Để sử dụng tài liêu có hiệu quả thầy khuyến nghị các em nên học theo quy trình như sau: Học, nắm chắc lí thuyết xem ví dụ giải mẫu từng dạng đọc đề bài tập vận dụng Phân tích, n[r]
(1)Lời nói đầu
Các em học sinh thân mến!
Tích phân nội dung quan trọng, có mặt hầu hết kì thi TN THPT, tuyển sinh đại học, cao đẳng năm Việc giải tích phân địi hỏi phải biết phân tích, so sánh, biết “thử giải - sai”, biết tư lôgic, lựa chọn phương pháp phù hợp quan trọng phải có kinh nghiệm Thầy mong rằng, tập tài liệu nhỏ phần giúp em học sinh có thêm tư liệu học tập, nắm kiến thức tảng, tạo đà cho việc tư phương pháp giải em Giúp em có thêm niềm tin việc giải tốn tích phân
Để sử dụng tài liêu có hiệu thầy khuyến nghị em nên học theo quy trình sau: Học, nắm lí thuyết xem ví dụ giải mẫu dạngđọc đề tập vận dụngPhân tích, nhận dạngChọn cách giải thử giải Kiểm chứng kết máy tính Kết luận, rút kinh nghiệm để khắc sâu
(2)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN
PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT I/- NGUYÊN HÀM
1/- Định nghĩa: Gọi F(x) nguyên hàm hàm số f(x) họ ngun hàm (hay tích phân bất định) f(x) là:
( ) ( ) '( ) ( )
f x dxF x CF x f x
, (C = const)
2/- Tính chất nguyên hàm
a/ f x dx'( ) f x( )C
b/ k f x dx ( ) k f x dx k ( ) , 0
c/ f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )
3/- Bảng nguyên hàm:
Nguyên hàm hàm Nguyên hàm hàm hợp u = u(x), du = u’(x)dx
dx x C
du u C
1
x
x dx C
, 1
1
u
u du C
, 1
1
ln
dx x C
x
, x0 1du lnu C
u
, u0
2
1
dx C
x x
1
du C
u u
x x
e dxe C
e duu eu C
ln x
x a
a dx C
a
, (0a1)
ln u
u a
a du C
a
, (0a1)
cosxdxsinx C
cosudusinu C
sinxdx cosx C
sinudu cosu C
2
1
(1 tan ) tan cos xdx x dx x C
2
1
(1 tan ) tan cos udu u du u C
2
1
(1 cot ) cot sin xdx x dx x C
2
1
(1 cot ) cot sin udu u du u C
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: với a b, ,a0, 1, m0
( 1)
ax b dx ax b C
a
dx 1ln ax b C
ax b a
2
1 dx
C a ax b ax b
ax b ax b
e dx e C
a
ln
mx mx n a n
a dx C
m a
cos(ax b dx) 1sin(ax b) C a
sin(ax b dx) 1cos(ax b) C a
2 1tan( )
cos ( )
dx
ax b C ax b a
2 1cot( )
sin ( )
dx
ax b C ax b a
2 2 ln
2
dx x a
C
x a a x a
ln tan
sin
x
dx C
x
ln tan
cos
x
dx C
x
(3)4/- CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM 4.1/- PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Định lý: f x dx( ) F x( )C f u du( ) F u( )C, với u = u(x), du = u’(x)dx * Để tính f x dx( ) PP đổi biến ta thực bước sau:
- B1: Đặt u = u(x) du = u’(x)dx
- B2: Biểu diễn f(x)dx theo u du Giả sử f(x)dx = g(u)du
- B3: Tính g u du( ) Giả sử g u du( ) G u( )C - B4: Kết luận: f x dx( ) g u du( ) G u x( ( ))C CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP
Sử dụng phép đổi biến loại 1:
Dạng 1) f x , a2x2dx ta đặt xacos ,t với 0 t hoặc xasin ,t với
2 t
VÍ DỤ1: Tính 1) I 1x dx2 2)
2 1x dx
Bài Giải 1) Đặt sin , [- ; ] cos
2
x t t dx t dt
Khi đó,
sin sin2 cos cos cos cos2 ( cos ) 1( )
1
2 2
t I t tdt t tdt tdt t dt t C
(arcsin 2)
1
2 x x x C
2) ) Đặt sin , [- ; ] cos
2
x t t dx t dt
Khi đó, cos cos arcsin
cos sin
2
1
+C
1
tdt tdt
dx dt t C x
t
x t
Dạng 2) f x , a2x2dx ta đặt xatan ,t với
2 t
; xacot ,t với 0 t
VÍ DỤ2: Tính 2
1x dx
Bài Giải
Đặt tan , (- ; ) (1 tan2 )
2
x t t dx t dt
Khi đó, arctan
1
1x dx dt t C x C
Dạng 3) f x , x2a2dx đặt
cos a x
t
với [0; ]\{ }
t
sin a x
t
với [- ; ]\{0} 2 t
VÍ DỤ3: Tính
1 x
dx x
Bài Giải
Đặt , ; sin
cos cos2
1
[0 ]\{0} t
x t dx dt
t t
Khi đó, cos sin
cos cos
2
2
1
1
x t
dx t dt
x x t
sin tan
cos
2 t
t dt
t
tan ( ) tan
cos
2
2
1
tdt dt t t C
t
(4)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân Sử dụng phép đổi biến loại 2:
1)Dạng : I f a sinxbcosxdx, a b,
Ta Đặt uasinxb, Hoặc u n asinxb
biểu thức asinxb nằm dấu n
VÍ DỤ: Tính 1) ( sin2 x1) cos3 xdx 2) cos
sin
33 1
xdx x
BÀI GIẢI
1) Đặt 2sin 2cos cos
2 dt
t x dt xdx xdx Khi
( sin ) cos ( sin )
4
3
2
2 8
t
x xdx t dt C x C
2) Đặt t3 3sinx 1 t3 3sinx 1 3t dt2 3cosxdxcosxdxt dt2 Khi
cos
( sin ) sin
2
2
3
1
3
2
3
xdx t dt t
tdt C x C
t
x
2)Dạng : I f a cosxbsinxdx, a b,
Ta Đặt uacosxb, Hoặc u n acosxb
biểu thức acosxb nằm dấu n
VÍ DỤ: Tính 1) 2cosx1.sinxdx 2) e2cosx1sinxdx BÀI GIẢI
1) Đặt t 2cosx 1 t2 2cosx 1 2tdt 2sinxdxsinxdx t dt Khi
( cos )
cos sin
3
2
2
3
x t
x xdx t dt C C
2) Đặt 2cos 2sin sin
2 t x dt xdx xdx dt
Khi 2cos 1sin 1 1 1 2cos
2 2 2
x t t x
e xdx e dt e C e C
3)Dạng : I f a lnx b1dx x
, a b,
Ta Đặt ualnxb, Hoặc u n alnxb biểu thức alnxb nằm dấu n
VÍ DỤ: Tính 1) ln
2 x
dx x
2) lnx lnx 1 dx
x
BÀI GIẢI
1) Đặt t lnx dt 1dx x
Do đó, ln ln
2 3
2
3
x t x
dx t dt C C
x
(5)2) Đặt t lnx t2 lnx 2tdt 1dx x
Do đó,
ln ln
( ) ( )
5
2
1
2 1 2
5 3
x x t t
dx t t dt C
x
(ln ) (ln )
5
1
2
5
x x
C
4) Dạng : tan 12
cos
I f a x b dx
x
, a b,
Ta Đặt uatanxb, Hoặc u n atanxb
biểu thức atanxb nằm dấu n
VÍ DỤ: Tính 1) A=
(tan ).cos2
1
1 dx
x x
2) B= tan
cos2
x dx x
BÀI GIẢI
1) Đặt tan
cos2 1
t x dt dx
x
Do đó, A= ln ln tan
(tan ).cos2
1
1
dt
dx t C x C
x x t
2) Đặt tan tan
cos
2
2
1
t x t x tdt dx
x
Do đó, tan
3
2 2 2
2
3 3
t x
B t dt C C
5)Dạng : cot 12
sin
I f a x b dx
x
, a b,
Ta Đặt uacotxb,Hoặc u n acotxb
biểu thức acotxb nằm dấu n
VÍ DỤ: Tính 1) A=
(cot ) sin2
1
1 dx
x x
2) B=cot3 xdx
BÀI GIẢI
1) Đặt cot
sin2 1
t x dt dx
x
Do đó,
cot
2
1
1 dt
A C C
t t x
2) B= cot ( ) cot cot cot
sin sin
3
2
1 1
1
xdx xdx x dx xdx
x x
cot
cot (cot ) cot cot
2
1
2 x
x d x x dx x x C
6)Dạng : I f ae x b e dx x , a b,
Ta Đặt u aex b,Hoặc u n aex b biểu thức aex b nằm dấu n
VÍ DỤ: Tính 1) A=
( 1)2 x x
e dx e
2) B=ex 2ex 1.dx BÀI GIẢI
1) Đặt tex 1 dte dxx Do đó, A =
2
dt 1
t C x C
t e
2) ) Đặt
2 x x x
t e t e tdte dx
Do đó, B = ) ( ) ( ) ( )
5
5
2 2
1 1
(
2 5
x x
e e
t t
t t dt C C
(6)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
7) Dạng : I f ax m b x m1dx, a b,
Ta Đặt u axm b,Hoặc u n axmb biểu thức axm b nằm dấu n
VÍ DỤ: Tính 1) A=
2
4 x
dx x
2) B= .
3
2
1
x
dx x
BÀI GIẢI
1) Đặt
4
tx dt x dx Do 1ln 1ln
3 3
dt
A t C x C
t
2) Đặt 2
1
t x t x tdtxdx
Do ( ) ( ) ( )
2
2
2
1
1
3
x
t tdt t
B t dt t C x C
t
8) Dạng : I f a sin2xbsin 2xdx
Ta Đặt u asin2 xb, Hoặcu n asin2xbnếu biểu thức asin2xbnằm dấu n 9) Dang : I f a cos2 xbsin 2xdx
Ta Đặt uacos2xb,Hoặcu n acos2xbnếu biểu thức acos2xbnằm dấu n
VÍ DỤ: Tính 1) A= sin
sin2
x dx x
2) B= sin .
cos2
2 1
x dx x
BÀI GIẢI
1) Đặt t 1 sin2xdtsin2x dx Thì A dt lnt C ln1 sin2x C t
2) Đặt t 1 cos2 xdt sin2x dx Thì A dt lnt C ln1 cos2 x C t
4.2/- PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN: Sử dụng công thức nguyên hàm phần: ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )
u x v x dxu x v x u x v x dx
hay udvuvvdu (1)
Bằng cách đặt:
'( ) , ( )
'( ) ( ), ( '( ) ( ))
(Lấy vi phân vế theo vế) Lấy nguyên hàm v'(x): du u x dx
u u x
dv v x dx v v x v x dx v x
Sau thay vào cơng thức (1), tìm cách tính tích phân cịn lại (có thể suy trực tiếp, dùng phương pháp ta biết: bao gồm đổi biến phần)
Lưu ý: Thông thường ta có dạng bản:
i Dạng 1: p x l x dx( ) ( ) , p(x) hàm đa thức, l(x) hàm lượng giác theo sin cos
Cách giải: Đặt
'( ) , ( ( )
( ) ( ) , ( )
Lấy vi phân vế theo vế) Tìm nguyên hàm l(x) du p x dx
u p x
dv l x dx v l x dx
ii.Dạng 2: p x e( ) t x( )dx, p(x) hàm đa thức, et(x) hàm mũ số e
Cách giải: Đặt ( ) ( )
( )
'( ) , ( ( )
, ( )
Lấy vi phân vế theo vế) Tìm nguyên hàm e
t x t x
t x
du p x dx u p x
v e dx dv e dx
(7)( ) ( ) ( ) ( ) b
b a a
f x dxF x F b F a
Cách giải: Đặt
'( ) , ( ln[ ( )
( ) ( )
( ) , ( ( ))
Laáy vi phân vế theo vế) ]
Tìm nguyên hàm
f x
du dx
u f x
f x dv p x dx
v p x dx p x
Chú ý: Nếu gặp dạng p(x).lnnx đặt u = lnnx dv = p(x)dx
II/- TÍCH PHÂN:
1/- Định nghĩa tích phân: ( Cơng thức Newton - Leibnizt )
2/- Các tính chất:
1) ( )
a
a
f x dx
2) ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx
3) ( ) ( )
b b
a a
k f x dxk f x dx
4) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5) ( ) ( ) ( )
c b c
a a b
f x dx f x dx f x dx
6) ( ) 0, ; ( )
b
a
f x x a b f x dx
7) ( ) ( ), : ( ) ( )
b b
a a
f x g x x a b f x dxg x dx
8) b ( ) b ( )
a a
f x d x f x d x
9) Nếu m f x( )M, x [a b; ]
( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dxM b a
Lưu ý: Các tính chất 6, 7, 8, chương trình sgk khơng có
3/- Các phương pháp tính tích phân:
3.1/- Phương pháp sử dụng phép biến đổi đại số lượng giác kết hợp với bảng nguyên hàm để tính tích phân
Vấn đề 1: Sử dụng phép biến đổi đại số thường gặp:
Dạng 1: Phân tích hàm số bên dấu tích phân đưa hàm có nguyên hàm Ta thường dùng phép biến đổi như:
- Đưa thức dạng luỹ thừa - Dùng đẳng thức
- Tách tích phân
- Thêm - bớt số biểu thức…
Bài tập1: Tính tích phân sau 1)
3
1
x x
dx x
2)
4
3 x 5x dx x x
3)
4
1
x dx
x
4)
1
0
x dx e Giải
1)
1
3
3 2
2
2
1
( ) ( )
2
x x x x x
dx dx x x x dx C
x x x x
2)
4
4 4
4
2
3 1 1
1
1 2
3 5
( ) ( ) 3ln 10 ln
x x
dx dx x x dx x x
x x
x x x
x x
3)
4
4 4
1 1
1 1 20
2
3
x dx x dx x dx x x x
x x x
(dùng đẳng thức)
4) Thêm bớt ex tử hàm số dấu tích phân, tách tích phân.
