THÔNG TIN TÀI LIỆU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GD&ĐT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNGPHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬVÀ ỨNG DỤNG CỦA NĨ TRONG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH LỚP Người thực hiện: Lê Thị Hồng Gấm Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Hoằng Đạt SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤC LỤC THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC Nội dung Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận đề tài 2.2 Thực trạng đề tài 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.3.2 Một số ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 2.3.2.1.Rút gọn biểu thức 2.3.2.2 Giải phương trình 2.3.2.3 Giải bất phương trình 2.3.2.4 Chứng minh quan hệ chia hết 2.3.3 Bài tập tự luyện 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận , kiến nghị 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Trang 1 2 2 3 13 13 13 15 15 16 16 17 17 17 Tài liệu tham khảo Danh mục sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Tốn mơn khoa học có vị vơ quan trọng chương trình phổ thơng nói chung chương trình THCS nói riêng Mơn Tốn mơn học góp phần khơng nhỏ tới hình thành nhân cách, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo, phát huy tính tích cực học tập học sinh, Học tốt môn Toán sở để em học tốt mơn học khác Trong q trình dạy học tốn việc tổng hợp kiến thức lí thuyết cách có hệ thống phân chia tập theo dạng, loại (nếu được) cần thiết Giúp em dễ nhớ, dễ thuộc, em dễ dàng nắm vững kiến thức học, chủ động tự nhanh chóng tìm lời giải giải trọn vẹn tập thuộc dạng học, làm cở sở để em khám phá kiến thức Do trình bồi dưỡng học sinh nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng cần thiết phải dạy theo chuyên đề, dạng Trong phân môn Đại số 8, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng tốn hay khó vận dụng nhiều vào giải toán khác rút gọn phân thức, giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh quan hệ chia hết, Để học tốt dạng tốn địi hỏi học sinh phải trang bị cho nhiều kỹ năng, tích hợp nhiều kiến thức Qua nhiều năm dạy tốn tơi nhận thấy đa số em nắm số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đơn giản, việc vận dụng sâu vào tốn khác liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử em lúng túng, gặp nhiều khó khăn việc tìm lời giải Năm học 2020-2021, Tôi phân công dạy mơn Tốn Bản thân Tơi ln trăn trở làm để chất lượng giảng dạy đạt kết cao hơn? Tôi mạnh dạn đưa số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách có hệ thống, nhằm giúp học sinh có kỹ giải tốt dạng toán toán liên quan, em thấy vai trò việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn Từ đó, kích thích em tìm tịi sáng tạo, khám phá kiến thức mới, say mê học tập Chính vậy, Tơi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải tốn” cho học sinh lớp trường THCS Hoằng Đạt, Hoằng Hóa để nghiên cứu thực tế 1.2 Mục đích nghiên cứu - Cung cấp cho học sinh lớp cách có hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử số ứng dụng giải tốn, nhằm giúp em học sinh có khả giải tốt dạng toán Đối với học sinh khá, giỏi vận dụng dạng tốn vào giải tập liên quan cách linh hoạt, sáng tạo; - Phát huy khă suy luận, phán đốn, tính linh hoạt học sinh; - Thấy vai trò việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn để từ giáo dục ý thức học tập cho học sinh, nhằm nâng cao chất lượng môn 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng chương trình Đại số 8; - Học sinh lớp 8A, 8B trường THCS Hoằng