Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái cÊp tØnh
Năm học 2004 2005
Môn : Toán líp
Thêi gian : 150 phót C©u ( ®iĨm)
Thùc hiƯn phÐp tÝnh : a- [6.(−1
3)
2
−3 (−1
3)+1]:(− 3−1)
b- (
2 3)
3
.(−3
4)
2
.(−1)2003 (25)
2
.(−
12)
3
Câu ( điểm)
a- Tỡm s nguyên a để a
2
+a+3
a+1 số nguyên
b- Tìm số nguyên x,y cho x-2xy+y=0 Câu ( điểm)
a- Chứng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) a
b= c d
với b,d khác
b- Cần số hạng tổng S = 1+2+3+… để đợc số có ba chữ s ging
Câu ( điểm)
Cho tam giác ABC có góc B 450 , góc C 1200 Trên tia đối tia CB lấy điểm D cho CD=2CB Tính gúc ADE
Câu ( 1điểm)
Tìm số nguyên tố thoả mÃn : x2-2y2=1
Đáp án chấm Toán 7
Câu Hớng dẫn chấm Điểm
1.a Thực theo bớc kết -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực theo bớc kết 14,4 cho điểm tối
®a 1§iĨm
2.a
Ta cã : a
2
+a+3
a+1 =
a(a+1)+3
a+1 =a+
3
a+1
a số nguyên nên a
2
+a+3
a+1 sè nguyªn
3
a+1
là số nguyên hay a+1 ớc ta có bảng sau :
a+1 -3 -1
a -4 -2
VËy víi a {4,2,0,2} a2+a+3
a+1 số nguyên
0,25
(2)2.b Tõ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) số nguyên ta có trờng hợp sau :
¿
1−2y=1
2x −1=−1
⇒
¿x=0
y=0
¿{
¿
Hc
¿
1−2y=−1
2x −1=1
⇒
¿x=1
y=1
¿{
¿
VËy cã cỈp sè x, y nh thoả mÃn điều kiện đầu
0,25
0,25 0,25 0,25
3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta cã: (a+c)d=c(b+d) Hay ad=bc Suy a
b= c
d ( §PCM)
0,5 0,5 3.b Giả sử số có chữ số aaa =111.a ( a chữ số khác 0)
Gọi số số hạng tổng n , ta cã :
n(n+1)
2 =111a=3 37 a Hay n(n+1) =2.3.37.a
VËy n(n+1) chia hÕt cho 37 , mà 37 số nguyên tố n+1<74 ( Nếu n = 74 không thoả mÃn )
Do ú n=37 n+1 = 37
Nếu n=37 n+1 = 38 lỳc ú n(n+1)
2 =703 không thoả
m·n
Nếu n+1=37 n = 36 lúc n(n+1)
2 =666 tho¶ m·n
VËy sè số hạng tổng 36
0,25 0,25
(3)B C D H
A
Kẻ DH Vng góc với AC ACD =600 CDH = 300
Nªn CH = CD
2 ⇒ CH = BC
Tam gi¸c BCH cân C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân H
Do ú tam giác AHD vuông cân H Vậy ADB = 450+300=750
0,5
0,5 1,0 1,0
5 Tõ : x2-2y2=1suy x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho x ngun tố nên x=3 lúc y= nguyên tố thoả mãn
Nếu x không chia hết cho x2-1 chia hết cho đó 2y2 chia hết cho Mà(2;3)=1 nên y chia hết cho đó x2=19 khơng thoả mãn
Vậy cặp số (x,y) tìm đợc thoả mãn điều kiện đầu (2;3)
0,25 0,25