TÝnh chu vi cña tam gi¸c AEF.. b, Chøng minh EI..[r]
(1)phòng giáo dục - đào tạo huyện trực ninh
***** đề thức
§Ị thi chọn học sinh giỏi huyện Năm học 2008 - 2009
Môn Toán
Ngày thi: 10 tháng 12 năm 2008
Thi gian lm bi 120 phỳt không kể thời gian giao đề Bài 1.(3,0 điểm)
a,TÝnh:
3 5
M
2 5
b, Không sử dụng bảng số máy tính hÃy so sánh: A 2007 2009 B 2008 Bài 2.(4,0điểm)
Cho biểu thức:
x x x
P :
2
x x x x 1 x
víi x > vµ x 1
a, Rút gọn P b, Tìm x để
2 P
7
c, So sánh P2 với 2P Bài 3.(3,5 điểm)
a, Giải phơng trình: x x x2 8x 18
b, Cho x, y số thoả mÃn:
2
x 3 x y 3 y HÃy tính giá trị biểu thức:
2009 2009
A x y Bài 4.(7,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) ngoại tiếp đờng tròn (O;R) Đờng tròn (O;R) tiếp xúc với cạnh BC, AB, AC lần lợt điểm D, N, M Kẻ đờng kính DI đờng (O;R) Qua I kẻ tiếp tuyến đờng (O;R) cắt AB, AC lần lợt E, F
a, BiÕt AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm TÝnh chu vi cđa tam gi¸c AEF b, Chøng minh EI BD = IF.CD = R2.
c, Gäi P lµ trung ®iĨm cđa BC, Q lµ giao ®iĨm cđa AI vµ BC, K trung điểm AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng AQ = 2KP
Bài 5.(2,0 điểm)
a, Với a, b > chøng minh:
1 1
a b a b DÊu “=” x¶y nµo?
b, Cho x, y, z lµ số dơng thoả mÃn:
1 1 x y z
Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa
1 1
P
2x y z x 2y z x y 2z
HÕt
-Hä tªn thÝ sinh:……… Sè b¸o danh : ………
Chữ ký giám thị 1:……… Chữ ký giám thị 2:……… phòng giáo dục - đào tạo
hun trùc ninh
*****
Híng dẫn chấm thi học sinh giỏi huyện Năm học 2008 - 2009
Môn Toán
(2)a,TÝnh:
3 5
M
2 5
Ta cã:
2
M 5 5
2 2 6 5 2 6 5 2 5 1 2 5 1
0,5
2,0 ®
3 5 5
2 5 5
=
3 5
3 5
(v× 1 )
0,5
2
3 5 9 5 5
9
3 5
= 28 0,5
M
0,5
b, Không sử dụng bảng số máy tính hÃy so sánh: A 2007 2009 B 2008 Ta cã A 2007 2009
2
2008 2008 2008 2008
0,5
1,0 ®
2
2.2008 2008 2.2008 2008 2008
Vậy A < B. 0,5
Bài 2.(4,0điểm) a, Rót gän P
Ta cã
x x x
P :
2
x x x x 1 x
víi x > vµ x 1
3
x x x
:
x x x
x
x x x
:
x x x
x x x
0,5 1,5®
x x x x x x x x x x x 1 2
:
2 x
x x x x x x
0,5
x x 2
x x x
x x x
VËy
2 P
x x
0,5
b, Tìm x để P Ta có P
x x
( víi x > 0; x 1)
(3)D P Q M
N
o f e
k i
c b
a Nªn
2 2
P x x x x
7 x x
x 2 x 3
x 0
( v× x 0 víi mäi x > 0)
x 4 ( t/m ®k)
0,5
VËy víi x = th× P
7
0,25
c, So s¸nh P2 víi 2P
Ta cã
2 P
x x
( víi x > 0; x 1)
Mµ
2
1
x x x
2
víi mäi x > 0,
nªn
2
P
x x
víi mäi x > 0
0,5
1,25® Ta l¹i cã x x 0víi mäi x >
1
x x 1 P
x x x x
0,5 V× P > P < nên P(P - 2) < P2- 2P < P2 < 2P VËy P2 < 2P 0,25
Bài 3.(3,5 điểm) a, Giải phơng tr×nh: x 3 x x2 8x 18
ĐKXĐ: x (*) 0,25
1,75đ
áp dụng bđt Bunhiakôpski ta có: x x x x 2 DÊu “=” x¶y x-3 = – x x =
0,5 Ta l¹i cã x2 – 8x + 18 =(x – 4)2 + 0 víix.DÊu “=” x¶y x= 4 0,5
Suy x 3 x x2 8x 18 x =
Với x = thoả mÃn ĐK (*), nghiệm phơng trình x = 0,5 b, Cho x, y số thoả mÃn:
2
x 3 x y y (*) HÃy tính giá trị biÓu thøc:
2009 2009
A x y 1
Tõ
2 2
(*) x 3 x x 3 x y 3 y 3 x 3 x
x2 3 x2 y2 3 y 3 x2 3 x 3 y2 3 y 3 x2 3 x
2
y y x x
(1)
0,75 1,75đ
Tơng tù ta cã
2
x 3 x y 3 y (2) LÊy (1) céng víi (2) ta cã : x = -y
0,5
Suy
2009 2009 2009 2009
A x y 1 x x 1 VËy A =
(4)a,BiÕt AB = 8cm, AC = 11cm, BC = 9cm TÝnh chu vi cđa tam gi¸c AEF
+ c/m cho chu vi tam giác AEF PAEF = 2AN 0,75
2,0® + c/m cho 2AN = AB + AC – BC = + 11 – = 10 cm 0,75
+ suy PAEF = 2AN = 10 cm 0,5
b,Chøng minh EI BD = IF.CD = R2.
