Đề tài Sử dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình

Mặt khác hướng dẫn học sinh bằng phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư duy như phát triển tương khái quát hoá, tư duy hàm, tư duy phân tích tổng hợp… từ việc phân tíc[r]

I Lý chọn đề tài Ta đã biết bài toán tìm điều kiện tính chất nghiên cứu phương trình, bất phương trình thường xuất các kỳ thi đại học và chương sách giáo khoa bỏ định lý đảo dấu tam thức bậc hai thì bài toán thuộc tuyến truên công cụ để giải Tuy nhiên phân tích vấn đề cách cẩn thận thì tuyến đề đó có thể giải phương pháp cực trị tương đối hiệu Và thực tế giải phương pháp cực trị cho lời giải rõ ràng, ngắn gọn Mặt khác hướng dẫn học sinh phương pháp đó phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư phát triển tương khái quát hoá, tư hàm, tư phân tích tổng hợp… từ việc phân tích trên tôi định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng phương pháp cục trị để xét phương trình, bất phương trình” II Néi dung nghiªn cøu A Lý thuyÕt Phương trình f(x) = m cã nghiÖm trªn D f ( x)  m  max f ( x)  D D f(x)  m cã nghiÖm trªn D Bất phương trình <=> m  max f ( x) D f(x)  m có nghiệm đúng x+D Bất phương trình : <=> m  f ( x) D f(x)  m v« nghiÖm trªn D Bất phương trình : <=> m  max f ( x) D m > f(x) cã nghiÖm x+ D Bất phương trình <=> m  f ( x) D f(x) > m có nghiệm đúng x+D Bất phương trình : <=> m  max f ( x) D Bất phương trình : m > f(x) v« nghiÖm trªn D <=> m  f ( x) Lop12.net (Víi gi¶ thiÕt hµm sè f(x) liªn tôc trªn D) B Bµi to¸n Bài toán 1: Tìm m để phương trình x2 – 2x = m có nghiệm x  [ 0; 1] Gi¶i: XÐt hµm sè f(x) = x2 – 2x Lµ hµm sè liªn tôc trªn [0;1] tõ b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè f(x) trªn [0;1] Ta cã : maxf(x) = ; f(x) = - [0 ; 1] [0; 1] Vậy điều cận cần và đủ để phương trình có nghiệm trên [0; 1] là m0 Bài toán 2: Tìm m để bất phương trình 4x – x2  m nghiệm đúng x  [0; 5] Gi¶i: XÐt hµm sè f(x) = 4x – x2 lµ hµm sè bËc hai, biÕn x: Cã  b  Ta cã f(0) = 0; f(4) = 0; f(5) = -5 2a Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 5] §¸p sè : m  - Bài toán 3: Tìm điều kiện cho m để bất phương trình mx4 – 4x + m  nghiệm đúng xR Gi¶i v¾n t¾t : Bất phương trình  m 4x  g ( x) x 1 Bằng phương pháp đạo hàm xét hàm G(x) = 4x ; x 1 Ta cã : max g ( x)  27 R Do đó bất phương trình nghiệm đúng xR điều kiện cần và đủ là : m  max g ( x)  27 R §¸p sè : m  27 Tìm tất các giá trị m để x [0; 2] là nghiệm bất Bµi to¸n 4: phương trình log x  x  m  log ( x  x  m)  Lop12.net Gi¶i : §iÒu kiÖn ( x  x  m)  Bất phương trình  log x  x  m  log ( x  x  m)  §Æt t = log ( x  x  m)  5; t  Bất phương trình trở thành : t2 + 4t –   -  t  t KÕt hîp víi t  Ta cã :  t  Suy :  log ( x  x  m)  x  2x  m  x  2x   m   x  2x  m  x  2x   m Bất phương trình nghiệm đúng x  [0; 2] và ( x  x)   m [ 0; ] y max( x  x)   m [ 0; ] 1  1 m  (Xem h×nh bªn)  4m 2m4 x -1 Bài toán 