Đạt, Hoằng Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận; - Phương pháp nghiên cứu khảo sát thực tiễn; - Phương pháp phân tích, tổng hợp; - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1.Cơ sở lí luận đề tài Trước hết giáo viên cần làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử” gì, có phương pháp để phân tích ngồi tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng nào? Nhắc lại số kiến thức phục vụ cho việc giải tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” 2.1.1 Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức 2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp thông thường - Đặt nhân tử chung; - Dùng đẳng thức; - Nhóm hạng tử 2.1.3 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp khác - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử; - Thêm, bớt hạng tử; - Đặt ẩn phụ; - Dùng phương pháp hệ số bất định; - Phương pháp xét giá trị riêng, 2.2 Thực trạng đề tài Như biết, dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử xếp từ đầu chương I Đại số 8, với thời lượng có tiết bao gồm tiết lí thuyết tiết tập, kiến thức dạng toán nhiều đa dạng, phong phú Nhìn chung, đa số em làm tập đơn giản sách giáo khoa, việc vận dụng sâu vào tốn khác liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử em lúng túng, bế tắc Từ thực trạng trên, để chất lượng giảng dạy đạt hiệu cao mạnh dạn nêu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử mang tính hệ thống để giúp em tổng hợp kiến thức, kỹ tính tốn, kỹ tư duy; Giúp em có khả vận dụng tốt dạng toán giải tốn; Thấy vai trị việc phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn để từ giáo dục ý thức học tập cho học sinh * Kết điều tra thực trạng Lớp Tổng số Số học sinh giải Số học sinh chưa học sinh giải SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ (%) (%) 8A 28 12 42,9 16 57,1 8B 27 11 40,7 16 59,3 Nhìn vào bảng so sánh trên, ta thấy số học sinh chưa thực phép phân tích đa thức thành nhân tử giải tốn cao so với sĩ số học sinh lớp Trước khó khăn thực trạng thân tơi ln trăn trở, suy nghĩ, tìm nhiều giải pháp để nâng cao chất lượng mơn, góp phần nâng cao chất lượng chung nhà trường Chính vậy, khn khổ đề tài này, tơi muốn rèn luyện cho học sinh số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải tốn mà thân tơi tích lũy trình giảng dạy năm vừa qua 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1.Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp Phương pháp 1: Phương pháp đặt nhân tử chung Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b x y 13 15 x y 13 a xy 20 y ; Giải: a Các hạng tử có nhân tử chung y Do đó: xy 20 y y 2 x y y y2 2x y b Các hạng tử có nhân tử chung x y 13 Do đó: x y 13 15 x y 13 x y 13 � x y 13 � � � x y 13 x y 39 Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta cần đổi dấu hạng tử ( Lưu ý tới tính chất A = - (- A) ) Chẳng hạn: 10 x x y y y x 10 x x y y x y x y 5x y Phương pháp2: Phương pháp dùng đẳng thức Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x x b x3 c x y x y 3 Giải: 1 �1 � a x x = x 2.x � � = �2 � 2 � 1� �x � � 2� �1 �� � � 1� �1 � � �� 4x x � 2x x � �� �2 x � b x x � � �2 x �� � � �2 �� � 2� 4� �2 � � �� � 2 3 � x y x y � x y x y x y x y � c x y x y � � �� � x x2 y Chú ý: Đôi phải đổi dấu hạng tử áp dụng đẳng thức Chẳng hạn: 10 x 25 x x 10 x 25 x 5 x Phương pháp3: Phương pháp nhóm hạng tử Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a x xy y z zt t b x x x x Giải: 2 2 a x xy y z zt t x xy y z zt t x y z t 2 � x y z t � x y z t � � �� � � x y z t x y z t b Cách 1: x x x x x x x x x x3 x x x x 1 Chú ý: Đối với đa thức có nhiều cách nhóm hạng