Trong moãi phaùt bieåu coù chöùa moät hay moät soá bieán laáy giaù trò trong caùc taäp hôïp ñaõ cho, baûn thaân caùc phaùt bieåu naøy chöa phaûi laø caùc meänh ñeà, nhöng neáu cho caùc [r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ 10 ( Cơ Bản ) §1 MỆNH ĐỀ
1 Khái niệm mệnh đề:
Một mệnh đề phát biểu khẳng định kiện đó, cho khẳng định nhận hai giá trị “đúng” “sai”
2 Phủ định mệnh đề:
° Cho mệnh đề A Phủ định mệnh đề A, ký hiệu A ° Hai mệnh đề A A hai khẳng định trái trược ° Nếu A A sai;
Nếu A sai A
3 Phép kéo theo phép tương đương: a Phép kéo theo:
Cho hai mệnh đề A B Một mệnh đề R lập từ hai mệnh đề A B liên từ “nếu A B” gọi mệnh đề kéo theo, ký hiệu A ⇒ B
° Nếu A B đúng, A ⇒ B mệnh đề ° Nếu A B sai, A ⇒ B mệnh đề sai b Phép tương đương:
Cho hai mệnh đề A B
Nếu mệnh đề A ⇒ B mệnh đề B ⇒ A đúng, ta nói mệnh đề A tương đương với mệnh đề B, ký hiệu A ⇔ B nói “A B”
° Mệnh đề A ⇔ B A B đồng thời đồng thời sai ° Mệnh đề A ⇔ B sai A sai B đúng, A B sai 4 Mệnh đề chứa biến, ký hiệu , :∀ ∃
a Mệnh đề chứa biến:
Trong phát biểu có chứa hay số biến lấy giá trị tập hợp cho, thân phát biểu chưa phải mệnh đề, cho biến giá trị cụ thể ta mệnh đề chứa biến, phương trình bất phương trình mệnh đề chứa biến
b Ký hiệu phổ biến ∀ ký hiệu tồn ∃:
° Ký hiệu ∀: đọc với Thường gắn vào biểu mệnh đề chứa biến
° Ký hiệu ∃, ký hiệu tồn tại, có nghĩa có (ít nhất) một, tồn c Phủ định mệnh đề chứa ký hiệu ∀, ∃:
° A " x X,= ∀ ∈ x có tính chất P” A " x X
(2)B " x X
⇒ = ∀ ∈ , x tính chất P” BÀI TẬP
Bài 1.Hãy lập mệnh đề phủ định mệnh đề đây: a Tất học sinh lớp B có tuổi lớn 15 b Số 15 số nguyên tố
c Hải Phòng thủ đô nước Việt Nam
Bài 2.Xét xem mệnh đề hay sai, sai sửa thành mệnh đề lập mệnh đề phủ định
a Số nguyên a chia hết cho có chữ số tận b ∃ ∈a Z, 3a 7.=
c ∀ ∈x Q, a2 ≠ 3.
Bài 3.Hãy phủ định mệnh đề sau:
a “Hơm nay, lớp có học sinh vắng mặt” b “Tất học sinh lớp lớn 14 tuổi” Bài 4. a Mệnh đề: " x R, y R, x∀ ∈ ∃ ∈ 2+ y2 = 1" hay sai.
b Hãy phủ định mệnh đề
Bài 5.các mệnh đề sau hay sai? Giải thích
a ∀ ∈n N , n* 2+ +n 1 số nguyên tố b. ∀ ∈x Z, x2 ≥ x. c x R, 22x
x
∃ ∈ >
+ d 3x
x Z, Z
x +
∃ ∈ ∈
+ §2 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TỐN HỌC 1 Định lý – Điều kiện cần – Điều kiện đủ:
a Định lý:
Phần lớn định lý toán học mệnh đề có dạng: A ⇒ B Người ta gọi A giả thiết, B kết luận định lý
b Điều kiện cần – Điều kiện đủ:
Trong định lý: A ⇒ B Ta gọi A điều kiện đủ để có B, cịn B điều kiện cần để có A 2 Định lý đảo – Điều kiện cần đủ:
a Định lý đảo:
Giả sử ta có định lý : A ⇒ B (1) Ta xét mệnh đề : B ⇒ A (2)
(3)Nếu đồng thời có định lý thuận (1) định lý đảo (2) ta có mệnh đề : A ⇔ B Lúc ta nói :A điều kiện cần đủ để có B nói : B điều kiện cần đủ để có A
3 Phép chứng minh phản chứng :
Giả sử ta cần chứng minh định lý A ⇒ B
° Giả sử B (tức giả sử B sai khơng có B)
° Dùng phép suy diễn : B⇒ B1⇒ B2 ⇒ ⇒ A (trái giả thiết) ° Từ suy có B (tức B đúng)
° Vậy, A ⇒ B chứng minh Ghi chú:
° Nếu định lý phát biểu dạng A ⇒ B định lý phát biểu dạng B⇒ A gọi định lý đảo định lý
° Ta có tính chất: A⇒ B⇔ B⇒ A
° Vậy, thay chứng minh A ⇒ B ta chứng minh B⇒ A BAØI TẬP
Bài 6.Phát biểu định lý sau dạng kéo theo “Nếu ”:
a Các cạnh đối điều kiện đủ để tứ giác hình bình hành b Điều kiện có để tổng a + b > có số a hay b lớn c Điều kiện có để tứ giác hình vng đường chéo vng góc Bài 7.Phát biểu định lý dạng điều kiện cần đủ:
Hai số nguyên chia hết cho tổng bình phương chúng chia hết cho 3, đảo lại tổng bình phương hai số nguyên chia hết cho số chia hết cho
Bài 8.Các mệnh đề sau hay sai, giải thích: a ∀ ∈x N, x2 chia hết cho ⇒ x chia hết cho 3. b ∀ ∈x N, x2 chia hết cho ⇒ x chia hết cho 3.
§3 TẬP HỢP 1 Khái niệm tập hợp:
a Tập hợp khái niệm toán học. b Có hai cách xác định tập hợp:
Cách 1: Liệt kê phần tử
Ví duï: A = {1, 3, 5, , 97, 99}
Cách 2: Nêu tính chất đặc trưng phần tử Ví dụ: A = {x | x có tính chất P }
(4)Lưu ý: ∅ = { } { }≠ ∅ 2 Taäp con:
a Định nghóa: A B (x A x B)⊂ ⇔ ∈ ⇒ ∈ b Tính chất:
° A A.⊂
° Nếu A B, B C A C⊂ ⊂ ⊂ ° ∅ ⊂ Α ; ∅ ⊂ Β ;
c Biểu đồ ven: ta biểu diễn tập hợp điểm nằm
bên đường kép kín gọi biểu đồ ven Ví dụ A = {a, b, c} 3 Tập hợp nhau: A B= ⇔ (A B B A)⊂ ⊂
4 Các tập hợp số thường dùng:
° Tập hợp số tự nhiên N = {0, 1, 2, , n, } ; N* = {1, 2, , n, }
° Tập hợp số nguyên Z = { , -2, -1, 0, 1, 2, } ° Tập hợp số hữu tỉ Q= mn m, n Z; n 0∈ ≠
° Tập hợp số thực R {x | x hữu tỉ vô tỉ} ( ;= = − ∞ + ∞ ) Vấn đề 1: CÁCH CHO MỘT TẬP HỢP.
