Đang tải... (xem toàn văn)
các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B cắt nhau tại điểm P. Các đường tròn đường kính BH, CH cắt AB, AC tại điểm thứ hai tương ứng D, E. Tia Ex vuông góc với BE và tia Cy vuông góc [r]
(1)Phần I CĂN BẬC HAI_ CĂN BẬC n § MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1.Bất phương trình tích
a) Nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc biểu thức có dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0) Nghiệm phương trình ax + b = gọi nghiệm nhị thức ( x0 = - ba ) b) Định lí: (Định lí dấu nhị thức bậc nhất)
Nhị thức ax + b (a ≠ 0) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức , trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức
x - ∞ x0 +∞
f(x) = ax + b a.f(x) < 0 a.f(x) > 0
Ví dụ:
Xét dấu nhị thức sau: a) f(x) = 2x – ; b) g(x) = -3x – Giải
Phương pháp: +) Xác định dấu hệ số a +) Tìm nghiệm nhị thức
+) Kết luận: Dựa vào định lí để kết luận a) Ta có: a = >
Nhị thức có nghiệm x0 = 32
Vậy f(x) < x < 32 ; f(x) > x > 32
( Hay 2x – < x < 32 ; 2x -3 > x > 32 ) b) Ta có: a = -3 <
Nhị thức có nghiệm x0 = -5
Vậy f(x) < x > - 53 ; f(x) > x< - 53
( Hay -3x – < x > - 53 ; -3x – > x< - 53 ) 2 Bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối
a) f(x) < a
¿ a>0
−a<f(x)<a
¿{
¿
; b) f(x) ≤ a
¿ a ≥0 −a ≤ f (x)≤ a
¿{
¿
(2)c) f(x) > a
¿a≥0 f(x)<− a
¿ f(x)>a
¿ ¿ ¿ a<0
¿ ¿{
¿ ¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
; d) f(x) ≥ a
¿a>0
f(x)≤− a
¿ f(x)≥ a
¿ ¿ ¿ a ≤0
¿ ¿{
¿ ¿ ¿ ¿
¿ ¿ ¿
B CÁC VÍ DỤ: Ví dụ1:
Giải bất phương trình sau: a) 2x – < ; b) -4x + ≤ ; c) (2x – 7)( -4x + 3) ≥ ; d) (x −1)(2− x)
2x −6 <0 Giải
Phương pháp:
1) Đối với câu a) b) ta sủ dụng tính chất bất đẳng thức để biến đổi tương đương
2) Đối với câu c) d) ta áp dụng định lí dấu nhị thức bậc a) 2x – < 2x < x < 72
Vậy x < 72 nghiệm bất phương trình cho b) -4x + ≤ -4x ≤ -3 x ≥ −−34=3
4
Vậy x ≥ 34 nghiệm bất phương trình cho
c) (2x – 7)( -4x + 3) ≥ (*) Cách 1: Biến đổi tương đương
(*)
¿2x −7≥0 −4x+3≥0
¿ ¿ ¿ 2x −7≤0
¿ −4x+3≤0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
¿x ≥7 x ≤3
4 ¿ ¿ ¿ x ≤7
2 ¿ x ≥3
4 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
34≤ x ≤72
(3)
1) Tìm nghiệm nhị thức bậ nhất: 2x – = x = 72 ; - 4x + = x = 34 2) Lập bảng xét dấu:
x -∞
4 +∞
2x – - - + -4x + + - -
VT - + -
3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = [34;7 2] d) (x −1)(2− x)
2x −6 <0
1) Nghiệm nhị thức bậc nhất:
x – = x = 1; – x = x = 2; 2x – = x = 2) Lập bảng xét dấu:
x -∞ +∞ x – - + + + – x + + - -2x – - - - +
VT + - + - 3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập ghiệm S = (1;2)(3; +∞)
Ví dụ2:
Giải bất phương trình sau:
a) 2x2 – 3x + < ; b) x2 + 4x +5 ≥ ; c) -2x2 +4x – ≥ ; d) 2x2 – 5x + <
Hướng dẫn giải Phương pháp:
Phân tích vế trái bất đẳng thức thành tích nhị thức thực cách giải ví dụ 1.
a) 2x2 – 3x + < (1)
(1) 2x2 – 2x – x + < 2x(x – 1) – (x – 1) < (2x – 1)(x – 1) <
b) x2 + 4x +5 ≥
x2 + 4x + + ≥ (x + 2)2 + ≥ Luôn với x
c) -2x2 +4x – ≥
-2(x2 – 2x + 1) – ≥ -2(x - 1)2 – ≥ vơ lí
d) 2x2 – 5x + <
2x2 – 4x – x + < 2x(x - 2) – (x – 2) < (2x – 1)(x - 2) <
(4)Giải bất phương trình sau:
a) 1 - 3x < ; b) 5x + 3 > ; c) x2 – 5x + 5 ≥ ; d) 32x− x+1 <
Giải
a) 1 - 3x < - < – 3x < - < -3x < - 13 < x < Vậy bất phương trình có nghiệm x (- 13 ; 1)
b) 5x + 3 >
5x+3>4
¿ 5x+3<−4
¿ ¿ ¿ ¿
x>1
5 ¿ x<−7
5 ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy bất phương trình có nghiệm x (-∞;- 75 )( 15 ;+∞)
c) x2 – 5x + 5 ≥
x2−5x+5≥1
¿
x2−5x+5≤−1
¿ ¿ ¿ ¿
x2−5x+4≥0
¿ x2−5x+6≤0
¿ ¿ ¿ ¿
Vậy bất phương trình có nghiệm x (-∞;1] [2;3] [4; +∞)
d) 32x− x+1 <
¿ 3x+1
2− x >−3 3x+1
2− x <3 ¿{
¿
¿ 3x+1
2− x +3>0 3x+1
2− x −3<0 ¿{
¿
¿
(3x+1)+3(2− x)
2− x >0
(3x+1)−3(2− x)
2− x <0 ¿{
¿
(*)
¿ 2− x>0 6x −5
2− x <0 ¿{
¿
¿ 2− x>0 (6x −5)(2− x)<0
¿{
¿
¿ 2− x>0
6x −5<0
¿{
¿
x < 56
(5)
¿ 3x+1
2− x >−3 3x+1
2− x <3 ¿{
¿
¿
3x+1>−3(2− x)
3x+1<3(2− x)
¿{
¿
¿ 1>−6
6x<5
¿{
¿ Điều – x > x < 2.
C BÀI TẬP
Giải bất phương trình sau:
1) 3x – > ; 2) x2 – 4x – 21 > ; 3) x2 – 4x + < ; 4) – 3x2 + x – < 0; 5) 2x2 – 5x + < 0; 6)
3x + 4 < ; 7) x
2−2x
x2−5x
+6<x
§ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1) Hằng đẳng thức đáng nhớ:
+) (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2.
+) (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 +) a2 – b2 = (a - b)(a + b)
+) a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2) 2) Các quy tắc luỹ thừa(a, b, c ≠ 0, mZ)
+) am.an = am+n ; +) am : an = am-n +) (am)n = am.n = an.m ; +) (abc)m = ambmcm. +) (a
b) m
=a
m
bm ; +) a
-m = am 3) Các quy tắc bậc hai:
+) Điều kiện có nghĩa √A A ≥ +) Quy ước √a ≥
+)
a a
a
a neáu a neáu a < Với điều kiện có nghĩa thì:
+) √a.√b=√ab ; (√a)n=√an ; +) (√a.√b.√c)n=√an.√bn.√cn
+) √a:√b=√a
b (b ≠ 0); +) √a
b=a√b
+) a
2
2
a b b
a b
neáu a
neáu a 0 +)
a
√b=
a√b b
+) a
√b ±√c=
a(√b∓√c)
b − c ; a √b ± c=
a(√b∓c)
b − c2 (đk : mẫu thức khác 0) B.CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng 1: Phân tích thành nhân tử
(6)a) ab + ac + b2 + 2bc + c2; b) x3 – 6x2 + 11x – 6; c) x6 – x4 – 2x3 + 2x2 d) x6 – y6
d) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
Giải a) Nhóm số hạng:
(ab + ac) + (b2 + 2bc + c2) = a(b + c) + (b + c)2 = (b + c)(a + b + c). b) Tách số hạng -6x2 11x ta có:
x3 – x2 – 5x2 + 5x + 6x – = x2(x - 1) – 5x(x - 1) + 6(x - 1) =(x - 1)(x - 2)(x - 3)
c) Đặt x2 làm nhân tử chung:
x6 – x4 – 2x3 + 2x2 = x2(x – 1)2(x2 + 2x + 2) c) Dùng đẳng thức:
x6 – y6 = (x - y)(x + y)(x2 – xy + y2)(x2 + xy + y2) d) Chú ý rằng: y2 – z2 = -(z2 – x2 + x2 – y2), thay vào đẳng thức
Chú ý: Trong thực hành với đa thức bậc n, ta sử dụng kết sau đây: Xét đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a2x2 + a1x + a0
- Nếu P(x) có nghiệm x = a, tức P(a) = P(x) chia hết cho (x – a) ngược lại Khi P(x) = (x - a)Q(x) Q(x) có bậc n –
- Nếu tổng hệ số an+ an-1+ …+ a2+ a1+ a0 = P(x) có nghiệm x =
- Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ P(x) có nghiệm x = - Phân tích thành nhân tử đa thức sau:
a) a3 + 3a2 – 6a – ; b) a - 3
√a +
2;
c) √x3−2
√x − x ; d) a + √a +
e) a √a - 2b √b - 3b √a
Gi¶i
a) a3 + 3a2 – 6a – = (a + 1)(a2 + 2a - 8) = (a + 1)(a + 4)(a - 2). b) a - √a + = ( √a - 1)( √a - 2)
c) √x3−2√x − x = √x (x - √x - 2) = √x ( √x + 1)( √x - 2) d) a + √a + = ( √a + 1)( √a + 3)
e) a √a - 2b √b - 3b √a = a √a - 2b √b - 2b √a - b √a = √a (a - b) – 2b(
√a + √b )
= √a ( √a - √b )( √a + √b ) -2b( √a + √b ) = ( √a + √b )(a - √ab - 2b)
= ( √a + √b )(a - √ab - b - b) = ( √a + √b )[a – b - √b ( √a + √b )] = ( √a + √b )2(
√a - √b )
II.Bài tập vận dụng: Bài 1: Phân tích thành nhân tử:
a) a2 – 2ab –c2 + b2 ; b) 3xy2 + 6xy + 3x; c) -6x2 + 5x + 1; d) abx2-(a2 + b2)x + ab; e) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x – y)
Bài 2: Phân tích thành nhân tử:
a) a – với a > 0; b) a - √a + ; c) -6x +5 √x + ; d) √x - 6x – 2; e) 2a + √ab - 6b với a > 0; b > 0; f) 6y2 – 5y
√x - x; g) √xy - 4x √x - 9y √y + 6xy ; h) x - √x −1 - a2.
