CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌCBỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI VÀ HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI ========================== NGUYỄN VĂN MẬU, NGUYỄN HỮU ĐỘ (Chủ biên) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI (Tóm tắt báo cáo Hội nghị khoa học) Hà Nội, 26-27/04/2012 KẾ HOẠCH VÀ CÔNG TÁC CHUẨN BỊ HỘI THẢO KHOA HỌC CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI NĂM 2012 I Thời gian, địa điểm, thành phần: Thời gian: ngày (25,26,27/04/2012) Địa điểm: Phòng họp, Hội trường Trường THPT Chu Văn An Hà Nội Thành phần: - Bộ Giáo dục Đào tạo: Lãnh đạo Bộ, Lãnh đạo vụ GD Trung học; - Lãnh đạo LH CHKHKT HN - Các tạp chí: Tốn học tuổi trẻ, Tốn tuổi thơ; - Hội Toán học Hà Nội; Hội Toán học VN, - Các tác giả có đăng ký tham dự Hội thảo; - Các phòng Giáo dục Đào tạo, huyện, thị, số trường THCS (có danh sách kèm theo); - Truyền hình, báo, đài Ban Tổ chức Ban chương trình Hội thảo (kèm Quyết định): II Nội dung hội thảo: - Đổi cơng tác quản lý giáo dục giai đoạn 2012-2015 định hướng - Đánh giá thực trạng phương pháp dạy học Tốn, thuận lợi, khó khăn đổi phương pháp dạy học; đề xuất giải pháp cụ thể, khả thi đổi phương pháp dạy học môn - Đặc biệt chuyên đề đào tạo, bồi dưỡng học sinh, sinh viên giỏi, tham gia kỳ thi học sinh giỏi cấp hàng năm, nhằm nâng cao chất lượng đào tạo III Công tác chuẩn bị Trước 30/03/2012 - Thành lập Ban Tổ chức, Ban chương trình Lãnh đạo Sở GD ĐT Trước 15/04/2012 - Chuẩn bị nội dung Hội thảo: Thông báo tập hợp viết, In ấn kỷ yếu (Ban tổ chức, Hội TH, Sở GD) - Chuẩn bị chương trình văn nghệ, luyện tập (Trường THPT CVA) - In gửi giấy mời (Ban tổ chức, Hội TH, Sở GD) - Liên hệ đơn vị liên quan đảm bảo an ninh, an tồn giao thơng, điện, nước, Sở GD ĐT HN, Trường THPT CVA (Anh Dũng) -Trang trí, khánh tiết: Khẩu hiệu, Hội trường lớn, Hội trường nhỏ, hoa, nước uống Trường THPT CVA (Anh Dũng) - Chuẩn bị hội trường, âm thanh, ánh sáng, máy chiếu, Trường THPT CVA - Tổng vệ sinh toàn trường Trường THPT CVA - Chuẩn bị nhà khách (4 phòng), phương tiện lại Trường THPT CVA Sáng 26/04/2012 Đón tiếp đại biểu Trường THPT CVA Ghi danh sách đại biểu phát kỷ yếu Trường THPT CVA Bổ trí chỗ ngồi Hội trường (Dành hàng ghế cho đại biểu) Trường THPT CVA Phụ trách chương trình văn nghệ chào mừng (nếu có) Trường THPT CVA Phương tiện trình chiếu, loa đài Trường THPT CVA 26/04/2012 Nội dung chương trình Hội THHN Trưa 26/04 Chuẩn bị ăn trưa Sở GD Anh Dũng (HT THPT CVA) Chiều 26/04/2011 Từ 13h30-16h00 Nội dụng điều hành Hội thảo chuyên đề Hội THHN 16h15-17h30 Hội thảo tổng kết phiên toàn thể BTC (Anh Mậu+Anh Độ) Tối 26/04/2011 Ăn tối (cho đại biểu xa (40 xuất)) Sở GD ĐT (Anh Quang), Anh Dũng (THPT Chu Văn An) Ngày 27/04/2012 Chương trình Tọa đàm bàn trịn Chuẩn bị phương tiện đưa đón, Sở GD (Anh Tuấn) Nội dung hoạt động Hội THHN (Anh Hổ), Sở GD (Anh Tuấn), Trường PT DTNT Hà Nội (Anh Phú) Các ngày Hội thảo: Quay phim, chụp ảnh tư liệu Hội THHN (Thẩm Ngọc Khuê) CHƯƠNG TRÌNH CHI TIẾT Ngày 25/04/2012 14h30-16h30 Họp Ban Tổ chức Ban chương trình, tổng duyệt báo cáo Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ Ngày 26/04/2012 08h00-8h30 Đón tiếp đại biểu 08h30-9h00 Văn nghệ chào mừng 09h00-9h05 Tuyên bố lý do, giới thiệu đại biểu 09h05-9h15 Phát biểu khai mạc Phát