Biểu diễn hoán vị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG LÊ THỊ THU TRANG BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Lê Thị Thu Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CẤU TRÚC NHÓM 1.1 CẤU TRÚC NHÓM 1.1.1 Định nghĩa tính chất 1.1.2 Nhóm 1.1.3 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương 1.1.4 Đồng cấu nhóm 1.1.5 Tích trực tiếp 11 1.2 MỘT SỐ NHÓM ĐẶC BIỆT 11 1.2.1 Nhóm đối xứng 11 1.2.2 Nhóm dihedral 12 1.2.3 Nhóm quaternion 13 CHƯƠNG BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG 14 2.1 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ 14 2.1.1 Định nghĩa biểu diễn hoán vị 14 2.1.2 Bậc biểu diễn, biểu diễn trung thành 17 2.1.3 Biểu diễn hoán vị lớp kề 17 2.1.4 Đẳng cấu hoán vị 23 2.1.5 Định lí Frobenius 28 2.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIỂU DIỄN HOÁN VỊ 35 2.2.1 Định lí O.Schreier 36 2.2.2 Định lí Marshall Hall 38 2.2.3 Định lí A I Mal'cev 41 KẾT LUẬN 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Để nghiên cứu nhóm, người ta khơng khảo sát cách riêng lẻ mà xét mối quan hệ với nhóm khác, thơng qua cơng cụ, gọi đồng cấu nhóm Một đồng cấu từ nhóm G lên nhóm đối xứng tập hợp X mở khái niệm, gọi biểu diễn hoán vị G X Biểu diễn hoán vị phận lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng lớp nhóm hữu hạn sinh Nhằm tìm hiểu biểu diễn hốn vị nhóm ứng dụng nó, tơi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ là: “Biểu diễn hốn vị ứng dụng” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu cấu trúc nhóm, nhóm đối xứng  Nghiên cứu biểu diễn hốn vị nhóm tập  Khảo sát ứng dụng biểu diễn hoán vị Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Nhóm đối xứng, nhóm hữu hạn sinh  Biểu diễn hốn vị nhóm tập  Những ứng dụng biểu diễn hốn vị lý thuyết nhóm Phương pháp nghiên cứu  Tập hợp, hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu nhóm đối xứng, biểu diễn hốn vị  Phân tích, khảo sát tài liệu thu thập  Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn gồm hai chương Chương CẤU TRÚC NHĨM Chương trình bày cách sơ lược khái niệm, kết lý thuyết nhóm để làm sở cho chương Chương BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn trình bày biểu diễn hoán vị số ứng dụng lý thuyết nhóm CHƯƠNG CẤU TRÚC NHĨM Chương trình bày sơ lược cấu trúc nhóm số nhóm đặc biệt để làm sở cho chương sau, chi tiết liên quan xem tài liệu lý thuyết nhóm 1.1 CẤU TRÚC NHĨM 1.