1 Khi chuyển “cách đặc trưng” sang “cách liệt kê” phải xét xem phần tử thỏa tính chất P
2 Chuyển từ “cách liệt kê” sang “cách đặc trưng” có nhiều hình thức BÀI TẬP
Bài 15. Hãy viết tập hợp sau dạng liệt kê phần tử: a A {x N |x= ∈ ≥ 7 x 10}.<
b B {x N |x 15 x bội 2}= ∈ ≤ c C {x N | x vaø x bội 3}= ∈ ≤
Bài 16. Hãy viết tập hợp sau dạng đặc trưng:
a A {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}.= b B {3, 5}= c C= 1, , ,1 1 14 16 25 36, ,
d
1 1 1
D , , , ,
2 10
=
e E= {(0, 2); (1, 3)} f F = {9, 36, 81, 144} g G= −{ 3, 9, 27, 81− }
Vấn đề 2: TẬP HỢP CON
a b
(5)° A B⊂ ⇔ ∀( x : x A∈ ⇒ x B)∈ ° Tập hợp có n phần tử thì:
1 A có tất 2n Tập (kể ∅)
2 A có n tập gồm phần tử A có n(n 1)2− tập gồm hai phần tử
4 A có n(n 1)(n 2)− 6 − tập gồm ba phần tử BAØI TẬP Bài 17. Xét quan hệ bao hàm tập hợp sau:
a A {x | x= − 3x 0}+ = vaø B {x | x 0}.= − = b B {x | x 0}= + = vaø F {x | x= − =4 0}. c G {2, 3}= vaø H = [2, 3]
Bài 18. Viết tất quan hệ bao hàm có tập hợp sau: ° A : tập hợp tứ giác
° B : tập hợp hình bình hành ° C : tập hợp hình chữ nhật ° D : tập hợp hình thoi ° E : tập hợp hình vng
° F : tập hợp hình thang vng
Bài 19. Tìm tất tập của: a ∅; b {∅}; c {∅}, {∅}} Bài 20. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e}
a A có tập con?
b Có tập A chứa phần tử?
c Có tập A chứa phần tử? d Có tập A chứa nhiều phần tử?
§4 CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HỢP 1 Giao hai tập hợp:
a Định nghóa: x A B (x A vaø x B)∈ ∩ ⇔ ∈ ∈ b Tính chất:
° A∩ ∅ = ∅ ° A A A.∩ = ° Giao hoán: A B B A.∩ = ∩
° Kết hợp: A (B C) (A B) C (A C) B A B C.∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩ = ∩ ∩
A ∩ B
(6)2 Hợp hai tập hợp:
a Định nghóa: x A B∈ ∪ ⇔ x A hay x B∈ ∈ b Tính chất:
° A∪ ∅ = Α ° A A A.∪ =
° Giao hoán: A B B A.∪ = ∪
° Kết hợp: A (B C) (A B) C (A C) B A B C.∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪ = ∪ ∪ 3 Tính chất chung giao ∩ hợp ∪ :
° Tính phân phân phối ∩ ∪: A (B C) (A B) (A C)∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ° Tính phân phân phối ∪ ∩: A (B C) (A B) (A C)∪ ∩ = ∪ ∪ ∪ 4 Hiệu hai tập hợp:
a Định nghĩa: Hiệu hai tập hợp A B, ký hiệu A \ B tập hợp gồm phần tử x thuộc A x không thuộc B
x A \ B∈ ⇔ (x A vaø x B)∈ ∈
b Tính chất: ° A \ A= ∅ ° A \∅ = A
° A B∩ = ∅ ⇒ Α ∴ Β = Α
Lưu ý: Từ định nghĩa ta thấy phép hiệu khơng có tính giao hốn 5 Phần bù:
a Định nghĩa: Cho hai tập hợp A, B, với B A⊂ Hiệu A \ B gọi phần bù B A ký hiệu là: C C B.BA A
B A
x C∈ ⇔ (x A vaø x B)∈ ∉ B
A
B A⊂ ⇒ A \ B C= b Tính chất:
° CBx = CAx ⇔ A B.= ° B A⊂ ⇒ CAx ⊂ C Bx
Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH CÁC TẬP HỢP: A ∩ B, A ∪ B, CAB ° Xem định nghĩa, tính chất phần tóm tắt
BÀI TẬP
Bài 22. Cho hai tập hợp: A = {0, 1, 2, 3, 4} B= {x N |x , K N K 3∈ = K ∈ ≤ }
A ∪ B
A B
A B
A \ B
CB A
(7)Xác định: A B; A B; A \ B; B \ A.∪ ∩ :
Baøi 24. Cho: A B∩ = {2, 3, 4, 5, 6}; A \ B= { }0, ; B \ A= {7, 8, 9} Xác định: A B
Bài 25. Cho X= {x N | x 10 vaø A, B X cho :∈ < < } ⊂ A B∩ = {4, 6, 9} ;
{ } { }
A∪ 3, 4, = 1, 3, 4, 5, 6, 8, ; B∪ { } {4, = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Xác định: A vaø B
Bài 26. Cho hai tập hợp: A= {x N | x ước 12∈ }; B= {x N | x ước 8∈ } Tìm tất tập hợp X biết X A X B.⊂ ⊂
Bài 27. Cho hai tập hợp: A= {x R | x∈ 2− − =x 0}; B= {x Z | | x | 2∈ ≤ } Viết tập hợp X cho A X B.∪ =
Bài 28. Xác định tập hợp: A B; A B; A \ B; B \ A với :∪ ∩
a A ( , 2], B (0,= − ∞ = + ∞ ); b A [ 4, 0], B (1, 3]= − = Bài 29. Sử dụng ký hiệu khoảng, đoạn, Hãy viết tập hợp sau:
a ( 3, 5] [8, 10] [2, 8)− ∪ ∪ b [0, 2) (∪ − ∞, 5) (1,∪ + ∞) c [ 4, 7] (0, 10)− ∩ d ( , 3] ( 5,− ∞ ∩ − + ∞ )
e (3,+ ∞) \ (− ∞, 1]
Baøi 30. Bieát [3, 12) \ ( , a)− ∞ = ∅ Có thể kết luận số a?