biểu đề dẫn 09h15-09h25 Phát biểu đại biểu - GS TS Vũ Hoan - TS Vũ Đình Chuẩn Phòng GDPT Trường THPT CVA Trường THPT CVA Đàm Xn Quang, Phó Văn Phịng Nguyễn Hữu Độ Nguyễn Văn Mậu Chủ tịch Liên hiệp Hội KHKTHN Vụ trưởng Vụ GDTH Bộ GD ĐT 09h25-11h30 Các báo cáo phiên toàn thể NGƯT Hàn Liên Hải: Một số ý kiến vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi PGS Trần Huy Hổ: Vai trò Hội THHN công tác hợp tác đào tạo với sở GD hoạt động chuyên môn bồi dưỡng học sinh giỏi - ThS Chử Xuân Dũng (HT THTH CVA): Về hoạt động chuyên môn CLB Toán học HN - TS Phạm Thị Bạch Ngọc: Vai trị Tạp chí TH TT bồi dưỡng HSG phổ thông - ThS Vũ Kim Thuỷ: Hoạt động Tạp chí Tốn Tuổi thơ - ThS Trần Văn Khải (HN-Amsterdam); Về chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi HN - ThS Lê Đại Hải: Về tổ chức kỳ thi HSC Thủ đô HN 11h30-13h00 Nghỉ ăn trưa 14h00-17h30 Các báo cáo chuyên đề Toán học bồi dưỡng GV vấn đề liên quan Điều hành THCS: GS Nguyễn Văn Mậu, ThS Chử Xuân Dũng PGS Hà Tiến Ngoạn Tổng số cách phân chia tập hợp thành tập rời TS Nguyễn Việt Hải Những toán thi học sinh giỏi lớp số học TS Nguyễn Văn Ngọc Một số dạng toán chia đa thức đối xứng ThS Nguyễn Bá Đang Đường thẳng Simson ThS Lê Thị Thanh Bình Một số phương pháp giải phương trình hàm bậc THCS GV Nguyễn Thị Minh Châu Một số dạng toán liên quan đến dãy số có quy luật cấp THCS ThS Hồ Quang Vinh Phép nghịch đảo ứng dụng Các báo cáo đăng ký hội thảo Điều hành THPT: PGS Trần Huy Hổ, PGD Sở Lê Ngọc Quang PGS Hồng Chí Thành Một vài kỹ thuật giải tích tổ hợp PGS Nguyễn Thuỷ Thanh Một cách tiếp cận định nghĩa hàm mũ PGS Vũ Đình Hồ Bài tốn tơ màu đồ thị GS Phạm Huy Điển Hàm số mũ - vấn đề "Biết - khổ - nói mãi" mà chưa hết GS Đặng Huy Ruận Phương pháp Graph TS Trịnh Đào Chiến Một số lớp phương trình hàm dạng Pexider áp dụng PGS Đàm Văn Nhỉ Tham số hóa đồ thị phẳng toán sơ cấp Các báo cáo đăng ký hội thảo Phiên tổng kết: GS Nguyễn Văn Mậu, ThS Nguyễn Hữu Độ 18h00-19h30 Ăn tối (dành cho đại biểu tỉnh xa) Ngày 27/04/2012 -Các báo cáo khoa học hội nghị bàn tròn - 11h30: Ăn trưa - 16h00: Xe xuất phát Hà Nội Mục lục Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ Lời nói đầu Nguyễn Thủy Thanh Một cách tiếp cận định nghĩa hàm mũ 10 Trần Nam Dũng Nguyên lý cực hạn 12 Trịnh Đào Chiến, Lê Tiến Dũng Một số dạng tổng quát phương trình hàm Pexider áp dụng 13 Đặng Huy Ruận Phương pháp Graph 15 Hà Thị Mai Dung Một số tính chất hàm lồi, lõm bậc cao áp dụng 17 Nguyễn Thị Minh Châu Một số dạng tốn liên quan đến dãy số có quy luật cấp THCS 20 Hoàng Đạt Hạ Định lý Lagrange phương trình hàm liên quan 22 Lê Hồ Quý Phạm Xuân Thành Về số toán phương trình hàm giải phương pháp sai phân 26 Hồng Chí Thành Một vài kỹ thuật giải tích tổ hợp 28 Đàm Văn Nhỉ Tham số hóa đồ thị phẳng tốn sơ cấp 30 Vũ Đình Hịa Bài tốn tơ màu đồ thị 32 Nguyễn Đăng Phất Một số tính chất tứ điểm mặt phẳng 37 Nguyễn Văn Ngọc Một số toán chia hết đa thức đối xứng 39 Trần Việt Anh Sử dụng số phức để giải toán tổ hợp 40 Quách Văn Giang Chứng minh bất đẳng thức phương pháp tham số hoá 42 Lê Thị Anh Đoan Tính ổn định nghiệm số phương trình hàm Cauchy 45 Phạm Thị Nhàn Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác 47 Trần Viết Tường Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh phi đẳng thức 50 Trương Ngọc Đắc Một số ứng dụng tích vơ hướng hai véctơ 52 Phạm Huy Điển Hàm số mũ - vấn đề "Biết - khổ - nói mãi" mà chưa hết 53 Nguyễn Bá Đang Đường thẳng Simson 55 Hồ Quang Vinh Phép nghịch đảo ứng dụng 56 Trương Ngọc Đắc Một số ứng dụng tích vơ hướng hai véctơ 57 Đào Xuân Luyện Một số toán xây dựng từ công thức Taylor 59 Lê Thị Thanh Bình Một số phương pháp giải phương trình hàm bậc THCS 60 Phạm Thị Bạch Ngọc Chuyên đề cho Đại số 9: Phần nguyên ứng dụng 61 Lời nói đầu Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch hội Toán học Hà Nội Nguyễn Hữu Độ, Giám đốc sở GD ĐT Hà Nội Hịa nhịp với nước chào mừng ngày giải phóng miền Nam, thống đất nước ngày Quốc tế lao động 01.05 thực chương trình đổi giáo dục Thủ đô, Sở Giáo Dục Đào tạo Hà Nội phối hợp với Hội Toán học Hà Nội đồng tổ chức Hội thảo khoa học Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi trường THPT Chu Văn An, thành phố Hà Nội vào ngày 26-27/04/ 2012 Đây hội thảo theo tinh thần ký kết phối hợp hoạt động Sở Giáo Dục Đào tạo Hà Nội Hội Toán học Hà Nội bàn liên kết bồi dưỡng học sinh giỏi bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn Trung học phổ thông Trung học sở Hội thảo khoa học lần tiến hành từ 26-27/4/2012 thành phố Hà Nội hân hạnh đón tiếp nhiều nhà khoa học, nhà giáo lão thành, nhà quản lý, chuyên gia giáo dục nhà tốn học báo cáo phiên tồn thể cán đạo chuyên môn từ sở Giáo dục Đào tạo, thầy giáo, cô giáo mơn Tốn trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn báo cáo phiên chun đề hội thảo Ban tổ chức nhận gần 30 báo cáo toàn văn gửi tới hội thảo Song khuôn khổ hạn hẹp thời gian, khâu chế thời lượng kỷ yếu, chúng tơi đưa vào kỷ yếu 20 bài, lại chế để gửi quý đại biểu thực chương trình báo cáo chuyên đề thức hội thảo Nội dung kỷ yếu lần phong phú, bao gồm hầu hết chuyên đề phục vụ việc bồi dưỡng học sinh giỏi tốn từ lý thuyết đồ thị, tơ màu, đại số, giải tích, hình học, số học đến dạng tốn liên quan khác Bạn đọc tìm thấy nhiều dạng tốn từ kỳ olympic nước quốc tế Ban tổ chức xin chân thành cảm ơn hợp tác giúp đỡ quý báu quý thầy giáo, cô giáo đặc biệt toàn thể thành viên semina toán ĐHKHTN câu lạc toán Hà Nội tích cực tham gia để có kỷ yếu với nội dung thiết thực phong phú Vì thời gian chuẩn bị gấp gáp, nên khâu hiệu đính chế kỷ yếu chưa đầy đủ, chi tiết, chắn chứa nhiều khiếm khuyết Rất mong cảm thông chia sẻ quý đại biểu Những ý kiến đóng góp liên quan đến kỷ yếu xin gửi địa chỉ: Hiộ Tốn học Hà Nội, phịng 303 nhà T1, 334 Nguyễn Trãi, Hà Nội Xin trân trọng cảm ơn TM Ban Tổ Chức Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Hữu Độ Một cách tiếp cận định nghĩa hàm mũ Nguyễn Thủy Thanh, Trường ĐHKHTN Hà Nội Mọi phân số thường mà mẫu số lũy thừa không âm 10 gọi phân số thập phân 32 123 Chẳng hạn: , , phân số thập phân Thông thường người ta viết phân số 10 100 100 32 1234 thập phân dạng mẫu số, tức = 0, 3; = 0, 32, = 1, 234 10 100 1000 Ta lưu ý đến tiêu chuẩn: p Để số hữu tỉ dương biểu diễn phân số tối giản khai triển thành phân số thập phân q hữu hạn điều kiện cần đủ mẫu số p khơng có ước nguyên tố Ngược lại, phân số thập phân hữu hạn bất kì: α0 , α1 α2 αn số hữu tỉ α0 , α1 α2 αn , 10n từ số α0 , α1 α2 αn số nguyên gồm αn đơn vị, αn−1 , chục, αn−2 trăm Từ tiêu chuẩn suy phân số cịn lại có khai triển thập phân vơ hạn α0 , α1 α2 αn tức phân số thập phân mà số tự nhiên k tìm