Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so v[r]
(1)Ôn Thi vào THPT Phần I: đại số
A- Lí thuyết ( Theo đề cơng ôn tập) B- Bài tập
I-Căn Bậc hai bậc ba Bài 1: Không dùng máy tính hÃy so sánh
a, √31 vµ 10 -3 √26 vµ 15 -3 √11 vµ -12 √5 vµ √2 √5√3 va√3√5 3❑
√2 3
32 (căn bậc 3)
b, √7+√15 vµ 15 √2+√11 va√3+5 vµ √3−1 √37−√15 vµ 14 vµ √13.√15
c, 3+ √8 6+ 1+ 6 27 √48 √2+√6 3+ √5 d, √15−√14 √14−√13 √105−√101 √101−√97 Bài 2: Biểu thức sau xác định với giá trị x
A= √2− x B= √−7x C= √4x+12 D= √3x2+1 E=
√4x2−1 F= √x2
−2x+1 G= √2x2
+4x+5 H= √−5x −10 I= √ −5
− x −7 J= √ −5x
− x −7 K=
√2x − x2 M= √x2−4 N= √x −x −23 P= √x −√x2
−4x+4 Q=
√x2+2x+4 R=
√x2−3 U= √x+
x+√−3x
Bµi 3a, Cho A= 6+2 √5 vµ B= 6-2 √5 TÝnh A+B ; A-B ; A.B ; A:B 3b, Cho C= √36+10√11 vµ D= √36−10√11 TÝnh C+D ; C-D ; C.D ; C:D Bµi Thùc hiÖn phÐp tÝnh
A=
3√2−4−
3√2+4 B= 1+√34+
1 √34+√67+
1
√67+√100 C= √5−√3
√5+√3+¿
√5+√3
√5−√3 D= ( √12+3√15−4√135¿.√3 E= (√252−√700+√1008)√448 F=2 √40√12−2√√75−3√5√48 G=(15 √50+5√200−3√450¿:√10 H= √3+√5+2√3 √3−√5+2√3 I= (√4+√15)(√10−√6)(√4−√15) J=( 3+2√3
√3+2 + 2+√2 2+1:(1:
1 2+3) Bài 5:Rút gọn biểu thức sau
A= √9−4√5 - ❑
√5 B= √23−8√7 - √7
C= 2+√3
2+√4+2√3 +
2−√3
2−√4−2√3 D= √3+√5−√3−√5−√2 E= √4−√7−√4+√7−√7 F= √6,5+√12+√6,5−√12+2√6
G=
√7−√24+1−
1
√7+√24−1 H= √4+√15+¿ √4−√15 -2 √3−√5 I= √3+2√2−√57+40√2 J= √3−2√2− √6+4√2
Bµi 6: TÝnh A= √√5−√3−√29−6√20 B= √6+2√5−√13+√48 C= √4+√5√3+5√48−10√7+4√3 D= √√5−√3−√29−12√5 Bµi 7: Rót gän biĨu thøc
a, x-4- √16−8x2+x4 víi x>4 d, √a2+6a+9+√a2−6a+9 víi a bÊt k× b, √x −2√x+1
x+2√x+1 víi x e, √a+2√a −1 + √a −2√a −1 víi 1≤ a ≤2 c, √a+√b
√a −√b−
√a −√b
√a+√b víi a 0;b ≥0;a ≠b g,
a − b
√a −√b−
√a3−√b3
a −b víi a 0;b ≥0;a ≠b
h,Tìm đ/k xác định biểu thức sau rút gọn
H1= √x+4√x −4+√x −4√x −4 H2= √x −√x2
(2)a,
√a+√b
a − b ¿
2=1
(√a
+√b3
√a+√b −√ab).¿
víi mäi a>0 ; b>0 ; a b
b, a+b −2√ab √a−√b :
1
√a+√b=a −b víi mäi a>0 ; b>0 ; a b c, (2+
2− a−√a
√a −1¿.¿
a+√a
√a+1¿=4−a víi mäi a>0 ; a d, √x+12+6√x+3 - √x+12−6√x+3 =6 víi mäi x e, ( √a+2
a+2√a+1− √a −2
a −1 ¿ √a+1
√a =
2
a−1 víi mäi a>0 ; a f, (
1− a¿2 1− a√a
1−√a +√a¿.(
1+a√a
1+√a −√a)=¿
víi mäi a ; a
g,
4 neu 2≤ x ≤6 ¿
2√x −2 neux>6 ¿
¿ ¿
√x −4√x −2+2+√x+4√x 2+2=
Bài 9:Tìm giá trị lớn nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc sau
A=x2 - 4x +1 B=4x2+4x+11 C=3x2-6x+1 D=2+x-x2
E=x2-2x+y2-4y+6 F= x2-2xy +3y2-2x-10y +20 H=x (x+1) (x+2) (x+3) G=
x2−6x+17 II Rót gän biĨu thøc h÷u tØ
Bµi 10.1: Cho biĨu thøc A= √x −2√2 √x2−4x√2+8
-√x+2√2
√x2+4x√2+8 a,Rót gän A
b,TÝnh gía trị A x=3 ( KQ: A=2) Bµi 10.2: B=(
√1+x+√1− x¿:(
1
√1− x2+1) víi -1<x<1
a,Rót gän B
bTính gía trị B x=4 25 ( KQ: B= √1− x = =2- √2 ) Bµi 10.3 C= x+5−5√x −1
x −1−3√x −1 víi x 1; x ≠10
a,Rót gän C KQ; :C= √x −1−2 √x −1
b,Tìm x để C<3 (đúng với ; x 1; x ≠10 ) Bài 10.4 D= √x+1
√x −2+ 2√x
√x+2+
2+5√x
4− x víi mäi x 0; x ≠4 )
a,Rút gọn D b,Tìm x để D=2
Bµi 10.5 § =( x+2
x√x −1+ √x x+√x+1+
1 1−√x¿:(
√x −1 )
a,Rót gän § ( KQ:§=
x+√x+1 ) b, C/m Đ >0 với đ/k x để Đ có nghĩa
Bµi 10.6 E= ( √x
-1
√x −1 ) : (
√x+2 √x −1−
√x+1
(3)2; Tìm x để E=0
Bµi 10.7 F= 15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3
3+√x
a,Rút gọn F ( KQ:F= 2−5√x √x+3 ) bTìm gía trị x để F=0,5 ( x=1/121)
c, Tìm x để F nhận giá trị lớn Tìm giá trị lớn (EMAX=2/3<=>x=0)
Bµi 10.8 G= x 2−
√x x+√x+1−
2x+√x
√x +
2(x −1) √x −1
a,Rút gọn G b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ Tìm giá trị
Bµi 10.9 H= 12− x −√x √x+4
a,Rót gän H ( KQ: H=3- √x 3 v×
bTìm x để H có giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài 10.10 I= ( √x+2
x+2√x+1− √x −2
x −1 ).√
x+1
√x víi x>0; x
a,Rót gän I ( KQ : I =
x −1 ) bTính gía trị nguyên x để I có giá trị ngun
Bµi 10.11 J = 3x+√9x −3
x+√x −2 − √x+1 √x+2+
√x+2
1−√x (víi mäi x 0; x ≠1 )
a,Rút gọn J ( KQ J = √x −3 √x −1 bTính gía trị nguyên x để J có giá trị ngun ( x=0;4;9)
Bµi Bµi 10.12 K= 2√x −9
x −5√x+6+
2√x+1 √x −3+
√x+3
2−√x
a,Rót gän K ( KQ:K= √x+1
√x −3 bTính gía trị ngun x để K có giá trị nguyên ( x=1;16;25;49)
Bµi 10.13 M = x+2
x√x −1+
√x+1
x+√x+1−
1−√x
a,Rót gän M
b,TÝnh gÝa trÞ cđa M nÕu x=28-6 √3 ( M= √x
x+√x+1 = =
3√3−1
28−3√3 = ) c,C/m r»ng M <
3 (xÐt hiƯu vµ c/m hiƯu <0) Bµi 10.14 N =1+( 2x+√x −1
1− x −
2x√x −√x+x 1− x√x ¿
x −√x
2√x −1 a,Rót gän N
b, C/m N > c,T×m x biÕt N= √6
1+√6 Bµi 10.15 P= 2√x
√x+3+ √x
√x −3−
3(√x+3)
x −9 ¿:(
2√x −2
√x −3 −1) víi mäi x 0; x ≠9 ) a,Rót gän P
b,Tìm x để P<-1 (KQ: 3(√x −3)
√x+3 <−1 <=>
4(√x −6)
√x+3 <0 ) c,Tìm x đẻ P có giá trị nhỏ
Bµi 10.16 Q= x
+√x
x −√x+1−
2x+√x
√x +1
(4)b,Biết x >1so sánh Q / Q/ c,Tìm x đẻ Q=2
d,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ
III Hàm số y=a x+b (a 0) hệ phơng trình Bµi 1: Cho hµm sè y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị a hàm số hàm số bậc b,Với giá trị a hàm số đồng biến R ? c, Với giá trị a hàm số nghịch biến R ?
d,Nếu a=5 hàm số đồng biến hay nghịch biến ? e, Tính f(-4); f(0); f(5)
Bµi 2: Cho hµm sè y= k x+(k2-3) (d)
a, Tìm k để đờng thẳng (d) qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình y=-2x+10
Bài 3: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : y=k2x+(m+3),và đờng thẳng (d’) có phơng trình : y=(3k-2)x+(5-m) Xác định k m để đờng thẳng trùng
Bài 4:Cho hàm số : y=(k-1) x+3 y= (2k+1)x -4 a,Xác định k để đờng thẳng cắt
b, Xác định k để đờng thẳng song song với c, Hai đờng thẳng có trùng đợc khơng? Vì sao?
Bài 5: Cho đờng thẳng: y=kx-2 (d1) ; y=4x +3 (d2) ; y=(k-1)x+4 (d3) Tìm k để : a, (d1) song song với (d2) d, (d1) vng góc với (d3) b, (d1) song song với (d3) e, (d2) cắt (d3)
c, (d1) vu«ng gãc víi (d2)
Bài 6: Cho hàm số : y=2 x+1 y= 4-x Tìm toạ độ giao điểm đồ thị hàm số ? Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết
a, Đồ thị hàm số qua M(1;-1)và có hệ số góc b, Đồ thị hàm số ®i qua A(4;3) vµ B(-2;6)
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x cắt trục tung điểm có tung độ d,Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng AB với trục hồnh trục tung
Bµi 8:Cho ®iĨm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm A B b, Tìm k để điểm A;B;C thẳng hàng
Bài 9: Cho đờng thẳng: y=2x-7 (d1) ; y=x +5 (d2) ; y=k x+5 (d3) a,Tìm toạ độ giao điểm (d1) (d2)
b, Tìm k để đờng thẳng đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ
Bài 10: a,Vẽ đồ thị hàm số sau hệ trục toạ độ : y=-x+5 (1) ; y=4x (2) ; y= x (3) b, Gọi giao điểm đờng thẳng có phơng trình (1) với đờng thẳng có phơng
trình (2) (3) A B Tìm toạ độ điểm A B c, tam giác AOB tam giác ? sao?
d, TÝnh S Δ ABO =?