(7)Bài 3: Phân tích thành nhân tử:
a) x4 – 4x2 + 12x – ; b) x4 – 4x – ; c) x3 – 3x2 + 2;
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
1.Biểu thức không chứa biến số:
I.Các ví dụ:
Phương pháp: Áp dụng đẳng thức để phâp tích biểu thức bậc hai thành tổng_hiệu bình phương
Rút gọn biểu thức
a) A = √6+2√5−√6−2√5 ; b) B = √5−2√6−√5+2√6 Gi¶i
a) + √5 = + √5 + = ( √5 + 1)2 b) - √6 = - √3.√2 +
c)
Rút gọn biểu thức
a) C = √2−√3+√2+√3 ; b) D = √9+6√2−√9−6√2−√21−12√3
Giải a) 2−√3=1
2(4−2√3)=
2(1−√3)
2
b) 9+6√2=6+2√6 √3+3 ; 21−12√3=12−2 2√3 3+9
Thực phép tính:
a) (4+√15) (√10−√6)√4−√15 ; b) √3−√5 (√10−√2)(3+√5) ; Gi¶i
a) (4+√15) (√10−√6)√4−√15 = √4+√15 √4+√15√4−√15(√10−√6)
= √4+√15 1.√2(√5−√3) = √8+2√15(√5−√3)=(√5+√3)(√5−√3) =
b) √3−√5 (√10−√2)(3+√5) =
Thực phép tính:
a) M =
2
5 6
3
; b) N =
2
7 6 6
Gi¶i
a) Chó ý r»ng : + =
3
; - 6=
3 b) Chú ý:
2
2 6
Thực phép tính:
a) P = 40 57 40 57 ; b) N =
1 1
1 2 3 2007 2008 Gi¶i
a)NhËn xÐt: 40 < 57 nên:
P2 = 57 - 40 2 + 40 2 + 57 -2
2 2
57 (40 2) 114 14 100
Do P < nên: p = -10
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
(8)b) Trục thớc khỏi mẫu sốbằng cách nhân tử, mẫu với biểu thức liên hợp: 1; 3 2; ; 2008 2007.
Từ đó: Q = 1 3 2008 2007 2008 1 .
II.Bài tập vận dụng: Rút gọn biểu thức sau:
1) √11−2√10 ; 2) √9−2√14 ; 3)
√3+√11+6√2−√5+2√6
√2+√6+2√5−√7+2√10 ; 4) √5√3+5√48−10√7+4√3 ; 5) √4+√10+2√5+√4−√10+2√5 ; 6) √94−42√5−√94+42√5 ; 7)
2+√3
√2+√2+√3+
2−√3
√2−√2−√3 ; 8)
5 5
5 5
;
9)
2
9 14 14
7
; 10) 12 29 12 29 .
2.Biểu thức có chứa biến số:
I.Các ví dụ: Phương pháp:
+) Phân tích đa thức thành nhân tử +) Giản ước biểu thức đồng dạng
Lưu ý: Đối với biểu thức có chứa biển đưới dấu bậc hai nên đặt điều kiện để thức có nghĩa
Cho biểu thức:
A = √x −√x2−4x+4
a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A
Giải a) Biến đổi biểu thức:
A = √x −√x2
−4x+4 =
x −2¿2 ¿ ¿ x −√¿
√¿
= √x −x −2 Điều kiện để A có nghĩa:
x ≥ x - 2
¿ x ≥0 x2≥ x2−4x+4
¿{
¿
x ≥ Tập xác định A: { x x R; x ≥ 1}
b) Nếu x ≥ A = √x −(x −2) = √2
Nếu x < A = √x −(2− x) = √2x −2
Rut gọn biểu thức:
Ví dụ 1:
(9)a) A= x −5√x+6
x −4 ; b) B=
3√x −2x −1 4x −4√x+1 ;
c)C= √x(√x+5)+√y(√y+5)+2(√xy+3)
√x(√x+6)+√y(√y+6)+2√xy tính giá trị biểu thức √x+√y=2008
Gi¶i a) A= x −5√x+6
x −4 =
x −2√x −3√x+6 (√x −2)(√x+2) =
√x −3
√x+2
b) B= 3√x −2x −1 4x −4√x+1 =
√x¿2−1
¿ 2√x −1¿2
¿ 2√x+√x −2¿
¿
=
2√x −1¿2 ¿
(2√x −1)−√x(2√x −1)
¿ c)C= √x(√x+5)+√y(√y+5)+2(√xy+3)
√x(√x+6)+√y(√y+6)+2√xy
Ta có: MT = (√x+√y)(√x+√y+6)
TT = (√x+√y −1)(√x+√y+6)
VậyC= √x(√x+5)+√y(√y+5)+2(√xy+3)
√x(√x+6)+√y(√y+6)+2√xy =
√x+√y −1
√x+√y
Với √x+√y=2008 ; C = 20072008
Rút gọn biểu thức:
a) A = x - 1 - 1 – 2x với x < 12 ; b) P = 2x −√x
2 −1
3x2−4x+1 chứng minh a > P(a).P(-a) <
c) Q = √x2+√4−4x+x2+1
x −1 với x > √2 d) B = √x2−8x+16+√25−10x+x2 víi < x <
Gi¶i a)V× x <
2 nên x – < x - 1 = – x – 2x > 1 – 2x = – 2x Vậy A = – x – (1 – 2x) = x
b) 2x - √x
- = 2x - x - =
x 3x
neáu a neáu a 3x2 – 4x + = 3x2 - x – 3x + = (x - 1)(3x - 1)
Vậy P =
1
0 3x
1
0 x
neáu a neáu a
Có P(a) = 3a−1 1 >0 (vì a > 1) P(-a) = − a −11 =−
a+1 < (vì -a < -1 < 0)
Suy ra: P(a).P(-a) <
(10)c) Có thể viết Q = x+2− x+1 x −1
x > √2 x = x;2 - x = x – 2, đồng thời 2x – ≠ 0, : Q = x+2x −x −21+1=2x −1
2x −1=1 d) Có thể viết B = x - 4 + 5 - x
Vì < x < nên x – > – x > : B = (x - 4) + (5 – x ) =
II.Bài tập vận dụng: Bài 1: Rút gọn biểu thức
B = (aba+1
+1+
ab+a
ab−1−1):( a+1
ab+1 −
ab+a
ab−1+1)
Tính giá trị B a = √4+2√3 ; b = √4−2√3
Bài 2: Rút gọn biểu thức
B = √x+2√2x −4−√x −2√2x −4 Bài 3: Rút gọn biểu thức:
A = (1− a√a 1−√a +√a)(
1−√a 1−a )
2
B = xy√x −√y
ßy :[(
1 x+
1 y)
1
x+y+2√xy+
(√x+√y)3.(
1
√x+
1
√y)] với x = - √3 ; x = +
√3
C = 1−√x −1
√x −2√x −1
D = √x+√x2− y2−√x −√x2− y2
√2(x − y) với x > y >
E = (
√x −1+
1 √x+1):(
1
√x −1−
1
√x+1) với x =
a2
+b2
2 ab ; b > a > F = 2a√1+x
2
√1+x2− x với x =
1 2(√
1− a a −√
a
1− a) < a < P = (a + b) - √(a2+1)(b2+1)
c2
+1 với a, b, c > ab + bc + ca =
Q = √x+2√x −1+√x −2√x −1
√x+√2x −1+√x −√2x −1.√2x −1 Bài 4: Rút gọn biểu thức
a) 3x −2x
−1 4x2−4x
+1 b)
2x2−xy−3y2 2x2−5 xy
+3y2
c) a3+2a2b− a −2b
2a3− a2b−2a+b tính số trị biểu thức
a b=
1 Bài 5: Rút gọn biểu thức
a) 2a+√ab−3b
2a −5√ab+3b ; b)
x −3√x −4
x −√x −12 ; c)
x√y − y√x
√x −√y ;
d) 7y√x −3y2−2x
x −9y2 ; e)
x+y+2√xy x − y +√
x −√y
√x+√y ; f) (1+ a+√a
√a+1).(1−
a −√a
√a −1)
(11)Thực tốn rút gọn biểu thức, thực toán em việc rút gọn biểu thức đến khơng cịn biến số ta điều phải chứng minh
I.Các ví dụ:
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số: A = 2√x+3√y
√xy+2√x −3√y −6−
6−√xy
√xy+2√x+3√y+6−
x+9
x −9 với x > 0; y > 0; x ≠ Giải
Phân tích mẫu thức thành nh©n tư:
+) √xy+2√x −3√y −6=√x(√y+2)−3(√y+2)=(√x −3)(√y+2)
+) √xy+2√x+3√y+6=(√x+3)(√y+2)
+) x – = (√x −3)(√x+3)
MTC = (√x −3)(√x+3)(√y+2)
Vậy :
A = (2√x+3√y)(√x+3)−(6−√xy)(√x −3)−(x+9)(√y+2)
(√x −3)(√x+3)(√y+2) =
Suy A không phụ thuộc vào biến số (đpcm)
Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số: B =
√xy:(
1
√x−
1
√y)
2
− x+y
(√x −√y)2 với x > 0; y > 0; x ≠ y
Gi¶i
B =
2
2
2
: y x x y
xy
xy y x
=
2
2
xy x y
xy x y x y
=
2
2 2
2
1
x y xy x y x y xy
x y x y x y
(đpcm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số: C =
2
1 1
1
2 2
a
a a
a a
Với a > 0; a ≠ 1.
Gi¶i MTC = 2(1+ a)(1- a)(1+ a)
C =
1 (1 ) (1 )(1 ) 2( 1)
1
2(1 )(1 )
a a a a a a
a a a
=
2
(1 )(1 ) 2 (1 )
1
2 (1 ) (1 )
a a a a a a
a a a a
(đpcm).