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1 Một nhóm cặp (G, ), G tập hợp (khơng rỗng)  phép tốn hai ngơi G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (i) Phép toán  có tính kết hợp nghĩa (x  y)  z = x  (y  z), với x, y, z  G (ii) Có phần tử kí hiệu e  G, gọi phần tử trung lập, có tính chất x  e = e  x = x, với x  G (iii) Với x  G, có phần tử x'  G, gọi phần tử đối xứng x, cho x  x' = x'  x = e Nếu phép tốn hai ngơi  rõ khơng sợ nhầm lẫn gì, người ta cịn nói G nhóm Khi phép tốn hai ngơi kí hiệu , hợp thành cặp phần tử ( x, y)  G  G kí hiệu x.y hay đơn giản xy gọi tích x y Phần tử trung lập nhóm gọi phần tử đơn vị, kí hiệu Phần tử đối xứng gọi phần tử nghịch đảo x kí hiệu x 1 Định nghĩa 1.2 Cấp nhóm G, kí hiệu G , số phần tử G G có hữu hạn phần tử,  G có vơ hạn phần tử Định nghĩa 1.3 Nhóm G gọi nhóm hữu hạn G tập hữu hạn Định nghĩa 1.4 Nhóm (G, ) gọi giao hốn (hay abel) x  y = y  x, với x, y  G Mệnh đề 1.1 [4] Giả sử (G, ) nhóm Khi đó: (i) Phần tử trung lập G (ii) Với x  G, phần tử đối xứng x Mệnh đề 1.2 (Luật giản ước) [4] Giả sử G nhóm (với phép hợp thành viết theo lối nhân) Khi đó, với a, b, c  G ac = bc, kéo theo a = b ca = cb kéo theo a = b Định lí 1.1 [7] Trong nhóm ta có: ( xy)1  y 1x 1 , với x, y hai phần tử nhóm 1.1.2 Nhóm Định nghĩa 1.5 Giả sử G nhóm Một tập không rỗng S  G gọi nhóm G S khép kín luật hợp thành G (tức xy  S với x, y  S) khép kín phép lấy nghịch đảo G (tức x 1 S với x  S) Ta kí hiệu S  G để S nhóm G Đối với nhóm G bất kì, {1} G hai nhóm G Người ta gọi chúng nhóm tầm thường G Các nhóm khác (nếu có) gọi nhóm thực (hay khơng tầm thường) G Mệnh đề 1.3 [7] Giả sử S tập khác rỗng nhóm G Các điều kiện sau tương đương: (i) S nhóm G (ii) Với x, y  S xy 1  S Định lí 1.2 [7] Giao họ nhóm nhóm G nhóm G Định nghĩa 1.6 Cho G nhóm S tập khác rỗng G Ta gọi nhóm G sinh tập S giao tất nhóm G có chứa S, kí hiệu S Nhóm S nhóm nhỏ (theo quan hệ bao hàm) G mà chứa S Trong trường hợp S  G , ta nói S tập sinh G hay G sinh S Nếu S có hữu hạn phần tử S  {s1, s2 , s3 , , sn} ta kí hiệu s1, s2 , s3 , , sn thay cho {s1, s2 , s3 , , sn } Định nghĩa 1.7 Một nhóm sinh tập hữu hạn gọi nhóm hữu hạn sinh Mệnh đề 1.4 [8] Giả sử G nhóm sinh tập hữu hạn S Khi đó, g  G tồn phần tử s1, s2 , s3 , , sn  S số nguyên 1, ,  n ,  i  1, cho g  s11 sn n Định nghĩa 1.8 Một nhóm G gọi cyclic G sinh phần tử a  G Phần tử a gọi phần tử sinh nhóm cyclic G Khi ta nói G nhóm cyclic sinh phần tử a kí hiệu G  a Mệnh đề 1.5 [8] Cho G nhóm cyclic cấp m sinh phần tử a G  {a0 , a1, , a m1} Mệnh đề 1.6 [4] (i) Nhóm cyclic nhóm giao hốn (ii) Mọi nhóm nhóm cyclic cyclic Định nghĩa 1.9 Giả sử G nhóm với phần tử trung lập e a  G Nếu a m  e với số nguyên dương m, ta nói phần tử a có cấp vơ hạn Nếu trái lại, số nguyên dương nhỏ m cho a m  e gọi cấp a Cấp phần tử a kí hiệu ord(a) Theo định nghĩa ta có x  