Biểu diễn hoán vị và đặc trưng của nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ LÀI BIỂU DIỄN HOÁN VỊ VÀ ĐẶC TRƯNG CỦA NHĨM HỮU HẠN Chun ngành : Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lài MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ĐA TUYẾN TÍNH 1.1.1 Cơ sở đại số tuyến tính 1.1.2 Các khái niệm đại số đa tuyến tính 11 1.2 BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHĨM HỮU HẠN 15 1.3 G-ĐỒNG CẤU VÀ BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY 18 CHƯƠNG BIỂU DIỄN HỐN VỊ CỦA NHĨM HỮU HẠN 28 2.1 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ 28 2.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA BIỂU DIỄN HOÁN VỊ 32 2.3 PHÉP TÍNH TỐN CÁC BIỂU DIỄN HỐN VỊ VÀ VÍ DỤ MINH HỌA 35 2.4 BIỂU DIỄN HOÁN VỊ MỞ RỘNG 37 CHƯƠNG ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN 41 3.1 ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM LỚP CỦA NHÓM HỮU HẠN 41 3.2 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG 48 3.3 CÁC BẢNG ĐẶC TRƯNG 53 3.4 ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN CỤ THỂ 59 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nghiên cứu phân lớp biểu diễn nhóm hữu hạn toán quan trọng mang tính thời lý thuyết cấu trúc biểu diễn nhóm Nhiều nhà tốn học quan tâm lĩnh vực giải trọn vẹn cho nhiều lớp nhóm cụ thể, đặc biệt nhóm hữu hạn Đóng vai trị quan trọng cho việc khảo sát biểu diễn nhóm hữu hạn lý thuyết đặc trưng cho phép chuyển việc nghiên cứu biểu diễn nhóm lớp hàm đặc trưng tương ứng Với mong muốn tìm hiểu thêm lý thuyết biểu diễn nhóm gợi ý PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Biểu diễn hốn vị đặc trưng nhóm hữu hạn” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu biểu diễn hoán vị nhóm hữu hạn, tức lớp biểu diễn nhóm hữu hạn G G-tập hữu hạn Từ ứng dụng lý thuyết đặc trưng để khảo sát biểu diễn hốn vị số nhóm hữu hạn cụ thể Để đạt mục tiêu nêu trên, luận văn tập trung khảo sát tính chất biểu diễn hoán vị ứng dụng lý thuyết đặc trưng để mơ tả biểu diễn hốn vị nhóm hữu hạn thể cho số nhóm cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức sở - Nghiên cứu biểu diễn hốn vị nhóm hữu hạn - Nghiên cứu đặc trưng nhóm hữu hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài biểu diễn hoán vị đặc trưng số nhóm hữu hạn Phạm vi nghiên cứu đề tài lý thuyết cấu trúc biểu diễn nhóm Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài - Tổng quan tài liệu thể tường minh kết đạt luận văn - Trao đổi, thảo luận kết nghiên cứu buổi seminar với giáo viên hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Tổng quan số kết liên quan đến biểu diễn nhóm hữu hạn - Góp phần làm rõ biểu diễn hốn vị nhóm hữu hạn qua số tính chất ví dụ minh họa Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm chương Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, giới thiệu kiến thức sở đại số tuyến tính đa tuyến tính, biểu diễn tuyến tính nhóm hữu hạn đặc trưng biểu diễn Các khái niện tính chất liên quan đến việc nghiên cứu chương Chương 2: BIỂU DIỄN HỐN VỊ CỦA NHĨM HỮU HẠN Trong chương tập trung khảo sát tính chất biểu diễn hốn vị biểu diễn hốn vị mở rộng nhóm hữu hạn Chương 3: ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN Chương