[r]
(1)Chuyên đề 1: dãy số nguyên – phân số viết theo quy luật (1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
n a.(a+n)=
1
a−
1
a+n Chøng minh
-n a.(a+n)=
(a+n)− a
a.(a+n)=
a+n
a.(a+n)−
a a.(a+n)=
1
a−
1
a+n Bµi 1.1: TÝnh
a) A=
5 8+ 11+
3
11 14+ +
2006 2009 b)
B=
6 10+ 10 14+
1
14 18+ + 402 406
c) C=10
7 12+ 10 12 17+
10
17 22+ + 10
502 507 d)
D=
8 13+ 13 18 +
4
18 23+ + 253 258
Bµi 1.2: TÝnh:a) A=
2 9+ 7+
1
7 19+ +
252 509 b) B= 10 9+
1 18 13+
1
26 17 + + 802 405
c) C=
4 7− 9+
2 10−
3
9 13+ + 301 304 −
3 401 405
Bµi 1.3: Tìm số tự nhiên x, thoả mÃn:a) x
2008− 10 −
1 15 −
1
21− − 120=
5
b)
x+
4 9+
4 13+
4
13 17+ .+ 41 45=
29
45 c) 5+
1 7+
1
7 9+ +
1
(2x+1)(2x+3)=
15 93
Bài 1.4: Chứng minh với số tự nhiên n khác ta có: a)
2 5+ 8+
1
8 11+ +
1
(3n−1)(3n+2)=
n
6n+4 b)
5 7+
5 11+
5
11.15+ +
5
(4n−1)(4n+3)=
5n
4n+3 Bµi 1.5: Chøng minh r»ng víi mäi n∈N ;n ≥2 ta cã:
3 14+
3 14 19+
3
19 24+ +
3
(5n −1)(5n+4)<
1 15
Bµi 1.6: Cho A=
15 19+
19 23+ +
399 403 chøng minh: 16 81<A<
16 80
Bµi 1.7: Cho d·y sè :
4 11; 11 18;
2 18 25 ;
a) Tìm số hạng tổng quát d·y b) Gäi S lµ tỉng cđa 100 sè hạng dÃy Tính S
Bài 1.8: Cho A=
22+ 32+
1 42+ +
1
92 Chøng minh 5<A<
8
Bµi 1.9: Cho A=
32+ 52+
2 72+ +
2
20072 Chøng minh: A< 1003 2008
Bµi 1.10: Cho B=
42+
1 62+
1 82+ +
1
20062 Chøng minh: B<
(2)Bµi 1.11: Cho S=1
52+
1 92+ +
1
4092 Chøng minh: S<
1 12
Bµi 1.12: Cho A=
52+
9 112 +
9 172+ +
9
3052 Chøng minh: A<
3
Bµi 1.13: Cho B=8
9+ 24 25+
48 49+ +
200 202
2012 Chøng minh: B>99,75 Bµi 1.14: Cho A=11
9 + 18 16+
27 25 + +
1766
1764 Chøng minh: 40 20
43<A<40 20 21
Bµi 1.15: Cho B= 2
1 3+ 32
2 4+ 42
3 5+ 52
4 6+ + 992
98 100 Tìm phần nguyên B
Bài 1.16: Cho C=3
4+ 9+
15 16+ +
2499
2500 Chøng minh C > 48
Bµi 1.17: Cho M=
1 1+2+3+
1
1+2+3+4+ +
1
1+2+3+ +59 Chøng minh
2
M
Bµi1.18: Cho N=1
2 3+ 4+
3 5+ +
98 101
99 100 Chøng minh 97 < N < 98
Më réng víi tÝch nhiÒu thõa sè:
2n
a(a+n)(a+2n)=
1
a(a+n)−
1
(a+n)(a+2n) Chøng minh:
2n
a(a+n)(a+2n)=
(a+2n)− a
a(a+n)(a+2n)=
a+2n
a(a+n)(a+2n)−
a
a(a+n)(a+2n)=
1
a(a+n)−
1
(a+n)(a+2n)
3n
a(a+n)(a+2n)(a+3n)=
1
a(a+n)(a+2n)−
1
(a+n)(a+2n)(a+3n) Bµi 1.19: TÝnh S=
1 3+
