Cho aån laáy giaù trò treân töøng khoaûng, treân töøng khoaûng ñoù daáu cuûa bieåu thöùc beân trong daáu giaù trò tuyeät ñoái seõ aâm hoaëc döông. Döïa vaøo ñoù maø boû daáu trò tuyeät[r]
(1)Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN /
Tóm tắt lý thuyết Một số tính chất bất đẳng thức:
1 Với số a, b c, ta có:
Nếu a < b a + c < b + c Nếu a b a + c b + c
Nếu a > b a + c > b + c Neáu a b a + c b + c
2 Với số a, b c mà c > 0, ta có:
Nếu a < b a c < b c Nếu a b a c b c
Nếu a > b a c > b c Nếu a b a c b c
Với số a, b c mà c < 0, ta có:
Nếu a < b a c > b c Nếu a b a c b c
Neáu a > b a c < b c Nếu a b a c b c
3 Với số a, b c, ta có:
Nếu a < b b < c a < c (tính chất bắc cầu) Bất phương trình bậc ẩn:
1 Bất phương trình dạng ax + b < (hoặc ax + b > 0, ax + b 0, ax + b 0) a b hai số cho, a 0, gọi bất phương trình bậc ẩn.
2 Quy tắc biến đổi bất phương trình:
Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển hạng tử bất phương trình từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử đó.
Quy tắc nhân với số: Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác 0, ta phải: Giữ ngun chiều (dấu) bất phương trình số dương.
Đổi chiều (dấu) bất phương trình số âm (dấu “>” “<” “” “”) 3 Để giải bất phương trình bậc ẩn thông thường ta làm sau:
Trước tiên ta dùng quy tắc chuyển vế chuyển hạng tử có chứa biến vế, hạng tử không chứa biến vế (Chú ý: đổi dấu hạng tử, khơng đổi chiều bất phương trình). Sau dùng quy tắc nhân với số để tìm nghiệm bất phương trình (Chú ý: nhân với
số âm đổi chiều bất phương trình cịn nhân với số dương khơng) Chú ý:
Khi giải phương trình xong nhớ phải viết tập hợp nghiệm
Vd: “Vậy tập nghiệm bất phương trình x x > 5” hay “Vậy nghiệm bất phương trình x > 5” được.
Nếu đề không yêu cầu biểu diễn tập nghiệm trục số khơng biểu diễn. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1 Định nghĩa giá trị tuyệt đối số x sau:
¿
xkhix ≥0
− xkhix<0
¿x={
(2) – x = x x2 = x2
a + b a + b
a b a b a.b = a.b a
b=
a b
3 Do để giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta quy việc giải hai phương trình ứng với biểu thức bên dấu giá trị tuyệt đối âm hay dương Sau giải xong phương trình kiểm tra lại nghiệm thỏa điều kiện nhận khơng thơi.
4 Các dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp cách giải: Dạng 1: A = B (1) (với B số thực khơng chứa biến)
Nếu B < : phương trình vô nghiệm
Nếu B > : (1) A = B A = – B
Dạng 2: A = B (2) (với B biểu thức có chứa biến)
Neáu A x … (*)
(2) A = B x = … (đem nghiệm so với điều kiện (*) thỏa lấy) Chú ý: Trường hợp ph/trình A = B có VSN phương trình (2) có nghiệm (*)
Neáu A < x … (**)
(2) – A = B x = … (đem nghiệm so với điều kiện (**) thỏa lấy) Chú ý: Trường hợp ph/trình – A = B có VSN phương trình (2) có nghiệm (**) Vậy nghiệm phương trình là: (lấy nghiệm hai trường hợp trên)
Dạng 3: A = B A = B A = – B (giải hai phương trình tìm nghiệm có) Dạng 4:
A + B + … + N= (1)
⇔ A=0(a) B=0(b) N=0(n)
¿{ { {
Nghiệm (1) nghiệm chung phương trình (a), (b), … (n). Dạng 5: Phương trình có chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
Tìm giá trị ăn để biểu thức dấu giá trị tuyệt đối Các giá trị khi biểu diễn lên trục số chia trục số thành nhiều khoảng giá trị ẩn.
Cho ẩn lấy giá trị khoảng, khoảng dấu biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối âm dương Dựa vào mà bỏ dấu trị tuyệt đối
Giải phương trình, giá trị tìm phải nằm khoảng xét nhận làm
nghieäm
Nghiệm phương trình tất nghiệm vừa tìm khoảng. BÀI TẬP
Một số tính chất bất đẳng thức:
Bài 1. Các khẳng định sau hay sai ? Vì ?
