d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O). Hai ôtô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên xe đến B tr[r]
(1)1
Câu 1:(2,0 điểm)
1 Giải phơng trình: x2 7x + = 0
2 Giải hệ phơng trình sau:
x y 4
2x y 6
3 Cho phơng trình ẩn x sau: x2 6x + m +1 = 0
a) Giải phơng trình m = 7.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn:
2
1
x x 26.
C©u 2:(1,5 ®iĨm)
Rót gän c¸c biĨu thøc sau: 1
1
A
5
2
B 2008 2009
C©u 3:(2,0 ®iĨm)
Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 300m Tính diện tích của ruộng, biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng gấp lần chu vi tha rung khụng thay i.
Câu 4:(3,0 điểm)
Cho đờng trịn tâm O bán kính R đờng thẳng d cố định không giao Từ điểm M thuộc d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (O; R) (A, B tiếp điểm).
1.C/m: tứ giác OAMB nọi tiếp
1 Gäi I giao điểm MO cung nhỏ AB
đờng tròn Chứng minh I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MAB.
2 Cho biết MA = R 3, tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA, MB cung nhỏ AB đờng trịn (O; R).
C©u 5:(1,5 ®iĨm)
3 Tìm a N để phơng trình x2 – a2x + a + = có nghiệm
nguyªn. Đê:3
Câu 1: ( điểm )
ĐỀ 3: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x2 + 3x – = (1)
Đê: 2
Câu (2,5 điểm):
1 Giải phương trình: 4x2 - 3x + -1=0 2 Thực phép tính:A 12 3 48
3 Giải hệ phương trình sau:
1 1 1 x y 3 4
5 x y
Câu (2,0 điểm):
Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – = (1),
trong m tham số.
1 Giải phương trình (1) m = 2.
2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả
mãn: 4x12 + 4 2
x + 2x
1x2 = 1 Câu (1,5 điểm):
Một người xe đạp từ A đến B cách 36 km Khi đi từ B trở A, người tăng vận tốc thêm km/h, vậy thời gian thời gian 36 phút Tính vận tốc của người xe đạp từ A đến B
Câu (2,5 điểm):
Cho đường trịn tâm O, bán kính R Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O;R) A Trên đường thẳng d lấy điểm H cho AH < R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng d, cắt (O;R) hai điểm E B (E nằm giữa H B).
1 Chứng minh góc ABE góc EAH.
2 Trên dường thẳng d lấy điểm C cho H trung điểm của đoạn AC Đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh rằng tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn.
(2)b)
2x y 1 (a) 3x 4y 1 (b)
(2)
Câu 2: ( điểm )
Thu gọn biểu thức sau: a) A = 7 3 7 3
b) B =
2 1
:
a b ab
a b a b
víi a, b 0 vµ a ≠ b
Câu 3: ( điểm ) Cho phương trình bậc hai, ẩn số x: x2 - 4x + m + = 0 1 Giải phương trình m = 3
2 Với giá trị m phương trình có nghiệm.
3 Tìm giá trị m cho phương trình cho có nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 10
Bài 4: ( điểm )
Một đội cơng nhân hồn thành cơng việc, cơng việc đợc định mức 420 ngày cơng thợ Hãy tính số cơng nhân đội, biết đội tăng thêm ngời số ngày để hồn thành cơng việc giảm ngày, giả thiết suất công nhân nh nhau.
Câu 5: ( 2,5 điểm )Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD không qua tâm O hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), đây A, B tiếp điểm C nằm M, D.a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
b) Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm M, A, O, I , B nằm đường tròn.
c) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB phân giác góc CHD.
d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) Chứng minh A, B,
ĐỀ 5
Câu 1: Rút gọn biểu thức sau:
ĐỀ :
ĐỀ 6Câu 1. ( điểm )
Giải phương trình sau: a) 2x – = 0.
b) x2 – 4x –
Câu 2. ( điểm )
a) Cho phương trình x2 – 2x – = có hai nghiệm x 1 và x2 Tính giá trị biểu thức
S = xx12 + xx21 .
b) Rút gọn biểu thức: A = ( 1
√a−3) + ( 1
√a+3) (1− 3
√a) với a >
và a .
Câu 3. ( điểm )
a) Xác định hệ số m n, biết hệ phương trình ¿
mx− y=n nx+my=1
¿{
¿ Có nghiệm (−1,√3)
b) Khoảng cách hai tỉnh A B 108 km Hai ôtô cùng khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai km nên xe đến B trước xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe.
Câu 4. ( điểm )
Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường trịn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M trung điểm AC, I trung điểm của OD.
a) Chứng ning OM // DC.
b) Chứng minh tam giác ICM cân.
c) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN
Câu 5. ( điểm )
(3)a) A =
3 3 3 3
2 2
3 1 3 1
b) B =
b a
- a b - b a a - ab ab - b
( với a > 0, b > 0, a
b)
Câu 2: a) Giải hệ phương trình:
x - y = - 1
2 3
+ = 2
x y
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – x – = 0.
Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22. Câu 3:
1) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2;
1
2 ) song
song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a v b.
2) : Cho phơng trình : x2 – 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m lµ
tham sè.
a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm này ba lần nghiệm kia.
Câu 4) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích bằng 40 cm2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích
tăng thêm 48 cm2.
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh
AC (M khác A C ) Đường trịn đường kính MC cắt BC N và cắt tia BM I Chứng minh rằng:
a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn. b) NM tia phân giác góc ANI .
c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2. ĐỀ 7
Bµi (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau :
Đề 6
Bài 1: (3.00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
1 Rút gọn biểu thức : A = 5 20 3 45 2 Giải hệ phương trình :
5 3
x y x y
3 Giải phương trình : x4 – 5x2 + = 0 Bài 2: (1.00 điểm)
Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m : x2 – 2(m + 1)x + m2 – =
0 Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa
mãn điều kiện :x1 + x2 + x1.x2 = 1 Bài 3: (2.00 điểm)
Cho hàm số : y = mx – m + 2, có đồ thị đường thẳng (dm).
1 Khi m = 1, vẽ đường thẳng (d1)
2 Tìm tọa độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) qua với
mọi giá trị m.
Tính khoảng cách lớn từ điểm M(6, 1) đến đường thẳng (dm) m thay đổi.
Câu 4: : (1,0 ®iÓm)
Một đội xe cần chở 480 hàng Khi khởi hành đội đợc điều thêm xe nên xe chở dự định Hỏi lúc đầu đội xe có chiếc? Biết xe chở nh nhau
Câu 5: Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác nhau đường trịn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự E F.
a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật. b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE
(4)a) 2 3 27 300
b)
1 1 1
:
1 ( 1)
x x x x x
Bài (1,5 điểm)
a) Giải phơng trình: x2 + 3x = 0
b) Giải hệ phơng trình: 3x 2y = 4 2x + y = 5 Bµi (1,5 điểm)
Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + víi m lµ tham sè vµ m #
1 2 H·y
xác định m trờng hơp sau :
a) Đồ thị hàm số qua điểm M ( -1;1 )
b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt A , B cho tam giác OAB cân.
c) Tỡm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y= 3x + 2
Bài 4 (2,0 điểm): Giải toán sau cách lập phơng trình hệ phơng tr×nh:
Một ca nơ chuyển động xi dịng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngợc dòng từ B A hết tổng thời gian Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 Km vận tốc dòng nớc Km/h Tính vận tốc thực ca nô (( Vận tốc ca nô nớc ng yờn )
Bài (3,0 điểm)
Cho điểm M nằm ngồi đờng trịn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn (O;R) ( A; B hai tiếp điểm).
a) Chøng minh MAOB tứ giác nội tiếp.
b) Tớnh diện tích tam giác AMB cho OM = 5cm R = cm. c) Kẻ tia Mx nằm góc AMO cắt đờng trịn (O;R) hai im
C D ( C nằm M D ) Gọi E giao điểm AB và OM Chứng minh EA tia phân giác cña gãc CED.