Bài 31. Cho ta tập hợp: A= {x R |1 x 5∈ < < } , B= {x R | x 7∈ < < } , C= {x R | x 6∈ < < } Viết tập hợp: A B; A C; B C; A B.∩ ∩ ∩ ∪
Vấn đề 4: CHỨNG MINH: A ⊂ B; A = B Để chứng minh A B⊂ , ta phải chứng minh: x A∀ ∈ ⇒ x B∈ Để chứng minh A = B, ta phải chứng minh: A B B A.⊂ ⊂
BAØI TẬP Bài 33. a Chứng minh rằng: A B B B A.∩ = ⊂
b Chứng minh rằng: B A A B B⊂ ∩ =
Bài 34. Chứng minh A B A B B⊂ ∪ = ngược lại Bài 35. Cho ba tập hợp A, B, C Chứng minh rằng:
a Nếu B C A B A C.⊂ ∩ ⊂ ∩ b Neáu A C B C A B C.⊂ ⊂ ∪ ⊂ c Nếu A B A B A B.∩ = ∪ = d A (A \ B) A B.= = ∩
(8)Cho biết: n(A) 17, n(B) 24, n(A B) 35.= = ∪ = Tính: n(A B), n(A \ B) n(B \ A).∩ Bài 43. Cho S 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10= { } Có tập A S trường
hợp sau:
a A có phần tử
b A có phần tử phần tử bé A CHUYÊN ĐỀ 2
§1 KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA:
Cho D tập hợp khác rỗng tập hợp số thực R Một hàm số f xác định D quy tắc cho ứng với phần tử x D∈ số thực y
Ký hiệu: f: D→ R xay f(x)=
D: gọi tập xác định (hay miền xác định) hàm số f Phần tử x D∈ gọi biến số
Số thực y tương ứng với biến số x gọi giá trị hàm số f x, ký hiệu f(x) ° Cơng thức y = f(x) gọi quy tắc tìm giá trị f(x) hàm số f x D∈
° Một hàm số xác định ta biết tập xác định D quy tắc tìm giá trị y = f(x) hàm số
II HÀM SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC:
° Người ta thường cho hàm số f công thức: y = f(x) Với cách cho người ta thường không rõ tập xác định hàm số Khi ta quy ước:
Tập xác định hàm số y f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có nghĩa
=
° Ngoài cách cho tổng quát trên, người ta thường cho hàm số cụ thể ba cách sau đây:
a Cho hàm số bảng: Đó bảng số gồm hai hàng, hàng ghi giá trị biến số x D∈ , hàng ghi giá trị tương ứng y hàm số x b Cho hàm số đồ thị: Ta cho hàm số f từ D đến R đồ thị
mặt phẳng tọa độ Oxy
c. Cho hàm số công thức: Chẳng hạn hàm số y ax b; y ax ;= + = y a; x =
cũng cho hàm số công thức khác tập tập xác định nó, chẳng hạn:
(9)1 ( ;1) x
y f(x)
2x [1; )
− ∞
−
= =
+ ∞
III. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ:
Định nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác định D.
Đồ thị hàm số tập hợp tất điểm M(x; y) mặt phẳng tọa độ Oxy với x D∈ y = f(x)
Cơng thức y = f(x) gọi phương trình đồ thị Hoặc: Cho hàm số y = f(x) xác định D
Trong hệ trục tọa độ Oxy tập hợp điểm M(x, b), với b = f(x), a D∈ đồ thị hàm số f
IV. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HAØM SỐ:
1 Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b).
° Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng (a; b) với số thực x1 x2 thuộc (a; b) ta có: x2 > x1 ⇒ (x ) f(x )2 <
Ghi chú: Khảo sát biến thiên hàm số khoảng (a; b) xét xem hàm số đồng biến hay nghịch biến khoảng
2 Bảng biến thiên: Ta thường biểu diễn biến thiên hàm số dướng dạng bảng gọi bảng biến thiên hàm số sau:
3 Đồ thị hàm số đồng biến, nghịch biến:
° Đồ thị hàm số đồng biến đường “đi lên từ trái sang phải” (h.3a) ° Đồ thị hàm số nghịch biến đường “đi xuống từ trái sang phải” (h.3b)
V TÍNH CHẴN, LẺ:
°Một tập D R gọi có tính đối xứng với x D∈ ta có x D− ∈
x a by x a by
Hàm số đồng biến (a; b) Hàm số nghịch biến (a; b)
y
y2
y1
M1 M2
x1 x2 b O
a
(H.3a)
y
y1
y2
M1
M2
x1 x2 b
O a
(10)Ví dụ: Khoảng (-2; 2) tập có tính đối xứng
(-3; -1) ∪ (1; 3) tập có tính đối xứng Khoảng (-4; 2) khơng có tính đối xứng Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định D
° Hàm số y = f(x) gọi chẵn D với x D∈ ta có: x D− ∈ f( x) f(x)− = .
° Hàm số y = f(x) gọi D với x D∈ ta có: x D− ∈ f( x)− = −f(x)
2 Đồ thị hàm số chẵn, hàm số lẻ: Định lý:
° Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ° Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng
Vấn đề 1: TÌM MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Đa thức f(x) có MXĐ D = R hay D ( ;= − ∞ + ∞ )
2 Với hai đa thức f(x) g(x) g(x) có MXĐ f(x) D= {x |g(x) 0≠ } Với đa thức f(x) thì:
° 2nf(x) có MXĐ D= {x | f(x) 0≥ }
° 2n 1+ f(x) có MXĐ D = tập xác định hàm số f(x).
4 Nếu hàm số y = f(x), y = g(x) có miền xác định Df, Dg thì:
a.Hàm số y f(x) g(x)= ± hàm số y = f(x) g(x) có MXĐ là:
f g
D D= ∩ D (giao hai miền xác định).
b.Hàm số y= g(x)f(x) có MXĐ D (D= f ∩ D ) \ {x/ g(x) 0}g = BÀI TẬP
Bài 1.Tìm miền xác định hàm số:
a x 2− + 4 x− = y b.
2
1
y
3 2x 4 x
= +
− −
c y= x x 1+ − −1 d 2
1 y
x 3x x
=
− + + −
e y= x x 21− f y= x x 4− − − −1
g y x x
1 x +
= +
(11)i y= x 1− − x 2− k y x x
4
= + + +
Bài 2.Tìm MXĐ hàm số y= x x− .
Bài 3.Tìm a để hàm số y= x a− xác định với x > Bài 4.Tìm a để hàm số y= x2+ a xác định với x > 0. Bài 5.Tìm a để hàm số y x 2a a x
5
= − − − xác định với x 1; 2∈ [ ] Bài 6.Định a để hàm số y= x a 1− + + − +x 2a 12x + xác định [0; 1] Bài 7.Định m để hàm số xác định với x dương:
a y= x m 1− − + 4x m− b y= x m 2+ − + x 4mx m+ + Bài 8.Định m để hàm số xác định (-1; 0):
a y x m
2m x + =
+ − b
1
y x 2m
2x m
= − − + −
−
Bài 9.Cho hàm số y= x− − 2x 3a+ Định a để miền xác định hàm số đoạn có chiều dài
Bài 10. Cho hàm số 3
x khi x 2
x y f(x)
x x x
>
−
= =
+
<
−
Tìm miền xác định hàm số
Bài 11. Cho hàm soá
2x x (1)
y f(x) x 2x khi1 x (2)
1
x khix (3)
x
+ ≤
= = − < <
+ >
−
a Định miền xác định hàm số f
b Tính: f( 2); f(1 a ) với a R; f− − ∈ 23 ; f b( + với b R) ∈
Bài 12. Cho hàm số
2
x x x (1)
y f(x) 2x x (2)
1
x khix (3)
x
+ ≤
= = + < <
+ ≥
+
a Tìm miền xác định hàm số
(12)Vấn đề 2: MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HAØM SỐ 1 Miền giá trị: Cho hàm số y = f(x) với miền xác định D.
