Tìm m để hàm số có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng √ 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến gốc tọa độ.. B - HÀM TRÙNG PH[r]
(1)HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Chuyên đề 2.
CỰC TRỊ HÀM SỐ PHẦN LÝ THUYẾT
A CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
Cho hàm sốf(x) =ax3+bx2 +cx+d (a6= 0).
1 Tập xác định : D=R
2 Đạo hàm : y0 =f0(x) = 3ax2+ 2bx+c.
3 Điều kiện tồn cực trị : Hàm số y =f(x) có cực trị ⇔ y=f(x) có cực đại cực tiểu ⇔f0(x) = có nghiệm phân biệt⇔∆0y0 =b2−3ac >
4 Đường thẳng qua hai điểm cực trị :
Lấy y chia cho y0 ta y= (ax+b)y0+ (mx+n) Gọi A(x1;y1), B(x2;y2) tọa độ điểm cực trị
Do (
y0(x1) =
y0(x2) =
nên (
y(x1) =mx1+n
y(x2) =mx2+n
Suy đường thẳng qua hai điểm cực trị y=mx+n
B CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Cho hàm số f(x) =ax4+bx2+c (a6= 0).
1 Tập xác định : D=R
2 Đạo hàm : y0 =f0(x) = 4ax3+ 2bx= 2x(2ax2+b).
3 y0 = 0⇔
" x= 0 x2 = −b
2a Điều kiện tồn cực trị :
• Để hàm số có cực trị ⇔y0 = có nghiệm ⇔ − b
2a ≤0⇔ab≥0 • Để hàm số có cực trị ⇔y0 = có ba nghiệm phân biệt ⇔ − b
2a >0⇔ab <0
(2)HUỲNH ĐỨC KHÁNH
PHẦN BÀI TẬP A - HÀM BẬC BA
Bài Cho hàm số y=x3+ (m−1)x2−(2m+ 1)x−2, (m là tham số).
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hồnh độ x1, x2 thỏa mãn
1 x2
1+x22 =
2 x3
1+x32 =
3 |x1−x2|=
2 |x1−x2| ≥
4 x1+ 2x2 =
1 x2
CĐ=xCT
7 Chứng minh A=x1+x2−x1x2 không phụ thuộcm
(Hệ thức độc lập x1 x2 m)
8 Hoành độ điểm cực tiểu nhỏ
9 Hoành độ điểm cực đại điểm cực tiểu lớn −1 10 Hoành độ điểm cực trị thuộc khoảng
−1 ;
5
Bài Cho hàm số y= 2x3 + 3(m−1)x2+ 6(m−2)x−1,(m là tham số).
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị đồng thời
1 Đường thẳng qua hai điểm cực trị qua điểm I(0;−1)
(Hai điểm cực trị điểm I thẳng hàng)
2 Đường thẳng qua hai điểm cực trị vng góc với đường thẳng (d) :y=x+ 2012 Đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng(d) : 4x+y+ 13 = Hai điểm cực trị nằm đường thẳng (d) :x+y+ =
5 Đường thẳng qua điểm cực trị tạo với đường thẳng (d) : y = −√3x+ góc 600.
6 Hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng (d) :x−y−14 =
(Hai điểm cực trị nhận đường thẳng y = x - 14 làm đường trung trực)
7 Hai điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng (d) :y=−9x−3 Hai điểm cực trị đối xứng qua điểm I(0;−1)
9 Đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân 10 Đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt hai trục tọa độOx A, cắt Oy B
cho OB = OA
11 Đường thẳng qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích
(3)HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Bài Cho hàm số y=−x3+ 3x2+ 3(m2−1)x−3m2 −1, (m là tham số).
