Chuyen De Tiep Tuyen cua DTHS

A. +) Ti ếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau.[r]

1 Tiếp tuyến tiếp xúc

Mục lục

Loại Tiếp tuyến điểm tiếp tuyến qua điểm 2

A Tóm tắt lý thuyết

B Một số ví dụ

C Bài tập 10

D Hướng dẫn đáp số 11

Loại Một số tính chất hình học tiếp tuyến 12

A Tóm tắt lý thuyết 12

B Một số ví dụ 12

C Bài tập 20

D Hướng dẫn đáp số 21

Loại Điều kiện tiếp xúc 22

A Tóm tắt lý thuyết 22

B Một số ví dụ 23

C Bài tập 27

2 Loại 1. Tiếp tuyến điểm và tiếp tuyến qua điểm

A. Tóm tắt lý thuyết

Cho yf x   C

* Tiếp tuyến điểm (Hình 1):

Tiếp tuyến với  C M x ;f x 0  0  đường thẳng qua

M có hệ số góc f ' x 0 Như vậy, PTTT với  C M

là:

: yf ' x 0 xx0f x 0

Chú ý: Khi nói đến tiếp tuyến  C M, ta phải hiểu

rằng M C M nơi xảy tiếp xúc

Δ

O y

x M x 0;f x 0 

C ( )

Hình 1 * Tiếp tuyến qua điểm:

Tiếp tuyến qua M  C tiếp tuyến với  C điểm N Ta có ba trường hợp sau:

+) Trường hợp (Hình 2): M C

+) Trường hợp (Hình 3): M C , M khơng phải tiếp điểm

+) Trường hợp 3(Hình 4): M C , M tiếp điểm Trong trường hợp này, tiếp tuyến qua M tiếp tuyến M

N M

(C)

Hình 2

M

N

(C)

Hình

M≡N (C)

3

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1.Cho   x2 x 1 2 3x 1

f x  



  C Viết PTTT  C điểm M có hồnh độ 1

Giải

Ta có   1 4

f 1  ,  

 

2 3x 4x 1

2 2

3x 1

f ' x  



    1

8

f ' 1    PTTT với  C M là:

 

1 1

8 4

: y x 1

      1 3

8 8

: y x

   

Ví dụ 2.Cho f x x34x25x2  C Viết phương trình tiếp tuyến  C

những giao điểm  C với trục hoành

Giải

 

M C Ox   

 

3 2

y x 4x 5x 2 1

M :

y 0 2

    

 

  

Thay  2 vào  1 ta x34x25x20  x2 x 1 2 0  x 2

x 1

      

Vậy  C có hai giao điểm với trục hồnh M12;0 M21;0 Ta có f ' x 3x28x5

+) f ' 2 1  PTTT với  C M1 1: y1 x 20  1: yx2 +) f ' 1 0  PTTT với  C M2 2 : y0 x 1  0  2: y0 Vậy phương trình tiếp tuyến  C giao điểm  C với trục hoành

1: y x 2

   , 2: y0

Ví dụ 3.Cho   2 3 2

3

f x  x x 2x2  C Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc

2  C

4 PTTT  C điểm có hồnh độ x0

 0 0  0

: y f ' x x x f x

   

 có hệ số góc 2 chỉ

 0

f ' x 2  2x022x022  x20x0 2 0  0 0

x 1

x 2

   





+) x0  1   0 7 3

f x     7

3

: y 2 x 1

     13

3

: y 2x

   +) x0 2   0 2

3

f x      2

3

: y 2 x 2

     14

3

: y 2x

   Vậy phương trình tiếp tuyến có hệ số góc 2  C là:

13 3

: y 2x

   14

3

: y 2x

  

Ví dụ 4.Cho f x x33x212x5  C Viết PTTT có hệ số góc nhỏ  C

Giải

Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0  C là:

  2  2

0 0 0 0

kf ' x 3x 6x 123 x 1 15

Ta thấy k 15, dấu “” xảy  x0 1 Do k nhỏ 15, đạt  0

x 1

 

f 1  9  tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ  C là:

 

: y 15 x 1 9

      : y 15x6

Ví dụ 5.[ĐHB08] Cho f x 4x36x21  C Viết phương trình tiếp tuyếnđiqua điểm

 

M  1; 9  C

Giải

PTTT  C tạiđiểm có hoành độ x0 là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