1 1 1
1
0
0 0 0
1 ( 1)
1 ln( 1) (ln( 1) ln 2) ln
1 1
x x x x
x
x x x x
dx e e e d e e
dx dx dx x e e
e e e e
Hoặc biến đổi
1
0 ( 1)
x
x x x
dx e dx
e e e
(8)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
1 1
2
0
1 1
ln ln ln ln
1 ( 1) 1
e
e e
x
dx dt t e e
dt
e t t t t t e e
Dạng 2:TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ: ( )
( )
P x dx Q x
, trong P(x), Q(x) đa thức (tham khảo để LTĐH) * Cách tính:
- Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x), ta chia đa thức trước, tách tích phân tính - Nếu bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) ta thực theo bước sau:
+ Bước 1: Tìm nghiệm Q(x) phân tích Q(x) tích nhị thức tam thức
+ Bước 2: Đồng ( ) ( )
P x
Q x thành tổng tổng phân thức đơn giản cho phân thức bậc
của tử nhỏ bậc mẫu bậc Q(x) có nhân tử phân tích thành nhiêu phân thức có mẫu nhân tử
+ Bước3: Quy đồng bỏ mẫu; đồng hệ số hai vế đồng thức thu hệ phương trình chứa hệ số bất định a, b, c, …
+ Bước 4: Thế hệ số tìm vào biểu thức vừa phân tích tính tích phân
Chú ý: Nếu bậc mẫu nhỏ mẫu bậc ta thử lấy đạo hàm mẫu, biểu diễn theo tử ta chọn phương pháp đổi biến
Lưu ý:
* Nếu tích phân có dạng I 2 dx ax bx c
, tam thức ax2 + bx + c = , (a0)có hai nghiệm phân biệt , Ta thực sau
+ Bước 1: Phân tích ax2 + bx + c = a(x - )(x- ),
+ Bước 2: Phân tích 2 1 1
( )
ax bx c a x x
* Trường hợp tam thức có nghiệm kép ta có: 2 2
1
( )
dx dx
ax bx c a xx
với 0
2 b x
a
* Nếu tam thức vô nghiệm ta dùng HĐT biến đổi:
( )
2 2
1
ax bxc xm n đặt xmntant Ví dụ: Tính tích phaân sau:
a/
2
2
1
2 1
(1 ) [ ln ] ln
2 2
x
dx dx x x
x x
= 1ln
2
b/
0 3 3 2
2
1
1
3 23
( ) [ ln ] ln
1
x x x x
dx x x dx x x
x x
Bài tập đề nghị: Tính tích phân sau:
1/I=
2
2
2
x x x
dx
x 2/J=
4
3
2
1
x x
dx
x
Ví dụ: Tính tích phân :
2
5
6
x dx
x x
Giải
Đặt 52 1
6
x
x x
=
5 ( 3) ( 2)
( 2)( 3) ( 2)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 vaäy ta coù:
2
2
5
6
x dx
x x
=
2
2 1
3 16
( ) (3 ln 2 ln ) ln
2 dx x x 27
x x
Ví dụ: Tính tích phân :
2
(2 1) 4
x dx
x x
(9)CI:
1 1 2
2 2 2
0 0
(2 1) ( 4)
( )
4 4 4 4 ( 2)
x dx x d x x
dx dx
x x x x x x x x x
=(ln 4 )
2
x x
x
1
5 ln
CII: Đặt 22 12 2 ( 2) 2 ( 2)
4 ( 2) ( 2) ( 2)
x x A B A x B
A x B x
x x x x x x
Ax -2A+B= 2
2
A A
A B B
Vaäy
1
2
0
2
[ ]
4 ( 2)
x dx
dx
x x x x
=
1
0
5 (2ln x-2 - )
x-2
ln 2
Ví dụ: Tính tích phân :I=
2
(2 3)
x dx
x x
Giải
0 2
2 2
1
2 ( 4)
5
2 ( 1)
x d x x
I dx dx J
x x x x x
Ta coù
1 2
2
( 4)
d x x
x x
=
1
4 ln/x +2x+4/ ln ln ln
3
Tính J=
0
2
5
(x 1) 3dx
Đặt x+1= 3tgt(t ;
2
) dx=
2
3(1tg t dt)
Khi x= -1 t = ; x=0 t=
6
vaäy J=
2
6
2
0
3(1 ) 3
1
(3 ) 3
tg t
dt dt
tg t
Vaäy I= ln 5(
3
3
3
)
Bài tập đề nghị: Tính tích phân sau: 1/I=
1
2
1
5 6dx
x x 2/I=
5
2
1
x dx
x x 3/ I=
4
2
3
x
dx
x x
Bài tập2: Tính tích phân sau 1)
3
2
dx I
x x
2)
1
3
0
2
6 11
x
J dx
x x x
3)
3
4
2
1
x x
K dx
x x x
GIẢI
1) Vì
3 1;
x x x x nên
3 ( 1)( 4)
x x x x Do đó,
B1: Phân tích 2
3 4
a b
x x x x
B2: Quy đồng mẫu vế phải ( 24) ( 1)
1 4
a b a x b x
x x x x
Từ đó, 2 ( 24) ( 1) ( 4) ( 1)
3 4
a x b x
a x b x
x x x x
(*)
B3: Tìm a, b từ (*) (Phương pháp hệ số bất định)
+ Cho 1: (*) 1
5 x a a
+ Cho 4: (*) 1
(10)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân B4: Vậy ta có 2 1 1( 1 )
3 ( 1)( 4)
x x x x x x
Nhận xét: Nếu áp dụng trực tiếp ý ta có ngay: 2 1 1
3 4 ( 1)
x x x x
Nhờ kết phân tích mà ta có:
3
3
2
2
2 2
1 1 1 1 1 12
( ) ln( 1) ln( 4) ln (ln ln ) ln
3 5[ ] 5 7
dx x
I dx x x
x x x x x
Ví Dụ: Tính
2
3 14 x
L dx
x x
Nếu tử đa thức chứa x, mẫu tam thức bậc hai có nghiệm
ta phân tích 2 8 ( 27) ( 2)
9 14 ( 2)( 7) 14
x x a b a x b x
x x x x x x x x
(mẫu tích nhị thức bậc
nên phân tích thành tổng hai phân thức tử số a, b (chưa biết)
Suy ra, 3x 8 a x( 7)b x( 2) (*) Tìm a, b:
Cho 2: (*) 14 14
5
x a a ; cho 7: (*) 29 29 x b b Vì thế, 23 29 14
9 14
x
x x x x
GIẢI
Ta có:
1
1
2
0
3 29 14 1
( ) 29 ln( 7) 14 ln( ) (29 ln 14 ln 2)
9 14 5[ ]
x
L dx dx x x
x x x x
2) Ta có x3 + 6x2 + 11x + = (x+1)(x+2)(x+3)
2
2 ( 2)( 3) ( 1)( 3) ( 1)( 2)
( 1)( 2)( 3)
x a b c
x a x x b x x c x x
x x x x x x
(1)
2
2x (a b c x) (5a 4b )c x 6a 3b 2c
Đồng hệ số (Phương pháp đồng thức)hai vế ta được:
0 2
5
6 11
2
a a b c
a b c b
a b c
c
Cách khác: (PP hệ số bất định)
cho x 2 1: ( ) b b9; cho 1: ( ) 7
2 x a a ; cho 1: ( ) 11 11
2
x c c (cách nhanh gọn ta khơng phải thu gọn giải hệ)
Khi đó: 11
( 1)( 2)( 3) 2
x
x x x x x x
1
1 1
0 0
0
7 11 11
( ) ln ln ln
2 x x 2 x dx x x x
7ln 9(ln ln 2) 11(ln ln 3) 47ln 29ln
2 2
3) Ta có x4x3 x (x21)(x2 x 1)(x1)(x1)(x2 x 1) Do
3
2
2
( 1)( 1)( 1) 1
x x a b cx d
x x x x x x x x
3 2 2
2x 3x a x( 1)(x x 1) b x( 1)(x x 1) (cx d x)( 1)
(1)
(11)6
2
2
1
a a
b b
a b c c
a b d d
Khi
3
2
2 1
( 1)( 1)( 1) 1
x x x
x x x x x x x x
Suy ra:
3
3 3
3
4 2
2 2
2 1 1 39
ln ln ln
1 1 1 14
x x x x
K dx dx x x
x x x x x x x x
Vấn đề 2: TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC
1 Phương pháp: Để giải thuận lợi tập nguyên hàm tích phân, mà hàm dấu tích phân có dạng hàm lượng giác, ta thường tập hợp lựa chọn phép biến đổi phù hợp để biến đổi biểu thức dấu tích phân nhằm tìm cách đưa dạng quen thuộc
Các phép biến đổi thường gặp là:
a) Biến đổi tích thành tổng:
* cosa.cosb = ½[cos(a+b) + cos(a - b)] * sina.cosb = ½ [sin(a+b) + sin(a - b)] * sina.sinb = ½ [cos(a - b) - cos(a+b)]
b) Nhân đôi, hạ bậc:
sin2a = 2sina.cosa cos2a = 2cos2a -
= - 2sin2a = cos2a - sin2a tan 2 tan2
1 tan a a
a
2
2 os
os c a
c a
sin2 2
os c a a tan2
1
os os c a a
c a
c) Biến đổi biểu thức dạng asinx + bcosx hàm lượng giác sin cos nhờ công thức cộng d) Sử dụng đẳng thức lượng giác
sin co s sin ( )
4 o s
a a a c a
s in c o s sin ( )
a a a
cos sin
4
os
a a c a
1 + sin2a = (sina + cosa)2 1- sin2a = (sina - cosa)2
4
sin sin
2 os
ac a a
6
sin sin
4 os
a c a a
Bài tập 3: Tính tích phân bất định sau sin
sin x
I dx
x
J cos22xdx GIẢI
1 sin sin cos sin cos cos
sin sin sin
x x x x x x
I dx dx dx
x x x
(áp dụng công thức nhân đôi)
4 cos x cos2xdx2 ( cos3xcos )x dx 2sin sin
3 x x C
2 22 1 1sin
2
os os
J c xdx c x dx x xC
(Áp dụng Cơng thức hạ bậc)
Bài tập 4: Tính tích phân sau
2
2
0
sin cos
I x xdx
2
2
0
sin cos
J x xdx
(12)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
1 Ta có
2
2 2 2 2
2
0
0 0
1 1
(sin cos ) sin sin
2 os 32 16
x
I x x dx x dx c x x
(hạ bậc)
2 Ta có
3
2 2
2 2
0 0
sin sin
sin cos sin (1 sin ) cos sin sin sin
3 15
x x
J x xdx x x xdx x d x
Lưu ý: Ở toán trên, kết hợp biến đổi dùng pp vi phân hoá: d(f(x)) = f’(x)dx
* CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1: sin(mx c) os(nx dx) ; sin( mx c) os(nx dx) ;cos(mx c) os(nx dx) , ta biến đổi hàm dấu tích phân thành tổng tính Để làm tốt dạng ta Cần ghi nhớ CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG (XEM Ở TRÊN)
Ví dụ: 1) sin cos sin sin cos cos
2 2
2
0
1 12
3
2 5
x
x xdx x x dx x
2) cos cos cos cos sin sin
2 2
0 0
1
2
2 21
x x
x xdx x x dx
Dạng 2: sinmxcosnxdx
+ Trường hợp 1: có hai số m, n lẻ - Nếu m lẻ, tách sinmx = sinm-1x.sinx, đặt t = cosx - Nếu n lẻ, tách cosnx = cosn-1x.cosx, đặt t = sinx
VÍ DỤ: Tính 1) I = sin cos
2
0
x xdx
2)J= sin cos
2
2
0
x xdx
3) K= sin
cos
3
4
x dx x Bài giải
1) Đặt sin cos ; 0,
2
t xdt xdx x t x t I =
1
1
3
0
1
4
t t dt
2) J= sin cos sin ( sin ) cos
2
2 2
0
1
x xdx x x xdx
đặt sin cos ; 0,
3
t xdt xdx x t x t Thì ( )
1
1
2
0 0
2
3 15
t t J t t dt
3) K= sin ( cos ) sin
cos cos
3
3
4
0
1
x x x
dx dx
x x
Đặt cos sin ; 1,
3
t xdt xdx x t x t Thì
1
4
1
2
1 1
3
t
K dt
t t t
+ Trường hợp 2: m, n chẳn dương ta dùng công thức hạ bậc, hạ bậc tính
VÍ DỤ: Tính sin cos
2
2
0
x xdx
Dạng 3: sinmxdx, osm
c xdx
+ Nếu m chẳn, hạ bậc tính
+ Nếu m lẻ, Sử dụng hđt lượng giác biến đổi:
(13)VÍ DỤ: 1) Tính sin
2
0
x dx
2) cos
2
0
x dx
3) sin
4
0
2x dx
BÀI GIẢI
1) I= sin ( cos ) sin
2
3
0
1
x dx x x dx
,
đặt cos sin ; 1,
2
t xdt xdx x t x t Thì ( )
1
1
2
0 0
2
3
t I t dtt
2) J = cos ( sin ) cos ( sin ) cos
2 2
5 2
0 0
1 2sin
x dx x x dx x x x dx
đặt sin cos ; 0,
2
t xdt xdx x t x t J= ( )
1
1
2
0 0
2
1
3 15
t t
t t dt t
3) K = sin ( cos ) sin
4 4
2
0 0
1
2
2
x
x dx x dx x
3.2/- PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
3.2.1/- Đổi biến loại 1: Để tính ( ) b
a
f x dx
ta thực theo bước
B1: Đặt x = (t), hàm liên tục đoạn [;],
B2: Đổi cận x = a t = (giải pt a =(t) để tìm t) x = b t = (giải pt a =(t) để tìm t)
Biểu diễn f(x)dx theo t dt giả sử f(x)dx = g(t)dt
B3: Tính g t dt( )
B4: Kết luận ( ) b
a
f x dx
= g t dt( ) Bài tập 5: Tính tích phân sau
1)
2 01
dx I
x
2)
1
2
1
J x dx 3)
1
2
dx I
x
GIẢI
1) Đặt tan ,( ) (1 tan2 )
2
x t t dx t dt Đổi cận: x0 t 0;
4 x t
Khi đó:
4
2 4
2
0
1
(1 tan )
1 tan
I t dt dt t
t
2) Đặt sin , ( ) cos
2
x t t dx tdt Đổi cận: x0 t 0;
2 x t
Khi đó:
2 2 2
2
0 0
1 1
1 sin cos sin
2 2
J t t dt cos tdt cos t dt x t
3) Đặt sin , ( ) cos
2
x t t dx tdt
Đổi cận: x0 t 0;
2
x t Khi đó:
6
6
0
1
.cos
6 sin
J t dt dt t
t
(14)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân Lưu ý: Thường tập tính tích phân pp đổi biến loại có dạng như: (a>0)
2 dx a x
ta đặt xatant, ; 2
t
; 2
2
; dx
a x dx
a x
ta đặt xasint hay xacost, với ; 2
t
2
2
; dx
x a dx
x a
ta đặt
sin a x
t hay
cos a x
t
, với ;
2
t
3.2.2/- Đổi biến loại 2: Để tính ( ) b
a
f x dx
ta thực theo bước B1: Đặt u = u(x) du = u’(x).dx
B2: Đổi cận: x = a u = u(a); x = b u = u(b)
B3: + Biểu thị f(x)dx theo u du Giả sử f(x)dx = g(u)du + Tính
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
u b
u b u a u a
g u duG u