số tự nhiên l > k cho αl > Nếu phân số thập phân vô hạn mà kể từ chữ số thập phân nhóm chữ số lặp lại vơ hạn lần theo thứ tự định gọi phân số thập phân vơ hạn tuần hồn nhóm số gọi chu kì Chẳng hạn ta có α0 , α1 α2 αn = 1, 21, 353535 = 1, 21(35) Quy tắc I Một phân số thập phân vơ hạn tuần hồn phân số thường mà tử số chu kì mẫu số gồm toàn chữ số với số lượng số chữ số chu kì Quy tắc II Một phân số thập phân vơ hạn tuần hồn tập phân số thường mà tử số có cách lấy số biểu diễn chữ số thập phân đứng trước chu kì thứ hai trừ số biểu diễn chữ số thập phân đứng trước chu kì thứ nhất, cịn mẫu số số viết số chữ số số chữ số chu kì số chữ số số chữ số thập phân đứng sau dấu thập phân trước chu kì thứ Bên cạnh phân số thập phân tuần hoàn cịn tồn phân số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Chẳng hạn số: 0, 101001000, , tức sau dấu thập phân ta viết liên tiếp số 10, 100, 1000, , hay số 0,123456 thành lập theo quy tắc sau dấu thập phân ta viết liên tiếp số tự nhiên Các phân số thập phân vô hạn khác coi số khác 10 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác Phạm Thị Nhàn, Sở Giáo Dục Đào Tạo Quảng Ninh Trong kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán quốc tế khu vực thường xuất toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác tam giác hay tốn tìm cực trị biểu thức lượng giác tam giác Đó dạng tốn khó học sinh Báo cáo nhằm đề cập đến vài cách chứng minh bất đẳng thức lượng giác dạng không đối xứng tam giác với vế trái biểu thức dạng xf (A) + yf (B) + zf (C) số toán liên quan Tất quan tâm đến bất đẳng thức lượng giác tam giác biết đến dạng bất đẳng thức quen thuộc sau biết cách giải chúng: √ 3 sin A + sin B + sin C , (1) √ 3 sin 2A + sin 2B + sin 2C , (2) √ tan A tan B tan C 3, (3) cos A + cos B + cos C , (4) gọi bất đẳng thức dạng đối xứng tam giác phụ thuộc vào tổng tích hàm số lượng giác Bài toán Chứng minh tam giác ABC, ta có sin A + sin B − cos C Bài toán Chứng minh tam giác ABC, ta có √ sin A + sin B − √ cos C Tổng quát ta có Bài tốn Chứng minh tam giác ABC, ta có sin A + sin B − cos C m 47 m2 + 2m Bài toán Chứng minh tam giác ABC, ta có √ √ sin A + sin B + sin C Ta có tốn tổng qt sau: Bài tốn Cho số dương x, y, z Chứng minh với tam giác ABC, ta có x2 + y + z 2(−1)n+1 (yz cos nA + zx cos nB + xy cos nC), (1) Bài toán Cho số dương x, y, z Chứng minh với tam giác ABC, ta có x cos A + y cos B + z cos C xy yz zx ( + + ), z x y (7) Giải Bài toán Chứng minh với tam giác ABC, ta có cos A + cos B + cos C 769 120 Bài toán Tam giác ABC, thoả mãn điều kiện : a) cos A cos B cos C + + = 12 cos A cos B cos C 119 + + = 12 780 cos C √ c) cos A + cos B + √ = 2 b) Bài toán Cho a, b, c ba cạnh tương ứng với góc A, B, C tam giácABC Chứng minh với tam giác ABC, ta có bc cos A + ca cos B + ab cos C a2 + b2 + c2 Bài toán 10 Cho ABC tam giác nhọn Chứng minh với x thuộcR ta có : cos A + (cos B + cos C)x 1+ x2 (12) Bài toán 11 Cho x, y, z dương Chứng minh tam giác ABC, ta có x sin A B C + y sin + z sin 2 48 xy yz zx ( + + ), z x y (13) Bài toán 12 Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện 1 + = 2 x y z (5) Chứng minh với tam giác nhọn ABC, ta có x cos A + y cos B + z cos C < x2 + y Bài toán 13 Cho x số thực không âm a, b, c ba cạnh tương ứng với góc A, B, C tam giácABC Chứng minh với tam giác ABC, ta có : ax