5  8x306x2012x0100

 4x05x012 0 

5 0 4 0 x x 1       

+) 0 5

4

x    

  15

0 4

9

0 16

f ' x f x        

 15 5 9

4 6

4 1

: y x

     15 21

4 4

: y x

  

+) x0  1     

0

0

f ' x 24

f x 9

       

 : y24 x 1  9  : y24x 15

Vậy phương trình tiếp tuyếnđiqua điểm M  C 15 21

4 4

: y x

   , : y24x 15

Ví dụ 6.Cho   1 x x 1

f x 



  C Chứng minh qua điểm I 1; 1 không tồn tiếp tuyến

 C

Giải

PTTT  C tạiđiểm có hồnh độ x0 là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

    

   

1 x0 2

0

2 x0 1

x0 1

: y  x x 

 

   

d qua I 1; 1 

   

1 x0 2

0

2 x0 1

x0 1

1  1 x 

 

    

 2 1 x0

x0 1 x0 1

1 

 

  

 3 x0 x0 1

1 

  

  0  0

0

x 1 3 x

x 1 0

         

6 Vậy không tồn x0 để  qua I Nói cách khác qua I khơng tồn tiếp tuyến  C

Ví dụ 7.Cho f x 4x23mx6  C Tìm m để  C có tiếp tuyến qua A 1; 2  

Giải

PTTT với  C điểm có hoành độ x0 là:

: yf ' x 0 xx0f x 0

 : y8x03mxx04x023mx06

 C có tiếp tuyến qua A 1; 2    x0:  qua A  phương trình:

   2

0 0 0 0

2 8x 3m 1 x 4x 3mx 6

        *

có nghiệm x0

Ta có:  *  4x208x03m 8 0 ( ' 12m48)

Do  * có nghiệm   ' 0  12m480  m 4 Vậy  C có tiếp tuyến qua A 1; 2    m 4

Ví dụ 8.Cho   2x 1 x 2

f x 



  C Tìm đường thẳng x3 điểm mà qua có tiếp tuyến

của  C

Giải

PTTT với  C điểm có hồnh độ x0 (x0 2) là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

    

   

2x 1

5 0

0

2 x0 2

x0 2

: y  x x 

 

   

7  tồn x0 cho  qua A

 phương trình

   

2x 1

5 0

0

2 x0 2

x0 2

a  3 x 

 

    1 có nghiệm x0

Ta thấy  1          

2

0 0 0 0 0

0

a x 2 5 3 x 2x 1 x 2 x 2 0

x 2 0

          

 

  



 a x 022  5 3 x0  2x0 1x02

 a2 x 202 2a x   04a 17 0  2

* a20  a2 Khi  2 trở thành 10x0 210  0 21 10

x  Do trường

hợp  2 có nghiệm   1 có nghiệm

* a20  a2 Khi  2 phương trình bậc hai có   ' 5a35 Do đó, trường hợp  1 có nghiệm   2 có nghiệm   ' 0  5a350  a7 Vậy tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu toán A 3;a a  7

Ví dụ 9.[ĐHD02] Cho    

2 2m x m

x 1

f x  



  C d : yx Tìm m để  C tiếp xúc với d

Giải

PTTT với  C điểm có hồnh độ x0 (x0 1) là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

   

    

2

2 2m x m

0 m 1

0

x0 1 x0 1

: y  x x  

 

 

    

 

  

2

2 2 2m x m

0

m 1 m 1

0

x0 1 x0 1 x0 1

: y  x  x  

  

   

     

   

8  hệ

 

2 m 1 x0 1

2

2 2m x m

0 m 1

0

x0 1 x0 1

1 x 0                          

 * có nghiệm x0

Ta có  * 

 

 

 

2 m 1 x0 1

2 2m x0 m

0 x 1

0

1 1

x 0 2

                  

 1 

0 0 0

x 1

x 1 m 1

x 1 1 m

                0 0 0 x 1 x m

x 2 m

           

+) m1  m2 m 1   1 vô nghiệm   * vô nghiệm

+) m1:  1  0 0

x m

x 2 m

      0

x m       

2 2m m m

m 1

VT 2 m   0 VP 2



    

 x0 m nghiệm  *   * có nghiệm

Vậy  C tiếp xúc với d  m1

Ví dụ 10.Cho f x x48x27  C Tìm m để đường thẳng d : y60x m tiếp xúc với

 C Với m tìm được, hoành độ tiếp điểm d  C

Giải

PTTT với  C điểm có hồnh độ x0 là:

