Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]
(1)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu (2,0 điểm). Cho hàm số y x= 3−3mx2+3m3 (1), m tham số thực a) Khảo sát sự biến thiên vẽđồ thị của hàm số (1) m=1.
b) Tìm mđểđồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trịA B cho tam giác OAB có diện tích bằng 48 Câu (1,0 điểm) Giải phương trình 2(cosx+ sin ) cosx x=cosx− sinx+1
Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình x+ +1 x2−4x+ ≥1 3 x. Câu (1,0 điểm) Tính tích phân
1
4
0
d
3 2
x
I x
x x
=
+ +
∫
Câu (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA=2 ,a AB a= Gọi H hình chiếu vng góc của A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a
Câu (1,0 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z+ + =0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2 1. x +y +z = 5 5.
P x= +y +z
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ):C1 x2+y2=4, đường thẳng
2 2
(C ):x +y −12x+18 0= d x y: − − =4 0. Viết phương trình đường trịn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d cắt ( )C1 tại hai điểm phân biệt A và B cho AB vng góc với d Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng :
2
x y z
d − = =
− hai điểmA(2;1;0), B( 2;3; 2).− Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B có tâm thuộc đường thẳng d. Câu 9.a (1,0 điểm) Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải tập Tính xác suất để học sinh được gọi có cả nam nữ B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường trịn tiếp xúc với cạnh của hình thoi có phương trình
2 AC= BD 2 4.
x +y = Viết phương trình tắc của elip (E) đi qua đỉnh A, B, C, D của hình thoi Biết A thuộc Ox.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cắt trục Ox, Oy lần lượt tại B, C cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM
(0;0;3), (1; 2;0)
A M
Câu 9.b (1,0 điểm) Gọi z1 z2 hai nghiệm phức của phương trình z2−2 3i z− =4 0. Viết dạng
lượng giác của z1 z2
- HẾT -
Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm
Họ tên thí sinh: ; Số báo danh:
(2)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 Mơn: TỐN; Khối B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm)
Khi m=1, ta có: y=x3−3x2+3 • Tập xác định: D=\
• Sự biến thiên:
− Chiều biến thiên: y' 3= x2−6 ;x ' 0y = ⇔ x=0 x=2
0,25
Các khoảng đồng biến: (−∞; 0) (2;+ ∞), khoảng nghịch biến: (0; 2) − Cực trị: Hàm sốđạt cực đại x=0, yCĐ = 3; đạt cực tiểu x=2, yCT = −1
− Giới hạn: lim
x→−∞y= −∞ x→+ ∞lim y= +∞
0,25 − Bảng biến thiên:
0,25
•Đồ thị:
0,25
b) (1,0 điểm)
' ;
y = x − mx ' y = ⇔ x=0 x=2 m
Đồ thị hàm số có điểm cực trị m≠0 (*) 0,25 Các điểm cực trị đồ thị làA(0; 3m3) B(2 ;m −m3)
Suy OA=3 |m3| d B OA( , ( )) | | = m
0,25 48
OAB
S∆ = ⇔ 3m4 =4 0,25
1 (2,0 điểm)
⇔ thm= ±2, ỏa mãn (*) 0,25
O
2
−1
x y
+∞ –1
3 −∞
y '
y + – + x −∞ +∞
(3)Phương trình cho tương đương với: cos 2x+ sin 2x=cosx− sinx 0,25 ⇔ cos 2( ) ( )π cos π
3
x− = x+ 0,25
⇔ π ( )π 2π( )
3
x− =± + +x k k∈] 0,25
2 (1,0 điểm)
⇔ 2π 2π
3
x= +k 2π ( )
x=k k∈] 0,25
Điều kiện: 0≤ ≤ −x x≥ +2 (*) Nhận xét: x=0là nghiệm bất phương trình cho
Với x>0,bất phương trình cho tương đương với: x x x x
+ + + − ≥ (1)
0,25
Đặt t x (2), x
= + bất phương trình (1) trở thành 6 3
t − ≥ −t
2
3
6 (3 ) t t t t − < ⎡ ⎢ − ≥ ⇔ ⎧ ⎢⎨ ⎢ − ≥ − ⎣⎩ 0,25 t
⇔ ≥ Thay vào (2) ta được
2
x x
x
+ ≥ ⇔ ≥
2
x≤ 0,25
3 (1,0 điểm)
1
4 x
⇔ < ≤ Kx ≥4 ết hợp (*) nghiệm x=0, ta tập nghiệm bất phương trình cho là: 0;1 [4; )
4
⎡ ⎤ ∪ +∞ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
0,25
Đặt t x= 2, suy dt=2xdx Với x=0 t=0;với x=1 t=1 0,25 Khi
1 2
2
0
1 d d
2 ( 1)( 2) ( x x x t t I t t x x = = 1)( 2) + + + +
∫ ∫ 0,25
( ) ( )
1
0
1 1
d ln| 2| ln| 1| t t t t t
= − = + − +
+ +
∫ 0,25
4 (1,0 điểm)
= ln3 3ln2
− 0,25
Gọi D trung điểm cạnh AB O tâm ∆ABC Ta có
AB⊥CD AB⊥SO nên AB⊥(SCD), AB⊥SC 0,25 Mặt khác SC⊥AH, suy SC⊥(ABH) 0,25 Ta có: 3,
2
a a
CD= OC= nên 2 33 a SO= SC −OC = Do 11
4 SO CD a DH
SC
= = Suy
2 1 ABH a S∆ = AB DH=
0,25
5 (1,0 điểm)
Ta có 2
4 a SH SC HC SC= − = − CD −DH = Do .