II.Bài tập vận dụng: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:
a)
2
xy x y x y
x y x y x y x y
với x > ; y > 0; x ≠ y
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
(12)b)
2
2 2
y y x x
x x y x x y x x
Với x > 0; x y .
c)
2 2
:
2
x y y xy y xy y
x y x x y y x y
Với x > y >
d) 2
1
:
2
xy x xy y x xy y x xy y
Với x > 0; y > 0; x ≠ y.
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức: Phương pháp:
Thực toán rút gọn biểu thức, nhiên khác với toán chổ : Khi biến đổi không thiết phải làm cho biểu thức thật gọn mà ta phải hướng mục tiêu cuối làm xuất vế lại
Để biến đổi A = B ta áp dụng phương pháp sau: 1) Chỉ A – B =
2) Biến đổi A thành B (hoặc ngược lại) 3) Biến đổi A = C đồng thời B = C
I.Các ví dụ Chứng minh đẳng thức:
b a a b b a a b
a b
a ab ab b b a
Với a > ; b > 0; a ≠ b.
Gi¶i
VT =
( )
( ) ( ) ( )( )
b a ab a b
a a b b a b a b a b
( )( )
( ) ( )
a b a b ab a b
ab a b a b a b
(đpcm).
Chứng minh đẳng thức:
2
2 2
x y x y y y
y x
x y x y x y
Với x > ; y > 0; x≠ y.
Gi¶i
VT =
2
2( ) 2( )
x y x y y
x y
x y x y
=
2
( ) ( )
2( )( )
x y x y y
x y x y
=
2( )2
2( )( )
x y y y
x y x y x y
(đpcm).
Chứng minh đẳng thức:
2
3
a b a b
ab
a b a b
Với a > ;b > 0; a ≠ b.
Gi¶i
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
(13)VT =
( ) ( )
a a b b ab a b a b
a b a b
=
( )( )
( )
a a b b a b b a a b a b = 2 ( )( )( ) ( ) ( ) ( )
a b a b a b a b
a b a b
(đpcm).
II.Bài tập Chứng minh đẳng thức sau:
1)
2
2 2
1
:
2 4
y x y
x y y x x y x y x
Với x ≠ 0; y ≠ 2x.
2)
6
4 2
3 ( 1) ( 1) ( 1)
:
2 1
a a a a a a
a a a a
Với a ≠ 1.
3)
2
3 2 2 2
1
:
a ab b ab a b
a a b ab b a b a b a a b ab b a b
Với a ≠ b; a ≠ 0; b ≠
0
4)
2 2
1
2
a a a
a a
a a a
Với a > 0; a ≠ 1.
5)
2
1
(1 )
1
a a a a
a a a
a a
Với a ≥ ; a ≠ 1
6)
2 2
4
2 2
a x a x a a
x x
a x a x
Với a > x.
7)
4
4 2 2
2
P a a a a
a
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Cho biểu thức: M =
3
1 :
1 a a a
a) Rút gọn M
b) Tính giá trị M a = 2 .
Giải a) Điều kiện để M có nghĩa là:
1 a a
-1 < a < 1
M =
2 2
2
3 3 1
:
1 1
a a a a
a a a a
=
1
1 a a a a .
b) Với a = 2 =
3
3(2 3)
2 3
nếu ≤ a ≤ a >
(14)Thay vào M ta có: M = 1 3(2 3) ( 3) (1 3)2 1
Cho biểu thức: N =
1
1 :
1 1
a a
a a a a a a
a)Rút gọn N
b)Tìm giá trị a cho N < c)Tính giá trị N a = 19 -
Giải a)Điều kiện có nghĩa a ≥ a ≠
N =
1
:
1 ( 1)( 1)
a a a
a a a a
=
1 ( 1)( 1)
1 ( 1)
a a a a a a
a a a
b) N <
1 1
a a a
2
a a
(1)
Vì a + > nên a 1 ≤ a < Vậy ≤ a < N <
c)Nhận xét: a = 19 - = (4 3)2 Thay vào biểu thức , ta :
N =
19 24 15
2
4 3
.
Cho biểu thức: P =
3
2
x x x x
x x x x
a)Rút gọn P
b)Tìm giá trị x Z cho P Z Giải a)Điều kiện: x v x
MTC = ( x1)( x2)
P =
3 3 ( 1)( 1) ( 2)( 2)
( 1)( 2)
x x x x x x
x x
=
3 3
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x x x x x
x x x x
=
( 1)( 2)
( 1)( 2)
x x x
x x x
b) P = +
1
x , Ta có P Z
2
x Z x - ước 2.Do x -
nhận giá trị 1; 2, từ đó:
+) x - = -1 x = ; +) x - = x = 4;
Ví dụ 2:
(15)+) x - = -2 Vô nghiệm ; +) x - = x =
Vậy với x = 0; 4; P Z
Cho biểu thức: A =
2
( )
:
x x y y x y xy
x y
y x
x y x y
a)Rút gọn A
b)Chứng minh A ≥ c) So sánh A với A
Giải
a)Điều kiện:
0
x y x y
(*)
A =
2
( )
:
x x y y x y xy
x y
y x
x y x y
=
3
2
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
x y x y x y x y
x y x y x y x y xy
=
( )
x xy y x y
x y
x y x y xy
=
2
( ) ( )
x y x xy y x y
x y x xy y
=
xy x xy y
b) Ta có : xy ≥ x - xy + y =
2
3
2
y y
x
Nên với x , y thỏa mãn điều kiện (*) A ≥ c)Ta có
2
0
x y
hay x - xy + y > xy suy
1
xy x xyy
Vậy ≤ A < Với A = A = A
Với < A < A < A( A - 1) < A < A Thực phép tính sau :
a) A = x x2 4 x x2 Với x ≥
b)
2
: ( )
a a b b b
ab a b
a b a b
Với a ≥ ; b ≥ 0
Gi¶i
Ví dụ 4:
(16)a) A2 = x -
2 4 4 ( 4)( 4)
x x x x x x x
= 2x +2 x2 x24 = 2x +4
Vì A ≥ nên A = 2x4.
b)
2
: ( )
a a b b b
ab a b
a b a b
= 3
( ) ( )
: ( )
a b b
ab a b
a b a b
=
( )( )
: ( )
a b a ab b b
ab a b
a b a b
=
: ( ) b
a ab b ab a b
a b
=
2
: ( ) b
a b a b
a b
=
2
( a b) b
a b a b
=
2
a b b
a b a b
= 1
Cho biểu thức: A =
1
:
9
3 1 3
a a a
a
a a a
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị a để A = Giải Điều kiện: a a
a) A =
1
:
9
3 1 3
a a a
a
a a a
=
1 (3 1) (3 2)
:
3 (3 1)(3 1)
a a a a
a a a a a
=
( 1)(3 1) (3 1)
:
(3 1)(3 1)
a a a a
a a a
=
3
(3 1)(3 1)
a a a a a
a a =
3 (1 )
(3 1)(3 1)
a a a
a a = a a a
b)Để A =
5 3
a a a
=
6
5 5a5 a 18 a 6 5a13 a 6
25 a a
(17)Vậy với a = a =
25 A = 5.
Cho biểu thức: B =
2
1
1
a a a a a a a a
a a a a
a)Rút gọn B b)Cho B =
6
1 tìm giá trị a. c) Chứng minh rằng: B >
2 3. Gi¶i §iỊu kiƯn: 1 a a a B =
2
1
1
a a a a a a a a
a a a a
=
2 ( 1)
1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
a a a a a a a a
a a a a a a
=
1 ( 1)
1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
a a a a a a a a a a a
a a a a a a
=
( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
a a a a a a a a a a a
a a a a a a
=
( 1) (2 1)
2 ( 1)
1
1 (1 )(1 )
a a a
a a a
a a a a a
=
(2 1) ( 1) (2 1) ( 1)
1
1 (1 )(1 ) (2 1)
a a a a a a
a a a a a
=
1 ( 1)
1 ( 1)
1 (1 )(1 )
a a
a a
a a a a
= ( 1)
1
(1 ) a a a a a =
1 ( )
1
(1 )
a a a a a a a = 1
(1 ) 1
a a a a a
a a a a a a
.
b) Với B =
1 1 a a a
1 1 6 a a 6 a a
(18) a - 6a + = 3 a a
c) Biết ( a-1)2 ≥ nên a + ≥ 2 a hay a≤
1
a
Do đó, ta có :
a + a + ≤ a+
a
+1 =
2(a + 1) (1) Theo điều kiện tốn a + a + > suy
(1)
1 a a a ≥ 3
Vì a ≠ nên dấu khơng xảy ra, suy ra: 1
a a a
>
2
3 (®pcm).
Cho biểu thức: M =
5 25
1 :
25 15
x x x x x
x x x x x
a)Rút gọn M
b)Với giá trị x M <
Giải
Điều kiện : 25 x x x
a) M =
5 25
1 :
25 15
x x x x x
x x x x x
=
( 5) 25 ( 9) ( 25)
1 :
( 5)( 5) ( 5)( 3) ( 5)( 3)
x x x x x
x x x x x x
=
( 5) 25 16
1 :
( 5)( 5) ( 5)( 3) ( 5)( 3)
x x x
x x x x x x
= :
( 5) ( 5)( 3)
x x
x x x
=
5 ( 5)( 3)
x x x x =
5 ( 5)( 3)
5 (3 )(3 )
x x
x x x
= 3 x .
b)Với M <
5
3 x < < + x x > x > 4.
Vậy với x > M <
Bài tập
Bài 1: Cho biểu thức Q =
1 3
:
ab ab a b
a b a a b b a b a a b b a ab b
a)Rút gọn Q
(19)b) Tính giá trị Q với a = 2; b =
Bài 2: Cho biểu thức: M =
3 ( 1)( )
:
2 2
a a a a b
a ab b a a b b a b a ab b
a)Rút gọn Q
b) Tìm giá trị nguyên x để M có giá trị nguyên Bài 3: a)Chứng minh đẳng thức:
2
3 (2 )
1
1
a a
a a
b) Từ kết suy với giá trị a biểu thức P =
a a
đạt giá trị
nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ
Bài 4: Cho biểu thức : Q =
1 1 1
1
x x x x x x
x
x x x x x x x
a)Rút gọn Q
b) Tìm giá trị x để Q =
Bài 5: Cho biểu thức: M = 2 2
1 1
5 12 20 11 30
x x x x x x x x
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị x để M > 0; M < Bài 6: a) Tính A = 2 2 12 18 128
b) Phân tích thành nhân tử: B = 4x3 + 8x2 + x – 3.