Bµi 11: Cho hµm sè y=(m-1)x+m (1)
a) Xác định m để hàm số đồng biến , nghịch biến b) Xác định m để đờng thẳng (1)
b1 Song song víi trơc hoµnh
b2 Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1 b3 Cắt trục hồnh điểm A có hồnh độ x=2- √3
2 c) C/m đờng thẳng (1) qua điểm cố định m thay đổi Bài 12: Cho hàm số y=(m-2)x+ n (1) (m;n tham số )
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua điểm : A(1;-2); B(3;-4)
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hồnh điểm C có hồnh độ x=2+ √2 Cắt trục tung điểm D có tung độ y=1- √2
c) Xác định m;n để đờng thẳng (1)
c1 Vng góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3 c2 Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1 c3 Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0 Bài 13: Cho hàm số y=(2m-1)x+ n -2 (1)
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành điểm có hồnh độ x= √3 cắt trục tung điểm có tung độ y=- √2
(5)IV.Giải biện luận nghiệm hệ phơng trình
Bài 14: Cho hệ phơng trình
¿ 2x −ay=b ax+by=1
¿{ ¿
Giải hệ a=3 ; b=-2 a) Tìm a;b để hệ có nghiệm (x;y) = ( √2;√3¿
b) Tìm a;b để hệ có vơ số nghiệm Bài 15: Cho hệ phơng trình
¿ ax− y=2
x+ay=3 ¿{
¿
Gi¶i hƯ a= √3−1 a) C/m r»ng hƯ lu«n cã nghiƯm víi mäi a
b) Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) cho x+y=<0 d)Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) cho x<0; y<0
e)Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) cho x>0; y>0 Bài 16:Cho hệ phơng trình
¿ ax−2y=a
−2x+y=a+1 ¿{
¿ a)Gi¶i hƯ a=-2
b)Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) cho x-y=1 Bài 17:Cho hệ phơng trình
¿ 2x+my=1 mx+2y=1
¿{ ¿
a) Giải biện luận nghiệm hệ theo tham sè m
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x; y số nguyên KQ:( Với m ±2 hệ có ng nhất: x=y=
m+2 ; x=y Z <=>1 ⋮ m+2 <=> Bµi 18:Cho hệ phơng trình
mx+4y=10 m
x+my=4 {
a) Giải biện ln nghiƯm cđa hƯ theo tham sè m
b)Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x; y số nguyên dơng KQ: (m ±2 hệ có ng : x= 8− m
m+2 ; y=
m+2 ; x nguyên dơng<=>x N<=> 8 m
m+2 N<=>
−(m+2)+10
m+2 =−1+
10
m+2 N<=>10 ⋮ m+2 )
Bµi 19:Cho hệ phơng trình
(m1)x my=3m1 2x y=m+5
{
a)Giải biƯn ln nghiƯm cđa hƯ theo tham sè m
(6)Bài 20:Cho hệ phơng trình
¿
(m+1)x+my=2m −1 mx− y=m2−2
¿{ ¿
a)Gi¶i hƯ m=2
b)Tìm tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà P=xy đạt giá trị lớn (max P=
4 m= )
Bài 21:Cho hệ phơng tr×nh
¿
x+my=2 mx−2y=1
¿{ ¿
a)Giải hệ a=2 b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) cho x>0; y<0
c)Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x;y) cho x; y số dơng KQ: ( hệ có ng vơi m : x= m+4
m2+2; y=
2m−1
m2+2 ; .) Bài 22: Giải hệ phơng trình sau ( dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
a)
¿
x+y−
x − y=2
5
x+y−
x − y=3
¿{ ¿
b)
¿
3√x −4√y=−8 2√x+√y=2
¿{ ¿
c)
¿
3√x −2−4√y −2=3 2√x −2+√y −2=1
¿{ ¿
(®k x;y ) d)
¿ √2y −x+11+√
2x+1
y −1 =2
x+y=5 ¿{
¿
(®k y −1
2x+1>0 <=>
e)
¿ √xy+√ y x=
5
x+y −5=0 ¿{
¿
tơng tự câu c đặt ẩn phụ y −1
2x+1=t (t>0) Khi
2x+1
y −1=
t
Bµi 23 : Giải hệ phơng trình sau ( Dành cho líp A)
a)
¿
x2+1=3y y2+1=3x
¿{ ¿
( Trừ vế đợc pt tích ta có hệ
¿
x2+1=3y (x − y)(x+y −3)=0
¿{ ¿
<=>
¿x2+1=3y
x − y=0 ¿ ¿ ¿
x2+1=3y
¿
x+y −3=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿{ ¿ b) ¿
x2+xy+y2=4
x+xy+y=2 ¿{
¿
(đặt x+y=u; xy=t ta có hệ
¿
u2− t=4
u+t=2 ¿{
¿
(7)c)
¿
x+y=1
x5+y5=31 ¿{
¿
( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t2–t-6=0 =>u=
d)
¿
x+y+xy=19
x2y+y2x=84 ¿{
( đặt x+y=u; xy=t ta cã u vµ v lµ nghiƯm cđa pt k2-19k+84=0 => k1=7; k2=12 <=>
¿ xy=12
x+y=7 ¿{
¿
e)
¿
x+y=4
x2
+y2=10 ¿{
¿
(hay x+y=4 vµ x.y=3
f)
¿
(x −1)(y −1)=18
x2
+y2=65 ¿{
¿
( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ đặt -(x+y)=u; xy=t
g)
¿
x+y+xy=5
x2y
+y2x=6 ¿{
¿
tơng tự câu d h)
x+y=5
x y+
y x=
13 ¿{
¿
®k x; y
Bµi 24:a) cho hƯ ph /t
¿
mx− y=3m−4
x2+y2=25 ¿{
¿
Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq; Δ =0=>m=- )
b) Cho hÖ ph /t
¿
x+y=8
x y+
y x=m
¿{ ¿
Tìm m để hệ có nghiệm kép (kq: a=2=>(x;y)=(4;4)
Bµi 25: Cho hÖ ph /t
¿ xy+1=2m
x2
+y2=2m ¿{
¿
Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt Tỡm nghim ú
( đa dạng
x − y¿2=1 ¿ xy=2m−1
¿
xảy hệ giải )
Bài 26: Cho hệ ph /t
¿
x(x+2y −4)+4k2=8+4y − y2
y2−2y+2=4x(y − x −1)+2k2+2k ¿{
¿
Tìm k ngun để hệ có nghiệm
(8)Bµi 27: Cho hÖ ph /t
¿
x − y=m
x2+y2=1 ¿{
¿
Tìm m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm m=- √2 ; m= √2
V Sự tơng giao đồ thị hàm số : y=ax2 Y=a x+b Bài 1: Cho Parabol (P): y=
2 x2 đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2
Chứng tỏ đờng thẳng (d) Parabol (P) có điểm chung nhất.Xác định toạ độ điểm chung Bài 2: Cho Parabol (P): y= −1
4 x2 đờng thẳng (d) có phơng trình : y=x+m a) Tìm m để đờng thẳng (d) Parabol (P) có điểm chung b) Tìm m để đờng thẳng (d) Parabol (P) cắt điểm phân biệt c) Tìm m để đờng thẳng (d) Parabol (P) khơngcó điểm chung
Bài 3: Cho Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b Tìm a b để đờng thẳng (d) Parabol (P) tiếp xúc điểm A(1;1) Bài 4: Cho Parabol (P): y=
4 x2
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k qua M(1,5; -1) b) Tìm k để đờng thẳng (d) Parabol (P) tiếp xúc
c) Tìm k để đờng thẳng (d) Parabol (P) cắt điểm phân biệt Bài 5; Cho Parabol (P): y=ax2
a)Tìm a biết (P) qua A(2;-1) vẽ (P) với a vừa tìm đợc
b) Điểm B có hồnh độ thuộc (P) (ở câu a) viết phơng trình đờng thẳng AB c) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) (ở câu a) song song với AB Bài 6: Cho Parabol (P): y=
2 x2 điểm N(m;0) I(0;2) với m Vẽ (P) a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm N; I
b)C/m (d)và (P) cắt diểm phân biệt A B với m
c) Gọi H;K hình chiếu A B lên trục hoành c/m tam giác HIK vuông I Bài 7: Cho Parabol (P): y=x2
a) Gọi A B điểm thuộc (P) lần lợt có hồnh độ -1 2.C/m Δ OAB vuông A b) Viết phơng trình đờng thẳng (d1) // AB tiếp xúc với (P)
c) Cho đờng thẳng (d2) : y=mx+1 (với m tham số )
+C/m đờng thẳng (d2) qua điểm cố định với m
+Tìm m cho đờng thẳng (d2)cắt Parabol điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 thoả mãn
x12
+
x22
=11 Bài 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x2 a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2)
b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) câu a qua B(-1;1)
c) Viết phơng trình đờng thẳng qua gốc toạ độ qua điểm C thuộc (P)ở câu a có tung độ −1
16
d) Tìm (P) điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ Bài 9: : Cho Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x+m a)Tìm m để (d) Parabol (P) tiếp xúc Xác định toạ độ điểm chung
b) Tìm m để (d) (P) cắt điểm ,một điểm có hồnh độ x=-1.Tìm điểm cịn lại c)Giả sử đờng thẳng cắt Parabol điểm A B Tìm tập hợp trung điểm I AB Bài 10: Bài thi nm 05-06 v 06-07
VI Giải Phơng trình Bài 1: Giải phơng trình sau
1) 1,5x2 -2,5x -1=0 6)
√x2+x+1
4−√4−2√3=0
2) -x2 +4x+3=0 7)
√4x+4√x+1−√7−4√3=0
3) x -2(1+
√3 )x +2 √3 +1=0 8) |x −5|−|x|=1 ( LËp b¶ng xÐt dÊu) 4) x 2 –(
√2+√3¿|x|+√6=0 9) x −1
x2−1−
x
1+x=
(9)5) |3x −2|=3−√2 10) 2x
x2−1−2= 1+x
Bài 2: Giải phơng trình sau ( có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ)
1) x4 –x2-6=0
2) x+1
x 1+
x 1
x+1 =3 Đặt
x+1
x −1=t (®k x ± 1)
3) (x2 +2x)2 -2(x2+2x) -3=0 Đặt (x2+2x)=t
4) (x2 +2x+2)2 -2(x2+2x) -28=0 Đặt (x2+2x)=t
5) (x2 -5x)2 -30(x2-5x) = 216
6) (y-x-2)2 + (x+2y) 2 =0 a2+b2 = <=>
¿
a=0
b=0 ¿{
¿
7) (x-
x¿ +x-
2
x - 2=0 Đặt x-
2
x =t (đk x 0)
8) (x+
x¿
2
4,5(x+1
x)+5=0 Đặt x+
1
x =t (®k x 0)
9)
x2−4−
x2−2x+ x −4
x2+2x=0 MTC: x(x-2)(x+2) => ng x=3 lu ý §KX§
10) (x+
2¿
+6x +11=0 T¸ch 11=
2 +8 råi Đặt x +
1 =t Bài 3; Giải phơng trình
1) 12x2
=x 1 đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ bình phơng vế 2) x-4= √x −2
3) √1− x −√2+x=1 4) √1− x+√4+x=3
5) √x+1+1=x đk ; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ bình phơng vế 6) x-1= √x+1
7) 3x-4 √x −1=18 8) x- √x −12=14
9) √ x+1 x −1−√
x −1 x+1=
3
2 đặt ẩn phụ ta có pt: t -
t =
3
2 (đk t>0 ; x>1 x<-1) 10) √1− x −√2+x=1
11) √x2−4=x −2 12 √3x2
−12x+16+√y2−4y+13=5 (ta cã x −2¿
+4≥4 3x2−12x+16=3¿
Nªn √3x2−12x+16≥2 ; √y2−4y+13≥3
10) √x+3+4√x −1+√x+8−6√x −1=5
11) √x2−2x+5=x2−2x −1 đặt ẩn phụ
√x2−2x
+5=t ( t ≥ 0) 12) 3x2 +2x=1-x+2
√x2+x đặt √x2+x =t ( t 0)
VII Phơng trình bậc cao (Dành cho lớp A) Phơng trình a x3 +bx2 +cx+d=0 (1) (a 0)
-Biến đổi vế trái dạng tích bậc với bậc hai để giải -Nếu a+b+c+d=0 (1) có 1nghiệm x=1
- Nếu a-b+c-d=0 (1) có 1nghiệm x=-1 Khi ta đẽ dàng Biến đổi vế trái dạng tích
-Nếu (1) có hệ số nguyên , có nghiệm ngun nghiệm ngun ớc hạng tử tự , giả sử nghiệm x1;x2;x3 x1+x2+x3 =-b/a
x1.x2.x3 =-d/a
x1.x2 +x1x3 + x2.x3 =c/a Bµi 4.1: a) Giải phơng trình 2x3+7x2+7x+2=0
a-b+c-d=0 thỡ (1) có 1nghiệm x=-1 Khi ta đẽ dàng Biến đổi vế trái dạng tích b) Giải phơng trình x3+7x2-56 x+48=0
a+b+c+d=0 th× (1) có 1nghiệm x=1 d) Giải phơng trình 2x3+5x2+6x+3=0
e) Giải phơng trình sau : x3+ 4x2 -29+24 =0 (1) <=> (x-1 )( x2+5x-24 )=0 Bài 4.2 Giải phơng trình sau 4x 4 – 109x2+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0
(10)(Đặc điểm : vế trái hệ số số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối )
ph
ơng pháp giải gồm b íc
-Nhận xét x=0 khơng phải nghiệm (1) ta chia hai vế (1) cho x2 (đk x 0) nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta đợc phơng trình
-Đặt ẩn phụ : (x+
x =t (3) => x2+
1
x2 =t2 -2 ta đợc phơng trình ẩn t -giải phơng trình ta đợc t = …
