Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 10 km/h nên xe máy thứ nhất đến B trước xe thứ hai 1 giờ.[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN HAY VÀ KHĨ Bài 1.
Cho x, y, z ba số dương thoả mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:
3
x y z
x x yz y y zx z z xy Hướng dẫn :
Từ
2
2
x yz 0 x yz 2x yz
(*) Dấu “=” x2 = yz Ta có: 3x + yz = (x + y + z)x + yz = x2 + yz + x(y + z) x(y z) 2x yz Suy 3x yz x(y z) 2x yz x ( y z) (Áp dụng (*))
x x
x 3x yz x ( x y z)
x 3x yz x y z
(1)
Tương tự ta có:
y y
y 3y zx x y z (2),
z z
z 3z xy x y z (3)
Từ (1), (2), (3) ta có
x y z
1 x 3x yz y 3y zx z 3z xy Dấu “=” xảy x = y = z =
Bài 2.
2 2
2 2 2 2
2
2
, ,
1 3
4 4 3
4
1
2 7, , ,
2
x y z x y z yz x y
x y z yz x y x x y y z z y y
x y z y x y z
Cho lµ ba sè thùc tuú ý Chøng minh: Ta cã:
Bài Cho ba số x, y, z thỏa mãn
x, y, z 1: x + y + z
Chứng minh rằng:x + y + z2 2 11
Hướng dẫn :
Vì x , y , z∈[−1;3]
1
( 1)( 1)( 1)
1
(3 )(3 )(3 )
1
x
x y z
y
x y z
z
1
2( )
27 9( ) 3( )
xyz xy yz xz x y z
xy yz xz
x y z xy yz xz xyz
(2)2 2 2( ) 2 2 ( )2 2 2
x y z xy yz xz x y z x y z x y z
2 2 2 2
3 x y z x y z 11
Bài 4.
Cho số a, b, c lớn 25
4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 5
a b c
Q
b c a
.
Hướng dẫn : Do a, b, c >
25
4 (*) nên suy ra: 2 a 0 , 2 b 0 , 2 c 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương, ta có:
2
2
a
b a
b (1)
2
2
b
c b
c (2)
2
2
c a c
a (3)
Cộng vế theo vế (1),(2) (3), ta có: Q5.3 15 Dấu “=” xẩy a b c 25 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy Min Q = 15 a b c 25
Bài 5.
2
x 2x 2011 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =
x
(với x 0 ) H
ướng dẫn :
2
2
2
2
2
x 2x 2011
A = với x x
1 1
= 2011 = 2011.t 2t + (với t = 0)
x x x
1 1
= 2011 t t
2011 2011 2011
1 2010 2010
= 2011 t dấu"=" t = x 2011 ; thõa x
2011 2011 2011 2011
0
*
2010
Vaäy MinA = x = 2011 2011
Bài 6.
(3)Tìm số tự nhiên n biết: n + S(n) = 2011, S(n) tổng chữ số n Nếu n có 1, 2, chữ số n + S(n) < 1000 + + + < 2011
nếu n có chữ số trở lên n + S(n) > 10000 > 2011
Vậy n có chữ số : n abcd n < 2011 nên a = a = 2
TH1: a = ta có b 0 hoặc c 0 n + S(n) > 2011 VL
Nên b = c = : 200d d 2011 Vơ lý VT chẵn cịn VP lẻ.
TH2: a = 1, b < n + S(n) < 1900 + 1+ 3.9 < 2011 Nên b = 9, : (1900 + 10c + d) + + + c + d = 2011 Hay 11c + 2d = 101 d 9 nên 101 = 11c + 2d 11c + 18
83 c
11
nên c = c =
nếu c = 11.8 + 2d = 101 d = 13/2 vô lý. c = d = 1
thử lại : 1991 + + + + = 2011 thoả mãn Vậy n = 2011
Bài 7.
Cho phương trình ( ẩn x ): x2 2m3x m 0 Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá trị m để biểu thức x12 x22 có giá trị nhỏ
Hướng dẫn :
Cho phương trình ( ẩn x ) x2 2m3x m 0 Gọi x1 x2 là hai nghiệm
phương trình cho Tìm giá trị m để biểu thức x12 x22có giá trị nhỏ
Phương trình x2 2m3x m 0 1 là phương trình bậc hai, có:
2 2
– 2m 4 12 4 4
4
m m m m m m m m m m
2 2
4
4
m m
với m Suy phương trình 1 ln có hai
nghiệm phân biệt vói m Áp dụng hệ thức Vi et, ta được:
1 2
2
S x x m
P x x m
2 2
2 2 2
1 2
2
2
5
2 2m 12 10
2
5 25 11 11 11 11
4 4
4 16 16 16 4
x x x x x x m m m m m m m m
m m m m
Dấu “=” xảy
5
0
4
m m
Vậy giá trị nhỏ biểu thức x12 x22 11
4
(4)Bài 8.
Cho số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức: √ x y+z+√
y x+z+√
z x+y>2
Hướng dẫn :
Cho số dơng x, y , z Chứng minh bất đẳng thức :
√ x y+z+√
y x+z+√
z x+y>2
Áp dông B§T Cosi ta cã :
√y+z x 1≤
y+z x +1
2 =
x+y+z 2x =>√
x y+z≥
2x x+y+z √x+z
y 1≤ x+z
y +1
2 =
x+y+z 2y =>√
y x+z≥
2y x+y+z
√y+x z 1≤
y+x z +1
2 =
x+y+z 2z =>√
z y+x≥
2z x+y+z
Céng vÕ víi vÕ ta cã : √ x y+z+√
y x+z+√
z y+x≥
2(x+y+z)
x+y+z =2 dÊu b»ng x¶y
y+ z = x
x+ z = y x + y + z = y+ x = z
V× x, y ,z > nªn x + y + z > vËy dấu xảy => x
y+z+√ y x+z+√
z
y+x>2 víi mäi x, y , z > ( §pcm )
Bài 9.
Cho hai sè thùc d¬ng x, y tho¶ m·n:
3 3 2 4 2 4 3 0
x y xy x y x y x y x y Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc M = x + y
Hng dn :
Đặt a = x+y = M; b = xy; a2 4b Tõ gi¶ thiÕt cã:
3 2
3 4
a ab a b b ab b =
2
2
2
( )( )
2
a b a b a ab b b
a ab b b
+) NÕu a =2b
Thì: x+y = 2xy Mà (x+y)2 4xy nªn (x+y)2 2(x y )
2;" " : M x y khi x y
(*)
(5)Gi¶ sư (1) cã nghiƯm b tho¶ m·n b
2
4 a
th× b=
2
3
2
a a
2 2 6 0 1 7;( : 0)
a a a Do a
vµ
2
( 3) ( 2)( 2)
2 a a a a a a a
VËy a 1 (**)
Tõ (*) vµ (**) suy a = M có giá trị nhỏ x = y =1
Bài 10.
Cho hình vng ABCD Qua điểm A vẽ đường thẳng cắt cạnh BC E cắt đường thẳng CD F Chứng minh rằng:
ΑΒ2= AΕ2+
1 ΑF2
Hướng dẫn :
Chứng minh : ΑΒ2=
1 AΕ2+
1 ΑF2
Qua A, dựng đường thẳng vng góc với AF, đường thẳng cắt đường thẳng CD M
Ta có: Tứ giác AECM nội tiếp ( ∠ EAM = ∠ ECM = 900)
⇒ ∠ AME = ∠ ACE = 450
⇒ Tam giác AME vuông cân A ⇒ AE = AM Δ AMF vuông A có AD đường cao, nên :
ΑD2= AM2+
1 ΑF2
Vì : AD = AB (cạnh hình vng) ; AM = AE (cmt) Vậy:
ΑΒ2= AΕ2+
1 ΑF2
Bài 11 Quãng đường AB dài 120 km Hai xe máy khởi hành lúc từ A đến B Vận tốc xe thứ lớn vận tốc xe thứ hai 10 km/h nên xe máy thứ đến B trước xe thứ hai Tính vận tốc xe
Hướng dẫn :
Gọi vận tốc xe thứ hai x (km/h), ĐK: x > vận tốc xe thứ x + 10 (km/h) Theo ta có pt:
120 120 10
x x ó x2 + 10x – 1200 = => x1 = 30 (t/m) x2 = - 40 (loại)
vậy vận tốc xe thứ 40km/h, xe thứ hai 30km/h
Bài 12.Với x > 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
M 4x 3x 2011
4x
Hướng dẫn :
E
D M
B
A
C
(6)2 2
4 2011 4 2010 (2 1) ( ) 2010
4 4
M x x x x x x x
x x x
Vì (2x1)2 0 x >
0 4x
, Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + 4x
1
2
4
x x
M =
2
(2 1) ( ) 2010
x x
x
+ + 2010 = 2011
M 2011 ; Dấu “=” xảy
2
1
2 2
1 1
4
0
0
2
x x
x
x x x
x
x x
x x
x =
1
Vậy Mmin = 2011 đạt x =
Bài 13.
Chứng minh : Với
2
2
1
x 1, ta ln có x x
x x
.
