NĂM 2012 A ĐẶT VẤN ĐỀ: Dựa vào phương pháp toạ độ chính mình phát minh Descartes đã sáng lập môn hình học giải tích Qua đó cho phép chúng ta nghiên cứu hình học ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học.Việc này giúp ta bỏ thói quen tư cụ thể, trực quan, nhằm đạt tới đỉnh cao khái quát hoá và trừu tượng toán học và nhiều lĩnh vực khác Trong dạy và học toán việc lựa chọn công cụ phù hợp để giải các bài toán là việc làm cần thiết, chọn công cụ thích hợp tất nhiên lời giải tốt Sau đây tôi xin trình bày việc sử dụng“phương pháp vectơ và toạ độ” để giải số bài toán sơ cấp ơ’ phổ thông B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ PHAÀN I: LYÙ THUYEÁT I HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với nhau.Trên Ox, Oy chọn các véc tơ đơn vị e1 , e2 Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy Toạ độ điểm và véc tơ: Cho điểm M mp Oxy Hạ MH vuoâng goùc x’Ox vaø MK vuoâng goùc y’Oy Theo qui taéc hình bình haønh, ta coù: OM OH OK xe1 ye2 Bộ hai (x, y) hoàn toàn xác định điểm M và gọi là toạ độ ñieåm M, kyù hieäu M(x, y) Cho a trên hệ trục Khi đó tồn điểm M cho OM a Gọi (x,y) là toạ độ điểm M Khi đó hai (x,y) gọi là toạ độ véc tơ a trên hệ trục Oxy vaø kyù hieäu laø a = (x,y) Caùc pheùp tính veùc tô : Cho hai véc tơ a (a1 , a2 ) ; b (b1 , b2 ) và k là số thực Các phép tính véc tơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với véctơ, tích vô hướng hai véc tơ xác định sau: Trang Lop10.com (3) Saùng kieán kinh nghieäm a b (a1 b1 , a2 b2 ) a b (a1 b1 , a2 b2 ) k a (ka1 , ka1 ) a.b a1b1 a2b2 Các công thức lượng : Cho hai véc tơ a (a1 ; a2 ) ; b (b1 ; b2 ) và gọi là góc tạo hai véctơ đó a.b a b và a và b là hai véctơ cùng hướng a1.b1 a2 b2 a.b cos ab a1 a2 b12 b2 Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = là : d ( M , D) Axo Byo C A2 B Phương trình đường thẳng, đường tròn * Phương trình đường thẳng (D) qua điểm M(x0, y0) và nhận véctơ n ( A, B ) laøm veùc tô phaùp tuyeán laø: A(x – x0) + B(y – y0) = * Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 = R II.HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Ñònh nghóa : Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc với đôi Trên Ox, Oy, Oz chọn các véc tơ đơn vị e1 , e2 , e3 Như ta có hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz Toạ độ điểm và véc tơ Cho ñieåm M kh oâng gian Oxyz Haï MH vuoâng goùc x’Ox, MK vuoâng goùc y’Oy vaø ML vuoâng goùc z’Oz Theo qui taéc hình hoäp, ta coù : OM OH OK OL xe1 ye2 ze3 Bộ ba (x,y,z) hoàn toàn xác định điểm M và gọi là toạ độ điểm M, ký hiệu M(x,y,z) Trang Lop10.com (4) Saùng kieán kinh nghieäm Cho a Khi đó tồn điểm M cho OM a Gọi (x, y z) là toạ độ điểm M Khi đó ba (x, y, z) gọi là toạ độ véc tơ a trên hệ trục Oxyz và ký hieäu laø a = (x,y,z) Caùc pheùp tính veùc tô : Cho hai véc tơ a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) và k là số thực Các phép tính vectơ phép cộng, phép trừ, phép nhân số với vectơ, tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ xác định sau: a b (a1 b2 , a2 b2 ) a b (a1 b1 , a2 b2 ) k a (ka1 , ka1 ) a.b a1b1 a2b2 a a a a aa a.b ( , , ) b2 b3 b3 b1 b1 b2 Các công thức lượng : Cho hai vectơ a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) và gọi là góc tạo hai vectơ đó a.b a b và ch ỉ a và b là hai vectơ cùng hướng a1.b1 a2 b2 a3.b3 a.b cos ab a1 a2 a32 b12 b2 b32 Cho (D) là đường thẳng qua A và có vectơ phương a (a1, a2 , a3 ) và điểm M Giả sử ta tính AM (b1,b2 , b3 ) Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) tính là : a2 a3 d ( M , D) 2 a a aa b2 b3 b3 b1 b1 b2 a12 a2 a32 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu a Phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) vaø coù caëp vectô chæ phöông a (a1 , a2 , a3 ) ; b (b1 , b2 , b3 ) laø : a2 a3 a a aa ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) b2 b3 b3 b1 b1 b2 b Phương trình tham số đường thẳng (D) qua điểm M(x0,y0,z0) v à nhận vectô a (a1 , a2 , a3 ) laøm vectô chæ phöông laø: Trang Lop10.com (5) Saùng kieán kinh nghieäm x x0 a1t y y0 a2t z z a t (t laø tham soá) c Phöông trình maët caàu t aâm I (a, b,c) vaø coù baùn kính R laø : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R PHAÀN II : CÁC BAØI TOÁN III CÁC BAØI TOÁN GIẢI BẰNG PPTĐ TRONG MẶT PHẲNG: CÁC BAØI TOÁN ĐẠI SỐ: Bài 1: Cho số thực x1, x2, x3, x4 chứng minh (x12 +y12)(x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 Giaûi: Trên mặt phẳng toạ độ xét vectơ : a ( x1 , y1 ); b ( x2 , y2 ) Ta coù a b a.b a b (a.b) vaäy (x12 +y12) (x22 +y22) (x1 x2+ y1 y2)2 đẳng thức xãy a // b x1 y2 x2 y1 Bài 2: Chứng minh x, y, z > thì x xy y x xz z y yz z Giaûi Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: y z y z 3 ( x )2 ( y ) ( x )2 ( z ) ( )2 ( y z ) (1) 2 2 2 2 Xeùt ñieåm A( x y , 3 y z z ) ; B(0, y z ) ; C ( ,0) 2 2 2 (1) AB + AC > BC Ta có AB AC BC với điểm A, B, C đây y y) AB ( x , 2 z AC ( x , z ) 2 Trang Lop10.com (6) Saùng kieán kinh nghieäm Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) đó không thể xãy đẳng thức AB + AC > BC Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Baøi Giaûi baát phöông trình: x x 2( x 3) x 2(1) Giaûi Ñieàu kieän x Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: u ( x 3, x 1) v (1,1) u ( x 3) x v u.v x x Suy baát phöông trình (1) töông ñöông u.v u v u v x x 1 x2 6x x 1 x x x 10 x x x x x5 Vaäy x=5 laø nghieäm nhaát Baøi Chứng minh rằng: cos x sin x cos x , x R Giaûi Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ: a (cos x,1) a b (cos x,0) b (sin x,1) Khi đó, từ Trang Lop10.com (7) Saùng kieán kinh nghieäm a b ab cos x sin x cos x (dpcm) Baøi Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá: y f ( x) cos x 2cos x cos x 4cos x Giaûi Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ: a (1 cos x,2) b (2 cos x,2) a (1 cos x) 22 cos x 2cos x 2 Khi đó : b (2 cos x ) cos x 4cos x a b 32 42 a b ab từ <=> y Daáu “=” xaûy (chaúng haïn) taïi x 2 Vaäy miny=5 Bài : T ìm giá trị nhỏ biểu thức y x px p x 2qx 2q ( p q) Gi aûi Ta c où y ( x p)2 p ( x q)2 q Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q) Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ Xét hai trường hợp: - Nếu pq <0 thì A B trùng O, A,B nằm hai phía O Khi đó (MA + MB) nhỏ M trùng O, tức là ymin p 2q 2( p q ) đạt x = - Nếu pq >0 thì A, B nằm cùng phía O (đồng thời nằm cùng phía Ox) Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời : MA MB MA ' MB A ' B Đẳng thức xãy A’, M, B thẳng hàng Trang Lop10.com (8) Saùng kieán kinh nghieäm x p k (q p ) A' M k A' B p k (q p ) p k p q x pq pq ymin A ' B ( p q)2 ( p q)2 2( p q ) đạt x = 2pq/(p+q) y B A x O A ’ M Baøi Giaûi phöông trình: x x x 12 x 25 x 12 x 29 Giaûi Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: u ( x 1,1) u v (3 x 2,5) v (2 x 3, 4) u x2 2x v x 12 x 25 u v x 12 x 29 Suy phöông trình (1) töông ñöông: uv u v Trang Lop10.com (9) Saùng kieán kinh nghieäm u kv(k 0) x k (2 x 3) 1 k k x (2 x 3) k 4 x x k x Vaäy phöông trình (1) coù nghieäm nhaát x Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x (3 x)(6 x) m Giaûi Ñaët u x ; v x Phương trình đã cho trở thành u v 10 2m (1) u v uv m 2 u v (2) u v u 0, v u 0, v (3) - Phương trình (1) biểu thị đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu diễn đường tròn có tâm góc toạ độ và bán kính = Hệ có nghiệm và đường thẳng (1) và đường tròn (2) có điểm chung thoả điều kiện (3) Vaäy Pt coù nghieäm 10 2m 9 m3 Bài 9: Chứng minh rằng: a a a a 2, a R Trang Lop10.com (10) Saùng kieán kinh nghieäm (Hướng dẫn) Xeùt hai vectô 3 x a , 2 3 y a , 2cos x 2sin x m Baøi 10: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : y f ( x) cos x 6cos x 13 cos x 2cos x treân 2004 , 2006 (Hướng dẫn) Xeùt hai vectô a (3 cos x, 2) b (1 cos x,1) CÁC BAØI TOÁN HÌNH HỌC : Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caùc caïnh goùc vuoâng laø bvaø c, M laø moät ñieåm treân cạnh BC cho góc BAM = Chứng minh rằng: AM = bc c.cos b sin Giaûi Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Khi đó A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y) Từ định nghĩa: x = AM cos , y = AM sin y Neân M(AM cos , AM sin ) c Do M thuộc BC CM cùng phương v ới CB AM cos AM sin 0 b c AM (c cos b sin ) bc bc AM c cos b sin M y O B X x Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài các trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp là ma , mb , mc , R Chứng minh: ma mb mc 9R (Đại học y dược TPHCM năm2000) Trang 10 Lop10.com (11) Saùng kieán kinh nghieäm Giaûi A c B O a b C Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta có: (OA OB OC ) OA2 OB OC 2(OA.OB OB.OC OC.OA) 3R R (cos A cos B cos 2C ) 2(3 2sin A 2sin B 2sin C ) sin A sin B sin C Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: ma mb mc 3(ma2 mb2 mc2 ) (a b c ) 9(sin A sin B sin C ).R 9 .R R R Dấu”=” xảy tam giác ABC ma mb mc Baøi 3: (SGK HH 10) Cho tam giaùc ABC caân taïi A Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC, D laø hình chieáu cuûa H treân AC , M là trung điểm HD Chứng minh AM vuông góc BD Giaûi Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Khi đó: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y) Trang 11 Lop10.com (12) Saùng kieán kinh nghieäm Y A B M O=H D C x DH AC ( x, y )(c, a) Ta coù : AD cung phuong AC x y a c a 0 a 2c x cx ay a2 c2 ax cy ac y c a a2 c2 Vaäy D( a 2c c2 a , ) , M laø trung ñieåm cuûa HD neân: a2 c2 a2 c2 a 2c c2 a , ) 2(a c ) 2(a c ) 2a 2c c3 c2 a a 2c -c2 a 2a3 BD AM ( 2 , 2 )( 2 , ) a c a c 2(a c ) 2(a c ) 2a 4c a 2c -c4 a 2a 4c 0 2(a c ) 2(a c ) M( Vaäy BD Vuoâng goùc AM (ñpcm) Bài (Đề thi HSG toàn