B4: kết luận: ( ) b
a
f x dx
=
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
u b
u b u a u a
g u duG u
3.2.3/- Phương pháp tích phân phần
PP: Ta sử dụng công thức tích phân phần:
b b
b a
a a
udvuv vdu
(1)
Đặt
'( ) , ( ( )
'( ) '( ) ( ), (
Lấy vi phân theo vế)
Tìm nguyên hàm) du u x dx
u u x
dv v x dx v v x dx v x
Rồi thay vào cơng thức (1) Tính tích phân
Đối với tích phân phần thường có dạng pp giải sau:
p x e( ) t x( ).dx,p x( ).sin( ( )). x dx,p x cos( ) ( ( )). x dx Ta đặt ( )
phần lại u p x
dv
p x( ).ln().dx Ta đặt ln()
phần lại u
dv
eax.sinkx dx ,e coskx dxax Ta đặt ( )
phần lại u p x
dv
ngược lại Trong đó, p(x) hàm đa thức
3.3/- ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 3.3.1/- Tính diện tích hình phẳng:
a) Diện tích hình phẳng D giới hạn đường y = f(x), trục hoành Ox đường thẳng x = a, x = b là:
( )
b
a
S f x dx
b) Diện tích hình phẳng D giới hạn đường y1 = f(x), y2 = g(x) đường thẳng x = a, x
=b là:
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x dx
Lưu ý:
(15)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
+ Hoặc ta dùng đồ thị để giải
+ Trường hợp pt hồnh độ giao điểm vơ nghiệm ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x g x dx f x g x
3.3.2/- Thể tích vật thể trịn xoay:
a) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D giới hạn đường y =f(x), trục hoành, đường thẳng x = a, x = b, cho D quay quanh trục Ox là:
2 ( ) b
a
V f x dx
Chú ý: Nếu hình D giới hạn đường y f x y( ); g x x( ), a x, b f x( )0, ( )g x 0, x [a;b] Cho D quay quanh Ox, thể tích khối trịn xoay là: 2( ) 2( )
b
a
V f x g x dx
b) Thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D giới hạn đường x =g(y), trục tung Oy, đường thẳng y = a, y = b, cho D quay quanh trục Oy là:
2 ( ) b
a
V g y dy
Chú ý: Nếu hình D giới hạn đường x f y x( ); g y y( ), a y, b, f y( )0, ( )g y 0, y [a;b] Cho D quay quanh Oy, thể tích khối trịn xoay là: 2( ) 2( )
b
a
V f y g y dx
PHẦN II: BÀI TẬP MẪU CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI Lưu ý:
- Trong q trình ơn tập ngun hàm tích phân Để việc ơn tập đạt hiệu quả, học sinh nên tự hệ thống, nắm vững lý thuyết, xem lại tập, ví dụ mẫu sgk sbt, sau tiến hành tự giải lấy tập Cuối cùng, đối chiếu lại kết tập có tài liệu
- Trong tập tích phân có sử dụng pp đổi biến, dùng cách biểu diễn theo vi phân dùng trực tiếp vi phân để giải mà không cần phải dùng pp đổi biến để hạn chế thời gian phải trải qua bước đổi biến đổi cận Nghĩa là:
( ) '( ) ( ) ( ( ))
f x f x dx f x d f x
Chẳng hạn,
2 2
3
0
0
1
sin cos sin (sin ) sin
4
x xdx xd x x
Bài 1:Tính tích phân bất định sau:
1)
1
x dx x
2) ex(1ex)dx
3) 5x35dx
4) 2
cos x
x e
e dx
x
5)
2
x dx x
6)
1 2 x dx
7) 22 1 x
dx x x
8) cos 22 cos
x dx x
9) sin4 xcosxdx
10)
1 x x
e dx e
11) lnx 3dx x
12) x2 x35dx
13) xdx x a
14) e3cosxsinxdx
15) 3 1x xdx
16) ln xdx
x
17) sin 22 cos
x dx x 18)
2 cos
2 sin
x dx x x
19) cos x3 sinxdx
20) sin4x cos xdx 21) sin2x cos xdx 22) sin 22 xdx
23) cos22xdx
24) sin4xdx
25) cos xdx5
26) tan2 xdx
(16)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân 28) tan4xdx
29) cot5xdx
30) sin x cos xdx3 31)
2
1
x dx x 32)
3 1 x x
e
dx e
33)
1 x dx e 34)
2
1
x dx x
35) 2
3 dx x x
36)
2
x dx x 37) 2
1 dx x
38) cos sin cos
xdx x x
39)
1 x x
e
dx e
40) cos cos sin
xdx x x
41)
2 sin lnx
dx x
42)
2 x x
dx e e
43) x3 x21dx
44)
22
xdx x
45) 12sin1dx
x x
46)
3 sin cos
x dx x
47) xdx x e e
48) cos sin sin cos
x x
dx
x x
49)
2 sin cos
x dx x
50) sin x cos xdx2 51)
1
2
x
dx
x x
52) sin
1 cos x
dx x 53)
2 dx x a
54)
2 2
sin cos
sin cos
x x
a x b x
Bài 2: Tìm hàm số F(x) trường hợp sau: 1) F x( ) (2x2 3)dx
x
F(1) = 2) F x( )cos x5 cos 3xdx ( )
4 F 3) ( )
ln dx F x
x x
F e( ) 1 4) F x( ) sin(ln )x dx
x
F(1)2
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ
1)
2
3
3 3
1
3
1 3 3
5
x x
dx dx x x dx x x C x x C
x
x
2) ex(1ex)dx(ex1)dxex x C
3) Đặt u5x 3 du5dx Khi đó, 5 35 5 36
5 30 30
x dx u du u C x C
Ta viết vi phân: 5 35 (5 3)5 (5 3) (5 3)6
5 30
x dx x d x x C
4) 2 12 tan
cos cos
x
x e x x
e dx e dx dx e x C
x x
5) Đặt u 1 x2du 2xdx Hay
2 du xdx
Khi đó,
2
1
1
1
x du
dx u C x C
u x
Tương tự, dùng vi phân:
2
2
2
1 (1 )
1
1
x d x
dx x C
x x
6) 1 (1 )
2
1 2
d x
dx x C
x x
Hay đặt u = 1+2x
7)
2
2
2
2 ( 1)
ln
1
x d x x
dx x x C
x x x x
(17)8) cos 22 cos
x dx x
Biến đổi
2
2
2 2
1 2sin
2 tan 2( 1)
os
os os os
c x x
x
c x c x c x
Do đó: cos 22 ( 12 1) tan
cos cos
x
dx dx x x C
x x
9)
5
4 sin
sin cos sin (sin )
5
x
x xdx xd x C
10) Đặt uex 1 due dxx .Khi đó, ln ln( 1)
x
x x
e du
dx u C e C
e u
11) Đặt u lnx du 2dx x
Khi đó, ln 1 2 ln 33
2 3
x
dx udu u C x C
x
12) Đặt 2
5
3 hay
ux du x dx x dx du
Khi đó, 3
5
3 9
x x dx udu u C x C
13)
2
2
2
1 ( )
2
xdx d x a
x a C
x a x a
Hay đặt, u = x3 + a
14) e3cosxsinxdx
Đặt u = 3cosx du = -3sinxdx Do đó: 3cos 1 3cos sin
3 3
x u u x
e xdx e du e C e C
15)
1
2 3 3 3
1 (1 )
2
x xdx x d x x C
Hoặc đặt u = 1+ x2 du = 2xdx Khi đó,
1
1
2 3 3 3
1
2 8
x xdx u du u C x C
16) ln xdx
x
Đặt u lnx du dx x
Khi đó,
4 5
ln 1
ln
5
xdx
u du u C x C
x
17) sin 22 cos
x dx x
Đặt u 1 cos2xdu 2sin cosx xdx sin 2xdx
Khi đó, sin 22 ln ln
1 cos os
x du
dx u C c x C
x u
18) Ta có: cos
1 cos
sin sin
x
x
dx dx
x x x x
sin cos
Đặt u x x du x dx cos ln ln sin sin
Khi xdx du u C x x C
x x u
19) cos x3 sinxdx
Đặt u = cosx du = -sinxdx Khi đó,
4
3
.sin
4
os
u c x
cos x xdx u du C C
20) sin4 x cos xdx
Ta biến đổi: sin4xcos3xsin4x.cos2x.cosxsin4x sin 2xcosx Do đó, sin4 x cos xdx sin4xsin6 xcosxdx
Đặt u =sinx du = cosxdx Khi đó,
5 7
4 sin sin
sin
5 7
u u x x
x cos xdx u u du C C
21) sin2 x cos xdx Ta biến đổi
2
2 2 2
sin (1 )(1 ) sin
2 8
os os
os c x c x os os os
x c x c x c x x c x
(18)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân Vậy, sin2 sin 12 sin 22 sin 2
8 os os
x cos xdx x c x dx xdx x c xdx
= 1 sin cos 22 1sin sin 22 (sin )
8 16
os
c x
dx x xdx x x xd x
3
1 1
sin sin
16 x x x C
22) sin 22 (1 ) 1( 1sin )
2 os
xdx c x dx x x C
Thông thường, hàm lượng giác sin cos dấu tích phân có mũ chẳn, ta hạ bậc
23) 1
2 (1 ) ( sin )
2 os
cos xdx c x dx x x C
24) sin4 xdx Ta hạ bậc,
4 cos 2 1 1 1
sin ( ) cos 2 (1 )
2 os os os os os
x
x x c x c x c x c x c x
Vậy, sin4 1sin sin
8 os os 32
xdx c x c x dx x x x C
25) cos xdx5
Ta có: 2
cos xcos x.cosx(1 sin x) cosx(1 sin xsin x) cosx
Do đó, cos xdx5 (1 2sin 2xsin4x) cosxdx Đặt usinxducosxdx
Khi đó,
5
5 3 sin
(1 ) ( ) (sin sin )
3 5
u x
cos xdx u u du u u C x x C
26)
2
tan ( 1) tan
os
xdx dx x x C
c x
27) cot2 ( 12 1) cot sin
xdx dx x x C
x
28) tan4 tan2 tan2 tan2 ( 12 1) tan2 12 tan2
os os
xdx x xdx x dx x dx xdx
c x c x
* Đặt tan 12
cos
u x du dx
x
Khi đó,
3
2
2
1 tan
tan
3
os
u x
x dx u du C C
c x
Vậy,
tan tan tan
3
xdx x x x C
29)
3
5 3
2 2
1 cot cot
cot cot cot cot ( 1) cot cot cot
sin sin sin
x x
xdx x xdx x dx dx xdx dx x xdx
x x x
3
2 2
cot cot cos
cot ( 1) cot
sin sin sin sin sin
x x x
dx x dx dx x dx dx
x x x x x
= I+J+K
+ Đặt cot 12
sin
u x du dx
x
Khi đó,
I=
3
3
2
cot
cot
sin 4
x u
dx u du C x C
x
; J=
2
2
1 cot
cot
sin 2
u x
x dx C C
x
+ Đặt t = sinx dt = cosxdx Thì K= cot cos ln ln sin sin
x du
xdx dx u C x C
x u
Vậy
cot cot cot ln sin
4
xdx x x x C
30) sin (sin sin ) 1( cos )
2 os
x cos xdx x x dx c x x C
(19)2 2
2
2 2
tan (1 tan )
tan ( 1) tan arctan
1 tan os
x t t dt
dx tdt dt t t C x x C
x t c t
32)
3
2
1 ( 1)( 1)
( 1)
1
x x x x
x x x x
x x
e e e e
dx dx e e dx e e x C
e e
33) 1 ( 1) ln( 1)
1 1
x x x x
x
x x x x
e e e d e
dx dx dx dx x x e C
e e e e
34)
1
x dx x
HD: Ta biến đổi
2 2 2
4
2
2
1
1
1
1
1 ( ) 2
x x x
x x x
x x
Đặt
1
(1 )
u x du dx
x x
Ta có:
2 2
4 2
2 1
1 ( 2) ( 2)
1
1 ( ) 2 ( 2) 2 ( 2)( 2) 2 2
x x du u u du du
dx dx du
x x u u u u u
x
1
1
ln ln ln ln
1
2 2 2 2 2
x
u x
u u C C C
u x
x
(với x0
35) 2 1 ln
3 2 1
dx x
dx C
x x x x x
36)
2
x dx x
Đặt u = x - du = dx Khi đó,
2
5 5 4
( 1) 1 1
( )
2 ( 1) 3( 1) 4( 1)
1
x dx u du
du C C
u u u u u u u x x x
x
37) 2 ( 1 ) 1ln
1 1
dx x
dx C
x x x x
38)
2
cos sin
(cos sin ) sin cos
sin cos sin cos
cos
xdx x x
dx x x dx x x C
x x x x
39)
3
2
1 ( 1)( 1)
2
1
x x x x
x x x x
x x
e e e e
dx dx e e dx e e x C
e e
40) HD: Biến đổi tương tự 38, ta có: cos (cos sin ) sin cos cos sin
xdx
x x dx x x C
x x
41) Đặt u lnx du dx x
Khi đó,
2
2
sin ln 1 1
sin sin ln sin(2 ln )
2 os 4
x
dx udu c u du u u C x x C
x
42) 2 2 ( 1)2
2 ( 1) ( 1)
x x x
x x x x x x x
dx e dx e dx d e
C
e e e e e e e
43) x3 x21dx Đặt
1
2 du ux du xdxxdx
Khi đó,
1
5
3 2 2
1 ( 1) 1
2 5
x x dx u u du u u C x x C
Hoặc đặt u x2 1 u2 x2 1 uduxdx
5
5
3 2 2
1 ( 1) ( ) 1
5
u u
x x dx u u udu u u du C x x C
(20)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân 44)
2
2 2
2
1 (1 ) 1
2 (1 )
1
xdx d x
C
x x
x
Hay đặt u = 1+ x2
45) 12sin1dx
x x
HD: Đặt u du 12dx
x x
Do đó, 12sin1dx sinudu cosu C cos1 C
x x x
46)
3 sin cos
x dx x
Đặt tcosxdt sinxdx
Khi đó, 3
2
3 sin
3 cos
cos
x du
dx u C x C
x u
47) Nhân tử mẫu biểu thức dấu tích phân với ex > 0, đặt t = ex + Ta có: ( 1)
ln( 1)
1
x x
x
x x x x
dx e dx d e
e C
e e e e
48)HD: Đặt tsinxcosxdt(cosxsin )x dx
Khi đó, cos sin 2 sin cos
sin cos
x x du
dx u C x x C
x x u
49) Biến đổi:
3
2
sin (1 os ) sin
os os
x c x x
c x c x
Đặt ucosxdx sinxdx Ta có:
3 2
2 2
sin (1 ) sin (1 ) 1
(1 ) cos
cos cos
os os
x c x x u du
dx dx du u C x C
x c x u u u x
50) Biến đổi tích thành tổng tính: sin 1sin sin
os
x c x x x
1 1
sin (sin sin ) cos
2 10 os
x cos xdx x x dx c x x C
51) Biến đổi, 1 1 1 3
( 2)( 3) 5