cos A + bx cos B + cx cos C x (a + bx + cx ) Bài toán 14 Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện 1 − x y z 1 + x y Tìm giá trị lớn biểu thức :P = x cos 2A + y cos 2B − z cos 2C Bài toán 15 Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện 1 − x z y 1 + x z Tìm giá trị lớn biểu thức :P = x cos A + y cos B + z cos C Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc "Một số toán chọn lọc lượng giác", NXB Giáo dục 2002 [2] Các tạp chí Kvant, Tốn học tuổi trẻ, T liệu Internet [3] Trần Phương "Các chuyên đề bất đẳng thức cực trị lượng giác" , NXB Hà nội 2006 49 Một số lớp phương trình hàm đa ẩn sinh phi đẳng thức Trần Viết Tường, Trường THPT Trần Phú - Đà Nẵng Trong tốn học phổ thơng tốn phương trình hàm loại tốn thường khó, thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán khu vực Quốc tế, Olympic sinh viên trường Đại học cao đẳng Liên quan đến dạng toán toán đặc trưng khác hàm số tính chất liên quan với chúng Để hệ thống phương trình hàm, cần thiết phải hệ thống kiến thức nâng cao dạng phương trình hàm ứng dụng chúng Đối với tốn phương trình hàm với nhiều ẩn hàm lớp hàm cụ thể: liên tục, khả vi, tuần hoàn, lồi lõm, cần nắm số kĩ thuật biến đổi hàm số, khảo sát tính chất hàm thực phép biến hình trục thực 0.1 Phương trình hàm sinh phi đẳng thức a2 + b2 ≡ g(a + b)h(a − b) Bài tốn Tìm hàm số f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f (x2 + y ) = g(x + y).h(x − y), ∀x, y ∈ R (1) f (x2 − y 2) = g(x − y) + h(x + y), ∀x, y ∈ R (2) f (x2 − y 2) = g (x) − h2 (y), ∀x, y ∈ R (3) f (x) − g(y) = xh(y) − yh(x), ∀x, y ∈ R (4) f (x) − f (y) = (x + y)g(x − y), ∀x, y ∈ R (5) f (x) + f (y) + 2xy = (x + y)g(x + y), ∀x, y ∈ R (6) f (x).g(y) = x2 − y 2, ∀x, y ∈ R (7) f (x + y) + g(x − y) = h(xy), ∀x, y ∈ R (8) f (x + y).g(x − y) = h(xy), ∀x, y ∈ R (9) Bài tốn Tìm tất hàm số f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện Bài tốn Tìm tất hàm số f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện Bài toán Tìm hàm số f, g, h liên tục xác định R thỏa mãn điều kiện Bài tốn Tìm tất hàm số f, g xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện Bài tốn Tìm tất hàm số f, g xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện Bài tốn Tìm tất hàm số f, g xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện Bài tốn Tìm tất hàm số f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện Bài toán Tìm tất hàm số dương f, g, h xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện 50 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình hàm, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục [3] Nguyễn Văn Mậu, 2009, Phương trình hàm với nhóm hữu hạn biến đổi phân tuyến tính, Kỷ yếu HNKH "Các phương pháp chuyên đề toán sơ cấp" Bắc Giang, 27-29/11/2009 [4] Christopher G Small, 2000, Functinal equations and how to solve them, Springer 51 Một số ứng dụng tích vơ hướng hai véctơ Trương Ngọc Đắc, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đơn, Bình Định Báo cáo xét tính chất tích vơ hướng hai vectơ, góc hai vectơ mệnh đề ứng dụng tích vơ hướng hai vectơ Ta xét ba mệnh đề vận dụng tích vơ hướng hai vectơ để làm tảng giải tốn hình học chương sau (đây ba toán SGK Hình học 10 Nâng cao, trang 47 - 49) Tiếp theo, trình bày số ứng dụng tích vơ hướng hai vectơ tính tốn yếu tố hình học, dựa vào