1 a) (–2) + b) – 2.(–3) c) + (–8) < 15 + (–8) d) x2 + e) – – f) – + (–8)2 (–4) ( –15)
(3)2 a) (–6).5 < (–5).5 b) (– 6).(–3) < (–3).(–3) c) (–2003).(–2005) (–2005).2004 Bài 2. Hãy nhân vào hai vế bất đẳng thức số đặt dấu ngoặc kàm theo:
a) 10 < 15 (4) b) 20 > (3) c) 12 > 40 ( 3) e) 12 > ( 2) f) 14 < 29 (2) g) ( 4)
Bài 3. Chuyển khẳng định sau bất đẳng thức cho biết khẳng định hay sai ? a) Tổng –3 nhỏ –2
b) Hiệu –15 nhỏ 20 c) Tích –4 không lớn –18
d) Thương –3 lớn thương –2 Bài 4. Cho a < b, so sánh:
1 a) a + vaø b + b) a – vaø b – c) a – vaø b – d) 2a + vaø 2b + e) 2a + vaø 2b +
2 a) 2a vaø 2b b) 2a vaø a + b c) – a vaø – b d) 5a vaø 5b e) 3a vaø 3b
Bài 5. Cho a < b, chứng tỏ:
a) 3a + < 3b + b) 2a > 2b c) 2a – < 2b – d) 2a – < 2b + e) 2a + < 2b + f) 4(a – 2) < 4(b – 2) g) – 6a > – 6b h) + a < + b h) 3a < + 3b
i) 4a + < 4b + j) – 5m > – 5b Bài 6. Với m bất kỳ, chứng tỏ:
a) + m < + m b) m – < + m c) a < a + Bài 7. So sánh a b nếu:
a) a + < b + b) 3a > 3b c) 5a – 5b – d) 2a + 2b
Bài 8. Số a b âm hay dương nếu:
a) 12a < 15a b) 4a < 3a c) –3a > 5a d) 5b > 3b e) 12b > 8b f) 6b 9b Bài 9. Cho a > 0, b > 0, a < b, chứng tỏ:
a) a2 < ab vaø ab < b2 b) a2 < b2 vaø a3 < b3 c) a>
1
b
Bài 10. Với giá trị a thì:
a) a2 0 b) a2 > 0 c) a2 = 0
d) a2 0 e) a2 < 0
Bài 11. Chứng tỏ với a b hai số thì:
a) a2 + b2 – 2ab 0 b) a2+b2
2 ≥ab
Bất phương trình bậc ẩn:
Bài 12. Chứng minh bất phương trình sau tương đương:
(4)b) x2 + ax – a x3 + x2 + 1 vaø x3 + 2x2 – ax + a + 0
c) x2 + 2x + 3x – + x2 vaø x – 12 0
d) x2 + x + < 3x2 5x 1 vaø x2 – 3x – > 0
e) 3x3 – 4x – 0 vaø x3 –
3 x –
f) x2 – 0 vaø 2x2 – 4
Bài 13. Giải thích tương đương bất phương trình sau:
a) 2x < 3x < 4,5 b) x – < 12 x + < 22 c) 3x < 6x > 18 Bài 14. Chứng minh bất phương trình sau vơ nghiệm:
a) x2 + < 1 b) x2 + 2x < 2x c) x2 – 2x + < 2x + 3
d) x2 + 2x + 0 e) 4x2 4x + 0 f) x2 + x + 0
Bài 15. Chứng minh số thực x nghiệm bất phương trình sau: a) 2x2 4x + > 0 b) 3x2 + 2x + 0 c) x2 + 6x 10 < 0
d) x2 + 3x < 0 e) x2+4x+5
2 >0 f)
−6+2x − x2 x2+1 <0
Bài 16. Trong bất phương trình sau, cho biết bất phương trình bất phương trình bậc ẩn:
a) 2x – < b) 0x + > c) 5x – 15 d) x2 > 0 e) x2 + 0 f) 3x + >
Bài 17. Hãy viết thành bất phương trình nghiệm từ mệnh đề sau: a) Tổng số nhỏ
b) Hiệu số nhỏ 12 c) Tổng hai số lớn 12 d) Hiệu lần số nhỏ 10
e) Tổng số với hai lần số khơng vượt 5 Bài 18. Giải bất phương trình sau:
1 a) x – > b) x – 2x < 2x + c) 3x > 4x + d) 8x + < 7x – e) 3x + > 2x + f) x – < g) x – > h) – 4x 19 i) x + > j) 2x – > k) 3x – < l) – 5x 17 m) 3x + > n) 4x – < o) 2x + < p) 13 – 3x > q) 7x – 2,2 < 0,6 r) 1,5 > 2,3 – 4x a) 3x < 2x + b) 2x + < x + c) 4x – > 5x + a) 0,3x > 0,6 b) 4x < 12 c) x >