Khi x biến thiên D giá trị f(x) nói chung biến đổi, giá trị lập thành tập hợp gọi miền giá trị hàm số (viết tắt MGT)
2 Phương pháp tìm MGT:
Phương pháp tìm MGT hàm số khơng phải có Ở giai đoạn ta dựa chủ yếu vào phương pháp sau đây: “y giá trị hàm số f(x) phương trình f(x) = y (ẩn x) có nghiệm thuộc miền D”
BÀI TẬP Bài 1.Tìm miền giá trị hàm số:
a y 2x 1= + b y x= 3+ +x 1 c. y 2x x
+ =
+ d y 22x
x
=
+ e
2
x y
x
=
+ f
2
3x 2x
y
3x
+ +
= g y 22x
x x
− =
+ + h y= 2x 1−
Vấn đề 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU HAY KHẢO SÁT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
• Một hàm số tăng khoảng này, giảm khoảng Xét tính tăng, giảm hàm số gọi xét tính đơn điệu hay xét chiều biến thiên
1 f tăng (a; b) f giảm (a; b): Sử dụng định nghĩa:
Với x , x1 2∈ (a; b) :
° [x2 > x1 ⇒ f(x ) f(x )2 > ] ⇔ f đồng biến (a; b) ° [x2 > x1 ⇒ f(x ) f(x )2 < ] ⇔ f nghịch biến (a; b) 2 Tính đơn điệu hàm số bậc nhất:
Hàm số y = f(x) = ax + b tăng R a > giảm R a < 3 Tính đơn điệu hàm số bậc hai:
° Hàm soá y f(x) ax= = + bx c+ giảm ; b , 2a − ∞ −
tăng 2ab ; − + ∞
a >
° Hàm số y f(x) ax= = + bx c+ tăng ; b 2a − ∞
, giảm 2ab ; − + ∞
a < 4 Nhận xét:
(13)b Nếu f(x) tăng (giảm) (a; b) thì:
° Hàm số y = K.f(x) tăng (giảm) (a; b) K > ° Hàm số y = K.f(x) giảm (tăng) (a; b) K < c Nếu f(x) g(x) tăng (cùng giảm) (a, b) thì:
Hàm số y = f(x) + g(x) tăng (giảm) (a, b) BÀI TẬP
Bài 1.Dùng định nghĩa chứng minh hàm số:
a y= −x2 + 6x tăng ( ; 3)− ∞ giảm (3; + ∞ ) b y 2x
x + =
− giảm khoảng xác định c y x= − x2 + −x 5 tăng miền xác định.
Bài 2.Dùng định nghĩa để tìm khoảng tăng, giảm hàm số: a y= 4x 12 + b. y 2x= 2− 4x 3+ c y x
x + =
− d
1 y
x
= +
Vấn đề 4: XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ ° Tìm miền xác định D hàm số y = f(x)
° Chứng minh: x D∈ ⇒ − ∈x D ° Tính: f(-x)
- Nếu: f( x) f(x), x D− = ∀ ∈ f chẵn - Nếu: f(x) = -f(x), x D∀ ∈ f lẻ Ghi chú:
1 Nếu x D∈ ⇒ − ∉x D f không hàm chẵn, không hàm lẻ
2 Nếu x D∈ ⇒ − ∈x D f( x) f(x) f( x)− ≠ − ≠ −f(x) f không hàm chẵn, không hàm lẻ
BÀI TẬP Bài 1.Xét tính chẵn, lẻ hàm soá sau:
a y x= − b y x x= c.
2 x 2x y
x − =
− d
3 x y
x
=
− e
4
x y
x
(14)§2 HÀM số y = ax + b
• Định nghĩa: Cho hàm số y = ax + b, x biến số, a b số. ° Nếu a 0≠ , hàm số y = ax + b gọi hàm số bậc
° Nếu a = 0, ta có y = b, với x R∈ Hàm số y = b gọi hàm số I ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ HẰNG y = b:
Đồ thị hàm số y = b đường thẳng (D) phương với trục hoành cắt trục tung điểm (0; b)
II KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax + b (a ≠ 0): 1 Tập xác định: R = R
2 Sự biến thiên:
Định lý: Nếu a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến R Nếu a< 0, hàm số y = ax + b nghịch biến R Bảng biến thiên:
3 Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) đường thẳng (không song song không trùng với trục tọa độ) cắt trục tung điểm (0; b) cắt trục hoành điểm
b; a
−
Ghi chú: hệ số a gọi hệ số góc đường thẳng OT
a tg
OH
= α =
° Với α góc nhọn hợp (d) trục Ox
Vấn đề 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ Phương pháp:
° Tập xác định: D = R
° a > 0: Hàm số đồng biến; a < 0: hàm số nghịch biến ° Đồ thị đường thẳng qua điểm (0; b) (-a/b; 0) Trường hợp: Đồ thị hàm số bậc cho nhiều công thức:
° Từ công thức ta tìm tập xác định: D D= 1∪ D2∪ (lấy phần hợp) ° Ứng với khoảng, đoạn ta có:
- Chiều biến thiên tương ứng (xét hệ số a)
- Đồ thị phần đường thẳng qua điểm A(; ), B(; ) ° Đồ thị hàm số đường gãy khúc ABC…
BAØI TẬP Bài 1.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:
a y 2x.= b y = -3x +
x y
(d)
T(0; b)
α
(15)Bài 2.Cho hàm số y = (2m – 1)x + m –
a Định m để đồ thị hàm số đồng biến? Nghịch biến?
b Định m để đồ thị hàm số qua điểm A(1; 4) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số tương ứng
Bài 3.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:
a
x neáu x
y neáu x
1x neáu x ≤
= < <
− + ≥
b
2x x
y x
x x
− − ≤ −
= − ≤ ≤
− ≥
Vấn đề 2: TÌM PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG Xem phần tóm tắt
BÀI TẬP Bài 1.Lập phương trình đường thẳng:
a Có hệ số góc qua điểm (-1; 3) b Đi qua P(2; -1) vaø Q(-3; 2)
c Đi qua (3; 0) song song với đường thẳng 3x + 2y = 100 d Đi qua (-3; -2) vng góc với đường thẳng -3x + 5y =
Bài 3.Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3; (D/): y = x + (d/): y = -2x + Tìm phương
trình đường thẳng (D) song song với (d) đường thẳng (D), (d/), (D/) đồng quy.
§3 HÀM SỐ BẬC HAI
I SỰ BIẾN THIÊN VAØ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ y = ax2 (a ≠ 0) 1 Tập xác định: D = R.
2 Sự biến thiên: Định lý 1:
° Nếu a > hàm số y = ax2 nghịch biến khoảng ( ; 0)− ∞ đồng biến
khoảng (0;+ ∞ )
° Nếu a < hàm số y = ax2 đồng biến khoảng ( ; 0)− ∞ nghịch biến
khoảng (0;+ ∞ ) Bảng biến thiên:
3 Đồ thị: Đồ thị hàm số y = ax2 parabol có đỉnh gốc tọa độ nhận trục
tung làm trục đối xứng
II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HAØM SỐ y ax= 2 + bx c (a 0)+ ≠ : 1 Tập hợp: D = R.