G, ord(x) =  x = e Mệnh đề 1.7 [4] Hai phần tử sinh nhóm xyclic có cấp Cấp nhóm cyclic cấp phần tử sinh 1.1.3 Nhóm chuẩn tắc, nhóm thương Định nghĩa 1.10 Giả sử S nhóm nhóm G Với a  G, tập hợp aS = {as | s  S} Sa = {sa | s  S} gọi tương ứng lớp kề trái lớp kề phải S phần tử a 32 Như để chứng minh  đồng cấu ta cần phải chứng minh vế phải (2.12) vế phải (2.13), tức ta phải chứng minh ax, g1 a1 ( x ), g2  ax , g1g2 (2.14) Công thức (2.4) (2.5) cho ta x( g1g2 )  ax, g1g2 (3 ( x)) (2.15) Đồng thời, theo (2.11) ta có  xg1  g2   ax,g (1 ( x))  g2  ax,g a ( x),g (2 (1 ( x)))  ax,g a ( x),g (3 ( x)) 1 1 ( xg1 ) g2  ax, g1 a1 ( x ), g2 (3 ( x)) tức (2.16) Vì x  g1g2    xg1  g nên vế phải (2.15) (2.16) nhau,  đồng cấu Cuối ta chứng minh  đơn ánh Giả sử  ( g1 )   ( g2 ) ,  ( g1 )(h, x)   ( g2 )(h, x) với cặp (h, x)  H  X Trường hợp đặc biệt, (h, x) = (1, 1) a 1, g1   ,( ( g1 ))(1)  a1, g2 ,( ( g2 ))(1)  từ ta có a1, g1  a1, g2  ( g1 )(1)   ( g2 )(1) (2.17) Sử dụng công thức (2.4) với x = 1, ta thu g1   ( g1 )(1)  a1, g1  ( g1 )(1)  , g2   ( g2 )(1)  a1, g2  ( g2 )(1)  Sử dụng (2.17) ta có g1  g2 Vậy  đơn ánh Vậy định lí chứng minh  Định nghĩa 2.6 Ta gọi đồng cấu  xây dựng Định lí 2.2 biểu diễn Frobenius nhóm G tương ứng với nhóm H 33 Ví dụ 2.10 Cho G nhóm đối xứng S3 Kí hiệu  3  3            G   , /     1,    Xét H  {1,  ,  2} K  {1,  } hai nhóm G Sau ta tìm biểu diễn lớp kề nhóm G ứng với H, với K, cho trường hợp Tìm hạt nhân biểu diễn Miêu tả biểu diễn Frobenius nhóm G ứng với nhóm H, nhóm K a) Chọn hệ đại biểu phải H G X  {1,  } Vì H nhóm chuẩn tắc G, theo Định lí 2.1 biểu diễn lớp kề G ứng với H có hạt nhân H Biểu diễn lớp kề  liên kết với hệ đại biểu phải X  {1, } xác định 1    , 1   1   , 1    ( )   1   ,     ( )    (1)    ( )   1   ,    1    1    ( )   1       ( 2 )   Rõ ràng Ker   1,  ,   Cho  biểu diễn trung thành G H  X miêu tả Định lí 2.2 Ta có phần tử G 1,  ,  ,  ,  ,  2 Ta sử dụng phương trình xg  ax , g xg để tính ax , g , với ý  1,   1,   1,    ,    ,  2   Xét   a ,  Vì    2 nên    ta có a ,     34 Một cách tương tự trên, ta dễ dàng tính a1,1  , a1,  , a ,1  , a ,  a1,   , a1,   , a ,   , a ,   a1,   , a1, 2   , a ,   , a , 2   Dựa vào tác động ánh xạ  lên phần tử g nêu trên, ta có 1    (1)   ( )   ( )    1   1     ( )   ( )   ( 2 )    Sử dụng định nghĩa  cho định lí 2.2 ta tính ảnh  ( g ) với g  G Đặc biệt,  ( )(h,1)   ha1, , ( )(1)   (h ,1)  ( )(h,  )   ha , ,  ( )( )    h ,   với h  H Ảnh phần tử G qua phép  ( g ) xác định sau  (1) : (h, x)  (h, x), h  H , x  X  ( ) : (h, 1)  (h , 1), ( h,  )  ( h ,  ), h  H  ( ) : (h, 1)  (h , 1), ( h,  )  ( h ,  ), h  H  ( ) : (h, 1)  (h,  ), ( h,  )  ( h, 1), h  H  ( ) : (h, 1)  (h ,  ), ( h,  )  ( h , 1), h  H  ( 2 ) : (h, 1)  (h ,  ), ( h,  )  ( h , 1), h  H Bằng việc tính  ( g1 ) ( g2 )  ( g1g2 ), g1, g2  G , ta dễ dàng chứng minh  đồng cấu Hơn  đơn cấu Vậy  xác định biểu diễn Frobenius nhóm G tương ứng với nhóm H 35 b) Vì G  K  K  K , nên X  {1,  ,  2} hệ đại biểu phải K G Biểu diễn lớp kề  liên kết với X 1   (1)   1  1  2  ( )       2  2   2  ( )       1     ( )      1     ( )     1  2  (  )   2    2   với cách xây dựng  biểu diễn trung thành có phần tử có ảnh ánh xạ đồng 1X Do hạt nhân biểu diễn Ker   {1} Biểu diễn Frobenius  nhóm G tương ứng với nhóm K, cho  (1) : (h, x)  (h, x), h  K , x  X  ( ) : (h, 1)  (h,  ), (h,  )  ( h,  ), ( h,  )  ( h, 1), h  K  ( ) : (h, 1)  (h,  ), ( h,  )  ( h, 1), ( h,  )  ( h,  ), h  K  ( ) : (h, 1)  (h , 1), (h,  )  ( h ,  ), ( h,  )  ( h ,  ), h  K  ( ) : (h, 1)  (h ,  ), ( h,  )  ( h ,  ), (h,  )  (h , 1), h  K  ( 2 ) : (h, 1)  (h ,  ), (h,  )  (h , 1), ( h,  )  ( h ,  ), h  K 2.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIỂU DIỄN HOÁN VỊ Phần áp dụng kết biểu diễn hốn vị để chứng minh số định lí quan trọng lý thuyết nhóm, ví dụ minh họa định lí 36 2.2.1 Định lí O.Schreier Một nhóm có số hữu hạn nhóm hữu hạn sinh nhóm hữu hạn sinh Chứng minh Cho G nhóm hữu hạn sinh, S tập sinh hữu hạn G, với S  m Giả sử H nhóm có số hữu hạn G Giả sử hệ đại biểu phải X H G X  {x1, x2 , , x j } , với x1 phần tử đơn vị Theo giả thiết ta có j <  Gọi  biểu diễn Frobenius nhóm G tương ứng với H cho Định lí 2.2 Nếu h  H h  a1,h  h , ta có  (h)(1, 1)  (h, 1) Nhưng h biểu diễn h  s11 sn n , ( i   1) với s1, s2 , s3 , , s n  S Đặt ti  sii , i  1,2, , n , h  t1 tn Vì  đồng cấu nên ta có  (h)(1, 1)   (t1 )  (t2 )   (tn )  (1, 1) Đặt  (ti )  i với, i = 1, 2, , n Dùng định nghĩa phép  ( g ) H  X bổ đề 2.2, ta có  (h) 1,1   (t2 )   (tn )   a1,t ,1(1)    (t3 )   (tn )   a1,t a (1),t ,(1 )(1)     a1,t a (1),t a  (1),t a  (1),t ,(1  n )(1)    h,1 1 Do 2 n 1 n h  a1,t1 a1 (1),t2 a12 (1),t3 a1 n1 (1),tn Vì 1, ,  n  S ( X ) (1 i )(1)  X , với i,  i  n Nói khác có biểu diễn h thơng qua phần tử có dạng ax ,t với x  X t  s 1, s  S Như vậy, với X  j S  m , số phần tử ax ,t nhiều 2mj, tức H nhóm hữu hạn sinh Định lí chứng minh  37 Nhận xét Từ phép chứng minh Định lí O.Chreier, ta thấy nhóm G sinh m phần tử H nhóm số j G, H sinh 2jm phần tử Tuy nhiên, khơng khó để thu số jm (Xem [8]) Ví dụ 2.11 Cho G nhóm đối xứng S3 Xét phép  3   1    3   3   G   , /     1,    , G có nhóm cấp H  {1,  ,  2} Vì G : H   , nên H G Chọn hệ đại biểu phải H G X  {1,  } Theo định lí O.Shreier, H sinh phần tử a1,   a1,   1 1  