x x x
x x x x x x x x
Khi đó,
1
3ln 2 ln
2 5
x
dx dx x x C
x x x x
52) HD: Ta biến đổi
2
1 sin sin
1 sin 2 2 2
1 cos
2 cos cos
2 2
os
os
x x x
c x
x x x
x
c
đặt
1
2
x
u du dx Do đó,
2
2
sin sin
1 sin 2 2 sin (cos )
2 tan
1 cos cos cos
2cos
2 2
os
os os os
x x
x u d u
dx dx dx dx du du u
x x x x
x c u u u
c c c
tan ln (co s ) tan ln
2 o s
x x x
u C c C
53) HD: Đặt
2
2 2
( x 1) x x a hay u
u x a x du dx dx du dx
x a x a x a
Khi đó,
2
2
2
ln ln
dx x a du du
u C x a x C
u
x a u x a
Vậy,
2 ln
dx
x x a C
x a
(21)54) Đặt 2
2 2
2 2
sin cos sin
sin
os
os
x x a b
u a x b c x du dx
a x b c x
hay sin cosx xdx 2udu2 a b
2 2
2 2 2 2
2 2
sin cos 1
sin
( )
sin cos
os
x x udu
dx du u C a x b c x C
a b u a b a b a b
a x b x
Bài 2: Tính nguyên hàm sau phương pháp nguyên hàm phần 1 x.sinxdx
2 xcosxdx 3 (x2 5)sinxdx 4(x2 2x3)cosxdx 5 xsin2xdx 6 xcos2xdx
7 x.exdx 8 lnxdx
9 xlnxdx 10 ln2 xdx 11
x xdx
ln
12 e xdx
13 dx
x x
2
cos 14 xtg2xdx 15 sin x dx 16 ln(x2 1)dx
17 ex.cosxdx 18 x3ex2dx
19 xln(1x2)dx 20 2xxdx
21 xlgxdx 22 2xln(1x)dx 23 dx
x x ) ln( 24 x2cos2xdx HƯỚNG DẪN GIẢI
1) đặt sin u x dv xdx 2) đặt cos u x dv xdx 3) đặt sin u x dv xdx 4)đặt cos 2
u x x
dv xdx 5) đặt sin2 u x dv xdx 6) đặt cos2 u x dv xdx
7) đặt u x x
dv e dx
8) đặt u lnx dv dx
9) đặt u lnx dv xdx
10) đặt ln u x dv dx 11) đặt ln u x dv dx x
12) đặt
x
u
dv e dx
13) đặt cos2 u x dv dx x
14) đặt u x 2
dv tg xdx
15) đặt t x đổi biến sau phần đặt
sin cos
u t du dt
dv tdt v t
16)đặt ln( )
2 u x dv dx 17) đặt cos x u e dv xdx
18) đặt 2
x
u x dv e dx
19) đặt ln( ) u x dv xdx 20)đặt 2x u x dv dx
21) đặt u lgx dv xdx
22) đặt ln( 1)
2 u x dv xdx 23) đặt ln( ) 1 u x dv dx x 24) đặt cos 2 u x dv xdx
Bài 3: Tìm hàm số F(x) trường hợp sau:
1)
( ) (2 )
F x x dx
x
F(1) = Ta có ( ) (2 3) 3ln
3
F x x dx x x C
x
mà F(1) = C = 10 Vậy
3
2 10
( ) 3ln
3
F x x x 2) Ta có ( ) cos ( ) sin 1sin
2 16
c cos cos
F x os x xdx x x dx x x C
Mà ( ) 1
4
F C Vậy ( ) 1(sin 1sin )
4
F x x x
3) ta có ( ) (ln ) ln(ln )
ln ln
dx d x
F x x C
x x x
F e( ) 1 C1 Vậy F(x) = ln(lnx)+1 4) F x( ) sin(ln )x dx sin(ln ) (ln )x d x cos(ln )x C
x
F(1) 2 C3 Vậy F(x) = -cos(lnx)+3
(22)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân 1) 1 (4 ) x dx x 2)
x x x dx
3)
2
4 x x dx x 4) 2 x x d x x 5) 4 (3 ) x x e dx
6) 1 x x dx 7) 1 x x e dx e 8) 1 x x e dx e 9) 1 x dx e
(ĐHQG HN 98)
10) 1 x x e dx e
(ĐHQG HCM 96)
11)
3
0
2
x x xdx
( ĐH TL 2000)
12)
4
(10 sin ) x
x dx
(ĐHGTVT 98)
13)
1
1dx x x
(ĐHQG HN 97)
14) ln 1 x x e dx e
(ĐH TM 97)
15)
1 sin 2
sin cos os
x c x
dx x x
( ĐH NN1_98)
16)
1 cos2xdx
(ĐH TL 97)
17)
1 x xdx
(ĐHYD HCM 97)
Bài 5 Tính tích phân sau: 18)
1
2 2x3dx 19) x dx x 20) x dx x x 21) 2
3 4dx
x x 22) 2
2x 3x1dx 23) 2 x dx x x 24)
2
2 x x dx x 25) 2 x x dx x 26) 2 04 x dx x
(ĐHQG HN_D97)
27) x dx x
(ĐHQG HN_D98) 28) 2 x dx x
(ĐHQG HCM_A97)
29) 11 x dx x x
(ĐHSP HCM A2000)
30)
3
2
0
t
dt t t
(ĐHSP Vinh 98)
31) 3 x dx x x
(ĐHSP Vinh 2000)
32)
2
0
1
(x 3x2) dx
(ĐH Nha Trang 99)
33) 3 1 dx x x
(ĐH BCVT 2004)
Bài Tính tích phân sau:
34)
sin sin 3x xdx
35)
(23)38)
tan 3xdx 39)
tan 2xdx 40) sin xdx 41) os c xdx 42) tan xdx 43) 2
sin xcos xdx 44)
sin 2xdx 45) os c xdx 46) 4 tan xdx 47) 2
sin xcos xdx
(ĐHQG HCM A98)
48) 4 sin sin os x dx x c x
(ĐHCT D2000)
49) sin cos sin cos x x dx x x
(ĐH Đà Nẵng 2000)
50)
2
cos
cos x xdx
(ĐHNN HN 98)
51)
4
0
2 (sin )
cos x x cos x dx
(ĐHBK HN 98)
Bài Tính tích phân sau:
52)
2
1x dx 53) 2 a dx a x 54) 1dx x x 55) 1x dx
56) 2 2
1 a
dx a x 57) 2 10 x x dx x x
58) 2
a
x a x dx
(ĐHSP HN 2000)
59) 2 cos sin x x dx x
(ĐHGTVT 2000)
60) 2 cos sin x x dx x 61) 4sin (sin cos )
x dx x x 62) 2 2 x dx x 63) 2006 2006 2006 sin sin os x dx
x c x
(ĐHTCKT 2004)
64) x dx x 65) 2
2 x 1dx
(ĐH ĐN A97) 66) ln 1 x dx e 67) 3 x dx x
(ĐHQG HN 96)
68) 2 1 dx x x
(ĐHQG HN 95)
69) ln 2
0
x x e dx
e
(ĐHBK HN 2000)
70)
3
2 (cos sin 2)
os c x dx x x 71) 3 x dx x
(24)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân 72) dx x x
73)
2
0
1 sin sin
x dx x 74)
11
x dx x 75)
sin sin 3cos x x dx x 76)
sin cos cos x x dx x 77)
x x dx
78)
cos sin sin x x dx x 79) ln 3 ( 1)
x x
e dx
e (ĐH- A.02) 80)
2
6
0
1 cos xsin cosx xdx 81) x x dx
82) ln ln
x x e dx e 83) 3 x dx x 84) 2 sin cos sin
x dx x x 85) 2 sin cos x dx x
(TN THPT 05-06)
86) ln
ln 3
x x
dx e e
87)
3
cos xsinxdx 88) sin 3cos x dx x 89) sin xdx
(TN THPT 94)
90)
(sin sin 2x x 6)dx
(TN THPT 2001)
91)
2
2x x dx
(TN THPT 97)
92)
2
cos 4xdx
(TN THPT 99)
93) sin cos x dx x 94) cos
0
( x ) sin
e x xdx
(TN THPT 98 K1)
95)
2
sin (1 sinx x dx) 96) ln e x dx x
(TN THPT 2007 L1) 97) 3 x dx x
(TN THPT 2007 L2) 98)
1
2
(1 )
x x dx
(TN THPT PB 08 K1)
99) 2 xdx x
(TN THPT PB 07 K1) 100)
6
1 sin cosx xdx 101) 1 x dx x 102) cos cos x dx x 103)
1 ln e
dx x x 104) ln e x dx x 105) 1 sin(ln ) e x dx x 106)
(1 ln ) ln e x x dx x 107) ln ln e x dx x
Bài Tính tích phân sau:
(25)109)
2
sin
x xdx
110)
1 ln e
xdx
111)
2
(x sin x) cosxdx
(TN THPT 2005)
112) 2
1 ln ( 1) e
e
x dx x
113)
(2x1) lnxdx
114)
2
(x 1) sinxdx
115)
(x 1) cosxdx
116)
(2 x) sin 3xdx
117)
cos x
e xdx
118)
5
2 ln(x x1)dx
119)
1
(1 ) ln e
x xdx
(TN THPT 94)
120)
2
ln( 1)
x x dx
(TN THPT 96)
121)
cos
( x ) sin
e x xdx
(TN THPT 98 K1)
122)
sin x
e xdx
123)
1
2
(x1)e dxx
124)
2
ln( 1) x x dx
125)
ln e
x xdx
126)
2
sin
x xdx
127)
2
lnx dx x 128)
3 2
ln(x x dx)
129)
5exsin 2xdx
(ĐHSP HN)
130)
3
lnx dx x 131)
1
x x e dx
132)
01 cos x
dx x
133)
3
(x cos x) sinxdx
134)
1 ln e
x dx x 135)
2
0
sin
x xdx
136)
sin
( x cos ) cos
e x xdx
137)
3
(x2)e dxx
Lưu ý: Ở tập trên, giải học sinh nên suy nghỉ tìm phương pháp giải thử giải sau đối chiếu lại với kết tài liệu Ở thầy tạm chia tập theo phương pháp, dạng tương ứng giải là:
- Biến đổi trực tiếp hàm/ biểu thức dấu tích phân, tính định nghĩa (Bài 3)
- Tích phân hàm hữu tỉ (Bài 4)
- Tích phân hàm lượng giác (Bài 5)
- Tính tích phân phương pháp đổi biến (Bài 6)
- Tính tích phân phương pháp phần (Bài 7)
(26)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân 1)
8 8
2 3
3
1
1
(4 ) (4 ) (2 ) 125
3
x dx x x dx x x
x
2) I =
x x x dx
Sử dụng tính chất
m
n am an , biến đổi
7 1
2 2 2 2 8
( ) (( ) )
x x x x x x x x x x x
Nên I =
1
1 15
8
0
8
15 15
x dx x
3) I =
2
2 2 5 17
4 4 12
4
1 1
2 4
( )
5
x x
d x x x x d x x x x
x
(HD: Đưa biểu thức luỹ thừa) 4)
2
2 2
3
1 1
2 2
( ) ln ln
x x
dx dx x
x x x x
5)
4
4
4
0 0
3
(3 ) 28
2
x x
x
x e dx e e
(Chỉ cần nhớ công thức: ax b ax b
e dx e C
a
)
6) HD: đưa dạng luỹ thừa
n n
n
a a
b b
1
1 1
0
0
2 2 2
2
2
3 3 ln ln 3
ln
x x
x
x dx dx
7)
1 x x e
dx e
HD: Tìm quan hệ tử mẫu nhờ đẳng thức: a3+b3 =(a+b)(a2 – ab + b2)
1
1
2 2
0 0
1 ( 1)( 1) 1
1
1 2
x x x x
x x x x
x x
e e e e
dx dx e e dx e e x e e
e e
8)
1 x x e
dx e
HD:Làm tương tự 7, dùng HĐT a3 - b3 =(a - b)(a2 + ab + b2) 9)
1
1 x dx e
ĐS: ln e e
HD: Nhận xét (ex+1)’ =ex Do đó, ta thêm, bớt tử lượng ex tách
1 1 1 1
1 0
0 0 0
1 ( 1)
1 ln( 1) (ln( 1) ln 2) ln
1 1 1
x x x x
x
x x x x
e e e d e e
dx dx dx dx e e
e e e e x e
10)
0
x x e
dx e
ĐS: ln
1 e e
HD: Nhận xét ( x 1) ' x ( x 1) x hay x ( x 1)
e e d e e dx e dx d e
Do đó,
1
1
0
( 1)
ln( 1) ln( 1) ln ln
1 1
x x
x
x x
e d e e
dx e
e e e e
11)
3
0
2
x x xdx
ĐS:
HD: Lưu ý,
1
3 2 ( 2 1) ( 1)2 1
x x x x x x x x x x 1 ,
1,
x x x
x khi x
Do đó,
3 1 1
3 2 2 2
0 0 1
2 1 (1 ) ( 1)
x x xdx x x dx x x dx x x dx x x dx x x dx
(27)12)
4
(10 sin ) x
x dx
ĐS: 36
10 ln10
Lưu ý, cần nhớ công thức ; sin( ) 1cos( ) ln
x
x a
a dx C ax b dx ax b C
a a
13)
1
1dx x x
ĐS: 4( 1)
3 HD: Trục thức mẫu
1 1 1
2
0 0
1
( 1) ( 1) ( 1)
1dx x x dx x dx x d x
x x
14)
ln ln ln ln ln
ln ln
0
0 0 0
1 (1 )
2 ln 2 ln(1 )
1 1
x x x x x
x
x x x x
e e e e dx d e
dx dx dx x e
e e e e
ln 2(ln ln 2) ln8
Lưu ý, suy nghỉ giống 9, 10 15)
2
1 sin 2
sin cos os
x c x
dx
x x
ĐS:
HD: Ta tìm cách biến đổi tử thành tích có thừa số sinx + cosx để giản ước mẫu Ta có, sin 2 x c os2x(sin2 x c os2x2sin cos )x x cos2xsin2 x
2
(sinx cos )x (cosx sin )(cosx x sin )x (cosx sin )(sinx x cosx cosx sin )x (cosx sin )2 cosx x
Do đó,
2
2
6
1 sin 2
2 cos sin 2(1 )
sin cos
os
x c x
dx xdx x
x x
16)
2
0 0
2
1 cos2xdx cos xdx cosx dx cosxdx cosxdx
ĐS: 2
Ở đây, ta cần lưu ý: 1cos2x2 cos2 x
, 0;
cos
2 cos
cos , ;
2
x
x x
x x
17)
1
1 x xdx
ĐS: 4/15
HD:
1
2
1 [1 (1 ) 1] (1 ) (1 ) x x x x x x
Lưu ý: Ở đây, ta dùng PP đổi biến, đặt u 1x 18)
1
1 0
2
ln ln 2x3dx x
( cần nhớ dx 1lnax b
ax b a
)
19)
1
0
2
3 3(3 2)
x
dx dx
x x
HD: Đây tích phân hàm hữu tỉ có bậc tử = bậc mẫu, ta chia đa thức tính tích phân 20)
1 1 1
2
2 2 0
0 0
4 2 ( 1)
2 2 ln ln
1 1
x x d x x
dx dx x x
x x x x x x
NX: Bài rơi vào dạng tích phân hàm hữu tỉ, có bậc tử nhỏ bậc mẫu mà đạo hàm mẫu biểu diễn theo tử Nên ta biến đổi tử theo đạo hàm mẫu Tức đổi biến cách đặt u = x2+x+1 du = (2x+1)dx
21)
3
3
2
2 2
2 1 2 2 12
ln ln ln ln
3 5 7
x
dx dx
x x x x x
(28)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân NX: Đây dạng tích phân hàm phân thức hữu tỉ, có bậc tử nhỏ bậc mẫu, mà mẫu tam thức bậc hai có nghiệm phân biệt nên ta phân tích hàm dấu tích phân thành tổng phân thức hữu tỉ
22)
2
2
2x 3x1dx
HD: Tương tự 21, Ta có:
2
1 1 1
2 2( 1)( )
1
2 2( 1)( )
2
x x x x
x x x x x x
23)
2
2
4
x
dx
x x
HD: Thường gặp hàm phân thức, ta thử đạo hàm mẫu xem có biểu diễn theo tử không Ở đây, rõ ràng
(x 4x3) '2(x2) Từ đó, ta đặt t = x2 - 3x + 24)
1
2
2
x x
dx x
HD: Khi gặp hàm phân thức, bậc tử lớn bậc mẫu ta chia đa thức tính tích phân
1 2
