Gọi P, Q theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẽ tử M đến AB và AC, O là trung điểm của AM.[r]
(1) Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định Hà Minh Tuấn
1
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2007 - 2008
Đề thức
Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức A =5
1
b/ Chứng minh đẳng thức:
a b 2b
a b
a b a b với a ≥ 0; b ≥ a ≠b Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = Bài 3: (2 điểm)
Một ca nơ chạy sơng, xi dịng 120km ngược dịng 120km, thời gian hết 11 Hãy tìm vận tốc ca nơ nước n lặng, biết vận tốc nước chảy 2km/h
Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có đường cao AH, M điểm cạnh BC (M không trùng với B C) Gọi P, Q theo thứ tự chân đường vng góc kẽ tử M đến AB AC, O trung điểm AM Chứng minh rằng:
a/ Các điểm A, P, M, H, Q nằm đường trịn b/ Tứ giác OPHQ hình gì?
c/ Xác định vị trí M cạnh BC để đoạn PQ có độ dài nhỏ Bài 5: (1 điểm)
Cho a, b số dương Chứng minh rằng:
2 2
3 3
2a 3b 2b 3a
2a 3b 2b 3a a b
(2) Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định Hà Minh Tuấn
2 GỢI Ý Bài 1: (2 điểm)
a/ A =5
1
=
5
5
1
b/ Với a ≥ 0; b ≥ a ≠ b, ta có
a b 2b
a b
a b a b =
a a b b a b 2b
a b a b a b
= a ab ab b 2b
a b a b a b
=
a ab ab b 2b
a b a b
=
a b 2b
a b a b
= a b 2b a b
a b a b
Bài 2: (1,5 điểm) Giải phương trình: x2 + 3x – 108 = Ta có: = 32 – 4.(–108) = 441 >
Do phương trình có nghiệm phân biệt x1 =
3 21
9
; x2 =
3 21 12
Bài 3: (2 điểm)
Gọi x (km/h) vận tốc ca nô nước yên lặng (x > 2) Thời gian ca nơ lúc xi dịng là: 120
x2(giờ)
Thời gian ca nơ lúc ngước dịng 120
x2( giờ)
Ta có pt: 120
x2+ 120
x2= 11
120(x – 2) + 120(x + 2) = 11(x – 2)(x + 2)
11x2 – 240x – 44 =
Có ’ = 1202 + 11.44 = 14400 + 484 = 14884 > '= 122 Do x1 =
2 11
(loại); x2 = 22 (thỏa mãn)
Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 22km/h Bài 4: (3,5 điểm)
a/ Chứng minh A, P, M, H, Q nằm đường trịn
Ta có: APM= AHM=AQM= 900
Các điểm A, P, M, H, Q nằm đường trịn đường kính AM
b/ Tứ giác OPHQ hình gì?
Vì O trung điểm AM nên O tâm đường trịn đường kính AM
OP = OH = OQ
Mặt khác, xét đường tròn đường kính AM:
POH=HOQ= 600 (=2.PAH)
(3) Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Bình Định Hà Minh Tuấn
3
OPH OHQ tam giác
OP = PH = HQ = OQ Do tứ giác OPHQ hình thoi
c/ Xác định vị trí M cạnh BC để đoạn PQ
Ta có: PQ = OQ = OM = AM
2
PQ nhỏ AM nhỏ AM vng góc BC M trùng H Vậy M trùng H PQ có độ dài nhỏ
Bài 5: (1 điểm) Đặt a t
b Do a > 0, b > nên t >
Khi BĐT
2 2
3 3
2a 3b 2b 3a
2a 3b 2b 3a a b
(1) trở thành
2
3
2t 3t
2t 3t t
(2t2 + 3)(2 + 3t3)(t + 1) + (2 + 3t2)(2t3 + 3)(t + 1) ≤ 4(2t3 + 3)(2 + 3t3)
(t + 1)(12t5 + 13t3 + 13t2 + 12) ≤ (6t6 + 13t3 + 6)
12 (t6 – t5 – t + 1) – 13t2(t2 – 12t + 1)
12 (t – 1)2 (t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2 (t – 1)2
(t – 1)2 [12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2)] (2)
Ta có: 12(t4 + t3 + t2 + t + 1) – 13t2) = 12t4 + 12t(t – 1)2 + 23t2 + 12 > 0, t > Do BĐT (2) với t >