Bài 7: Cho biểu thức: P =
3
3
2 1
1
1
a a a
a
a a a
a
a)Rút gọn P
b) Xét dấu biểu thức: P 1 a.
Bài 8: Cho biểu thức: P =
1 1
:
1
a a
a a a a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị a để P > 6. Bài 9: Cho biểu thức: A =
2
2 1
1 1
a
a a a
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị lớn A
Bài 10: Cho biểu thức sau với x, y nguyên dương:
A =
3
3
1 1
: x y x x y y
x y
x y x y x y xy
a) Rút gọn A
b) Cho xy = 16 Xác định x, y để A có giá trị nhỏ Bài 11: Cho biểu thưcsau với x > 0, y > 0, x ≠ 4y, x ≠ 1: A =
3 2 1
2 2
x x x
xy y x x xy y x
(20)a) Rút gọn A
b) Tìm tất số nguyên dương x để y = 625 A < 0,2 Bài 12: Cho hai biểu thức:
A =
( x y) xy
x y
; B =
x y y x xy
a) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa b) Rút gọn A B
c) Tính tích A.B với x = - 2; y = +
Bài 13: Cho biểu thức: A =
2
1 :
1 1
a a
a a a a a a
a)Rút gọn A
b) Tính giá trị A x = 2008 -2 2007
Phần II HÀM SỐ
HÀM SỐ BẬC NHẤT-PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
§1 KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ A KIẾM THỨC CẦN NHỚ
1.Định nghĩa: Hàm số quy tắc đặt tương ứng giá trị x D giá trị y R Kí hiệu y = f(x)
2 Các khái niệm liên quan:
+) Giá trị x gọi biến số (đối số) hàm số Giá trị y gọi giá trị hàm số +) Tập D gọi tập xác định hàm số
+) Tập M gồm tất giá trị y gọi tập giá trị hàm số
Chú ý: Nếu hàm số cho cơng thức tập xác định hàm số tập hợp tất giá trị x làm cho biểu thức có nghĩa.
Đồ thị hàm số:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm có tọa độ (x;f(x))
4.Hàm số đồng biếm,nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) xác định tập D.
Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến trên D. Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến trên D.
§2 HÀM SỐ BẬC NHẤT- PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
A KIẾM THỨC CẦN NHỚ
Hàm số bậc nhất:
Đ/n: Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b (a ≠ 0) a Tập xác định: D = R
b Chiều biến thiên: +) Nếu a > hàn số đồng biến +) Nếu a < hàm số nghịch biến
c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc đường thẳngcắt trục tung trục hoành
A(0;b),B(-b a;0).
x
y
x
O a <
A
(0
;b
)
B
(-;0
(21)Nhận xét: Đồ thị hàm số đồng biến đường hướng lên từ trái qua phải Đồ thị hàm số nghịch biến đường hướng xuống từ trái qua phải
- Đồ thị hàm số bậc gọi tắt đường thẳng , biểu thức y = ax + b cịn gọi phương trình đường thẳng, a gọi hệ số góc đường thẳng a tan (với
góc tạo đường thẳng trục hồnh).
- Nếu a = hàm số có dạng y = b , đồ thị đường thẳng qua điểm A(0;b) song song với trục hồnh
2 Vị trí tương đối hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng có phương trình: y = a1x + b1 (d1) ; y = a1x + b1 (d2)
d1cắt d2 a1 ≠ a2; d1 // d2
1
1
a a b b
d1 d2
1
1
a a b b
; d1 d2 a1 a2 = -1
3 Phương trình dạng ax + b = (1) (a;b R)
Nếu a ≠ : Pt (1) gọi phương trình bậc ln có nghiệm
b x
a
Nếu a = 0; B ≠ 0: Pt (1) vô nghiệm
Nếu a = b = : Pt (1) nghiệm x R
4 Phương trình bậc hai ẩn: ax + by + c = (1) (a2 + b2 ≠ 0)
Phương trình có vô số nghiệm, công thức nghiệm tổng quát là:
x
c ax y
b
y
c ax x
b
Tập hợp điểm M(x;y) x, y thỏa mãn (2) đường thẳng
5 Hệ phương trình bậc hai ẩn: Có dạng:
(I)
y
x
O
A
(0
;b
)
B
(-;0
) a >
y
x O
A(0;b)
a = y = b
tùy ý
tùy ý tùy ý
(22) ' '
a b
a b : Hệ (I) có nghiệm nhất, ĐT(1) cắt ĐT(2).
' ' '
a b c
a b c : Hệ (I) vô nghiệm, ĐT(1) song song với ĐT(2).
' ' '
a b c
a b c : Hệ (I) có vơ số nghiệm (x;y) thỏa mãn (1) (2), ĐT(1) trùng ĐTT(2).
Phương pháp giải:
Phương pháp
Phương pháp cộng đại số
Phương pháp thế: Rút ẩn từ phương trình vào phương ttrình cịn lại.
Phương pháp cộng đại số: cân hệ số ẩn hai phương trình trừ theo
vế hai phương trình để khử bớt ẩn.Tìm ẩn cịn lại.
B CÁC VÍ DỤ VỀ GIẢI TOÁN
Cho hàm số y = (m - 1)x + m (d) a) Xác định m để hàm số đồng biến, nghịch biến b) Xác định m để đường thẳng (d) :
1) Song song với trụ hoành
2) Song song với đường thẳng có phương trình: x – 2y = (d’) 3) Cắt trục hoành điểm A có hồnh độ x = -
3 .
c) Chứng minh đờng thẳng (d) qua điểm cố định m thay đổi , tìm điểm cố định
Giải a) -Hàm số đồnh biến nếu: m – > m > -Hàm số đồnh biến nếu: m – < m < b)Tìm m:
1) Đờng thẳng (d) song song với Ox m – = m = 2) Viết lại đờng thẳng (d’) dới dạng: y =
1 2x -
1
Hai đường thẳng (d) (d’) song song với :
1
3
1
2
m
m m
3) Điểm A có tọa độ : A (2 -
2 ;0) Do đường thẳng (d) qua A nên ta có: = (m - 1) (2 -
3
2 ) + m m =
21 33
c) Điểm cố định:
Cách 1: (Phương pháp hệ số bất định)
Gọi M(x0;y0) điểm cố định (nếu có) đường thẳng (d), đó: y0 = (m - 1)x0 + m m R
(m - 1)x0 + m – y0 = (*) m R Vì (*) với m R nên:
Với m = 0: - x0 – y0 = x0 = -y0 (a)
Với m = 1: – y0 = y0 = thay vào (a) ta có: x0 = -1
(23)Vậy đường thẳng (d) qua điển cố định M(-1;1) Cách 2: (Phương pháp đồng thức)
Gọi M(x0;y0) điểm cố định (nếu có) đường thẳng (d), đó: y0 = (m - 1)x0 + m m R
(x0 + 1)m – ( y0 + x0) = (*) m R
0
0 0
1
( )
x x
y x y
Vậy đờng thẳng (d) qua điển cố định M(-1;1)
Cho hàm số y = (m - 2)x + n () hai số m , n hai số thực cho trước a) Tìm m n để đường thẳng () qua hai điểm A(1;-2) B(3; -4)
b) Tìm m n để đường thẳng () cắt trục tung điểm M có tung độ y = - cắt trụ hồnh điểm N có hồnh độ x = +
c) Tìm m, n để đờng thẳng () :
1) Vng góc với đờng thẳng có phơng trình x – 2y = (1) 2) Song song với dờng thẳng có phơng trình 3x + 2y =1 (2) 3) Trùng với đờng thẳng có phơng trình y – 2x + = (3)
Giải a) Vì đờng thẳng () qua A B nên ta có hệ sau:
2
( 2).3
m n m n m
m n m n n
b) M(0; - 2);N(2 + 2;0) Tương tự câu a) ta có hệ sau:
3
1
2
( 2)(2 2)
1
n m
m n
n
c) Xác định m, n:
1) Đường thẳng (1) viết lại dạng: y =
1
2x
Điều kiện để đường thẳng () vng góc với đường thẳng (1) là: (m - 2)
1
2 = -1 m – =-2 m = 0. 2) Viết 3x + 2y = dạng y =
-3 2x +
1
2, điều kiện :
3
2
2
1
2
m m
n n
3) Viết y - 2x + = dạng y = 2x – 3, điều kiện là:
2
3
m m
n n
Cho phương trình: mx – = m2 + x (1) (x ẩn ) a) Giải phương trình m = 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm âm
Ví dụ 2:
(24)Gi¶i a) Đa phơng trình dạng: (m - 1)x = m2 +1
Víi m = 1 ta có phương trình: 2x = ( + )2 +1 x = 2 +
b) Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là: m – ≠ m ≠ Khi đó: x =
2 1
0
1
m
m m
Giải phương trình sau: a)
2 2
1
x
x x x
( 1) ; b)
1
0
2 2
x
x x x x
(2).
Gi¶i
a) Điều kiện cps nghĩa cúa rphơng trình lµ:
0
1
( 1)
3
x x
x x x
x
.
Với điều kiện (1) 2(x2 - x) = (x – )(2x + 5) 2x2 – 2x = 2x2 + 5x – 6x – 15 x = 15 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trìng có nghiệm x = 15
b) Điều kiện có nghĩa : x ≠ 1 ( Chú ý x2 + x + =
2
1
0
2
x
x).
Với điều kiện ta cã :
(2) (x + 1)(x2 + x + 1) – (2x + 1).2.(x - 1) + 3(x - 1)(x2 + x + 1) = 0
x3 + x2 + x + x2 + x + – 4x3 + 4x – 2x2 + + 3x3 + 3x2 + 3x – 3x2 – 3x – = x = (thoả mãn điều kiện)
Vậy phơng trình cho có nghiệm x =
Giải phương trình sau:
a) 2 x x ( 1) ; b) x2 2x 1 2 1 (2);
c) x1 y3 0 (3); d) 2x y 1 x y 0 (4) Gi¶i
a) C ách1: Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối: Nếu – 2x x
1
2 : 1 2 x x 1 – 2x = x – x =
3 (lọai 3>
1 2). Nếu – 2x < x >
1
2 : 1 2 x x 1 2x – 1= x – x = (loại < 2) Vậy phương trình cho vơ nghiệm
Cách 2: Nhận xét: Vế trái phương trình cho không âm nên:
(1)
1
2
1
3
1
0
x x
x x x
x x
x
Vơ lí.
Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) Ta có: x2 – 2x + = (x - 1)2
Ví dụ 4:
(25)x2 2x 1 2 1
2 2
1 (1 2)
x
x1 (1 2) 1
3
1 2
1 x x x
c) Chú ý a b a +b =
0 a b
Vậy
x1 y3 0
1
3
x x y y
Vậy phương trình có cặp nghiệm là: (1; -3) d) Tương tự:
2x y 1 x y 0
2
0 x y x y
x = y = -1.
Vậy phơng trình có cặp nghiệm là: (-1; -1)
Cho hệ phương trình:
2 ax y x ay
a) Giải hệ phương trình a = -
b) Chứng minh với a hệ có nghiệm
c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y < d) Tìm a để hệ cónghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x = y
Gi¶i
a) Khi a = - hệ có dạng :
2
( 1)
( 1) 3
5
x x y x y y
b) Cách1: Rút y = ax – từ phươngtrình đầu, thay vào phương trình thứ hai ta được: (a2 + 1)x = + 2a Vì a2 + ≠
a nên: a x a
, từ suy : y =
3 a a
Vậy với a hệ có ngiệm
Cách 2: Với a = hệ có nghiệm x = 3; y = -2
Với a ≠ hai đường thẳng có phương trình y = ax – (d1) y =
x a + a
là hai đường thẳng có hệ số góc khác nên cắt Vậy hệ ln có nghiệm với a
c) Theo câu b) ta có hệ có nghiệm a x a
; y =
3
1
a a
nên:
x + y < 2
3
0
1
a a a
a a
1
5
5
a a
d) Ta có x = y 2
3
2 1 a a a a
a =
3 2 2
Ví dụ 6:
(26)Giải hệ phương trình:
a)
6
4
x y xy x y
; b)
1
2
2 1
5 y x x y x y . Giải
a) Vì x ≠ ; y ≠ (để hệ phương trình có nghĩa), chia hai vế phương trình thứ cho xy ta hệ tương đương:
6 x y x y
Đặt u =
x ; v =
1
y ta có hệ :
1
6 2
1
4
3 u u v u v v ;
Từ suy hệ có nghiệm (2;3) b) Với điều kiện
1 y x
, Đặt
1 , y t t x
2 1
1
x
y t
phương trình thứ trở
thành: t +
1
t = (t - 1)2 =
t = Vậy:
1
1 2
2
y y
x y
x x
Ta có hệ sau:
2
5
x y x
x y y
(Tháa m·n ®iỊu kiÖn) VËy hÖ cã nghiÖm: (1;4)
Giải hệ phương trình:
1 (1)
2 (2)
x y y x Gi¶i Tõ (1) (*) (1') (2') y x y x y
Từ (1’) (2) ta có hệ :
1 x y y x x y
(thỏa mãn điều kiện (*).
Từ (2’) (2) ta có hệ:
1
2
x y x
y x y
(tháa m·n ®iỊu kiƯn (*).
Vậy hệ phơng trình cho có (2) nghiệm (3;4) (-1;2)
a) Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(x0;y0) có hệ số góc k b) Lập phương trình đường thẳng qua điểm M(x1;y1) N(x2;y2)
c) Lập phương trình đường thẳng qua diểm M(-1;3) và:
Ví dụ8:
(27)1) Song song với đường thẳng có phương trình 3x – 2y = 2) Vng góc với đường thẳng có phương trình: 3y – 2x + =0
Giải
a) Phương trình đường thẳng có dạng y = kx + b (*) Vì đường thẳng qua A(x0;y0) nên y0 = kx0 + b b = y0 – kx0 Thay vào (*) , ta có y = kx + (y0 – kx0) , hay:
b) Xét trường hợp:
y1 = y2 x1 ≠ x2 : Đường thẳng MN//Ox có phương trình: y = y1 (= y2) x1 = x2 y1 ≠ y2 : Đường thẳng MBN//Oy có phương trình x = x1 (= x2)
x1 ≠ x2 y1 ≠ y2 Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax +b Vì đường thẳng qua M, N nên ta có :
1
2
y ax b y ax b
Trừ vế với vế ta : y2 – y1 = a(x2 – x1) Suy : a =
2
2
y y x x
Áp dụng câu a) ta có phương trình cần tìm là: y =
2
2
y y x x
(x – x
1) + y1
1
1
y y x x y y x x
Ví dụ vận dụng: Lập phương trình đường thẳng qua M(1;-2) N(3;-4) Ta có: a =
2
2
4
y y x x
Vậy phương trình đường thẳng qua M,N là: y = - (x - 1) – y = - x – c)
1) Viết phương trình 3x – 2y = dạng: y =
3
2x Vậy a =
3
2 Áp dụng câu a) ta có : y =
3
1
2 x 2x2 2) Viết phương trình 3y – 2x + = dạng : y =
2
3x 3 Vậy a = 3. Gọi k hệ số góc đường thằng cần tìm ta có k
2
3 = -1 k = -3
2 Vậy phương trình cần thành lập là: y =
3 3
( 1)
2 x 2x
C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải phương trình sau:
a) (x - 3)(x - 4) - (x + 4)2 = 2(3x - 2); b) 2
2 19 17
5 1
x
x x x
c)
1
1 1
x x x
x x x
; d) 2
5 18
25 12 30 20
x x x
x x x x x x
Bài 2: Tìm điều kiện mà hệ số a, b, m, … phải thỏa mãn để phương trình sau đậy có nghiệm tìm nghiệm đó:
a) m2x + = mx + m ; b)(a2 + b2)x + a = b + 2abx;
(28)c)
2
2
ax b bx a a b a b a b a b
; d)
2
1: 1:
x a a b
a b b a
.
Bài 3: Giải phương trình(rút gọn nghiệm)
a) 2x - = + ; b) x + = x - 3; c) 2(x - 1) = x – 2; d) x 27- 12 = x 18 - e) + 3x = 2 - x
Bài 4: Giải phương trình:
a) (3x - 2)2 = (x + 3)2; b) 2 2
1
(x a x a )( ) (x a x a )( ) 3 (a x a ) c) x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + =0; d) ax3 + x2 – ax – = 0.
Bài 5: Giải phương trình:
a) 3x 3 ; b) x 5 x 1; c)
2 4 3
4
x x
; d) 4x x 1 3 0.
Bài 6: Giải hệ phương trình:
a)
1
3
3
x
x y
x y
; b)
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
c)
(1 )(2 ) ( 3)( 1)
(1 )(1 ) (2 )(8 )
x y y x
x y x y
; d)
3 2
2
5
x xy
y x
;
e)
1
2
5
3
x y x y x y x y
; f)
1
3
2
3 2
x y y xy
; g)
5
x y
y x
x y
Bài 7: Xác định a, b để hệ phương trình:
2x ay b (1) ax by (2)
a) Có nghiệm x = y = b) Có vô số nghiệm
Bài 8: Cho hệ phương trình:
ax 2y a (1)
2x y a (2)
a) Giải hệ a = -
b) Tìm giá trị a để hệ có nghiệm (x ; y) cho x – y =
Bài 9: Chứng minh với giá trị a, b phương trình x3 + ax2 + b = đồng thời có nghiệm số -1
Bài 10: Giải phương trình:
a) (y - 1)2 + (2 - x)2 = ; b) (x – 2y)2 + y2 = 3(2y - 3)
(29)a)
(2 1)( )
( )( )
x y y x
x y x y
; b)
2 2 1
2
x y y
x y x y
; c)
2
2
4 4
2( 8)
x y xy x y xy
.
Bài 12: Cho hàm số:
y = (2m - 1)x + n – (1)
a) Xác định m, n để đường thẳng (1) cắt trục tung điểm có tung độ y = - cắt trục hoành điểm có hồnh độ x =
b) Xác định m, n để đường thẳng (1) qua gốc tọa độ vng góc vơi đưởng thẳng có phương trình : 2x – 5y =
c) Giả sử m, n thay đổi cho m + n = Chứng minh đường thẳng (1) qua điểm cố định mà ta xác định tọa độ
Bài 13: Giải đồ thị hệ phương trình:
a)
3
2
x y
x y
; b)
1
y x x y
; c)
1
3 12
y x
x y
§3 HÀM SỐ Y = AX2 _ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A KIẾM THỨC CẦN NHỚ
Hàm số y = ax2
Tập xác định : D = R Chiều biếm thiêm:
a > 0: Hàm số nghịch biến khoảng ( - ; 0] đồng biến khoảng (0 ; + ) Giá trị nhỏ không
a < 0: Hàm số đồng biến khoảng ( - ; 0] nghịch biến khoảng (0 ; + ) Giá trị lớn không
Đồ thị:
Đồ thị hàm số y = ax2 parabol, qua gốc tọa độ, nhận trục tung làm trục đối xứng,quay bề lõm lên phía a > (quay bề lõm xuống phía a < 0) 2 Phương trình bậc hai
Có dạng: ax2 + bx + c =0 (a 0) Cách giải:
= b2 – 4ac (’ = b’2 – ac; b = 2b’) Nếu < (’< 0) phương trình cho vơ nghiệm
Nếu = (’ = 0) phương trình cho có nghiệm kép x1 = x2 =
b a
( '
b a
) Nếu > (’ > 0) phương trình cho có hai nghiệm phân biệt:
' '
2
b b
x
a a
;
' '
2
b b
x
a a
Đặc biệt:+)Nếu a + b + c = phương trình bậc hai có hai nghiệm:x = x =
c a.
+) Nếu a - b + c = phương trình bậc hai có hai nghiệm:x = -1 x
=-c a.
3 Định lí Viét ứng dụng
(30)
1
1
b x x
a c x x
a
b)Ứng dụng:
1) Tìm hai số biết tổng tích:
Nếu hai số x ; y thỏa mãn
x y S xy P
S P
x ; y hai nghiệm phương trình X2 – SX + P = 0. 2) Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai:
Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu ac <
Phương trình có hai nghiệm dương (x1 > 0; x2 > )
0 0
S P
Phương trình có hai nghiệm âm (x1 < 0; x2 < )
0 0
S P
4.Phương trình trùng phương: Có dạng: ax4 + bx2 + c = (a ≠ 0) Cách giải: Đặt x2 = t , điều kiện t
; phương trình cho có dạng at2 + bt + c = 0.