Đề 1
ĐỀ 9Bài 1: Cho biểu thức K = BMN MAB a Rút gọn biểu thức K
ĐỀ 8
Bài 1 ( điểm )
a) thực phép tính: 2 9 36 b/ Giải phương trình: 2x2 – 3x – = 0
c/ Giải hệ phương trình:
¿ 2x+3y=5 3x −2y=1
¿{
¿ Bài 2 ( điểm)
Cho hàm số y = 32x2 có đồ thị parabol (P) hàm số y = x + m có đồ thị đường thẳng (D)
a/ Vẽ parabol (P)
b/ Tìm giá trị m để (D) cắt (P) hai điểm phân biệt. Bài 3 (2,5 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức : M = (3+√x)
2
−(2−√x)2
1+2√x ( x 0)
b/ Tìm giá trị k để phương trình x2 – (5 + k)x + k = có
hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 18 Bài 4 ( điểm)
Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể Nếu để riêng vòi thứ chảy giờ, sau đóng lại mở vịi thứ hai chảy tiếp 2/5 bể Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu?
Bài5 Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Ax, By là tia vng góc với AB ( Ax, By nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB) Qua điểm M thay đổi trên nửa đường tròn ( M khác A, B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn lần lượt cắt Ax, By C D.
a/ Chứng minh tứ giác ACMO nội tiếp. b/ Chứng minh OC vuông góc với OD và 1
OC2+ 1 OD2=
1
R2
(5)b Tính giá trị K a 32 2
c Tìm giá trị a cho K < 0 1 GiảI hệ phơng trình
2 3 4
3 3 1
x y
x y
Giải phơng trình: a) x2 – 8x + = 0
b) 16x + 16 9x + 9 4x + 16 - x + 1
Bài 2: Cho phương trình: x2 - 2(m-3)x - 2(m-1) = (1)
a)Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m; b)Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1).Tìm giá trị nhỏ x12 + x22. Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian nhất định Do áp dụng kĩ thuật nên tổ I vượt mức 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch?
Bài 4: Cho tam giác ABC có góc nhọn, A = 450 Vẽ đường cao BD
và CE tam giác ABC Gọi H giao điểm BD CE.
a Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn. b Chứng minh: HD = DC
c Tính tỉ số: BC
DE
d Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh OA vng góc với DE.
Bài 5: Cho a, b số thực dương
Chứng minh rằng: 2 2a b 2b a b
a b
a
ĐỀ 11
Bài 1: Cho A = ( a+√a √a+1+1¿.(
a −√a
√a −1−1) Với a ≥0
ĐỀ 10
Bài 1: a) Rút gọn biểu thức: A =
2( x 2) x
x x
với x x 4.
Bài 2: Cho hệ phương trình:
335
y x
1 y -mx
a) Giải hệ phương trình cho m = 1.
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình vơ nghiệm.
Bài 3: Cho parabol (P) : y = – x2 đường thẳng (d) có hệ số góc m đi
qua điểm M(– ; – 2)
a) Chứng minh với giá trị m (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.
b) Xác định m để A, B nằm hai phía trục tung.
Bài 4: Cho phơng trình x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + = (víi x lµ Èn sè, m lµ tham sè )
1Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
2.Đặt A = x1.x2 2(x1 + x2) với x1, x2 hai nghiệm phân biệt của phơng trình Chứng minh : A = m2 + 8m + 7
Bài 5:
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A
và O cho AI = 3 2
AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN E.
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM AM2 = AE.AC
c) Chứng minh: AE.AC – AI.IB = AI2 Câu 5
Cho b,c hai số thoả mãn hệ thức:
1 1 1 2
b c
(6)a) Rút gọn A
b) Với a ≥0 Tìm a cho A = - a2 Đs a = √5−1
2 Bài 2:
a Giải phương trình: x4 + 24x2 – 25=0
b Giải hệ phương trình:
34
2
y x
y x
Bài 3: Cho phương trình: x2 - 2mx + (m -1)3 = với x ẩn số, m tham số(1)
a Giải phương trình (1) m = -1
b Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, đó một nghiệm bình phương nghiệm cịn lại.
Bài 4: 1) Cho parabol (P): y =2x2 đường thẳng (d): 2x + y - = 0 a) Vẽ (P)
b) Tỡm tọa độ giao điểm A, B (P) (d) đồ thị phộp tớnh c) Tỡm m để đường thẳng y= (m-1)x +2 song song với đường thẳng d. 2) Một ngời đự định xe đạp từ A đến B cách 20 km thời gian đã định Sau đợc với vận tốc dự định, đờng khó nên ngời đó giảm vận tốc 2km/h qng đờng cịn lại, ngời đến B chậm hơn dự định 15 phút Tính vận tốc dự định ngời xe đạp.
Bài 5: Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax By E F.
a Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp
b AM cắt OE P, BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình gì? Tại sao? c Kẻ MH vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi K giao điểm MH và EB So sánh MK với KH.
Bµi Giải phương trình x2 + x + 12 √x+1 = 36
ĐỀ 13 Bài 1
1.Thực phép tính : A =3 - 9.2
x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) ĐỀ: 12
Baøi 1: (2,0 điểm)
3x y = a) Giải hệ phương trình
2x + y =
ĐSx ; y ; 2
b) Giải phương trình: ) 4x4 - 7x2 - =
c) Cho biÓu thøc A =
x x 1 x 1
x 1 x 1
.
Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A
Bài 2: (2,0 điểm)
1)Cho hàm số y = ax + b Tìm a b biết đồ thị củahàm số đã cho song song với đường thẳng y 2x qua điểm M ;
2
Cho phương trình x m x m ( với m tham so )
.a) Giải phương trình cho m 5.
b) Chứng tỏ phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị tham số m.
c) Tìm m để phương trình cho có nghiệm x1, x2 thõa mãn hệ thức x x 3x x12 22 20 m = 0, -9/4
Bài 3: (2,0 điểm)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 6m bình phương số đo độ dài đường chéo gấp lần số đo chu vi Tính diện tích mảnh đất hình chữ nhật cho ĐS (6.12)
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O BC dây cung không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm M cho M không trùng với B Đường thẳng đi qua M cắt đường tròn (O) cho N P (N nằm M P) sao cho O nằm bên PMC Gọi A điểm cung nhỏ NP Các dây AB AC cắt NP D E
a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. b) Chứng tỏ MB.MC = MN.MP
(7)2 Cho biểu thức P =
a + a a - a
+1 -1
a +1 a -1
với a 0; a 1 .
a) Chứng minh P = a -1.
b) Tính giá trị P a = + 3. Bài (2,5 điểm).