Hướng dẫn :
Với
2
2
1
x 1, ta ln có x x
x x
(1)
2
2
2
1 1 1
3 x x x x x x
x x x x x x
1 1
3 x x (vì x nên x 0) (2)
x x x
Đặt
2
2
1
x t x t
x x
, ta có (2) 2t2 3t 0 t 2t 1 0 (3)
Vì
2 2
x nên x x 2x x hay t
x
=> (3) Vậy ta có đpcm
Bài 14.
Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P =
ab bc ca
(7)Hướng dẫn :
Có: a b c 1 ca b c c ac bc c
c ab ac bc c 2ab a c b ( )c b c( )= (c a c b )( )
( )( )
a b
ab ab c a c b
c ab c a c b
Tương tự:
( )( )
( )( )
a bc a b a c
b ca b c b a
( )( )
b c
bc bc a b a c
a bc a b a c
( )( )
c a
ca ca b c b a
b ca b c b a
P
a b b c c a
c a c b a b a c b c b a
=
a c c b b a a c c b b a
=
Dấu “=” xảy
1
a b c
Từ giá trị lớn P
3
2 đạt
1
a b c
Bài 15 :
Cho ba số x y z, , thoả mãn 0x y z, , 1 x y z 2 Tìm giá trị nhỏ
của biểu thức: A =
2 2
(x 1) (y 1) (z 1)
z x y
Hướng dẫn :
Do x, y, z đặt a = – x 0, b = 1- y 0, c = 1- z a + b + c =
suy z = – x + 1- y = a + b, y = – x + 1- z = a + c, x = 1- z + 1- y = c + b Khi A =
2 2
a b c
a b b c c a
Với m, n
2
m n 0 m n mn
(*) Dấu “=” m = n Áp dụng (*) ta có:
2 2
a a b a a b a a b
2 a
a b a b a b
2
a a b
a
a b
Tương tự ta có:
b b c
b
b c
;
2
c c a
c
c a
Suy ra:
2 2
a b c
a b b c c a
a b c
=
(8)Dấu “=” xảy a = b = c =
1
3 suy x = y = z =
Vậy giá trị nhỏ A
1
2 x = y = z =
Bài 16. Tìm giá trị lớn biểu thức: y4(x2 x1) 2 x1 với -1 < x <
Hướng dẫn :
2
y x x 1 3 2x
với -1< x <
2
y 4x 4x 3
(2 1) 3
9
(2 1)
4 x x x x x
3 3
2
2 4
x
Vậy ymax =
3
Khi
3
2 x
= * x (loại ) * x
(thoả mãn điều kiện ) Bài 17 Giải
hệ phương trình : 2
2 2
x y - xy - = x + y = x y
KÕt luËn hÖ cã hai nghiÖm:
( ; 2);( ; 2) Bài 18.
+ Cã
2 2 0
2 xy x y xy
xy
+ Gi¶i hƯ
2 2 1 1 x xy y x x y x x
, Vô nghiệm + Giải hệ
2 2 2 2 4 x xy
y x y
(9)Cho biểu thức:
2
2 12 24 18 36
P xy x y x x y y
Chứng minh P dương với giá trị x y;
Hướng dẫn :
P x 2x y 6y 12 x 2x 3 y 6y 12
2 2
x 2x y 6y 12 y 6y 12
y2 6y 12 x 2x 3
y 32 x 12 x, y
Vậy P dương với giá trị x, y .
Bài 19
Cho hai số thực dương x, y thoả mãn: x3y3 3xy x 2y24x y x y2 2 4x y3 30 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = x + y
Hướng dẫn : ta có
2
3 2
3 2
3
3
2 2
2 2
3 4
3 3
2
2
x y x xy y xy x xy y xy xy
x x xxy xy y y xy y xy xy x xy y xy xy
x xy y xy xy x y xy
x y xy x xy y xy x xy y xy xy
y x
Taco x xy y xy x xy y xy xy x xy
2
2
2
2
3
( )
2
2 2 2( )
4
y
y xy xy
x y
x y a x y xy xy x y x y x y
(10)Bài 20.
Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 2xy + 3y – = 0 Hướng dẫn :
Bài giải: (1) (x2 + 2xy + y2) + (y2 + 3y – 4) = 0 (x+ y)2 + (y - 1)(y + 4) = 0
(y - 1)(y + 4) = - (x+ y)2 (2)
Vì - (x+ y)2 với x, y nên: (y - 1)(y + 4) -4 y 1 Vì y nguyên nên y 4; 3; 2; 1; 0; 1
Thay giá trị nguyên y vào (2) ta tìm cặp nghiệm nguyên (x; y) PT cho là: (4; -4), (1; -3), (5; -3), ( -2; 0), (-1; 1)