1            a ,    a , 1 1 1  2 Như {1,  ,  2} tập phần tử sinh H Hơn H có tập sinh cực tiểu {} Ví dụ 2.12 Giả sử G nhóm sinh phần tử c d, H nhóm G có số Nếu c d thuộc H H  G H khơng thể có số Do có trường hợp xảy sau (1) c  H, d  H 38 (2) c  H, d  H (3) c  H, d  H Trường hợp (1): Giả sử c  H, lớp kề phải H G H Hc, X  {1, c} hệ đại biểu phải H G Theo phép chứng minh Định lí O.Shreier H sinh phần tử    1d 1d   cc  cc   cd  cd  a1,c  1c 1c a1,d ac ,c ac ,d 1  cc 1  1, 1 1 1    d d  c 1 1 1  d,  c2 ,  cdc 1 Do H sinh phần tử d , c cdc 1 H  d , cdc 1, c Trường hợp (2): xác định tương tự trường hợp (1) ta có H  c, dcd 1, d Trường hợp (3): c  H d  H suy cd  H, đặt cd = b  H Khi G  c, b , X  {1, c} Cũng lập luận tương tự trường hợp (1), ta có H  b, cbc 1, c hay H  cd , c 2dc 1, c Tóm lại, G nhóm sinh phần tử nhóm số G sinh phần tử Hơn nữa, nhóm G có khơng q nhóm số 2.2.2 Định lí Marshall Hall Cho G nhóm sinh n phần tử a1, , an ( n < ), j số nguyên dương không đổi Khi số nhóm G có số hữu hạn j hữu hạn Chứng minh 39 Cho S j nhóm đối xứng tập {1, , j} Với nhóm H có số hữu hạn j nhóm hữu hạn sinh G, chọn hệ đại biểu phải X H (lưu ý X H chứa phần tử đơn vị G) Ta kí hiệu phần tử đơn vị nhóm G e, e  X H Gọi  H biểu diễn lớp kề G ứng với hệ đại biểu phải X H  H đồng cấu từ G vào S ( X H ) Vì X H  j , tồn đẳng cấu H : S  X H   S j cho   S ( X H ) ,  (e)  e H ( )(1)  1,  (e)  e H ( )(1)  1, (Xem Mệnh đề 2.4) Chú ý  H   HH : G  S j đồng cấu từ G vào S j , H K hai nhóm có số j H  K,  H   K , tồn phần tử g  H \ K (hoặc ngược lại g  K \ H ) Thì  H ( g )  (e)  e  H ( g )  (e)  eg  e với g  H Do  H (e)  Mặt khác, g  K,  K ( g )  (e)  e từ  K (e)  Do  H   K , H  K, suy số nhóm có số hữu hạn j G không nhiều số đồng cấu từ G vào S j Giả sử G sinh a1, , an Nếu ,  đồng cấu từ G vào S j cho  (ai )   (ai ) , với i = 1, , n,  =  Thật vậy,  g  G g  ai11 aikk  j  1, i j {1, , n}   ( g )       a     a    a  k 1 ik k 1 i1 ik   (g) Do  =  Vậy số đồng cấu từ G vào S j hữu hạn, số cách chọn ảnh cho phần tử sinh G hữu hạn Định lí chứng minh  40 Mệnh đề 2.6 Cho H K nhóm nhóm G Khi đó, lớp kề phải H giao với lớp kề phải K tập rỗng lớp kề phải H  K Hơn nữa, H K có số hữu hạn G H  K có số hữu hạn G Chứng minh Giả sử lớp kề phải H lớp kề phải K có phần tử chung g, x  Hg  Kg x = hg = kg, với h  H k  K Nhưng hg = kg h = k, tức h  H  K Do x  Hg  Kg x  (H  K)g tức Hg  Kg = (H  K)g Nếu H có số n K có số m có nhiều nm lớp kề phải giao lớp kề phải H với lớp kề phải K Đây tất lớp kề phải H  K, lớp kề phải H  K giao lớp kề phải H với lớp kề phải K ((H  K)g = Hg  Kg) Do H  K có số hữu hạn G H K có số hữu hạn  G Mệnh đề chứng