1 Giải phương trình x2- 5x + =
2 Tìm m để phương trình x2- 5x - m + = có hai nghiệm x
1; x2 thỏa
mãn hệ thức x12x22 13.
3 Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) đường thẳng (d) : y= - + 2x a) Vẽ (P) (d) hệ trục tọa độ.
b) Bằng phép tính tìm tọa độ giao điểm (P) (d). Bài (1,5 điểm).
Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sẽ đầy bể Nếu vòi thứ chảy vòi thứ hai chảy thì được
2
3bể nước.
Hỏi vịi chảy đầy bể ? Bài (3,5điểm).
Cho đường tròn (O; R) điểm S nằm bên ngồi đường trịn Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B tiếp điểm) Một đường thẳng đi qua S (không qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) hai điểm M N với M nằm S N Gọi H giao điểm SO AB; I trung điểm MN Hai đường thẳng OI AB cắt E.
a) Chứng minh IHSE tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh OI.OE = R2.
c) Cho SO = 2R MN = R 3 Tính diện tích tam giác ESM theo R. Bài (1,0 điểm).
Giải phương trình 2010 -x+ x- 2008=x2- 4018 + 4036083x
ĐỀ 15 ,5 điểm)
Khơng dùng máy tính, rút gọn, tính giá trị biểu thức sau:
Bài 5:
2
x 2x 2011 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =
x
(với
x 0 )
ĐỀ 14
Bài (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A ( 20 45 5) 5 b) Tính B ( 1)
Bài (2,0 điểm)
a) Giải phương trình x4 13x2 30 0
b) Giải hệ phương trình
3 1 7 x y 2 1
8 x y
Bài (2,5 điểm)
Cho hai hàm số y = 2x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (d).
a) Vẽ đồ thị (P) (d) mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Gọi A giao điểm hai đồ thị (P) (d) có hồnh độ âm. Viết phương trình đường thẳng () qua A có hệ số góc bằng
- 1.
c) Đường thẳng () cắt trục tung C, cắt trục hoành D.
Đường thẳng (d) cắt trục hồnh B Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABC tam giác ABD.
Bài 4)
Bài (3,5 điểm)
Cho hai đường trịn (C) tâm O, bán kính R đường trịn (C') tâm O', bán kính R' (R > R') cắt hai điểm A B Vẽ tiếp tuyến chung MN hai đường tròn (M (C), N (C')) Đường
thẳng AB cắt MN I (B nằm A I). a) Chứng minh BMN MAB
b) Chứng minh IN2 = IA.IB
(8)1) A =
14 7 15 5 1
:
2 1 3 1 7 5
2) B =
2 1
x x x
x x x
x0;x1 Bài 2 (1,5 điểm)
1) Cho hai đường thẳng d1: y = (m+1)x + ; d2: y = 2x + n Với giá trị
của m, n
thì d1 trùng với d2 ?
2) Trên mặt phẳng tọa độ, cho hai đồ thị (P): y =
2
3
x
; d: y = – x Tìm tọa độ
giao điểm (P) (d) phép toán
Bài 3 (2 điểm)
Cho phương trình: x2 + 2(m + 3)x + m2 + = (m tham số)
1) Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hãy tính nghiệm kép 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 – x2 = Bài 4 (1,5 điểm)
Giải phương trình sau: 1)
1 3
2 2 6
x x
2) x4 + 3x2 – = 0 Bài 5 (3,5điểm)
Cho đường trịn (O;R) đường kính AB dây CD vng góc với ( CA < CB)
Hai tia BC DA cắt E Từ E kẻ EH vng góc với AB H; EH cắt CA
F Chứng minh rằng:
1) Tứ giác CDFE nội tiếp mốt đường tròn 2) Ba điểm B , D , F thẳng hàng
3) HC tiếp tuyến đường tròn (O)
-hết -Bài 5Ta cã x2 + x + 12 √x+1 = 36 ⇔ (x2 + 2x + 1) – (x+1 - 12 √x+1 + 36) = 0 ⇔ (x + 1)2 – (
√x+1 - 6)2 =
Bai 1)
1)Tính: a)3 25 b) √4+2√3+√4−2√3
2) Rút gọn biểu thức :M = ( 1− a√a
1−√a +√a¿.
1
1+√a Với vàa
1
3) Giải hệ phương trình:
x 2y 0 2x y 5
ì - = ïï
íï + = ïỵ
Bài 2(2,0 điểm)
1)Cho phương trình : x2 + nx – = (1) (với n tham số)
a) Giải phương trình (1) n = 3
b) Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình (1),tìm n
để :x1(x22 +1 ) + x2( x12 + ) > 6
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 điểm
B(0;1)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm B(0;1)và có hệ số k. b)Chứng minh đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt E F với k.
3) Tìm giá trị m để hai đờng thẳng
2 4 2 2
y m x m
vµ y5x m 1 song song víi nhau
Bài 3) Một câu lạc có 300 chỗ ngồi buổi sinh hoạt đồn có tới 352 đồn viên tham dự nên dãy xếp thêm ghế thêm dãy mới đủ hỏi lúc đầu có dãy ,mỗi dãy có my gh.
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho đường trũn (O; R), đường kớnh AB cố định, đường kớnh CD di động (hai đờng thẳng AB CD không trùng nhau) Tiếp tuyến của
(O) B cắt đường thẳng AC AD E F a) Chứng minh BE BF 4R2.
(9)⇔ (x + - √x+1 + )( x + + √x+1 - ) = a) Trường hợp : x + - √x+1 + = (a)
Đặt t = √x+1 ( điều kiện t ) , phương trình (a) trở thành t2 – t + = ( vô nghiệm)
b) Trường hợp : x + + √x+1 - = (b)
Đặt t = √x+1 ( điều kiện t ) , phương trình (b) trở thành t2 + t - = ⇔ t = - (loại) t = (thoả mãn)
t = => √x+1 = ⇔ x + = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = 3
c) Gọi I trung điểm EF K giao điểm AI CD. Chứng minh CD di động K chạy đường cố định.
Bài 5)Chøng minh r»ng: √2+√6+√12+√20+√30+√42 < 24
Câu 5: (1đ)
.
1 1 1 2
b c => 2(b+c)=bc(1)
x2+bx+c=0 (1) Có
1=b2-4c x2+cx+b=0 (2) Có 2=c2-4b
Cộng 1+2= b2-4c+ c2-4b = b2+ c2-4(b+c)= b2+ c2-2.2(b+c)= b2+ c2
-2bc=(b-c) 0.
(thay2(b+c)=bc )Vậy 1;2có biểu thức dương hay
1 hai phương trình x2+bx+c=0 (1) ; x2+cx+b=0 (2) phải có
nghiệm:
ĐỀ2
Cau 2: <=> 4m2 - 7m + =
(10)P N
d I
O
M H
B
A
N K
C B
E O
A H
ĐỀ1
b) 2009 2008
Bài 3: Diện tích khu vườn: 5400 m2
Bài 4:b) SAOBM = 3 R2
2
Q AOB
R S
3
;S =
2
3 3 R 3
c) Kẻ OH d, gọi giao điểm AB OH N, giao điểm AB và
OM P.