 0 0  0

: y f ' x x x f x

9  : yf ' x 0 xx0f x 0

 : yf ' x 0 xx f ' x0  0 f x 0

 C tiếp xúc với d  x0:  d

 hệ  

   

0

0 0 0

f ' x 60

x f ' x f x m

 

 

  

 

 * có nghiệm x0

Ta có  *     

   

0

0 0

f ' x 60 1

m 60x f x 2

 

 

   



 1  4x3016x060  x0 3 Thay x0 3 vào  2 ta có: m 164

10

C. Bài tập

Bài 1. Viết PTTT  C biết

1)  C ĐTHS f x x42x23 hoành độ tiếp điểm 2 2)  C ĐTHS   x2 3x 4

x 1

f x  



 tiếp điểm giao điểm  C với trục tung

3)  C ĐTHS f x 2x33x25 tiếp tuyếnđi qua 19 

12

A ;4

Bài 2. Viết PTTT  C biết

1)  C ĐTHS f x x33x25x 1 , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

2)  C ĐTHS   1 3 2

3

f x   x x 5x2, tiếp tuyến có hệ số góc lớn

3)  C ĐTHS f x x55x4, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ

4)  C ĐTHS f x  x510x2, tiếp tuyến có hệ số góc lớn

Bài 3. Cho y 1x3 mx2 x m 1  C 3

     Tìm m để hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc

nhỏ đồ thị 10 Viết phương trình tiếp tuyến

Bài 4. Cho f x 2x33x212x 1  C Tìm điểm thuộc  C mà tiếp tuyến qua gốc tọa độ

Bài 5. Cho   x x 1

f x



  C Chứng minh qua I 1;1   C , không tồn tiếp tuyến

nào  C

Bài 6. Tìm m cho ĐTHS   x m

x m

f x 

 

11

D. Hướng dẫn đáp số

Bài 1. 1) y24x 43 2) y7x 4 3) y12x 15 , 21 645 32 128

y  x , y4

Bài 2. 1) y2x2 2) 7 3

y6x

3) f ' x 0 5x4020x035x03x04 f ' x 0 min   4 x00 Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương x0, x0, x0, 3x012 ta có:

            

4 x0 x0 x0 3x0 12

0 0 0 0 4

x x x 3x 12          81

      

 

 f ' x 0  135 Dấu “” xảy  x0  3

 PTTT hệ số góc nhỏ  C là: d : y 135x243 4) Tương tự câu 3): PTTT có hệ số góc lớn  C là: d : y15x 6

Bài Ta có y 'x22mx 1 x m 2m2  1 m21 Dấu “” xảy  xm Vậy

tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị tiếp tuyến điểm có hồnh độ m hệ số

góc tiếp tuyến m21 Ta có m2  1 10  m 3 Với m3, tiếp tuyến

cần tìm d : y1  10x 11 , Với m 3, tiếp tuyến cần tìm d : y2  10x 13

Bài 4. Trên  C có điểm mà tiếp tuyến qua gốc tọa độ M1;12

Bài 6.ĐTHS có tiếp tuyến qua A 0; 2    2

12 Loại 2. Một số tính chất hình học tiếp tuyến

A. Tóm tắt lý thuyết

Phần sử dụng số kiến thức sau:

* Vị trí tương đối góc hai đường thẳng có phương trình dạng hệ số góc:

Cho 1: yk x1 m1 2: yk x2 m2 Ta có:

+)   1 2  1 2

1 2

k k

m m

  

 

+) 12  1 2

1 2

k k

m m

  

 

+ )   1 2  k k1 2  1

+) 1 tạo với 2 góc  ( 0 ;90 )  k1 k2

1 k k1 2 tan



   Đặc biệt k2 0 (d2 vng góc với trục tung) thì: 1 tạo với 2 góc  ( 0 ;90 )  k1 tan

* Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: cho điểm M x ;y 0 0 đường thẳng

: ax by c 0

    (a2 b2 0) Ta có cơng thức tính khoảng cách từ M đến :

  ax0 by0 c

2 2

a b

d M;  



 

* Giao điểm hai đường thẳng: Tọa độ giao điểm hai đường thẳng nghiệm hệ

gồm phương trình đường thẳng

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1.[ĐHD10] f x  x4 x26  C Viết PTTT vng góc với đường thẳng