B CÁC VÍ DỤ VỀ GIẢI TỐN
Cho hàm số y = (2m - 1)x2 (m tham số) có đồ thị P(m) a) Xác định m để đồ thị P(m) qua điểm A(-1;-2)
b) Vẽ đồ thị P
; y = f(x) = - 2x2 so sánh f(-1993) với f(1994).
c) Xác định a để điểm sau thuộc parabol P
:
1
; , 1; , 3;
2 2
a
a
d) Xác định k để đường thẳng y = kx cắt đồ thị P
điểm có tung độ -4.
Giải a) Điểm (1-; -2) P(m) -2 = (2m - 1)(-1)2 m = -
1 b) Vẽ đồ thị f(x) = - 2x2 (Bạn đọc tự vẽ)
Chú ý f(-1993) = f(1993); a = -2 < nên với x > hàm số nghịch biến Do từ < 1993 < 1994 suy f(-1993)=f(1993) > f(1994)
c) Lập luận a) ta có : - 2a2 = -
1
2 a2 =
1
4 a =
(31)
- 2.(-1)2 = -2
a
a = - 2.32 = -
9
16
a a
d) Các điểm đồ thị P
với tung độ -4 có hồnh độ nghiệm phương trình
- 2x2 = -4 x2 =
x = đường thẳng cắt P
1
A(- 2;-4), B( 2; -4)
Từ y = kx k =
y
x , có hai giá trị k cần tìm : k1 = 2 2, k2 = - 2 2.
Cho phương trình : (m – 2)x2 – 2mx + m – = (1) (m tham số) a) Với giá trị m (1) phương trình bậc hai
b) Giải phương trình m = 2.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Giả sử (1) có hai nghiệm x1và x2,tính x12 + x22
Gi¶i
a) Để (1) phơng trình bậc hai m – ≠ m ≠ b)Thay m =
3
2 vào phương trình rút gọn ta được: x2 + 6x + =
1
x x
c) Điều kiện để(1) có hai nghiệm phân biệt là:
2
0
4
'
3
m
a m
m m
Vậy: với
2
3m phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Chú ý: Học sinh dễ mắc sai lầm không nêu điều kiện a ≠ 0, chẳng hạn ví dụ m = (1) phương trình bậc có nghiệm x = -
1 2.
d) Với
2
3m theo Viét ta có
1
1
2
m x x
m m x x
m
.
S =
2 2
2 2
1 2 2
2 12 16
( ) 2
2 ( 2)
m m m m
x x x x x x
m m m
.
Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – = (2)
a) Chứng minh với m phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Chứng minh biểu thức : M = x1(1 – x2)+ x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m
Ví dụ 2:
(32)d) Lập phương trình bậc hai có nghiệm :
1 ;
x x (x
1, x2 nghiệm (2)) Giải
a) Ta cã : ’ = m2 + m + =
2
1 19
0
2
m m
phương trình ln có hai nghiệm
phân biệt
b) Phương trình (2) có hai nghiệm tría dấu ac < m – < m < c) Theo Viét ta có x1 + x2 = 2(m + 1), x1x2 = m –
Vậy M = x1 + x2 – x1x2 = 2(m + 1) – 2(m - 4) = 10 không phụ thuộc vào m d) S =
1
1 2
1 2( 1)
4
x x m
x x x x m
P =
1
( 4)
m
x x m
Vậy phương trình cần thành lập là: x2 -
2( 1)
4
m m
x +
1
m = 0
hay (m – 4)x2 – 2(m + 1)x + = (m ≠ 4) Giải phương trình sau:
a)
1
2 16
x x
; b)
2
1 1
x
x x x
;
c)
x a x x a a x
; d)
2
2
1
x
x x .
Gi¶i
a)
1
2 16
x x
2
4 16 16
x x x
b)Điều kiện x ≠ Khử mẫu số rút gọn phương trình :
x2 + (2 2 - 1)x + 2 - =
1 2
x x
.
c) Điều kiện x ≠ a Khử mẫu số rút gọn phương trình: x2 – 3ax =
0
x x a
Vậy để phương trình có nghiệm a ≠ Suy ra: Nếu a = phương trình vơ nghiệm
Nếu a ≠ phương trình có hai nghiệm
x x a
d) )Điều kiện x ≠ Sau khử mẫu số rút gọn :
2x2 – x – =
1
x x
Với x = -1 (loại) khơng thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm x =
3
(33)Giải phương trình sau:
a) (6x2 – 7x)2 - 2(6x2 – 7x) – = ; b) x - x12 = 14 ; c)
2
1
5
x x
x x
; d) 2
24 15
0
2
x x x x ;
e)
11 14
1 1
x x x x
x x x x
.
Gi¶i a) Đặt 6x2 – 7x = t ta phương trình :
t2 – 2t – =
1
t t
;
t = - 6x2 – 7x = -1 6x2 – 7x + =
1
x x
t = 6x2 – 7x = 6x2 – 7x – =
3
x x
;
Vậy phương trình có bốn nghiệm : 1; 6;
3 2;
1
b) Đặt
( 0)
x t x x
, ta phương trình:
t2– 4,5t + =
5 2
t t
5
t
1
2
x x
2x2 – 5x + =
1 2
x x
.
t =
1
x x
(x - 1)2 = x = Vậy phương trình cho có ba nghiệm :
1
2 ; 1; 2. c) Đặt x2 + 2x – = t Ta :
24 15
2
t t (t ≠ 0,t ≠ )
Khử mẫu, rút gọn ta có:
2t2 – 19t -75 =
3 25
t t
t = -3 x2 + 2x – = - x2 + 2x =
0
x x
(34)
25
t
x2 + 2x – =
25
2 66
2
2 66
2
x x
.
d) Viết phương trình dạng : x – 12 - x12 - =
Đặt x12 = t x - 12 = t2 (t
0) ta phương trình : t2 - t – =
1
(loại) (nhận)
t t
Với t = , suy : x12 = x -12 = x = 16.
Vậy phương trình có nghiệm x = 16
Chú ý: Ta không cần đặt điều kiện x – 12 với t x – 12 = t2 Vậy điều kiện điều kiện x – 12 thỏa mãn
e) Điều kiện x 0; x ≠ Đặt x = t, t 0.Quy đồng rút gọn ta đợc: 2t2 = 24 t2 = 12 x = 12.
Vậy phơng trình có nghiệm x = 12 Cho hàm số: y = 2x2 (P). a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục tọa độ
c) Tùy theo m xét số giao điểm đường thăng y = mx – với (P) d) Viết phương trình đường thẳng qua A(0; -2) tiếp xúc với (P)
e) Tìm tập hợp điểm M cho qua M kẻ hai đường thẳng cng góc với tiếp xúc với (P)
f) Tìm (P) điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ Gi¶i
a) Đồ thị (bạn đọc tự vẽ)
b) Cách 1: Dùng đồ thị vẽ thêm hai đường thẳng y = -x y = x tìm tọa độ giao điểm Cách 2: Dùng tích chất:
Để điểm A(xA; yA) cách hai trục tọa độ xA yA (1) Mặt khác A lại nằm đồ thị (P) nên: yA 2x2A (2)
Từ (1) (2) ta có :
2 xA xA 0
0
A A
x x
Vậy có ba điểm cần tìm : A1(0;0), A2(
1
; 2), A3(
1 2;
1 2).
c) Số giao điểm đường thẳng y = mx – với (P) số nghiệm phương trình: 2x2 = mx –
2x2 - mx + = (3) = m2 –
< m2 – < m 2 phương trình (3) vơ nghiệm , hay đường thẳng không cắt (P)
= m2 – = m2 phương trình (3) có nghiệm , hay đường thẳng cắt (P) điểm (đường thằng tiếp xúc vứi (P))
(35) > m2 – > m 2 phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt , hay đường thẳng cắt (P) hai điểm phân biệt
d) Đường thẳng cần tìm khơng thể song song với Oy nên có dạng y = ax + b
Vì qua A(0 ; -2) nên b = - 2, y = ax – (4) Sử dụng kết câu c), để đường thẳng (4) tiếp xúc với (P), cần đủ phương trình 2x2 = ax – phải có nghiệm kép Giải tiếp = a =
Hai đường thẳng cần tìm là: y = 4x –
e) Giả sử M(x0;y0) Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k là: y = k(x – x0) + y0 (5)
Cần đủ để đường thẳng (5) tiếp xúc với (P) phơng trình 2x2 = k(x – x
0) + y0 có nghiệm kép hay 2x2 - kx + kx
0 - y0 = có nghiệm kép k2 – 8x0k + 8y0 = (6)
Phương trình (6) có hai nghiệm k1;k2 thỏa mãn đề là: k1.k2 = -
c y
a y0 =
1
Vậy tập hợp điểm M đường thẳng y =
f) Gọi điểm phải tìm N(x1;y1) Vì ON = nên x12 + y12 = (7) Mặt khác N (P) nên y1 = 2x12 (8), y1
Từ (7) (8) suy 2y12 + y1 – 10 =
1
2
(loại)
y y
Víi y1 = , suy x12 = hay x1 = Hai điểm cần tìm là: N1(-1;2)và N2(1;2)
Tìm cặp số (x ; y) thỏa mãn phương trình : 7x2 – 4x – y + = (1) cho y đạt giá trị nhỏ
Giải
Xét phương trình bậc hai ẩn x; tham số y Nếu tồn cặp số (x ; y) thỏa mãn phương trình (1) (1) phải có nghiệm với ẩn x, đó:
’ 7y – y
3 Vậy Miny =
3
7 (1) có nghiệm kép x = Suy cặp số cần tìm là:
2 ; 7
.
C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Giải phương trình : a)
1
1 1
x x
x x x
; b)
2
1
4 2
x x x
x x x
;
c)
2
1
a a x
x a a x
; d) 2
2x ax (a x 2)
x b x a a x
;
e)
2
2
2x 12x b x
x b b x x b
.
Bài Giải phương trình :
(36)a) 4ax2 + 2(a + b)x + b = ; b) 2x2 – 4x + 3 = ; c) 2x2 – 6x + = 0; d) x2 + ( 2 - 1)x - 2 = 0 e)
2
2
1
4
x
x x x
.
