Đang tải... (xem toàn văn)
Hình chiếu vuông góc của A 0 trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A 0 C và mặt đáy bằng 60 ◦.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn BỘ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO −−−−−−−−− − ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Caâu (2,0 ñieåm) Cho haøm soá y = x − 3mx + (1), với m là tham số thực a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Cho điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị B và C cho tam giaùc ABC caân taïi A √ Caâu (1,0 ñieåm) Giaûi phöông trình 2(sin x − cos x) = − sin 2x Z2 x + 3x + Caâu (1,0 ñieåm) Tính tích phaân I = dx x2 + x Caâu (1,0 ñieåm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 − i) z = − 9i Tính môđun z b) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta đã gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu và hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) và đường y+1 z x−1 = = Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d thaúng d : 2 −1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A trên d Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A C và mặt đáy 60 ◦ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A 0B C và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC A0 ) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD Điểm M (−3; 0) laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, ñieåm H(0; −1) laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa B treân 4 AD và điểm G ; là trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ các điểm B và D Caâu (1,0 ñieåm) Giaûi heä phöông trình ( √ √ (1 − y) x − y + x = + (x − y − 1) y (x, y ∈ R) √ √ 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − Câu (1,0 điểm) Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức r r a b c P = + + b+c a + c 2(a + b) −−−−− −Heát−−−−− − Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Hoï vaø teân thí sinh: ; Soá baùo danh: (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn BỘ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO −−−−−−−−−− ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối B (Đáp án - Thang điểm gồm 03 trang) −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Đáp án Caâu a) (1,0 ñieåm) (2,0đ) Với m = 1, hàm số trở thành: y = x − 3x + • Taäp xaùc ñònh: D = R • Sự biến thiên: - Chieàu bieán thieân: y = 3x2 − 3; y = ⇔ x = ±1 0,25 Các khoảng đồng biến: (−∞; −1) và (1; +∞); khoảng nghịch biến: (−1; 1) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = −1, y CĐ = 3; đạt cực tiểu x = 1, y CT = −1 - Giới hạn vô cực: lim y = −∞; lim y = +∞ x→−∞ Ñieåm 0,25 x→+∞ - Baûng bieán thieân: x −∞ y0 y −∞ −1 + − PP PP PP q −1 • Đồ thị: +∞ + +∞ 0,25 y 0,25 −1 O −1 x b) (1,0 ñieåm) Ta coù y = 3x2 − 3m Đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị ⇔ phương trình y = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m > √ √ √ √ Tọa độ các điểm cực trị B, C là B(− m; m3 + 1), C( m; −2 m3 + 1) √ √ −−→ Suy BC = (2 m; −4 m3 ) − → −−→ Goïi I laø trung ñieåm cuûa BC, suy I(0; 1) Ta coù tam giaùc ABC caân taïi A ⇔ AI.BC = √ √ ⇔ −4 m + m3 = ⇔ m = m = Đối chiếu điều kiện tồn cực trị, ta giá trị m cần tìm là m = 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn Đáp án Caâu √ Phương