1 6

d : y x 1  C

Giải

13

d

   1  0 6.f ' x  1  f ' x 0  6  4x302x0 6  2x30x030

 x012x022x03 

 

0 2

0 0

x 1 0

2x 2x 3 0    ' 5 0  

 

  

 vô nghiệm

 x0 1 0

x 1  f x 0 4  : y 6 x 1  4  : y 6x 10 Vậy tiếp tuyến vng góc với d  C : y 6x 10

Ví dụ 2.[ĐHD05] Cho   1 3 m 2 1

3 2 3

f x  x  x  Cm Gọi M điểm thuộc Cm có hồnh

độ 1 Tìm m để tiếp tuyến M Cm song song với đường thẳng d : 5x y 0

Giải

 tiếp tuyến M Cm  : yf '  1 x 1 f 1 

    m

2

: y m 1 x 1

    

   m

2

: y m x 1

    

Ta có d : y5x Do d  m 2

m 1 5

1 0

  

 

  



 m4

14

Ví dụ 3.Cho f x 2x3 4x2x  C Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp

tuyến tạo với Ox góc 45

Giải

Hệ số góc tiếp tuyến  điểm có hồnh độ x0  C là: k f ' x 0 6x208x01

,Ox45  k tan 45  k 1

k 1

  

  

* k 1  6x028x0 1 1  0 4

0 3

x 0

x

  

  +)x0 0  f x 0 0  : yx

+) 0 4

3

x    0 28

27

f x     4 28

3 27

: y 1 x

     64

27

: y x

  

* k  1  6x028x0  1 1  0 1

0 3

x 1

x

  

 

+)x0 1  f x 0  1  : y x 1 1  : y x

+) 0 1

3

x    0 1

27

f x     1 1

3 27

: y x

      8

27

: y x

   

Các tiếp tuyến tạo với Ox góc 45  C là: yx, 64 27

: y x

   , y x, 8 27

y  x

Ví dụ 4.Cho   4  1  2 24

f x mx  3m x 2 Cm Gọi A B điểm có hồnh độ 1 2 Cm Tìm m để tiếp tuyến Cm A B vuông góc với

15

Ta có   3  1 

12

f ' x 4mx  6m x  hệ số góc tiếp tuyến Cm A B

là:   1

12

f ' 1  10m   1

6

f ' 2 44m Do tiếp tuyến Cm A B

vuông góc với

   

f ' 1 f ' 2  1   1  1

12 6

10m 44m 1

    

 2 16 71

3 72

440m  m 0



1 24

71 1320

m m

      

Ví dụ 5.Cho   1 x 2x 1

f x 



  C Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cách  1 1

2 2

I  ; khoảng

bằng 3

10

Giải

PTTT  C điểm có hồnh độ x0 ( 0 1 2

x   ) là:

: yf ' x 0 xx0f x 0 

   

1 x

3 0

0

2 2x0 1

2x0 1

: y  x x 

 

   



   

1 x

3 0

0

2 2x0 1

2x0 1

: y  x x 

 

   

 : 3x2x012y2x024x0 1 0

  

 

   

2 2

3 2x 10 2x0 4x0 1 3 2x 1

2 2 0

4 4

9 2x0 1 9 2x0 1 d I;

      

   

  

Do đó:

  3

10

d A;  

 

3 2x0 1 3 4 10 9 2x0 1



 

16  2x014 10 2x 0 12 90

     2 0 2 0

2x 1 1

2x 1 9

         0 0 0 0 x 0 x 1 x 1 x 2            

+) x0 0   

  0

0

f ' x 3

f x 1

       

 : y 3x 1

+) x0  1     

0

0

f ' x 3

f x 2

        

 : y 3 x 1  2  : y 3x 5

+) x0 1   

  1

0 3

0

f ' x

f x 0

       

 1 

3

: y x 1

     1 1

3 3

: y x

   

+) x0  2     

1

0 3

0

f ' x

f x 1

        

 1 

3

: y x 2 1

      1 5

3 3

: y x

   

Vậy có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y 3x 1 , y 3x 5 , 1 1

3 3

y  x , 5

1

3 3

y  x

Ví dụ 6.Cho   3 2 1

x x

f x 



  C Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cách điểm

 

A 7;6 B3;10

Giải

17

 0 0  0

: y f ' x x x f x

    

   