Bài Giải phương trình :
a) (2x2 + 3x - 5)(x2 – 4x + 3) = ; b) (3x2 + x - 2)(2x2 – 4x + 3) = ; c) x4 – 8x3 + 16x2 = ; d) (2x + 1)2 - (x + 2)2 = 0;
e) (3x2 - 8)2 – 16 = 0. Bài Giải phương trình : a)
3 13
9
3 3
x x
x x x
; b)
3 45 39
5
4
2
x
x
x x
;
c)
2
2
4
x x m
x m
x m x m (Với m > 0).
Bài Giải phương trình :
a) x4 + 6x2 – = ; b) – x4 + 7x2 – = 0;
c) (x2 + 2x)2 – 2x2 – 4x – = 0; d) (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) = 12; e) (x - 1)(x + 2)( x + 4)( x + 7) = 16; f) x2 + 2x + 4 x2 2x = 4; g)
2 1
(x1)(x2) ( x 2)(x5)6 h)
2
1
7 x x
x x
;
k)
2 1
2
1
x x
x x
Bài Lập phương trình bậc hai có nghiệm : a)
1 2
1
3 ; b) 2 và
3
2 ; c) 1 3 1 3 ;
d)
2 2
2 2
e)
a b
b a.
Bài Cho phương trình : x2 + px + q = (1).
a) Giải phương trình (1) p = -(3 + 3) q = 3
b) Xác định p, q để phương trình (1) có hai nghiệm x1 = - ; x2 = c) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm dương x1 ; x2 phương trình qx2 + px + = (2) có hai nghiệm dương x
3; x4 d) Lập phương trình bậc hai có nghiệm là:
3x1 3x2 ;
1
x 2
1
x ;
1
x x
2
x x .
Bài Cho phương trình :
x2 – (a - 1)x – a2 + a – = (1)
a) Chứng minh phương trình (1) ln ln có hai nghiệm trái dấu với a b) Gọi hai nghiệm x1; x2 , tính S =
2
1
x x xác định a để S đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài Cho hàm số :
y = (2m - 1)x2 (P)
a) Tìm m để parabol (P) qua A(2; -2) Vẽ đồ thị (P) hàm số vừa tìm b) Viết phương trình đường thẳng qua B(-1; 1) tiếp xúc với (P)
(37)độ -1 16.
d) Tìm parabol (P) điểm có khoảng cách đến gốc tọa độ Bài 10 Với giá trị m phương trình :
a) m2x2 + 2mx – = có hai nghiệm phân biệt, b) m2x2 + 2mx + = vô nghiệm ,
c) 4x2 – 2(3 - m)x + m = có nghiệm kép. Bài 11 Tìm m để phương trình :
a) x2 – x + 2(m - 1)= có haingiệm dương , b) 4x2 + 2x + m – = có hai nghiệm âm,
c) (m2 + 1)x2 – 2(m + 1)x + 2m – = có hai nghiệm trái dấu. Bài 12 Cho parabol y = x2 đương thẳng y = 2x + m
Xác định m để đường thẳng :
a) Tiếp xúc nhau, tìm hồnh độ tiếp điểm,
b) Cắt hai điểm, điểm có hồnh độ x = -1 Tìm hồnh độ điểm cịn lại
c) Giải sử đường thẳng cắt parabol hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp trung điểm I AB
Bài 13 Cho hai phương trình
x2 + (m – 1)x + m2 = - x2 – 2mx + m = 0.
Chứng minh hai phương trình phải có nghiệm Bài 14 Cho phương trình :
ax2 + bx + c = (1)
cx2 + bx + a = (2) a, c > 0.
a) Chứng minh chúng có nghiệm vô nghiệm b) Giả sử x1 , x2 x2’ , x2’;lần lượt nghiệm (1) (2) Chứng minh x1x2 + x1’x2’ >
c) Giả sử (1) (2) vô nghiệm Chứng minh a + c > b
Bài 15 Tìm cặp số (x ; y) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy + = cho y đạt giá trị lớn
§4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Bất đẳng thức:
Có dạng: “A > B”, “A < B”, “A B”, “A B” Cách chứng minh:
+) Biến đổi tương đương, +) Xét hiệu A – B,
+) Sử dụng bất đẳng thức hiển nhiên Ví dụ: (a - b)2
0; - (a - b)2 ;
( 0; 0)
2
a b
ab a b
; a2 + b2 + c2 + … + f2
0; … 2 Bất phương trình:
Dạng 1: ax + b > (1) ,( “ax + b < 0”, “ax + b 0”, “ax + b 0”) Phương pháp:
-Nếu a > : nghiệm (1) là: x > -
b a
-Nếu a < : nghiệm (1) là: x < -
b a
(38)+) b > bất phương trình (1) nghiệm với x R Dạng 2: f x( ) (2) ; f x( ) (3)
Phương pháp: (2) f x( )
( ) ( )
f x f x
(3) f x( )
0 ( ) ( )
x D
f x f x
Dạng 3: ( )
0 ( )
P x
Q x (4)
Phương pháp: (4)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
P x Q x P x Q x
P x Q x
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu P(x) Q(x) B CÁC VÍ DỤ:
Chứng minh đẳng thức sau: a)
2
2
a b ab
; b)
a b ab
(a ; b 0); c)
2 2 2
2
a b a b
ab
Gi¶i
a) Ta cã (a – b)2 a2 – 2ab + b2 a2 + b2 2ab
2
2
a b ab
(đpcm) b) Ta có:
2
0 2
2
a b
a b a ab b a b ab ab
(đpcm) c) Xét hiệu:
2 2 2 2 2 2
2
a b a b a b ab a b
2 2
( ) ( )
0
4
a b ab a b
(đpcm) Dấu :”=” (1);(2) (3) xảy a = b
HÌNH HỌC
CÁC DẠNG TỐN VỀ HÌNH HỌC DẠNG I
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bài toán: Chứng minh ba điểm M, A, B thẳng hàng
(39)Phương pháp :
1) Các đường thẳng MA,MB trùng nhau:
a) Do song song vng góc với đường thẳng thứ ba
b) Do đối xứng với đường thẳng thứ ba qua điểm hay đường thẳng Hoặc M, A, B ảnh ba điểm thẳng hàng M’,A’, B’ phép quay
2) Các tia MA, MB hai tia đối:
a) Do MA, MB tạo với tia Mx thành hai góc kề bù b) Do số điều kiện đặc biệt
c) Chẳng hạn đường tròn (M) nhận AB làm đường kính; M tâm hình bình hành có đường chéo AB ; hai đường trịn (A),(B) tiếp xúc M
3) Các tia MA, MB trùng nhau:
a) Do nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Mx cho xMA =xMB b) Do điều kiện đặc biệt : hai đường tròn (A);(B) tiếp xúc M ; tia MA,MB phân giác góc,MA trung tuyến tam giác có trọng tâm B;…
B.CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh BC điểm D Chứng minh ba điểm A, O, D thẳng hàng
Giải
Do O đường tròn nội tiếp ABC nên AB, AC tiếp tuyến (O) tia AO phân giác góc BAC Mà tam giác ABC cân đỉnh A nên AO đường cao, tức AO BC Do (O) tiếp xúc với BC D nên OD BC Vậy hai đường thẳng OA, OD qua O vng góc với BC nên trùng nhau, A, O, D thẳng hàng
Ví dụ2:
Cho tam giác ABC với trực tâm H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I trung điểm BC Kẻ đường kính AD đường trịn (O) Chứng minh ba điểm H, I, D thẳng hàng
Giải Ta có BH AC (Vì H trực tâm ABC), DC AC (vì C nội tiếơ, chắn đường kính AD), Suy BH// DC Một cách tương tự, ta có CH//DB, BHCD hình bình hành Suy trung điểm I BC trung điểm cua đường chéo HD, ta có đpcm
Ví dụ3:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia Bx nằm khác phía với tia BA đường thẳng BC Sao cho CBx = BAC.Chứng minh Bx tiếp tuyến đường tròn (O)
Giải
H A
B C
. O
. D
A
A
B C
O
(40)Trên nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa A kẻ tia Bx’ vng góc với OB Ta có Bx’ tiếp tuyến đường trịn (O) Do : CBx’ = 12 sđ(CB) = BAC =CBx.Hơn Bx, Bx’ nằm phía đường thẳng BC (vì nằm khác phía với tia BA BC) Suy Bx’ trùng với Bx, hay Bx tiếp tuyến đường trịn (O)
Ví dụ4:
Các tiến tuyến chung MN, PQ hai đường tròn (O), (O’) (M,P (O);N, Q (O’)) cắt điểm I, M Chứng minh I,O,O’ thẳng hàng
Giải Vì IM, IP tiếp xúc với (O) nên IO tia
phân giác góc MIP Hơn IM, IP tiếp xúc với (O’) nên IO’ tia phân giác góc MIP Suy IO’, IO trùng (vì tia phân giác góc nhất) ta có đpcm
Ví dụ5:
Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB;C điểm cung AB điểm M cung CB Hạ đường cao CH tam giác ACM
a) Chứng minh tam giác HCM vuông cân OH tia phân giác góc COM
b) Gọi giao điểm tia OH với CB I Kẻ dây BD vng góc với OI Chứng minh M, I , D thẳng hàng
Giải a) Vì góc AMC nội tiếp chắn cung AC nên AMC = 450 Mà CHM = 900 nên HCM vuông cân đỉnh H Suy HC = HM Hơn ,CO = AB/2 = OM nên OH trung trực CM đồng thời phân giác tam giác cân COM
b) Theo câu a) , ta có M đối xứng với C qua OI Do BD OI nên D đối xứng với B qua đường kính OI Vậy DM đối xứng với BC qua
.
x x’
B C
O
.
.
O’ O
M N
Q
P I
.
A O B
C
M I
(41)OI Do I giao điểm BC với rục đối xứng OI nên DM cắt BC I M, I, D thẳng hàng Ví dụ6:
Cho tam giác ABC với CA > CB Trên tia đối tia BA lấy điểm AO cho
BCO=BAC.Kẻ đường trịn (O) bán kính OC Một đường tròn (O’) qua BO cắt đường tròn (O) hai điểm D,F Chứng minh A, D, E thẳng hàng
Giải Ta có: AOC COB đồng dạng nên
CO OB
AO OC CO2 = OA.OB.