đẳng thức vectơ tam giác, ta có đẳng thức độ dài yếu tố tam giác, toán cực trị hình học Bài tốn (2007-England) Gọi H trực tâm tam giác ABC, P điểm nằm mặt phẳng tam giác ABC khác A, B, C Các điểm L, M, N chân đường vng góc hạ từ H đến đường thẳng PA, PB, PC Gọi X, Y, Z giao điểm LH, MH, NH với BC, CA AB Chứng minh ba điểm X, Y, Z thẳng hàng Bài toán Cho đường tròn (O, R) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Xác định giá trị nhỏ biểu thức: S = AB + BC 2 − CA2 52 Hàm số mũ - vấn đề "Biết - khổ - nói mãi" mà chưa hết Phạm Huy Điển, Trung tâm Tin học, Viện KH CN VN Chắc hầu hết học sinh lớp 12 (thậm chí lớp 11 nữa) cho hàm số mũ thứ “đã biết rồi” Rành rành sách giáo khoa đưa định nghĩa hẳn hoi! Vậy gì? Muốn biết hàm số mũ, trước hết phải biết luỹ thừa bậc b số a (tức ab ) Nếu b số hữu tỷ định nghĩa chẳng khó khăn gì, sách đưa định nghĩa giống đúng: b số tự nhiên lũy thừa bậc b số định nghĩa phép nhân số với ( b lần); b số ngun âm lũy thừa bậc b định nghĩa nghịch đảo luỹ thừa bậc −b; phép khai bậc nguyên dương số định nghĩa phép tính ngược phép nâng lên luỹ thừa; b số hữu tỷ (nghĩa b = p/q, với p số nguyên q số tự nhiên) lũy thừa bậc b số định nghĩa hợp phép toán: nâng lên luỹ thừa (với bậc p) khai (với bậc q) Vấn đề trở nên thực nan giải b số vô tỷ Để định nghĩa luỹ thừa với số mũ vô tỷ, sách giáo khoa tốn phổ thơng phải dựa vào mệnh đề “ chứng minh chặt chẽ khn khổ chương trình phổ thơng” Đại ý mệnh đề là: với số a > có hàm liên tục nhận giá trị thực mà điểm hữu tỷ q nhận giá trị aq Ngay học sinh đại học phải đầu hàng tính “thần bí” mệnh đề này, đụng đến vấn đề hóc búa: Khi hàm số xác định tập số hữu tỷ “thác triển được” thành hàm liên tục toàn trục số thực? Và thác triển nhất? Tất nhiên, với định nghĩa ta khơng thể làm ngồi việc tiếp tục cơng nhận tính chất đưa sau định nghĩa (vì khơng thể chứng minh được) Sách Giáo khoa Thực nghiệm “Đại số Giải tích 11” (dành cho hệ chuyên ban A, NXB Giáo dục - 1995) đưa định nghĩa “Luỹ thừa số a với số mũ vô tỷ b (ký hiệu ax ) lim axn , {xn } dãy số hữu tỷ gần thiếu x” Tiếc sách không cho n→∞ biết nhiều khái niệm dãy số hữu tỷ gần thiếu số vô tỷ nên ta tổng dãy số hữu tỷ gần thiếu (của số vơ tỷ) có dãy số hữu tỷ gần thiếu (của tổng số vơ tỷ đó) hay khơng Cho nên ta khơng biết tính chất luỹ thừa bậc hữu tỷ chuyển sang cho luỹ thừa bậc vô tỷ Tuy nhiên, điều áy náy chẳng chốc bị “che phủ” điều áy náy lớn hơn, ta thấy tính liên tục hàm mũ đưa cách “vô điều kiện” Rõ ràng, cách định nghĩa chưa thể thỏa mãn nguyện vọng người muốn hiểu khái niệm tốn học cách “đến nơi đến chốn” Tóm lại: Muốn biết hàm số mũ “hãy đợi đấy!!!” Đợi đến đây? Chưa có trả lời câu hỏi này, người qua đại học cho bạn lời khun đích thực là: đừng hy vọng nhiều chương trình bậc đại học, người ta thường cho “hàm mũ dạy từ thời phổ thông!” Nếu bạn khơng muốn chờ đợi thêm làm “một chen ngang”, khám phá chất hàm số mũ lịng chương trình lớp 11 Chúng ta thiết lập khái niệm hàm số mũ cách chặt chẽ mặt toán học, mà không cần vay mượn kết từ chương trình đại học Trước hết, ta cần thấy hàm không đơn giản (nếu khơng nói khó hẳn) hàm lượng giác, việc xây dựng cần đầu tư 53 thời gian công sức không eo hẹp so với ta dành cho hàm lượng giác (gần nửa sách giáo khoa lớp 11) Bản thân số vô tỷ coi giới hạn dãy số hữu tỷ, việc xây dựng luỹ thừa