tử Nhưng nhóm hạng tử phải nhóm thích hợp, cụ thể là: - Mỗi nhóm phân tích được; - Sau phân tích nhóm q trình phân tích phải tiếp tục Chẳng hạn ví dụ b, ta phân tích sau: 2 Cách 2: x x3 x x x x 1 x x 1 x 1 x x x 1 x x Cách 3: x x3 x x x x x x x� x x 9 x 9 � � � x x x 1 Nhận xét: Trên thực tế phân tích đa thức thành nhân tử thường phối hợp nhiều phương pháp, theo bước sau: - Đặt nhân tử chung tất hạng tử có nhân tử chung; -Dùng đẳng thức có; - Nhóm nhiều hạng tử ( thường nhóm có nhân tử chung, đẳng thức), cần thiết phải đặt dấu “-” trước dấu ngoặc đổi dấu hạng tử Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a 20 z x 10 xy y b x y 5 x y 16 xy 16 Giải: 2 a 20 z x 10 xy y z x xy y 5� �2 z x xy y � � 2 5� �2z x y � � 2z x y 2z x y b x y 5 x y 16 xy 16 x y x y xy 2 x2 y 5 � xy � � � 2 � � x y 5 xy � x y 5 xy � � �� � � � x xy y 1� x xy y 9� � �� � 2 � � x y 1� x y 32 � � �� � x y 1 x y 1 x y 3 x y 3 Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P x2 y z y z x z x y Giải: Cách 1: P x2 y z y z x z x y x y z y z xy xz yz x y z yz y z x y z y z x yz xy xz y z � x x y z x y � � � y z x y x z Trong cách giải trên, ta khai triển số hạng thứ hai số hạng thứ ba nhóm số hạng thích hợp để xuất thừa số chung y-z Cũng khai triển số hạng thứ số hạng thứ ba nhóm số hạng thích hợp để xuất thừa số chung x – z, khai triển số hạng đầu số hạng thứ hai nhóm số hạng thích hợp để xuất thừa số chung x – y y z x y � Cách 2: Chú ý rằng: z x � � �, ta có 2 y z x y � P = x y z y � � � z x y y z x2 y x y y z = y z x y x y x y y z y z = y z x y x z Phương pháp 4: Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử Dùng tam thức bậc hai: f x =ax bx c Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x 8x Giải: Đa thức khơng có nhân chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ nào, khơng thể nhóm hạng tử Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều hạng tử Cách 1: ( Tách hạng tử thứ hai) 3x x = 3x x x 3x x x x 2 3x Cách 2: ( Tách hạng tử thứ nhất) 3x x x x x x 2 x2 2x x 2x x 3x x Nhận xét: Trong cách giải 1, hạng tử -8x tách thành hai hạng tử -6x -2x Trong đa thức 3x x x , hệ số hạng tử 3; -6; -2; 4.Các hệ số thứ hai thứ tư gấp -2 lần hệ số liền trước, nhờ mà xuất nhân tử chung x – Một cách tổng quát, để phân tích tam thức bậc hai ax bx c thành nhân tử, b c ta tách hạng tử bx thành b1 x b2 x cho a b , tức b1b2 ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac ; Bước 2: Phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách ; Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Trong ví dụ trên, đa thức 3x x có a 3, b 8, c Tích ac 3.4 12 Phân tích 12 tích hai thừa số, hai thừa số dấu ( tích chúng 12), âm (để tổng chúng -8): 1 12 ; 2 6 ; 3 4 Chọn hai thừa số mà tổng -8, -2 -6 Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x Giải: Cách (Tách hạng tử thứ hai) : x2 4x x2 x x x x 1 x 1 x 1 x Chú ý hệ số -4 tách thành -6 có tích -12, tích 4.(-3) Cách (Tách hạng tử thứ ba) x2 4x 4x2 4x x 1 22 2x 1 2 x 1 2 x 1 x Nhận xét: Qua hai ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: - Làm xuất hệ số tỉ lệ, nhờ mà xuất nhân tử chung (cách 1) - Làm xuất hiệu hai bình phương (cách 2) Chú ý: - Đa thức dạng ax bxy cy phân tích đa thức thành nhân tử cách làmtương tự đa thức bậc hai biến Cách 1: x xy y x xy xy y 2 4x x y 3y x y x y 4x 3y Cách 2: x xy y x xy y xy y 4 x y y x y x y 4x y y x y 4x 3y 10 Tam thức bậc hai ax bx c khơng phân tích tiếp thành nhân tử phạm vi số hữu tỉ nếu: Theo cách 1, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách, khơng có hai thừa số có tổng b , Theo cách 2, sau đưa