Tứ giác HMPN nội tiếp nên ON.OH = OP.OM = R2
Do N điểm cố định mà AB qua.
Bài 5:Tương tự suy điều phải chứng minh. Câu 5: 3) Ta có:
Để phương trình có nghiệm ngun delta phải là số phương.
Đặt: với k là số nguyên Kết hợp với điều kiện a là số tự nhiên ta có:
Kiểm tra với a= ta có delta bằng (thỏa mãn) * Với a > 2
Xét hiệu:
Vậy với m = m = 3/4 phương trình (1) có hai nghiệm x1;
x2 thoả mãn: 4x12 + 4x22 + x1x2 =
Câu 4:
1 Chứng minh: ∠ ABE = ∠ EAH
∠ ABE góc nội tiếp chắn cung AE
∠ EAH góc tạo tia tiếp tuyến AH dây cung AE => ∠ ABE = ∠ EAH
( Hệ góc tạo tia tiếp tuyến dây cung)
2 Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp
+ BH vng góc với AC H
=> ∠ BHC = 900 + H trung điểm AC (gt)
+ EH AC H (BH AC H; E BH)
=> Δ AEC cân E => ∠ EAH = ∠ ECH( t/c tam giác cân)
+ ∠ ABE = ∠ EAH ( cm câu a)=> ∠ ABE = ∠ ECH ( = ∠ EAH)
=> ∠ KBE = ∠ KCH=> Tứ giác KBCH nội tiếp
=> ∠ BKC = ∠ BHC = 900 => ∠ AKE = 900 (1)( Kề bù với
∠ BKC = 900)
Mà ∠ EHA = 900 (2) ( EH AC H)
Từ (1) (2) => ∠ AKE + ∠ EHA = 1800 => Tứ giác AHEK nội
tiếp
3 Xác định vị trí điểm H đường thẳng (d) cho AB = R √3
+ Kẻ ON vng góc với AB N
=> N trung điểm AB( Quan hệ vng góc đường kính dây cung)
=> AN = R√3
2
Ta có tam giác ONA vng N theo cách dựng điểm N => tag ∠ NOA = AN : AO = √3
2
=> ∠ NOA = 600 => ∠ OAN = ∠ ONA - ∠ NOA = 300
+ ∠ OAH = 900 ( AH tiếp tuyến (O) tiếp điểm A)
=> ∠ BAH = 600
+ chứng minh : Δ BAC cân B có ∠ BAH = 600 => tam giác ABC
đều
=> AH = AC/2 = AC/2 = R√3
2 => H giao điểm (A;
R√3 2 )
đường thẳng (d)
(11)O M
D C
A
B I
H K
Suy ra: Mặt khác
ĐỀ ai tam giác MAC MDA có: – M chung– MAC = MDA (=
»
đAC
1 s
2 ).
Suy MAC đồng dạng với \ưMDA (g – g)
MA MC
MD MA MA2 = MC.MD. b) * MA, MB tiếp tuyến (O) nên
MAO = MBO = 900.
* I trung điểm dây CD nên MIO = 900.
Do đó: MAO = MBO = MIO = 900
điểm M, A, O, I, B thuộc đường tròn đường kính MO.
c) Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R(O) Do
đó MO trung trực AB MO AB.
Trong MAO vng A có AH đường cao MA2 = MH.MO Mà MA2 =
MC.MD (do a)) MC.MD = MH.MO
MH MC MD MO (1). Xét MHC MDO có:
M chung, kết hợp với (1) ta suy MHC MDO đồng dạng (c–g –
c) MHC = MDO Tứ giác OHCD nội tiếp.
Ta có: + OCD cân O OCD = MDO
+ OCD = OHD (do OHCD nội tiếp) Do MDO = OHD
mà MDO = MHC (cmt) MHC = OHD
900 – MHC = 900 – OHD CHA = DHA HA phân giác CHD hay AB phân giác CHD.
d) Tứ giác OCKD nội tiếp(vì OCK = ODK = 900) OKC = ODC = MDO mà MDO = MHC (cmt) OKC = MHC OKCH nội tiếp
KHO = KCO = 900.
KH MO H mà AB MO H
y
Gọi A’ điểm đối xứng với A qua trục Ox
=> A’ (−1;−2) AC = A’C B
Do AB không đổi nên AB + AC + BC nhỏ <=> A AC + BC nhỏ
Ta có AC + BC = A’C = CB A’B C x
Đẳng thức xẩy A’, C, B thẳng hàng, tức C Là giao điểm A”b với trục Ox A’ A’ (−1;−2), B(2;3) => pt đường thẳng A’B: y = 5
3x − 1 3
Đường thẳng A’B cắt trục Ox C ( 1
5;0 ) => m = 1 5
Câu 4. A B
a) MA = MC => OM AC Góc ACM = 900 => DC AC
OM không trùng DC => OM // DC
b) Gọi K trung điểm MC => IK đường trung bình hình thang OMCD => IK // OM => IK MC
=> ΔIMC cân I
c) Ta có: góc IMC = góc ICM, góc ICM = góc IBA => góc IMC = góc IBA Suy tam giác AMI đồng dạng với tam giác MNI
Suy MI2 = IA.IN, mà IC = IM nên IC2 = IA.IN
O M
N K
(12) HK trùng AB K, A, B thẳng hàng.
ĐÊ:5
Câu 1: a) 1;’ b = b-a
Câu 2: a) Đk: x 0 y 0. (*)Vậy hệ cho có hai nghiệm: (2; 3)
1 ; 2 .
b) Phương trình x2 – x – = có hệ số a, c trái dấu nên có hai nghiệm phân biệt x 1; x2
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = x1x2 = -
Do đó: P = x12 + x22= (x1 + x2)2 – 2x1x2 = + =
Câu 3: Viết đ thẳng 2x + y = dạng y = - 2x + Từ (1) (2) suy a = - b =
9 2.
2/ Phơng trình (1) có nghiệm 0. m
b/ Gäi mét nghiÖm (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta cã:
2
3 2
.3
a a m
a a m
a=
1 m 3( m
)2 = m2 – 3 m2 + 6m – 15 = 0 m = –32 6 ( tmđk).
Câu4) Gọi kích thước hình chữ nhật x (cm) y (cm) ( x; y > 0) Theo ta có hệ phương trình:
xy = 40 xy = 40 x + y + xy + 48 x + y = 13
.
Suy x, y hai nghiệm phương trình: t2 – 13t + 40 = (1)
Vậy kích thước hình chữ nhật cm cm Câu 4:
a) Ta có:
MAB 90 (gt)(1).MNC 90 0(góc nội tiếp
chắn nửa đường trịn) MNB 90 (2) Từ (1) (2) suy ABNM tứ giác nội tiếp Tương tự, tứ giác ABCI có: BAC BIC 90
ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn. I
N
M C B
A
ĐỀ6
Bài 3: 2) Ta có: y = mx – m + (dm) (x-1) m = y – m x y x y
Vậy điểm cố định mà (dm) qua C(1; 2)
Ta dễ dàng chứng minh khoảng cách từ M(6;1) đến (dm) lớn độ dài đoạn thẳng CM.Ta có: CM =
2
(6 1) (1 2) = 26
Câu 4:
a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường, suy ACBD hình chữ nhật
b) Tứ giác ACBD hình chữ nhật suy ra:
F E O D C B A
CAD BCE 90 (1) Lại có
1
CBE 2
sđBC (góc tạo tiếp tuyến dây cung);
1
ACD 2
sđAD (góc nội tiếp), mà BC AD (do BC = AD)
CBE ACD
(2) Từ (1) (2) suy ∆ACD ~ ∆CBE
c) Vì ACBD hình chữ nhật nên CB song song với AF, suy ra: CBE DFE (3) Từ (2) (3) suy ACD DFE tứ giácCDFE nội tiếp đường tròn d) Do CB // AF nên ∆CBE ~ ∆AFE, suy ra:
2
2
S EB S EF
1 S EB
S EF
Tương tự ta có
2 S BF
S EF Từ suy ra:
S S
S S S1 S2 S.
