Ta chøng minh En +1 tho¶ tÝnh chÊt trªn.[r]
(1)UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi chän hoc sinh giái tØnh
Sở Giáo dục đào tạo lớp 12 thPT năm hc 2004 - 2005
Môn : TOáN (vßng 1)
Đề thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
BàI 1:
Tìm nghiệm phơng trình : cosx sinx cos2x. 1+sin2x =0 tháa ®iỊu kiƯn : 2004 < x < 2005
BµI 2:
Trong mặt phẳng (P), cho tam giác vng ABC cố định có AB = AC Tìm tập hợp điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho :
4MA≤ MB+MC MBMC
BàI 3:
a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hµm sè : 2
) 2 (
2
+ + =
x
x x
y
b) T×m sè thùc k nhá nhÊt cho víi mäi sè thùc a, b lu«n cã : a + b + ab ≤ k(a2 + 2)(b2 + 2)
(2)
UBND TØNH Thõa Thiªn HuÕ kú thi chän hoc sinh giái tØnh
Sở Giáo dục đào tạo lớp 12 thPT năm hc 2004 - 2005
Môn : TOán (vßng 2)
Đề thức Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
BµI 1:
a) Cho hµm sè ( ) ln sin( cos ) sin
x x x
g x
x
− =
( ) ( )
0
g x x f x
khi x
có tập xác định D Tính đạo hàm của hàm số : = ∈D
=
b) Giải bất phơng trình :
3
) 1 ln(
)
( x
x x x x e
e + − + ≤
BµI 2:
Xét hai độ dài khác a, b Tìm điều kiện a, b để tồn tứ diện (T) có cạnh a cạnh cịn lại b Với tứ diện (T) này, xác định mặt phẳng (α ) cho thiết diện mặt phẳng (α ) tứ diện (T) một hình vng (V) Tính diện tích hình vuông (V) theo a b
BµI 3:
Chứng minh tồn tập E tập số tự nhiên N thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau :
a) E cã 2005 phÇn tư
b) Víi cặp số nguyên phân biệt k, h E th× tÝch k.h chia hÕt cho (k-h)2
(3)
Đáp án - Thang điểm vòng
Bài Néi dung §iĨm
2
0 2 sin 1 . 2 cos sin
cosx − x − x + x = (*) + 1+sin2x = cosx+sinx
cos2x = ( cosx -sinx ).(cosx +sinx)
+ (*) ⇔(cosx -sinx ).{1 - (cosx +sinx)cosx+sinx } =
⇔ cosx -sinx=0 (1) ( cosx +sinx )cosx+sinx = (2) + (1) ⇔cos2x=
+ (2) ⇔(1+sin2x ).(1+sin2x) = 1⇔sin2x=0 (vì sin2x >0 khơng thể xảy ) Từ : (*)⇔cos2x= sin2x= 0⇔ sin4x= ⇔x =k
4
π ; k ∈Z
+ Với điều kiện 2004< x <2005 , chọn số nguyên k=2552 Vậy : x = 638π + MB +MC - MB-MC = Min (MB; MC)
4MA ≤ MB +MC - MB-MC ⇔ 2MA≤MB vaø 2MA≤MC
+ Chọn hệ trục Axy đơn vị trục cho : B(3;0) ,C(0;3) Gọi M(x;y)
2MA≤MB ⇔4MA2 –MB2≤ ⇔4(x2+y2) – (x-3) –y2 ≤ ⇔(x+1) +y2 ≤ VËy : 2MA MB M hình tròn (T) tâm I(-1;0),bán kính (kể biên)
Tơng tự : 2MA MC M hình tròn (S) tâm J(0;-1),bán kính (kể biên)
+Tập hợp điển M thoả toán phần giao hai hình tròn (T) (S) (kể biên)
6
6
(4)3 a
3 b
-5 10
6 -2 -4 -6 y I J M A C B 2 ) ( + + = x x x y
+ Tập xác ñònh : R + y’ =
2 ) ( ) 2 ( + − − + − x x x x = 2
2( 1)( 2)
( 2)
x x x
x
− − + +
+
+ y’= ⇔ x=1 ; x= −2± 2 ;
y(1)= 31 ; y(−2− 2)=
16 2−
; y(−2+ 2)=
16 2+
− ; lim =0 ∞ ±
y
x
x - -2-∞ -2+ +∞
y ' + - + - y 16 2− 16 2+
− + Vaäy : Ma xR y=13 ; Miny=
16
R
Miny− +
+ Giả sử k số thoả tốn Lúc : k
b a ab b a ≤ + + + + ) )(
( 2 với a,b Với a=b=1 ,ta có k