d) 3x < 18 e) 2x > f) 0,2x > g) 1,5x > h) 1,2x < i) 32 x > j) −5
6 x < 20 k) –
4 x > l) –
3 x > m) 12 x > n) −1
3 x < o) −
(5)4 a) 2x + 45 > 59 b) – 35 x < c) + 32 x > d) 3x −4 1>2 e) 2x+4
3 <3 f)
6−4x
5 <1 g) 1−32x>4 h) 15−6x
3 >5 i)
8−11x
4 <13 Baøi 19. Giải bất phương trình sau:
1 a) 8x + 3(x + 1) > 5x – (2x – 6) b) 2x(6x – 1) > (3x – 2)(4x + 3) c) (x – 1)2 < x(x + 3) d) (x – 2)(x + 2) > x(x – 4)
e) 2x + < – (3 – 4x) f) – 7x > (3 + 2x) – (5 – 6x) g) (x + 2)2 < 2x(x + 2) + 4 h) (x + 2)(x + 4) > (x – 2)(x + 8) + 26
i) x2 – x(x + 2) > 3x – 1 j) 2x – x(3x + 1) 15 – 3x(x + 2)
k) 18 – 3x(1 – x) < 3x2 – 3x + 1 l) (x + 1)(2x – 2) – 5x – (2x + 1)(3 – x)
m) x2 – 3x + > 2(x – 1) – x(3 – x) n) (x – 1)2 + x2 (x + 1)2 + (x + 2)2
2 a) 1−42x−2<1−5x
8 b)
x −1 −1>
x+1
3 +8 c) 14(x −1)<x −4
6 d)
2− x
3 < 3−2x
5 e) 1212x+1>9x+1
3 − 8x+1
4 f) 2+
3(x+1)
8 <3−
x −1 g) x2−x(2x+3)
2 <
x −1
2 h)
3x −1 −
13− x
2 > 7x
3 −
11(x+3)
2
i)
x −3¿2 ¿ 2x −1¿2
¿ ¿ ¿ ¿
j) 2x+1¿ ¿ ¿ ¿ k) 5x −4 2>1−2x
12 l)
12x+5
8 < 3x −1 12 m) 1110−3x>5x+2
15 n)
1−4x
12 < 5−3x
9 Baøi 20. Giải bất phương trình sau biểu diễn nghiệm trục số:
1 a) 2x – > b) 2x – < c) 3x + > d) 3x + < e) – 3x f) – 2x g) x + < h) 3x + 12 i) – 4x a) 112−3x>0 b) −
5x+12≤0 c)
2x+6
−3 ≥0
d) −−8−135x<0 e) −2−7x
5 ≤0 f)
1−9x
−8 ≤0
3 a) x −21−7x+3
15 ≤ 2x+1
3 + 3−2x
5 b) 2x
+1
3 −
2x2+3
4 >
x(5−3x)
6 −
4x+1
5 c) 4x −3 2− x+3≤1−5x
4 d)
x+4
5 − x −5≥
x+3
3 −
x −2 e) 5x2−3
5 + 3x −1
4 <
x(2x+3)
2 −5 f)
5x −2 −
2x2− x >
x(1−3x)
3 +
5x
(6)g) 2x+2x+1
2 >3x −
5 h) x −
5x
6 −3>
x
3−
x
6 a) −1<x+1
6 −
x −2
2 <1 b) x −1< 2x −1
3 −1<2x+4 a) x(x – 1) < b) (x – 2)(x – 5) >
c) (x + 5)(7 – 2x) > d) (2x + 1)(x – 3) < e) x2 – 6x < 0 f) x2 – 4x + > 0
g) −1<x+1
6 −
x −2
2 <1 h)
x+2
x −5<0 i) x −x+31>1 j) 2− x
3x −1>−1 Bài 21. Tìm giá trị cuûa x cho:
a) Giá trị biểu thức 2x – không âm b) Giá trị biểu thức −
3x −18 âm c) Giá trị biểu thức 8x −315 dương
d) Giá trị biểu thức 5−23x+2 không dương
e) Giá trị biểu thức 3x không lớn giá trị biểu thức 7x + f) Giá trị phân thức 5−62x lớn giá trị phân thức 5x −3 g) Giá trị phân thức 1,55− x nhỏ giá trị phân thức 4x2+5 h) Giá trị phân thức 5x(x −3)
4 +2 lớn giá trị phân thức
x(10x −3)
8 +x i) Giá trị phân thức (x+1)(x −2)
6 − x không nhỏ giá trị phân thức
2x2−8x+1
12
Bài 22. Tìm nghiệm nguyên âm bất phương trình: a) 4x + 13 b) 3(2x – 3) < 2(5x + 2) Bài 23. Tìm nghiệm nguyên dương bất phương trình:
a) 17 – 3x b) x(x – 2) – 5x + 21 (x – 2)2
Bài 24. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn bất phương trình sau: a) 4n – 19 b) 17 – 6n
c) 3(5 – 4n) + (27 + 2n) > d) (n + 2)2 – (n – 3)(n + 3) 40
Bài 25. Tìm tất số nguyên thỏa mãn hai bất phương trình: a) 2x > – 3x <