0 0
2 5 5
ln ln
2 2(2 3) 2 4
x x x
dx x dx x x
x x
25)
2
4
x x
dx x
HD: Ta chia đa thức tính tích phân
1 1 1
2 2
0 0 0
4 5
1
2 2
x x x x x
dx dx dx dx dx dx
x x x x
Đặt
1
1 1 1
2
2 2 0
0 0 0
2 5 ( 2) 1
ln ln
2 2 2
x xdx d x x
I dx dx dx x
x x x x x x x
Các 26, 27, 28 ta chia đa thức trước tính
26)
1
1 1 1
1
2 2 0
0 0 0
4 1
( ) ( 1) 4 ln ln3
4 4 ( 2)( 2)
x x
dx dx dx dx x dx
x x x x x x
27)
1 2
0 0
1 1
1
1 1
x x
dx x dx
x x x
ĐS: ln
2
28)
1 1 1
4
2 2 2 2
2
2
0 0 0
1 1 1 1 13
( 1) ln ln
1 1 24
x x x x
dx dx x dx dx x
x x x x x
29)
2
4 11
5
x
dx
x x
ĐS: ln9
2
HD giải:vì (x2 + 5x + 6)’ = 2x + Do 4x + 11 = 2(2x+5) +1 Vậy,
1 1
2 2
0 0
4 11 2(2 5)
2
5 6 6
x x x
dx dx dx dx
x x x x x x x x
1
1 1
2
0
0 0
( 6) 1
2 ln ln ln
5 3
d x x x
dx x x
x x x x x
30)
3
2
0
t
dt t t
(HD: Ta chia đa thức, tính tích phân) ĐS: + 3ln3
3 3 3 3
2 2
0 0 0
3 3( 1)
2 ( 2) ( 2)
2 ( 1) ( 1)
t t t t
dt t dt t dt dt t dt dt
t t t t t t
3
3 3
3
2
0 0 0
3 1
( 2) ( 1) 3ln
1 ( 1)
t
t dt dt d t t t
t t t
(29)Nhận xét: Nếu xét
( )2
3
1 t
dt t
hàm số dấu tích phân dạng hàm hữu tỉ mà mẫu có nghiệm kép,lúc ta phân tích sau: (tổng hai phân thưc có bậc mẫu 1, 2) cách dùng trường hợp mẫu có nghiệm kép (sau tách số phân thức với số bậc mẫu)
( )
( )2 ( )2 ( )2
3
1 1
t a b a t b
t t t t
có a t( 1) b 3t2 (*) Cho t 1: (*)b 1;cho t 0: (*)a b 2 a3 Vì vậy,
( )2 ( )2
3
1 1
t
t t t
31)
2
2
3 x
dx x x
ĐS: 9ln3 -
HD:
2 2
2 2
0 0
3 9( 1)
3 6
2 ( 1)
x x x
dx x dx x dx dx
x x x x x
2 2
2
0 0
1
3 ( 2) ( 1)
1 ( 1)
dx
x dx d x
x x
Tới đây, ta biết cách tính tích phân 32)
1
2
0
1
(x 3x2) dx
ĐS: ln4
3
Hướng dẫn:
2
1 1 1
2 2
0 0 0
1
1
0 0
1 1 1 1
2
( 2) ( 1)( 2) ( 1) ( 2) ( 1)( 2)
1 1
2 ln ln
1 2 3
dx dx dx dx dx dx
x x x x x x x x x x
x
x x x
33)
3
1 dx x x
ĐS: 1ln3 2 Hướng dẫn: Biến đổi:
2 2
3 2 2
1 1
( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x
x x x x x x x x x x
Do đó,
3
3 3
3 2
3 2
1
1 1
1 1 ( 1) 1
ln ln ln ln ln ln
1 2 2
xdx d x
dx dx x x
x x x x x
Bài 5:
Bài 34, 35 ta biến đổi tích thành tổng 34)
4 4
0 0
1 1 1
sin sin ( ) sin sin
2 cos4 cos2 4
x xdx x x dx x x
35)
2 2
0 0
1 1
cos cos cos sin sin
2 os 10
x xdx c x x dx x x
36)
2 2
2
0 0
1 1
sin (1 cos ) sin
2 2
xdx x dx x x
NX: Thường dạng sin2k xdx, cos 2kxdx, ta dùng công thức hạ bậc, hạ bậc tính 37)
2
2
0
0
1 1
3 (1 cos ) ( sin )
2
os
c xdx x dx x x
38)
4 4 4
0
0 0
sin (cos )
tan ln cos
3 cos 3
cos
x d x
xdx dx x
x x
(30)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
39)
4
2 4
2
0
1
tan tan
cos
xdx dx x x
x
Nhận xét: Hầu hết tốn tích phân f(x) chứa tan2x, ta biến đổi:
2
tan
cos x
x
nhờ công thức 2 tan
cos dx
x C
x
40)
3
2 2
3 2
0 0 0
cos
sin (1 cos ) sin (1 cos ) (cos ) cos
3
x
xdx x xdx x d x x
Nhận xét: Hầu hết tốn tích phân f(x) = sinnx với n lẻ, biến đổi sinnx =sinn-1x.sinx nhờ biến đổi sin2x = 1-cos2x, sau đặt t = cosx
41)
3
2 2
3 2
0 0 0
1 sin
2 (1 sin ) (1 sin ) (sin ) sin
2
x
c xdx x c xdx x d x x
os os
Nhận xét: Hầu hết tốn tích phân f(x) = cosnx với n lẻ, biến đổi cosnx =cosn-1x.cosx và nhờ biến đổi cos2x = 1-sin2x, sau đặt t = sinx
42)
3
tan xdx
Trước hết ta biến đổi,
2
3
2
1 tan
tan tan tan tan tan
cos cos
x
x x x x x
x x
Vậy,
2
4 4 4
3 4
2
0 0 0
tan tan
tan tan tan (tan ) (cos ) ln cos
cos cos 2
x x
xdx x dx xd x d x x
x x
43)
2
4 4
4
2 2 2
3
3 3
1 sin cos 1
tan cot
sin cos sin cos cos sin
x x
dx dx dx dx x x
x x x x x x
44)
4
sin 2xdx
Áp dụng CThức hạ bậc , biến đổi
4 2 2 1 cos 1
sin (sin ) (1 cos ) (1 2cos cos ) (1 2cos ) cos cos
4 4 8
x
x x x x x x x x
45)
4
cos xdx
Biến đổi
4 2 2 1 cos 1
cos (cos ) (1 cos ) (1 2cos cos ) (1 2cos ) cos cos
4 4 8
x
x x x x x x x x
Nhận xét: Hầu hết tốn tính tích phân f(x) = cosnx f(x) = sinnx với n chẳn ta dùng cơng thức hạ bậc, biến đổi tính tích phân
46) I =
4
tan xdx
Biến đổi,
2
4 2
2 2
1 tan
tan tan tan ( 1) tan
cos cos cos
x
x x x x
x x x
Vậy, I =
3
4 4
2 4
2
0 0
1 tan
tan (tan ) ( 1) tan
cos
x
xd x dx x x
x
47)
2
0
sin xcos xdx
(ĐHQG HCM A98) ĐS: 2/15
(31)48)
4
0
sin
sin os
x dx x c x
(ĐHCT D2000) ĐS: ln2
HD Biến đổi
4 2 2
2
sin sin sin sin sin 4sin
1
sin (sin cos ) 2sin cos cos
1 sin (1 cos ) cos
2 4
x x x x x x
x c x x x x x x
x x x
os
Sau đó, đặt t = 3+cos4x
49)
sin cos sin cos
x x
dx
x x
(ĐH Đà Nẵng 2000) ĐS: 1ln 2
HD biến đổi, sin cos sin( )
x x x ; sin cos cos( )
x x x , từ đó, đặt t 2(sinxcos )x
50)
2
cos
os
c x xdx
(ĐHNN HN 98) ĐS:
HD: Biến đổi cos2 cos cos cos cos 1cos cos 1cos 1(cos cos )
2 2
x x
x x x x x x x x
51)
4
0
2 (sin )
os os
c x x c x dx
(ĐHBK HN 98) ĐS:
HD: Biến đổi cos (sin4 cos4 ) cos (sin2 cos2 )2 sin2 cos2 cos 1sin 22
x x x x x x x x x x
cos 1cos 3cos 1(cos cos ) 5cos 1cos
4 4 8
x x x x x x x
Bài Tính tích phân sau:
52) I =
2
1x dx
HD: Sử dụng PP đổi biến loại 1:
Đặt x = sint, t [0; ]
dxcostdt
Đổi cận: 0;
2 x t x t
Khi đó, I =
2 2 2
2
0
0 0
1 1
cos cos cos (1 cos ) ( sin )
2 2
t tdt tdt t dt t t
53) I =
2
1 a
dx a x
HD Đặt asint, t [0; ]
x dx = acostdt Đổi cận: 0;
2
a
x t x t
Khi đó, I =
6 6
6
2 2
0 0
cos cos
6 (1 sin ) cos
a tdt tdt
dt t
a t t
54)
2
1 1x dx
Đặt x = tant, (0; )
t dx = (1+tan2t)dt Đổi cận: 0;
(32)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
Khi đó, I =
1 2
2
2
0 0
1 tan
1 tan
t
dx dt dt t
x t
55) I =
1 1
2
2 2
0 0
1 1
1 1 3
2 2 2
dx dx dx
x x
x x
Đặt 3tan 3(1 tan2 )
2 2
x tdx t dt Đổi cận: ;
6
x t x t
Khi đó, I =
2
3
3
2 6
6
3
(1 tan )
2 3
2
3 3
(1 tan )
t dt
dt t
t
56) 2 2
1 a
dx a x
Hướng dẫn Đặt x = atant, (0; )
t dxa(1 tan ) 2t dt Nhận xét: Nếu f(x) có dạng 2
2 ;
a x
a x
ta đặt x = asint; 21 2
a x ta đặt x = atant 57)
1 2 1
1
2 2
0 0 0
3 10 ( 9) ( 1) 1 ( 9)
2 9 2
x x x x x x d x x
dx dx dx dx x
x x x x x x x x
1
0
1
1 ln ln
2 x x
58) I = 2
a
x a x dx
(ĐHSP HN B_2000) Đặt x = asint, t [0; ]
2
dx=acostdt Đổi cận: x = t = 0; x = a t =
2
I =
3 3
2 2 2
2 2 2
0 0 0
1 sin (1 sin ).cos sin cos sin (1 cos ) sin
4
a a a
a t a t tdt a t tdt t dt t dt t t
59) I =
2
cos sin
x x
dx x
(ĐHGTVT 2000) ĐS: (Tích phân lặp) HD Đặt x = -t dx = -dt; đổi cận: ;
2 2
x t x t
2
2
2
cos cos
2 0
1 sin sin
x x t t
dx dt I I
x t
60) I =
2
cos sin
x x
dx x
HD Đặt x = -t dx = -dt; đổi cận: ;
2 2
x t x t
I =
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos ( cos ) cos cos cos cos
4 sin sin sin sin sin
t t t t t t t tdt tdt
dx dt dt I
t t t t t
1
1
2
2 2
1 1
2
2 cos
2 ln ln
4 sin 4 2
tdt du du t
I I
t u u t
(33)61) I =
3
4sin (sin cos )
x
dx
x x
ĐS: 2
Đặt
x t dx dt; x= 0;
2 t x t
I =
0
3 3
0
2
4 )
4 cos cos
( )
(sin cos ) (sin cos ) sin( ) cos( )
sin(
2
2
t
t t
d t dt dt
t t t t
t t
Suy ra, 2I =
3
4sin (sin cos )
x
dx
x x
+
2
3
4 cos (sin cos )
t dt
t t
=
0
2
1
(sinx cos )x dx
2 2
2
2 0
0
1
2 ( ) tan( )
4
cos ( ) cos( )
4
I dx d x x
x x
62)
2006
2006 2006
sin
sin os
x
dx
x c x
(ĐHTCKT 2004) ĐS:
4
HD: Đặt
x t dx dt; x= 0;
2 t x t
I =
0 2006 2006
2006 2006 2006 2006
0
cos cos
sin cos sin cos
t t
dt dt
t t t t
Suy ra, 2I =
2006 2006
2
2
2006 2006
0
sin cos
sin cos
t t
dx dt t
t t
Vậy I =
4
Nhận xét, viết dạng
2
0
(sin , cos ) (cos ,sin )
f x x dx f x x dx
Khi đó, ta đặt x=
2 t
, đưa PP tích
phân lặp, giải pt theo I suy I
(34)
Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
63)
2
2
x dx x
Đặt x = sint, [0; ]
t ĐS:
8
64)
1 3
2 2
0 0
( 1)
( ) (1 ln 2)
1 1
x x x x x x x x
dx dx dx x dx
x x x x
65)
1
2x1dx
(ĐH ĐN A97) Đặt t 1xxt21ĐS: 2(1 ln )4
66)
ln ln ln
0 0
1
(1 )
1 1
x x x
x x x
e e e
dx dx dx
e e e
ĐS: 1ln9
(35)67)
3
1
3 1
x
dx x
(ĐHQG HN 96) ĐS: 16
15
68)
3
2
3
1 1
dx x x
(ĐHQG HN 95) ĐS:
12
Đặt
2
2
2
1
1 1,
1
x
t x x t
x x x x
69) ln 2
0
x x e dx
e
(ĐHBK HN 2000) ĐS: 2
3 Đặt
2
1 x ( 1)
x
t e e t
70)
3
2 (cos sin 2)
cos x
dx
x x
(ĐH Nha Trang 2000) ĐS: 8 23
27 (2 3)
Nhận xét: cos2x = (cosx+sinx)(cosx – sinx) Đặt t = cosx + sinx +2 dt = (cosx – sinx)dx
71)
7
3
0 x
dx x
(ĐH TM 97) ĐS: 141/20 Đặt t 31x2 x2 t31
72)
2
1 4
dx
x x
HD:
2 2
1
4
x
x x x x
nên đặt t x24x2 t24 ĐS: 1ln5
73)
2
0
1 sin sin
x dx x
ĐS 1ln
2
HD: nhận thấy 1- 2sin2x = cos2x d(1+2sin2x) = 4cos2xdx nên đặt t = 1+2sin2x 74)
2
11
x dx x
Đặt t x1 ĐS: 11 ln
75)
sin sin 3cos
x x
dx x
ĐH-A.05
HD:
+ Biến đổi tử sin2x sinx 2sin cosx x sinx ( cos2 x 1)sinx
+ Đặt t 1 3 cosx t2 1 3cosx 2tdt 3sin x dx , cos 1( 1)
3
x t ĐS: 34
27
76)
sin cos cos
x x
dx x
(ĐH-B.05) ĐS: 2ln2 – HD:
+ Biến đổi tử: sin2x.cosx 2cos2x.sinx + Đặt t 1 cosx
77)
2
0
1
x x dx
(ĐH TCKT D, A 2005) ĐS: 848
105
(36)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
78)
cos sin sin
x x
dx x
ĐS: 2(ln3-1)
+ Đặt t 1sinx sint 1 t2 cosxdx 2tdt
+ Đổi cận: 0 1; 0
2
x t x t
+
1
2
2 1 1 1
2 2
0 0
0
cos sin 4 1
2 ( 1)
sin 4 2
x x dx t dt t dt dt
x t t t t t
1
2 ln 2(ln 1)
2
t t t
79) ln
3 ( 1)
x x
e dx
e ĐH-A.02
+ Đặt t e x 1 dt e dx x ; x 0 t 2;x ln3 t 4
+
4
ln
3
0 2
1
( 1) 2 32
x x
e dt
dx
e t t
80)
6
0
1 cos xsin cosx xdx
(DB-D02) ĐS: 12
91
Đặt t 1 cos3x dt 3sin cosx 2x; biến đổi sin xcos5x cos3x.sin cosx 2x 81)
1
3
0 x x dx
(DB- A03) ĐS: 2/15
Đặt t 1x2 x2 1 t; biến đổi x3 x x2. 82)
ln ln 2 1
x x
e dx e
(DB-B03) ĐS: 20
3
+ Đặt t ex 1 t2 ex 1 ex t2 1 e dxx 2t dt. Biến đổi e2x e ex. x + x ln2 t 1;x ln5 t 2
+
2
ln 2 2
2
ln 1
( 1)2 20
2 ( 1) 2( )
3
1
x x
e t tdt t
dx t dt t
t e
83)
1
3
x dx
x
+ Đặt t 3x 1 t2 3x 1 2t dt. 3dx + 0 1; 8 3 3
x t x t +
8
3
3
3
2
0 1
1 2 76
( 2)
9 27
3
x dx t dt t t
x
84)
2
0
sin cos sin
x
dx
x x
= I
+ Nhận xét quan trọng: cos2x 4sin2x 1 sin2x 4sin2x 1 3sin2x
(37)+ Vì vậy, đặt t cos2x 4sin2x t2 1 3sin2x 2t dt. 3sin2xdx
+ 0 1; 2
2
x t x t
+ I = .
2
1
2 2 2
3 3 3
t dt
dt t
85)
2
sin cos
x dx x
(TN THPT 05-06) ĐS:ln(4/3)
+ Đặt t 4cos2xdt sin2x dx. + 0 3; 4 2
x t x t
+
4
2
0
sin
ln
4 cos
x dx dt
x t
86) ln
ln 3
x x
dx e e
+ Nhận xét: Nhân tử mẫu với ex, có
( )( )
2 3 2 1 2 2 1
x x x x
x x x x x x
e e e e
e e e e e e
+ Từ đó,
ln
ln ln
ln ln ln 3
2
ln ln
2 1
x x x
x x x x x
dx e e e
dx
e e e e e
87)
2 2
3
0
0
1
cos sin cos (cos ) cos
4
x xdx xd x x
88)
2 2
0
0
sin (3cos 1) 1
ln 3cos ln
1 3cos 3cos 3
x dx d x x
x x
89)
5
sin xdx
(TN THPT 94)
+Biến đổi:
2
5 2
0
sin (1 cos ) sin
xdx x x dx
+ Đặt t cosx dt sin x dx + 0 1; 0
2
x t x t
+
1
5 2
0
8
sin (1 )
15
xdx t dt
90)
(sin sin 2x x 6)dx
(TN THPT 2001)
Chỉ cần nhớ biến đổi: sina.sinb=- [1 cos( ) cos( )] 2 a b a b
91)
2
2x x dx
(38)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
92)
2
cos 4xdx
(TN THPT 99) Hạ bậc ngay: cos24 1(1 cos8 )
2
x x
93)
3
4
2
0
sin (1 cos )sin
cos cos
x dx x xdx
x x ; dặt t = cosx
94) cos
( x ) sin
e x xdx
(TN THPT 98 K1)
+ Tách tích phân thành: cos cos
0 0
( ) sin sin sin
e x x xdx e x x dx x xdx
95) Biến đồi
2
2 3
0
sin (1 sin ) sin (1 sin ) cos
x x dx x x xdx đặt t = cosx
96)
2
1
ln
ln ( ln )
e e
x
dx x d x
x (TN THPT 2007 L1)
97)
1
1
3 0
0
3 ( 1)
ln ln
1
x dx d x dx x
x x (TN THPT 2007 L2)
98)
2
(1 )
x x dx
(TN THPT PB 08 K1) 99)
2
2
xdx x
(TN THPT PB 07 K1).Đặt t 1 x3
100)
1 sin cosx xdx
, Đặt t 1 4 cosx t 1 4cosx 101)
3
1 x
dx x
, Đặt t x 1 x t 1 dx 2t dt. ;
102)
cos cos
x dx
x , Biến đổi
cos cos
cos
cos cos cos cos
2
2
2 2 1 1
2 2 1
1 1 2 2 2
2 2 2
x x
x
x x x
x
Do đó,
2 2
2 0
0
cos
(1 ) ( tan )
1 cos 2 cos 2
2
x dx dx x x
x x
103)
3
0 ln e
dx
x x
Đặt t 1 lnx t2 1 lnx dt dx
x
104)
2 ln e
x dx x
Đặt t 2 lnx t2 2 lnx dt dx
x
105)
2
1
sin(ln ) e
x dx x
Đặt t lnx dt dx
x
106)
3
(1 ln ) ln e
x x
dx x
Đặt t 1 lnx dt dx
x
107)
ln ln e
x dx x
Đặt t 1 lnx dt dx
x
(39)CÁC BÀI TỐN TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Bài Tính tích phân sau:
108)
3
x xe dx
+ Đặt 3
3 1
3 x x
du dx u x
v e
dv e dx
+ Khi đó,
1
1 3
3 3 3
0
0
1 1 1
( 1) (2 1)
3 3 9
xe dxx x e x e dxx e e x e e e
109)
2
sin
x xdx
+ Đặt
cos sin
2 du 2xdx
u x
v x
dv xdx
+ Khi đó,
2 2
2 2
0
0 0
sin cos cos cos
x xdx x x x x dx x x dx
+ Lại đặt
cos sin
u x du dx dv xdx v x
2
2
0
0
cos sin sin cos
2
x x dx x x xdx x
110) J =
ln e
xdx
Đặt ln ln
2 du 2 xdx
u x
x
dv dx v x
Khi đó, 2
1
1
ln ln 2 ln 2
e e
e
xdx x x xdx e I
Lại đặt, ln
dx
u x du
x
dv dx v x
suy ra, ln 1 1
1
1
e
e e
I x x dx e x Vậy, J = e –
111) I=
2
(x sin x) cosxdx
(TN THPT 2005)
HD: tách tích phân, áp dụng đổi biến tích phân phần
2 2
2
0 0
(x sin x) cosxdx xcosxdx sin x.cosxdx A B
Tính A: Đặt
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
Do đó, ( sin ) sin
2
0
1
A x x xdx
Tính B=
3
2 2
2
0 0
sin sin cos sin (sin )
3
x
x xdx x d x
(40)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
Vậy
2
(x sin x) cosxdx
112) 2
1 ln ( 1) e
e
x dx x
HD: Đặt
ln
( )2
1 1
1 1
1
u x du dx
x dv
v x
x
Khi đó, 2
1
1 1
ln ln 1
1 ( ) ln 1
( 1) 1 ( 1) 1 1
e e
e e e
e e
e e e
x x dx x
dx dx
x x x x x x x
113)
(2x1) lnxdx
HD: Đặt ln
( ) 2
1
2 1
u dx u x
x dv x dx
v x x Khi đó,
2
2 2
2
1
1 1
( 1)
(2 1) ln ( ) ln ( 1) ln ln
2
x
x xdx x x x x dx
114)
2
(x 1) sinxdx
HD: Đặt
cos sin
2 1 2
du xdx u x
v x
dv x dx 115)
2
(x 1) cosxdx
HD: Đặt
cos sin
1
u x du dx dv x dx v x 116)
6
(2 x) sin 3xdx
HD: Đặt
sin .
2 3
u x dv x dx 117)
2
cos x
I e xdx
Đặt
cos sin
x x
u e du e dx
dv x dx v x Khi đó,
2
2
0 ( xsin ) xsin
I e x e xdx e A
Lại đặt
sin cos
x x
u e du e dx
dv x dx v x Thì cos cos
2
0
1
x x
A e x e xdx I
Suy ra, ( )
2
2 1
2 e
I e I I
118)
2 ln(x x1)dx
Đặt ln( )
.
1 2
u x dv x dx
119)
1
(1 ) ln e
x xdx
(TN THPT 94) Đặt ln
(1 2).
u x
dv x dx
120)
2
ln( 1)
x x dx
(TN THPT 96) Đặt ln( )
.
1
u x dv x dx
121)
cos
(e x x) sinxdx
(41)Tách tích phân:
2 2
cos cos
0 0
( ) sin sin sin
e x x xdx e x x dx x x dx áp dụng đổi biến phần
122) sin x e xdx
Đặt
sin x u e
dv x dx áp dụng tích phân phần lần, giống 117 123)
1
2
(x1)e dxx
Đặt
. 1 1 2
x x
du dx u x
v e
dv e dx
124)
2
ln( 1) x x dx
Đặt ln( )
. 2 2 1 1 1 2 xdx du
u x x
dv x dx v x
1
1
2 2
2
0
1
ln( 1) ln( 1) ln
2
x
x x dx x x dx A
x
, đặt ux21 để tính tích phân sau
125) I=
ln e
x xdx
đặt
ln ln2 2 du xdx
u x x
dv xdx x
v
Khi đó, I = ln ln
2 2 1 2 e e x e
x x xdx J
Lại đặt ln 2
1
2
du dx
u x x
dv xdx x
v
thì ln
2 2
1
1
1
2 2 4
e e e
x x e x e
J x dx
Vậy e I
126) 2 sin x xdx
đặt
cos sin 2 du xdx u x v x dv xdx
(tích phân phần lần)
127) I = 2 lnx dx x
đặt
ln
2
1
1
u x du dx
x dv dx v x x
Khi đó, ln ln ( ln )
2 2
2
1 1
1 1
2
2
x
I dx
x x x
128) I= 2
1
( ln ) ln
e e
x x dx x xdx
Đặt
ln ln2 2 x du dx
u x x
x dv x dx
v
Khi đó,
I = ln ln
3
2
1
2
3 3
e e
x e
x x xdx A
Lại đặt ln2 3
1
3
du dx
u x x
dv x dx x
v
thì ln
3 3
2
1
1
1
3 3 9
e e
e
x e e
A x x dx x Vậy
3
5
27 e I
129) I=
5 xsin
e xdx
(ĐHSP HN) Đặt cos
sin 5 2 x
x du e dx
u e
x
dv xdx v
(42)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Ngun hàm tích phân
Do đó, I = cos cos
4
0
5
5
2 2
x
x
e x
e xdx A
Lại đặt, sin
cos 5 2 x
x du e dx
u e
x
dv xdx v
thì sin sin
4
4
0
5
5
2 2
x
x
e x e
A e xdx I
Vì ta có: ( )
4
4
5
2
2 2
e
I I I e
130)I= lnx dx x
đặt
ln 1
u x du dx
x dv dx v x x
thì ln ln ln
2 2
2
1 1
1 1 1
2 16
x
I dx
x x x
131) I=
2 ( 1)
x xe
dx x
Đặt
( )
( )2
1
1
1
x x
u xe du x e dx
dv dx v
x x 1 0
1 2
x
x x
xe e e
I e dx e
x
Nhận xét: Ở đây, ta đặt ẩn phụ t x1sau chuyển tiếp tích phân phần 132)
4
2 01 cos 2 cos
x x
I dx dx
x x
đặt
tan cos2
1
2
u x du dx
dv dx v x
x
Khi đó, tan tan ln(cos ) ln
4
4
0 0
1 1
2 8 2
I x x xdx x
133)
2 2
3
0 0
(x cos x)sinxdx xsinxdx cos xsinxdx
134) I= ln e x dx x
Đặt
ln 1 u x du dx x dv dx v x x
( ln )
1
1
1
2 2 4
e
e e
I x x dx e x e
x
MỘT SỐ SAI LẦM CẦN TRÁNH KHI TÍNH TÍCH PHÂN
Bài 1 :Tính tích phân: I =
01 sinx dx
Giải:
I =
01 sinx dx =
0
0
4 cos 2 cos x tg x x d x dx
= tg
4
4
tg
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan x
dx = 2
2 t dt
;1 sin x
=
2 ) ( t t x dx sin
1 =(1 )2
t dt
=2(t1)2d(t+1) =
(43) I =
01 sinx dx
=
tan
x
=
2
tan
2
- tan 1 tan
2
không xác định nên tích phân khơng tồn
*Nguyên nhân sai lầm:
Đặt t = tan x
x0; x = thì tan x
khơng có nghĩa
* Chú ý học sinh:
Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục a;b
Nhận xét: Có thể thực sau:
sin sin )
sin cos
2
2
1 1
1 1 2 2sin (
2 2 2
x x
x x x
*Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: 1/
0sin x dx
2/
01 cosx dx
Bài 2: Tính I =
0
9 6x
x dx
* Sai lầm thường gặp:
I =
0
9 6x
x dx =
2 2
3
3
3 40
4
2
0
2
x dx x d x x
* Nguyên nhân sai lầm:
Phép biến đổi x32 x3 với x 0;4 không tương đương
* Lời giải đúng:
I =
0
9 6x
x dx =
0
4
0
0
2
3
3
3
3 dx x d x x d x x d x
x
= -
2
3
3 4
3
0
x
x
* Chú ý học sinh:
f x f x
n n
2 n1,nN I =
b
a
n f x n
2 f x dx b
a
ta phải xét dấu hàm số f(x) trêna;b dùng tính chất tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối
(44)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân 1/ I =
2 sin
1 xdx ; 2/ I =
0
2
2x x
x dx
3/ I =
2
2
2
x
x dx 4/ I =
3
2
2 cot 2
x g x
tg dx
Bài 3: Tính :I =
0
3
dx x x
*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt I =
dt t
t dx
x x
cos sin
3
3
Đổi cận: với x = t = 0; với x=
t = ?
* Nguyên nhân sai lầm:
Khi gặp tích phân hàm số có chứa
1x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x =
4
không tìm xác t = ?