(5)+Ta chứng minh bất đẳng thức sau với a,b : a+b+ab≤
3
(a2+2)(b2+2) Ta cã : (a2+2)(b2+2)- 3(a+b+ab) = a2b2+2a2+2b2+4-3a-3b-3ab
= (ab-1) 2+
2
(a-b) 2+
2
[(a-1) 2+(b-1) 2] ≥
+Từ số k nhỏ thoả tốn :
3 1
ĐáP áN - THANG ĐIểM (Vòng 2)
Bài Nội dung Điểm
1.a) 1.b) 2
+ Khi x D∈ ⇔ ≠x 0vµ ,
4
x≠ +π kπ k∈Z vµ , *
2
x k≠ π k∈Z :
ln(1 sin ) (sin 2 cos ) ln(1 sin ) cot
( ) '( )
2sin 2sin sin
x x x x x x x
f x f x g x
x x x
− − −
= ⇒ = −
−
+ Khi x = : ( )
0
ln sin
( ) (0)
lim lim '(0)
2( sin )
x x
x
f x f
f x x → → − − = − = − = − ) 1 ln( )
( x
x x x x e
e + − + ≤ (*)
+ Biĩu thức ln(x2+1) xác định
+ x=0 ; x=1 ; x=-1 giá trị thoả bất phơng trình x3-x= (x−3 x).(x2 +x3 x+3 x2)
+Khi x∉{0;1;-1} x≠ x.Theo định lí Lagrange ,tồn số c x x cho: ex- e3x = (x−3 x)ec
VËy: (*)⇔(x−3 x).[ec + (x2 +x3 x +3 x2) ln(x2
+1)]≤0
⇔ x−3 x ≤0 ( V× [ec + (x2 +x3 x+3 x2) ln(x2+1)]> ) ⇔ x3-x ≤
+ Nghi−m cđa bất ph−ơng trình cho : x∈(−∞;−1]∪[0;1]
Điịu kin cđa a,b :
+Gi s t din (T) tồn Gọi AB cạnh a, cạnh : AC,AD,BC,BD CD địu b Gọi I trung điĩm cạnh CD.Tam giác AIB tam giác cân :
AB=a ;AI=BI=b23 Tõ AB<AI+BI suy : 0<a<b
+Ng−ỵc lại víi : 0<a<b Dựng tam giác địu BCD cạnh b víiự chiịu cao BI Dựng tam giác cân AIB có AB=a ,nằm mỉt phẳng chứa BI vng góc vói mp(BCD) Ta có :A∉mp(BCD) Tứ di−n ABCD thoả điịu ki−n toán
3
4
(6)3
mp(BCD) Ta có :A mp(BCD) Tứ din ABCD thoả điịu kin toán
Q
P M
N a
I
D
C B
A
Xác định mỉt phẳng (α ):
+ Giả s thiết din hình vuông MNPQ Các mỉt cđa tứ din (T) lần lỵt chứa đoạn giao tuyến MN,NP,PQ,QM đỵc gọi tên mỉt I, mØt II, mØt III, mØt IV Do MN//PQ;MQ//NP nªn cạnh chung cđa mỉt I mỉt III; cạnh chung cđa mỉt IIvà mỉt IV ,nằm hai đờng thẳng song song vÝi mp(α )
Ngoµi ra, hai đờng thẳng vuông góc nhau,vì MN vuông góc MQ
+ Do a khác b nên tứ di−n (T) có cỉp cạnh đối vng góc,đó AB CD Vì mp(α ) phải song song víi AB CD
+ Gäi giao ®iÜm cđa mp( ) víi AC,BC,BD,AD,lần lỵt M,N,P,Q Đỉt k =MCMA Ta cã :MN=
k a
+
1 ;MQ= k kb
+
1 Tõ MN=MQ ta cã : k = b a
+ Diõn tích cđa hình vuông MNPQ :( )2
b a
ab
+
+ Ta xây dựng tập En có n phÇn tư tháa tÝnh chÊt :
“Víi bÊt kì cặp số nguyên phân biệt k ,h En tích k.h chia hết cho (k-h)2 phơng pháp qui nạp theo n (n > 1)
+Chọn : E2 ={1;2}
+ Gi¶ sư tËp En ={a1 ; a2 ; ;an} víi n >1 , tháa tÝnh chÊt trªn
XÐt tËp : En+1= F∪{m} víi m= a1.a2 an vµ F = {ai+ m/ i=1,2, ,n } En+1 cã n+1 phÇn tư Ta chøng minh En+1 thoả tính chất
Vi k ,h hai phần tử phân biệt En+1 ,thì có hai khả : i/Chỉ phần tử thuộc F ii/Cả hai thuộc F
Tr−êng hỵp i/ : k= ai+ m , h = m= a1.a2 an
Ta cã : h chia hÕt cho ; k chia hÕt cho ; k.h chia hÕt cho :ai cßn (k-h)2 =
ai2
Tr−êng hỵp ii/: k= ai+ m , h= aj+ m ; ai và aj thuộc En khác
Ta cã :k chia hÕt cho ;h chia hÕt cho aj ;k.h chia hÕt cho :ai.aj cßn (k-h)2 =(ai -aj)2
Nh−ng ai vµ aj thuéc En nªn tÝch ai.aj chia hÕt cho (ai -aj)2
Từ tích k.h chia hết cho (k-h)2
(7)