3
S ABH ABH
a 11
6 H S∆
(4)Với x+ + =y z x2+y2+z2=1, ta có:
2 2 2
0 (= + +x y z) = + + +x y z (x y z+ +) 2yz= −1 2x +2 ,yz nên 2 yz x= − Mặt khác
2 1
,
2
y z x
yz≤ + = − suy ra:
2
2 1 ,
2
x
x − ≤ − 6
3 x
− ≤ ≤ (*)
0,25
Khi đó: P= x5+(y2+z2)(y3+z3)−y z2 2(y+z)
= (1 2) ( 2)( ) ( ) ( )2
2 x + −x ⎣⎡ y +z y z+ −yz y z+ ⎤⎦+ x − x
= (1 2) (1 2) ( ) ( )2 2
2
x + −x ⎡⎢−x −x +x x − ⎤⎥+ x −
⎣ ⎦ x = ( )
5
2 x −x
0,25
Xét hàm f x( ) 2= x3−x 6; 3 ,
⎡ ⎤
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦ suy
2
'( ) 1;
f x = x − '( ) 6 f x = ⇔ = ±x
Ta có 6
9 ,
3
f⎛⎜− ⎞⎟=f⎛⎜ ⎞⎟=−
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
3
f⎛⎜ ⎞⎟= −f⎛⎜ ⎞⎟=
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6
9 Do
6 ( )
9 f x ≤ Suy
36 P≤
0,25
6 (1,0 điểm)
Khi 6,
3
x= y z= =− dấu xảy Vậy giá trị lớn P
36 0,25
(C1) có tâm gốc tọa độO Gọi I tâm đường tròn (C)
cần viết phương trình, ta có AB⊥OI Mà AB⊥d O∉d nên OI//d, OI có phương trình y=x
0,25 Mặt khác I∈(C2), nên tọa độ I thỏa mãn hệ:
2
3
(3;3)
12 18
y x x
I y x y x
=
⎧ ⎧ =
⎪ ⇔ ⇒
⎨ ⎨ =
+ − + = ⎩
⎪⎩
0,25
Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R d I d= ( , ) 2.= 0,25
7.a (1,0 điểm)
Vậy phương trình (C) (x−3)2+(y−3)2 =8 0,25 Gọi (S) mặt cầu cần viết phương trình I tâm (S)
Do I d∈ nên tọa độ điểm I có dạng I(1 ; ; ).+ t t − t 0,25 Do A B, ∈( )S nên AI BI= , suy (2 1)t− + − +2 ( 1)t 4t2=(2 3)t+ 2+ −( 3)t 2+(2 2)t+ 2⇒ =−t 0,25 Do I( 1; 1; 2)− − bán kính mặt cầu IA= 17 0,25
8.a (1,0 điểm)
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm (x+1)2+(y+1)2+ −(z 2)2 =17 0,25 Số cách chọn học sinh lớp C254 =12650 0,25 Số cách chọn học sinh có nam nữ 2
15 10 15 10 15 10
C C +C C +C C 0,25
= 11075 0,25
9.a (1,0 điểm)
Xác suất cần tính 11075 443 12650 506
P= = 0,25
B
A I d
(C2)
(C)
(C1)
(5)Giả sử ( ):E x22 y22 1(a 0) a b
b
+ = > > Hình thoi ABCD có
AC= BD A, B, C, D thuộc (E) suy OA=2OB
0,25 Khơng tính tổng qt, ta xem A a( ;0)
( )0; a
B Gọi H hình chiếu vng góc O AB, suy OH bán kính đường trịn ( )C :x2+y2=4
0,25
Ta có: 12 12 12 12
4 =OH =OA +OB =a +a2 0,25 7.b
(1,0 điểm)
Suy a2=20, b2=5 Vậy phương trình tắc (E)
2
1 20 x y
+ = 0,25
Do ,B∈Ox C∈Oy nên tọa độ B C có dạng: B b( ; 0; 0) C(0; ; 0).c 0,25 Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy ra: G( ); ;
3 b c
0,25 Ta có JJJJGAM=(1;2; 3)− nên đường thẳng AM có phương trình
1 x= =y z−
− Do G thuộc đường thẳng AM nên
3 b = =c −
− Suy b=2 c=4
0,25
8.b (1,0 điểm)
Do phương trình mặt phẳng (P) 1, x+ + =y z
nghĩa ( ) : 6P x+3y+4z−12 0.= 0,25 Phương trình bậc hai z2−2 3i z− =4 có biệt thức ∆ =4 0,25 Suy phương trình có hai nghiệm: z1= +1 3i z2= − +1 3i 0,25 • Dạng lượng giác z1 1 cosπ sinπ
3
z = ⎛⎜ +i ⎞⎟
⎝ ⎠ 0,25
9.b (1,0 điểm)
• Dạng lượng giác z2 2 cos2π sin2π
3
z = ⎛⎜ +i ⎞⎟
⎝ ⎠ 0,25
O H
x y
D
A B
C
- HẾT -