(16)Định lý 2:
° Nếu a > hàm số y ax= 2+ bx c+ nghịch biến khoảng ( ; b ) 2a
− ∞ − đồng biến khoảng ( b ; )
2a
− + ∞
° Nếu a < hàm số y ax= 2+ bx c+ đồng biến khoảng ( ; b) 2a
− ∞ − nghịch biến khoảng ( b ; )
2a
− + ∞
Từ bảng biến thiên, ta có:
° a > 0: Hàm số y ax= + bx c+ đạt giá trị cực tiểu tại x b .
4a 2a
∆
− = −
° a < 0: Hàm số y ax= + bx c+ đạt giá trị cực đại tại x b .
4a 2a
∆
− = −
3 Đồ thị: Đồ thị hàm số y ax= 2+ bx c+ parabol có đỉnh b
I ;
2a 4a
∆
− −
nhận đường thẳng
b x
2a
= − làm trục đối xứng
Vấn đề 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ BẬC HAI y = ax2 + bx + c Các bước thực hiện:
Taäp xác định: D = R • Đỉnh I 2a 4a−a; − ∆
• Bảng biến thiên: • Các giá trị đặc biệt:
° Giao điểm với trục tung Oy: T(O; C) ⇒ điểm đối xứng qua Oy: T/ b; c
a
−
° Giao điểm với trục Ox (nếu có): ax2 + bx c 0+ =
1 2
H (x ; 0), H (x ; 0) ⇒
• Đồ thị parabol có đỉnh I − 2ab ; − 4a∆
nhận đường thẳng
b x
2a
= − làm trục đối xứng (hình bên)
Ghi chú:
° Đỉnh I− 2ab ;− 4a∆
(17)BAØI TẬP Bài 1.Vẽ đồ thị hàm số:
a y= 2x 1x2 + 4x với x 0với x 0≥
+ <
b
2
x với x
y
2x 4x với x
− + <
=
+ − ≥
c
2
x 3x với x y
x 3x với x
− + − ≤
=
− − >
Vấn đề 2: ĐỊNH MỘT HÀM SỐ BẬC HAI (TÌM PHƯƠNG TRÌNH PARABOL) Phương pháp:
• Định hàm số bậc hai tìm hệ số a, b, c công thức y ax= + bx c (a 0)+ ≠ . • Từ giả thiết, ta thiết lập hệ phương trình có ẩn số a, b, c Giải hệ
BÀI TẬP
Bài 1.Tìm hàm số bậc hai biết đồ thị qua điểm: A(1; 4), B(-1; 6) C(2; 9) Bài 2.Cho hàm số y ax= + bx (1)
a Tìm a b để đồ thị hàm số qua điểm A(2; -3), B(6; -3)
b Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số (1) với a, b vừa tìm phần a c Từ đồ thị (P) phần b suy cách vẽ đồ thị (P) hàm số:
2 x
y 2x
4
= +
Bài 3.Cho hàm số y ax= + bx c+ có đồ thị (P):
a Tìm a, b, c bieát (P) qua A(0; -3), B(1; 0), C(-1, -8) b Khảo sát vẽ (P), biết a = -1, b = 4, c = -3 I.Phương trình bậc nhất,bậc hai:
Bài1: Giải phương trình sau:
a) x− + =5 x x− +5 b) 1− + =x x x− +1 c) 4x2− +x x = +3 2− x.
d) x2− 7x+10 3= x−1 e) 4x− = −9 x 3 f) |4x-3|=2x+1
Bài2: Giải phương trình sau:
a)
3 4
3
2
x
x−+ − x+ = x − + b)
2
3 3
2
x x x
x
− + = −
−
c) | 1| | |
x
x x
− = −
− d)
2
| 4x + =1| x − 2x+ Baøi3: Giải biện luận pt sau theo tham số m:
) 2) 2 3. )
( 1) (3 2).
2
(m m(x-m)=x+m-2.
c) m
+ − = −
− + = −
a x m x b
x m x m
Bài4: Giải biện luận pt sau theo tham số m:
) (m+1)x-m+2 b) mx-m-3
x+3 x+1
(18)Bài5: Giải hệ pt sau:
2 )
3
-2x+5y=9 5x+3y=15
b) c)
4x+2y=11 4x-5y=6 x y a x y − = + = 16 )
3 5 2 3
11
3
3
4 e)
5 x y x y d x y x y + = − = + = − =
Bài6: Giải biện luận hệ pt sau theo tham soá m. )
( 4) ( 2) )
(2 1) ( 4)
mx+(m-1)y=m+1 mx+(m-2)y=5 b) 2x+my=2 (m+2)x+(m+1)y=2 (m-1)x+2y=3m-1 d) (m+2)x-y=1-m a
m x m y
c
m x m y m
+ − + = − + − =
II.Một số pt quy pt bậc nhất,bậc hai:
1/ Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : Phương pháp chung ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách xét dấu bình phương hai vế
Chú ý: +) 2
0
| |A B B : Ta biến đổi tương đương
A B ≥ = ⇔ =
+) | |A = B⇒ A2 = B2: Ta biến đổi hệ quả.
+) [ ] [2 ]2
| ( ) | | ( ) |f x = g x ⇔ f x( ) = g x( ) | ( ) | | ( ) | ( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
f x g x
=
= ⇔
= −
Baøi 1: Giải pt sau : ) |2x-3|=x-5 b) |2x+5|=|3x-2| c) |3x-1| | |
x+2
a = −x
d) | 3x− =5 | 2x2+ −x 3. e) |x− =3 | | 2x−1| f) | | | 2 |
3 x x x − = − +
Bài 2: Giải biện luận pt sau theo tham số m: a) |3x+2m|=x-m b) |2x+m|=|x-2m+2|. Bài 3: Tìm giá trị m để pt sau có nghiệm : |mx-2|=|x+4|.
2/ Phương trình chứa ẩn dấu căn: Ta đặt điều kiện pt tìm cách bỏ dấu cách bình phương hai vế pt để đưa pt hệ quả, sau thử lại nghiệm có thỏa mãn hay khơng
Chú ý: +) [ ]2
( )
( ) ( ) :
( ) ( ) Biến đổi tương đương
g x f x g x
f x g x
≥
= ⇔
=
+) [ ]2
( ) ( ) ( ) ( ) : Biến đổi hệ
f x = g x ⇒ f x = g x
Bài : Giải pt sau : a) 3x− = −4 x b)
2
x − x+ = x− c)
3x − 4x− =4 2x+ d) x2+ + = −x 1 3 x e) x2+ 6x+ =9 | 2x−1| f) 1
2
x
m x−− = −
3/ Phương trình chứa ẩn mẫu thức: Để khử ẩn mẫu thức ta quy đồng mẫu số, quy đồng phải ý đến điều kiện xác định pt
Baøi 5: Giải pt sau: a) 3
1 2
2x-5 x-1
b) c)
x-1 x
x x
x x x x
−
+ = = − = −
+ − + −
Bài 6: Giải biện luận pt sau: ) 1
2
a b) 3x+k
x-2 x-3
x k a
x a x
−
+ = =
(19)4/ Phương trình trùng phương: Có dạng ax4+bx2+c=0 (1).Đặt t=x2≥ 0 ,ta đưa pt bậc hai
at2+bt+c=0 (2) Giải ptrình (2) so sánh với điều kiện ta kết luận.
