Quá trình dừng chặt và lý thuyết ergodic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THANH THỦY QUÁ TRÌNH DỪNG CHẶT VÀ LÝ THUYẾT ERGODIC Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn NGUYỄN THỊ THANH THỦY MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Bố cục đề tài CHƢƠNG MỘT SỐ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1.1 Biến cố ngẫu nhiên 1.1.2 - đại số tập hợp 1.1.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề 1.1.4 Các tính chất xác suất 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2.1 Hàm đo đƣợc 1.2.2 Biến ngẫu nhiên 1.2.3 Các biến ngẫu nhiên độc lập 1.2.4 Biến ngẫu nhiên n chiều 1.3 QUÁ TRÌNH BẬC HAI 1.3.1 Quá trình bậc hai 1.3.2 Độ đo ngẫu nhiên 1.3.3 Độ đo ngẫu nhiên trực giao 1.3.4 Tích phân độ đo ngẫu nhiên 1.4 SỰ HỘI TỤ 13 1.4.1 Hội tụ hầu chắn 13 1.4.2 Hội tụ hầu chắn tƣơng hỗ 14 1.4.3 Hội tụ theo xác suất 14 1.4.4 Hội tụ tƣơng hỗ theo xác suất 15 1.4.5 Hội tụ theo trung bình bậc r 16 1.4.6 Hội tụ tƣơng hỗ theo trung bình bậc r 17 1.5 QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 19 1.5.1 Các khái niệm 19 1.5.2 Hàm hiệp phƣơng sai 20 1.5.3 Tính tách đƣợc 21 1.5.4 Tính đo đƣợc 21 1.6 QUÁ TRÌNH GAUSS 21 1.6.1 Biến Gauss 21 1.6.2 Quá trình Gauss 23 1.6.3 Tính liên tục 25 CHƢƠNG QUÁ TRÌNH DỪNG CHẶT 26 2.1 QUÁ TRÌNH DỪNG 26 2.1.1 Các khái niệm 26 2.1.2 Biến đổi tuyến tính q trình dừng 27 2.1.3 Mật độ phổ từ hàm tự tƣơng quan 28 2.1.4.Ví dụ q trình dừng tự hồi quy cấp 29 2.1.5 Phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên 29 2.2 QUÁ TRÌNH DỪNG CHẶT 30 2.2.1 Định nghĩa trình dừng chặt 30 2.2.2 Các ví dụ 30 2.2.3 Biểu diễn tích phân độ đo hữu hạn 32 2.3 CÁC VÍ DỤ LUẬT SỐ LỚN 34 2.3.1 Các ví dụ 34 2.3.2 Phép biến đổi bảo toàn độ đo 35 2.3.3 Các ví dụ ánh xạ bảo tồn độ đo 36 2.3.4.Tính bắc cầu hỗn hợp 37 CHƢƠNG LÝ THUYẾT ERGODIC 38 3.1 ĐỊNH LÍ ERGODIC 38 3.1.1 Định lí Ergodic 38 3.1.2 Bổ đề 38 3.1.3 Bổ đề 40 3.1.4 Hệ định lí Ergodic 43 3.1.5 Tính chất Ergodic 43 3.2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT QUÁ TRÌNH LÀ ERGODIC 44 3.2.1 Định lí 44 3.2.2 Định lí 45 3.2.3 Điều kiện Ergodic thông qua hàm tự tƣơng quan 45 3.3 ĐỊNH LÍ ERGOCDIC TRONG TRƢỜNG HỢP THỜI GIAN LIÊN TỤC 46 3.3.1 Định lí 46 3.3.2 Ví dụ 47 3.3.3 Mệnh đề 48 3.3.4 Điều kiện Ergodic q trình dừng thơng qua hàm tự tƣơng quan 49 3.3.5 Điều kiện Ergodic trình dừng thông qua độ đo phổ 50 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong giai đoạn lý thuyết xác suất phát triển mạnh mẽ với công cụ đại nhƣ lý thuyết độ đo, tích phân ngẫu nhiên, giải tích hàm,…Chúng ta biết đến tiến triển theo thời gian hệ ngẫu nhiên mà tƣơng lai phụ thuộc độc lập với khứ Tuy nhiên, thực tế đặc biệt lĩnh vực kinh tế, thị