DeDA Toan vao 10 chuyen BDinh0506

Chứng minh rằng tồn tại một đoạn thẳng có hai đầu mút ở trên cạnh của tứ giác, song song với cạnh 1 của hình vuông và có độ dài lớn hơn 2.. Tìm cặp số tự nhiên m, n thoả mãn hệ thức:..[r]

SỞ GD – ĐT BÌNH ĐỊNH Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005 - 2006 Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi: Câu 1: (1,5 điểm) y Tìm tập xác định hàm số x 1   x x 1  x  Câu 2: (2,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng: 1  1 1   2    p a p b p c  a b c Câu : (2,5 điểm) 2 a) Giả sử x1 , x2 là nghiệm phương trình: x  m m   x   m  1 0 b) Tìm các giá trị m cho bất đẳng thức sau là bất đẳng thức đúng: x1  x  2 m     x1 x 1 Câu 4: (3,0 điểm) Ở miền hình vuông cạnh có tứ giác lồi diện tích lớn Chứng minh tồn đoạn thẳng có hai đầu mút trên cạnh tứ giác, song song với cạnh hình vuông và có độ dài lớn Câu 5: (1,0 điểm) Tìm cặp số tự nhiên (m, n) thoả mãn hệ thức: m  n m  n  Hết Họ và tên thí sinh: SBD : HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN (Dành cho lớp chuyên toán) Câu 1: (1,5 điểm)  x  0  1  x 0 x 1   x  x   x  0 x 1  x  Ta có: có nghĩa    x    x 1   x 1  x 1  x       x 0 Vậy TXĐ hàm số là tập hợp các số thực x mà –1  x  và x  Câu : (2,0 điểm) xy 1    x  y hay x y x  y ; (x, y > 0) Ta có  x  y  4 xy , đó xy Áp dụng kết trên ta được: 1 4     p  a p  b  p  a    p  b p  a  b c Tương tự: (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) 1   p b p c a (0,25 điểm) 1   p c p a b (0,25 điểm) Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ước lược ta được: 1  1 1   2    p a p b p c  a b c *Dấu đẳng thức xảy a = b = c hay tam giác đã cho là tam giác Câu 3: (2,5 điểm) Ta có  = m2(m – 2)2 + 4(m – 1)2  ,  m Do đó phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm Khi đó: x1 + x2 = m(m – 2) , x1 x2 = – (m – 1)2 Bất đẳng thức đã cho trở thành:   m  1 1  m   m  1  Nếu m < thì 2(2 – m) – 3(1 – m)  1, suy  m < (0,5 điểm)  m  2  Nếu  m  thì 2(2 – m) – 3(m – 1)  1, suy  Nếu m > thì 2(m – 2) – 3(m – 1)  1, bất phương trình vô nghiệm m  Vậy Câu 4: (3,0 điểm) m  (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm) A D1 B A1 C1 C D’ B’ D  Gọi diện tích tứ giác lồi ABCD là S thì S > Qua các đỉnh B và D kẻ các tia BB’ và DD’ song song với các cạnh hình vuông (B’ thuộc AD, D’ thuộc BC) (hình vẽ) Ta cần chứng minh hai đoạn BB’ và DD’ phải có đoạn có độ dài lớn (0,5 điểm) Thật vậy! Giả sử hai đoạn này nhỏ hay ; gọi A1, D1 là hình chiếu vuông góc A và D’ lên BB’; C1 là hình chiếu vuông góc C lên DD’ Khi đó: S1  S ABD 'B '  S ABB '  S BD 'B '  BB'  AA1  D' D1  (0,5 điểm) Vì AA1 + D’D1 luôn luôn nhỏ cạnh hình vuông nên AA1 + D’D1  1 1 S1  BB'   2 Từ đó (0,5 điểm) S  S CDB 'D '  S CDD '  S D 'B 'D  DD'  CC1  D' D1  Tương tự: (0,5 điểm) 1 1 S  DD'   2 Vì CC1 + D’D1  nên (0,5 điểm) 1 S  S1  S    4 ( trái giả thiết) Do đó (0,25 điểm) Vậy ít hai đoạn BB’ DD’ lớn (0,25 điểm) Câu : (1,0 điểm) 2 Ta có: m  n m  n   4m2 + 4n2 = 4m + 4n + 32  4m2 – 4m + + 4n2 – 4n + = 34  (2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 34 < 62 (*) (0,5 điểm) Vì m, n  N nên (*) cho thấy (2m – 1) và ( 2n – 1) là hai số nguyên dương lẻ nhỏ có các tổng bình phương 34 Có ba số nguyên dương lẻ nhỏ là 1, 3, và dễ thấy 32 + 52 = 34 2m  3 2m  5   Do đó ta có: 2n  5 hay 2n  3 m  m 3   Vậy n 3 hay n 2 ========================== Chú ý: Mọi cách giải khác, đúng cho điểm tối đa (0,5 điểm)