Bài 7: Giải pt sau: a) x4-8x2-9=0 b) x4-13x2+36=0 c)2 x4-8x2-18=0.
Bài 8: Giải biện luận pt sau: a) x4-mx2-9=0 b) (m+1)x4-8x2-m+1=0
A DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT f(x) = ax + b I Định lý: f(x) dấu a ⇔x b
a
> − f(x) trái dấu a ⇔x b a
< − II Hệ quả:
1 Dấu tích thương hai nhị thức bậc nhất: Cho hai nhị thức bậc f1(x) = a1x + b1 ; f2(x) = a2x + b2
Ta có kết quả: f1(x).f2(x) ( )( )
f x
f x trái dấu tích a1a2 x khoảng hai nghiệm
và dấu tích a1a2 x ngồi khoảng hai nghiệm
2 Quy tắc đan dấu:
Muốn xét dấu biểu thức gồm n nhị thức bậc nhân nhân chia hỗn tạp ta sẽ:
- Viết tất nghiệm nhị thức bậc lên trục số: Khi trục số chia thành nhiều khoảng
- Trong khoảng vô tận bên phải , biểu thức dấu với biểu thức
- Khi x giảm dần từ phải sang trái , biểu thức đổi dấu qua nghiệm đơn nghiệm bội lẽ biểu thức không đổi dấu qua nghiệm bội chẳn
Baøi Xét dấu: f(x) = 3x(2x + 7)(9 – 3x) Bài Xét dấu: ( ) ( )( )
2 5 6 2 1
4
x x x
g x
x
− + −
=
− Bài Xét dấu:h x( ) = (x2− 2x+ 3) (2− x2+ −x 3)2 Bài Giải bất PT:
1 x
x+ >− Bài Giải bất PT: 2
4
x x x
x
+ + ≥ −
+ Bài Giải bất PT:
2 3 1
2
x x x
x
+ − > − −
Bài Giải bất PT: 33xx− 47 41 > 2xx− 471
− − Bài Giải bất PT:
9 4
2 x
x+ + ≥
A DẤU TAM THỨC BẬC HAI
I Tóm tắc lý thuyết:
1 Định lý thuận dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức : f(x) = ax2 + bx + c ; a ≠ 0
- Neáu ∆ < : a.f(x) > ; ∀x ∈ R
- Nếu ∆ = : a.f(x) ≥ ; ∀x ∈ R , ( )
2 b
f x x
a
= ⇔ = −
(20)- Neáu ∆ > : f(x) = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2)
• a.f(x) < ; ∀x ∈ (x1 ; x2) • a.f(x) > ; ∀x ∈ (-∞ ; x1)∪( x2 ; +∞)
2 Định lý đảo dấu tam thức bậc hai:
Ch tam thức f(x) = ax2 + bx + c , có số α cho a.f(α) < f(x) có hai nghiệm x 1, x2
vaø x1 < α < x2
Vấn đề 1: XÉT DẤU BIỂU THỨC - GIẢI BẤT PT ĐƠN GIẢN 1 Xét dấu biểu thức E:
- Đưa E dạng tích , thương nhân tử bậc hai , bậc khơng phải bậc hai , bậc có dấu hiển nhiên
- Lập bảng xét dấu 2 Giải bất phương trình: - Chuyển vế để vế
- Đưa vế cịn lại tích thương , … - Xét dấu biểu thức kết luận
Bài 1: Xét dấu tam thức: a f(x) = 2x2 - x + ; b g(x) = -x2 + 2x – ; h(x) = 2x2 - 7x +
Bài 2: Giải baát PT: a x2 - 7x + 10 < ; b (-x2 + 3x – 2)(x2 – 5x + 6) ≥ 0
2
2
3
;
1
x x x x
c d
x x x
+ + < − + >
− − +
Bài 3: Giải bất PT: ;
3 2
x x
a x b
x x x x
− + < − + <
− − − −
A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. 1 Cơng thức cộng:
Dạng tốn1: Tính giá trị biểu thức. Bài1: Tính giá trị biểu thức.
a) A cot 2250 0cot 79 cot 710 0
cot 259 cot 251
− =
+
b) B tan 20 tan 80= 0 + tan 80 tan1400 + tan140 tan 200 c) C sin 20= + sin 1002 + sin 1402
Đá Đ/ số : a) b) -3 c)
2
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
tan a tan b
tan(a b) (a, b,a b k )
1 tan a.tan b
π π −
− = − ≠ +
+
tan a tan b
tan(a b) (a, b,a b k )
1 tan a.tan b
π π +
+ = + ≠ +
(21)Bài2: Tính giá trị biểu thức.
a) A tan1500
1 tan15 −
= +
b) B tan10 tan 70= 0 + tan 70 tan1300 0+ tan130 tan1900
c) C cos 102 cos 1102 cos 1302
= + +
Dạng toán2: Chứng minh đẳng thức lượng giác. Bài3: Chứng minh.
1) cos(x + y).cos(x – y) = cos2y – sin2x 2) sinx - 3 cosx = 2sin(x -
3 π
)
3) sinx ± cosx = sin(x ±
4
π
) 4) tanx.tan3x = tan 2x tan x2 2
1 tan 2x.tan x −
− 5) tanx – tany = sin(x y)
cos(x y) cos(x y) −
+ + −
Bài4: A, B, C ba góc tam giác Chứng minh: 1) tan A tan B tan C tan A.tan B.tan C(A, B,C+ + = ≠ π2)
2) tan tanA2 B2 + tan B2 tan C2 + tan C2 tan A2 = (A B C2 2, , ≠ π2)
3) cot cot B cot BA + cotC+ cot C cot A = 4) sin2 A sin2 B sin2 C 1 2sin sin sinA B C
2 + + = − 2
2) I/ GÓC - CUNG LƯỢNG GIÁC
1) Đổi đơn vị radian góc (cung) có số đo:
a/ 15o b/ 12o30’ c/ -200o
2)Đổi đơn vị độ ( phút, giây) góc (cung) có số đo: a / b / c /
6
p p - p
3)Tìm điểm cung sau:
a / AM¼ k b / AN» k c / AP» k2
3 3
p p p p
p
= = + = - +
II/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1)Cho sinx =
3 Tính Cosx, Tanx, Cotx biết π < < x
2)Cho 5cosa + = (180 < a < 270o o)
Tính sina , tana, cota
3)Cho tan15o= -2 3 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o 4)Tính A tan x cot x
tan x cot x + =
- biết
1 sinx =
3 5)Tính B 2sin x 3cos x
3sin x 2cos x + =
- biết tanx = -2 6)Tính
2
2
sin x 3sin x cos x 2cos x
C
1 4sin x
+
-=
+ biết cotx = -3
(22)( ) ( )
2
2
2cos x 1 sinx tanx cosx.tanx
A ; C sin x cot x cos x tanx ; B sin x.cotx; D cot x.cosx
sinx cosx tan x sin x
- +
= = + + + = - =
-+
Bài 1: Chứng minh:
a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x4 2 6 2 (s
ử dụng công thức)
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx2 2 2
9) Chứng minh:
2
2 2
2 2
1-2cos x 1+sin x cosx
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
d/ + = ; e/ = ; f/ =
1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx
g/
( )( )
2
2 2
2
2 2
1-cosx 4cotx sin x cos x
- = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx tan x.tan y sin x.sin y
Dạng toán3: Chứng minh hệ thức lượng giác cho biết điều kiện.
