Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P) 2.. Cho hai đường thẳng song song d1 và d2.[r]
(1)ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỀ SỐ
Mơn : TỐN Khối : B
Thời gian làm : 180 phút không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + (m tham số) (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
2 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = Giải hệ phương trình:
¿
(x − y)(x2+y2)=13 (x+y)(x2− y2)=25
¿{ ¿
(x, y ) Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0)
1 Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng AB mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu IV (2 điểm)
1 Tính tích phân: I=∫
1
√e
3−2 lnx x√1+2 lnxdx
2 Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 3x
2
+4
4x + 2+y3
y2
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh tự chọn câu V.a câu V.b Câu V.a
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1), đường cao qua đỉnh B có phương trình x – 3y – = đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình x + y + = Xác định tọa độ đỉnh B C tam giác
2 Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n 2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm cho Tìm n
Câu V.b
1 Giải phương trình 9x2+x −1 –10.
3x2+x −2 +1 = 0.
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên A'A = b Gọi góc hai mặt phẳng (ABC) (A'BC) Tính tg thể tích khối chóp A'.BB'C'C
(2)ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC
ĐỀ SỐ 4
Mơn : TỐN Khối : B ( Đáp án – Thang điểm có trang )
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (1) hàm số (1,00 điểm) Với m = y = x3 - 3x2 + 4
TXĐ : D =
Sự biến thiên : y’ = 3x2 – 6x , y' = x = 0, x = 2
0,25 Bảng biến thiên :
x - +
y' + – +
y +
-
YCĐ = y(0) = 4; yCT = y(2) =
0,50
Đồ thị
0,25
2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời (1,00đ) y' = 3x2 + 2(1 - 2m)x + - m = f(x)
Yêu cầu tốn phương trình y' = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa
mãn: x1 < x2 < 0,25
¿ ¿
¿
Δ'=4m2− m−5>0
f(1)=−5m+7>0
S 2=
2m−1 <1
¿ ¿
0,25
4 < m <
(3)II 2,00 1 Giải phương trình (1,00 điểm)
Phương trình cho tương đương với :
(sinx - cosx)(cosx - sinx + 1) = 0,25
tgx=1
sin(x −π
4)=
√2 sinx −cosx=0
sinx −cosx=1⇔¿ ¿
0,25
x = π4 + k, x = + k2 x = π2 + k2 (k Z) 0,50 2 Giải hệ phương trình (1,00 điểm)
Hệ cho tương đương với : (x − y)(x2+y2)=13
¿
x+y¿2=25 (x − y)¿
¿
0,25
x − y¿3=1 ¿
x+y¿2=25 ¿ ¿ ¿
0,25
{xx − y=1
+y=±5 0,25
x=x=−32, y, y==−23 ¿
0,25
III 2,00
1 Viết phương trình hình chiếu vng góc AB (P) (1,00 điểm)
Hình chiếu A'B' AB (P) giao tuyến (P), (Q), (Q)
mặt phẳng chứa AB vng góc với (P) 0,25
Ta có AB⃗ = (2;0;–4) véctơ pháp tuyến (P) n⃗
p = (2;1,2)
Véc tơ pháp tuyến (Q) n⃗
Q = [ n
⃗
p , AB
⃗
]
=(4 ; 12 ; 2)
0,25
Vì (Q) qua A(0; 0; 4) (Q): 6y + z = 0,25 A'B': {22xx − y+2z+5=0
+6y+z−4=0
0,25 2 Viết phương trình mặt cầu qua O, A B tiếp xúc với (P) (1,00 điểm)
Gọi I(a; b; c) tâm mặt cầu (S) cần tìm (S) có phương trình x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0 (S) qua O, A, B {
d=0
−8c+d+16=0
−4a+d+4=0
{
d=0
a=1
c=2
(1)
0,25
(4)Kết hợp (1) suy b = 14 b = 32 0,25 Vậy, có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu toán là:
(S):x2 +y2+z22x +
2 y 4z = (S) x2 + y2 + z2 2x +
3 y4z =
0,25
IV 2,00
1 Tính tích phân (1,00 điểm)
Đặt t = √1+2 lnx t2 = + 2lnx tdt = 1x dx 2lnx = 2 t2 0,25 với x = t = 1; với x = √e t = √2 0,25 I=∫
1
√e
(2−t2)tdt
t = ∫1
√e
(2− t2)dt 0,25
= (2t −t3
3)∨√12 =
4√2−5
3 0,25
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A (1,00 điểm) Ta có A = 3x2+4
4x +
2+y3
y2 =
3x +
1
x +
2 y2 + y
0,25 A = x
4 +
x + ( y2+
y 8+
y 8) +
x+y
2 +
2 + =
2 0,50
Với x = y = A =
2 Vậy giá trị nhỏ A
2 0,25
V.a 2,00
1 Xác định tọa độ đỉnh B, C ABC (1,00 điểm)
Đường thẳng AC qua A(2;1)và vng góc với đường thẳng x3y+7= nên AC có phương trình 3x + y =
0,25 tọa độ C nghiệm hệ {3xx+y −7=0
+y+1=0 {
x=4
y=−5 C(4; -5)
0,25 Vì B thuộc đường thẳng: x – 3y + = B(3t + 7; t)
tọa độ trung điểm AB I (3t+9
2 ;
t+1
2 )
0,25
Vì I thuộc trung tuyến qua C nên 3t2+9+t+1
2 +1=0 t = 3 B(-2; -3) 0,25 2 Đại số tổ hợp (1,00 điểm)
Số tam giác thỏa điều kiện đề 10 Cn
+ n C10
0,25
Từ giả thuyết suy 10 Cn
+ n C10
= 2800 n2 + 8n 560 = 0
0,50
n = 20 0,25
V.b 2,00
1 Giải phương trình (1,00 điểm)
Đặt t = 3x2+x , phương trình cho trở thành: t2 10t + = 0 tt=1 =9 ¿
(5)2 Tính tg thể tích khối chóp A’.BB’C’C (1,00 điểm)
Gọi E trung điểm cạnh BC ,H tâm tam giác ABC Vì A’.ABC hình chóp nên góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) =A’EH 0,25 AE = a√3
2 ,AH =
a√3
3 , HE =
a√3
6 A’H =
√A ' A2−AH2=√9b
2
−3a2
3
tg = HEA ' H=¿ 2√3b
2−a2
a
0,25
SABC = a
2 √3
4 VABC.A’B’C’ = A’H.SABC = a
2
√3b2− a2
4 VA’.ABC =
1
3 A’H.SABC = a
√3b2− a2 12
0,25
VA’.BB’C’C =VABC.A’B’C’ –VA’.ABC= 13 A’H.SABC = a
√3b2− a2
6 0,25
========== Hết ============
A’ C’
B’ b
A C
H E