áp dụng lý thuyết đặc trưng để khảo sát đặc trưng, tích vơ hướng đặc trưng, bảng đặc trưng vận dụng vào việc tìm đặc trưng số nhóm hữu hạn cụ thể CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, giới thiệu số khái niệm, tính chất đại số tuyến tính đa tuyến tính, biểu diễn tuyến tính, đặc trưng biểu diễn khái niệm liên quan ma trận, thương phần bù,… cần thiết cho việc nghiên cứu chương Các khái niệm tính chất trình bày chương tham khảo từ tài liệu [1], [4] 1.1 GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ ĐA TUYẾN TÍNH 1.1.1 Cơ sở đại số tuyến tính Trong luận văn này, kí hiệu trường, nghĩa vành giao hoán với phần tử đơn vị cho phần tử khác khơng có phần tử nghịch đảo Phần lớn nội dung trình bày lý thuyết biểu diễn làm việc trường số phức trường số thực Tuy nhiên, làm việc số trường tổng quát hơn, bao gồm trường có đặc số hữu hạn trường p  đây, đặc số trường / p số nguyên môđulô p, với p số nguyên tố Ở định nghĩa số tự nhiên nhỏ p cho p1     0, trường hợp gọi có đặc số hữu hạn đặc số dương; trường hợp ngược lại (không tồn số tự nhiên p thỏa điều kiện trên), gọi có đặc số Khi đặc trưng số hữu hạn p, ta suy p số nguyên tố Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều , nghĩa - không gian vectơ Nhớ lại cở sở V tập sinh độc lập tuyến tính V Số chiều V (trên ) định nghĩa số phần tử sở (có thể chứng minh số phần tử sở V không đổi) ký hiệu dim V Chúng ta thường xét - không gian vectơ 1-chiều với sở {1} hay tập { x } với x  Cho hai -không gian vectơ V W , phép biến đổi tuyến tính (hay ánh xạ tuyến tính) từ V đến W ánh xạ  :V  W cho:  (v1  v2 )   (v1 )   (v2 ) (v1 , v2 , v V ) ,  (tv)  t (v) ( t  ) Phép biến đổi tuyến tính  :V  W gọi đơn cấu (tương ứng tồn cấu, đẳng cấu) tuyến tính  đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) Hai không gian vectơ V W gọi đẳng cấu tồn đẳng cấu tuyến tính từ V lên W Chúng ta kí hiệu tập hợp tất phép biến đổi tuyến tính V  W Hom V , W  Khi Hom V , W  -không gian vectơ với phép cộng phép nhân với vô hướng định nghĩa sau: ( ,  Hom (V ,W )), (   )(u)   (u)   (u) (t )(u)  t ( (u))   (tu) (t  ) Kết tính chất quan trọng sở Mệnh đề 1.1 Cho V, W hai -không gian vectơ với V hữu hạn chiều, {v1,…, vm} sở V với m  dim V Xét ánh xạ  :{v1 , , vm}  W Khi tồn phép biến đổi tuyến tính  :V  W cho  (v j )   (v j ) (1  j  m) Chúng ta thể điều thơng qua sơ đồ giao hốn sau: Phép nhúng {v1 , , vm } V !  W Chứng minh Xét tương ứng  :V  W xác định bởi: m m j 1 j 1 v    j v j V ,  (v)    j (v j ) Khi  phép biến đổi tuyến tính cần xác định Phép biến đổi tuyến tính  gọi mở rộng tuyến tính  thường kí hiệu  Cho V , W hai - khơng gian vectơ hữu hạn chiều có sở tương ứng {v1 , ,vm } {w1 , , w n } , với m  dim V n  dim W Theo Mệnh đề 1.1, cho  i  m  j  n , ánh xạ ij :{v1 , , vm}  W ; ij (vk )   ik w j (1  k  m) có mở rộng đến phép biến đổi tuyến tính ij : V  W Hơn nữa, thu kết sau: Mệnh đề 1.2 Tập hợp tất ánh xạ ij : V  W (1  i  m,1  j  n) lập thành sở Hom (V , W ) Từ dim Hom (V ,W )  dim V dim W  m n Một trường hợp đặc biệt quan trọng khẳng định không gian đối ngẫu V , 56 ma trận [ ]  tương ứng với cở sở có phần tử nằm đường chéo chính, trừ trường hợp   e ma trận cấp  Đặc trưng  cho 6 0  ( )  tr[ ]     e ,   e