Bài 6: Cho biết sinb = sina.cos(a + b) Chứng minh rằng: 2tana = tan(a + b) (a, a + b k
π π
≠ + )
Bài 7: Cho biết cos(a + b) = 2cos(a - b) Chứng minh rằng:tana.tanb = -13 (a, b k
π π
≠ + )
Bài 8: Cho biết 3sinb = sin(2a + b) Chứng minh rằng: tan(a + b) = 2tana (a, a + b k
π π
≠ + )
Bài 9: Cho biết cos(a + 2b) = kcosa Chứng minh : tan(a + b).tanb = 1 k1 k−
+ (a, a + b
π π
≠ + l )
2 Công thức nhân đôi: 3 Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a cos3a = 4cos3a – 3cos tan3a =
3
3tan a tan a 3tan a
−
− (a, 3a
π π
≠ + l )
4 Cơng thức lượng giác góc a tính theo tan a
2 :
Đặt tan , a , k 2
π π
= a ≠ + ∈ ¢
t k .
(23)5 Công thức chia đôi:
Dạng tốn4: Tính giá trị biểu thức. Bài 10: Tính sin22030’; tan22030’
Bài 11: Cho sinα = 4
5, với
π α π
< <
Tính giá trị hàm số lượng giác góc 2α
Bài 12: Cho sin2α =
5
− với 2< < 32
π α π
Tính giá trị hàm số lượng giác góc α .
Bài 13: Cho sinα - cosα =1
5 Tính sin2α Bài 14: Cho sina =13, sinb=12 Tính sin2(a + b) Bài 15: Tính sin180, cos180.
Bài 16: a) Tính A sin , bieát tanx
2 3cos 2
= =
−
x
x b) Tính
tan sin x
A , bieát tan
tan cos 15
− = = + x x x x
Baøi 17: a) Tính tanx biết sin cos =
1
+
x x b) Tính x tan
2
1 - 2sin
2 bieát
1 sin+ =
a
m a
Bài 18: Tính A tan 15= + tan 752 .
Dạng toán 5: Chứng minh đẳng thức lượng giác. Bài 19: Chứng minh rằng:
1) cos3x.sinx – sin3x.cosx = 13sin4x 2) cos sin tan
cos sin cos2
−
= −
+
x x
x
x x x
2) cos2 2sin tan2 .
cos2 2sin
−
+ + =
x x x
x x 4) tana = cota− cot 2a
5) cos cos2 cos cos8 sin16 16 sin
= a
a a a a
a
Bài 20: Chứng minh rằng:
1) cos cot
1 sin− = 2−
x x x π
2) tan tan tan tan
3 − + =
a π a π a a
Baøi 21: Tính:
1) A cos20 cos 40 cos800 0
= 2) A cos cos4 cos5
7 7
= π π π
3) A cos2 cos4 cos8 cos16 cos32
31 31 31 31 31
= π π π π π
Bài 22: Cho a, b góc nhọn dương thỏa mãn đẳng thức.
2 cos2
sin
2
−
= a
a
2 cos2
cos
2
a a= +
2 cos2
tan cos2 a a a − =
+ , (a
π π
(24)3sin2a + 2sin2b = 1; 3sin2a – 2sin2b = Chứng minh a + 2b = 900
Bài 23: Chứng minh rằng: 1) sin3acos3a – sin3acos3a =3
4 sin4a 2) cos3x = 4cos.cos 3− x
π
.cos 3+ x
π
Bài 24: Chứng minh tan2x= − ab biểu thức
asinx + bcosx không phụ thuộc vào a 6 Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cos cos cos cos
2
sin sin cos cos
2
sin cos sin sin
2 α β = α + β + α − β α β = − α + β − α − β α β = α + β + α − β
Bài 25: Tính a) sin750sin150.
b) cos100cos300cos500cos700
Bài 26: Biến đổi tích hàm số lượng giác sau thành tổng: a) 2sinasin2asin3a
b) 8cos(a - b)cos(b - c)cos(c - a) Bài 27: Chứng minh rằng:
a) sin100 sin500sin700 = 1
8 b) cos100 cos 500 cos 700 =
3 c) tan100 tan 500 tan 700 =
3
7 Công thức biến đổi tổng thành tích:
( )
cos cos cos cos
2
cos cos sin sin
2
sin sin sin cos
2
sin sin cos sin
2
sin tg tg
cos cos
α + β α − β α + β = α + β α − β α − β = α + β α − β α + β = α + β α − β α − β = α ± β α ± β = α β
Bài 28: Chứng minh rằng: a) sinx + cosx = 2sin x+ 4π
= 2cos x
π −
b) sinx - cosx = - 2cos x
π +
= 2sin x
π −
Bài 29: Chứng minh rằng:
a) cos x sin x tan(450 x)
cos x sin x −
= ±
+ b)
2
1 sin 2x
tan (45 x)
1 sin 2x −
= ±
(25)Bài 30: Chứng minh rằng:
a) tan90 – tan270 – tan630 + tan810 = 4.
b) sina + sinb + sinc – sin(a+b+c) = 4sina b+2 sinb c2+ sinc a+2 c) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) = 4cosa b+2 cosb c2+ cosc a+2 Bài 31: A, B, C ba góc tam giác Chứng minh rằng: 1) sinA + sinB + sinC = 4cosA2cosB2cosC2
2) cos 2A + cos 2B + cos 2C = – 4cosA.cosB.cosC
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC 10 ( Cơ Bản )
I TÓM TẮT GIÁO KHOA 1 Phép cộng hai vectơ
Cho hai vectơ ar br Lấy điểm O tùy ý, vẽ OAuuur = ar, a.a r r = br Khi vectơ OBuuur gọi tổng hai vectơ arvà br Phép tốn tìm tổng hai vectơ gọi phép cộng hai vectơ. Nếu tổng hai vectơ ar br vectơ – khơng ar vectơ đối của br br vectơ đối của ar Vectơ đối ar kí hiệu -ar Vectơ đối vectơ 0r vectơ 0r
2 Hiệu hai vectơ
Cho hai vectơ ar br Ta gọi hiệu hai vectơ ar br vectơ ar+ (-br) kí hiệu ar- br Phép tốn tìm hiệu hai vectơ cịn gọi phép trừ hai vectơ ar br
3 Các quy tắc thường sử dụng thực phép toán vectơ
a) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD hình bình hành uuurAB + uuurAD = uuurAC b) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta có:
• uuurAB = uuurAC+ CBuuur (phân tích vectơ thành tổng hai vectơ)
• uuurAB = CBuuur - CAuuur ( biểu thị vectơ thành hiệu hai vectơ có chung điểm đầu)
4 Định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ
Cho hai vectơ ar br khác vectơ 0r Tích vơ hướng hai vectơ ar br số, kí hiệu ar
.br xác định công thức ar.br= a br r cos(ar,br) • Nếu ar= 0r br = 0r ta quy ước ar.br = • Nếu ar ≠ 0r, br ≠ 0r ta có ar.br = ⇔ ar ⊥ br
• Khi ar= br ta có ar.ar = ar2 bình phương vơ hứong vectơ ar Khi ta có ar2 = ar 2.