Câu 5: Đk: x3 + 0 x -1 (1).
Đặt: a = x + 1; b = x - x + 12 ,( a0; b>0) (2) a2 + b2 = x2 +
Khi phương trình cho trở thành: 10.ab = 3.(a2 + b2) a - 3b 3a - b
a = 3b b = 3a
+) Nếu a = 3b từ (2) suy ra: x + = x - x + 12 9x2 – 10x + = (vô
(13)b) Tứ giác ABNM nội tiếp suy MNA MBA (góc nội tiếp chắn cung AM) (3) Tứ giác MNCI nội tiếp suy MNI MCI (góc nội tiếp chắn cung MI) (4) Tứ giác ABCI nội tiếp suy MBA MCI (góc nội tiếp chắn cung AI) (5) Từ (3),(4),(5) suy MNI MNA NM tia phân giác ANI
c) ∆BNM ∆BIC có chung góc B BNM BIC 90 0 ∆BNM ~ ∆BIC (g.g)
BN BI BM BC
BM.BI = BN BC Tương tự ta có: CM.CA = CN.CB
Suy ra: BM.BI + CM.CA = BC2 (6).Áp dụng định lí Pitago cho tam giác ABC vng A ta
có: BC2 = AB2 + AC2 (7).Từ (6) (7) suy điều phải chứng minh.
ĐỀ 7 B
µi : a) VËy với m = Thì ĐT HS : y = (2m – 1)x + m + ®i qua ®iĨm M ( -1; 1)
Tam giác OAB cân => OA = OB <=> m1 =
1 2 1
m m
Gi¶i PT ta cã : m = ; m = -1 Bài 4: Gọi vận tốc thực ca nô lµ x ( km/h) ( x>5)
Theo bµi ta cã PT:
60
x +
60
x = 5
VËy v©n tèc thùc cđa ca nô 25 km/h
Bài 5: áp dụng ĐL Pi ta go vào MAO vuông A có: MO2 = MA2 + AO2
MA2 = MO2 – AO2 = 52 – 32 = 16 => MA = ( cm)
Vì MA;MB tiÕp tuyÕn c¾t => MA = MB => MAB cân A
MO l phõn giỏc ( T/C tiếp tuyến) = > MO đờng trung trực => MO AB Xét AMO vng A có MO AB ta có:
AO2 = MO EO ( HTL trongvu«ng) => EO = AO
MO =
9
5(cm) => ME = - 9 5 =
16 5 (cm)
áp dụng ĐL Pi ta go vào tam giác AEO vuông E ta có:AO2 = AE2 +EO2
AE2 = AO2 – EO2 = -
81 25 =
144 25 =
12
5 AE =
12
5 ( cm) => AB = 2AE (v× AE = BE MO lµ
đờng trung trực AB)AB =
24
5 (cm) => SMAB = 1
2ME AB = 1 16 242 5 = 192
25 (cm2)
c) Xét AMO vuông A có MO AB áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vuông AMO
x + x2 10x – = Phương trình có hai nghiệm x
1 = 5 33; x2 =
5 33 (thỏa mãn (1)).
ĐỀ 8
Bài 4:
a Xét tứ giác ACMO có
900
CAO CMO
=> Tứ giác ACMO nội tiếp.
b Vì AC CM tiếp tuyến (O) =>OC tia phân giác góc AOM (t/c)
Tương tự DM BD tiếp tuyến (O) => OD tia phân giác góc BOM (t/c)
Mặt khác AOM kề bù với BOM => CO OD.
* Ta có COD vuông O OM đường cao => theo hệ thức
lượng tam giác vuông ta 2 2
1 1 1 1
OC OD OM R
c Vì Ax, By, CD tiếp tuyến cắt C D nên ta có CA = CM , MD = DB
=> AC + BD = CM + MD = CD Để AC + BD nhỏ CD nhỏ nhất.
Mà C, D thuộc hai đường thẳng // => CD nhỏ CD Ax
By => M điểm cung AB. Bài 5:
Vì a+b, 2a Z => 2(a+b) – 2a Z => 2b Z
Do x Z nên ta có hai trường hợp:
* Nếu x chẵn => x = 2m (m Z) => y = a.4m2 + 2m.b +2009 =
(2a).2m2 +(2b).m +2009 Z.
* Nếu x lẻ => x = 2n +1 (nZ) => y = a(2n+1)2 + b(2n+1) +2009 =
(2a).(2m2 + 2m) + (2b)m + (a + b) + 2009 Z.
D
C
M
y x
O B
(14)ta cã: MA2 = ME MO (1)
mµ : ADC MAC =
1
2Sđ AC ( góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung
cùng chắn cung)MAC DAM (g.g) =>
MA MD
MCMA => MA2 = MC MD (2)
Tõ (1) vµ (2) => MC MD = ME MO =>
MD ME
MOMC
MCE MDO ( c.g.c) ( M chung;
MD ME
MOMC ) => MEC MDO ( gãc tøng) ( 3) T¬ng tù: OAE OMA (g.g) =>
OA OE=
OM OA =>
OA OE=
OM OA =
OD OM
OEOD ( OD = OA = R)
Ta cã: DOE MOD ( c.g.c) ( O chong ;
OD OM
OEOD) => OED ODM
( gãc t øng) (4) Tõ (3) (4) => OED MEC mµ : AEC MEC =900
AED OED =900
=> AECAED => EA phân gi¸c cđa DEC ĐỀ 9Bài giải:
Bài 1: Điều kiện a>0 a 1 K =
( a 1)( a )1
2 a : )1 a ( a 1 a a
= = a
1 a )1 a ( )1 a ( a a
b a 3 2 2 1( )2 a 1 2
K = 2
) ( 2 1 2
c K <
0 a a a a a 0 a a
Bài 2: a) '= m2 - 4m + = (m-2)2 + > : P trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m.
b) Áp dụng hệ thức Viet: x1+x2 = m - x1x2 = - 2(m - 1)
Ta có: x12 + x22 = (x1+ x2)2 - x1x2 = 4(m - 3)2 + 4(m - 1) = 4m2 - 20m + 3=(2m - 5)2 +
Đẳng thức xảy 2m – = 0 m = 2,Vậy giá trị nhỏ x12 + x22 m = 2,5
Bài 3: Gọi x, y số sản phẩm tổ I, II theo kế hoạch (điều kiện x, y N*; x, y < 600).