tam thức dạng ax k k khơng bình phương số hữu tỉ Chẳng hạn tam thức x x khơng phân tích thành nhân tử (trong phạm vi số hữu tỉ) : Theo cách 1, tích ac 1.6 2.3 , khơng có hai thừa số 1 23 � � 23 có tổng 1; Cịn theo cách 2, x x x x �x � � � 2 23 Ta thấy khơng bình phương số hữu tỉ Đa thức bậc ba trở lên Để dễ dàng làm xuất hệ số tỉ lệ, người ta thường dùng cách tìm nghiệm đa thức Nhắc lại số kiến thức nghiệm đa thức Khái niệm nghiệm đa thức: Nếu x=a, đa thức f x có giá trị ta nói a (hoặc x=a) nghiệm đa thức Vậy đa thức f x có nghiệm x = a chứa nhân tử x-a Khi xét nghiệm nguyên đa thức, nên nhớ định lí sau: Định lí 1: Nếu đa thức f x có tổng hệ số nghiệm đa thức, đa thức chứa nhân tử x–1 Định lí 2: Nếu đa thức f x có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ -1 nghiệm đa thức, đa thức chứa nhân tử x+1 Định lí 3: Nếu đa thức f x với hệ số nguyên có nghiệm nguyên phải ước hệ số tự Chú ý: Để nhanh chóng loại trừ ước hệ số tự không nghiệm đa thức, dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên đa thức f x f 1 , f 1 khác f 1 a 1 f 1 số nguyên a 1 Xét ví dụ: f x x 13x x 18 Ta thấy số 18 có ước �1; �2; �3; �6; �9; �18 11 f 1 13 18 18 f 1 4 13 18 44 18 18 18 18 , , , Hiển nhiên �1 không nghiệm f x Ta thấy 3 �6 �9 �18 không nguyên nên 3; �6; �9; �18 không nghiệm f x Ta thấy 44 không nguyên nên không nghiệm f x Chỉ -2 1 Kiểm tra ta thấy nghiệm f x p Định lí 4: Đa thức f x với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ x q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao Ví dụ 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x 3x Giải: Ta thấy đa thức cho có tổng hệ số 1+5+3+(-9) = 0, nên x = nghiệm đa thức đó, đa thức chứa nhân tử x-1 Ta tách hạng tử sau: x3 x 3x x3 x2 x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 3 Ví dụ 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x 3x Giải: Ta thấy 1+3 = -5+9 nên x = -1 nghiệm đa thức, đa thức chứa nhân tử x+1 Ta làm sau: x3 x 3x x3 x x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 3 Ví dụ 11: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 x Giải: Lần lượt kiểm tra với x �1; �2; �4 Đặt f x x3 x Ta có f Vậy đa thức có nghiệm x=2, f x chứa nhân tử x-2 Vậy f x x3 x x3 x x x x x2 x 2 x x 2 x 2 x 2 x2 x 2 Ví dụ 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x3 x 17 x 12 Giải: Ta thấy �1; �5 không nghiệm đa thức Như vậy, đa thức khơng có nghiệm ngun Tuy vậy, đa thức có nghiệm hữu tỉ khác Xét số hữu p tỉ dạng q với p ước -5 q ước dương Ta thấy nghiệm đa thức, đa thức chứa thừa số 3x-1 Ta tách hạng tử sau: 3x3 x 17 x 3x3 x x x 15 x x x 1 x x 1 3x 1 3x 1 x x Phương pháp 5: Phương pháp thêm bớt hạng tử Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: x 81 Giải: Nhận thấy đa thức cho tổng hai bình phương x 92 tương ứng với hai số hạng A2 B đẳng thức A2 AB B thiếu 2AB Vậy cần thêm bớt 2.2 x để làm xuất đẳng thức Ta có: x 81 x 2.2 x 92 36 x 2 2x2 9 6x 2 2x2 x x2 x Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: x5 x Giải: Cách 1: x5 x x5 x x3 x4 x3 x x x x3 x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 Ví dụ 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x Giải: Thêm bớt x x7 x2 x7 x x x x x 1 x x 1 x x3 1 x3 1 x x 1 x x3 1 x 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 Chú ý: Các đa thúc dạng x3m1 x3 n2 x x , x x5 1, x x 1, x x8 1, chứa nhân tử x x Phương pháp 6: Phương pháp đổi biến Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: 13 2 a x x 1 x x 12 b x x x x 10 128 Giải: a Đặt x x y , ta có: y y 1 12 y y 12 y y y 12 y y 4 3 y 4 y y 3 Thay y x x , ta được: x x 1 x x 12 x x x x � x x x 2 � x x 5 � � x 1 x x x 2 b x x x x 10 128 x 10 x x 10 x 24 128 Đặt x 10 x 12 y , đa thức cho có dạng: y 12 y 12 128 y 16 y 4 y 4 x 10 x x 10 x 16 x 10 x x x Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ phương pháp đổi biến ta đưa đa thức bậc bốn x thành đa thức bậc hai y Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: A x4 x3 x x Giải: Giả sử x �0 Ta viết đa thức dạng: � � � �2 � � � � A x �x x � x � �x � �x � � x x � � � � x � � x� � 1 Đặt x y x y Do x x 2 2 A x2 � y 2 y 7� � � x y y x y 3 2 � � x �x � x 3x 1 � x � Dạng phân tích với x=0 Chú ý: Có thể trình bày lời giải ví dụ sau: 2 A x x x x x x x 1 x 1 x x 2 Phương pháp 7: Phương pháp hệ số bất định Ví dụ 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: x x 12 x 14 x 14 Giải: Các số �1; �3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích 2 thành nhân tử phải có dạng x +ax b x cx d Phép nhân cho kết x a c x3 ac b d x ad bc x bd Đồng nhát đa thức với đa thức cho, ta hệ điều kiện: �a c 6 �ac b d 12 � � �ad bc 14 � bd � 1; 3 Với b=3 d=1, hệ điều kiện trở thành: Xét bd=3 với b, d �Z , b α� �a c 6 � �ac �a 3c 14 � Suy ra: 2c 8 Do c 4, a 2 2 Vậy đa thức cho phân tích thành: x x 3 x x 1 Chú ý: Ta trình bày lời giải ví dụ sau: x x 12 x 14 x x 4 x3 x x3 x x 3x 12 x x x x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 x x Phương pháp 8: Phương pháp xét giá trị riêng Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử cịn lại 2 Ví dụ 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: P x y z y z x z x y Giải: 2 Thử thay x y P y y z y z y Như P chia hết cho x y Ta lại thấy thay x y, thay y z, thay z x P khơng đổi (ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh x � y � z � x ) Do đó, P chia hết cho x y chia hết cho y z z x Vậy P có dạng k x y y z z x Ta thấy k phải số (không chứa biến) P có bậc ba tập hợp biến x, y, z, cịn tích x y y z z x có bậc ba tập hợp biến x , y , z Vì đẳng thức x y z y z x z x y k x y y z z x với x, y, z nên ta gán cho biến x, y, z giá trị riêng, chẳng hạn x 2, y 1, z (Các giá trị x, y,z chọn tùy ý, cần chúng đôi khác để 2 x y y z z x �0 ), ta được: 4.1 1 2 k 1.1 2 15 � 2k � k 1 Vậy P x y y z z x x y y z x z 2.3.2 Một số ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử 2.3.2.1 Rút gọn biểu thức Muốn rút gọn phân thức ta có thể: - Phân tích tử mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung; -Chia tử mẫu cho nhân tử chung Ví dụ 1: Rút gọn phân thức: A x x 19 x 12 x x 11x Giải: - Phân tích tử thức thành nhân tử: x3 x 19 x 12 x x x x 12 x 12 x x 1 x x 1 12 x 1 x 1 x x 12 x 1 x 3 x - Phân tích mẫu thức thành nhân tử: x x 11x x3 x x x x x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 3 x 1 x 3 x x4 Vậy A x x x x Ví dụ 2: Kí hiệu n ! 1.2.3 n Rút gọn phân thức sau: n 1 ! a n ! n ! n ! n 3 ! b n ! n ! Giải: n 1 ! n 1 ! n 1 ! n 1 ! n ! n 1 ! n 1 ! n n 1 ! n 3 n 3 n ! n 3 ! n ! n ! n 3 n ! n n n b n ! n ! n ! n ! n n ! n n n a 2.3.2.2 Giải phương trình 16 Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử có vai trị quan trọng việc đưa phương trình dạng phương trình tích Cách đặt ẩn phụ thường sử dụng để trình bày lời giải gọn gàng Ví dụ 1: Giải phương trình: x 3 x 1 56 Giải: Cách 1: x 3 x 1 56 � x3 x 27 x 27 x 3x 3x 56 � x 24 x 30 � x2 x 5 � x x 1 x5 x 5 � � �� �� x 1 x 1 � � Vậy phương trình có tập nghiệm S 5;1 Cách 2: Chú ý x trung bình cộng x x , ta đặt x y Phương trình trở thành: y 1 y 1 56 � y3 y y y3 y y � y 54 � y2 � y �3 Với y x Với y 3 x 5 Vậy phương trình có tập nghiệm S 5;1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x 6 x 16 Giải: Đặt x y , phương