De thi Toan vong 2 Tin chuyen Vinh Phuc

- Trong mỗi câu, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các bước sau có liên quan không được điểm.. - Câu hình học bắt buộc phải vẽ đúng hình mới chấm điểm, nếu thí sinh không có hình vẽ đúng [r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MƠN: TỐN

(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin học) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————— Câu (2,0 điểm)

Giải phương trình: x3x23x 3 2x  x2 3 2x22x. Câu (2,0 điểm)

Cho x, y số thực thỏa mãn x2y2 xy1 Chứng minh rằng:

1

1

3 xy

  

4 2

9

x y  x y  Câu (2,0 điểm)

Tìm tất ba số nguyên dương ( ; ; )x y z thỏa mãn: 3(xy yz zx  ) 4 xyz Câu (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm P cung AB khơng chứa C đường trịn (O) (P khác A B) Đường thẳng qua P vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự Q, R; đường thẳng qua P vng góc với OB cắt đường thẳng AB, BC theo thứ tự S, T

1 Chứng minh tam giác PQS cân Chứng minh PQ2 QR ST Câu (1,0 điểm)

Hai bạn Vĩnh Phúc cho 2012 kẹo Họ chia kẹo cho theo quy tắc: luân phiên nhau, người lần lấy kẹo nhiều kẹo Vĩnh người lấy Người lấy kẹo cuối người thắng Hỏi người ln thắng cuộc?

—Hết—

Cán coi thi khơng giải thích thêm!

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN

(Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin học) ——————————

1 Hướng dẫn chung.

- HDC trình bày cách giải với ý mà HS phải trình bày, HS giải theo cách khác đủ bước cho điểm tối đa

- Trong câu, bước bị sai bước sau có liên quan khơng điểm

- Câu hình học bắt buộc phải vẽ hình chấm điểm, thí sinh khơng có hình vẽ phần giám khảo khơng cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần

- Điểm toàn tổng điểm ý, câu, tính đến 0,25 điểm khơng làm trịn 2 Đáp án thang điểm

Câu (2 điểm).

Nội dung trình bày Điểm

Điều kiện: x0 0.25

Biến đổi phương trình dạng

x2 3x 1 2x x2 3 2x x 1 0 x2 3 x 1 1 2 1x x 1 0

                0.25

 x2 3 2x x 1 1 0

      0.25

2 3 2 0 (1)

1 (2)

x x x            0.25 Phương trình (1) tương đương với x2 3 2x  x2 2x 3 0,vơ nghiệm 0.25 Phương trình (2) tương đương với x  1 x  1 x0 0.50

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x0. 0.25

Câu (2.0 điểm).

Ý Nội dung trình bày Điểm

1

Do  

0 ,

x y  x y

nên x2y2 2 xy dấu " "  xy 0.25 Suy 1x2y2 xy2xy xy xy  , dấu " "  xy 0.25

Mặt khác  

2 2

1x y  xy x y  3xy3xy

, dấu " "  x y 0.25 Suy 1 xy    ; 1 1; 3

xy  x y xy  x y

0.25 Đặt ,

xy t   t

Theo giả thiết    

2

2 1 2 1

x y   t x y  t 0.25

ta P x 4y4 x y2 (x2y2 2)  3x y2 2t22 1,t với

1 ;1

t  

  0.25

Ta có  

2

1 10 1

2

9 3 3

P  t  t    t   t

      0.25

Do 1 t    nên

0,

3

t   t

Suy  

1 1

4

9 3

P  t   t 

  (đpcm)

Dấu “=” xảy

1 x y    0.25

Câu (2.0 điểm)

Nội dung trình bày Điểm

Viết lại phương trình dạng

1 1

3

Khơng tính tổng qt, giả sử x y z  Khi đó, từ (1) suy

4 1

3  x y z  x x4

Do x1 x2.

0.50

Với x1ta

2 1

3

3 y

y  y z     Thử trực tiếp giá trị y từ đến 6, được

( ; ; ) (1; 4; 12), (1; 6; 6)x y z  .

0.50

Với x2 ta

2 1 12

6 y

y  y z    Do x y , nên y2 Từ tìm z3. 0.25 Vậy: Phương trình có 12 nghiệm gồm(1; 4; 12), (1; ; 6), (2 ; 2; 3) hoán vị chúng 0.25 Câu (3 điểm).

Ý Nội dung trình bày Điểm

1

Do tam giác OAB cân, nên OABOBA (1) 0.25 Do PROA nên PQSAQR900 OAB (2)

Tương tự, có PSQ900 OBA (3) 0.5

Từ (1), (2), (3) suy PQS cân 0.25

2

Theo chứng minh trên, AQR900 OABBCA

90

BST OBA BCA

     Do ARQ~ABC~TBS 0.25

Suy

~ QA ST

ARQ TBS

QR SB

   

(4) 0.25 Do APB1800 BCA SPQ, 1800 AOB1800 2 BCA nên

APQ BPS APB SPQ BCA

       0.25

mà APQ PAQPQS BCAPAQ PBS suy PBSAPQ PQA PSB

  (do tam giác PSQ cân P) 0.25

Do

~ QP SB

AQP PSB

QA SP

   

(5) 0.25 Từ (4) (5) suy

· ·

QP QA QP ST SB ST

QR QR QA SB SP SP 0.25

Từ đó, PQ PS nên ta

2 · , PS ST

PS QR ST

QR SP   điều phải chứng minh. 0.5 Câu (1,0 điểm).

Nội dung trình bày Điểm

Trả lời: Vĩnh lấy kẹo trước, Vĩnh ln có chiến lược để đến lượt Phúc lấy kẹo bàn

cịn kẹo 0.25

Lần Vĩnh lấy 02 kẹo, bàn 2010 kẹo; đến lượt Phúc, Phúc lấy k kẹo

(k 1, 2,3, 4) Vĩnh lấy 5 k kẹo Khi số kẹo cịn lại 2010 k (5 k) 2005

là bội

Theo quy luật trên, sau lần Vĩnh lấy kẹo, số kẹo lại bàn bội 0.25 Bởi vậy, bàn kẹo đến lượt Phúc lấy Khi đó, cho dù Phúc lấy