3 2x

5 0

0

2 x0 1

x0 1

: y x x 

 

    

 : 5xx012y2x026x030  cách điểm A B khi:

   

d A, d B, 

 

 

 

 

2 2 2 2

35 x0 1 2x0 6x0 3 15 10 x0 1 2x0 6x0 3

4 4

25 x0 1 25 x0 1

           

   



 8x026x032  12x0214x08

 4x023x016  6x027x04



 

2 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

4x 3x 16 6x 7x 4

4x 3x 16 6x 7x 4

     



      



  vô nghiệm

2 0 0 2 0 0

x 2x 6 0 ' 5 0

x x 2 0

                0 0 x 1 x 2      

+) x0 1   

  5

0 4

1

0 2

f ' x f x        

 5 

4

1 2

: y x 1

      5 7

4 4

: y x

   

+) x0  2     

0

0

f ' x 5

f x 7

        

 : y 5 x 27  : y 5x 17

Vậy phương trình tiếp tuyến cách A B  C là: 5 7

4 4

y  x , y 5x 17

Ví dụ 7.Cho   2x 1 x 1

f x 



  C Tìm tọa độ điểm M C cho khoảng cách từ điểm

 

18

Giải

Giả sử x0 hoành độ M  tiếp tuyến M (C) có phương trình: : yf ' x 0 xx0f x 0



   

3

0 2

x0 1 0

3

: y x x 2

x 1



     



 3xx012y2x02x050

  

 

   

   

2 2

3 x0 1 2x 2x0 1

0 6 x0 1 6

4 4 9 2

9 x0 1 9 x0 1 x0 1

2 x0 1 d I,

    



     



   

Theo bất đẳng thức Cô-si:

   

2 9

0 2 x0 1

x 1 2 9 6



    , d I,   6 Đẳng thức xảy

khi

   

2 0 2 0

9

x 1

x 1

 



 x012 3  x0   1 3

Vậy khoảng cách d I,  lớn 6, đạt x0   1 3 

 

M  1 3 ;2 3 M 1 3 ;2 3

Ví dụ 8.[ĐHD07] Cho   2x  

x 1

f x C



 Tìm tọa độ điểm M thuộc  C biết tiếp tuyến

 C M cắt hai trục Ox, Oy A, B cho OAB có diện tích 1

4

Giải

Ta có  

 

2 2 x 1

f ' x 

 Xét điểm M C , M có hồnh độ x0 Ta có PTTT với  C M:

 0 0  0

: y f x x x f x

   

    

2x0 2

0

2 x0 1

x0 1

: y x x

 

   



   

2 2x

0 2x

2 2

x0 1 x0 1

: y

 

19

A  Ox      2 2x0 2x

2 2

x0 1 x0 1

A : y 0 y          

 Ax ;020 ,

B  Oy     

2 2x0 2x

2 2

x0 1 x0 1

A : x 0 y              2 2x0 2 x0 1

B 0;         

Ta có OAx20,

 

2 2x0

2 x0 1

OB      x OA.OB 0

ABC 2 2

x 1 4 0 S    1 OAB 4

S  

 

x

0 1

2 4

x0 1 4





 4x04 x012

   0 0 0 2 0 2

2x x 1

2x x 1

        

 vô nghiệm

0 0 0 0 2 2

2x x 1 0

2x x 1 0 7 0

              

 0 1

0 2 x 1 x         

 1 

2

M 1;1

M ; 2

 

  



20

C. Bài tập

Bài 1.Viết PTTT  C biết

1)[ĐHB06]  C ĐTHS x2 x 1

x 2

y  



 tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : yx 1 2)  C ĐTHS 1 2x

2x 1

y 



 tiếp tuyến song song với đường thẳng d : 4xy 1 0 3)  C ĐTHS 1 3 1 2

2 2

y x  x 2x 1 tiếp tuyến tạo vớiđường thẳng d : x 3y 1  0 góc

o 45

Bài 2.Tìm tất điểm đồ thị  C hàm số 1 3 2

3 3

y x  x mà tiếp tuyến

vng góc với đường thẳng 1 2

3 3

d : y  x

Bài 3.Cho 4 1  2 2

ymx  2m x 3 Cm Tìm m để tiếp tuyến Cm điểm có hồnh độ 1 3 tạo với góc có cơ-sin 3

13

Bài 4.Cho 1 3   2  

3

y mx  m x  3m x 1  Cm Tìm điều kiện m để Cm có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y x 2012