5 Các ứng dụng tích vơ hướng • Tính độ dài vectơ: ar = a ar r. • Tính góc hai vectơ: cos(ar,br) =
a b a b
r r r r
(26)• I(xI ; y )I trung điểm đoạn thẳng AB
A B I
x x
x = + ;
2 A B I
y y
y = +
• G(xG ; y ) G trọng tâm tam giác ABC
A B C G
x x x
x = + + ;
3 A B C G
y y y
y = + +
7 Khoảng cách hai điểm A x y( ;A A)và B x y( ;B B)
2
( B A) ( B A)
AB= uuurAB = x −x + y − y
8 Góc hai vectơ khác vectơ 0r Với hai vectơ ar= ( ; )x y aur' = ( ; )x y' '
cos
' ' '
'
2 '2 '2 '
( , )
a a xx yy
a a
x y x y
a a
+
= =
+ +
ur r ur r
ur
r
' '
0
a b⊥ ⇔ xx + yy =
r r
Bài tập
Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Chứng minh EFuur uuur= CD
Bài tập
Cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D Chứng rằng: uuur uuur uuur uuurAC BD AD BC+ = + Bài tập
Cho ba điểm A, B, M thỏa mãn hệ thức MA kMBuuur= uuur (k≠ 1) Chứng minh với điểm 0 ta ln có hệ thức:
1
OA kOB OM
k
− =
− uuur uuur uuuur
Bài tập
Cho tam giác OBA Gọi M, N lần luợt trung điểm hai cạnh OA và OB Hãy tìm số m và n
thích hợp đẳng thức sau đây:
a) OMuuuur= mOA nOBuuur+ uuur b) MNuuuur= mOA nOBuuur+ uuur Bài tập
Tam giác ABC vuông C có AC = 18, CB = 10 Tính uuur uuurAB AC uuur uuurBC BA
Bài tập
Tam giác ABC có cạnh a và có trọng tâm G Tính tích vơ hướng sau: a) uuur uuurAC CB b) uuur uuurAG AB c) BG GAuuur uuur
Bài tập
Cho hình bình hành ABCD có A(-1; 3), B(2; 4), C(0; 1)
(27)Bài tập
Cho hình thoi ABCD có cạnh a có góc nhọn A
60 a) Tính độ dài vectơ uuur uuurAB AD+ BA BCuuur uuur+ b) Tính tích vơ hướng uuur uuurAB AD , uuur uuurAB AC , uuur uuurAD CA
Bài tập
Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm A(-3; 4), B(1; 1), C(9; -5) a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C thẳng hàng
b) Tìm tọa độ điểm D cho A trung điểm BD c) Tìm điểm A’ đối xứng với A qua gốc tọa độ O HỌC KÌ II
I TĨM TẮT KIẾN THỨC Định lí cơsin
2 2
a = b + c - 2bccosA
2 2
b = a + c - 2accosB
2 2
c = a + b - 2abcosC Định lí sin
2 sin sin sin
a b c
R
A= B = C =
Với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Độ dài đường trung tuyến tam giác
2 2 2 2
2 2 2 2
2( )
2 4
2( )
2 4
a
b
b c a b c a
m
a c b a c b
m
+ + −
= − =
+ + −
= − =
2 2 2
2 2( )
2 4
c
a b c a b c
m = + − = + −
4 Các cơng thức tính diện tích tam giác
• 1
2 a b c
S= ah = bh = ch
• sin sin sin
2 2
S= ab C= ac B= bc A
•
4
abc S
R
= với R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
II BÀI TẬP Bài tập
Tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm a) Tính uuur uuurAB AC suy giá trị góc A
b) Tính CA CBuuur uuur tính giá trị góc C Bài tập
(28)b) Tính chiều cao ha độ dài đường trung tuyến ma PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M x y0( ; )0 có vectơ phương
( ; )
ur= u u là:
0 2 2
( 0)
x x tu
u u
y y tu
= +
+ ≠
= +
2 Phương trình tổng quát đường thẳng∆ qua điểmM x y0( ; )0 có vectơ pháp tuyến
( ; )
nr= a b là:
2
0
( ) ( ) ( 0)
a x x− + b y y− = a + b ≠
Nếu đường thẳng ∆ có phương trình tổng qt ax+by+c=0 (a2+ b2 ≠ 0) thì∆ có vectơ pháp
tuyến nr= ( ; )a b có vectơ phương ur= −( ; )b a
3 Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M x y0( ; )0 có hệ số góc k là: ( 0)
y y− = k x x−
Nếu đường thẳng ∆ có vectơ phương u= ( ; )u u1
r
với u1 ≠ hệ số góc ∆
1
tan u
k
u
α
= =
Ngược lại ∆ có hệ số góc k ∆ có vectơ phương ur= (1; ).k Góc ∆1và ∆2 xác định theo công thức
1 2
2 2 1 2
os( , ) a a b b
c
a b a b
+ ∆ ∆ =
+ +
Vị trí tương đối hai đường thẳng ∆1và ∆2 phụ thuộc vào số nghiệm hệ phương trình 1
2 2
0 ( )
0
a x b y c I
a x b y c
+ + =
+ + =
1
∆ cắt ∆ ⇔2 hệ (I) có nghiệm
∆ P ∆ ⇔2 hệ (I) vô nghiệm
∆ ≡ ∆ ⇔2 hệ (I) có vơ số nghiệm
5 Khoảng cách từ điểm M x y0( ; )0 đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = tính theo cơng thức 0
0 2 2
ax
( ; ) by c
d M
a b
+ +
∆ =
+ Phương trình đường trịn (C) có tâm I(a;b) bán kính R là:
2 2
(x a− ) + (y b− ) = R hay 2
2ax - 2by+c =
x + y − với c a= 2+ b2− R2
Ngược lại, a2+ b2− >c 0 2
2ax -aby + c =
(29)7 Phương trình tiếp tuyến với đường trịn (x a− )2+ (y b− )2 = R2 điểm
0( ; )0
M x y
0 0
(x − a x x)( − ) (+ y − b y y)( − ) 0=
7 Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ biết rằng: a) ∆ qua điểm A(2;3) có vectơ phương ur= (7;2) b) ∆ qua điểm B(4;5) có vectơ pháp tuyến nr = (3;8) c) ∆ qua điểm C(9;5) có hệ số góc k = -2
8.Cho đường thẳng d có phương trình tham số 1
x
y t
= = + Viết phương trình tham số đường thẳng a) Đi qua M(8;2) song song với d b) Đi qua điểm N(1;-3) vng góc với d
9 Viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ biết rằng: a) ∆ qua điểm A(1;2) có vectơ pháp tuyến nr= (4;1)
b) ∆ qua điểm B(1;0) có vectơ phương ur = −( 2;5) c) ∆ qua điểm C(2;1) có hệ số góc k =
10 Cho tam giác ABC với A(2;1), B(4;3) có C(6;7) Hãy viết phương trình tổng quát đường cao AH
11 Viết phương trình đường trịn (C) trường hợp sau a) (C) có tâm I(3;-1) qua điểm M(2;1)
b) (C) có đường kính AB với A(1;0), B(7;6)