quốc – Năm 1979) Điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh giá trị MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M Giaûi Trang 12 Lop10.com (13) Saùng kieán kinh nghieäm Gọi I,R là tâm và bán kính đường tròn (c) ngoại tiếp tam giác ABC Dựng heä truïc nhö hình veõ, ta coù A(0,0); B( 3R R 3R R , ); C ( , ); I ( R,0) 2 2 M ( x, y ) (C ) MI R MI R x y Rx 3R R 2 MA MB MC ( x y ) ( x )2 ( y ) 2 Ta coù 4 2 2 3R R 2 ( x )2 ( y ) 2 (2 Rx)2 (3R Rx R y )2 (3R Rx R y )2 R x R y 18R 12 R3 x R ( x y ) 18R 12 R3 x R 2 Rx 18R 12 R3 x 18R Vaäy giaù trò MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí M B aøi (Ñ eà thi v oâ ñ òch Anh - n aêm 1981) Cho tam giác ABC cân A D là trung điểm cạnh AB, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh IE vuông góc CD Gi aûi Choïn heä truïc nhö hình veõ (O laø trung ñieåm cuûa BC) Khi đó : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0) Goïi I(x, y) Giaû thieát suy y c a DI BA ( x , y ).( c , a ) 2 A ( x, y ).(2c, o) OI BC x D 2 a c E y 2a V aäy I (0, I a2 c2 ) 2a c c 3c a c c IE.DC ( , )( , ) 2a 2 4 IE DC (dpcm) Trang 13 Lop10.com B O x C A (14) Saùng kieán kinh nghieäm IV CÁC BAØI TOÁN GIẢI BẰNG PP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÁC BAØI ĐẠI SỐ: Baøi 1:Giaûi heä phöông trình x y z 1 2 x y z 1 3 x y z 1 Giaûi Xét hai véc tơ u ( x0 , y0 , z0 ) ; v ( x0 , y0 , z0 ) đó u ( x0 , y0 , z0 ) Là nghiệm tuỳ ý (nếu có) hệ đã cho Ta coù u.v x03 y03 z03 Ngoài tính u ; v 2( x02 y02 y02 z02 z02 x02 Vaäy u v u.v Do đó u.v u v x0 y0 y z 1 Daáu baèng xaõy 0 z0 x0 x y z 1 0 x0 x0 x0 Từ đó suy y0 ; y0 ; y0 z z z 1 Thử lại ta hệ đã cho có nghiệm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1) Baøi : Giaûi baát phöông trình: x x 50 x 12 Giaûi x 1 3 50 Ñieàu kieän: x x 2 50 x Trong maët phaúng Oxy xeùt caùc vectô: u (1,1,1) v ( x 1, x 3, 50 x ) Trang 14 Lop10.com (15) Saùng kieán kinh nghieäm u u x x 50 x 48 u.v x x 50 x Suy ra(1) u.v u v Đẳng thức này luôn đúng Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là Baøi Giaûi heä: 50 x a2 x y z 3 x2 y2 z 3(1) x3 y3 z33 Giaûi Xeùt Khoâng gian Oxyz caùc vectô: u ( x, y, z ) v (1,1,1) u x2 y z u u.v x y z u.v u v u v x y z 0 1 x y z 1 (Thoả (1) Vậy: x=y=z=1 là nghiệm hệ (1) Bài : Cho a, b là hai số thực tuỳ ý Chứng minh (a b)(1 ab) (1 a )(1 b2 ) Trang 15 Lop10.com (16) Saùng kieán kinh nghieäm Giaûi Trong không gian với hệ trục toạ độ Đề - các vuông góc Oxyz, đặt u (1, a,0) v (1, b,0) ab cos(u, v) a b2 ab sin( u , v ) a b2 2(1 ab)(a b) ta coù sin 2(u, v) 2sin(u, v).cos(u, v) 1 2 (1 a )(1 b ) (a b)(1 ab) (1 a )(1 b2 ) CÁC BAØI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Baøi Cho tam diện oxyz A, B, C là các điểm di động trên ox, oy, oz cho: 1 1 OA OB OC 2005 Chứng minh rằng: (ABC)luôn luôn qua điểm cố định Giaûi z o x y B A Chọn hệ trục toạ độ vuông góc oxyz (như hình vẽ ) Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(với OA=a,OB=b,OC=c) Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) là: x y z 1 a b c Trang 16 Lop10.com (17) Saùng kieán kinh nghieäm Hơn nữa: 1 1 (Do giaû thieát) a b c 2005 M (2005,2005,2005) mp ( ABC ) =>mp(ABC)luoân ñi qua ñieåm coá ñònh M(2005,2005,2005) Bài 2:Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, AA’ = c a/ Tính dieän tích cuûa tam giaùc ACD’ theo a, b, c b/ Giả sử M và N là trung điểm AB và BC Hãy tính thể tích tứ diện D’DMN theo a, b, c Giaûi a/ Ta lập hệ trục toạ độ vuông góc có gốc trùng với đỉnh A, các trục có phương trùng với AB ; AD ; AA ' Khi đó : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c) AC (a, b,0); AD ' (0, b, c);[ AC , AD] (bc, ca, ab) S [ AC , AD] A ACD ' A’ b c c a a 2b 2 b/ Dễ dàng tính B’ 3ab S A DMN B abc V S DD ' A DMN D’ C’ D C Bài 3:Cho hai nửa mp (P) và (Q) vuông góc với theo giao tuyến (d) Trên (d) lấy AB = a (a là độ dài cho trước) Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (d) và (Q) laáy ñieåm N cho BN = a2 b2 a/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BMN) theo a, b b/ Tính MN theo a , b Với giá trị nào b thì MN có độ dài cực tiểu Tính độ dài cực tiểu đó Giaûi a/ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho A trùng với gốc toạ độ (A(0,0,0)): B có toạ độ a2 (0,a,0); N có toạ độ ( , a, ) Ta có b Trang 17 Lop10.com (18) Saùng kieán kinh nghieäm BM (0, a, b) a2 BN ( ,0,0) b b a b a b , [ BM , BN ] ( , ) (0, a , a ) a a 0 0 b b a (0,1, 1) Do đó mp(BMN) qua B(0,a,0) và có VTPT là v (0,1, 1) Phöông trình cuûa maët phaúng naøy laø: (y – a).1 – (z – 0) = hay y–z -a=0 Khoảng cách từ A(0,0,0,) đến mặt phẳng đó là : z M a a 11 a2 a4 b/ Ta coù MN ( , a, b) MN a b2 b b4 MN a 2a (bất đẳng thức Côsi) a b2 b a MN có độ dài cực tiểu b MinMN a b a a 3 b A b B Y N x Bài 4: Cho góc tam diện ba mặt vuông góc Oxyz Lấy trên Ox, Oy,Oz các điểm P, Q, R khác điểm O Gọi A, B, C là trung điểm PQ, QR, RP Chứng minh góc nhị diện cạnh OA tứ` diện OABC là góc nhị diện vuông thì hai góc B và C tam giác ABC thoả hệ thức tgB.tgC = Giaûi Chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxyz cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c) Khi đó: A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c) Pháp véc tơ mặt phẳng (OAB) và (OAC) là: n1 (bc, ac, ab) n2 (bc, ac, ab) Goùc nhò dieän caïnh OA vuoâng vaø chæ khi: 2 n1.n2 b c a c a 2b2 Trong tam giaùc ABC ta coù: Trang 18 Lop10.com (19) Saùng kieán kinh nghieäm b c a c a 2b a2 b c a c a 2b tgC b2 b c a c a b 2a b tgB tgC 2 2(dpcm) Vaäy a 2b ab tgB Bài 5: Cho tam giác vuông goc A.tìm quỹ tích các điểm M không gian thoả mãn : MB MC MA2 Giaûi z A,O x B C y Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz cho A trùng O, B(b,0,.0),C(0,c,0) ( Với AB =b>0,AC=c>0) Khi đó M(x, y, z) thoả : MB MC MA2 ( x b) y z ( y c ) z x y z ( x b) ( y c ) z x b y c z M (b, c, 0) Vaäy quyõ tích caàn tìm chæ coù moät ñieåm nhaát M(b,c,0) Trang 19 Lop10.com (20) Saùng kieán kinh nghieäm C KEÁT LUAÄN Trên đây là số bài toán đại số và hình học mặt phẳng không gian Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số giải tích và tìm lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn đề mà tôi đưa Trong quá trình viết, thời gian và kinh nghiệm giaûng daïy coù haïn neân chaéc khoâng traùnh khoûi nhieàu thieáu soùt, mong caùc thaày coâ goùp yù Toâi xin chaân thaønh caûm ôn Hiệp Hòa, thaùng naêm 2012 Người viết Nguyeãn Cảnh Phong Trang 20 Lop10.com (21)