Theo giả thiết ta có phương trình x + y = 600
Do x y thỏa mãn hệ phương trình: 120 y 100 21 x 100 18 600 y x
Vậy y = ax2 + bx +2009 nhận giá trị nguyên với đk đầu bài.
ĐỀ 10Giải: Bài 1:
a P = x( x 2)
) x ( ) x ( : ) x )( x ( x ) x ( x
= x
x
Điều kiện x > 0; x x 9
b Với x > 0; x x 9; P = –1 khi:
1 x x
hay: 4x + x – = 0.Đặt y = x > ta có: 4y2 + y – = có dạng a – b + c = 0
y = –1 ; y = 4
Vì y > nên nhận y =
nên x =
3
Vậy: P = –1 x = 16
9
Bài 2: a Khi m = ta có hệ phương trình:
335 y x y x
Vậy với m = hệ phương trình cho có nghiệm 2007 y 2008 x
b
1005 x y mx y 335 y x y mx
(*)Hệ pt vô nghiệm (*) vô
nghiệm m =2
3
(vì có –1–1005)
Bài 3:
a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m có dạng y = mx + b (d) qua điểm
(15)Giải x = 200, y = 400( thỏa điều kiện )
Vậy: Số sản phẩm giao tổ I, tổ II theo kế hoạch thứ tự 200 400 sản phẩm
Bài 4: a Ta có ADH = AEH = 900, suy AEH +ADH = 1800
Tứ giác AEHD nội tiếp đường trịn đường kính AH
b AEC vng có EAC= 450 nên ECA = 450, từ HDC vng cân D Vậy DH = DC
c)Ta có BEC = BDC = 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường
kính BC AED = ACB (cùng bù với DEB) suy AED ACB,
đó:
2 AE AE AC AE BC DE
d Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường trịn (O),
ta có BAx = BCA (góc tạo tia tiếp tuyến dây góc nội tiếp chắn cung AB) , mà BCA = AED BAx =AED mà chúng cặp góc so le DE Ax Mặt khác, OA Ax ( Ax tiếp tuyến), Vậy OA ED (đpcm)
Bài 5 :Ta có :
0 a
; b
, với a , b > b b ; a
a b b a
a
a b
2 b
a
Mặt khác a b 0 a b 2 ab 0
2
Nhân vế ta có : 2 ab a b
b a b
a
hay: 2a b 2b a
b a b a Đề 11 Bài 3:
a) Phương trình: x2 - 2mx + (m - 1)3 = với x ẩn số, m tham số.(1)
Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình: – x2 = mx + m –
x2 + mx + m – = (*)
Vì phương trình (*) có m2 4m8(m 2)240 với m nên phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) cắt hai điểm phân biệt A B
b) A B nằm hai phía trục tung
x2 + mx + m – = có hai nghiệm trái dấu x 1x2 <
Áp dụng hệ thức Vi-et: x1x2 = m –
x1x2 < m – < m <
Vây: Để A, B nằm hai phía trục tung m <
Bài 4
2
2
2( 1)
1) ' ( 1) = -2m-2
x m x m m
m m m
Để phương trình có nghiệm phân biệt: ’ > m < -1
2)TheoViet :
1 2
2 2
2( 1)
4 4( 1) = 4 =
S x x m P x x m m
A m m m m m m m m
Bài 5:
a Ta có: EIB = 900 (giả thiết)
ECB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy: tứ giác IECB nội tiếp đường trịn đường kính EB b Ta có:
sđ AM = sđ AN (đường kính MN dây AB)
AME = ACM (góc nội tiếp) Lại có A chung, suy AME ACM
Do đó: AE AM AE.AC AM AM AC
c MI đường cao tam giác vuông MAB nên MI2 = AI.IB
Trừ vế hệ thức câu b với hệ thức Ta có: AE.AC – AI.IB = AM2 – MI2 = AI2
d Từ câu b suy AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác Ta thấy khoảng cách NK nhỏ NK BM.
(16)K E D
A
P
N
M B C
O
Khi m = -1, phương trình cho có dạng x2 + 2x - = 0
'189 ' 3
Phương trình có nghiệm : x1 = -1+3 = 2; x2 = -1-3 = -4
b Phương trình có hai nghiệm phân biệt ' = m2 - (m - 1)3 > (*)
Giả sử phương trình có hai nghiệm u, u2 theo định lí Vi-ét ta có:
) 2 ( ) 1 m ( u
. u
) 1 ( m
2 u u
3
2
Từ (2) ta có u = m - 1, thay vào (1) ta được: (m - 1) + (m - 1)2 = 2m m2 - 3m =
m(m-3) = 0 m = m = 3: Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện
(*), tương ứng với u = -1 u =
Vậy với m 0;3 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm bình phương nghiệm lại
202x2 = -2x + hay: 2x2 +2x – = 0 x2 +x – = có a + b +c = 1+ 1- 2= 0
nên có nghiệm: x1= 1; x2= -2 ; suy ra: y1= 2; y2=
Vậy tọa độ giao điểm (P) (d) A(-2; 8) B(1;2)
c) Hình thang AA’B’B có AA’= 8; BB’=2; đường cao A’H = nên có diện tích:
15
2 3 . 2 8
S
(đơn vị diện tích)
Bài 4:
a Tứ giác AEMO có:
EAO = 900 (AE tiếp tuyến)
EMO = 900 (EM tiếp tuyến)
0
180 EMO
EAO
Vậy: Tứ giác AEMO tứ giác nội tiếp
ĐỀ12
∙ Baøi 4:
a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
Theo tính chất góc có đỉnh bên đường trịn (O),
ta có:
sñAN sñPC AEN
2
sñAP sñPC
= AN AP (gt)
2 sđAPC =
2
= ABC ABC (O) chắn APC
góc nội tiếp
AEN DBC
Maø AEN DEC 180 ø
Neân DBC DEC 180
Tứ giác BDEC nội tiếp ( )
hai góc kề bu
theo định lý đảo tứ giác nội tiếp
(17)b Ta có :
0 90 AMB
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) AM OE (EM EA tiếp tuyến) MPO 900
Tương tự, 90 MQO
Tứ giác MPOQ hình chữ
nhật
c Ta có : MK //BF ( vng góc AB)
EMK EFB BF MK EF
EM
FB F E MK EM
Vì MF = FB (MF FB hai tiếp tuyến) nên: MF
F E MK EM (1) Áp dụng định lí Ta-let ta có:
HB AB MF EF ) EA // KH ( HB AB KB EB ); BF // MK ( KB EB MF EF (2)
Từ (1) (2) có: HB
AB MK
EM
(3)
Mặt khác, EAB KHB (MH//AE) HB
AB HK EA
(4) Từ (3) (4) có: HK
EA MK EM
mà EM = EA (EM EA tiếp tuyến) đó: MK = KH
d Ta có OE phân giác M (EA; EM tiếp tuyến); OF phân giác MÔB (FB; FM tiếp tuyến) mà AÔM MÔB hai góc kề bù nên OEOF
EOF vng (
EOF= 900) OM đường cao OM = R
Gọi độ dài cạnh EOF a, b, c I tâm đường tròn nội tiếp EOF Ta
có: SEOF = SEIF + SOIF + SEIO =
OE r OF r EF r
Xeùt MBP MNC , có: PMC : Góc chung.