Mà OC = OD (Bán kính đường trịn (O)) nên OD2 = OA.OB
DO OB AO OD
suy AOD , DOB đồng dạng hay OAD = ODB Gọi giao điểm thứ hai tia AD với đường trịn (O) E’ Ta có : OE’2 = OC2 (Bán kính đường trịn (O))
OE’2= OA.OB
Hay hai tam giác OAE’ OE’B đồng dạng Suy : OE’B = OAE’ = OAD = ODB
Mà E’ D nằm phía đường thẳng OB (vì hai tia ABO,ADE’ chung gốc A ) nên E’ (O’) Vậy E’ trùng với E (cùng giao điểm khác D hai dường trịn (O) (O’)) ta có đpcm
C.BÀI TẬP VẬN DỤNG
DẠNG II
CHỨNG MINH ĐIỂM M NẰM TRÊN ĐƯỜNG TRÒN (A, B, C)
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bài tốn : Chứng minh điểm M nằm đường trịn (A, B, C)(Chứng minh tứ giác nội tiếp)
Phương pháp:
1) Các đường tròn (M, A, B) (M, A, C) trùng
2) Các điểm M,C nằm hai nửa mặt phẳng bờ AB cho: AMB + ACB = 1800
3) Các điểm M,C nằm nửa mặt phẳng bờ AB cho: AMB = ACB
4) Các đường thẳng MC, AB cắt điểm I cho IM.IC = IA.IB đồng thời I thuộc hai đoạn MC, AB I không thuộc đoạn hai đoạn MC,AB
B.CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB; điểm M ỏ cung AB điểm C nằm A, B cho CA < CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta kẻ tia Ax, By giao điểm tương ứng P, Q Gọi R, S theo thứ tự giao điểm AM với CP,
A
B C
O .O’
D E
(42)BM với CQ Chứng minh tứ giác APMC, BQMC, RMSC nội tiếp Giải
Các tứ giác APMC BQMC nội tiếp có cặp góc đối vng,do bù
Ta có :
QMB = QCB (cùng chắn cung BQ) AMP = PCA (cùng chắn cung PA)
AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Mà:
AMB = 1800 - PMA- QMB = 1800 -
PCA- QCB =PCQ
Vậy tứ giác RMSC nội tiếp đường tròn Cách 2: MPC=MAC (cùng chắn cung CM) MQC = MBC(cùng chắn cung BQ) Vậy hai tam giác PCQ ANB đồng dạng hay: RMS = RCS = 900
Ví dụ 2:
Cho hình thang cân ABCD (AD//BC) nội tiếp đường trịn (O) Các đường chéo AC, BD cắt I;
các tiếp tuyến đường tròn (O) A, B cắt điểm P Chứng minh điểm I nằm đường tròn (P, A, B)
Giải Trong tứ giác APBO, có PAO = PBO = 900 Do AOB + APB = 1800 (1) Mặt khác , ABCD hình thang cân nên BA = CD số đo cung AB số đo cung CD hay AIBAOB (2)
Từ (1) (2) ta có đpcm
Ví dụ 3:
Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Các đường trịn đường kính BH, CH cắt AB, AC điểm thứ hai tương ứng D, E Tia Ex vng góc với BE tia Cy vng góc với BC cắt điểm N Chứng minh N nằm đường tròn (D, E, C)
Giải
x y
.
P
Q
A B
S R
C
M
O
A D
C B
I P
A
B C
N E
(43)DẠNG IV CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bài toán : Chứng minh hai đường thẳng AB CD cắt nhau
Phương pháp: Có thể sử dụng cách chứng minh sau:
1)Đường thẳng CD cắt đường thẳng song song với AB 2)Các điểm C,D nằm khác phía so với đường thẳng AB
3)Các tia AB, CD cắt nằm nửa mặt phẳng bờ AC cho
1800
BAC ACD .
4)Tia AB nằm hai tia A,C,A,D
5) Phương pháp chứng minh phản chứng
B.CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP:
Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC cân đỉnh A nội tiếp đường tròn (O;r) , đường thẳng xy tiếp xúc với đường tròn (O) A;một điểm M nằm A,C Chứng minh tia BN cắt tia xy
Giải Ta có AB = AC ; OB = OC nên OA trung trực BC, suy OA BC Do xy tiếp xúc với (O) A nên xyOA.Suy xy // BC (*) Do M nằm A,C nên NBCABC1800
hay hai đường thẳng MB BC cắt B Mà xy//BC nên đường thẳng BM cắt xy Hơn xy qua A nên xy nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A (1)
Cịn tia BM có gốc B BC M nằm A,C nên tia BM nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A Suy tia đối BM nằm nửa mặtphẳng bờ BC không chứa A khơng cắt xy(suy từ (1)) Vậy tia BM cắt đường thẳng xy
Ví dụ 2:
Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B; cát tuyến chung MAN cắt (O), (O’) điểm thứ hai tương ứng M,N Trên nửa mặt phẳng bờ MN không chứa điểm B, kẻ tia Mx tiếp xúc với (O) M tia Ny tiếp xúc với (O’) N Chứng minh hai tia Mx, Ny cắt
Giải Do Mx Ny tiếp tuyến đường tròn tương ứng (O) (O’) chúng nằm khác phía với B NM nên:
xMA MBA ; yNA ABN
Vậy xMA yNA MBN 1800 Hơn chúng
nằm phía MN nên cúng cắt Bài tập :
Bài 1:Cho tam giác ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O), đường thẳng xytiếp xúc với đường tròn (O) A Chứng minh tia BC cắt đường thẳng xy
Bài 2: Chứng minh đường chéo tứ giác lồi cắt DẠNG V
CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY .
O A
x y
B C
M
A
B M
N O.
O’
.
(44)A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bài toán : Chứng minh ba đường thẳng AB ,CD EF đồng quy.
Phương pháp: Có thể chứng minh cách sau:
1)AB, CD, EF ba đường có tính chất đồng quy hình(ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường trung trực, ba đường phân giác … tam giác)
2) AB , CD cắt điểm đường thẳng EF 3)AB , CD cắt đối xứng với è
4) Có ba đường trịn (O1), (O2) (O3) dây chung (hoặc tiếp tuyến chung ) cặp đường tròn tương ứng: (O1) với (O2); (O2) với (O3); (O1) với (O3)
B.CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP:
Ví dụ1:
Cho đường trịn (O) đường kính AB Một đường trịn (O’) qua B cắt đoạn thẳng AB điểm thứ hai C cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Đoạn thẳng AD cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai E, tia BE cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F Chứng minh ba đường thẳng AF, BD, CE đồng quy
Giải Do góc ADB nội tiếp (O) chắn đường kính AB nên ADB900 Mà EDB nội tiếp (O’) nên EB đường kính (O’), suy EC AB (1) Do góc AFB nội tiếp (O) chắn đường kính AB nên AFB900 Như E giao điểm hai
đường cao AD BF ABI (I giao điểm AF BD) hay E trực tâm ABI
Ta có IE đương cao ABI Do IE AB (2) Kết hợp (2) với (1) , ta có hai đường thẳng EC, IE trùng (vì qua E và AB) Suy ba đường thẳng AF,BD,CE đồng quy I, đpcm
Ví dụ2:
Cho hai đường trịn (O1) (O2) tiếp xúc ngồi với M đường tròn (O3) tiếp xúc với (O1), (O2) điểm tương ứng N, P Chứng minh đường tròn qua ba điểm M, N, P đường trịn bàng tiếp O1O2O3.Từ suy tiếp tuyến M (O1) với (O2), tiếp tuyến P (O2) với (O3), tiếp tuyến N (O1) với (O3) đồng quy
Giải
Kẻ phân giác góc ngồi dỉnh O1, O2 O1O2O3 gọi giao điểm chúng I , ta có phân giác góc đỉng O3 qua I Suy cặp tam giác sau
bằng nhau: INO1= IMO1; IMO2 = IPO2; IPO3 = INO3 Do INO 1IMO INO 1; IPO IMO 3; IPO 2(1)
Suy : IMO1IMO2
Ta có : O MI O MI O MO1 2 1
0
1
2IMO 180 IMO 90 (2)
Từ (1) (2) ta có IN O1O3; IM O1O2; IP O2O3 hay đường tròn (I) qua ba điểm M; N; P đường tròn bàng tiếp O1O2O3
DẠNG VI
A B
F
D E
I
.
O
.O’
.
. .
I
N
M P
O
(45)CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI NHAU
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Bài toán : Chứng minh hai đường thẳng AB CD vng góc với nhau.
Phương pháp: Có thể chứng minh cách sau:
1)Chứng minh AB CD hai đường hình có tính chất vng góc với (CD trung trực AB, AB CD hai đường chéo hình thoi ACBD,CD đường kính qua điểm cung AB,…)
2) AB CD thỏa mãn hệ thức cạnh tam giác vuông: +) BC2 = AB2 + AC2 (D nằm AC)
+) AD2 = AC.AB (
ADB vuông D; C điểm cạnh huyền AB)
+) 2
1 1
DC DA DB (trong ADB vng D; C điểm cạnh huyền AB).
B.CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP:
Ví dụ1:
Cho hình vng ABCD ,đường trịn (A;AB) đường trịn đường kính CD tâm O cắt điểm M (khác D) Chứng minh hai đường thẳng AO, DM vuông góc với nhau.Suy đường thẳng DM qua trung điểm I BC
Giải Ta có OA DM (vì OA đường nối tâm, MD dây chung hai đường tròn(O) (A)) Suy OAD MDO (Cùng phụ với MDA ) và
OAD = JDC (g.c.g)(J giao điểm DM với BC).Vật:
2
CD BC JC OD JB
hay J trùng với I , ta (đpcm)
Ví dụ2:
Cho đoạn thẳng AB, tia Ax, By nằm phía AB vng góc với AB.Lấy điểm M,N đoạn AB; điểm P Ax; điểm Q By cho MA = BN PMQ900 Chứng minh PN QN.
Giải Ta có Ax//By (vì vng góc với AB) hay APQB hình vng Gọi O, I trung điểm PQ, AB ta có OI đường trung bình nên IO//Ax , IO AB
Ta lại có IM = AI – AM = BI – BN = IN nên I trung trực MN OM = ON
Trong tam giác vng MPQ, ta có trung tuyến OM nửa cạnh huyền PQ Mà OM = ON nên trung tuyến NO NPQ nửa cạnh đối diện PQ, suy tam giác NPQ vuông N
A
B C
D I J
O M
A B
x y
P
Q O
(46)