trình đã cho tương đương với sin x cos x − 2 cos x + √ √ (1,0ñ) ⇔ (sin x − 2)(2 cos x + 2) = √ • sin x − = 0: phöông trình voâ nghieäm √ 3π • cos x + = ⇔ x = ± + k2π (k ∈ Z) 3π + k2π (k ∈ Z) Nghiệm phương trình đã cho là: x = ± Z2 Z2 Z2 2x + x + 3x + dx = dx + dx Ta coù I = x +x x2 + x (1,0ñ) 1 • Z2 dx = • Z2 2x + dx = ln |x2 + x| x2 + x √ Ñieåm sin x − = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 = ln Do đó I = + ln 0,25 a) Đặt z = a + bi (a, b ∈ R) Từ giả thiết suy (1,0ñ) √ ⇔ a = 2, b = Do đó môđun z 13 5a − 3b = 3a + b = 0,25 0,25 b) Số phần tử không gian mẫu là: C 312 = 220 0,25 Số cách chọn hộp sữa có đủ loại là 5.4.3 = 60 Do đó xác suất cần tính là p = 60 = 220 11 → Vectô chæ phöông cuûa d laø − u = (2; 2; −1) (1,0ñ) → Maët phaúng (P ) caàn vieát phöông trình laø maët phaúng qua A vaø nhaän − u laøm vectô phaùp tuyeán, neân (P ) : 2(x − 1) + 2(y − 0) − (z + 1) = 0, nghóa laø (P ) : 2x + 2y − z − = Goïi H laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa A treân d, suy H(1 + 2t; −1 + 2t; −t) (1,0ñ) A B Theå tích khoái laêng truï laø V ABC.A0 B 0C = K A H I B C 5 Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB, suy A H ⊥ (ABC) 3a ◦ 0 \ \ và A CH = 60 Do đó A H = CH tan A CH = C A0 H.S ∆ABC √ 3 a3 = Goïi I laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân AC; K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa H treân A I Suy HK = d(H, (ACC A0 )) √ [ = a, Ta coù HI = AH sin IAH √ 1 52 13 a = + = , suy HK = HK HI HA02 9a 26 √ 13 a 0 0 Do đó d(B, (ACC A )) = 2d(H, (ACC A )) = 2HK = 13 0,25 0,25 0,25 1 1 Ta có H ∈ (P ), suy 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) − (−t) − = ⇔ t = Do đó H ; − ; − 3 3 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn Đáp án Caâu (1,0ñ) B E M G I A H D F Ñieåm Gọi E và F là giao điểm HM và HG −−→ −−→ −−→ − −→ C với BC Suy HM = M E và HG = 2GF , Do đó E(−6; 1) và F (2; 5) −−→ Đường thẳng BC qua E và nhận EF làm vectơ phương, nên BC : x − 2y + = Đường thẳng −−→ BH ñi qua H vaø nhaän EF laøm vectô phaùp tuyeán, neân BH : 2x + y +1 = Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ x − 2y + = Suy B(−2; 3) phöông trình 2x + y + = Do M laø trung ñieåm cuûa AB neân A(−4; −3) 3 −→ −→ Gọi I là giao điểm AC và BD, suy GA = 4GI Do đó I 0; Do I là trung điểm đoạn BD, nên D(2; 0) ( √ √ (1) (1 − y) x − y + x = + (x − y − 1) y √ √ (1,0ñ) 2y − 3x + 6y + = x − 2y − 4x − 5y − (2) y≥0 Ñieàu kieän: x ≥ 2y (∗) 4x ≥ 5y + √ √ Ta coù (1) ⇔ (1 − y)( x − y − 1) + (x − y − 1)(1 − y) = 1 ⇔ (1 − y)(x − y − 1) √ + = (3) √ x−y+1 1+ y h y=1 1 + > neâ n (3) ⇔ √ y = x − x−y+1 1+ y • Với y = 1, phương trình (2) trở thành − 3x = ⇔ x = Do √ • Với y = x − √ 1, điều kiện (∗) trở thành ≤ x ≤ 2.√Phương trình (2) trở thành 2x2 − x − = − x ⇔ 2(x2 − x − 1) + (x − − − x) = h i √ ⇔ (x2 − x − 1) + =0 x−1+ 2−x √ 1± ⇔ x −x−1 = ⇔ x = Đối chiếu điều kiện (∗) và kết hợp trường hợp trên, ta + √5 −1 + √5 nghiệm (x; y) hệ đã cho là (3; 1) và ; 2 r p a 2a Ta coù a + b + c ≥ a(b + c) Suy ≥ b+c a+b+c (1,0ñ) r b 2b Tương tự, ≥ a+c a+b+c h 2(a + b) 2(a + b) c a + b + ci Do đó P ≥ − + = + a + b + c 2(a + b) a+b+c 2(a + b) ≥2− = 2 Khi a = 0, b = c, b > thì P = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Do đó giá trị nhỏ P là 2 −−−−−−Heát−−−−−− 0,25 (5)