Đang tải... (xem toàn văn)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn BỘ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC Caâu (2,0 ñieåm) Cho haøm soá y = ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− x+2 x−1 (1) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x Caâu (1,0 ñieåm) Giaûi phöông trình √ sin x + cos x = + sin 2x Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x2 − x + và đường thaúng y = 2x + Caâu (1,0 ñieåm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (2 + i) z = + 5i Tìm phần thực và phần ảo z b) Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+y −2z −1 = y z+3 x−2 = = Tìm tọa độ giao điểm d và (P ) Viết phương và đường thẳng d : −2 trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P ) 3a , hình chieáu vuoâng goùc cuûa S treân maët phaúng (ABCD) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1; 2) và N(2; −1) ( √ p x 12 − y + y(12 − x2 ) = 12 Caâu (1,0 ñieåm) Giaûi heä phöông trình (x, y ∈ R) √ x3 − 8x − = y − Câu (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x2 + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x2 y+z + yz + − x2 + yz + x + x + y + z + −−−−−−Heát−−−−−− Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Hoï vaø teân thí sinh: ; Soá baùo danh: (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn BỘ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1 (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Caâu a) (1,0 ñieåm) (2,0ñ) • Taäp xaùc ñònh D = R \ {1} • Sự biến thiên: ; y < 0, ∀x ∈ D (x − 1)2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và (1; +∞) 0,25 - Chieàu bieán thieân: y = − - Giới hạn và tiệm cận: lim y = lim y = 1; tieäm caän ngang: y = x→−∞ 0,25 x→+∞ lim y = −∞; lim y = +∞; tiệm cận đứng: x = x→1+ x→1− - Baûng bieán thieân: x −∞ y0 y Ñieåm P P − +∞ − +∞ P PP PP PP q P 0,25 PP PP q −∞ • Đồ thị: y 0,25 O −2 −2 x b) (1,0 ñieåm) a + 2 M ∈ (C) ⇒ M a; , a 6= a−1 0,25 a+2 a+ √a − Khoảng cách từ M đến đường thẳng y = −x là d = h √ a2 − 2a + = d = ⇔ |a2 + 2| = 2|a − 1| ⇔ a2 + 2a = • a2 − 2a + = 0: phöông trình voâ nghieäm h a=0 • a2 + 2a = ⇔ Suy tọa độ điểm M cần tìm là: M (0; −2) M (−2; 0) a = −2 0,25 0,25 0,25 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn Đáp án Caâu Phương trình đã cho tương đương với (1,0ñ) ⇔ (sin x − 2)(2 cos x − 1) = Ñieåm 0,25 0,25 sin x + cos x = + sin x cos x • sin x − = 0: phöông trình voâ nghieäm π • cos x − = ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) π Nghiệm phương trình đã cho là: x = ± + k2π (k ∈ Z) 0,25 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm đường cong y = x − x + và đường thẳng h x=1 (1,0ñ) y = 2x + laø x2 − x + = 2x + ⇔ x = 2 Z |x2 − 3x + 2|dx Dieän tích hình phaúng caàn tìm laø S = 0,25 0,25 Z2 = (x − 3x + 2)dx = 1 = x3 3x2 − + 2x 2 0,25 0,25 3a + b = a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy a−b=5 (1,0ñ) ⇔ a = 2, b = −3 Do đó số phức z có phần thực 2, phần ảo −3 0,25 0,25 b) Số phần tử không gian mẫu là: C 416 = 1820 0,25 Số kết thuận lợi cho biến cố “4 thẻ đánh số chẵn” là: C 48 = 70 70 Xaùc suaát caàn