+ c/m cho tam giác EOB vuông t¹i O
EN.BN = ON2 = R2 ( theo hệ thức lợng tam giác vuông)
Mà EI = EN, BD = BN ( t/c tiÕp tuyến cắt điểm) EI BD = R2.
1,25
2,5đ
+ Tơng tự ta cã: IF.DC = R2 0,75
+ Suy EI BD = IF.CD = R2. 0,5
c, Gäi P trung điểm BC, Q giao điểm AI BC, K trung điểm AD Chứng minh ba điểm K, O, P thẳng hàng AQ = 2KP
áp dụng hệ qủa định lý Talet tam giác AQC tam giác ABC ta có
IF AF AF FE
;
QC AC AC BC
IF FE
QC BC
(1)
0,75
3,0® Theo c©u b ta cã:
IF IE IE IF EF
EI.BD IF.CD
BD CD BD CD BC
(2) 0,75
Tõ (1) vµ (2) suy
IF IF
QC BD
QC BD 0,5
+Vì P trung điểm BC (gt), QC = BD ( cmt) P trung điểm DQ Mà O trung điểm ID suy OP đờng trung bình tam giác DIQ OP // IQ hay OP // AQ (3)
+ Vì K trung điểm AD, O trung điểm ID suy KO đờng trung bình tam giác ADI KO // AI hay KO // AQ (4)
+ Tõ (3) vµ (4) K, O, P thẳng hàng
0,75
Do K trung điểm AD, P trung điểm DQ suy KP đờng trung bình tam giác DAQ suy AQ = 2KP
0,25
Bài 5.(2,0 điểm)
a, Với a, b > chøng minh:
1 1
a b a b DÊu “=” xảy nào?
Với a, b > ta cã : (a – b)2 0 a2 + b2 2ab 4ab ( a + b )2 0,25 0,75®
1 a b
a b 4ab
(5)
1 1
a b a b DÊu “ = ” x¶y ra a = b. 0,25
b, Cho x, y, z lµ số dơng thoả mÃn:
1 1 x y z
Tìm giá trị lín nhÊt cđa
1 1
P
2x y z x 2y z x y 2z
Vì x, y, z số dơng, áp dụng bất đẳng thức câu a ta có :
1 1 1 1 1 1 1
2x y z x y x z x y x z 16 x y x z 16 x y z (1)
DÊu “=” x¶y x = y = z = 38
0,75®
1,25®
1 1 1 1 1 1
x 2y z x y y z x y y z 16 x y y z 16 x y z (2)
DÊu “=” x¶y x = y = z = 38
1 1 1 1 1 1 1
x y 2z x z y z x z y z 16 x z y z 16 x y z (3)
DÊu “=” x¶y x = y = z = 38 Tõ(1); (2); (3) suy
1 1 1 1
P
2x y z x 2y z x y 2z x y z
( v×
1 1
x y z ) DÊu “=” x¶y x = y = z =
3
VËy max
3
P x y z
8
0,5®
Lu ý:
1) Nếu thí sinh làm không nh cách nêu đáp án mà cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn.
2) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có ) so với thang điểm hớng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm, khụng chia nh di 0,25.
3) Điểm toàn không làm tròn.