* Lời giải đúng:
Đặt t =
1x dt = dx tdt xdx x
x
Đổi cận: với x = t = 1; với x =
t = 15
I =
0
3
dx x x
=
4 15
4 15
4 15
2
3 192
15 33 192
15 15 15
1
1 t
t dt t t
tdt t
* Chú ý học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa
1x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x2 đặt x = tant cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp cịn khơng phải nghĩ đếnphương pháp khác
*Một số tập tương tự: 1/ tính I = dx x x
0
3
2/tính I =
1 x x2 dx
Bài 4: Tính I =
1
1 dx x x
* Sai lầm thường mắc: I =
1
1
2 2
2
2
1 1
1
dx x
x x x
x x
Đặt t = x+ dx
x dt
x
(45)Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; I =
2
2 t
dt
= dt
t
t 2)
1 (
2
=(lnt -lnt ) ln
2
2
2
2 t t
= ln
2
2 ln 2
2 ln 2
2
* Nguyên nhân sai lầm:
2
2
2
1 1
1
x x
x x
x
sai 1;1 chứa x = nên khơng thể chia tử
mẫu cho x = Nhưng từ sai lầm bạn thấy x=0 khơng thuộc thuộc tập xác định cách làm thật tuyệt vời
* Lời giải đúng:
Xét hàm số F(x) =
1
1 ln
2
1 2
x x
x x
( áp dụng phương pháp hệ số bất định ) F’(x) =
1 )
1
1 (ln
2
1
4 2
2
x x x
x x x
Do I =
1
1 dx x x
=
1
1 ln
2
1 2
x x
x x
ln 1
1
2
2
*Chú ý học sinh: Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x =
BÀI TẬP ĐỀ NGHI
a)Tính x adx
( tính đạo hàm hàm số f(x)= x x a )
b)
0
sin
1 os
x x dx c x
( đặt x=t ) c)
2
4
1 x dx x
( đặt t = x) d)
4 tan
dx x
( đặt t=tan x) e)
2
1 sin os
x dx c x
( đặt t= 1+sin2x )
MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT (THAM KHẢO ĐỂ LTĐH) I CÁC TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA HÀM SỐ
TC1: Nếu f(x) hàm liên tục [-a;a] với a>0 ( ) ( ) ( )
0
a a
a
f x dx f x f x dx
Ví dụ: Cho f(x) liên tục R thoả mãn f x( ) f(x) 2 cos2x Tính I= ( )
3
3
f x dx
(46)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
Sử dụng kết trên, ta có: cos sin sin sin
3 3
2 2
0 0
2 2 2
I xdx x dx xdx xdx
Các hệ quả:
HQ1: Chứng minh f(x) hàm lẻ liên tục đoạn a,a :
a
a
dx x f
I
Bài làm : ( ) 1
0
a
a a
a
dx x f dx x f dx x f I
Xét
a
dx x
f Đặt t x dt dx dxdt Đổi cận :
0
0 t
x
a t a x
V ậy :
a a
a
dt t f dt t f dx x f
0
0
Thế vào (1) ta : I 0 (đpcm)
Ví dụ minh hoạ: Tính cos ln( )
2
2
2
1
I x x x dx
Giải: Nhận xét, cosx hàm chẵn, ln(x x21) hàm lẽ nên hàm số dấu tích phân hàm lẻ nên I =
HQ2: Nếu f(x) hàm chẳn liên tục đoạn a,a
a
a
a
dx x f dx x f I
0
HQ3: Cho a0 f x hàm chẵn , liên tục xác định R.CMR :
dx x f dx a
x f
x
0
Bài làm :
0
0
1
1 1
x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
Xét dx a
x f
x
1
Đặt t x dt dx dxdt Đổi cận :
0 t x
t
x
Vậy :
0
0
1
1 t
t t
x
a t f a dt a
t f dx a
x f
Thế vào (1) ta :
0
0
1
1 a dx f x dx
x f dx a
x f a dx a
x f
x x
x
x (đpcm)
Ví dụ minh hoạ:
VD1) Tính sin sin cos
2
2
2
1 x
x x x
I
e
Giải Ta thấy f x( )sin sinx 2x.cos5x hàm chẵn liên tục đoạn ;
2
Do đó, I = sin sin cos
2
0
2
x x xdx
(47)VD2) Tính sin
2
2
5x
x
J dx
Giải Vì f x( )sin2x hàm chẵn, liên tục nên J = sin
2
0
xdx
TC2: Nếu hàm số f x liên tục a,b fabx f x Thì ta ln có :
b
a
dx x f b a dx x f x
2
a b b
a a
f x dx f x dx
Đặt t = a+b-x
HQ1: Cho hàm số f x liên tục 0,1 Chứng minh :
0
sin
sin
.f x dx f x dx
x (1)
Bài làm :
Xét
sin f x dx
x Đặt t x dtdx dxdt Đổi cận :
0
t x
t x
Vậy :
0
0
sin sin
sin
.f x dx t f t dt t f t dt
x sin sin
0
f t dt t f t dt
sin sin sin sin
0 0
2
2
x f x dx f x dx x f x dx f x dx
HQ2: (sin ) (cos )
2
0
2
f x dx f x dx
(đặt x t) (2)
HQ3: (sin ) (cos )
2
0
f x dx f x dx
, đặt
2
x t (3) Ví dụ: Tính sin cos2
0
I x x xdx
Giải
Ta có: f(sin )x sin (x 1sin2x) Do đó, nhờ (1) sin cos2
0
2
I x xdx
TC3: Cho hàm số f x liên tục,xác định , tuần hồn Rvà có chu kì T Chứng minh :
T
a
a
T
dx x f dx x f
0
Bài làm :
T a
T T
a T
a
T T
a
a
T
a
dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f
0
Vậy ta cần chứng minh
a a T
T
dx x f dx x f Xét
a
dx x f
Đặt txT dtdx Đổi cận :
T a t a x
T t x
Vậy :
T a
T
T a
T dt t f dt T t
f Hay :
T
a
a
T
dx x f dx x f
0
(48)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
HQ: Nếu hàm số f x liên tục,xác định , tuần hồn Rvà có chu kì T, ta ln có :
T
T
T
dx x f dx x f
2
Ví dụ minh hoạ: 1) Tính sin
2008
2007
0
I xdx
Giải Vì f x( )sin2007x tuần hồn chu kì 2 sin sin sin
2 2008
2007 2007 2007
0 2006
I xdx xdx xdx
Sử dụng nhiều lần công thức trên, ta sin sin
2
2007 2007
0
1004 1004
I xdx xdx
mà sin2007x hàm lẻ nên I =
PHÂN LOẠI CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT VÀ CÁCH TRÌNH BÀY LỜI GIẢI
Dạng
Nếu hàm f(x) liên tục hàm số lẻ a b; : ( ) a
a
f x dx
Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn a b; :
0 ( ) ( )
a a
a
f x dx f x dx
Vì tính chất khơng có SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau :
Bước 1: Phân tích
0
0
( ) ( ) ( )
a a
a a
I f x dx f x dx f x dx J K
Bước Tính tích phân
( ) a
J f x dx
phương pháp đổi biến số Đặt t=-x - Nếu f(x) hàm số lẻ J=-K suy I=J+K=0
- Nếu f(x) hàm số chẵn J=K suy I= J+K=2K
Dạng Nếu f(x) liên tục hàm số chẵn R :
0 ( )
( )
a a
x a
f x
dx f x dx a
Để chứng minh tính chất ta làm tương tự :
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
;
1 1 1
x x x x x
f x f x f x f x f x
I dx dx dx J dx K dx
a a a a a
Để tính J ta đặt x=-t
Dạng Nếu f(x) liên tục 0;
2
thì :
2
0
(s inx)dx= ( osx)dx
f f c
Để chứng minh tính chất ta đặt :
2 t x
(49)Đặc biệt , : a+b= đặt t=-x
Nếu : a+b=2 đặt t= 2-x
Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để tính nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm các hàm số f(x) g(x) dễ xác định so với f(x) Từ suy nguyên hàm hàm f(x) Ta thực bước sau :
Bước 1 Tìm hàm số g(x)
Bước 2 Xác định nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức :
( ) ( ) ( )
* ( ) ( ) ( )
F x G x A x C F x G x B x C
Bước 3 Từ hệ (*) ta suy ( ) 1 ( ) ( )
2
F x A x B x C, nguyên hàm f(x)
MỘT SỐ BÀI TỐN TÍCH PHÂN LẶP
Bài 1: Tính
sin sin
x
I dx
x cosx
Giải: Đặt
x t dx dt
Đổi cận: ;
2
x t x t Khi đó:
0 2
0
2
sin
2 s s
s s int s s in
sin
2
t
co t co x
I dt dt dx
co t co x x
t cos t
Vậy
2
0
sin
2
2
sin
0
x cosx
I I I dx dx x I
x cosx
Bài 2: Tính
3
3
0
sin sin
x
I dx
x cos x
Giải:Đặt
x t dx dt
Đổi cận: ;
2
x t x t
Khi đó:
3
0 3
3 3
3 0 0
2
sin
s s
2
s sin s sin
sin s
2
t
co t co x
I dt dt dx
co t t co x x
t co t
Vậy
3
2
3
0
sin
2
sin
0
x cos x
I I I dx dx x I
x cos x
Bài 3: Tính tích phân:
x x x
e
I dx
e e
1
x x x
e
I dx
e e
Ta có:
1
(50)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
1
1
0
1
ln ln ln ln
0
x x x x
x x
x x x x
d e e
e e e
I J dx e e e e
e e e e e
Từ suy ra:
2
1
1 ln
2
e I
e
1 ln 22
2
e J
e
Bài 4: Tính
1 s inx ln
1+cosx
I dx
Giải:
Đặt
x t dx dt
Đổi cận: ;
2
x t x t
Khi đó:
0 2
0
2
1 s in
1 s t s x
2
ln ln ln
1+sint 1+sinx
1+cos
t
co co
I dt dt dx
t
Vậy
2 2
0 0
1 s 1 s
2 ln ln ln ln1 0
1 s inx s x s inx s x
cosx inx cosx inx
I I I dx dx dx dx I
co co
Bài 5: Tính
6
6
0
sin sin
x
I dx
x cos x
Giải: Đặt
2
x t dx dt
Đổi cận: ;
2
x t x t
Khi đó:
6
0 6
6 6
6 0 0
2
sin
s s
2
s sin s sin
sin s
2
t
co t co x
I dt dt dx
co t t co x x
t co t
Vậy
6
2
6
0
sin
2
sin
0
x cos x
I I I dx dx x I
x cos x
Bài 6: Tính
2
sin sin
I x nx dx
Giải:
Đặt x t dt dx
Đổi cận: x0 t ;x2 t
Khi đó:
sin sin sin sin
I t n t dt t n nt dt
sin sint nt cos n dt sin sint nt sin n dt
(51) sin sin
I t nt cos n dt
(do sinn0)
Đặt y t dy dt
Đổi cận: T Y ;T Y
Khi đó:
sin sin sin sin sin sin
I y ny cos n dy y ny cos n dy y ny cos n dy
sin sint nt cos n dy I
I I I 0
Bài 7: Tính
2
3
4 sin sin
x
I dx
x cosx
Giải: Đặt
2
x t dx dt
Đổi cận: ;
2
x t x t
Khi đó:
0 2
3 3
0
2
4 sin
4 s s
2
s sin s sin
sin s
2
t
co t co x
I dt dt dx
co t t co x x
t co t
2 2
3
2
0 0
4 sin s 4
2
sin sin sin 2
4
x co x
I I I dx dx dx dx
x cosx x cosx x cosx cos x
2 tan 2
4
x I
MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài
7
4
4
1
os
x x x x
a dx
c x
2
2
osx.ln x+ 1+x
b c dx
1 2
1-x osx.ln
1+x
c c dx
1
2
ln
d x x dx
1
4
1
x dx e
x x
1
s inx
1
x
f dx
x
GIẢI
0
7 7
4
4 4
0
4
1 1
os os os
x x x x x x x x x x x x
a dx dx dx J K
c x c x c x
(52)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
Tính :
0 4
1 os
x x x x
J dx
c x
Đặt : t = -x , suy dt=-dx :
0 7
4 4
0
4
1
os os os
t t t t x x x x
J dt dx J K dx
c t c x c x
Vậy :
4
2
4
0
2
2 tan t anx tan
os 3
0
I J K dx x d x x
c x
2
2 2
0
2
osx.ln x+ 1+x osx.ln x+ 1+x osx.ln x+ 1+x
b c dx c dx c dx J K
Tính :
0
2
osx.ln x+ 1+x
J c dx
Đặt : t = -x suy dt =- dx
0 2
2 2
0
2
os-t.ln -t+ 1+t ost ln cosxln x+ 1+x
J c dt c t t dt dx K
Vậy : I= J+K =0
1
0
2
1
2
1-x 1-x 1-x
osx.ln osx.ln osx.ln
1+x 1+x 1+x
c c dx c dx c dx J K
Tính :
1
1-x osx.ln
1+x
J c dx
Đặt : t = -x suy : dt =- dx , :
1
0 2
1 0
2
1-x 1+t 1-t 1-x
osx.ln os(-t).ln ost.ln osx.ln
1+x 1-t 1+t 1+x
J c dx c dt c dt c dx K
Vậy : I JK 0
1
2 2
1
ln ln ln
d x x dx x x dx x x dx J K
Tính :
0
2
ln
J x x dx
Đặt : t = -x , suy : dt = - dx Cho nên :
0 1
2 2
1 0
ln ln( ) ln ln
J x x dx t t dt t t dt x x dx K
Vậy : I J K 0
1
4 4
1
1 1
x dx x dx x dx
e J K
x x x x x x
Tính :
4
1
x dx J
x x
Đặt : t = -x , suy : dt = -dx Cho nên :
0 1
4 4
1 1 1
x dx t dt t dt x dx
J K
x x t t t t x x
(53) Vậy : I=J+K=2K=
4
2
1 x dx x x
Đặt :
1
2
2
2 2
0
2 1
0 0; 1 2 1 3
2
du xdx du du
u x K
x u x u u u
u
Đặt :
6
2
6
1 2 os
tan
3
2 2 2 os 1 tan
0 ;
4
6
du dt
c t
u t K dt
c t t
u t u t
Vậy :
6
1 3
2 3
6
K dt t
Do :
3
I K
1 4
2 2
1
s inx s inx s inx
1 1
x x x
f dx dx dx J K
x x x
Tính :
0
s inx
x
J dx
x
Đặt : t = -x , suy : dt = -dx
Do :
0 4
2
1
s inx s int s inx
1 1
x t x
J dx dt dx
x t x
1 4 1
4 4
0 0 0
s inx s inx
1 1 1
x x x dx dt
J K dx dx dx H
x x x x t
Đặt :
4
2
2
0
os
tan
4 os tan
0
0 0;
4
du dt
du c u
t u H du u
c u u
t u t u
Vậy : I
Bài 2. Tính tích phân sau :
2
sin
1 osx
x
a dx
c
2
2
4 sin
xdx b
x
2
2
osx
4-sin
x c
c dx
x
1
2x
x
d dx
1
1
1 2x x
e dx
1
2
1
x
dx f
e x
GIẢI
0
5 5
2
0
2
sin sin sin
1 osx osx osx
x x x
a dx dx dx J K
c c c
Tính :
0
2 sin osx
x
K dx
c
(54)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
0 5
0
2
sin
sin sin sin
1 osx os ost osx
t
x t x
K dx dt dt dx K
c c t c c
Vậy : I=J+K =0
2
2 2
0
2
4 sin sin sin
xdx xdx xdx
b J K
x x x
Tính :
2
4 sin
xdx J
x
Đặt t = -x suy : dt = -dx ,
0 2
2 2
0
2
0
4 sin sin sin
tdt tdt xdx
J K I J K
t t x
0
2
2 2
0
2
osx osx osx
4-sin 4-sin 4-sin
x c x c x c
c dx dx dx J K
x x x
Tính :
2
osx 4-sin
x c
J dx
x
Đặt t = -x suy : dt = -dx ,
0 2
2 2
0
2
os(-t) ost osx
( )
4 sin ( ) 4-sin 4-sin
t c t c x c
J dt dt dx
t t x
2 2
2 2
0 0
s inx
osx osx osx (s inx
ln
4-sin 4-sin sin 2 s inx 2+sinx 2
0
d
x c x c c d x
J K dx dx dx
x x x x
Vậy : I= 1ln4
1 4
1
2x 2x 2x
x x x
d dx dx dx J K
Tính :
0 12
x
x
J dx
Đặt : t = -x suy : dt = -dx ,
0 4 4
1 0
( ) 2
2 2
t x
x t t x
x t t x
J dx dt dt dx
1 4
4
0 0
1
2 1
0
2 5
x
x x
x x
I JK dx dx x dx x
Nhận xét: sử dụng tính chất ta có:
1
4
1
1
2x
x
dx x dx
(!)
1 2
1
1 1
1 2x 2x 2x
x x x
e dx dx dx J K
Tính :
0
1 1 2x
x
J dx
Đặt t = -x , suy : dt = -dx Cho nên
0 0 2
1 1
1 ( )
1
1 2
x
x t x
t
x x
J dx J dt J dx
(55)
1 2
2
0 0
2 1
1
1 2
x
x x
x x
I J K dx x dx
* Ta tính :
2
1x dx
cách :
Đặt :
2 2
2
2
0
ostdt;1-x sin os
1
sin os os2t
2 x=0 t=;x=1 t=
2
dx c t c t
x t I c tdt c dt
Vậy : 1sin 2
2
0
I t t
1
2 2
1
1 1 1
x x x
dx dx dx
f J K
e x e x e x
Tính :
0
2
1 1
x
dx J
e x
Đặt : t = -x ,suy : dt = -dx Cho nên
0 1
2 2
1 1 1 1
t x
t t x
dt e dt e dx
J
e t e t e x
Vậy :
1
2
2
0
1
1
1 1
x
x x
e dx
J K dx
x
e x e x
Tính :
2
0
dx x
Đặt :
4
2
0
os tan
os tan
0 0;
4
dx dt
dt c t
x t I
c t t
x t x t
Vậy : I=
4
dt t
Bài 3. Tính tích phân sau :
sin
3x x
a dx
1
1
1 2x
x
b dx
1
2
4x 1
dx c
x
2
s inxsin3xcos5x
1 x
d dx
e
6
4
sin os
6x
x c x
e dx
2
x
s inx
1+2
x
f dx
GIẢI
0
2 2
0
sin sin sin
3x 3x 3x
x x x
a dx dx dx J K
Nếu áp dụng toán dạng ( Như tập : 1-2 ) Thì ta viết gọn lại sau :
2
2
0
sin 1
sin os2x sin
0
3x 2 2
x
a dx xdx c dx x x
1
2
1
1
1 1
1
0
1 2x 3
x
b dx x dx x x
1
2
1
1
4x 1
dx dx
c
x x
(56)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
4
2
0
os tan
os tan
0 0;
4
dx dt
dt c t
x t I
c t t
x t x t
Vậy : I=
4
4
dt t
2 2
0
2
s inxsin3xcos5x 1 1
s inxsin3xcos5xdx= os3x+ os7x- osx- os9x
1 x 4 4
d dx c c c c dx
e
1 1 1 1 146
sin sin s inx- sin
12 28 36 12 28 36 369
0
I x x x
6
4 4
6
0
4
sin os 5
sin os os4x sin 4
6 8 32 32
0 x
x c x
e dx x c x dx c dx x x
2
2 2
2 2
x
0 0
2
s inx
s inxdx=- osx osx 2 cos 2
1+2
0
x
f dx x x d c x c x xdx K K
- Tính :
2 2
0 0
osxdx= (s inx)=x.sinx s inxdx= osx
2
0
K x c x d c
- Vậy : 2
2
I K
Bài 4 Tính tích phân sau :
n
* n
0
os
os sinn
c x
a dx n N
c x x
7
7
0
sin
os sin
x
b dx
c x x
2
s inx
sinx osx
c dx
c
2010
2010 2010
sin
sin os
x
d dx
x c x
4
4
0
os
sin os
c x
e dx
x c x
6
6
0
sin
sin os
x
f dx
x c x
GIẢI
n
* n
0
os
os sinn
c x
a dx n N
c x x
Đặt :
2 ;
2
dt dx
t x
x t x t
n
0 2
n n
n 0 0
2
os
sin sin
2
sin os sin os
sin os
2
n n
n n
n
c t
t x
I dt dx
t c t x c x
t c t dt
2
2
2
0
I dx x I
Tương tự cách làm phần a Các phần sau có kết
7
2
7
0
sin
2
os sin
0
x
b dx I dx x I
c x x
(57)2
0
s inx
2
2
sinx osx
0
c dx I dx x I
c
2010
2
2010 2010
0
sin
2
sin os
0
x
d dx I dx x I
x c x
4
2
4
0
os
2
sin os
0
c x
e dx I dx x I
x c x
6
2
6
0
sin
2
sin os
0
x
f dx I dx x I
x c x
Bài 5 Tính tích phân sau :
2
.s inx
4-cos x
a dx
x
0
osx
4-sin x c
b dx
x
2
1 s inx ln
1+cosx
c dx
4
ln t anx
d dx
2
3 os e x c xdx
0 sin
f x xdx
GIẢI
2
.s inx
4-cos x
a dx
x
Đặt :
0
2 sin
0 ; os
dx dt t t
t x I dt
x t x t c t
2 2
0
s inx s inx
2 ;
4-cos 4-cos
x
I dx dx J I I J I J
x x
Tính : 2 2
0 0
s inx ( osx) ( osx ( osx osx-2
ln ln
0 4-cos os 4 cosx-2 cosx+2 cosx+2
d c d c d c c
J
x c x
Vậy : ln 31 ln
2
I
Nhận xét: áp dụng kết trên, ta có: 2 2
0
.s inx sin
ln
4-cos cos
x x
dx dx
x x
2
.cosx
4-sin x
b dx
x
( Sai đề )
2
1 s inx ln
1+cosx
c dx
Đặt :
0
1 sin ln
2 ;
1+cos
2
2 t dx dt
t x I dt
x t x t
t
1
2
0
1 ost s inx
ln ln 0;
1+sint 1+cosx
c
I dt dx I I I
(58)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
4
ln t anx
d dx
Đặt :
0
ln tan
4 ;
4
dx dt
t x I t dt
x t x t
4 4
0 0
1 t anx
ln ln ln ln t anx ln
1+tanx t anx
I dx dx dx dx I
Vậy : 2 ln ln
4
I I
3 os e x c xdx
Đặt :
0
3
2 os
0 ;
dx dt
t x I t c t dt
x t x t
2 2
3
0 0
1
2 os os os3x+3cosx
4
I c xdx x c xdx c dx I
Vậy :
2
2
os3x+3cosx sin 3sin
0
4
I c dx x x
0 sin
f x xdx
Đặt :
0
3 sin
0 ;
dx dt
t x I t t dt
x t x t
3
0 0
sin sin sin 3sin sin
4
I x xdx xdx x xdx x x dx I
Vậy :
0
1
3sin sin 3cos os3x
0
8 3
I x x dx x c
Bài 6. Tính tích phân sau :
0
1 s inx xdx a
2
0
.s inx
2+cos x x
b dx
0
.s inx
1+cos x
c dx
x
0
sin ln(1 t anx)dx
d x
2
0
.s inx
9+4cos x
e dx
x
0
.s inx.cos
f x xdx
GIẢI
0
1 s inx xdx a
Đặt :
0
0 , sin
dx dt t dt
t x I
x t x t t
2
0 0
1
tan
0
1 s inx s inx 2
os
2
dx xdx x
I dx I I
x c
2
.s inx
2+cos x x
b dx
(59) Đặt :
0
2
sin
0 , os
dx dt t t dt
t x I
x t x t c t
2
0 0
osx
s inx sin
ln os
0
2-cosx os x os x
d c x x
I dx dx I I c x
c c
2
.s inx
1+cos x
c dx
x
Giống cách giải câu b.(Học sinh tự giải )
0
sin ln(1 t anx)dx
d x
Đặt :
0
sin ln tan
4 ; 4
4
dx dt
t x I t t dt
x t x t
4 4
0 0
ln sin ln ln(1 t anx ln sin sin
2
I x dx xdx I I xdx
Vậy : ln os4x ln
2 4
0
I c
2
.s inx
9+4cos x
e dx
x
Đặt :
0
2 sin
0 ; cos
dx dt t t dt
t x I
x t x t t
2 2
0 0
s inxdx s inx ( osx)
ln cos 0
9+4cos 9+4cos cos
x d c
I dx I I x
x x x
4
.s inx.cos
f x xdx
Đặt :
0
4
sin os
0 ;
dx dt
t x I t t c t dt
x t x t
4
0 0
s inx.cos s inx.cos os osx
I xdx x xdx c x d c I
os
2 5
I c x
Bài 7. Tính tích phân sau
0
s inx
sinx-cosx
a dx
2
s inx
sinx+cosx
b dx
2
sin sin
c x xdx
2
2 cos sin
d x xdx
1
x x x
e
e dx
e e
1
x x x
e
f dx
e e
GIẢI
2
s inx
sinx-cosx
a dx
(60)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
Chọn :
2 2
0 0
osx s inx+cosx
;
sinx-cosx s inx-cosx
0
c
J dx I J dx x I J dx
2
s inx-cosx
ln s inx-cosx s inx-cosx
0
d I J
Vậy :
4
I J
I I J
0
s inx
sinx+cosx
b I dx
Chọn :
2
osx sinx+cosx
c
J dx
2
0
s inx+cosx
; ln osx+sinx
2
2 s inx+cosx
0
d
I J dx x J I c
Vậy :
4
I J
I J I
2
2sin sin
c I x xdx
Chọn :
2
2 cos sin
J x xdx
2
2
0
2 sin os sin 2 sin os2x 2
0
I J x c x xdx xdx c
2 2
2
0 0
1
2 os sin sin 2 os2x.sin2xdx= sin os4x
0
J I c x x xdx c xdx c
Vậy : I=1
2
2 cos sin
d x xdx
Giải giống 6-c Ta có kết : I =
1
x x x
e
e dx
e e
Chọn :
1
x x x
e
J dx
e e
1 1
1 1
1
2 ln
1
x x x x
x x
x x x x
d e e e e
I J dx x I J dx e e
e e e e
Vậy : I=1
1
x x x
e
f dx
e e
(61)1
C y
2
C y
2
C x
1
C x
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ 3:
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
I Kiến thức :
b
a
dx x g x f
S ( ) ( ) b
a
dy y g y f
S ( ) ( )
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1 Diện tích giới hạn đường cong
Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đường y f(x), x a, x b trục hoành
b
a
S f(x) dx
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) đoạn [a; b]
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b
a
f(x) dx
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y ln x, x 1, x e Ox
Giải
Do ln x 0 x 1; e nên
e e
e
1
S ln x dx ln xdx x ln x1 1
Vậy S1 (đvdt)
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4x3, x 0, x 3 Ox
Giải
Bảng xét dấu
x y – +
1
2
0
S x 4x3 dx x 4x 3 dx
b x
a x
x g y C
x f y C H
: :
) ( : ) (
) ( : ) ( : ) (
2
b y
a y
y g x C
y f x C H
: :
) ( : ) (
) ( : ) ( : ) (
2
x y
) (H
a b
) ( :
)
(C1 y f x
) ( : )
(C2 y g x a
x xb
O
x y
) (H a
b
) ( : )
(C1 x f y
) ( : )
(C2 x g y
a y
b y
(62)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
1
3
2
0
x x
2x 3x 2x 3x
3 3
Vậy S
(đvdt) Ví dụ 3: (trích đáp án kì thi THPT khơng phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = ex, y = đường thẳng x =
Giải: (0,75 đ)
Ta có: ex = x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
1
ln ln
2
x x
e dx e dx
(0,25 đ)
=
1 ln
2 ( 2) (2 ln 2) ln x
e x e e (đvdt) (0,25đ + 0,25đ)
Ví dụ 4: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) : y = – x – 3x2 trục Ox
Giải:
Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm Từ đồ thị ta có:
3
3
0
3 ( )
S x x dx x x dx
3
3
x x
= 27/4 ( đvdt)
2 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong: 2.1 Trường hợp
Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f(x), y g(x), x a, x b
b
a
S f(x)g(x) dx
Phương pháp giải toán
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)g(x) đoạn [a; b]
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân b
a
f(x)g(x) dx
2.2 Trường hợp
Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f(x), y g(x) S f(x) g(x) dx
Trong , nghiệm nhỏ lớn nhất phương trình f(x) g(x) a b
Phương pháp giải toán
Bước 1. Giải phương trình f(x) g(x)
Bước 2. Lập bảng xét dấu hàm số f(x)g(x) đoạn ;
Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu tính tích phân f(x) g(x) dx
(63)Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x3 11x6, y 6x2, x 0, x 2
Giải
Đặt h(x)(x3 11x6)6x2 x3 6x2 11x6 h(x) x 1 x 2 x 3 (loại) Bảng xét dấu
x h(x) – +
1
3
0
S x 6x 11x6 dx x 6x 11x6 dx
1
4
3
0
x 11x x 11x
2x 6x 2x 6x
4 2
Vậy S
(đvdt)
Ví dụ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình sau:
1/ y = x2 - , y = - x2 - 2x , x = - , x =
Giải
Giải pt (x2 - 4) - ( - x2 - 2x) = 02x2 + 2x - = 2
1
x x
1
2
2
(2 2 4) (2 2 4)
S x x dx x x dx
= 38
3 (đvdt)
Ví dụ2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường có phương trình sau : y x2 2x, y x2 4x
Giải
Giải pt ( x2 - 2x) - (- x2 + 4x ) = 02x2 - 6x = 0
3
x x
S =
3
0
(2x 6 )x dx
= (đvdt)
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y x3 11x6, y 6x2
Giải
Đặt h(x)(x3 11x6)6x2 x3 6x2 11x6 h(x) x 1 x 2 x 3
Bảng xét dấu
X h(x) + –
2
3
1
S x 6x 11x6 dx x 6x 11x6 dx
2
4
3
1
x 11x x 11x
2x 6x 2x 6x
4 2
Vậy S
(64)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
Chú ý:
Nếu đoạn ; phương trình f(x) g(x) khơng cịn nghiệm ta dùng cơng thức f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
Ví dụ 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x , y3 4x
Giải
Ta có x3 4x x 2 x 0 x 2
0
3
2
S x 4x dx x 4x dx
0
4
2
2
x x
2x 2x
4
Vậy S 8 (đvdt)
Ví dụ 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4 x 3 trục hoành
Giải
Ta có x2 4 x 3 t2 4t 3 0, t x t x x
t x x
3
2
3
S x x dx x 4x dx
1
2
0
2 x 4x dx x 4x dx
1
3
2
0
x x 16
2 2x 3x 2x 3x
3 3
Vậy S 16
(đvdt)
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 4x 3 y x3
Giải
Phương trình hồnh độ giao điểm
x 4x 3 x
2
2
x
x
x 4x x
x
x 4x x
Bảng xét dấu
X 0
x 4x 3 + – +
1
2 2
0
S x 5x dx x 3x dx x 5x dx
1
3 3
0
x 5x x 3x x 5x 109
6x
3 3
Vậy S 109
(đvdt)
Ví dụ 8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x2 1 , y x 5
(65)Phương trình hồnh độ giao điểm
2
x 1 x 5 t 1 t 5, t x
2
2
t x
t x
t t x 3
t
t t
3
2
3
S x x dx x x dx
Bảng xét dấu
X 0
x 1 – +
1
2
0
S x x dx x x dx
1
3
0
x x x x 73
2 4x 6x
3 3
Vậy S 73
(đvdt)
Chú ý:
Nếu hình phẳng giới hạn từ đường trở lên vẽ hình (tuy nhiên thi ĐH khơng có)
BÀI TẬP
Tính diện tích hình phẳng sau:
1) (H1):
2
2
x
y
4 x y
4
2) (H2) :
2
y x 4x y x
3) (H3):
3x y
x y x
4) (H4):
2
2
y x
x y
5) (H5): 2
y x
y x
6) (H6):
2
y x x y
7) (H7):
ln x y
2 x
y
x e
x
8) (H8) :
2
2
y x 2x
y x 4x
9) (H9):
2 3
y x x
2 y x
10) (H10):
2
y 2y x x y
11)
) (
2 : ) (
: ) (
Ox
x y
d
x y C
12)
: ) (
2 : ) (
: ) (
x y d
e y
(66)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY
I KIẾN THỨC
V f x dx
b
a
2 ) (
V f y dy
b
a
2 ) (
II.TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY
1 Trường hợp
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f(x) 0 x a;b, y 0, x a x b (a b) quay quanh trục Ox
b a
V f (x)dx
Ví dụ 1:Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường sau
quay quanh trục Ox : y = 1
3x x , y = , x = , x =
Giải
2
3
3
0
1 2
3 9 3
x
V x x dx x x dx
=
3
7
0
81
63 9 5 35
x x x
2
5 Hình phẳng D giới hạn đường
3
y x
y x
Pt hoành độ giao điểm đường :
2 1
5 3 2 0
2
x
x x x x
x
a y0 b
) ( :
)
(C y f x
b a
x
b x
x y
O
b
a
x y
0
x
O
) ( : )
(C x f y b
y
(67)
2
2 2
2
1
2
4
1
4
2
2
4 2
1
5 3 25 10 9 6
11 6 16
1;2 , 11 6 16 0,
11
11 6 16 3 16
5 3
32 88 1 11 153
44 13
5 3 5 3 5
V x x dx x x x x dx
x x x dx
x x x x
x x
V x x x dx x x
ñvtt
2 Trường hợp (Tham khảo để LTĐH)
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x g(y) 0 y c;d, x 0,
y c y d (c d) quay quanh trục Oy
d c
V g (y)dy
3 Trường hợp
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y f(x), y g(x), x a
x b (a b, f(x) 0, g(x) x a; b ) quay quanh trục Ox
b
2
a
V f (x)g (x) dx
Ví dụ 1. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường y x2, y2 x quay quanh Ox
Giải
Hoành độ giao điểm 4
x x x x x
1
4
0
V x x dx x x dx
1
5
0
1
x x
5 10
Vậy V
10
(đvtt)
4 Trường hợp (Tham khảo)
Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường x f(y), x g(y), y c
y d (c d, f(y) 0, g(y) y c; d ) quay quanh trục Oy
d
2
c
V f (y)g (y) dy
Ví dụ 1. Tính thể tích hình khối hình phẳng giới hạn đường x y2 5, x 3 y quay quanh Oy
Giải
Tung độ giao điểm y2 5 3 y y
y
2
2
2
V y y dy
(68)Ôn tập TN THPT Chuyên đề Nguyên hàm tích phân
2
4
1
y 11y 6y 16 dy
2
5
2
1
y 11y 153
3y 16y
5
Vậy V 153
(đvtt)
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho miền D giới hạn hai đường : x2 + x - = ; x + y - = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn đường : y x; y 2 x; y0
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn hai đường :
y (x 2) y = Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh:
a) Trục Ox b) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn hai đường : 2
4 ;
y x yx
Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn đường :
2
2
;
1
x
y y
x