bậc vô tỷ không dựa vào khái niệm 54 Đường thẳng Simson Nguyễn Bá Đang, Sở GD ĐT Hải Dương Robert Simson nhà toán học người Scotland, giáo sư tốn học đại học Glasgow Ơng sinh 14 tháng 10 năm 1687tại West Kilbride ngày tháng 10 năm 1768 Glasgow Trong nhiều năm gần kì thi nước, quốc tế khu vực thường sử dụng đường thẳng Simson vào giải tốn hình học phẳng Xin giới thiệu để bạn đọc tham khảo Đường thẳng Simson Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) M điểm tùy ý ( ), gọi D, E, H hình chiếu BC, CA, AB Chứng minh D, E, H thẳng hàng Bài toán 2: Cho tam giác ABC, M điểm mặt phẳng chứa tam giác ABC Gọi D, E, H hình chiếu M cạnh BC, CA, AB D, E, H thẳng hàng Chứng minh M nằm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác ABC, M điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi K, P, Q điểm đối xứng M qua BC, CA, AD Chứng minh P, K, Q nằm đường thẳng qua điểm cố định, không phụ thuộc vào điểm M thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (Olimpia Japan 1996) 55 Phép nghịch đảo ứng dụng Hồ Quang Vinh, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Trong suốt viết kí hiệu X * ảnh X qua phép nghịch đảo xét Từ định nghĩa ta thấy rằng, qua phép nghịch đảo điểm đường tròn (k) đứng nguyên chỗ, điểm nằm (k) biến ngồi, cịn điểm nằm ngồi (k) biến vào Nếu điểm A biến thành A*, điểm A* qua phép nghịch đảo biến thành điểm A, tức (A*)* = A Các tính chất Qua phép nghịch đảo tâm O với bán kính r: 1) Một đường thẳng qua O biến thành 2) Một đường thẳng l khơng qua O biến thành đường tròn qua O, tâm đường trịn điểm C* (C điểm đối xứng với O qua đường thẳng l) 3) Một đường tròn với tâm điểm C qua O biến thành đường thẳng không qua O, vuông góc với OC 4) Một đường trịn khơng qua O biến thành đường trịn khơng qua O ( Hai đường trịn khơng thiết ) 5) Sự tiếp xúc đường tròn đường thẳng bảo toàn, tiếp điểm khơng trùng với tâm nghịch đảo; cịn trùng nhận cặp đường song song 6) Góc hai đường trịn (góc đường thẳng đường trịn, hai đường thẳng) bảo toàn qua phép nghịch đảo Theo truyền thống từ thời cổ Hy Lạp, hình học thường xét phép dựng hình compa thước kẻ Nhưng tiến hành dựng hình compa khơng có thước kẻ Bằng compa, tất nhiên khơng thể dựng tất điểm đường thẳng, ta coi đường thẳng dựng dựng tất phép dựng mà thực nhờ compa thước kẻ Để dựng hình compa chủ yếu nhờ dựng ảnh điểm qua phép nghịch đảo đường tròn cho trước với tâm cho trước Sử dụng phép nghịch đảo, giải gọn tốn khó Kì thi chọn học sinh giỏi Tốn Quốc gia , Kì thi Olympic Tốn học Quốc tế TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] V.V Praxolov Các tốn hình học phẳng, Tập 2, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, năm 2003 [2] Các dự tuyển Olympic Toán học Quốc tế, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội 2003 [3] 1999 National Contests Problems and Solution, Published and distributed by Mathematical Association of America [4] Mathematical Olympiad Problems and Solutions From Around the Wolrd, 1995 - 1996, 1996 - 1997, 1997 - 1998, 1998 - 1999, 1999 - 2000, 2000 - 2001, Edited by Titu Andreescu, Zuming Feng and George Lee, Jr Walter Mientka Published and distributed by Mathematical Association of America [5] Một số Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ năm từ 2003 - 2007 56 Những toán thi học sinh giỏi lớp số học