minh Ví dụ 2.13 Giả sử G nhóm hữu hạn sinh có nhóm số j Ta chứng minh giao tất nhóm có số j G nhóm chuẩn tắc có số hữu hạn Theo định lí Marshall Hall, số nhóm số j G hữu hạn, chẳng hạn M1, , M n Nếu M nhóm số j, ta dễ dàng chứng minh x 1Mx  M có số j (Nếu lớp kề phải M Mg1, , Mg j , lớp kề phải M M x 1g1x, M x 1g x, M x 1g3 x, , M x 1g j x Vì g  G, x 1gx  Mgi , với i, 41 g  x 1Mxx 1gi x  M x 1gi x ) Do M1  M   M n  K nhóm chuẩn tắc G Vì gK xG x1gx  x 1M1x, x 1M x, , x 1M n x Nhưng x1M1x, , x 1M n x n nhóm khác có số j Do chúng tất nhóm có số j Từ x 1gx  K K G Theo mệnh đề 2.6, ta có K có số hữu hạn 2.2.3 Định lí A I Mal'cev Cho G nhóm hữu hạn sinh mà nhóm có số hữu hạn có giao {1} Thì tồn cấu  từ G lên G tự đẳng cấu Chứng minh Gọi K hạt nhân tự tồn cấu  nhóm G, L nhóm G, có số hữu hạn Nếu L có số j số nhóm có số hữu hạn j G hữu hạn Gọi nhóm L  L1, L2 , , Lk Theo định lí đồng cấu nhóm, ta có G   (G)  G / K số nhóm có số j G / K k (chính số nhóm có số j G) Giả sử M1 / K , , M k / K nhóm có số j G / K, M1, , M k k nhóm phân biệt có số j G Do k nhóm M i k nhóm Li , Li chứa K Đặc biệt LK Điều có nghĩa nhóm có số hữu hạn chứa K Do K chứa giao tất nhóm có số hữu hạn Theo giả thiết K = {1} Vì  đơn cấu  tự đẳng cấu 42 Định lí chứng minh  Ví dụ 2.14 Cho G H hai nhóm giả sử G thỏa mãn điều kiện định lí A I Mal'cev Cho  :G  H  : H  G toàn cấu Chứng minh G  H   toàn cấu từ G vào theo Định lí A I Mal'cev   đẳng cấu Nếu g  1, g  G    ( g )   ( g )  Do  đơn cấu nên  đẳng cấu từ G vào H Ví dụ 2.15 Cho N M nhóm chuẩn tắc khác nhóm hữu hạn sinh G, N  M Giả sử giao nhóm số hữu hạn G / N phần tử đơn vị Chứng minh G / M không đẳng cấu với G / N Giả sử  : G / M  G / N đẳng cấu Cho  : G / N  G / M xác định Ng  Mg Ta dễ dàng chứng minh  tồn cấu Khi  tồn cấu từ G / N vào Theo Định lí A I Mal'cev  đẳng cấu Nếu g  M \ N ( )( Ng )   ( M ) phần tử đơn vị G / N Do  khơng phải đẳng cấu 43 KẾT LUẬN Luận văn “Biểu diễn hoán vị ứng dụng” thực mục tiêu đề ra, cụ thể 1) Tìm hiểu trình bày nội dung biểu diễn hốn vị nhiều ví dụ minh họa 2) Khảo sát áp dụng kết biểu diễn hoán vị để chứng minh Định lí quan trọng lý thuyết nhóm cho ví dụ minh họa định lí Hy vọng rằng, thời gian tới nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hoàn thiện nhằm khẳng định tầm quan trọng tính hiệu biểu diễn hốn vị lý thuyết nhóm hữu hạn 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bùi Huy Hiền (1997), Bài tập Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội [2] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài tập Đại số Số học, NXB Giáo dục Hà Nội [3] Hội Tốn Học Việt Nam (2011), “Cấu trúc nhóm số tốn sơ cấp”, Thơng Tin Tốn Học, Hà Nội, 15(3), tr 21-27 [4] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Thị Ngọc Huyền, Nguyễn Ngọc Châu (2008), “Cấp phần tử lớp liên hợp nhóm dihedral”, Tuyển tập báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học”, Lần thứ 6, Đại Học Đà Nẵng 2008, tr 276-278 [6] Serge Lang (1973), Đại số, Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo, Hồng Kì, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [7] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Tiếng Anh [8] Benjamin Baumslag and Bruce Chandler (1968), Theory and problems of group theory, Mcgraw-hill book company Trang Website [9] Daniel Gorenstein (2007), Finite Groups, http://books.google.com.vn /books?hl=vi&id=5gRFNiMjUqwC&q= permutational+representat ions+#v=snippet&q=permutational%20representations&f=false 45 [10] Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon (1997), The Classification of the Finite Simple Groups, Number 3, http://books google.com.vn/books?hl=vi&id=o5MzqNg7jB4C&q=permutation al+representations+#v=snippet&q=permutational%20representatio ns&f=false [11] Derek Jonh Scott Robinson (1996), A Course in the Theory of Groups, http://books.google.com.vn/books?hl=vi&id=lqyCjUFY6WAC&q= permutational+representations#v=snippet&q=permutational%20repr esentations&f=false [12] Emil G Milewski (1989), The Essentials of Group Theory II, http://bo oks google.com.vn/books?hl=vi&id=BvspvM3nyhgC&q=permutati onal+representations#v=snippet&q=permutational%20representatio ns&f=false [13] I Martin Isaacs (2008), Finite Group Theory, http://books.google.com vn/books? hl=vi&id=pCLhYaMUg8IC&q=permutational+represen tations#v=snippet&q=permutational%20representations&f=false [14] Marshall Hall (1999), The Theory of Groups, http://books.google.com vn/books?id=oyxnWF9ssI8C&printsec=frontc over&hl=vi#v=one page&q&f=false [15] J.S.Milne (2008), Group Theory, http://web-erver.math.uoc.gr:1080/ Members/Theoria_Omadwn_XE_09-10 ... CHƯƠNG BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ỨNG DỤNG Chương nội dung luận văn, trình bày biểu diễn hốn vị số ứng dụng 2.1 BIỂU DIỄN HỐN VỊ 2.1.1 Định nghĩa biểu diễn hốn vị Định nghĩa 2.1 Một đồng cấu từ nhóm G vào... Thạc sĩ là: ? ?Biểu diễn hốn vị ứng dụng? ?? Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu  Nghiên cứu cấu trúc nhóm, nhóm đối xứng  Nghiên cứu biểu diễn hoán vị nhóm tập  Khảo sát ứng dụng biểu diễn hoán vị Đối tượng... nhóm đối xứng tập hợp X mở khái niệm, gọi biểu diễn hoán vị G X Biểu diễn hoán vị phận lý thuyết nhóm có nhiều ứng dụng lớp nhóm hữu hạn sinh Nhằm tìm hiểu biểu diễn hốn vị nhóm ứng dụng nó, tơi