5: Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm X3 + 3x2 –  a ( x  x  1) (1) Gi¶i v¾n t¾t: + Do x  x   nªn (5)  (x3 + 3x2 – 1) ( x  x  1)  a (2) TX§ cña (2) lµ : x  + Hai hµm sè : f(x) = x3 + 3x2 –1 vµ g(x) = x  x  dương và đống biÕn : x  => Hµm sè h(x) = x3 + 3x2 –1 ( x  x  1) §ång biÕn x  => h( x)  h(1)  x 1 Lop12.net VËy (2) cã nghiÖm vµ chØ : a  h(2)  x 1 §¸p sè : a  Bµi to¸n 6: Cho hµm sè f(x) = (m – 1) 6x -  2m  tìm m để bất phương 6x tr×nh (x – 61-x) f(x)  x  [0; 1] Gi¶i v¾n t¾t : + Với x = thì bất phương trình thoả mãn không phụ thuộc vào m, nên cần tìm m để bất phương trình thoả mãn x  [0; 1] L­u ý : h(x) = x – 61-x =x – ( ( ) x là hàm đồng biến trên [0; 1] và h(1) = => h(x) < x  [0; 1] Do đó cần tìm m để g(x)  x  [0; 1] t2 t 2  g ( x) t  2t §Æt t =  [0; 6] Ta cã : m  Víi t  [0; 6] LËp b¶ng biÕn thiªn g(t) trªn [1 ; 6] ta cã kÕt qu¶ g (t )  [1; ] §¸p sè : m  Bài toán 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( x    x  ( x  1)(3  x)  m Gi¶i : §Æt t = x    x th×  t  2 + Khi đó phương trình trở thành f(x) =  t2 t 2  m LËp b¶ng biÕn thiªn cña f(t) víi  t  2 Ta cã : f (t )  2  [ 2; 2 ] max f (t ' )  [ 2; 2 ] Lop12.net Vậy phương trình có nghiệm  2   m  Bài toán 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x3 – 3x + m – - (1) x  3x  Gi¶i : 3x  §Æt t = x  3x ; t '  x  3x 0 =>  t  t(-1) = ; t (0)  (1) => t2 + m – – t = <=> m = -t2 + t + = f(t) => f’(t) = -2t + ; f’(t) =  t = 1/2 B¶ng biÕn thiªn: T f’ 1/2 + f - 9/4 2 f (t )  => max f (t )  ; [ 0; ] [ 0; ] §¸p sè : m  [ ; ] Bài toán 9: Tìm m để phương trình (1) x 1  1 x  1 x  m   Gi¶i: §Æt t = x    x víi x  [-1;1] t’ =  x 1  1 x 0 x+1=1–x x=0 t(-1) = t(1) = => t  [ ;2] (1) trë thµnh : t(1) = Víi t2 = +  x t + t2 – – m + = Lop12.net V« nghiÖm  m = t2 + t = f(t) => f’(t) = 2t + 1>  t  [ ;2] ; f( ) = + ; f(2) = => f (t )   ; max f (t )  [ ;2] [ ;2] Vậy phương trình có nghiệm  m  [ + ; 6] Phương trình vô nghiệm  m  (- ;2  )  (6;) m  (- ;2  )  (6;) §¸p sè : Bài toán 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Sin4x + cos4x + sin2x + m = Gi¶i v¾n t¾t : Phương trình  Sin22x – 2sin2x – 2(m+1) = §Æt t = sin 2x ; [t]  => t2 – 2t – (m + 1) = m= t  t   g (t ) Ta cã : g(-1) = 1/2 ; g(1) = -3/2 ; g(1/4) = -39/32 => max g (t )  ; g (t )   [ 1;1] [ 1;1] §¸p sè :   m  2 C¸c bµi to¸n tù gi¶i Bài 1: Tìm m để phương trình: x2 – mx + 2m – = Cã nghiÖm x  (0; 1) Bài 2: Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng x R (x2 + 4x + 3) (x2 + 4x + 6)  a Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm Ph©n biÖt [0; 2] 4x 2 x  2x  x 1 m  Lop12.net Bài 4: Tìm m để phương trình x4 - 2x3 + mx2 – 2x + = cã nghiÖm x(0; 1) Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm x4 + 4x3 + (m+4)x2 + 2mx2 + 2m  III KÕt luËn Trên đây là sáng kiến nhỏ chúng tôi mong các bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung cho đề tài hoàn thiện Nghi Léc, ngµy 20 th¸ng n¨m 2009 Người thực NguyÔn V¨n Nho Lop12.net