Đường thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E.. Tia AE cắt BM tại F..[r]
(1)SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2008 - 2009
Thời gian làm 150 phút Ngày thi: 18/6/2008 Câu 1: (1,5 điểm).
Chứng minh bất đẳng thức: √a+1−√a<
2√a với a > Câu 2: (3,0 điểm).
Giải phương trình sau: a) 2x
x −3=
x2
+11x −6
x2−9 b) √x2−2x+1−√3+2√2=1 Câu 3: (1,5 điểm).
Cho x ≥ Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: y=3x+
2x Câu 4: (2,5 điểm).
Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) D, (D khác C) Trên tia Ax lấy điểm M Đường thẳng qua O vng góc với BM cắt CD E Tia AE cắt BM F Chứng minh điểm F nằm tia cố định M (M khác A) di động tia Ax
Câu 5: (1,5 điểm).
Tìm tất cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > cho 3x1 chia hết cho y đồng thời
y
3 1 chia hết cho x.
(2)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Mơn thi: TỐN (dành cho lớp chun Tốn)
-Nội dung Điểm
Câu 1: (1,5 điểm). Với a > ta có:
√a+1−√a= √a+1+√a <
√a+√a=
1
2√a (đpcm)
1,0 0,5 Câu 2: (3,0 điểm).
a) Điều kiện x ≠ ± Khi ta có:
2x x −3=
x2+11x −6
x2−9 ⇔ 2x(x + 3) = x2 + 11x – ⇔ x2 – 5x + = 0 (*)
Phương trình (*) có ∆ = (–5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = > 0
√Δ=√1=1
Do phương trình (*) có hai nghiệm x1=−(−5)+1
2 =3 , x2=
−(−5)−1
2 =2
Đối chiếu với điều kiện ban đầu x1 = khơng thỏa mãn nên phương trình
cho có nghiệm x =
0,25
0,5
0,5 0,25 b) Ta có √x2−2x+1−√3+2√2=1 ⇔ √(x −1)2−√(√2+1)2=1
⇔ |x −1|−√2−1=1 ⇔ |x −1|=2+√2
⇔
x −1=2+√2 ¿ x −1=−2−√2
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=3+√2 ¿ x=−1−√2
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x=3+√2 , x=−1−√2
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Câu 3: (1,5 điểm). Ta có y=3x+
2x = x
2+ 2x+
5x
2
Mà x
2+ 2x≥2√
x
2 2x=2
1
2=1 5x
2 ≥
2 (do x ≥ 1)
Do y ≥1+5
2=
Dấu “=” xảy x =
Vậy GTNN y 72 , giá trị đạt x =
0,25
0,5 0,25 0,25 0,25 Câu 4: (2,5 điểm).
Kẻ qua E đường thẳng song song với BM cắt Ax AB theo thứ tự G H Ta có GH EO (1)
Suy DOEG, EOHC tứ giác nội tiếp
(3)Từ DOG DEG CEH COH
Ta lại có DO = CO Do ∆DOG = ∆COH Suy OG = OH Kết hợp với (1) suy GE = EH Lại có GH// MB nên dễ thấy BF = MF
Vì I trung điểm AB FI // Ax
Mà Ax cố định I cố định nên suy F luôn nằm tia Iy cố định song song với Ax (đpcm)
0,5 0,25 0,25 0,5 0,25
Câu 5: (1,5 điểm).
Dễ thấy x ≠ y x > 1, y > Khơng giảm tính tổng quát ta giả sử x > y Đặt 3y + = px Vì x > y suy 3x > 3y + = px p < p {1, 2} Nếu p = x = 3y + 3x + = 9y + ⋮ y ⋮ y y {2, 4}
+ Nếu y = x =
+ Nếu y = x = 13
Nếu p = 2x = 3y + 2(3x + 1) = 6x + = 3(3y + 1) + = 9y +
Vì 3x + ⋮ y 9y + ⋮ y y = x =
Vậy ta có nghiệm (7, 2), (2, 7), (8, 5), (5, 8), (4, 13), (13, 4)