- thay giá trị t vào (3) để tìm x trả lời nghiệm (1) Giải phơng trình sau : 10x4- 27x3- 110x2 -27x +10=0 (1) Ta nhận thấy x=0 không phảI nghiệm (1)
chia hai vế (1) cho x2 (đk x 0) ta đợc pt <=>10x2 -27x – 110 - 27
x +
10
x2 =
Nhóm số hạng cách hai số hạng đầu cuối thành nhóm ta đợc PT 10( x2 + )
1 ( )
2 x x
x ) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
x¿ =t (3) => x2+
1
x2 =t2 -2 thay vào (2) ta có <=> 10t2 -27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t1=-
2 ; t 2= 26
5 + Víi t1=-
2 (x+
x¿ =-
5
2 2x2 +5x+2=0 cã nghiƯm lµ x1=-2 ; x2=-1/2 +Víi ; t 2= 26
5 (x+
x¿ =
26
5 5x2-26x+5 =0 cã nghiệm x3=5 ; x4=1/5 Vậy phơng trình (1) có tËp nghiƯm lµ S= {−1
2 ; −2; 5;5}
Bài 4.4 Phơng trình hồi quy dạng tổng quát : a x4 + bx 3+ cx2 + dx +e =0 (1) Trong x ẩn , a, b, c, d, e hệ số ; a e 0)
d b¿
2
e a=¿
; phơng tình hệ số đối xứng bậc trờng hợp đặc biệt phơng trình hồi quy Chú ý :Khi e
a =1hay a=e d= ± b; lúc (1) có dạng a x4 + bx 3+ cx2 ± bx +e =0
Cách giải:
-Do x=0 khụng phi l nghim ca phơng trình (1)nên chia hai vế cho x2 ta đợc a x2 +bx +c + d
x+ c
x2 = (2) Nhãm hỵp lÝ a (x2 + c
ax2¿+b(x+
d
bx)+c=0 -Đổi biến đặt x+ d
bx =t => x2 +(
d
bx2 ¿+2
d b=t
2
(d/b)2 =c/a nªn x2+ c/ a x2=t2 -2 d/b
Khi ta có phơng trình a (t2 - 2 d
b ) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at2+ bt +c=0 (3) -Giải (3) ta đợc nghiệm phơng trình ban đầu
Gi¶i phơng trình : x4-4x3-9x2+8x+4=0 (1)
Nhận xÐt 4/1=
−4¿
¿
; Nên phơng trình (1) phơng trình hồi quy x=0 nghiệm (1)
Do chia hai vế phơng trình cho x2 (x 0) ta đợc x2- -4x -9 +
x+
4
x2 =0 (x
2 +
x2¿ 4( x
-2
x ) -9 =0 (2)
* Đặt ( x -
x ) =t (3) => ( x2 +
4
x2¿ =t
(11)Phơng trình (1) trë thµnh t2-4t -5 =0 cã nghiƯm lµ t1=-1 ; t2=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc hệ số đối xứng , khác bớc đặt ẩn phụ Đặt x+ m
bx =yb => x2 +
m2 b2x2=y
2
−2m b
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong a+d=b+c) cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) triển khai tích
Khi phơng trình có dạng
[x2 +( a+d)x +ad ] [ x2 + (b+c )x +bc ] =0
Do a+d=b+c nên ta đặt [x2 +( a+d)x + k ] =t (2) ( k ad bc ) Ta có phơng trình At2 +B t + C =0 (Với A=1)
Giải phơng trình ta tìm đợc t sau thay vào (2) giá trị tìm đợc nghiệm x Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhËn xÐt 1+7 =3+5
Nhãm hỵp lý (x+1) (x+7 ) (x+3) (x+5 ) +15=0 (x2 +8x +7 ) (x2 + 8x + 15) +15 =0 (2) *Đặt (x2 +8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta cã (2) t( t+ 8) + 15=0
y2 +8y +15 =0 nghiệm y1=-3 ; y2=-5 Thay vào (3) ta đợc phơng trình
1/x2 +8x +7 = -3 x2+ 8x +10=0 cã nghiÖm x1,2 = -4 ± √6 2/ x2 +8x +7 = -5 x2 +8x +12 = cã nghiÖm x3=-2; x4 =-6 VËy tËp nghiệm phơng trình (1) S = {2;6;46}
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)4 +(x+b)4 = c (1) (Trong x ẩn số ;a, b, c hệ số ) cách giải :
Đối với dạng phơng trình ta đặt ẩn phụ trung bình cộng (x+a) (x+b) Đặt t =x+ a+b
2 => x+a =t+
a− b
2 vµ x+b=t -
a− b
2 Khi phơng trình (1) trở thành : 2t4 +2 ( a+b
2 )2 t2 + 2(
a+b
2 )4 –c =0 Đây phơng trình trùng phơng biết cách gii
áp dụng Giải phơng trình sau : (x+3)4 +(x-1)4 =626 Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)4 + (t – 2)4 =626 9t4+8t3 +24t2+32t +16) +( 9t4- 8t3 +24t2- 32t +16)=626 t4 +24t2 - 297 =0 => t=-3 vµ t=3
Từ tìm đợc x=2 ; x=-4 nghiệm phơng trình cho Bài 4.7/ Phơng trình dạng : a[ f(x)]2 +b f(x) +c =
(trong x ẩn ;a ; f(x) đa thức biến ) cách giải: - Tìm TXĐ phơng trình
- Đổi biến cách đặt f(x) =t ó phơng trình có dạng at2 + bt +c =0 (2) PT bậc +/nếu (2) có nghiệm t=t0 ta giải tiếp phơng trình f(x) =t
+/ nghiệm phơng trình f(x) =t0 (nếu thoả mãn TXĐ phơng trình cho ) nghiệm phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x4+6x3+5x2-12x+3=0 (1) TX§ : ∀ x R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 Vậy ta có phơng trình <=> (x2+ 3x)2 -4(x2+3x) +3 =0 Đặt x2+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t2 -4t +3 = có nghiệm t1=1 ;t2=3 Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bc 5)
Giải phơng trình 2x5 +3x4 -5x3 -5x2 + 3x +2=0
Phơng trình có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ , có nghiệm x=- Nên biến đổi phơng trình dạng
( x+1) (2x4+x3 -6x2+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm cịn lại ta giải phơng trình
2x4+x3 -6x2+x+2 =0(2) phơng trình đối xứng (bậc 4) biết cách giải Giải (2) ta đợc x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5
Vậy phơng trình cho có nghiệm x1 =x2=1 ; x3 =-2 ;x4=-0,5 ;x5=-1 Bài tập VN : Giải phơng trình sau
1) x3 - 4x2- 29x -24 =0 2) 8x3 - 20x2 +28x - 10 =0
(12)7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x2 nhãm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) råi chia vÕ cho 4x2
đặt t=x+7/x (đk x 0)
8) 3x5 -10x4 +3x3+3x2-10x+3=0 9) x5 +2x4 +3x3+3x2+2x+1=0 10) 6x5 -29x4 +27x3+27x2-29x+6=0 11) x5 +4x4 +3x3+3x2-4x+1=0 12) (x2-8x+7)(x2-8x+15)=20
13) (x2-3 x+1) (x2+3x+2) (x2-9x+20)=-30 biến đổi <=> (x2-3 x+1) (x2-3x-4) (x2-3x-10)=-30 14) 3(x2+x) -2(x2+x ) -1=0 15) (x2-4x+2)2 +4x2-4x-4=0
VIII Định lí Vi et - dấu nghiệm phơng trình a x2+bx+c=0 (a 0) *Định lí Vi et: Nếu p/t (1) cã ng x1 ; x2 th× S=x1 + x2 = − b
a vµ P=x1 x2 = c a
*NÕu tån số u v cho S= u+ v = P= u.v u v ng p/t ®k:s2-4p>0
*DÊu cđa nghiƯm:
Phơng trình (1) có ng/ kép(a 0) ; =0 2.Phơng trình (1) có 2 ng p/b(a 0); >0
3 Phơng trình (1) có ng tr¸i dÊua.c<0
4.Phơng trình (1) có ng đối nhau:
(a 0) ; S = x1 + x2 =0
5 Phơng trình (1) có ng nhÊt
∗a=0
¿
∗a≠0; Δ=0
¿ ¿ ¿ ¿
6.Phơng trình (1) có2 ng dơng
¿
a ≠0; Δ≥0
P>0
S>0 ¿{ { ¿
7.Phơng trình (1) có 2 ngđều âm
¿
a ≠0; Δ≥0
P<0
S>0 ¿{ { ¿ GIảI biện luân PHƯƠNG TRiNH BẬC HAI ( chứa tham số) Loại tốn suy luậN Tìm điều kiện tổng qt để phơng trình: ax2+bx+c = (a 0) có:
Bài 1: Giải phơng trình (giải biện luận): x2- 2x+k = ( tham sè k) Gi¶i ’ = (-1)2- 1.k = – k
NÕu ’< 1- k < k > phơng trình vô nghiệm
Nếu ’= 1- k = k = phơng trình có nghiệm kép x1= x2=1
NÕu ’> 1- k > k < phơng trình có hai nghiệm phân biÖt x1 = 1- √1− k ; x2 = 1+ √1− k KÕt luËn: NÕu k > th× phơng trình vô nghiệm
Nếu k = phơng trình có nghiệm x=1
Nếu k < phơng trình có nghiệm x1 = 1- √1− k ; x2 = 1+ √1− k Bài 2: Cho phơng trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham sè m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm cịn lại(nếu có)?
Gi¶i a) + NÕu m-1 = m = (1) có dạng 2x - = x =
2 (lµ nghiƯm)
+ Nếu m Khi (1) ph≠ ơng trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ’ = 3m-2 m 32
+ KÕt hỵp hai trêng hỵp ta có: Với m
3 phơng trình có nghiệm b) + Nếu m-1 = m = (1) có dạng 2x - = x =
2 (lµ nghiÖm)
1 Cã nghiÖm (cã hai nghiÖm) V« nghiƯm <
3 NghiƯm nhÊt (nghiÖm kÐp, hai nghiÖm b»ng nhau) =
4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > Hai nghiƯm cïng dÊu vµ P >
6 Hai nghiƯm tr¸i dÊu > vµ P < a.c < Hai nghiƯm d ¬ng(lín h¬n 0) 0; S > vµ P >
8 Hai nghiệm âm(nhỏ 0) 0; S < P > Hai nghiệm đối S =
10.Hai nghiệm nghịch đảo P =
11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đốilớn
a.c < vµ S <
12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm d ơng có giá trị tuyệt đối lớn
a.c < S > (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = )
(1)
(13)+ Nếu m Khi (1) ph≠ ơng trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ’ = 3m-2 = m =
3 (thoả mãn m 1) Khi x = = 3≠ +Vậy với m = phơng trình có nghiệm x =
2 ; víi m =
3 phơng trình có nghiệm x =
c) Do phơng trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - = 4m – = m = Khi (1) phơng trình bậc hai (do m -1 =
4 -1= −
4 0)Theo ®inh lÝ Viet ta cã: x≠ 1.x2 =
−3
m−1=
−3
1
4
=12x2=6
Bài 3: Cho phơng tr×nh: x2 -2(m-1)x – – m = ( Èn sè x)
a) Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm âm
d) T×m m cho nghiƯm sè x1, x2 phơng trthoả mÃn x12+x22 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) HÃy biểu thị x1 qua x2 Gi¶i
a) Ta cã: ’ = (m-1)2 – (– – m ) =
(m−1
2)
+15
4 Do (m− 2)
2
≥0 víi mäi m; 15
4 >0 > víi mäi m
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt Hay phơng trình có hai nghiệm (đpcm) b) Ph trình có nghiệm trái dấu a.c < – – m < m > -3
c) Theo ý a) ta có phơng trình có hai nghiệm
Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3)
Khi phơng trình có hai nghiệm âm S < P >
⇔ 2(m−1)<0
−(m+3)>0 ⇔ ¿m<1
m<−3
⇔m<−3
¿{ VËy m < -3
(14)Theo bµi A 10 4m2 – 6m 2m(2m-3)
⇔ ¿m ≥0 2m−3≥0
¿ ¿ ¿
m≤0 ¿ 2m−3≤0
¿ ¿ ¿ ⇔
¿ ¿ ¿
m≥0 ¿ ¿
m ≥3
2 ¿ ¿ ¿ VËy m
2 h m
e) Theo ý a) ta có phơng trình cã hai nghiƯm
Theo định lí Viet ta có:
¿
x1+x2=2(m −1)
x1.x2=−(m+3)
⇔
¿x1+x2=2m−2 2x1.x2=−2m −6
¿{ ¿
x1 + x2+2x1x2 = - kh«ng phơ thc m
Bµi tËp
Bài 1: Cho ph.t: x2 – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x
1 = Tìm nghiệm x2 Bài 2: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = (1)
a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt nghiệm có nghiệm −2 HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt
1 m
2
b) m = m =
Bài 3: Cho phương trình x2 3x 0 gọi hai nghiệm phương trình x
1, x2 Khơng giải phương
trình, tính giá trị biểu thức sau: a)
1
x x b) 2
1
x x c) 12 22
1
x x d)
3
x x
HD: Đưa biểu thức dạng x1 + x2 x1x2 sử dụng hệ thức Viét Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − = (1)
a) Chứng minh m ≠ −1 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu
HD: a) Chứng minh ' > b) Phương trình (1) có hai nghiệm dấu m < −1 m > Bài 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = (1)
a) Giải phương trình (1) m =
b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m
c) gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1) Chứng minh A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá
(15)HD: a) Khi m = 1: PT có nghiệm x 2 7 ;b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 A không phụ thuộc vào m Bài 6: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − =
a) Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
c) P =
2 15 15
(2m 5)
4
Dấu "=" xảy m
2 Bài 7: Cho phương trình x2 − 6x + m = (m tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20
HD: a) Với m = x1 = 1, x2 = b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 8: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k = Tìm tất số ngun dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = b) ' = − k > k < ĐS: k {1 ; ; 3}
Bài 9: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + = (1)
a) Giải phương trình với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = b) ĐS: m = − 20
Bài 10: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx + m − = (*)
1) Giải phương trình (*) m = 2) Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
2) HD: a) Khi m = 1:
1 x
2
b) ĐS:
2
m , m
3
Bài 11: Lập phơng trình bậc hai cã hai nghiƯm lµ
a) x1=1/2 vµ x2=2 b) x1=2+ √3 vµ x2=2- √3 c) 1/x1 1/x2 Bài 2: Cho phơng trình (m 2-5m+3)x2 +(3m-1)x -2 =0 (1)
a) Giải phơng trình m=2
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm Khi tìm nghiệm cịn lại (thay x=1 Bài 3: Cho phơng trình x2 +(2m+1) x +m2 +3m =0 (1) ( m tham số)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm mà tích nghiệm Tìm nghiệm Bài 4: Cho phơng trình x2 +(2m-5) x +3n =0 (1)
Tìm m n để phơng trình (1) có nghiệm x1=2; x2=-3
Bài 5: a) Tìm m để phơng trình x2 - x +2m-2 =0 (1) có nghiệm dơng b) Tìm m để phơng trình 4x2 +2x +m-1 =0 (1) có nghiệm âm
c) Tìm m để phơng trình m 2x2 +2mx -2 =0 (1) có nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phơng trình x2 -2(m+1)x +m-4=0 (1) ( m l tham s)
a) Giải phơng tr×nh m=2
b) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm phân biệt với m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm trái dấu
d) Chøng minh biểu thức M=x1(1-x2)+(1-x1) x2 không phụ thuộc vào m Bài 7: Cho phơng trình x2 - (m- 1)x m 2+m-2 =0 (1) ( m lµ tham sè) a) Giải phơng trình m=-1
b) Chứng minh phơng trình (1) có nghiƯm tr¸i dÊu víi mäi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho S=x12 +x22 đạt giá trị nhỏ Bài 8: Cho phơng trình x2 - (m +2)x +m+1 =0 (1) ( m tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm trái dấu b) Tìm m để phơng trình (1) có nghim i
Bài 9: Cho phơng trình x2 - (m +1)x +m =0 (1) ( m lµ tham sè)
a) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm với m b) Giả sử (1) có nghiệm x1;x2 tính S=x12 +x22 theo m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho x12 +x22 =5 Bài 20: Cho phơng trình x2– 2mx +2m-1 =0 (1) ( m tham số) a) Chứng tỏ phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 với m
b) Gäi A=2(x12 +x22 )-5 x1.x2 ; b1) c/m r»ng A=8m2-18m +9 ; b2)T×m m cho A=27
c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm lần nghiệm
Bài 21: Cho phơng trình 2x2– (2m+1)x +m2-9m +39 =0 (1) ( m tham số) a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm lần nghiệm Tìm nghiệm Bài 22: Cho phơng trình (m-1)x2 +2(m-1)x -m =0 (1) ( m tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Tìm m để phơng trình có nghim u õm
Bài 13: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x -3 -m =0 (1) ( m lµ tham số) a)Chứng tỏ phơng trình (1) có nghiƯm víi mäi m
(16)c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho E=x12 + x22 đạt GTNN Bài 14: Cho phơng trình x2 –(2m+1)x +m2+m -6 =0 (1) ( m tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm âm
b) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho / x13 - x23/ =50
a) (1) có nghiệm âm t/m: Δ =25 với ∀ m ; x1x2 =(m-2)(m+3) >0 ; x1+x2 =2m+1< Kq:m<-3b tính x1=m-2 ;x2 =m+3 theo cơng thức ng =>/ x13 - x23/ =50 <=>
m+3¿3
m−2¿3−¿ ¿ ¿
=50=>m=
−1±√5
Bài 15: Cho phơng trình x2 -6x +m =0 (1) ( m tham số) a)Tìm m để (1) có nghiệm phân biệt
b)Tìm m để (1) có nghiệm cho x13 + x23 =72
(Víi Δ <=> m ta cã x13 + x23 =72 < => (x1+ x2)3 -3x1x2 (x1+ x2)<=>63-3.m.6=72 =>m=8(t/m)
Bài 16: Cho phơng trình x2–(m-1)x –m2+m-2=0 (1) ( m lµ tham sè)
a)Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm tr¸i dÊu víi mäi m
b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho E=x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Bài 17: Cho phơng trình x2–2(m+1)x +2m+10 =0 (1) ( m tham số)
Giả sử (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho E=x12 + x22 +10 x1x2 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nh nht ú
Bài 18: Cho phơng trình x2–(m-1)x +1=0 (1) ( m lµ tham sè)
Giả sử (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm cho M=3x12 + 3x22 +5 x1x2 đạt giá trị nhỏ Tìm nghiệm trờng hợp M đạt GTNN Bài 19: Cho phơng trình x2–2(m-1)x –m2-3m+4=0 (1) ( m tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho
x1 +
1
x2 =1
b) LËp mét biĨu thøc gi÷a x1 x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 20: Cho phơng trình 2x2 +(2m-1)x +m-1=0 (1) ( m tham số) a)C/m phơng trình (1) cã nghiƯm víi mäi m
b)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho -1<x1<x2<1
c) Khi (1) cã nghiệm phân biệt x1;x2 Lập biểu thức x1 x2 mà m Bài 21: Cho phơng trình : x2 + (m-1)x+m2=0 (1) ; -x2 -2mxx+m=0 (2)
C/m phơng trình cho phải có nghiệm
( XÐt Δ 1+ Δ víi mäi m Thì phải có biểu thức => đpcm)
Bài 22: Cho phơng trình : x2 a1x+b1=0 (1) ; x2– a2x+b2=0 (2)
Cho biết a1.a2 2(b1+b2) C/m phơng trình cho có nghiệm
Δ 1+ Δ 2= a12+a22-4(b1+b2) a12+a22-2a1a2 = (a1-a2)2 0 với m Thì phải có 0hoặc 0=> đpcm
Bi 23: Cho phơng trình : ax2 + 2bx+c=0 (1) ; bx2 +2cx+a=0 (2) ; cx2 +2ax+b=0 (3) Cho biết a ;b;c C/m phơng trình cho có nghiệm
Δ 1’+ Δ 2’+ Δ 3’= =1/2 [(a − b)2+(b −c)2(c − a)2]≥0 => cã Ýt nhÊt biĨu thøc Δ 1’ 0hc Δ 2’
Bài 24: Cho phơng trình : ax2 + bx+c=0 (1) cx2 + bx+a=0 (2) trong a; c>0 a) Chứng minh phơng trình có nghiệm vơ nghiệm
b) Gi¶ sư (1) cã nghiƯm x1;x2 vµ (2) cã nghiƯm x3;x4.Chøng minh r»ng x1x2+x3.x4 c) Gi¶ sư (1) (2) vô nghiệm C/m a+c>b
+Vì a;c>0 nên (1) (2) bậc có chung Δ =b2-4ac => đpcm +áp dụng Viét x1x2= c
a ; x3x4= a
c a;c>0 nên x1x2 +x3x4= c
a +
a
c (đã c/m bđt )
+(1) v« ng <=> Δ =b2-4ac<0 <=>b2<4ac<(a+c)2 mà a+c>0 nên b /b/<a+c Bài 25: Cho phơng trình : x2 + mx+n=0 (1)
a) Giải phơng trình m=-(3+ 3 ) n=3 3 (kq: Δ =(3- √3 )2 >0)
b)Tìm m;n để (1) có nghiệm x1=-2; x2=1
c) C/m r»ng (1) cã ng/ dơng x1;x2 ph/tr: n x2+mx+1=0 (2) có ng/ dơng x3;x4 x1x2=m/n ; x3x4 =n/ m nên (1) có ng trái dấu (2) có ng trái dấu
Vì x1 ng cña (1) <=> x12 + mx1+n=0 <=> 1+m
x1+ n x12
(17)Hay x =
x1 ng dơng (2) T.tự x4=
1
x2 ng dơng (2) (vì x1;x2>0 nên
1
x1
1
x2
>0 ) đpcm
Bài 26; Cho phơng trình (m-1)x22(m+1)x +m=0 (1) ( m tham số) a) Giải biện luận nghiệm phơng trình (1) theo m
b) Khi (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 Hãy tìm hệ thức x1 x2 mà m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho /x1-x2 /
d) a)m=1=>thì (1) có ng c) /x1-x2 / 2<=> (x1-x2) 4 e) m Δ =3m+1 <=>(x1+x2)2 - x1x2 4 +) m<-1/3 (1) Vơ ng <=>
+) nÕu m=-1/3 th× (1) cã ng kÐp ; +) nÕu m>-1/3 th× (1) có ng Bài 27; Cho phơng trình x22mx –m2-1=0 (1) ( m lµ tham sè)
a) Chứng minh phơng trình (1) có nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
b) Khi (1) có nghiệm phân biệt x1;x2 Hãy tìm hệ thức x1 x2 mà m c) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 cho x1
x2
+ x2
x1
= −5 Bài 28; Cho phơng trình x2ax
a2 =0
(1) T×m P=x14+x24 ( P=2
2 +4 <=> a8=2) Bài 29; Cho phơng trình x2mx +m1=0 (1) ( m tham số)
Phơng trình (1) có nghiệm x1;x2 víi mäi m T×m max Q= 2x1x2+3
x12+x
22+2(1+x1x2)
Bài 30; Cho phơng trình x2ax 2a2 =0
(1) ( a lµ tham sè) C/m r»ngx14+x24 2+
√2 dấu (=) xảy nào? ( dấu đẳng thức xảy a4=
2a4 <=>a
8=
2 từ tính x1;x2 Bài 31: Cho phơng trình x2 + 2(a+3)x +4(a+3)=0 (1) (a tham số)
a) Tìm a để phơng trình (1) có nghiệm kép Tìm nghiệm kép b) Tìm a để (1) có nghiệm phân biệt >-1
Đặt x=t-1 ; (1) <=> t2+2(a+2)t+2a+7=0 (1) cã nghiƯm ph©n biƯt >-1<=>
¿
Δ'>0
t1t2=2a+7>0
t1+t2=−2(a+2)>0 ¿{ {
¿
<=>
-7/2<a<-3
Bµi 32: Cho phơng trình bậc ba :x3- (2m-1)x2 + (m2-3m-2)x +2m2+2 m=0 (1)(m tham số) a)C/m phơng trình (1) có nghiệm x=-2 víi mäi m
b)Tìm m để (1) có nghiệm ; c) Tìm m để (1) có ng cho x12 +x22 +x32 đạtGTNN
Giải toán cách lập phơng trình
Dng 1: Toỏn chuyn ng
Bi 1:Một ô tô từ A->B dài 120 km thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm dự định 12 phút Tính vận tốc dự định
S (km) v (km/h) t (h)
Cả quãng đờng AB 120 x (đk: x>0) 120/x
Nửa quãng đờng đầu 60
Nửa quãng đờng sau 60
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 2:Một ôtô từ A-B dài 250 km với vận tốc dự định.Thực tế xe hết quãng đờng với vận tốc tăng thêm 10km/h sovới vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính v dự định
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 3:Một ngời đixe máy từ A->B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình 30km/h Sau đợc nửa quãng đờng ngơi nghỉ 20 phút tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25 km/h Tính SAB Biết ngời đến B lúc 12 50 phút
Bài 4:Một ô tô từ A->B thời gian dự định ,nếu với vận tốc trung bình 35km/h đến B chậm giờ,nếu với vận tốc trung bình 50km/h đến B sớm Tính SAB thời gian dự định ban đầu ?