2 4+ + 37 38 39
Bµi 1.20: Cho A=
1 3+
2 4+ +
18 19 20 Chøng minh A<
Bµi 1.21: Cho B=36
1 5+ 36
3 7+ + 36
25 27 29 Chøng minh B <
Bµi 1.22: Cho C=
5 11+
8 11 14+ +
5
302 305 308 Chøng minh C< 48
Bµi 1.23: Chøng minh víi mäi n N; n > ta cã: A=
23+
1 33+
1 43+ +
1
n3<
1
Bµi 1.24: TÝnh M=
1 4+
2 5+ +
(3)Bµi 1.25: TÝnh P=
1 51+
1 52+ +
1 100
1 2+ 4+
1
5 6+ + 99 100
Bµi 1.26: TÝnh: Q=1
3 5+ 7+
3 9+ +
(n−1)(n+1)
(2n−1)(2n+1)+ .+
1002 1004 2005 2007 Bµi 27: TÝnh: R=
2
1 3+ 32
2 4+ 42
3 5+ + 20062
2005 2007
Bµi 1.28: Cho S=
2005+1+
22
20052+1+
23
200522+1+ +
2n+1
20052n+1+ +
22006
200522005+1
So s¸nh S víi
1002
Hướng dẫn: k −m1−km
+1=
mk+m−mk+m (k −1)(k+1) =
2m k2−1⇒
m k+1=
m k −1−
2m k2−1 Áp dụng vào toán với m {2; , …., } k { 2005, 2005 , … 200522006 } ta có:
2005+1=
2 2005−1−
22 20052−1 22
20052+1=
22
20052−1− 23
200522
−1
………
(2) D·y 2: D·y luü thõa {1
an} với n tự nhiên.
Bài 2.1: Tính : A=1
2+ 22+
1 23+ +
1 2100
Bµi 2.2: TÝnh: B=1
2− 22+
1 23−
1 24+ +
1 299−
1 2100
Bµi 2.3: TÝnh: C=1
2+ 23+
1 25+ +
1 299
Bµi 2.4: TÝnh: D=1
2− 24+
1 27−
1
210+ − 258
Bµi 2.5: Cho A=2
3+ 9+
26 27+ +
3n−1
(4)Bµi 2.6: Cho B=4
3+ 10
9 + 28 27+ +
398+1
398 Chøng minh B < 100
Bµi 2.7: Cho C=5
4+ 42+
5 43+ +
5
499 Chøng minh: C<
Bµi 2.8: Cho D=
12 22+ 22 32+
7
32 42+ + 19
92 102 Chøng minh: D <
Bµi 2.9: Cho E=1
3+ 32+
3 33+ .+
100
3100 Chøng minh: E<
Bµi 2.10: Cho F=4
3+ 32+
10 33+ .+
3n+1
3n víi n N
* Chøng minh: F<11
4
Bµi 2.11: Cho G=5
3+ 32+
11 33+ +
302
3100 Chøng minh: 9<G<3
1
Bµi 2.12: Cho H=7
3+ 13
32+ 19
33 + + 601
3100 Chøng minh:
9<H<5
Bµi 2.13: Cho I=11
3 + 17
32+ 23
33 + + 605
3100 Chøng minh: I <
Bµi 2.14: Cho K=4
3+ 13
32+ 22
33 + + 904
3101 Chøng minh: K< 17
4
Bµi 2.15: Cho L=7
3+ 11
32+ 15
33+ .+ 403
3100 Chøng minh: L < 4,5
DÃy 3: DÃy dạng tích phân số viết theo quy luËt: Bµi 3.1: TÝnh: A=8
9 15 16
24 25
2499
2500 Bµi 3.2: Cho d·y sè: 1 3,1
1 8,1
1 15 ,1
1 24 ,1
1 35 ,
a) T×m số hạng tổng quát dÃy b) Tính tích 98 số hạng dÃy
Bµi 3.3: TÝnh: B=(1−1
3)(1− 6)(1−
1 10)(1−
1
15) (1− 780)
Bµi 3.4: Cho C=1
2
5
199
200 Chøng minh: C
2 <
201
Bµi 3.5: Cho D=1
2
5
99
100 Chøng minh: 15<D<
1 10