Bài 5.Cho 3 x x 4

y 



  C Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cách A 4; 1 khoảng

7 2 5

Bài 6.Cho   x 1 3x 4

f x 



  C Viết PTTT  C biết khoảng cách từ điểm  4 1

3 3

I  ; tới tiếp

tuyến đạt giá trị lớn

Bài 7.[ĐHA09] Cho   x 2  

2x 3

f x  C



 Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ

tại điểm A, B cho OAB cân O

Bài 8.Cho  

   

x 3 2 x 1

f x  C



 Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến cắt

trục tọa độ điểm A, B cho trung trực đoạn thẳng AB qua gốc tọa độ O

Bài 9.Cho   2x   x 2

f x C



 Viết PTTT  C biết tiếp tuyến cắt trục tọa độ Ox,

21

D. Hướng dẫn đáp số

Bài 1) Có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y  x 2 25, y  x 2 25 2) Chỉ có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu tốn là: y 4x7

3) Có bốn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là:

1 1

2 2

y x , 1 229

2 54

y x , y 2x 1 , 29 27

y 2x

Bài 2. Trên  C có hai điểm mà tiếp tuyến vng góc với d là: 2;0  4 3

2;

Bài 1

48

m 7

240

m 

Bài 4. Cm có tiếp tuyến vng góc với đường thẳng yx2012  phương trình

   

2

0 0

mx 2 m x  3m4  1 có nghiệm x0  1

2 m 1

  

Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y 7x 15 , y 7x43, 1 3

7 7

y  x , 25

1

7 7

y  x

Bài Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là:yx 1 , 7 3

yx

Bài 7.Đồ thị có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán y  x 2

Bài 8. Các tiếp tuyến thõa mãn yêu cầu toán là: 3 2

y  x , 5 2

y  x

22 Loại 3. Điều kiện tiếp xúc

A. Tóm tắt lý thuyết

* Định nghĩa (Hình 5): Cho yf x   C yg x   C'

 C  C' tiếp xúc với điểm M x ;y 0 0 hai

điều kiện sau thỏa mãn:

+) M điểm chung  C  C'

+) Tiếp tuyến hai đường cong M trùng

Điểm M gọi gọi tiếp điểm hai đường cong cho

y

x O

y0

x0 M

Hình

* Điều kiện tiếp xúc:Để xét tiếp xúc hai ĐTHS yf x   C yg x   C' , ta xét hệ:

   

     

f x g x * f ' x g ' x

 

 

 



Ta có:

+)  C  C' tiếp xúc  hệ  * có nghiệm x +) Nghiệm  * hồnh độ tiếp điểm

+) x0 hoành độ tiếp điểm  tiếp tuyến chung  C  C' điểm có hồnh độ

0

x là: yf ' x 0 xx0f x 0

Hệ quả: Đường thẳng ykxm tiếp tuyến ĐTHS yf x   C hệ

   

f x kx m f ' x k

  

 

 



23

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1.[SGKNC] Cho 3 5

4

yx  x2  C yx2 x 2  C' Chứng minh  C

 C' tiếp xúc viết PTTT chung

Giải

Ký hiệu   3 5

4

f x x  x2 g x x2 x 2 Xét hệ:

   

   

f x g x f ' x g ' x

 

 

 



 I

Ta có  I 

   

3 5 2

4

' '

3 5 2

4

x x 2 x x 2

x x 2 x x 2

     

 

     





3 2 x 4 2 5

4

x x 0

3x 2x 1

   

 

   



 1

2

x

Vậy  C  C' tiếp xúc điểm có hồnh độ 1

2

   

5 1

2 4

1 2

g

g ' 2

   



 



 PTTT chung là:  1 5

2 4

y2 x  hay 9

4

y2x

Ví dụ 2.[SGK] Chứng minh đường thẳng ykxm tiếp tuyến parabol

2

yax bx c (a0) phương trình ax2bx c kxm  1 có nghiệm kép

Giải

Ta có  1  ax2bk x c m   0 ( b k 2 4a c m  )

Do đó:  1 có nghiệm kép   0  b k 2 4a c m  0

Đường thẳng parabol cho tiếp xúc hệ sau có nghiệmđối với x

 I

2

ax bx c kx m

2ax b k



    



  



24

Ta có  I       

 

2

k b 2a

ax b k x c m 0 1

x  2

     