trình trở thành y 1 y 1 16 Rút gọn ta được: y 12 y 16 4 � y4 y2 Đặt y z �0 , ta có z z Phương trình cho z1 1, z2 7 (Loại) Với z , ta có y nên y �1 Từ x1 8, x2 Chú ý: Khi giải phương trình bậc bốn dạng x a x b c , ta thường đặt ẩn phụ y x ab 17 Ví dụ 3: Giải phương trình: x5 x 3x3 3x x (1) Giải: Ta thấy x 1 nghiệm phương trình (1), tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ Biến đổi phương trình (1) thành: x 1 x x x x 1 Giải phương trình x x x x (2) Ta thấy x không nghiệm phương trình (2) Chia hai vế (2) cho �2 � � � x �0 , ta được: x x � �x � �x � x x � x � � x� 1 Đặt x y x y , ta y y , vô nghiệm x x Kết luận: S 1 2.3.2.3 Giải bất phương trình Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: x x Giải: Ta có x x � x2 x � x2 x x � x x 4 x 4 � x 4 x 2 Lập bảng xét dấu nhị thức x x x -2 x2 + x4 + 0 x 2 x 4 Nghiệm bất phương trình là: 2 x Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: x x Giải: Ta có: x x + + + � 4x2 x � x2 x 2 � x 1 x � x 1 x Lập bảng xét dấu nhị thức x x x -1 x 1 + + x2 + + 0 + x 1 x Nghiệm bất phương trình là: x 1 x 2.3.2.4 Chứng minh quan hệ chia hết Gọi A(n) biểu thức phụ thuộc vào n (n � N, n�Z) Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho số m, ta thường phân tích biểu thức A(n) 18 thành thừa số, có thừa số m Nếu m hợp số, ta phân tích thành tích thừa số đơi ngun tố nhau, rối chứng minh A(n) chia hết cho tất số Lưu ý k số nguyên liên tiếp, tồn bội số k Ví dụ: Chứng minh A n n 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n Giải: Phân tích thừa số nguyên tố: 5040 24.32.5.7 Phân tích A n n 36n n� n n 36 � � � n� n3 n � � � n n n n3 n Ta lại có: n 7n n 1 n n 3 n3 7n n 1 n n 3 Do A n 3 n n 1 n n 1 n n 3 Đây tích bảy số nguyên liên tiếp Trong bảy số nguyên liên tiếp: - Tồn bội số (nên A chia hết cho 5); - Tồn bội số (nên A chia hết cho 7); - Tồn hai bội số (nên A chia hết cho 9); - Tồn ba bội số 2, có bội số (nên A chia hết cho 16) A chia hết cho số 5; 7; 9; 16 đôi nguyên tố nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040 2.3.3 Bài tập tự luyện Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x 11x ; b) x3 x x ; c) x5 x ; d) x 3x3 x 3x ; e) x x3 x x Bài 2: Rút gọn phân thức: x 1 11 x 1 30 B x 1 18 x x Bài 3: Giải phương trình: 3 a) x3 x 1 x 1 ; b) x 3x3 x 3x Bài 4: Giải bất phương trình sau: a) x3 x 3x ; b) x x �0 Bài 5: Chứng minh với số nguyên n, ta có: a) n3 3n 2n chia hết cho 6; b) n2 n 1 chia hết cho 24 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trên việc làm mà thực hai lớp 8A, 8B trường THCS Hoằng Đạt năm học 2020- 2021, có kết đáng kể học sinh Đa số học sinh có kỹ giải dạng tốn phân tích đa thức thành nhân 19 tử tốt, em khơng cịn mắc sai lầm, lúng túng giải dạng toán Học sinh khá, giỏi biết áp dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp học để giải triệt để dạng tốn liên quan đến dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử Không em tỏ sáng tạo qua trình giải tập mà cịn có nhiều cách giải tốn Điều giúp em say mê học tập u thích mơn học Vì vậy, chất lượng mơn nói riêng chất lượng giáo dục nhà trường nói chung nâng lên rõ rệt Sau tiến hành kiểm tra hai lớp với hai kiểm tra (trước sau thực đề tài) kết cụ thể sau: Lớp 8A 8B Tổng số học sinh 28 27 Điểm kiểm tra lần - 3,4 3,5 - 4,9 5-64 Điểm kiểm tra lần 6,5 - 7,9 – 10 - 3,4 3,5- 4,9 - 6,4 6,5 - 7,9 – 10 SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % SL % 11 15 13 12 47 44 21 26 14 11 0 0 11 15 32 30 9 32 33 25 22 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Để học sinh học tốt dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng mơn