trƣờng chứng khốn, học thống kê, khí tƣợng thủy văn …ta thƣờng gặp hệ ngẫu nhiên mà khứ có ảnh hƣởng mạnh đến tiến triển trình tƣơng lai Vì làm dự báo cho trình nhƣ thế, ta cần phải tính đến khơng mà q khứ Mơ hình xác suất để nghiên cứu trình trình dừng Ngày nay, trình dừng trở thành lĩnh vực quan trọng có nhiều ứng dụng Đó lí tơi chọn đề tài “Q trình dừng chặt lý thuyết Ergodic” để làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Tiếp cận hiểu sâu sắc kiến thức Tốn học nói chung Lí thuyết xác suất nói riêng, nhằm mở rộng tri thức phục vụ cho việc học tập, giảng dạy sau Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Các tính chất Q trình dừng chặt lý thuyết Ergodic 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Luận văn dừng lại mức độ tìm hiểu kỹ lƣỡng nhằm trình bày lại cách có hệ thống trình dừng chặt lý thuyết Ergodic Phƣơng pháp nghiên cứu Trên sở hiểu biết kiến thức lí thuyết xác suất giải tích, phƣơng pháp nghiên cứu đƣợc dùng Phƣơng pháp nghiên cứu lí thuyết: Xây dựng khái niệm, phạm trù Đó phát triển tiếp tục việc nhận thức xác định phạm trù Thực suy luận tốn học để xem xét nhiều khía cạnh khác đối tƣợng nghiên cứu Bố cục đề tài Nội dung luận văn gồm có ba chƣơng Chƣơng 1: Trình bày kiến thức làm tảng Đó khái niệm lí thuyết xác suất giải tích tổ hợp Chẳng hạn nhƣ: xác suất, biến ngẫu nhiên, trình bậc hai, hội tụ Một số trình ngẫu nhiên, trình Gauss đƣợc giới thiệu chƣơng Chƣơng 2: Bƣớc đầu giới thiệu q trình dừng, biến đổi tuyến tính q trình dừng Q trình dừng chặt, biểu diễn tích phân độ đo hữu hạn Luật số lớn phép biến đổi bảo tồn độ đo Chƣơng 3: Trình bày chứng minh định lí Ergodic Tính chất Ergodic điều kiện để trình Ergodic Điều kiện Ergodic q trình thơng qua hàm tự tƣơng quan điều kiện Ergodic q trình thơng qua độ đo phổ CHƢƠNG MỘT SỐ CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1 CƠ SỞ CỦA LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 1.1.1 Biến cố ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 Giả sử tập hợp tất kết phép thử ngẫu nhiên đƣợc gọi không gian biến cố sơ cấp, phần tử biến cố sơ cấp Mỗi tập A 1.1.2 đƣợc gọi đƣợc gọi biến cố ngẫu nhiên - đại số tập hợp Định nghĩa 1.1.2 Một lớp C tập Giả sử đƣợc gọi - đại số nếu: C; Với A C AC Với dãy {Ai} C, (AC phần bù A C, (i ) Ai C N) i 1.1.3 Định nghĩa xác suất theo tiên đề Định nghĩa 1.1.3 Giả sử không gian biến cố sơ cấp C - đại số tập P độ đo xác định C thỏa mãn điều kiện: Với A C P(A) Với dãy {Ai} P( ) = C, Ai Aj = , i j P U Ai i i P Ai Khi P đƣợc gọi độ đo xác suất hay xác suất C Cặp ( , C) đƣợc gọi không gian đo đƣợc ba ( , C, P) đƣợc gọi không gian xác suất Tập biến cố có xác suất khơng đƣợc gọi tập có độ đo khơng Chú ý rằng, tập có độ đo khơng