Nguyễn Việt Hải, Tạp chí THTT Trong chữ biểu thị số nguyên, không số nguyên ghi riêng Chuyên đề Một số toán chia hết chia có dư I Kiến thức Các dấu hiệu chia hết cho 2, 4, 5, 3, 9, 11, Các tính chất phép chia hết Lưu ý : a) Nếu a b chia hết cho m ( m = 0) a + b a - b chia hết cho n b) Nếu a chia hết cho n b không chia hết cho m (m = 0) a + b a - b không chia hết cho m Các tính chất ước chung lớn (UCLN) bội chung nhỏ (BCNN ) hai số SGK Các tính chất số nguyên tố hợp số SGK Các tính chất số nguyên tố Các đẳng thức đáng nhớ dạng (a + b)2 , (a − b)2 , Sự chia hết đa thức Điều kiện có nghiệm nguyên tam thức bậc hai Sự chia hết tích số nguyên liên tiếp II Các toán chia hết chia có dư A Các tốn chia hết B Các toán chia có dư Chun đề Một số tốn số phương số lũy thừa I.Tính chất số phương II Một số dạng tốn số phương số lũy thừa A Bài tốn chứng minh số khơng số phương B Bài tốn chứng minh số số phương C Bài toán xác định giá trị biến để biểu thức số số phương Chuyên đề Một số tốn dãy số A Tính chất phép chia số nguyên tố B Phương pháp phản chứng C Nguyên tắc Dirichlet Số học D Phương pháp cực hạn E.Bài toán chọn số dãy số Bài toán 3.7 a) Chứng minh 100 số nguyên dương chọn hay nhiều số mà tổng chúng chia hết cho 100 b) Chứng minh 100 số nguyên dương chọn hay nhiều số mà tổng bình phương chúng chia hết cho 100 Bài toán 3.8 a) Trong 2n số nguyên từ đến 2n chọn n + số Chứng minh số chọn có số tổng hai số chọn ( hai số khác nhau) 57 b) Có thể lấy nhiều số 2n số nguyên dương để số chọn khơng tổng của hai số chọn ( hai số khác ) C.Bài tốn tìm cực trị biểu thức chứa số thuộc dãy số 58 Một số toán xây dựng từ công thức Taylor Đào Xuân Luyện, THPT Chun Lê Q Đơn, Bình Định Trong q trình giảng dạy, ta thường gặp số toán phương trình, bất đẳng thức mà vế hàm siêu việt hàm lượng giác, hàm mũ, hay hàm lơgarit vế cịn lại đa thức Câu hỏi đặt lại có mối quan hệ “ở đâu” người ta lại có bất đẳng thức đẹp đến Trong viết “ Một số tốn xây dựng từ cơng thức Taylor” tác giả làm rõ phần câu hỏi 59 Một số phương pháp giải phương trình hàm bậc THCS Lê Thị Thanh Bình, THCS Bình Minh, TP Hải Dương Hàm số khái niệm khó học sinh THCS thời lượng dành cho nội dung chương trình hạn chế (28 tiết học chia lớp lớp 9) Vì vậy, dạy cho học trò nắm khái niệm khảo sát số tính chất hàm đơn giản cơng việc khơng dễ Càng khó phải giải toán ngược: xác định hàm số từ vài tính chất cho trước Chun đề sau cung cấp số phương pháp đơn giản để tìm hàm số khn khổ chương trình Tốn bậc trung học sở Tìm hàm số thoả mãn số điều kiện gọi giải phương trình hàm Trong trình bày chi tiết phương pháp giải phương trình hàm bậc THCS: Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp đưa giải hệ phương trình Phương pháp sử dụng tính chất đa thức Phương pháp đồng hệ số Phương pháp xét giá trị đặc biệt biến số Giải số dạng tập khác thơng qua giải phương trình hàm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Mậu Đa thức áp dụng, NXBGDVN 2008 [2] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ - NXBGDVN [3] Tuyển chọn đề thi tuyển sinh 60 Chuyên đề cho Đại số 9: Phần nguyên ứng dụng Phạm Thị Bạch Ngọc, Tạp chí TH TT Trong xét tính chất phần nguyên toán liên quan Tiếp theo xét số ứng dụng chứng minh số tốn số học, giải phương trình có chứa dấu phần nguyên khảo sát bất phương trình chứa phần nguyên 61