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị
1 Hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung (Hồnh độ trái dấu) Hai điểm cực trị nằm phía trục tung (Hoành độ dấu) Hai điểm cực trị nằm hai phía trục hoành (Tung độ trái dấu) Hai điểm cực trị nằm phía trục hồnh (Tung độ dấu) Hàm số đạt giá trị cực trị điểm lớn
6 Gọi A(x1;y1), B(x2;y2) điểm cực trị Tìm m đểx31 +x32 =−14 (y1+y2)
7 Tung độ cực trị thỏa mãn (yCĐ−yCT)2 = 8m4(3m+ 5) Bài Cho hàm số y=−x3+ 3x2+ 3(m2−1)x−3m2 −1, (m là tham số).
Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị điểm cực trị thỏa mãn
1 Cách gốc tọa độ O (Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác cân O) Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông O
3 Cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích
4 Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng qua hai điểm cực trị r
18 17 Đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số tiếp xúc với đường trịn có phương
trình (C) : (x−2)2+ (y+ 1)2 = 49
65 (Tiếp tuyến đường tròn (C))
6 Đường thẳng qua hai điểm cực trị cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính √6 10 A, B mà diện tích tam giác IAB lớn
7 Khoảng cách từ điểm I(3;−3)đến đường thẳng qua hai điểm cực trị lớn Bài Cho hàm số y=x3−2mx2+m2x−2,(m là tham số).
1 Tìm m để hàm số cho đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x= Tìm m để hàm số cho đạt cực đại điểm có hồnh độ x=
Bài Cho hàm số y = 2x3−3(m+ 2)x2+ 6(5m+ 1)x−(4m3 + 2), (m là tham số) Tìm m
để hàm số đạt cực tiểu x0 ∈(1; 2]
Bài Cho hàm số y= 3x
3−mx2−x+m+ 1,(m là tham số) Chứng minh hàm số ln có
cực trị Tìm m để khoảng cách hai điểm cực trị nhỏ
Bài Cho hàm số y=x3+ 3x2−4 Hãy tìm giá trị củaa để hai điểm cực trị hàm số Nằm hai phía đường tròn (C) :x2+y2−2x−4ay+a2−1 =
2 Nằm hai phía đường thẳng (∆) : 3x−4y+a= Bài Cho hàm số y =
3x
3 + (m+ 1)x2 + (m2+ 4m+ 3)x, (m là tham số) Gọi x
1, x2
hoành độ điểm cực trị Tìm M ax A=|x1x2−2 (x1+x2)|
(4)HUỲNH ĐỨC KHÁNH
Bài 10 Cho hàm số y =x3−3mx2+ 3(m2−1)x−m3+m, (m tham số) Tìm m để hàm số có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O √2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị đến gốc tọa độ
B - HÀM TRÙNG PHƯƠNG
Bài Cho hàm số y=mx4+ (m2−9)x2+ 10, (m là tham số).
1 Tìm m để hàm số có điểm cực trị
2 Tìm m để hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại Tìm m để hàm số có cực đại mà khơng có cực tểu Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị
Bài Cho hàm số y=x4−2 (1−m2)x2+m+ 1,(m là tham số).
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị
1 Ba điểm cực trị lập thành tam giác
2 Ba điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân
3 Ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc 1200.
4 Ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có diện tích √
3 32 Ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác có diện tích lớn
6 Các điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp
7 Khoảng cách hai điểm cực tiểu lớn
8 Các điểm cực trị nằm trục tọa độ (Hai điểm cực tiểu nằm Ox) Khoảng cách hai điểm cực tiểu lần khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc
tọa độ
Bài Cho hàm số y = x4+ 2mx2 +m2 +m, (m là tham số) Tìm m để hàm số có ba điểm
cực trị hai điểm cực tiểu với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Bài Cho hàm số y=x4−2mx2+ 2, (m là tham số) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị
đồng thời
1 Một điểm cực đại điểm cực tiểu với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích
2 Các điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm M
5;
9
3 Các điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có trọng tâm O (câu hỏi tương tự cho trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp)
——— HẾT ———