 

  

 I có nghiệm  k b

2a

x  nghiệm  1

 k b2   k b  

2a 2a

a   b k    c m 0

      

2 2

b k b k

4a 2a c m 0

 

   

 b k 24a c m  0   1 có nghiệm kép (ĐPCM)

Ví dụ 3.[SGKNC] Viết PTĐT qua điểm A 1; 2   tiếp xúc với parabol yx22x

Giải

PTĐT qua A 1; 2   có hệ số góc k có dạng : yk x 1  2  : ykx k 2

Xét phương trình x22xkxk2 hay x2k2 x k2  1 ( k224 k 2)

 tiếp xúc với parabol cho   1 có nghiệm kép   0  k 2 k 2

   

 

+) k 2  : y 2 x 1  2  : y 2x +) k2  : y2 x 1  2  : y2x4

Vậy qua điểm A có hai đường thẳng tiếp xúc với parabol là: y 2x y2x4

Ví dụ 4.[ĐHB08] Cho f x 4x36x21  C Viết phương trình tiếp tuyếnđiqua điểm

 

M  1; 9  C

25

Đường thẳng qua M, hệ số góc k có phương trình dạng : yk x 1  9  tiếp tuyến  C hệ sau có nghiệm

 I    

 

3 2

2

4x 6x 1 k x 1 9 1

12x 12x k 2

           

Thế  2 vào  1 ta có: 4x36x2 1 12x212xx 1 9

 4x33x26x50

 5 4 x x 1       

Do đó:  I có nghiệm  5 4

x nghiệm  2 x 1 nghiệm  2

+) Thay 5

4

x vào  2 ta có 15 4

k  15 

4

: y x 1 9

     15 21

4 4

: y x

  

+) Thay x 1 vào  2 ta có k24  : y24 x 1  9  : y24x 15 Vậy phương trình tiếp tuyếnđiqua điểm M  C 15 21

4 4

y x , y24x 15

Ví dụ 5.[ĐHD02] Cho    

2 2m x m

x 1

f x  



  C d : yx Tìm m để  C tiếp xúc với d

Giải

 C tiếp xúc với d hệ sau có nghiệm x

 I  

  f x x f ' x 1

      

Ta có  I 

 

 

2 2m x m

x 1 2 m 1 x 1 x 1               

2m x m2 x x 1   1

x m

x 2 m

26

Do  I có nghiệm   

  nghiệm

là nghiệm cuûa

m 1

m 1

2 m 1

2 m 1

  

  

  

 

  

 

    

       

2

2

m 1

2m m m m m 1

2 m 1

2m 1 2 m m 2 m 1 m

  

   

 

  

  

     

  



m 1

m 1

m m

1

   

   

   

 



27

C. Bài tập

Bài 1.[SGK] Chứng minh đồ thị sau tiếp xúc viết PTTT chung 1) f x x2 3x 1   x2 2x 3

x 1

g x   





2)   x2 3

2 2

f x   x   3x x 2

g x

 

3) f x  x23x6, g x x3 x24 h x x27x8

Bài 2.[SGK] Chứng minh có hai tiếp tuyến parabol yx23x qua điểm 3 5

2 2

A ; chúng vng góc với

Bài 3.Viết PTTT qua A đồ thị  C trường hợp sau:

1) 23 

9

A ; 2 ,  C ĐTHS yx33x22 2) A6;5,  C ĐTHS x 2

x 2

y 

 

Bài 4.Chứng minh qua A 1;0  có hai tiếp tuyến vng góc với ĐTHS

2

x 2x 2 y

x 1

  



28

D. Hướng dẫn đáp số

Bài 1) PTTT chung: yx 5 2) PTTT chung: 3 2

y x 3) PTTT chung: y5x7

Bài Đường thẳng  qua 3 5

2 2

A ; có hệ số góc k   3 5

2 2

: y k x

    Ta chứng

minh tồn hai giá trị k có tích 1 cho phương trình 2  3 5

2 2

x 3xk x  có nghiệm kép

Bài 1) Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: 5 61

3 27

y  x , y9x25, y 2 2) Các tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y  x 1, 1 7

4 2

y  x

Bài 4 Chứng minh tồn hai giá trị k có tích 1 cho hệ sau có nghiệm

 

2

' 2

x 2x 2

k x 1 x 1

x 2x 2 k x 1

  

 

   

    



 

  

 