khơng thiết phải tập rỗng Một không gian xác suất ( , C, P) đƣợc gọi đầy đủ tập có độ đo khơng biến cố 1.1.4 Các tính chất xác suất (1) P( ) = (2) Với A C (3) Với A C P(AC) = - P(A) C (4) Với A, B P(A P(A) B) = P(A) + P(B) - P(AB), ý AB ký hiệu A C, A (5) Với A, B B P(A) B P(B) 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2.1 Hàm đo đƣợc Định nghĩa 1.1.4 Giả sử ( miền xác định 1, C1) ( 2, C2) hai không gian đo đƣợc, f hàm với miền giá trị tập hàm đo đƣợc nếu, với tập A C2, tập f-1(A) = { :f( ) A} C1 Hàm f đƣợc gọi 1.2.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.5 Giả sử ( , C) không gian xác suất, X hàm đo đƣợc từ ( , C) vào ( , R) (R - đại số Borel ) Nếu độ đo xác suất P ( , C) đƣợc xác định X đƣợc gọi biến ngẫu nhiên thực xác định không gian xác suất ( , C, P) Vì R đƣợc sinh họ nửa đƣờng thẳng {x: - < x < a}, nên với biến ngẫu nhiên thực X, tập có dạng { : X( ) < a} biến cố ngẫu nhiên Từ suy ra, tập có dạng: { : X( ) a} , { : X( ) a} , { : X( ) > a} , { : a X( ) < b} biến cố ngẫu nhiên, với a b hai số thực Định lý 1.1.1 Giả sử X Y hai biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất ( , C) Khi đó: { : X( ) < Y( )} , { : X( ) > Y( )} { : X( ) Y( )} , { : X( ) = Y( )} biến cố ngẫu nhiên 1.2.3 Các biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 1.1.6 Các biến ngẫu nhiên X1 , X2, , Xn đƣợc gọi độc lập, với số thực x1, x2, , xn đẳng thức sau đƣợc thỏa mãn: P(X1 < x1, X2 < x2, , Xn < xn) = P(X1 < x1) , P(X2 < x2) P(Xn < xn) 40 Nhƣ f (x)d (x) 0, n A Bn Cho n B ta đƣợc điều phải chứng minh Bn 3.1.3 Bổ đề Đặt 1n1 f (T m x),B S*f(x) = sup n n m {x :S* f (x) } Khi đó: f (x)d (x) (A B ) A B Chứng minh: Áp dụng bổ đề cho hàm g(x) = f(x) - α ta có: f x d x 0, A A0 A B A B Điều tƣơng đƣơng với f xd x A B Chứng minh định lý Ergodic: Đặt f x lim n 1n1 f Tkx , f x nk E x: f x Dễ dàng thấy f x n 1n1 f Tkx , nk , f x f Tx , f x E lim A0 , E f Tx B Theo bổ đề ta có: f xd E x E 41 Bằng cách thay đổi vai trò (f, α, β) (-f, -α, -β) lại áp dụng bổ đề ta thu đƣợc f xd x E E Nhƣ E Vì x : f x f x , suy E β < α E E r1r2 r1,r2 nên suy r1 r2 x:f x f x f x (μ - hầu khắp nơi) f x Điều tƣơng đƣơng với việc tồn lim n n n f Tkx f x k B nên áp dụng bổ đề với A = Do x : f x f x d x f x B Vì f ta thu đƣợc L1 nên cho f x Tƣơng tự ta có f x Nhƣ ta đƣợc f x Để chứng minh f E' (hầu khắp nơi) L1 ta đặt E' f x A0, theo bổ đề ta có: f xd E' Chọn x: k , n k ta đƣợc n x E' ta đƣợc 42 f xd k x E' n E' Chú ý tập E' f xd n x E' k , n với k E' tập rời n hợp chúng tập {x : fˆ x hữu hạn} Do f xd x f xd X , n x X Suy f xd x f xd X x X Áp dụng kết cho hàm f xd ta dẫn đến f f x x f xd X L1 x X Để chứng minh f = E[f A0] ta áp dụng định lý cho hàm g(x) = f(x) A(x), A fd A A0 Khi g