Bµi 3.6: TÝnh: E=(1
2+1)( 3+1)(
1
4+1) (
99+1) Bµi 3.7: TÝnh:
F=(1
2−1)( 3−1)(
1
4−1) (
(5)Bµi 3.8: TÝnh: G=
22
8 32
15 42
899
302 Bµi 3.9: TÝnh: H=
1
2
3
4 10
30 62
31 64
Bµi 3.10: TÝnh: I=101 10001 100000001 00 000⏟
2n
−1c/s
1
Bµi 3.11: Cho K=(
22−1)( 32−1)(
1
42−1) (
1002 −1) So s¸nh K víi
1
Bài 3.12: So sánh L=(11
2)(1− 3)(1−
1
4) (1−
20) với 21
Bài 3.13: So sánh M=(1−1
4)(1− 9)(1−
1
16) .(1−
100) víi 11 19
Bµi 3.14: TÝnh: N= 2
1 32
2 42
3 502
49 51
Bµi 3.15: TÝnh P=(1−1
7)(1− 7)(1−
3
7) (1− 10
7 )
Bµi 3.16: TÝnh: Q=(1−2
3)(1− 5)(1−
2
7) (1− 2007 )
Bµi 3.17: TÝnh: T=(1
2− 3)(
1 2−
1 5)(
1 2−
1 7) (
1 2−
1 99)
Bµi 3.18: So s¸nh: U= .39
21 22 23 40 vµ V= 220−1 Bµi 3.19: Cho V=(1+
1 3)(1+ 4)(1+
1
3 5) (1+
99 101) Chøng minh V <
Bµi 3.20: Cho S=2
1
6
200
199 Chøng minh: 201<S2<400
Bµi 3.21: Cho A=1
3
7
10 12
208
210 Chøng minh: A< 25
Bµi 3.22: TÝnh: B=
1 22
32
1002 100 101
Bµi 3.23: TÝnh: C=(
1+1999
1 )(1+ 1999
2 )(1+ 1999
3 ) .(1+ 1999 1000)
(1+1000
1 )(1+ 1000
2 )(1+ 1000
(6)Bµi 3.24: TÝnh:
2n −1¿2 (¿¿)
1−1¿ D=(1−4
1)(1− 9)(1−
4
25) ¿
, víi n N, n ≥1
Bµi 3.25: Cho E=(1−
1+2)(1−
1
1+2+3) .(1−
1
1+2+3+ +n)
vµ F=n+2
n víi n N* TÝnh E F
Bµi 3.26: Cho G=(1+1
2)(1+ 4)(1+
1 16)(1+
1
256) (1+
21024) vµ H=
1 22047
TÝnh: G + H
Bµi 3.27: Cho I=1 3+2
4
3 5+2
16
15 17+2
256
255 257+2
65536
(22
n
−1)(22
n
+1)+2
22n víi n N
Chøng minh: I<4
3
Bµi 3.28: Cho d·y sè: 11
3;1 32;1
1 34;1
1 38;1
1 316;
a) Tìm số hạng tổng quát cđa d·y
b) Gäi A lµ tÝch cđa 11 số hạng dÃy Chứng minh
32A số tự nhiên
c) Tìm chữ số tËn cïng cđa B=
3−2A
Bµi 3.29: Cho A=5
6 13
62 97
64
32n+22n
62n vµ B= 62n+1
−1 víi n N
a) Chøng minh : M=A
B số tự nhiên
b) Tỡm n để M số nguyên tố
Bµi 3.30: Cho A=7
3 37
32
1297 34
62n
+1
32n
B=(1+1
3)(1+ 32)(1+
1 34).(1+
1
38) (1+
32n) víi n N
a) Chứng minh : 5A 2B số tự nhiên
(7)Bµi 3.31: Cho A=5
3 13
32 97
34 32n+22
n
32n ( víi n N ) Chøng minh: A <
(4) Tính hợp lí biểu thức có nội dung phức tạp:
Bài 4.1: TÝnh: A=1+(1+2)+(1+2+3)+ +(1+2+3+ +98)
1 2+2 3+3 4+ +98 99 Bµi 4.2: TÝnh: B=1 98+2 97+3 96+ +98
1 2+2 3+3 4+ +98 99
Bµi 4.3: TÝnh: C=
1 300+
1 301+
1
3 302+ + 101 400
1 102+ 103+
1
3 104+ + 299 400