MPB MCN hai góc nội tiếp O chắn cung nhoû NB ( )
Suy MBP ∽ MNC (g – g)
MB MP MB.MC = MN.MP MN MC
c) Chứng minh MK2 > MB.MC
* Vì A điểm cung nhỏ NP (gt) suy OA NP K (đường kính đi qua điểm cung vng góc với dây căng cung đoù ) Suy K trung điểm dây NP (đường kính vng góc dây qua trung điểm dây đó)
Suy NP = 2.NK
MB.MC = MN.MP (theo caâu b), suy ra:
MB.MC = MN(MN + NP) = MN(MN + 2.NK) = MN2 + 2.MN.NK (1)
MK2 = (MN + NK)2 = MN2 + 2.MN.NK + NK2 > MN2 + 2.MN.NK ( do NK2 > )
(2)
Từ (1) (2): MK2 > MB.MC
∙
* Cách 1: (Dùng kiến thức đại số lớp 8)
2 2 2
x 2x 2011
A = với x
x
1 1
= 2011 = 2011.t 2t + (với t = 0)
x x x
1 1
= 2011 t t
2011 2011 2011
1 2010 2010
= 2011 t daáu"=" t = x 2011 ; tho
2011 2011 2011 2011
õa x
*
2010
Vaäy MinA = x = 2011. 2011
* Cách 2: (Dùng kiến thức đại số 9)
2 2
x 2x 2011
A = với x
x
A.x x 2x 2011
A x 2x 2011 * coi phương trình ẩn x
2011 Từ (*): A = A = x = (1)
2
Nếu A (*) ln phương trình bậc hai ẩn x.
(18)=2r.EF OF OE
1
= 2r.a b c 1
Mặt khác: SEOF =
EF OM
= 2
1
aR
aR = r(a + b + c)
a b c
a R r (1)
Áp dụng bất đẳng thức EOF ta có: b + c > a a + b + c > 2a
2a
1 c b a
1 a a c b a a
(2)
Mặt khác b < a, c < a a + b+ c < 3a 3a
1 c b a
1 a a c b a a
(3)
Từ (1); (2); (3) ta có:
1 R r
Tóm tắt cách giải Bài 1 : (1,5 điểm)
Bài 1.1 (0,5 điểm)
- = -12 2 = - Bài 1.2 (1,0 điểm)
/
/
2
0
1 2011 A
2010 b 1
A daáu "=" (*) có nghiệm kép x = 2010 2011 ; thõa x (2)
2011 a A 1
2011
So sánh (1) (2) giá trị nhỏ A mà: *
2010
MinA = x = 2011. 2011
ĐỀ 14
BÀI GIẢI
Bài 1: (2 điểm)
a) Rút gọn biểu thức
( 20 45 5) 5
A = (2 5 5) 10
b) Tính B = ( 1) 3 1 31
Bài 2: (2 điểm)
a) Giải phương trình : x4 – 13x2 – 30 = 0 (1)
Đặt u = x2 ≥ , pt (1) thành : u2 – 13u – 30 = (2)
(2) có 169 120 289 17
Do (2)
13 17 2 2
u
(loại) hay
13 17 15 2
u
Do (1) x = 15
b) Giải hệ phương trình :
3
7
2 8
(19)a) Chứng minh P = a - 1: P =
a + a a - a
+1 -1
a +1 a -1
a ( a +1) a ( a -1)
= +1 -1
a +1 a -1
= ( a +1)( a -1) = a -1 Vậy P = a -
b) Tính giá trị P a = + 3
2
a = 4+2 = 3+2 +1 = 3 +1 = +1
ĐỀ 13(2,5 điểm)
1 (0,5 điểm)
Giải phương trình x2 5x + = 0
Ta có 25 24 1
Tính : x1= 2; x2 = 2 (1,0 điểm)
Ta có = 25 4( m 7) = 25 + 4m 28 = 4m 3
Phương trình (1) có hai nghiệm x x1 2; 4m
3 4
m
Với điều kiện 3 4
m
, ta có: 2
1 2 2
x + x = x + x - x x
=13 25 - 2(- m + 7) = 13
2m = m = ( thỏa mãn điều kiện ).
Vậy m = giá trị cần tìm
3.(1,0 điểm)
a) Vẽ Parabol (P) đường thẳng (d) : Bảng giá trị tương ứng:
x -2 -1
y = -x + y = x2 4 1 0 1 4
1 1 10
x y
Bài 3:
a) Đồ thị: học sinh tự vẽ
Lưu ý: (P) qua O(0;0), 1; 2 (d) qua (0;3), 1; 2
b) PT hoành độ giao điểm (P) (d) là: 2x2 x 3 2x2 – x
– =
3 1
2
x hay x
Vậy toạ độ giao điểm cảu (P) (d)
1; , 3 9; 2 2
A
1; 2
Phương trình đường thẳng () qua A có hệ số góc -1 :
y – = -1 (x + 1) () : y = -x +
c) Đường thẳng () cắt trục tung C C có tọa độ (0; 1)
Đường thẳng () cắt trục hoành D D có tọa độ (1; 0)
Đường thẳng (d) cắt trục hồnh B B có tọa độ (-3; 0)
Vì xA + xD = 2xC A, C, D thẳng hàng (vì thuộc đường thẳng
())
C trung điểm AD
2 tam giác BAC BAD có chung đường cao kẻ từ đỉnh B AC = 1
2AD
Nên ta có
1 2
ABC ABD
S AC
S AD
Bài 4:
a) Trong đường tròn tâm O:
Ta có BMN = MAB (cùng chắn cung BM ) b) Trong đường trịn tâm O':
Ta có IN2 = IA.IB
(20)b) Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình : x2 + x -2 = ; Giải phương trình ta x
1 = x2 = -2
Vậy tọa độ giao điểm (1 ; 1) (-2 ; 4) Bài (1,5 điểm)
Gọi thời gian vịi thứ chảy đầy bể nước x (h) thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể nước (h)
Điều kiện : x , y >
Trong giờ, vòi thứ chảy 1
x bể.Trong vòi thứ hai chảy
1
y bể.
Trong hai vòi chảy : 1 5 bể.
