Từ điểm I thuộc miền trong của tam giác vẽ các đoạn thẳng IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC, CA và AB... Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.[r]
(1)PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI CHỌNHỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Trường THCS Mỹ Hiệp MƠN : TỐN -Năm học: 2011-2021 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
- -Câu 1: (1,0 điểm)
1
4
Câu 2
:
(2,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình :
xy – 2y – = 3x – x
2Câu 3: (1,5 điểm) Cho số a> 0; b>0 a+b = Chứng minh 2
1
6
ab a b
Câu 4: ( 1,5 điểm) Cho số x; y thỏa mãn x2 +2xy+8(x+y) +2y2 +12=0 Tìm GTNN GTLN s = x+y+1
Bài 5 (2,0 điểm); Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng l cắt AB E, AD F cắt đường chéo AC G Chứng minh rằng:
AB AD AC AE AF AG
Bài 6 (2.0điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Từ điểm I thuộc miền tam giác vẽ đoạn thẳng IH, IK, IL vng góc với BC, CA AB Tìm vị trí I cho :
(2)Đáp án biểu điểm
Câu Đáp án Điểm
1
(1,0đ) Caâu 1: Ta có : (3 ; 11) = nên 310
(mod 11) Tìm dư phép chia 2 1n vaø 1n
cho 10 Ta coù : 2 1n = 16n (mod 10)
2
1n = 10 k +Tương tự :
3
1n = 81n (mod 10)
3
1n = 10 h + (k , h N)Do : 32 1n
+
2
3 1n + = 310 2k + 210 3h + + + 22 (mod 11)
4
2
3 n + n + 11 n N
Vậy :
(0,25đ)
(0,25đ) (0,25đ)
(0,25ñ)
( 2.0đ) xy – 2y – = 3x – xCaâu 2: 2 (1)
x2 + (y – 3)x – 2y – = = y2 + 2y + 21 = (y + 1)2 + 20 >
Để (1) có nghiệm ngun phải số phương
(y + 1)2 + 20 = k2 (k – y – 1)(k + y + 1) = 20
Ta coù : k – y – + k + y + = 2k số chẵn
Suy : k + y + k – y – phải chẵn lẻ Do : (k – y – 1)(k + y + 1) = 20 = .10 = (-2)(-10)
1 10
k y k
k y y
1 10
1
k y k
k y y
(0,5ñ)
1
1 10
k y k
k y y
1 10
1
k y k
k y y
Với y = -5 x =
1; 7
Với y = x =
3;3
Vaäy pt (1) có nghiệm nguyên : (-5 ; 1) ; (-5;7); (3;-3) ; (3;3) (0,25ñ)
(0,25ñ) (0,25ñ) (0,25ñ) (0,25ñ)
(0,5ñ)
(3)3
(1,5đ) Áp dụng bất đẳng thức phụ 4ab
(a+b)2 4ab a+b =
ab
1
ab
Áp dụng bất đẳng thức
1
x yx y với x;y >
2 2
2 2
2
2
1 1 1
2
1 1
2
2 ( )
1 1
2
2
1
â
ab a b ab ab a b
ab ab a b a b
ab ab a b
v y
ab a b
Dấu = xảy a= b =2
0.25 đ
0.25 đ 0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ 0.25 đ
4
(1,5 đ) Ta có : x
2 +2xy+8(x+y) +2y2 +12=0
(x2 +2xy+y2 )+ 8(x+y) +12= - y2 0 (x+y)2 +2(x+y).+42 4
(x+y+4)2 4 |x+y+4| 2 -2x+y+42
-5x+y+1 x+y+1 -1 Vậy GTNN S -5 x = -6; y= Vậy GTLN S -1 x = -2 ; y =
.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ
5 (2,0 đ)
G
N M F
E
l
D C
B A
O
(4)Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Kẻ BM// EF DN// EF với M,N AC
Xét ABM, có EG// BM nên:
AB AM AE AG (1) Xét ADN, có FG// DN nên:
AD AN
AF AG (2) Lấy (1) cộng (2) theo vế ta được:
AB AD AM AN
AE AF AG
(3)
Mặt khác, ABMCDN (g.c.g) nên: AM = NC (4) Thay (4) vào (3) ta được:
AB AD NC AN AC
AE AF AG AG
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
6 (2,0 đ)
Xét tam giác vng ALI AKI, ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
AL LI AI AK KI
BH IH BI BL LI
CK KI CI CH IH
AL BH CK AK CH BL
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2(AL BH CK ) (AL LB ) (BH HC ) (CK KA ) (AL LB ) (BH HC ) (CK KA )
2 2
1
= (AB BC CA )
1
AL BH CK (AB BC CA )
4
Dấu ” =’’ xảy ABC I tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