Bµi 4.4: TÝnh: D=
100−(1+1
2+ 3+ .+
1 100)
2+ 3+
3 4+ +
99 100
Bµi 4.5: TÝnh: E=
1 51+
1 52+
1 53+ +
1 100
1 2+ 4+
1
5 6+ + 99 100
Bµi 4.6: TÝnh F=
5−5
3+ 9−
5 27 8−8
3+ 9−
8 27
:
15−15
11+ 15 121 16−16
11+ 16 121
Bµi 4.7: TÝnh G= (
3 15+
1 5):2
1
(53 7−2
1 4):4
43 56
−
1,2 :(11
1 4) 0,32+
25
Bµi 4.8: TÝnh H=
1 99+
2 98+
3 97+ +
98 +
99 1
2+ 3+
1 4+ +
1 100
: 92−1
9− 10 −
3
11− − 92 100
45+ 50+
1 55+ +
1 500
Bµi 4.9: TÝnh I=
2−
19+ 43 −
2 1943 3−
19+ 43 −
3 1943
: 4−
29+ 41−
4 2941 5−
29+ 41 −
5 2941
Bµi 4.10: TÝnh K=
12−12
7 − 12 289 −
12 85 4−4
7− 289−
4 85
: 3+
13+ 169+
3 91 7+
13+ 169+
(8)Bµi 4.11: TÝnh L= 2+2 4+3 6+4 8+5 10
3 4+6 8+9 12+12 16+15 20
Bµi 4.12: TÝnh M=
1,6:(13
5.1,25) 0,64−
25
+ (
1,08−
25):
(55 9−2
1 4).2
2 17
+0,6 0,5 :2
5
Bµi 4.13: TÝnh N=81
5(11 94 1591−6
38 1517):
11 43
Bµi 4.14: TÝnh P=10101 (
111111+ 222222 −
4
3 11 13 37)
Bµi 4.15: TÝnh Q=
1+1
3+ 5+
1 7+ .+
1 99
1 99+ 97+
1
5 95+ + 97 3+
1 99
Bµi 4.16: TÝnh R=
1 2+
1 3+
1 4+ .+
1 200
199+ 198+
3
197 + + 198
2 + 199
1
Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh :
Bµi a)
2,56.0, 44.2, 25
3, 2.0,12.0,6 ; b)
2 1 2
7
5 ; Đáp số: 1a) 11; 1b)3.
Bµi a)
4
12 4
5 11
2 11 :
3 18
; b)
5
28,8 :13 6,6 :
7
11 : 2, 25
16
; Đáp số: 2a) 1; 2b)16.
Bài a)
5 2,3 5,8
7 4,9 2,3 :
9
; b)
1
: 2, 25.0,8 3
8 16 3
1 55
2 :
48 72 12
; Đáp số: 3a) 9; 3b)30.
Bài a)
1 1
1
8 12
7,3 0, 4.8,5
; b)
12.0,8 1,8
1 1
2
12 15
; Đáp sè: 4a) 1,25; 4b)2.
Bµi a)
10
10 :12 1
11 .6
21 2
2
22 ; b)
2
8 : 2 : : 7
1
5 : :
4 ; Đáp sè: 5a) 2; 5b)
2
(9)Bµi a)
3 4,9
2 :
7 5,1
9 1,5 : 25
; b)
3 8,1
9 :
4 5,
8,5 4,7 : 3,8
Đáp số: 6a) 10; 6b)10
Bµi a)
3
18,6 : 14,
4 12
47,52 :1,8 17
; b)
9
24,3: 4,5 :
13
56,81: 2,3 18
Đáp số: 7a) 2; 7b)3.
Bài a)
3 15
:
5 21 28 84 : 0,5 9,36
; b)
1 5, 25
3 25 :8
5
; Đáp số : 8a)
2 14
7; 8b)
1 30.
Bµi a)
1
15 :
3
8, 45
2
19 11
3 71
; b)
11,81 8,19 0.02
3,35 :11,25
Đáp số 9a)0,05, 9b)3,85
Bài 10 a)
15.17 15.6 15.17 15.6
; b)
81.17 15.81 81.17 81.15
; Đáp số 11a) 11/23; 111b) 2/21
Bài 11 a)
1 16 16
.4
4 57 21 27
; b)
4 45
23 15
5 58
Đáp số: 12a)
5
9; 12b)
7
12
Bài 12 Tìm giá trị số x
8.5 18.4 12.3 3,8 18 12
x x