Theo đề ta có hệ phương trình :
1 1 1 5 3 4 2 3
x y
x y
Giải hệ phương trình ta x = 7,5 ; y = 15 ( thích hợp )
Trả lời : Thời gian vịi thứ chảy đầy bể nước 7,5 (h) (hay 30 phút ) Thời gian vịi thứ hai chảy đầy bể nước 15 (h)
Bài 4 (3,5 điểm) Vẽ hình
a) Chứng minh tứ giác IHSE nội tiếp đường trịn : Ta có SA = SB ( tính chất tiếp tuyến)
Nên SAB cân S
Do tia phân giác SO đường cao SOAB I trung điểm MN nên OI MN
Do SHE SIE 1V
Hai điểm H I nhìn đoạn SE góc vng nên tứ giác IHSE nội tiếp đường trịn đường kính SE
b) SOI đồng dạng EOH ( g.g)
OI OS
OI.OE OH.OS
OH OE
MAB BMN (góc chắn cung BM ) (1) Trong đường tròn tâm O':
BAN BNM (góc chắn cung BN ) (2)
Từ (1)&(2) =>
MAB BAN MBN BMN BNM MBN 180
Nên tứ giác APBQ nội tiếp
=> BAP BQP QNM (góc nội tiếp góc chắn cung) mà QNM BQP vị trí so le => PQ // MN
Đề 16
Bài I
1) Với n = 3, ta có pt: x2 + 3x – = 0 pt có a+b++c=0 nên x1 = 1, x2 = -4
2 pt cho có n216 0 với n, nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Áp dụng hệ thức Vi et ta có: x1 + x2 = n
x1x2 = -4
Ta có
2
1 2
1 2
( 1) ( 1) 6
( ) 6
4.( ) ( ) 6 3 6
2
x x x x
x x x x x x
n n
n n
E
H A
I M
B
S O
(21)mà OH.OS = OB2 = R2 ( hệ thức lượng tam giác vuông SOB)
nên OI.OE = R2
c) Tính OI=
2
R R
OE 2R
2 OI
3R
EI OE OI
2
Mặt khác SI =
2 R 15
SO OI
2
SM SI MI R 3( 1)
2
Vậy SESM =
2
SM.EI R 3( 1)
2
Bài 5 (1,0 điểm)
Phương trình : 2010 x x 2008x2 4018x4036083 (*)
Điều kiện
2010 0
2008 2010 2008 0
x
x x
Áp dụng tính chất
2 2 2
a + b 2 a + b
với a, b
Ta có :
2
2010 x x 2008 2 2010 x x 2008 4 2010 x x 2008 2 1
Mặt khác
2
2 4018 4036083 2009 2 2 2
x x x
Từ (1) (2) ta suy : (*)
2010 x x 2008 x 2009 2 2
2009 0 2009
x x
( thích hợp) Vậy phương trình có nghiệm x = 2009
+ Hình vẽ đúng
+ Ta có: Tam giác ACD vng A (nội tiếp nửa đường trịn đường kính CD), nên tam giác EAF
vuông A.
+ AB vng góc với EF (vì EF tiếp tuyến B). + Theo hệ thức lượng tam giác vuông AEF:
2 4
AB BE BF BE BF R
+ Ta có :
1800
2 2 2
AB DB DB AD
AFEs® s® s® s®
( góc có đỉnh bên ngồi đường trịn).
2
AD
ACDs®
(góc nội tiếp chắn AD) Suy ra: AFEACD
Nên tứ giác CEFD nội tiếp.
+ Ta cã: AFEACD (Chøng minh trªn)
1 2
AI EF
(trung tuyÕn øng với cạnh huyền tam giác vuông EAF), nên tam giác AIF cân I, suy ra: FAI AFI AFE
+ Mµ ADC ACD 900
Suy ADC FAI ADK DAK 900
Do AKDAKO900
Vậy CD di động K chạy đờng trịn đờng kính AO.
C©u 5.
Ta cã: NÕu a, b th× a+b
2 ≥√ab
ThËt vËy: (a + b)2 4ab ó (a – b)2 DÊu “=” x¶y ó a = b.
NÕu a b th× a+b
(22)ĐỀ 15
Bài 1: (1,5 điểm) Không dùng máy tính, rút gọn, tính giá trị biểu thức sau:
1) A =
14 7 15 5 1
:
2 1 3 1 7 5
=
7 2 1 5 3 1 1
:
2 1 3 1 7 5
= 7 5 7 5 =
2
7 5 = – =
2) B =
2 1
x x x
x x x
=
2 1
1 1
x x
x
x x x
=
2 1
1
x x
x
=
2 1
1
x x
x
=
12
1
x x
= x1
x0;x1
Bài (1,5 điểm) 1) d1 d2
1 2 5
m n
m1,n5
2 Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d nghiệm phương trình:
√2=√1 2<1+2 2 =1,5 Tuong tu√6=√2 3<2+3
2 =2,5
√12=√3 4<3+4 2 =3,5
√42=√6 7<6+7 2 =6,5
⇒√2+√6+⋯+√42<1,5+2,5+⋯+6 5=24
(23)
2
6 3
x
x
x23x18 0 = b2 – 4ac = 32 – (– 18) = 81 9
1
3 9 3
2 2
b x
a
,
3 9 6
2 2
b x
a
Suy ra: y1 = ; y2 = 12
Vậy d cắt (P) hai điểm: (3; 3) (– 6; 12)
Bài 3 (2điểm)
PT: x2 + 2(m + 3)x + m2 + = (1)
1) Phương trình (1) có nghiệm kép ' 0
2 2
3
m m
6m 6 0
m1
Vậy với m = – phương trình (1) có nghiệm kép Nghiệm kép PT (1) :
'
1
3
1 3 2
1
m b
x x
a
2) Phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x2
'
0
6m 6 m1
Theo hệ thức Vi-ét ta có: S= x1 + x2 = – 2(m + 3) ; P = x1 x2 = m2 +
Từ x1 – x2 = suy ra: ( x1 – x2)2 = ( x1 + x2)2 – 4x1x2 = (*)
Thay S P vào (*) ta được:
2 2
2 m 3 4 m 3 4
2
4 m 6m 9 4m 12 4
24m24 4
5 6
m
( thoả mãn điều kiện m1)
Vậy x1 – x2 =
5 6
m
Bài 4 (1,5 điểm) Giải phương trình: 1)
1 3
2 2 6
(24)E
H
F
O
D C
B A
ĐK: x ≠ ; x ≠
(1) 6 x3x 2 2x 6 x 6 x3x 6 12 x 24 2 x24x
2x2 – 14x + 24 = 0
2
' b' ac
= 49 – 48 = 1
x1 =
' ' 7 1
4 2
b a
( TMĐK), x2 =
' ' 7 1
3 2
b a
( TMĐK),
Tập nghiệm phương trình: S 3; 4 2) x4 + 3x2 – = 0
Đặt t = x2 ( t 0) , ta có phương trình ẩn t:
t2 + 3t – =
Vì a + b + c = + + (– ) = nên t1 = (nhận) , t2 = – < (loại)
Vậy x2 = x
1 = 1; x2 = –
Tập nghiệm phương trình: S 1;1
Bài 5 (3,5 điểm)
1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp:
CD // FE (cùng vng góc AB) EFC FCD (so le trong)
AB CD nên AB qua trung điểm dây CD (tính chất đường kính vng góc với dây cung) nên C D đối xứng qua AB Do ACD ADC
Suy ra: EFC EDC
Tứ giác CDFE có hai đỉnh F, D liên tiếp nhìn CE góc nên nội
tiếp đường tròn
2) Chứng minh ba điểm B , D , F thẳng hàng
Ta có: ACB 90 0(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ECF 900(kề bù
với ACB )
Tứ giác CDFE nội tiếp nên ECF EDF900 Mà ADB900nên
1800
EDF EDB
Vậy ba điểm B , D , F thẳng hàng
3) Chứng minh HC tiếp tuyến đường tròn (O).
(25)Suy ra: HCA HEA (cùng chắn cung AH)
Mà HEA ADC (so le EH // CD) ADCABC (cùng chắn
cung AC)
Do đó: HCA ABC =
1
2sđ AC Vậy HC tiếp tuyến đường tròn (O)
Lưu ý: Rất nhiều HS sai lầm câu 1: ECF EDF 900và kết luận tứ giác CDFE nội tiếp
(26)(27)