Tốn nói chung, khơng địi hỏi phương pháp giảng dạy giáo viên, mà lực, tố chất vốn có học sinh quan trọng Tuy nhiên, phương pháp khoa học, phù hợp giáo viên góp phần khơng nhỏ việc nâng cao kết học tập học sinh Vì vậy, theo tơi phương pháp hữu ích giúp học sinh học tốt dạng toán này, giúp học sinh rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ tư duy, phân tích, tổng hợp, , kỹ trình bày tốn cách chặt chẽ lơgíc, mà học sinh lớp cịn hạn chế Từ đó, giúp em học tốt mơn Tốn mơn học khác nhà trường 3.2 Kiến nghị: Để kinh nghiệm áp dụng rộng rãi theo tơi cần có điều kiện sau: - Nhà trường cần thường xuyên mở chuyên đề, đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia trao đổi lẫn Thường xuyên kiểm tra học sinh theo phương phápmới Giáo viên cần phải đầu tư nhiều thời gian nghiên cứu dạy để đạt hiệu cao -Bên cạnh học sinh phải có đầy đủ phương tiện học đặc biệt sách giáo khoa, sách tham khảo Cần ý theo dõi hướng dẫn giáo viên hăng hái tham gia nêu ý kiến Nắm kiến thức phần có liên quan đến dạng tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” quy tắc dấu ngoặc, đẳng thức, chia đa thức, Trên số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng giải tốn mà tơi nghiên cứu đưa vào áp dụng trường THCS Hoằng Đạt Mặc dù đạt số kết đáng kể song thời gian hạn chế mục đích đề tài áp dụng cho học sinh đại trà, riêng phương pháp 6; dành cho học sinh khá, giỏi nên lượng tập đưa chưa thực đầy đủ, đa dạng Sự phân chia phương pháp, dạng tập mang tính chất tương đối Rất mong đồng nghiệp tham gia đóng góp xây dựng để đề tài có khả áp dụng rộng rãi có tính thiết thực 20 Xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày tháng năm 2021 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN mình, ĐƠN VỊ khơng chép nội dung người khác Người viết Tào Thị Loan Lê Thị Hồng Gấm TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Toán – Nhà xuất giáo dục Sách tập Toán – Nhà xuất giáo dục Sách giáo viên Toán – Nhà xuất giáo dục Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán - Nhà xuất giáo dục Sách nâng cao Toán - Nhà xuất giáo dục Những toán bản, nâng cao chọn lọc lớp - Nhà xuất Đại học sư phạm 2004 Sách phát triển Toán – Nhà xuất giáo dục Chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn THCS 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Hồng Gấm Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Hoằng Đạt TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ Huyện B 2004-2005 để giải tốn hình học Hướng dẫn học sinh lớp giải toán dãy Huyện A 2006-2007 phân số viết theo quy luật Rèn luyện kỹ ứng dụng hệ thức Huyện A 2009-2010 Vi-ét giải toán cho học sinh lớp Rèn luyện kỹ ứng dụng hệ thức Tỉnh C 2009-2010 Vi-ét giải toán cho học sinh lớp Rèn luyện kỹ giải toán tỉ lệ thức, Huyện C 2015-2016 tính chất dãy tỉ số Một số phương pháp nhằm rèn kỹ Huyện C 2018-2019 giải toán chia hết tập hợp số tự nhiên 22 23 ... ứng dụng hệ thức Huyện A 20 09- 2010 Vi-ét giải toán cho học sinh lớp Rèn luyện kỹ ứng dụng hệ thức Tỉnh C 20 09- 2010 Vi-ét giải toán cho học sinh lớp Rèn luyện kỹ giải toán tỉ lệ thức, Huyện C 2015-2016... dục ý thức học tập cho học sinh * Kết điều tra thực trạng Lớp Tổng số Số học sinh giải Số học sinh chưa học sinh giải SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ (%) (%) 8A 28 12 42 ,9 16 57,1 8B 27 11 40,7 16 59, 3 Nhìn... Năm học đánh giá xếp loại Hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ Huyện B 2004-2005 để giải tốn hình học Hướng dẫn học sinh lớp giải toán dãy Huyện A 2006-2007 phân số viết theo quy luật Rèn luyện
Ngày đăng: 22/05/2021, 20:06
Xem thêm: