Một số phương pháp giải dạng toán dãy số có quy luật thường gặp ở chương trình toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN DÃY SỐ CĨ QUY LUẬT THƯỜNG GẶP Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN Người thực : Nguyễn Thị Quế Chức vụ : Phó hiệu trưởng Đơn vị cơng tác : Trường THCS Quảng Hưng SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA, NĂM 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Tốn học mơn học có vị trí quan trọng chương trình giáo dục cấp học Tư Toán học giúp cho học sinh học tốt môn học khác đặc biệt môn khoa học tự nhiên Mặc dù có vai trị quan trọng song học sinh học tốt mơn Tốn Chương trình Tốn THCS khẳng định trình dạy học trình giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức kỹ Mặt khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành cho học sinh kiến thức bản, tìm tịi đủ cách giải tốn để phát huy tính tích cực học sinh, mở rộng tư linh hoạt, sáng tạo Từ vị trí nhiệm vụ vơ quan trọng mơn Tốn vấn đề đặt cho người dạy làm để dạy - học Tốn có hiệu cao, học sinh phát triển tính tích cực, chủ động sáng tạo việc chiếm lĩnh kiến thức toán học Chuyên đề "Dãy số có quy luật" chuyên đề chương trình số học lớp nói riêng chương trình tốn THCS nói chung Là dạng tốn có nhiều ứng dụng việc giải dạng tập khác không phạm vi số học mà cịn sử dụng đại số Do nói dạng tốn phát triển tính sáng tạo tư nhiều học sinh Vì yêu cầu học sinh phải nắm chắc, vận dụng quy tắc, phương pháp tìm quy luật số, giải toán dãy số điều quan trọng Trong trình giảng dạy trực tiếp lớp, qua trao đổi với bạn đồng nghiệp, thơng qua tìm hiểu loại tài liệu tham khảo tơi thấy tốn dãy số, đặc biệt tính tổng dãy số chưa có phương pháp giải cách rõ ràng, tường minh, học sinh gặp dạng toán cịn lúng túng, chí bế tắc việc tìm hướng giải Vì lí tơi mạnh dạn chọn đề tài “Một số phương pháp giải dạng toán dãy số có quy luật thường gặp chương trình tốn 6” để nghiên cứu với mục đích giúp cho học sinh học tốt dạng tốn này, đóng góp tài liệu giúp giáo viên việc dạy chủ đề dãy số có quy luật chương trình số học 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Chỉ dãy số có quy luật thường gặp hướng dẫn học sinh cách tìm quy luật, từ đưa phương pháp giải - Nâng cao chất lượng dạy học đại trà đặc biệt chất lượng mũi nhọn - Đổi phương pháp dạy học 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng: Phương pháp giải dạng tốn dãy số có quy luật, cụ thể là: Tính tổng dãy số số ứng dụng vào dạng khác - Phạm vi: Học sinh khối lớp 6,7 - trường THCS Quảng Hưng, TP Thanh Hóa 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận: Trong thời điểm nước bước vào thời kì cơng nghiệp hóa, đại hóa u cầu nhân lực, nhân tài ngày cao, nhiệm vụ trọng tâm dạy học phải giúp người học củng cố kiến thức phổ thông, đặc biệt kiến thức mơn tốn Bởi mơn tốn mơn học có tính ứng dụng cao thực tế, tiền đề cho nhiều môn học khác Tuy nhiên nói mơn học khó, kiến thức rộng, học sinh phần lớn có tư tưởng ngại học mơn Việc học tốn khơng đơn máy móc làm lại tập cho sẵn mà phải nghiên cứu, phân tích, tổng quát hóa vấn đề rút phương pháp giải phù hợp với dạng tốn, từ vận dụng cho loại toán khác Dạng tốn dãy số có quy luật chương trình số học nói dạng đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tốt chương trình số học nhiều kiến thức đại số lớp 8, Vấn đề đặt làm để học sinh tìm quy luật dãy số, để tính tổng cho dãy số cách nhanh chóng nhất, xác Để làm điều này, yêu cầu giáo viên phải đưa dãy số nhất, rõ để học sinh thấy quy luật dãy số, từ hướng dẫn học sinh tính tổng dãy số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến: Trong nhiều năm dạy mơn Tốn tơi nhận thấy kiến thức dãy số có quy luật khơng gặp nhiều chương trình sách giáo khoa toán 6, lại xuất nhiều sách nâng cao, loại sách phát triển, kì thi học sinh giỏi từ lớp đến lớp Vì tiếp cận khơng nhiều nên nói học sinh vất vả để làm dạng toán này, em lúng túng việc tìm quy luật dãy số, kể tìm quy luật khơng biết tính tổng theo cách Các dạng tập loại lại đa dạng phong phú đòi hỏi khả vận dụng nhiều kiến thức liên quan Trước nghiên cứu ứng dụng đề tài tiến hành khảo sát học sinh khối 6, trường THCS Quảng Hưng, TP Thanh Hóa làm kiểm tra dạng tính tổng dãy số có quy luật tơi thu kết sau: Giỏi SL % Lớp Tổng số học sinh 6A 35 6B 34 Khá TB Yếu SL % SL % SL % 11 34 2.9 17.1 12 8.8 8.8 17.7 10 29 Kém SL % 34 12 12 35 11 35 35 6C 34 5.8 4 11.8 12 12 3 Như thấy kiến thức kỹ vận dụng học sinh làm dạng tốn dãy số có quy luật chưa tốt Qua nghiên cứu tơi nhận thấy có ngun nhân sau: - Học sinh chưa nắm khái niệm - Học sinh thường học vẹt định lí, quy tắc, hệ - Học sinh không phát thấy mối liên quan toán sgk toán tổng hợp - Học sinh giải toán xong coi hồn thành chưa có thói quen tư duy, khai thác, phát triển toán dạng tổng quát Trước thực trạng mạnh dạn nghiên cứu áp dụng giải pháp trình giảng dạy học sinh dạng tốn dãy số có quy luật thường gặp chương trình Tốn 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: - Đưa dãy số có quy luật gồm hữu hạn số, phương pháp giải cho dãy, hình thành toán tổng quát cách giải toán tổng quát - Lồng ghép tiết luyện tập dạy khóa Soạn thành chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy đối tượng học sinh đại trà 2.3.1 Các kiến thức để giải dạng tốn “tính tổng dãy số có quy luật” * Cơng thức đếm số tự nhiên từ a đến b( a < b), hai số cách d đơn vị: b-a + (trong b số cuối, a số đầu, d khoảng cách hai số d liên tiếp) * Các phép toán cộng, trừ, nhân phân số Các tính chất phép cộng, phép nhân phân số * Các bước giải toán theo phương pháp qui nạp: Để chứng minh mệnh đề Sk(k=1;2;3…) mà ta thấy mệnh đề với 1; 2; giá trị k ta dùng phương pháp quy nạp tốn học để tính chứng minh mệnh đề Bước 1: Thử vài giá trị xem tính đắn mệnh đề Bước 2: Giả sử mệnh đề với n=k Nghĩa Sk Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề với n=k+1, tức Sk+1 Bước 4: Kết luận toán * Các kiến thức bất đẳng thức: - Tính chất bắc cầu: Nếu a > b, b > c a > c - Tính chất đơn điệu phép cộng: Nếu a > b a + c > b + c - Tính chất đơn điệu phép nhân: Nếu a > b a c > b c (c > 0) 2.3.2 Phương pháp tính tổng dãy số viết theo quy luật: Với nội dung đề tài tơi trình bày từ ví dụ đơn giản với hữu hạn số, hướng dẫn cách tìm lời giải, trình bày lời giải, hình thành tốn tổng qt, cách giải cho tốn tổng qt a Tính tổng phương pháp nhóm số hạng thành tổng Đây dãy số mà học sinh gặp chương trình em chưa biết tốn Ví dụ 1: Tính tổng sau: S = + + + + 2019 + 2020 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Ở toán số viết theo thứ tự liên tiếp số sau số trước đơn vị, nhận xét thấy + 2020 = + 2019 = + 2018= .= 1010 + 1011 = 2021 để tính tổng ta sử dụng nhóm căp số hạng có tổng = 2021 Và sử dụng cơng thức tính số số hạng liên tiếp từ đến 2020 để tính số cặp số * Cách giải: S = + + + + 2019 + 2020 = (1 + 2020 ) +(2 + 2019 ) + (3 + 2018) + .+ (1010+1011) Số số hạng từ đến 2020 là: 2020 - + = 2020 số nên số nhóm 1010 Vậy S = 1010.2021 = 2041210 * Bài tốn tổng qt: Tính tổng: S = + + + + n = ( + n ) + ( + n − 1) + ( + n − ) + + ( )  n −1  n(n + 1) =  + 1÷(n + 1) = 2  Ví dụ 2: Tính tổng sau: S = 2020 − 2019 + 2018 − 2017 + + − + − * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Trong tổng ta thấy trước hết số hạng thứ số hạng thứ hai đơn vị hiệu hai số hạng liên tiếp Do để tính tổng ta sử dụng nhóm căp số có hiệu Và sử dụng cơng thức tính số số hạng liên tiếp từ đến 2020( tương tự ví dụ 1) để tính số cặp số * Cách giải: S = 2020 − 2019 + 2018 − 2017 + + − + − = (2020 − 2019) + (2018 − 2017) + + (4 − 3) + (2 − 1) = + + + + = 1010.1 = 1010 b Tính tổng phương pháp đưa giải tốn tìm thành phần chưa biết đẳng thức Ví dụ 3: Tính tổng sau: S = + + 2 + + + 2020 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Tổng cho có dạng lũy thừa với số 2, cịn số mũ tăng liên tiếp, để triệt tiêu lũy thừa nhân thêm tổng với có thêm số hạng 22021 Khi 2S = S + 22021 -1 lúc ta tính S * Cách giải: S = + + 2 + + + 2020 ⇒ 2S = + 2 + + + + 2020 + 2021 = (1 + + 2 + + + + 2020 ) + 2021 − = S + 2021 − ⇒ S = 2021 − * Bài toán tổng quát: S = + a + a + a + + a n ⇒ a.S = + a + a + a + + a n +1 − a n +1 − aS = S + a − ⇒ S (a − 1) = a − ⇒ S = a −1 1 1 1 1 Ví dụ 4: Tính tổng sau: S = − + − + + n− − n + + 2002 − 2004 2 2 2 2 n +1 n +1 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Tổng cho có dạng lũy thừa với số , cịn số mũ số chẵn liên tiếp, để triệt tiêu lũy thừa nhân thêm tổng với 22 , áp dụng cách làm tương tự ví dụ trên, ta tìm S * Cách giải: 1 1 1 1 − + − + + n − − n + + 2002 − 2004 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 22 S = − + − + + n −2 − n + + 2002 − 2004 2 2 2 2 1 1 1 22 S = − + − + + n −4 − n−2 + + 2000 − 2002 2 2 2 1 1   1 22 S = −  − + − − n −4 + n −2 − − 2000 + 2002 − 2004 ÷− 2004 2 2  2 2 1   22 S = − S − 2004 ⇒ 3S = − 2004 ⇒ S = 1 − 2004 ÷   S= c Phương pháp tính tổng cách đưa tổng dạng hiệu khử liên tiếp số Dạng 1: Tổng dãy số với số hạng có dạng tích liên tiếp khơng chứa mẫu Ví dụ 5: Tính tổng sau: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 9.10 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Trong tổng có tích hai số liên tiếp số cuối tích số đầu tích liền sau, nên sử dụng nhân thêm tổng với số thích hợp (nhân thêm vào số 3) để viết dạng (3 - 0) số hạng thứ nhất, (4 - 1) số hạng thứ hai, (5 - 2) số hạng thứ (11 - 8) số hạng cuối cùng, tạo tích thứ hai thành hiệu với số trừ tích thứ nhất, lúc triệt tiêu tích liền trước cụ thể: * Cách giải: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 9.10 ⇒ 3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 9.10.3 ⇒ 3S = 1.2.(3 − 0) + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + + 9.10.(11 − 8) = 1.2.3 + 2.3.4 − 1.2.3 + 3.4.5 − 2.3.4 + + 9.10.11 − 8.9.10 = 9.10.11 = 990 ⇒ S = 330 * Bài toán tổng quát: Tính tổng: S = 1.2 +2.3 +3.4 + +n.( n +1) ⇒ 3S = 1.2.(3 − 0) + 2.3.(4 − 1) + 3.4.(5 − 2) + + n.( n + 1)[ (n + 2) − (n − 1)] n(n + 1)( n + 2) = 1.2.3 − 1.2.3 + 2.3.4 − 2.3.4 + + n( n + 1)( n + 2) = n( n + 1)( n + 2) ⇒ S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 9.10.11 Ví dụ 6: Tính tổng sau: S = * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Cũng tương tự ví dụ trên, số hạng tổng tích số liên tiếp nhau, hai số cuối số hạng thứ hai số đầu số hạng thứ hai, nên ta nhân thêm vào tổng với để viết dạng (4 - 0) số hạng thứ nhất, (5 - 1) số hạng thứ hai, (6 - 2) số hạng thứ (12 - 8) số hạng cuối cùng, từ khử liên tiếp hiệu * Cách giải: S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 9.10.11 ⇒ 4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + + 9.10.11.4 ⇒ 4S = 1.2.3.(4 − 0) + 2.3.4.(5 − 1) + 3.4.5.(6 − 2) + + 9.10.11.(12 − 8) =1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 1.2.3.4 + 3.4.5.6 − 2.3.4.5 + + 9.10.11.12 − 8.9.10.11 ⇒ 4S = 9.10.11.12 = 11880 ⇒ S = 2970 * Bài toán tổng quát: Tính tổng: S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 9.10.11 + + n.(n + 1)(n + 2) ⇒ 4S = 1.2 3(4 − 0) + 2.3.4.(5 − 1) + 3.4.5.(6 − 2) + + n.( n + 1).(n + 2) [ (n + 3) − (n − 1) ] = 1.2.3.4 − 1.2.3.4 + 2.3.4.5 − 2.3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) ⇒S= * Nhận xét: Số nhân thêm vào tổng tính số thừa số tích cộng Dạng 2: Tổng dãy số với tử số không đổi, mẫu tích số liên tiếp Ví dụ 7: Tính tổng sau: S= 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 2020.2021 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Các phân số tổng có tử mẫu tích hai số tự 1 nhiên liên tiếp nên ta sử dụng cơng thức n(n + 1) = n − n + biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng trừ để triệt tiêu số hạng đối * Cách giải: 1 1 + + + + 2 3 2020.2021 1 1 1  1 2020       − = = − =  −  +  −  +  −  + +  1       2020 2021  2021 2021 S= * Bài tốn tổng qt: 1 1 Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1)  1 n 1   1   1  1 = = − =  −  +  −  +  −  + +  − 1 2 2 3 3 4 n n + 1 n +1 n +1 Ví dụ 8: Tính tổng: S = 3 3 + + + + 1.4 4.7 7.10 2018.2021 * Phương pháp tìm lời giải: Ta thấy S tổng phân số có tử 3, cịn mẫu phân số tích chữ số lẻ liên tiếp đơn vị, ta viết phân số hiệu phân số, phân số bị trừ có tử mẫu thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử mẫu thừa số thứ Nên ta dễ dàng tính tổng cho * Cách giải: 3 3 1 1 1 1 + + + + − = − + − + − + + 1.4 4.7 7.10 2018.2021 4 7 10 2018 2021 2020 = =1 − 2021 2021 S= * Bài tốn tổng qt: Tính tổng: a a a a S= 1.(a + 1) + (a + 1).(2 a + 1) + (2 a + 1).(3a + 1) + + ( n a + 1).[ ( n + 1) a + 1] = 1 1 1 1 − + − + − + + − a + a + 2a + 2a + 3a + na + (n + 1) a + ( n + 1) a = 1− = ( n + 1) a + ( n + 1) a + Dạng 3: Tổng dãy số với tử phân số hiệu hai thừa số mẫu, mẫu bình phương tích số liên tiếp Ví dụ 9: Tính tổng: S = 11 29 + 2 + 2 + + 2 4 5 14 15 * Phương pháp tìm lời giải: Ở số hạng tổng ta nhận thấy tử hiệu hai bình phương mẫu: = 42 - 32, = 52 - 42 , thay tử hiệu hai bình phương mẫu, để đưa toán dạng hiệu khử liên tiếp phân số * Cách giải: 11 29 42 − 32 52 − 42 62 − 52 152 − 142 + + + + S= 2 2 2 = 2 + 2 + 2 + + 2 4 5 142.152 5 15 14 1 1 1 1 = − + − + − + + − 4 5 14 15 1 = 2− = 15 75 * Bài toán tổng quát: Tính tổng: 2n + 2n + 2n + 2n + (2n + 1) S= n (n + 1)2 + (n + 1) (n + 2) + (n + 2) (n + 3) + + (2n) (2n + 1) 1 1 1 1 − + − + − + + − 2 2 2 n (n + 1) (n + 1) (n + 2) ( n + 2) (n + 3) (2n) (2n + 1) 1 (n + 1)(3n + 1) = 2− = 2 n (2n + 1) n (2n + 1) = Dạng 4: Tổng dãy số với tử 1, mẫu tích thừa số a đơn vị Ví dụ 10: Tính tổng 100 số hạng dãy sau: 1 1 ; ; ; ; 66 176 336 * Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy số hạng dãy số có tử cịn mẫu là: = 1.6; 66 = 11.6 176 = 11.16 ; 336 = 16.21 Ta thấy mẫu phân số có quy luật là: Tích hai số có số tận số tận Trong thừa số mẫu số có thừa số thừa số lại đơn vị Vậy mẫu số số thứ n dãy số có dạng: (5n - 4)(5n + 1) => Mẫu số thứ 100 dãy số: (5.100 - 4)(5.100 + 1) = 496.501 Ta cần tính tổng S = 1 1 + + + + 1.6 6.11 11 16 496.501 Tương tự ta tách phân số thành hiệu phân số, ta thấy : 1 1 − = Tương tự − = 1.6 11 6.11 1 − = Từ ta tính tổng S 496 501 496.501 * Cách giải: 1 1 1 1 + + + + + + + + = + 66 176 336 2484966 1.6 6.11 11 16 496.501 1 1 1 1 − 5.S = − + − + − +…+ 6 11 11 16 496 501 1 500 100 ⇒S= 5.S = − = 501 501 501 S= * Bài toán tổng quát: 1 1 S = 1.6 + 6.11 + 11 16 + + (5n − 4)(5n + 1) 1 1 1 1 − + − +…+ + + (5n − − (5n + 1) 11 11 16 496 501 1 5n n ⇒S= 5.S = − = 5n + 5n + 5n + 1 1 5.S = − + − Ví dụ 11: Tính tổng A = 1 1 + + + + 3 4 37.38.39 * Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy phân số tổng A có tử cịn mẫu phân số tích số tự nhiên liên tiếp Ta viết số hạng tổng thành hiệu hai phân số cho số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau Ta tách phân số bị trừ có tử cịn mẫu số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cịn mẫu gồm có số tự nhiên liên tiếp sau ( có số trùng nhau) 1 1 1  − = =>  − = , 1.2 2.3 1.2.3  1.2 2.3  1.2.3 1 1 1  − = =>  − = … 23 3.4 2.3.4  2.3 3.4  2.3.4 1 1 1  − = =>  − = 37.38 38.39 37.38.39  37.38 38.39  37.38.39 1 Tổng quát ta áp dụng: n(n + 1) + (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2) Cụ thể: * Cách giải: 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 1 1  1 1  1 1  −  =  −  +  −  +…+   1.2 2.3   2.3 3.4   37.38 38.39  1 1 1 1  + − + + −  =  −  2 3 37.38 38.39  1 1  11  741 − 1 740 370 185 =  − = =  − = = =  1.2 38.39   38.39  38.39 38.39 741 741 A= * Bài toán tổng quát:  1 1 1  − + + + + = n(n + 1)(n + 2)  (n + 1).(n + 2)  1.2.3 2.3.4 3.4.5  (n + 1).(n + 2) −  (n + 1).(n + 2) − =  = 4(n + 1).(n + 2)  2(n + 1).(n + 2)  1 1 Ví dụ 12: Tính tổng C = + + + + 10 15 21 120 A= * Hướng dẫn tìm lời giải: Ta thấy mẫu số hạng tổng viết dạng tích khơng có quy luật, nhiên nhân thêm vào mẫu viết mẫu thành tích có quy luật * Cách giải: 1  1    + + + + + + + +  = 2  240  15.16   20 30 42  4.5 5.6 6.7 C = 2 1 1 1 1  = 2 − + − + + −  = 2. −  = 15 16  4 5  16  d Phương pháp tính tổng thơng qua tổng biết Ví dụ 13: Tính tổng sau: S = 12 + 22 + 32 + 42 + + 1002 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: Ở tổng số số liên tiếp cịn số mũ khơng đổi 2, nên sử dụng tổng S = 1.2 +2.3 +3.4 + +n.( n +1) S = + + + + n cách tách thừa số tích dạng hiệu số lớn liền sau với * Cách giải: S = 12 + 22 + 32 + 42 + + 1002 = 1.(2 − 1) + 2.(3 − 1) + 3.(4 − 1) + + 100.(101 − 1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 100.101 − − − − − 100 = [1.2 + 2.3 + 3.4 + + 100.101] − (1 + + + + 100) 100.101.102 100.101 = − = 335335 * Bài toán tổng quát: S= 12 + 22 + 32 + 42 + + n = 1.(2 − 1) + 2.(3 − 1) + 3.(4 − 1) + + n.[ (n + 1) − 1] = 1.2 − + 2.3 − + 3.4 − + + n.( n + 1) − n = [1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1)] - ( + + + + n ) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) = = Ví dụ 14: Tính tổng sau: (Bài tốn tổng quát ) S = 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: So với ví dụ 4, tổng số số chẵn liên tiếp, để giải số hạng tổng cần tách số hạng thành dạng tích số tự nhiên liên tiếp dạng S = 1.2 +2.3 +3.4 + +n.( n +1) Muốn trước hết sử dụng cách tách ví dụ 4, ta tích gồm số tự nhiên liên tiếp 2.3 + 4.5 + 6.7 + cần phải có thêm tích 1.2 + 3.4 + 5.6 + tách thừa số lũy thừa ban đầu dạng tổng số nhỏ liền trước với * Cách giải: S = 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 ⇒ S = 2.(3 − 1) + 4.(5 − 1) + 6.(7 − 1) + + 2n.[ (2n + 1) − 1] = 2.3 + 4.5 + 6.7 + + 2n(2n + 1) − − − − − 2n S = 2.(1 + 1) + 4.(3 + 1) + 6.(5 + 1) + + 2n.[ (2n − 1) + 1] = 1.2 + 3.4 + 5.6 + + 2n(2n − 1) + + + + + 2n ⇒ S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 2n(2n − 1) + 2n(2n + 1) 2n(2n + 1)(2n + 2) 2n(2n + 1)(2n + 2) Vậy 2.S = Nên S = Ví dụ 15: Tính tổng sau: S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 98.2 + 99.1 * Hướng dẫn cách tìm lời giải: 10 Trong tốn ta thấy số hạng lặp lại hai lần, cách viết thừa số tích lại theo thứ tự số liên tiếp, tách tích dạng có thừa số chung để sử dụng tổng S = 1.2 +2.3 +3.4 + +n.( n +1) S = + + + + n * Cách giải: S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 98.2 + 99.1 = 1.99 + 2.(99 - 1) + 3.(99 - 2) + + 98.(99 - 97) + 99.(99 - 98) = (1.99 + 2.99 + 3.99 + + 98.99 + 99.99) - (1.2 + 2.3 + + 97.98 + 98.99) 98.(98 + 1)(98 + 2) 99.100 98.99.100 101.99.100 = 166650 = 99 = = 99.( + + + + 99 ) - * Bài toán tổng quát: S = 1.n + 2.(n − 1) + 3.(n − 2) + (n − 1).2 + n.1 = 1.n + 2.(n − 1) + 3.(n − 2) + ( n − 1).[ n − (n − 2) ] + n.[ n − (n − 1) ] = n(1 + + + + n) − [ 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.( n − 1) ] - ( + + + + n ) = n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) = e Tính tổng phương pháp qui nạp toán học Phương pháp dễ dàng thực phép tính tổng, nhiên việc vân dụng phương pháp giải số tốn dạng tính tổng dãy số Lí số tốn việc tìm giả thiết quy nạp cịn gặp nhiều khó khăn Ví dụ 16: Tính tổng sau: Sn = 13 + 23 + 33 +…+ n3 (Bài toán tổng quát ) * Cách giải:  n ( n + 1)  Dự đoán kết quả: Sn =  ÷    ( + 1)  Với n = 1thì S1 =  ÷ =1   (đúng)  ( + 1)  Với n = S2 = +2 =  ÷ = (đúng)   3  ( + 1)  Với n = S3 = +2 + =  ÷ = 36   3 (đúng)  k ( k + 1)  = ÷   3 Giả sử kết với n = k tức Sk=1 + + +…+ k Ta phải chứng minh kết với n = k+1  ( k + 1) ( k + )  Tức phải chứng minh Sk+1=  ÷   Thật Sk+1 = 13 + 23 + 33 +…+ k3 + (k + 1)3 11 2  k ( k + 1)   ( k + 1) ( k + )  k k + 4k + k + ( + k + 1) = k + = =  ) ( ) ÷ + (k+1) = ( ÷ 4     2 Suy dự đoán  n ( n + 1)  Vậy Sn = 13 + 23 + 33 +…+ n3 =  ÷   2.3.3 Một số dạng tập có sử dụng tính tổng dãy số có quy luật: Dạng 1: Tính giá trị biểu thức: Ví dụ Tính giá trị biểu thức:  1 1  − − − − − 49 + + + A=  + ÷ 44.49  89  4.9 9.14 14.19 * Hướng dẫn giải: Dãy số ngoặc có quy luật tử phân số 1, mẫu tích thừa số có hiệu nên sử dụng phương pháp giải khử liên tiếp số hạng Còn − − − − − 49 = − ( + + + + 49 ) có quy luật tổng số lẻ liên tiếp nên sử dụng phương pháp nhóm số hạng tổng thành nhóm có tổng * Lời giải:  − − − − − 49 89  − 14 − 19 − 14 49 − 44  − (3 + + + + 49) + + + + A=  ÷  4.9 9.14 14.19 44.49  89 11 1 1 1  − [ (3 + 49) + (5 + 47) + (25 + 27) ] A =  − + − + − + + − ÷  9 14 14 19 44 49  89  1  − 52.12 −9 = A =  − ÷  49  89 28  1 1 + + + A=  + ÷ 44.49   4.9 9.14 14.19 Ví dụ Tính giá trị biểu thức: B= + (1 + 2) + (1 + + 3) + + (1 + + + + 98) 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 98.1 * Hướng dẫn giải: Trong sử dụng cơng thức tính tổng tử, mẫu rút gọn, nhiên việc tính tốn lặp lại nhiều lần, phức tạp, để làm nhanh tốn sử dụng tách mẫu thành tử, rút gọn * Lời giải: Ta thấy số bị chia gồm 98 tổng, số có mặt 98 tổng, số có mặt 97 tổng, số có mặt 96 tổng , số 97 có mặt tổng, số 98 có mặt tổng Nên số bị chia tính 1.98 + 2.97 + 3.96 + + 98.1 B = Ví dụ Tính giá trị biểu thức: 1 1 + + + + 99 C= 1 1 + + + + 1.99 3.97 5.95 99.1 12 * Hướng dẫn giải: Trước hết ta ghép phân số số bị chia thành cặp để làm xuất mẫu chung giống với mẫu phân số tương ứng số chia * Lời giải:  1    1 100 100 100 + + + 1 + ÷+  + ÷+ +  + ÷ 99   97   49 51  = 99 3.97 49.51 C= 1 1 1 1 1 + + + + + + + + + + 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1.99 3.97 5.95 97.3 99.1 1   100 + + + +  49.51  100  1.99 3.97 5.95 = = = 50 1   2 + + + +  49.51   1.99 3.97 5.95 Dạng 2: Dạng tốn chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 1 1 a+c < b+d c < d * Lời giải: 1 1 1 1 1 1 1 1 = − ; < = − ; < = − ; = − < < 1.2 2.3 3.4 99.100 99 100 100 1 1 1 1 Vậy + + + + < + + + + 99.100 100 1.2 2.3 3.4 1 1 1 1 1 1 − + − + − + + − + + + + < 2 3 99 100 100 1 1 99 + + + +  −  = 11 8.11  11  8.11 1 11 1 − = =>  −  = 11 14 11 14  11 14  11 14 1  1 1 − = = x( x + 3) =>  − x x +1  x x +  x.( x + 3) *Lời giải: Ta có:  101 1 1 1   1  1  −  +  −  +  −  +…+  − =    11   11 14   x x +  1540 1  101 1 1 1 =  − + − + − + + − x x +  1540  8 11 11 14  101 1 =  −  x +  1540 1 101 − = x + 1540 1 303 − = x + 1540 1 303 = − = x + 1540 1540 14 1 = nên x + = 308 => x = 308 - = 305 x + 308 2.3.4 Bài tập vận dụng: Bài 1: Tính tổng: với n số tự nhiên khác a + + + + (2n - 1) b + + + + 2n Bài 2: Tính tổng: với n số tự nhiên khác a 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n+1)(n+2) b 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + n(n+1)(n+2)(n +3) Bài 3: Tính tổng: 6 6 + + + + ; 15.18 18.21 21.24 87.90 32 32 32 32 b + + + + 8.11 11 14 14.17 197.200 1 1 c + + + + 25.27 27.29 29.31 73.75 15 15 15 15 d + + + + 90.94 94.98 98.102 146.150 a Bài 4: Tính giá trị biểu thức 1.2004 + 2.2003 + 3.2002 + + 2004.1 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2004.2005 1 1 + + + + 100 b B = 99 98 97 + + + + 99 1 1 + + + + 99 c P = 1 1 + + + + 1.99 3.97 5.95 99.1 a A = Bài 5: Chứng minh rằng: Với n ∈ N ta ln có: 1 1 n +1 + + + + = 66 176 (5n + 1)(5n + 6) 5n + Bài 6: Tìm x ∈ N biết: 1 1 49 a x + 2x + 3x + + 2011x = 2012.2011 b 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2 x − 1)(2 x + 1) = 99 15 c 1 2 = + + + + 21 28 36 x( x + 1) 1006 d − + 32 − 33 + + (−3) x = +1 Bài 7: Chứng minh rằng: 1 1 + + + + < 1.2.3 2.3.4 3.4.5 18.19.20 a 1 1 + + + + 2005 < 3 3 c b 1 1 + + + +