S (km) v (km/h) t (A->B)
quãng đờng AB x (đk: x>0)
Thay đổi x 35
(18)x
35 - =
x
50 +1 Kq: giê ; 350 km
Bµi 5:Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ bÕn A Sau 5h 20 Mét chiÕc ca n« khởi hành từ bến A đuổi theo gặp thun c¸ch A 20km TÝnh vËn tèc cđa thun Biết vận tốc ca nô lớn vận tốc cđa thun 12km/h
S (km) v (km/h) t (A->B)
Thun 20 x (®k: x>0)
Ca n« 20 x+12
Kq: v thuyền :3 km/h
Bài 6:Hai ca nô khởi hành từ bến A B cách 85 km ngợc chiều gặp sau giê 40 vËn tèc ca n« xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng 9km/h Tính vận tốc riêng ca nô Biết vận tốc dòng 3km/h
Vận tốc riêng V xuôi dòng V ngợc dòng t (h) S (km)
Ca n« x X+3 5/3
Ca n« y y-3 5/3
Bài 7: Một ngời xe máy ngời xe đạp từ A->B dài 57km Ngời xe máy sau đến B nghỉ 20 phút quay A gặp ngời xe đạp cách B 24 km Tính vận tốc ngời Biết vận tốc ngời xe máy lớn vận tốc ngời xe đạp 36km/h
S (km) v (km/h) t (A->gỈp nhau)
Xe đạp 57-24=33 x (đk: x>0) 33/ x
Xe m¸y 57+24=81
Bài 8: Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình 9km/h từ B vềA ngời chọn đờng khác để nhng dài đờng lúc km, với vận tốc 12 km/h nên thời gian lúc 20 phút Tính SAB lúc (Gọi độ dài qũãng đờng AB x (>0) Kq: SAB =30km)
Bài 9:Một ca nô khởi hành từ bến A - B với vận tốc 30 km/h từ B quay A Biết thời gian xi thời gian ngợc dịng 40 phút Tính SAB Biết vận tốc dịng 3km/h vận tốc thật khơng đổi
Bài 10: Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình 12km/h Sau đợc 1/3 qng xe bị hỏng ngời ngồi chờ ơtơ 20 phút ôtô với vận tốc 36km/h,nên đến B sớm dự định 1h20phút Tính SAB Gọi độ dài qũãng đờng AB x (>0) Kq: SAB= 45km
Bài 11: Một ca nô khởi hành từ bến A - B dài 120 km từ B quay A tổng cộng 11 Tính vận tốc ca nơ.Biết vận tốc dịng 2km/h vận tốc thật khơng đổi
Bµi 12: Một ca nô chạy sông 7h , xuôi dòng 108 km ngợc dòng 63 km Một lần khác ca nô chạy trong7h ,xuôi dòng 81 km ngợc dòng 84 km.Tính vận tốc dòng nớc chảy vận tốc riêng ca nô (Có thĨ chän Èn Kq: vËn tỉc riªng x=24km/h ;vËn tèc dßng y=3km/h
Bài 13:Lúc 7h30 phút ơtơđi từ A-B nghỉ 30phút tiếp đến C lúc 10h 15phút Biết quãng đờng
AB=30km;BC=50km, vận tốc AB nhỏ BC 10km/hTính vận tốc ôtô quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc quãng đờng AB x, BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h
Dạng 2: Toán có nội dung h×nh häc
Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng 2m ,diện tích cịn lại 4256m2.Tính kích thớc vờn (rộng x=60m, dài =80m
Bài 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi giảm chiều dài đi15m ta đợc hcn có diện tích = diện tích hcn ban đầu Tính cạnh hcn cho
(réng x=15m, dµi =30m)
Bài 3:Một hcn Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2.Tính diện tích rộng (Kq:22m;14m)
Bài 4:Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m2, Tính chiều dài cạnh đáy ruộng , biết tăng cạnh đáy thêm 4m chiều cao giảm 1m diện tích khơng đổi (cạnh đáy x=36m)
Bài 5:Một tam giác vuông có chu vi 30m , cạnh huyền 13m Tính cạnh góc vuông tam giác
Dạng 3: Toán có nội dung số học, phần trăm
Bi 1:Cho mt số gồm chữ số Tìm số biết tổng chữ số nhỏ số lần thêm 25 vào tích chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số cho
Có thể chọn ẩn Kq:só 54
Bài 2: Cho số gồm chữ số Tìm số biết :Khi chia số cho tổng chữ số đợc thơng d 11.Khi chia số cho tích chữ số đợc thơng d 5,
Có thể chọn ẩn Kq: só 95
Bài 3: Tìm số biết tổng chúng 17 tổng lập phơng chúng 1241 Có thể chọn ẩn Kq: só 8
Bài 4: Tìm số tự nhiên biết hiệu chúng 1275 lấy số lớn chia cho số nhỏ đợc thơng d 125 (số lớn x; số nhỏ y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125)
Bài 5: Cho số tự nhiên có chữ số Nếu đổi chỗ chữ số đợc số lớn số cho 36 Tổng số cho số 110 Tìm số cho ( số 37)
Bài 6: Dân số khu phố năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời Hỏi trung bình hàng năm dân số khu phố tăng % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng x % Kq:4%)
Bµi 7: Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt tØ lƯ häc sinh tiªn tiÕn 9A thấp 9B 10%.Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp ,và lớp có bao nhiªu häc sinh
(19)Bài 8:Trong tháng đầu tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng tổ I vợt mức 15%, tổ IIvợt mức 20%,, dó cuối tháng tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy Tính xem tháng đầu , tháng hai tổ sản xuất đợc chi tiết máy
Bài Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ Nhờ xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II vợt mức 10% kế hoạch ,do làm đợc 400 dụg cụ Tính số dụng cụ mà xí nghiệp làm theo kế hoch v thc t lm?
IX Giải toán cách lập phơng trình
Dng 1: Toỏn chuyn động
Bài 1:Một ô tô từ A->B dài 120 km thời gian dự định Sau đợc nửa quãng đờng xe tăng vận tốc thêm 10 km/h nên đến B sớm dự định 12 phút Tính vận tốc dự định
S (km) v (km/h) t (h)
Cả quãng đờng AB 120 x (đk: x>0) 120/x
Nửa quãng đờng đầu 60
Nửa quãng đờng sau 60
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
Bài 2:Một ôtô từ A-B dài 250 km với vận tốc dự định.Thực tế xe hết quãng đờng với vận tốc tăng thêm 10km/h sovới vận tốc dự định nên đến B giảm đợc 50phút Tính vận tốc dự định
Kq: Vận tốc dự định 50km/h
S (km) v (km/h) t
Bài 3:Một ngời đixe máy từ A->B lúc 7h sáng với vận tốc trung bình 30km/h Sau đợc nửa quãng đờng ngơi nghỉ 20 phút tiếp nửa quãng đờng sau với vận tốc trung bình 25 km/h Tính SAB Biết ngời đến B lúc 12 50 phút
S (km) v (km/h) t
Bài 4:Một ô tô từ A->B thời gian dự định ,nếu với vận tốc trung bình 35km/h đến B chậm giờ,nếu với vận tốc trung bình 50km/h đến B sớm Tính SAB thời gian dự định ban đầu ?
S (km) v (km/h) t (A->B)
Quãng đờng AB x (đk: x>0)
Thay đổi x 35
Thay đổi x 50
Kq: giê ; 350 km
Bµi 5:Mét chiÕc thun khëi hµnh tõ bÕn A Sau 5h 20 phút Một ca nô khởi hành từ bến A đuổi theo gặp thuyền cách A 20km TÝnh vËn tèc cđa thun BiÕt vËn tèc ca nô lớn vận tốc thuyền 12km/h
S (km) v (km/h) t (A->B)
ThuyÒn 20 x (đk: x>0)
Ca nô 20 x+12
Bài 6:Hai ca nô khởi hành từ bến A B cách 85 km ngợc chiều gặp sau 40 phút vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng 9km/h Tính vận tốc riêng ca nô Biết vận tốc dòng 3km/h
Vận tốc riêng V xuôi dòng V ngợc dòng t (h) S (km)
Ca nô x x+3 5/3
Ca n« y y-3 5/3
Bài 7: Một ngời xe máy ngời xe đạp từ A->B dài 57km Ngời xe máy sau đến B nghỉ 20 phút quay A gặp ngời xe đạp cách B 24 km Tính vận tốc ngời Biết vận tốc ngời xe máy lớn vận tốc ngời xe đạp 36km/h
S (km) v (km/h) t (A->gỈp nhau)
Xe đạp 57-24=33 x (đk: x>0) 33/ x
Xe m¸y 57+24=81
Bài 8:Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình 9km/h từ B vềA ngời chọn đờng khác để về nhng dài đờng lúc km, với vận tốc 12 km/h nên thời gian lúc 20 phút .Tính SAB lúc (Gọi độ dài qũãng đờng AB x (>0) Kq: SAB =30km)
S (km) v (km/h) t
Bài 9: Một ngời đixe đạp từ A->B với vận tốc trung bình 12km/h Sau đợc 1/3 quãng
xe bị hỏng ngời ngồi chờ ơtơ 20 phút ôtô với vận tốc 36km/h,nên đến B sớm dự định 1h20phút Tính SAB Gọi độ dài qũãng đờng AB x (>0) Kq: SAB= 45km
Bài 10: Một ca nô khởi hành từ bến A - B dài 120 km từ B quay A tổng cộng 11 giờ Tính vận tốc ca nơ.Biết vận tốc dịng 2km/h vận tốc thật khơng đổi
(20)Bµi 11: Một ca nô chạy sông 7h , xuôi dòng 108 km ngợc dòng 63 km Một lần khác ca nô chạy 7h ,xuôi dòng 81 km ngợc dòng 84 km.Tính vận tốc dòng nớc chảy vận tốc riêng của ca nô (Cã thĨ chän Èn Kq: vËn tỉc riªng x=24km/h ;vËn tèc dßng y=3km/h
S (km) v (km/h) t
Bài 12:Lúc 7h30 phút ôtôđi từ A-B nghỉ 30phút tiếp đến C lúc 10h 15phút Biết quãng đờng
AB=30km;BC=50km, vận tốc AB nhỏ BC 10km/hTính vận tốc ôtô quãng đờng AB, BC (Gọi vận tốc quãng đờng AB x, BC: (x+10) kq: 30km/h ; 40km/h
S (km) v (km/h) t
Dạng 2: Toán có nội dung h×nh häc
Bài 1:Một khu vờn hcn có chu vi 280m ngời ta làm lối xung quanh vờn ( thuộc đất vờn ) rộng 2m , S
còn lại 4256m2 Tính kÝch thíc cđa vên (réng x=60m, dµi =80m)
Réng Dài S
Lúc đầu Lúc sau
Bi 2:Một hcn có chu vi 90m.Nếu tăng chiều rộng lên gấp đơi giảm chiều dài đi15m ta đợc hcn có diện
tích = Shcn ban đầu Tính cạnh hcn cho (rộng x=15m, dài =30m)
Rộng Dài S
Lúc đầu Lúc sau
Bài 3:Một hcn Nếu tăng chiều dài thêm 2m chiều rộng 3m diện tích tăng 100m2 Nếu giảm chiều dài
v chiu rng 2m diện tích giảm 68m2.Tính diện tích rộng ú (Kq:22m;14m)
Rộng Dài S
Lúc đầu Lóc sau
Bài 4:Một ruộng hình tam giác có diện tích 180m2, Tính chiều dài cạnh đáy ruộng , biết tăng
cạnh đáy thêm 4m chiều cao giảm 1m diện tích khơng đổi (cạnh đáy x=36m)
Réng Dµi S
Lúc đầu Lúc sau
Bài 5:Một tam giác vuông có chu vi 30m , cạnh huyền 13m Tính cạnh góc vuông tam giác
Dạng 3: Toán có nội dung số học- phần trăm
Bi 1:Cho mt s gm ch s Tìm số biết tổng chữ số nhỏ số lần thêm 25 vào tích chữ số đợc số viết theo thứ tự ngợc lại số cho
Có thể chọn ẩn Kq:só 54
Bài 2: Cho số gồm chữ số Tìm số biết :Khi chia số cho tổng chữ số đợc thơng d 11.Khi chia số cho tích chữ số đợc thơng d 5,
Có thể chọn ẩn Kq: só 95
Bài 3: Tìm số biết tổng chúng 17 tổng lập phơng chúng 1241 Có thể chọn ẩn Kq: só 8
Bài 4: Tìm số tự nhiên biết hiệu chúng 1275 lấy số lớn chia cho số nhỏ đợc thơng d 125 (số lớn x; số nhỏ y , ta co x-y=1275 ; x=3y+125)
Bài 5: Cho số tự nhiên có chữ số Nếu đổi chỗ chữ số đợc số lớn số cho 36 Tổng số cho số 110 Tìm số cho ( số 37)
Bài 6: Dân số khu phố năm tăng từ 30.000 ngời đến 32.448 ngời Hỏi trung bình hàng năm dân số khu phố tăng % (Gọi số% dân số hàng năm khu phố tăng x % Kq:4%
Bµi 7: Hai líp 9A vµ 9B gåm 105 hs; líp 9A cã 44 hs tiªn tiÕn ,líp 9B cã 45 hs tiªn tiÕn, biÕt tØ lệ học sinh tiên tiến 9A thấp 9B 10%.Tính tỉ lệ học sinh tiên tiến lớp ,và lớp có học sinh
Gọi x % tỉ lệ học sinh tiên tiến líp 9A -> 9B lµ (x+10)% ta cã pt: 4400/x +4500/x =105 Kq:80 % vµ 90% ; 9A: 55hs , 9B 50 hs
Bài 8:Trong tháng đầu tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 20%,, dó cuối tháng tổ sản xuất đợc tổng cộng 945 chi tiết máy Tính xem tháng đầu , tháng hai tổ sản xuất đợc chi tiết máy
Bài Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 dụng cụ Nhờ xếp hợp lý dây chuyền sản xuất nên xí nghiệp I vợt mức 12% kế hoạch xí nghiệp II vợt mức 10% kế hoạch ,do làm đợc 400 dụng cụ Tính số dụng cụ mà xí nghiệp làm theo kế hoạch thc t lm
Dạng 4: Toán có nội dung công việc-năng xuất phân chia xếp
Bài 1:Hai công nhân làm chung hoàn thành công việc ngày Nếu làm riêng ngời thứ nhất làm hoàn thành công việc ngời thứ hai ngày Hỏi làm riêng ngời làm hoàn thành công việc ngµy ?
(21)cịn lại ngày rỡi Hỏi làm đội phải làm xong cơng việc trờn?
Lúc đầu Lúc sau
Bi 3: cơng nhân làm chung1cơng việc hồn thành ngày.Khi làm ngời thứ làm nửa công việc , sau ngời thứ hai làm tiếp nửa cịn lại tồn cơng việc hồn thành ngày Hỏi làm riêng ngời làm hồn thành cơng việc ngày ?
Một ng T1 làm x(ngày) xong -> 1/2 c.v lµ x/2 (ng)
Tg ng T2 lµm cv 9- x/2(ng) -> cv 2(9-x/2)=18-x (ng) Phơng tr: 1/x -1/18-x =1/4
Bài 4: Một phân xởng theo kế hoạch phải dệt 3000 thảm Trong ngày đầu họ thực đợc kế hoạch , ngày lại họ dệt vợt mức ngày 10 ,nên hoàn thành kế hoạch trớc kế hoạch ngày Hỏi theo kế hoạch ngày phân xởng phải dệt tấm?
3000/x =(3000-8x):(x+10) +2+8
Sè th¶m Sè th¶m dệt /ngày Sỗ ngày dệt
Kế hoạch 3000 x 3000/x
8 ngày đầu 8x x
Những ngày lại 3000-8x x+10 (3000-8x):(x+10)
Bài 5: Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nông nhgiệp Khi làm tổ chức quản lí tốt nên ngày họ làm đợc nhiều dự định máy;Vì tổ hồn thành trớc thời hạn ngày Hỏi số máy dự định sản xuất ngày ?
Số máy /ngày Số máy Số hàng /1xe
Dự định x 360 360/x
Thùc tÕ x+1 360 360/ (x+1)
Bài 6:: Một đoàn xe vận tải dự định chở 180 hàng từ cảng nhà kho Khi bắt đầu chở đợc bổ xung thêm xe ,nên xe chở 0,5 hàng Hỏi đồn xe lúc đầu có ?
Sè xe Sè hàng(tấn) Số hàng /1xe
Lúc đầu x 180 180/x
Lóc sau x+2 180 180/ (x+2)
Bài 7Một đoàn xe chở 30 hàng từ cảng nhà kho Khi bắt đầu chở xe bị hỏng ,nên xe phải chở thêm hàng đồn cịn chở vợt mức dự định 10 Hỏi đồn xe lúc đầu có ?
Sè xe Sè hµng(tÊn) Số hàng /1xe
Lúc đầu x 180 180/x
Lóc sau x-1 180+10=190 190/ (x-1)
Bài 8: Trong phịng có 70 ngời dự họp đợc xếp ngồi dãy ghế Nếu bớt dãy dãy cịn lại phải xếp thêm ngời đủ chỗ ngồi Hỏi lúc đầu phịng họp có dãy ghế dãy xếp đợc ngời?
Sè d·y Sè ngời Số ngời /1dÃy
Lúc đầu Lúc sau
Bài 9:Trong 1buổi liên hoan văn nghệ , phòng họp có 320 chỗ ngồi, nhng số ngời tới dự hơm đó có tới 420 ngời Do phải thu xếp để dãy ghế thêm đợc ngời ngồi phải đặt thêm dãy ghế đủ Hỏi lúc đầu phịng có ghế ?
Sè d·y Sè ngêi Sè ngêi /1d·y
Lúc đầu x 320 320/x
Lúc sau x+1 420 420/ (x+1)
PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (4 tiết)
Bài 1: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 25km/h Tính qng đường AB, biết thời gian lẫn 50 phút HD: Gọi độ dài quãng đường AB x km (x > 0)
Ta có phương trình:
x x
5
3025 3 6 Giải ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Một ôtô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ơtơ với vận tốc đó, cịn 60km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h quãng đường cịn lại, ơtơ đến tỉnh B sớm 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB
HD: Gọi độ dài quãng đường AB x km (x > 120) Ta có phương trình:
x x x
60 : 40 60 : 50
2 40
(22)Bài 3: Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80km, lẫn 8giờ 20phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 4km/h
HD: Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng x km/h (x > 0) Ta có phương trình:
80 80
8
x 4 x 4 3 Giải ta được: x
5
(loại), x2 = 20 (km)
Bài 4: Hai canô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài qng sơng AB, biết hai canô đến bến B lúc
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB x km (x > 0) Ta có phương trình:
x x
20 24 3 Giải ta được: x = 80 (km)
Bài 5: Một ca nô bè gỗ xuất phát lúc từ bến A xi dịng sơng Sau 24 km ca nô quay trở lại gặp bè gỗ địa điểm cách A km Tính vận tốc ca nô nước yên lặng biết vận tốc dòng nước km / h
HD: Gọi vận tốc canô nước yên lặng x km/h (x > 4) Ta có phương trình:
24 16
2
x 4 x 4 Giải ta x1 = (loại), x2 = 20 (km/h)
Bài 6: Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 50 km Sau 30 phút, người xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
HD: Gọi vận tốc xe đạp x km/h (x > 0) Ta có phương trình:
50 50
(1,5 1)
x 2,5x Giải ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Bài 7: Một đội xe cần chuyên chở 100 hàng Hơm làm việc, có hai xe điều làm nhiệm vụ nên xe phải chở thêm 2,5 Hỏi đội có xe? (biết số hàng chở xe nhau)
HD: Gọi x (xe) số xe đội (x > x N)
Ta có phương trình:
100 100
x 2 x 2 Giải ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn)
Bài 8: Để làm hộp hình hộp khơng nắp, người ta cắt hình vng góc miếng nhơm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh hình vng bao nhiêu, biết tổng diện tích hình vng
2
5 diện tích đáy hộp?
HD: Gọi x (cm) độ dài cạnh hình vng bị cắt ( < x < 9) Ta có phương trình:
2
4x (24 2x)(18 2x)
5
Giải ta được: x1 = −18 (loại), x2 = (thỏa)
Bài 9: Cho số có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần, thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho
HD: Gọi số phải tìm xy (0 < x, y ≤ x, y Z)
Ta có hệ:
6(x y) 10x y x
xy 25 10y x y
Vậy số phải tìm 54
Bài 10: Hai vịi nước chảy vào bể sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vòi thứ hai 12 phút đầy
2
5 bể Hỏi vịi chảy phải đầy bể.
HD: Gọi thời gian chảy đầy bể vịi I, II x, y phút (x, y > 80)
Ta có hệ:
80 80
x 120
x y
10 12 y 240
x y 15
(23)Bài 11: Hai người thợ làm công việc 16giờ xong Nếu người thứ làm 3giờ người thứ hai làm 6giờ họ làm 25% cơng việc Hỏi người làm cơng việc hồn thành cơng việc
HD: Gọi x, y (giờ) thời gian người thứ nhất, hai làm xong cơng việc (x > 0, y > 16)
Ta có hệ:
16 16
x 24
x y
3 y 48
x y
(thỏa mãn điều kiện đầu bài)
Bài 12: Một phịng họp có 360 ghế ngồi xếp thành dãy số ghế dãy Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi phịng họp có dãy ghế dãy có ghế?
HD: Gọi số dãy ghế phòng họp x dãy (x Z, x > 0)
Ta có phương trình:
360
(x 1) 400
x
Giải ta được: x1 = 15, x2 = 24
ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 ngi/dóy
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10
Năm học 2006-2007 ( Thời gian làm :120 phút )
Bài1.(2điểm)Cho biểu thức A= ( √x
-1
√x −1 ) : (
√x+2 √x −1−
√x+1
√x −2¿ ( víi x>0 ; x 3 vµ x 4) 1; Rót gän A
2; Tìm x để A=0 Bài2.(3.5điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol(P)và đờng thẳng(d) có phơng trình : (P): y=x2 ; (d) :y=2(a-1)x+5-2a (a tham số)
1; Với a=2 tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) parabol (P)
2; Chứng minh với a đờng thẳng (d) cắt parabol(P) hai điểm phân biệt 3; Gọi hoành độ giao điểm đờng thẳng (d) parabol (P) x1 ; x2 tìm a để x12+x22 =6 Bài 3.(3.5điểm)
Cho đờng trịn (0) đờng kính AB điểm I nằm A O (I khác Avà O) kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M , Nvà B) Nối AC cắt MN E Chứng minh :
1.Tø gi¸c IECB néi tiÕp
2.AM2 = AE.AC AE.AC-AI.IB=AI2
Bài4: (1điểm) Cho a , b , c a2+b2+c2=90 Chứng minh a+b+c 16 Sở giáo dục đào tạo Đề thi tuyển sinh vào 10 PTTH
Nam định Năm học 2007-2008 Đề thức Mơm: tốn
(Ngµy thi:29-6-2007- Thêi gian làm :120 ) Bài 1: (2,5đ) Cho biểu thøc
P= (1+
√x −2).(√x −
x+2√x+4
√x+3 ) víi x vµ x 1) Rót gän P
2) Tỡm x P >1
Bài 2: (3,0đ) Cho phơng trình : x2 - 2(m+1)x + m = (1) , ( m lµ tham sè ) 1) Giải phơng trình (1) với m=-5
2) Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm phân biƯt x1 ; x2 víi mäi m
3) Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ (x1 ; x2 nghiệm phơng trình (1) nói phần 2/ ) Bài 3: (3,5đ) Cho đờng tròn (O;R), hai điểm A;B phân biệt thuộc đờng tròn (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O.Trên tia đối tia AB lấy điểm M (M khác A).Qua M kẻ tiếp tuyến ME MF với đờng tròn (O) (E;F tiếp điểm ) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm EF với đờng thẳng OM OH
1) Chứng minh điểm M;O;H;E;F nằm đờng tròn 2) Chứng minh OH.OI=OK.OM
3) Chứng minh IA,IB tiếp đờng trịn (O)
Bài 4:(1đ) Tìm cặp số nguyên (x;y) thoả mãn : x2+2y2 +2xy -5x-5y=-6 để x+y số nguyên
(24)§Ị thi tun sinh vµo líp 10 Ngun TÊt Thµnh
Năm học 2006 2007 (Thời gian150 )’
Câu : (1 điểm) Tìm giá trị a b để hệ phơng trình : ¿
a.x+by=2006
b.x+ay=2007 ¿{
¿
nhËn x=1 vµ y= √2 lµ mét nghiƯm
Câu : (1 điểm) Chứng minh 2+3+23
√3+2 √3+√3−2.√2= √3
2
Câu : (1đ ) : Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết tổng chữ số 12 bình phơng chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị
Câu : (1đ) : Trong hình thoi có chu vi 16cm, tìm hình thoi có diện tích lớn Tìm giá trị lớn
Câu : (1đ) : Giải phơng trình x4 4x3 + 4x2 – = 0.
Câu : (1đ) : Tìm giá trị a để đờng thẳng y=ax+a+1 tạo với hai trục toạ độ tam giác vng cân Tính chu vi tam giác
Câu : (1đ) : Chứng minh mặt phẳng toạ độ vng góc Oxy đờng thẳng y=mx+1 cắt parabol y=x2 hai điểm A,B phân biệt OAB vuông
Câu : (1đ) : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên đờng cao BH lấy điểm M cho AMC = 90 đờng cao CK lấy điểm N cho ANB = 90 Chứng minh : AM=AN
Câu : (1đ) Giả sử a,b,c ba hƯ sè cho tríc Chøng minh r»ng cã Ýt nhÊt ba phơng trình sau có nghiệm : ax2 + 2ax + c = 0, bx2 + 2cx +a =0, cx2 + 2ax +b = 0.
Câu 10 : (1đ) Cho tam giác cân ABC (AB=AC) có A = 20 Trên cạnh AC ta lấy điểm D cho AD = BC dựng tam giác ABO ABC Chứng minh O tâm đờng trịn ngoại tiếp ABD tính góc ABD
§Ị sè (Thêi gian 120) Bài1
Câu a, (1đ) Tính A= √7+2√10−√7−2√10 B=( 3+2√3
√3 + 2+√2 2+1(1 :
1 2+3) Câu b, (2đ) Cho biểu thøc P=( 2√x
√x+3+ √x
√x −3− 3x+3
x −9 ¿:(
2√x −2
√x −3 −1) víi x ;x
1) Rút gọn P (1đ) 2) Tìm x để P< −1
3 (0,75đ)
3) Tìm giá trị nhỏ cđa P (0,75®)
Bài 2:(1,5đ) Hai đội đào mơng , đội làm 12 ngày xong Nhng đội đào chung ngày , sau đội thứ hai nghỉ đội thứ làm tiếp ngày xong việc Hỏi đội làm xong mơng?
Bài 3: (1đ)
Cho phơng trình x2 -2(m+1)x+m-1=0 (1)
a, Chứng tỏ phơng trình (1) có nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m b, C/m r»ng biểu thức sau không phụ thuộc vào m
A=x1(1-x2)+x2(1-x1) ( Trong x1;x2 nghiệm (1) ) Bài 4:(3,5đ)
Cho hình thang cân ABCD (BC//AD) ;đờng chéo AC BD cắt O cho góc BOC=600 ,gọi I;M, N,P,Q lần lợt trung điểm BC,OA,OB, AB ,CD
a, C/m DMNC nội tiếp đợc đờng tròn b, C/m Δ MNQ
c, So s¸nh c¸c gãc MQP ; QND ; NMC
d, C/m trùc t©m cđa Δ MNQ O; I thẳng hàng
Bài 5:(1đ) C/m r»ng 9x2y2+y2- 6xy-2y+2……… 0 víi mäi x;y
Đề số (Thời gian 120) Bài1: (2đ)Cho biểu thøc B= (√a
2 − 2√a)
2
(√a −1 √a+1−
(25)b) Tính giá trị biểu thức B a= √4+2√3 c) Tìm giá trị a để B >0
Bài 2;(1,5đ) Cho hệ phơng trình
ax2y=a
2x+y=a+1 {
a) Giải hệ phơng tr×nh a=-2
b) Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x-y=1 Bài 3; :(1,5đ)Cho phơng trình x2 – (a -1)x – a2+a-2=0
a) Tìm giá trị a để phơng trình có nghiệm trái dấu
b) Tìm giá trị a để phơng trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện x12+x22 đạt giá trị nhỏ Bài 4:(4đ)
Cho tam giác ABC cân A; Vẽ cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB;AC B C cho đỉnh A tâm cung tròn nằm khác phía BC , lấy M thuộc cung BC ; kẻ MI BC, MH AC , MK AB ; BM cắt IK P ; CM cắt IH Q
a) Chứng minh tứ giác BIMK; CIMH nội tiếp đợc b) Chứng minh MI2 =MH.MK
c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp đợc MI PQ d) Chứng minh KI=KB thỡ IH=IC
Bài 5(1đ) Giải phơng trình x24x
+4+√4x2−12x+9=1
§Ị sè (Thêi gian 120) Bài 1: (2,5đ)
1) Tính giá trị biÓu thøc P= √4+2√3−√12+6√3 2)Cho biÓu thøc C=
√x −1−√x+
1 √x −1+√x+
√x3− x
√x −1 a) Rót gän C
b)Tìm x để C>0 (Với x>1 ;C= x -1 - 2 √x −1+1 =( √x −1−1¿2 0 c) Tính giá trị biểu thức C x= 53
9−2√7 ( kq: C=7 Bài 2: (1,5đ) Cho hệ phơng trình
¿ ax−2y=a
−2x+y=a+1 ¿{
¿ a) Gi¶i hƯ a=-2
b)Tìm tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà x-y=1 (với a 4 x= 3a+2
a−4 ; y=
a2+3a
a −4 ;
Bài 3: (2đ) Cho Parbol (P) đờng thẳng (d) có phơng trình : (P): y= x
2 ; (d) : y=mx – m+2 a)Tìm m để đờng thẳng (d) Parbol (P) qua điểm có hồnh độ x=4
b)C/m với m đờng thẳng (d) Parbol (P)luôn cắt điểm phân biệt c)Giả sử đờng thẳng (d) Parbol (P)luôn cắt điểm phân biệt(x1;y1) (x2;y2) Hãy c/m y1+y2 (2 x
√2−1¿ ¿ 1+x2)
Bài 4:(4đ) Cho đờng tròn (O) đk AC lấy điểm B thuộc OC vẽ đờng tròn (O’)đk BC Gọi M trung điểm AB ,qua M kẻ dây cung vng góc với AB cắt đờng tròn (O) D E Nối DC cắt đờng tròn (O’) I
a) Tø giác DABE hình ?Tại ? b) c/m BI // AD
c) c/m điểm I;B;E thẳng hµng vµ MD=MI
d) Xác định vị trí tơng đối MI với đờng tròn (O’) Đề số (Thời gian 120’) Bài 1: (2,5đ)
1)TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc M= (15 √6+1+
4 √6−2−
12
(26)2)Cho biÓu thøc D= ( √x −1 3√x −1−
1 3√x+1+
8√x
9x −1):(1−
3√x −2 3√x+1) a) Rót gän D
b)Tìm x để D (Với x 0; x ≠1
9 ; D= √
x+x
3√x −1≥0 ; c)Tìm giá trị x để D=
5 ( √
x+x 3√x −1=
6
5 ( Víi x 0; x ≠
9 ) <=>
Bài 2: (1,5đ) Cho hệ phơng trình
√2yx −+21+√
y+2 2x −1=m
x+y=5 ¿{
¿ a) Gi¶i hƯ m=
2
b)Tìm tất giá trị tham số m để hệ vô nghiệm
Bài 3: (2 đ) Cho Parabol (P): y=ax2 (a 0) đờng thẳng (d) :y=kx+b a) Tìm k b biết đờng thẳng (d) qua điểm : A(1;0) B(0;-1)
b) Tìm a biết Parabol (P) tiếp xúc với đờng thẳng (d) vừa tìm đợc c) Viết phơng trình đờng thẳng (d2) qua C(
2;−1¿ vµ cã hƯ sè gãc lµ m
d) Tìm m để đờng thẳng (d2) tiếp xúc với (P) (tìm đợc câu b) Và chứng tỏ qua điểm C có đờng thẳng (d2) tiếp xúc với (P) câu b vng góc với
Bài 4: (4 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AB>AC) đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng có bờ BC chứa đỉnh A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E vẽ nửa đờng trịn đờng kính CH cắt AC F a)Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc
c) Chứng minh FE tiếp tuyến chung nửa đờng tròn
d) Giả sử ∠ ABC 300 C/m bán kính nửa đờng trịn gấp lần bán kính nửa đờng tròn ( Hay c/m HB=3HC ; HC=1/2 OC=1/4.BC)
§Ị sè (Thời gian 120)
Bài 1: (2,5đ)
1) Tính giá trị biểu thức N= (53+50)(524):(7552) (N=1)
2)Cho biÓu thøc E= (x −3√x
x −9 −1):(
9− x x+√x −6+
√x −3 √x −2−
√x+2 √x+3) a) Rót gän E
b)Tìm x để E<1 (Với đk x ; E=
√x+2<1 <=> c)Tìm giá trị x Z để E Z
Bài 2: (1,5 đ) Cho Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d) :y=3x+m2 (m tham số) a) C/m đờng thẳng (d) Parabol (P) cắt điểm phân biệt với m b)Giả sử đờng thẳng (d) Parbol (P)luôn cắt điểm phân biệt có tung độ y1và y2 Tìm m để y1+y2 =11 y1y2
Bài 3: (2 đ) Cho hệ phơng trình
¿ (m+1)x+y=4 mx+y=2m
¿{ ¿ a) Gi¶i hƯ m=2
b)C/m với giá trị tham sè m hƯ lu«n cã nghiƯm nhÊt (x;y) cho x+y
Bài 4: (4 đ) Cho đờng trịn (O) dâyAB lấy điểm C ngồi đờng tròn (O) C thuộc tia đối tia BA Lấy điểm P nằm cung AB lớn , kẻ đờng kính PQ (O) cắt dây AB D.Tia CP cắt đờng tròn điểm thứ hai I., dây AB QI cắt K
a) C/m tứ giác PDKI nội tiếp đợc
b) C/m CI CP=CK CD vµ CK CD= CB CA
c) C/m IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I Δ AIB
d) Giả sử A;B;C cố định chứng minh đờng tròn (O) thay đổi nhng qua A;B QI ln qua điểm cố định
(27)Bài1 :(2đ) Cho biểu thức A=
√x+2−4√x −2+√x+2+4√x −2
√x42−
4
x+1
a) Rót gän A
b) Tìm số ngun x để A có giá trị nguyên Bài 2:(1đ) Cho hệ phơng trình
¿
√x+5+√y −2=√m
√x −2+√y+5=√m
¿{ ¿
Tìm số dơng m để hệ có nghiệm Bài 3:(2đ) 1) Cho x1 x2 nghiệm phơng trình x2 -3x +a =0
x3 vµ x4 nghiệm phơng trình x2 -12x +b =0 T×m a;b biÕt x2 x1
=x3 x2
=x4 x3 2) Cho phơng trình: x
2+2 mx+1
x −1 =0
(1) Tìm m để phơng trình (1) vơ nghiệm Bài 4:(1,5đ) Cho phơng trình : x2 -2(m -1)x+m-3=0
b) Tìm m để phơng trình ln có nghiệm
c) T×m hệ thức liên hệ nghiệm mà không phơ thc vµo m
d) Xác định m cho phơng trình có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối
Bài 5: (3đ) Cho đờng trịn (O;R), M điểm nằm ngồi đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB với đ-ờng tròn (A;B tiếp điểm ) Một đđ-ờng thẳng d qua M cắt đđ-ờng tròn điểm C D ( Cnằm M D ) Gọi I trung điểm CD Đờng thẳng AB cắt MO ; MD;OI theo thứ tự E;F;K
a) Chứng minh điểm M;A;B;O;I nằm đờng tròn b) Chứng minh OE.OM=OK.OI=R2
c) Khi d không qua O chứng minh tứ giác OECD nội tiếp đợc d) Khi R=10cm; IO=6cm ;MC=4cm Tớnh MB
Bài 6:(0,5đ) Tìm số nguyên x;y tho¶ m·n : 2y2x+x+y+1=x2+xy+2y2
Đề thi tuyển sinh vào 10
Trờng PTTH chuyên lê hông phong Năm học 2000-2001
Môm toán
(Đề chung-Thời gian lam :120 ) Bµi 1:Cho biĨu thøc A= a
√ab+b+ b
√ab− a− a+b
√ab
a) Rót gän A (1,25đ)
b) Tính giá trị A a= 6+25 ; b= 625 (0,75đ)
Bài 2;: Cho phơng trình x4-2mx2 +m2-3=0
a) Gii phơng trình m= √3 (1đ) b) Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt (1,5)
Bµi 3: Cho parabol (P): y= −1 x
2
điểm A(2;-3) thuộc mặt phẳng toạ độ a)Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k qua A (0,5đ)
b)Chứng tỏ đờng thẳng (d) cắt parabol (P) điểm phân biệt với k (1đ)
Bài 4: Cho điểm M ngồi đờng trịn (O;R) ,qua M kẻ tiếp tuyết MP;MQ với đờng tròn (P;Q tiếp điểm ) MO cắt đờng tròn I , qua M kẻ đờng thẳng d cắt đờng tròn (O) Tại Avà B ( A nằm M B)
a) Chứng minh I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ (1,25đ)
b) Tìm tập hợp điểm M thuộc d để tứ giác MPOQ hình vng (1,75đ) c) Tìm tập hợp tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác MPQ M thay đổi ? (1đ) P
M J I O
A Δ
K
(28)
§Ị thi tun sinh vµo 10
Trờng PTTH chun lê hơng phong-nam nh Nm hc 2002-2003
Môm toán (Thời gian lam 150 ) (Đề vòng dành cho thí sinh)
Bài 1:(2đ) 1) Chứng minh với mọigiá trị dơng n , ta có
(n+1)√n+n√n+1= √n−
1 √n+1 2)TÝnh tæng S=
2+√2+ 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ +
1
100√99+99√100 Bài 2:(1,5đ) Tìm đờng thẳng y=x+1những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức y2-3y
√x+2x=0
Bài 3:(1,5đ) Cho phơng trình sau : x2-(2m-3)x +6=0 2x2 +x+m-5=0 (m tham số ) Tìm m để phơng trình cho có nghiệm chung
Bài 4:(4đ)Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB MN Tiếp tuyến với đờng trịn (O) A cắt đờng thẳng BM BN tơng ứng M1 N1 Gọi P trung điểm A M1 , Q trung điểm AN1
1) Chứng minh tứ giác MM1N1N nội tiếp đợc đờng trịn
2) NÕu M1N1 =4R th× tứ giác PMNQ hình ? ?
3) Khi đờng kình AB cố định , tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác BPQ MN thay đổi ?
Bài 5:(1đ) Cho đờng trịn (O;R) hai điểm A;B nằm phía ngồi (O) ; OA=2R Xác định vị trí điểm M đ-ờng tròn (O) cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ N1
N Q
D A O B I
M P
Đề thi tuyển sinh vào 10
Trờng PTTH chuyên lê hông phong-nam định Năm hc 2002-2003
Môm toán (Thời gian lam 150 )
(Đề vòng dành cho thí sinh thi vào chuyên toán)
Bài 1: 1) Cho số a; b dơng thoả mÃn a2-b > h·y chøng minh √a+√b=√a+√a2− b
2 +√
a −√a2− b
2
2)Kh«ng sư dơng m¸y tÝnh h·y chøng tá r»ng : 5<
2+√3 √2+√2+√3+
2−√3 √2−√2−√3 <
29 20 Bài 2: Giả sử x;y số dơng thoả mãn đẳng thức x+y= √10
(29)Bài 3: Giải hệ phơng trình
x x − y+
y y − z+
z z − x=0 x − y¿2
¿
y − z¿2 ¿
z− x¿2 ¿ ¿0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
x
¿
Bài 4: Cho Δ ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O;R).với BC=a , AC=b ,AB=c lấy điểm I phía Δ ABC gọi x;y;z lần lợt khoảng cách từ I đến cạnh BC; AC;AB tam giác
Chøng minh r»ng √x+√y+√z ≤√a
+b2+c2 2R
Bài 5; Cho tập hợp P gồm 10 điểm có số cặp đợc nối với đoạn thẳng Số đoạn thẳng có tập P nối từ điểm A đến điểm khác gọi bậc điểm A Chứng minh tìm đợc điểm tập P có bậc
Đề thi tuyển sinh vào 10
Trng PTTH chuyên lê hồng phong-nam định Đề tuyển sinh vào lớp 10 ban A;B
Năm học 2004-2005
Môm toán (Thời gian lam 150 ) Bài 1: Rót gän biĨu thøc
a) P= m −n √m −√n+
m+n+2√mn
√m+❑√n víi mäi m;n ; m n
b) Q= a
2b−ab2
ab :
√a −√b
√a+√b víi mäi a>0; b>0
Bµi 2: Giải phơng trình 6 x+x 2=2
Bài 3: Cho đờng thẳng (d1): y=2x+2 (d2): y=-x+2 (d3): y=mx ( m tham số) a) Tìm toạ độ giao điểm A;B;C theo thứ tự (d1) với (d2) ; (d1)với trục hòanh (d2) với trục hồnh
b) Tìm tất giá trị m cho (d3)cắt đờng thẳng (d1); (d2) c) Tìm tất giá trị m cho (d3)cắt tia AB AC
Bài 4; Cho Δ ABC nội tiếp đờng tròn (O), D điểm nằm cung BC không chứa điểm A.Trên tia AD lấy điểm E cho AE=DC
a) Chøng minh Δ ABE = Δ CBD
b) Xác định vị trí D cho tổng DA+DB+DC lớn
Bài 5: Tìm x; y dơng thoả mÃn
¿
x+y=1 8(x4+y4)+
xy=5 ¿{
¿
Đề thi tuyển sinh vào 10
Chuyên toán Thời gian lam 150 Năm học 2003-2004
Môm toán Bài 1: 1) Rót gän biĨu thøc P=
x2−√x:
√x+1
(30)2) Chøng minh r»ng
n+1¿2 ¿ n2
+¿ ¿
(0,75®)
Ap dơng chøng tá r»ng: 5+
1
13+ +
1
20062+20072<
Bài 2: 1)Giải hệ phơng trình
xy 1+yx 1=xy (x −1)√y+(y −1)√x=√2y
¿{ ¿
(1®)
2) Cho xy=1 vµ x>y Chøng minh r»ng x
+y2
x − y ≥2√2 (0,75®)
Bài 3: 1) Tìm m để phơng trình (m+1) x2 -3mx+4m =0 có nghiệm dơng (1đ) 2) Giải phơng trình x2+3x +1=(x+3)
√x2+1 (1®)
Bài 4: (4đ) Cho hình vng ABCD ; M điểm thay đổi cạnh BC ( M không trùng B )và N điểm thay đổi cạnh DC ( N không trùng D ) cho ∠ MAN= ∠ MAB+ ∠ NAD
1) BD cắt AN AM tơng ứng P Q Chứng minh điểm P,Q,M,C,n nằm đờng tròn
2) Chứng minh MN luôntiếp xúc với đờng tròn cố định M N thay đổi 3)Gọi diện tích tam giác APQ S1 diện tích tứ giác PQMN S2 c/m S1
S2 không đổi M N thay đổi
Bài 5: Cho a;b;clà độ dài cạnh tam giác Chứng minh phơng trình x2 +(a+b+c) x+ ab+bc+ca =0 vô nghiệm (1đ)
Đề thi tuyển sinh vào 10
Trờng PTTH chuyên lê hồng phong Năm học 2007-2008
Môm: toán (Đề chung)
(Ngày thi:25-6-2007- Thời gian làm :150 ) Bài 1:(2đ) Cho biểu thức P= √x (
√x −1+ √x+1¿+
x2− √x x+√x+1+
x√x −√x
√x −1 víi x 0; x ≠1 a)Rót gän P
b)Tìm số nguyên x để biểu thức P nhận giá trị nguyên
Bài 2:(2đ) Trong hệ trục toạ độ Oxy cho parabol y=x2 (P) đờng thẳng y=2(m-1)x+m+1 (d) a)Khi m=3 Tìm hồnh độ giao điểm (d) (P)
b)Chứng minh đờng thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt với m c)Giả sử đờng thẳng (d) parabol (P) cắt điểm phân biệt A(x1;y1) B(x2;y2)
T×m m cho tho¶ m·n x1y2 + x2y1=1
Bài 3:(3đ) Cho nửa đờng trịn (O;R) ,đờng kính AB=2R, gọi C điểm cung AB, M thuộc cung AC (M A C ).Kẻ tiếp tuyến (d) (O;R) M ; Gọi H giao điểm
BM OC Từ H kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng thẳng cắt (d) E 1)Chứng minh tứ giác OHME nội tiếp đợc đờng tròn
2)Chøng minh EH =R
3)Kẻ MK OC K.Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp Δ OBC ln qua tâm đờng trịn ni tip OMK
Bài 4: a) Giải hệ phơng trình (1đ)
x+y+2=4(x+1)(y+1)
x+y+xy=−3 ¿{
¿
b) Gi¶i phơng trình (1đ) x(x2+1) =3(x2-x+1)
Bi 5:(1) Cho số x;y thay đổi thoả mãn x2+y 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức M=y2+(x2+2)2
(31)Trêng PTTH chuyªn lª hång phong Năm học 2007-2008
Môm: toán (Đề chuyên)
(Ngày thi:26-6-2007- Thời gian làm :150 ) Câu 1: (2,5đ)
1)Chứng minh víi mäi sè tù nhiªn n ta cã : √n+1−√n> 2n+1 Từ kết hÃy chứng minh :
√2+ √3+
1 √4+
1 √5+
1
√6<2√6−2 2) Giải phơng trình : x24x+5+1
4 x
2− x+5=−4x2
+16x −12
Câu 2: (2,0đ) Cho đờng tròn (I;r) nội tiếp Δ ABC, với A’;B’;C’ theo thứ tự tiếp điểm cạnh BC;AC;AB
1)KÝ hiÖu gãc ACB lµ C , chøng minh 2r=(BC+CA-AB)=tg C
2)Giả sử điểm M di động cung nhỏ B’C’ đờng tròn (I;r) cho M khác B’và C’
Tiếp tuyến tiếp điểm M đờng tròn (I;r) cắt AB’ AC’ thứ tự E F.Đờng thẳng B’C’ cắt IE IF theo thứ tự P Q.Chứng minh tỉ số PQ
EF có giá trị khơng đổi
Câu 3: (1,5đ) Cho đờng tròn (O;R) điểm phân biệt A;B cố định nằm đờng tròn (O;R) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Gọi d d’ theo thứ tự tiếp tuyến (O;R) tiếp điểm A B.Điểm M thay đổi cung nhỏ AB (O;R) cho M A B
Kẻ MH d ; Kẻ MK d’.Hãy tìm vị trí M để MH+
1
Mk đạt giá trị nhỏ Câu 4: (2,0đ) Cho phơng trình a x2 +bx +c =0 (1) a;b;c hệ số ; ac 0
1) Khi a=1 , tìm b c số nguyên để phơng trình (1) nhận x=2-2 √3 nghiệm 2)Giả sử phơng trình (1) nhận x=k nghiệm Chứng minh tồn số thực d để phơng trình a3x2 +dx+c3 =0 nhận x=k3 nghiệm
C©u 5: (2,0đ)
1) Cho số dơng a;b tho¶ m·n √a+√b ≥2 Chøng minh r»ng : a3
+b3 a+b
2)Tìm tất số thực x;y;z thoả mÃn hệ sau
¿
x2
(y+1)=y
y2
(z+1)=z
z2(x+1)=x ¿{{
¿
Mét sè §Ị Lun thi tuyển sinh vào 10 Đề 1 ( Thời gian làm bài:120)
Bài 1: (3,5đ)
1) Tính giá trị biểu thức P= 4+2312+63 2)Cho biểu thức C=
√x −1−√x+
1 √x −1+√x+
√x3− x
√x −1 ( Víi x>1 ) a) Rót gän C
b)Tìm x để C>0 c) Tính giá trị biểu thức C x= 53
(32)Bài 2;(1,5đ) Cho hệ phơng trình
¿ mx−2y=m 2x − y=−m−1
¿{ ¿ c) Giải hệ phơng trình m =-2
d) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x-y=1 Bài 3; :(1,5đ)Cho phơng trình x2 – (m -1)x – m 2+m - 2=0
c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm trái dấu
d) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm x1;x2 thoả mãn điều kiện x12+x22 đạt giá trị nhỏ
Bài 4: (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông A (AB>AC) đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng có bờ BC chứa đỉnh A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E vẽ nửa đờng trịn đờng kính CH cắt AC F
a)Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp đợc
c) Chứng minh FE tiếp tuyến chung nửa đờng tròn Đề Luyện thi tuyển sinh vào 10 Đề 2 ( Thời gian làm bài:120’) Bài 1:(2đ) Cho biểu thức M = x
2 +√x
x −√x+1−
2x+√x
√x +1
a, Rút gọn M b,Tìm x đẻ M=2
d,Tìm x đẻ M có giá trị nhỏ nht
Bài 2: ( 2,5đ) Cho Parabol (P): y= x
4 điểm M (1;-2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc m , tiếp xúc Parabol (P) qua M b) Chứng tỏ đờng thẳng (D) Parabol (P) cắt điểm phân biệt A B m thay đổi
c) Giả sử x1;x2 lần lợt hoành độ A B Xác định m cho E=x12.x2+x1.x22 đạt giá trị nhỏ Tính giá trị nhỏ nht ú
Bài 3: (1đ) Giải phơng trình √x2
−2x+1=√6+4√2−√6−4√2
Bài 4: (3,5 đ) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm D ,vẽ đờng trịn (O) đờng kính CD , đờng trịn đờng kính BC cắt (O)tại E , AE cắt (O) F
a) c/m tứ giác ABCE nội tiếp đợc đờng tròn b) c/m ∠ ACB = ∠ ACF
c) Lấy điểm M đối xứng với D qua A, điểm N đối xứng với D qua dờng thẳng BC c/m tứ giác BMCN nội tiếp đợc đờng tròn
d) Xác định vị trí D để đờng trịn ngoại tiếp tứ giác BMCN có bán kình nhỏ
§Ị Lun thi tun sinh vào 10 Đề 3 ( Thời gian làm bài:120)
Bài 1:(2,5đ)
1) Tính giá trị biểu thức A =
322
√3+2√2−1 2) Cho biÓu thøc B = (
√1+x−√1− x ) : (
3
√1− x2+1) víi -1<x<1 a, Rót gän B
b,TÝnh gi¸ tri cđa B x= √2−5
Bài 2: ( 2đ) Cho Parabol (P): y= x2 đờng thẳng (d) : y= 2m x+m2 +1
a) Chứng tỏ đờng thẳng (D) Parabol (P) cắt điểm phân biệt A B m thay đổi
b) Giả sử x1;x2 lần lợt hoành độ A B Xác định m cho x1 x2
+x2 x1
=−5
2 Bµi 3: (1đ) Giải phơng trình 1 x+4+x=3
Bài :(1,5đ)Cho phơng trình (m-1)x2 2(m +1)x +m =0 (1) a) Giải biện luận phơng trình theo m
(33)b1 ) Tìm m để |x1− x2|
b2) T×m mét hƯ thức liên quan x1 x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài :(3,đ) Cho tam giácABC nội tiếp (O) ; điểm E,D giao điểm tia phân giác góc B C ; ED cát BC I cắt cung nhỏ BC M C/m
a)3 điểm A ,E,D thẳng hàng b) Tứ giác BECD nội tiếp
c) Các tam giác BEM , MBD cân M M trung điểm ED
Đề Luyện thi tuyển sinh vào 10 Đề 4 ( Thời gian làm bài:120)
Bài 1: (3đ) 1)Tính giá trị biểu thức M= (15 6+1+
4 62
12
3−√6)(√6+11) 2) Cho biÓu thøc A= 15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3
3+√x
a, Rút gọn A b, Tìm gía trị x để A=0,5 c, Tìm x để A nhận giá trị lớn Tìm giá trị lớn Bài 2: (2,5đ)
Cho Parabol (P): y=x2
a)Gọi A B điểm thuộc (P) lần lợt có hồnh độ -1 2.C/m Δ OAB vng A b)Viết phơng trình đờng thẳng (d1) // AB tiếp xúc với (P)
c)Cho đờng thẳng (d2) : y=mx+1 (với m tham số )
+C/m đờng thẳng (d2) qua điểm cố định với m
+Tìm m cho đờng thẳng (d2)cắt Parabol điểm phân biệt có hồnh độ x1 x2 thoả mãn
x12
+
x22
=11
Bài 3(1,5đ); đội công nhân làm chung công việc d định xong 12 ngày họ làm chung với ngày thì đội nghỉ đội làm tiếp với suất tăng gấp đôi nên đội hồn thành phần việc cịn lại ngày rỡi Hỏi làm đội phải làm xong cơng việc trên?
Bài4:(3đ) Cho tam giác ABC nhọn , góc A =450 đờng cao BD,CE cắt H C/m a) Tứ giác ADHE;BEDC nội tiếp
b) HD=DC c) TÝnh tØ sè DE
BC
d) Gọi O tâm đ/tr ngoại tiếp tam giác ABC C/M r»ng OA DE c) BEDC néi tiÕp
=>DEC=DBC
Mµ AEH=AED+ DEC =900 => AED=DCB (1) DCB + DBC =900
Mµ A chung => Δ AED= Δ ACB (gg) => ED
BC= AE AC
Mµ AE=AC Sin 450 =>AC=AE: √2
2 =AE √2 ED
BC= AE
AC =
AE AE
√2
= √2
2
B C
A
D E