tính laø p = = 1820 26 0,25 Goïi M laø giao ñieåm cuûa d vaø (P ), suy M (2 + t; −2t; −3 + 3t) 0,25 3 (1,0đ) M ∈ (P ) suy 2(2 + t) + (−2t) − 2(−3 + 3t) − = ⇔ t = Do đó M ; −3; 2 − → − → d coù vectô chæ phöông u = (1; −2; 3), (P ) coù vectô phaùp tuyeán n = (2; 1; −2) → − Maët phaúng (α) caàn vieát phöông trình coù vectô phaùp tuyeán [ − u,→ n ] = (1; 8; 5) 7 Ta có A(2; 0; −3) ∈ d nên A ∈ (α) Do đó (α) : (x − 2) + 8(y − 0) + 5(z + 3) = 0, nghóa laø (α) : x + 8y + 5z + 13 = (1,0ñ) Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB, suy √ SH ⊥ (ABCD) Dopđó SH ⊥ HD Ta có SH = SD − DH = SD − (AH + AD ) = a S B E C H K A a3 SH.SABCD = 3 Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân BD vaø E laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân SK Ta coù BD ⊥ HK vaø BD ⊥ SH, neân BD ⊥ (SHK) Suy BD ⊥ HE Maø HE ⊥ SK, đó HE ⊥ (SBD) √ a \ Ta coù HK = HB sin KBH = HS.HK a Suy HE = √ = 2 HS + HK 2a Do đó d(A, (SBD)) = 2d(H, (SBD)) = 2HE = Suy V S.ABCD = D 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn Đáp án √ Ta có M N = 10 Gọi a là độ dài cạnh của√ hình vuoâng ABCD, I C 3AC 3a a (1,0ñ) D = , a > Ta coù AM = vaø AN = 4 5a2 N \ neân M N = AM + AN − 2AM.AN cos M AN = 5a Do đó = 10, nghóa laø a = Goïi I(x; y) laø trung ñieåm cuûa CD Ta coù IM = AD = BD √ A M B = 2, neân ta coù heä phöông trình vaø IN = h x = 1; y = −2 (x − 1)2 + (y − 2)2 = 16 ⇔ 17 (x − 2)2 + (y + 1)2 = ;y = − x= 5 −−→ • Với x = 1; y = −2 ta có I(1; −2) và IM = (0; 4) −−→ Đường thẳng CD qua I và có vectơ pháp tuyến là IM, nên có phương trình y + = 17 17 6 −−→ 12 16 • Với x = ; y = − ta coù I ;− vaø IM = − ; 5 5 5 −−→ Đường thẳng CD qua I và có vectơ pháp tuyến là IM, nên có phương trình 3x−4y−15 = ( √ p √ √ x 12 − y + y(12 − x2 ) = 12 (1) Ñieà u kieä n : −2 ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 √ (1,0ñ) x3 − 8x − = y − (2) p √ x2 + 12 − y y + 12 − x2 Ta coù x 12 − y ≤ vaø y(12 − x2 ) ≤ 2 p √ x≥0 nên x 12 − y + y(12 − x ) ≤ 12 Do đó (1) ⇔ y = 12 − x2 √ √ Thay vào (2) ta x3 − 8x − = 10 − x2 ⇔ x3 − 8x − + 2(1 − 10 − x2 ) = 2(x + 3) √ ⇔ (x − 3) x2 + 3x + + = (3) + 10 − x2 Caâu Ñieåm 0,25 Do x ≥ neân x2 + 3x + + 2(x + 3) √ > + 10 − x2 Do đó (3) ⇔ x = Thay vào hệ và đối chiếu điều kiện ta nghiệm: (x; y) = (3; 3) Ta coù ≤ (x − y − z)2 = x2 + y + z − 2xy − 2xz + 2yz = 2(1 − xy − xz + yz), (1,0ñ) neân x2 + yz + x + = x(x + y + z + 1) + (1 − xy − xz + yz) ≥ x(x + y + z + 1) x2 x Suy ≤ x + yz + x + x+y+z+1 Maëc khaùc, (x + y + z) = x2 + y + z + 2x(y + z) + 2yz = + 2yz + 2x(y + z) x+y+z (x + y + z)2 ≤ + 2yz + [x2 + (y + z)2 ] = 4(1 + yz) Do đó P ≤ − x+y+z+1 36 Ñaët t = x + y + z, suy t ≥ vaø t = (x + y + z)2 = (x2 +√ y + z ) + 2xy + 2yz + 2zx ≤ + (x2 + y ) + (y + z ) + (z + x2 ) = Do đó ≤ t ≤ √ t t2 Xeùt f (t) = − , với ≤ t ≤ t + 36 t (t − 2)(t2 + 4t + 9) − , neân f (t) = ⇔ t = Ta coù f (t) = = − (t + 1)2 18 18(t + 1)2 √ √ √ 31 Ta coù f (0) = 0; f (2) = vaø f ( 6) = − , neân f (t) ≤ ≤ t ≤ 30 5 Do đó P ≤ Khi x = y = và z = thì P = Do đó giá trị lớn P là 9 −−−−−−Heát−−−−−− 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5)