Từ ta thu (   | 1 )  1   ( ) 1 ( )    ,   S3 (  | 2 )  1   ( )  ( )    ,   S3 (   | 3 )  1   ( ) 3 ( )  (6  2)    S3 Do ta có  S3   V1 V2 V3 V3  V1 V2  2V3 Tất nhiên, để sử dụng bảng đặc trưng, cần phải xác định chúng! Cho đến nhiều điều này, biết số hàng phải số lớp liên hợp nhóm G tồn đặc trưng tầm thường 1-chiều mà thường kí hiệu 1 có giá trị 1 ( g )  với g  G Các đặc trưng biểu diễn bất khả quy phức G gọi đặc trưng bất khả quy G Kết cho thấy để tìm tất đặc trưng bất khả quy, cần phải phân tích biểu diễn quy Định lý 3.19 Cho G nhóm hữu hạn, 1 , , r đặc trưng bất khả quy phân biệt  reg biểu diễn quy G G  57 (a) Mỗi biểu diễn bất khả quy phức G xuất G  Một cách tương đương, với đặc trưng bất khả quy  j , (   |  j )  reg (b) Bội nj biểu diễn bất khả quy Vj với đặc trưng  j G  cho n j  dim V j   j (e) Chứng minh: Sử dụng công thức | G | 0  (g)   reg g  e , g  e Ta có n j  (  reg |  j )  1  reg ( g )  j ( g )    (e)  j (e)   j (e)  | G | gG | G | reg Hệ 3.20 Ta có r r j 1 j 1 | G |  n2j   (  reg |  j )2 Kết sau phần chứng minh liên quan đến lý thuyết số đại số Mệnh đề 3.21 [4, Proposition 3.21] Với đặc trưng bất khả quy  j , n j  (  reg |  j ) chia hết bậc G, nghĩa n j | | G | Sau tính chất quan trọng hệ thức trực giao hàng cột bảng đặc trưng nhóm G Định lý 3.22 Cho 1 , , r đặc trưng bất khả quy phức phân biệt nhóm G e  g1 , , gr tập hợp đại diện lớp liên hợp G với k, ký hiệu CG ( gk ) tâm g k (a) Tính trực giao hàng: với  i, j  r , 58 r i ( g k )  j ( g k ) k 1 | CG ( g k ) |   ( i |  j )   ij (b) Tính trực giao cột: với  i, j  r , r  k ( gi )  k ( g j ) k 1 | CG ( gi ) |    ij Chứng minh: (a) Ta có  ij  ( i |  j )   i ( g )  j ( g ) | G | gG r |G|  i ( g k )  j ( g k )  | G | k 1 | CG ( g k ) | [do lớp liên hợp g k chứa | G | / | CG ( gk ) | phần tử] r i ( g k )  j ( g k ) k 1 | CG ( g k ) |  (b) Cho  s : G  hàm cho g liên hợp với gs, g không liên hợp với gs 1 0  s (g)   Theo Định lý 3.15, ta có k  cho r  s   k  k k 1 Khi  j  ( s |  j ) Ta có ( s |  j )   s ( g )  j ( g ) | G | gG r  s ( gk )  j ( gk ) k 1 | CG ( g k ) |    j ( gs ) | CG ( g s ) | , 59 nên r  j ( gs ) k 1 | CG ( g s ) | s   j Do vậy, ta có cơng thức sau r  j ( gt )  j ( g s ) k 1 | CG ( g s ) |  st   s ( gt )   3.4 ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN CỤ THỂ Dựa vào kết trên, tiến hành xác định số bảng đặc trưng Đối với nhóm giao hốn, có kết sau suy từ kết tính chất nhóm giao hốn lớp liên hợp điều có phần tử Mệnh đề 3.23 Cho G nhóm giao hốn hữu hạn Khi có |G| đặc trưng bất khả quy phức phân biệt, số 1-chiều Hơn nữa, biểu diễn quy, hạng tử bất khả quy xuất với bội 1, nghĩa G  V1   V|G| Ví dụ 3.24 Cho G  g0  / n nhóm cyclic bậc n Giả sử  n  e2 i / n bậc n phần tử đơn vị Khi với k = 0, 1, …, (n – 1) ta xác định biểu diễn 1- chiều k : G  * sau k ( g0r )   nrk Đặc trưng  k  k cho  k ( g0r )   nrk Khi tất đặc trưng bất khả quy không đẳng cấu 60 Chúng ta xét hệ thức trực giao đặc trưng Ta có (k | k )  n 1  k ( g 0r )  k ( g 0r )  n r 0 = n 1 kr kr  n  n n r 0 = n 1 n    n r 0 n Với  k   (n 1) , ta có (k |  )  n 1  k ( g 0r )  ( g 0r )  n r 0 = n 1 kr r  n  n n r 0 = n 1 ( k  ) r  n n r 0 Theo tính trực giao hàng, tổng Đây trường hợp đặc biệt kết sau  d  e2 i / d Khi Bổ đề 3.25 Cho d  , m  d 1  r 0 mr d d  0 d | m, trường hợp cịn lại g Chứng minh: Nếu d | m,  dm  Khi đós ta có d 1 d 1 d d 1 r 0 r 0 s 1 r 0  dm   dmr   dm ( r 1) =  dms =  dmr , nên d 1 ( dm  1)  dmr 0, r 0 61 d 1  r 0 mr d  Nếu d | m, ta có d 1  r 0 d 1 mr d  1  d r 0 Xét trường hợp đặc biệt Ví dụ 3.24, n = G  g0  / Bảng đặc trưng G e g0 g 02 1 1 2 3  32 3  32 3 Ví dụ 3.26 Cho G  a0 , b0 nhóm giao hốn bậc 4, ta có G /  / Bảng đặc trưng G cho sau e a0 b0 a0 b 1  00 1 1 10 -1 -1  01 1 -1 -1 11 -1 -1 Ví dụ 3.27 Bảng đặc trưng nhóm quaternion bậc 8, Q8, xác định sau 62 -1 i j k 1 1 1 i 1 -1 -1 j 1 -1 -1 k 1 -1 -1 2 -2 0 Chứng minh: Có lớp liên hợp: {1}, {-1}, {i, -i}, {j, -j}, {k, -k} Như thơng thường, có đặc trưng tầm thường 1 Có đồng cấu Q8   cho  (i r )   ( j )   (k )  1, i i i  j ( j r )   j (i)   j (k )  1, k (k r )  k (i)  k ( j )  1 Từ xác định ba biểu diễn 1- chiều với đặc trưng i ,  j ,  k lấy giá trị i (i r )  i ( j )  i (k )  1,  j ( j r )   j (i)   j (k )  1,  k (k r )  k (i)  k ( j )  1 Do |Q8| = 8, thử tìm biểu diễn phức 2- chiều Từ định nghĩa Q8 cung cấp cho đồng cấu nhúng j : Q  GL ( ) , với ma trận 63 thể theo sở tắc Đặc trưng biểu diễn  cho  (1)  2,  (1)  2,  (i)   ( j)   (k )  2 2 Như hoàn thành việc xác định bảng đặc trưng Q8 Ví dụ 3.28 Bảng đặc trưng nhóm nhị diện bậc 8, D8, xác định sau: e   2  1 1 1  1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 -2 0    Chứng minh: Các phần tử D8 e,  ,  ,  ,  ,  ,   ,  3 chúng thỏa mãn hệ thức sau   e   2,    1 Các lớp liên hợp tập hợp {e}, { }, { ,  3}, { ,   }, { ,  3 } Có hai biểu diễn 1- chiều, cụ thể biểu diễn tầm thường 1 biểu diễn  , với 2 ( )  1, 2 ( )  1 64 Đặc trưng  xác định sau  ( r )  1,  ( r )  1 2 Biểu diễn 1- chiều thứ ba xuất phát từ đồng cấu 3 : D8  3 ( )  1, cho sau  với 3 ( )  1 Biểu diễn 1- chiều thứ tư xuất phát từ đồng cấu 4 : D8  4 ( )  1,  4 ( )  1 Các đặc trưng  ,  ,  ,  rõ ràng phân biệt trực chuẩn Trước mô tả đặc trưng  đặc trưng biểu diễn 2– chiều, xác định sai khác nhân tử vô hướng Giả sử  (e)  a,  ( )  b,  ( )  c,  (  )  d ,  (  )  e , 5 5 với a, b, c, d, e  Các điều kiện trực giao cho ta ( 5 |  j )   j Đối với trường hợp j = 1, 2, 3, 4, ta thu hệ phương trình tuyến tính sau: 1 1  1  1 2 2    2  2  2 2 2 1 a   0 b  0   c     0     d  0 e  với lời giải b = -a, c = d = e = Nếu  đặc trưng bất khả quy, ta có ( 5 | 5 )  1, suy (3.1) 65 a2  (a  a )  , a  2 Như phải có hàng cuối thiết lập Các biểu diễn tương ứng [4, Example 2.6] xét biểu diễn phức có đặc trưng  Nhận xét 3.29 Các nhóm Q8 D8 có bảng đặc trưng giống chúng không đẳng cấu! Điều cho thấy bảng đặc trưng khơng phải ln ln phân biệt nhóm khơng đẳng cấu Ví dụ 3.30 Bảng đặc trưng nhóm đối xứng S4 xác định sau e (1 2) (1 2)(3 4) (123) (1234) [1] [6] [3] [8] [6] 1 1 1  -1 1 -1 3 -1 -1 -1 -1 2 -1    Chứng minh: Nhớ lớp liên hợp tương ứng với loại chu trình khác biểu thị phần tử danh sách đây, số ngoặc [] xác định cỡ lớp liên hợp: e [1], (1 2) [6], (1 2)(3 4) [3], (123) [8], (1234) [6] Do có hàng cột bảng đặc trưng Biểu diễn dấu sign : S4  1-chiều có đặc trưng  , 66  (e)   ((1 2)(3 4)   ((1 3)   (1 2)   (1 4)  1 2 2 Biểu diễn hoán vị 4-chiều  tương ứng với tác động lên = {1, 2, 3, 4} có đặc trưng   cho   ( )  số điểm giữ cố định  Do ta có   (e)  4,   ((1 2)(3 4)    (1 4)  0,   (1 3)  1,   (1 2)  4 4 Chúng ta biết biểu diễn có dạng [4]  [4]S4  W , với W S4-khơng gian 3-chiều có đặc trưng  xác định 1  3    , 3     1 Vì ta thu giá trị  sau 3 (e)  3, 3 ((1 2)(3 4)  3 (1 4)  1, 3 (1 3)  0, 3 (1 2)  Tính tích vơ hướng phần tử với nó, ta có ( 3 | 3 )  (9     6)  , 24  đặc trưng biểu diễn bất khả quy Từ điều này, suy hai biểu diễn bất khả quy lại phải có chiều n4, n5 với n42  n52  24     13 , từ ta lấy n4 = n5 = 2, chúng giá trị có khả sai khác bậc 67 Nếu xác định tích tensor 2  3 , ta đặc trưng  sau  ( g )   ( g ) 3 ( g ) , thu dịng thứ bảng Khi ( 4 | 4 )   thực đặc trưng bất khả quy Đối với  , nhớ lại biểu diễn quy  reg có đặc trưng   phân reg tích dạng    1  2  33  34  25 , reg Do ta có 5  (    1    33  3 ), reg từ xác định dịng cuối bảng Chú ý ví dụ này, tích tensor 3  5 biểu diễn 6-chiều nên bất khả quy Đặc trưng    phải tổ hợp tuyến tính hạng tử bất khả quy,      (   |  j )  j j 1 Với g  S4 , ta có    ( g )    ( g )   ( g ) 5 Đối với giá trị hệ số, ta có (6 + - + + 0) = 0, 24 | c ) = (18 + + + + 0) = 1, 24 | c ) = (18 + + + + 0) = 1, 24 ( c r 3Ä r | c ) = ( c r 3Ä r ( c r 3Ä r 68 ( c r 3Ä r | c ) = (12 + - 12 + + 0) = 24 Từ suy      3   69 KẾT LUẬN Qua luận văn, tổng quan số kết đại số tuyến tính đa tuyến tính nhóm hữu hạn, biểu diễn hốn vị, lý thuyết đặc trưng ứng dụng để khảo sát đặc trưng số nhóm hữu hạn Kết đạt luận văn chủ yếu thể Chương Chương cụ thể sau: - Trong chương 2, khảo sát biểu diễn hốn vị, tính chất phép tính biểu diễn hốn vị biểu diễn hốn vị mở rộng - Trong chương 3, khảo sát lý thuyết đặc trưng ứng dụng chúng để tìm đặc trưng số nhóm hữu hạn Các kết đạt luận văn chưa nhiều giúp cho thân hiểu biết thêm biểu diễn nhóm hữu hạn, biểu diễn hốn vị đặc trưng số nhóm hữu hạn mà đặc biệt đặc trưng biểu diễn hốn vị Trong thời gian đến, chúng tơi mong muốn có điều kiện tiếp tục phát triển kết đạt khảo sát sâu đặc trưng biểu diễn hoán vị 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2000), Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục [3] Dương Quốc Việt (2006), Đại số tuyến tính, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Tiếng Anh [4] Andrew Baker (2011), Representations of Finite Groups, School of Mathematics & Statistics, University of Glasgow [5] D.M.Jackson (2004), Notes on the representation theory of finite groups [6] Dmitri I Panyushev (2002), Lectures on representations of finite groups and invariant theory, Independent University of Moscow, Russia ... chất biểu diễn hoán vị biểu diễn hoán vị mở rộng nhóm hữu hạn Chương 3: ĐẶC TRƯNG CỦA NHĨM HỮU HẠN Chương áp dụng lý thuyết đặc trưng để khảo sát đặc trưng, tích vơ hướng đặc trưng, bảng đặc trưng. .. hoán vị biểu diễn hoán vị mở rộng 41 CHƯƠNG ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM HỮU HẠN Trong chương áp dụng lý thuyết đặc trưng để khảo sát đặc trưng, tích vơ hướng đặc trưng, bảng đặc trưng nhóm hữu hạn thể... đặc trưng để mô tả biểu diễn hốn vị nhóm hữu hạn thể cho số nhóm cụ thể Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu kiến thức sở - Nghiên cứu biểu diễn hoán vị nhóm hữu hạn - Nghiên cứu đặc trưng nhóm hữu