gd X f A , fd , A A0 gd X A Vậy f = E[f A0] định lý đƣợc chứng minh xong Phép biến đổi T đƣợc gọi Ergodic với tập bất biến A (A) = (A) = Khi hàm A0 - đo đƣợc số A0 - hầu khắp nơi ta có: f (x) = Ef(x) f x d x X Quá trình dừng mạnh X(n) đƣợc gọi Ergodic phép biến đổi dịch chuyển sang trái T không gian xác định 43 T xn xn n Ergodic không gian , (tức (Tx)n = xn+1) n ,B , , độ đo cảm sinh X n 3.1.4 Hệ định lí Ergodic Giả sử X(n) trình dừng mạnh ergodic Khi với hàm g: m ta có lim n 1n1 g X k X k nk , , X k m Eg(X(0),X(1), , X(m-1)) Chứng minh Áp dụng định lý Ergodic cho hàm f(x) = g(x0,x1, , xm-1), với x xn n Nhƣ vậy, X(n) q trình dừng ergodic ta tính đặc trƣng q trình (trung bình, hàm tự tƣơng quan) dựa thể Điều có ý nghĩa lớn thực hành Chẳng hạn, giá trị trung bình M hàm tự tƣơng quan K(m) ta có M lim n n n X k , k K m = E[(X(m) - M)(X(0) - M)] = 1n lim n nk X k m M X k M 3.1.5 Tính chất Ergodic Định lí 3.1.1 Phép biến đổi T ergodic không gian xác suất (X, A, ) 44 1n lim n nk A T kB A B (3.1) Chứng minh: Giả sử có hệ thức (3.1) B A0 Trong hệ thức cho A = B T-kB = B Suy (B) = A (B), (B) = (B) = Vậy phép biến đổi T ergodic Đảo lại, phép biến đổi T ergodic, ta áp dụng định lý Ergodic cho hàm f(x) = B(x) thu đƣợc 1n lim n nk T k B B( x ) Tích phân hai vế tập A ta có (3.1) Đặc biệt, (3.1) đƣợc thỏa mãn lim n A T kB A B (3.2) Điều kiện có nghĩa A T-nB "tiệm cận độc lập" n Phép biến đổi T thỏa mãn (3.2) đƣợc gọi có tính trộn Nhƣ tính trộn kéo theo tính Ergodic 3.2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ MỘT Q TRÌNH LÀ ERGODIC 3.2.1 Định lí Giả sử X n , n trình dừng với EX(n) = Khi tồn l.i.m n 1n1 X k nk ˆ X 1n1 X k hội tụ tới Xˆ theo xác suất Nói riêng nk Chứng minh: Xét biểu diễn phổ X(n) 45 π einλ dZ λ X n π π 1n1 X k nk Khi π n ikλ e dZ λ nk n ikλ e , dễ thấy Sn λ nk Đặt Sn λ , λ 0, , λ inλ e n eiλ Do lim Sn n λ 1, 0, λ Sn λ hay lim n Vì Sn λ 0, γ0 λ 1, λ, nên theo định lí hội tụ bị chặn ta có Sn λ hội tụ tới γ λ L2 π ; π , μ Vậy 1n1 l.i.m X k n nk l.i.m Sn n dZ dZ Z Định lí đƣợc chứng minh 3.2.2 Định lí Q trình dừng X(n) ergodic ({0}) = Chứng minh Theo định lí 3.2.1 X n Ergodic Z (hầu chắn), điều tƣơng đƣơng với E Z μ 0 3.2.3 Điều kiện Ergodic thông qua hàm tự tƣơng quan Giả sử K(n) hàm tự tương quan q trình X(n) Khi X(n) ergodic 46 1n1 lim K(m) n nm tức K(n) Vì K(n) 0, theo nghĩa trung bình Cesaro n theo nghĩa thông thường kéo theo K(n) theo nghĩa trung bình Cesaro, nên điều kiện đủ để X(n) ergodic lim K(n) n Chứng minh: Xuất phát từ biểu diễn phổ K(n) K(n) ein d ( ), tƣơng tự nhƣ chứng minh định lí 3.1.1 ta có 1n1 K(m) nm Sn ( )d ( ) Thành thử lim n 1n1 K(m) nm ({0}) Từ ta suy điều phải chứng minh 3.3 ĐỊNH LÍ ERGOCDIC TRONG TRƢỜNG HỢP THỜI GIAN LIÊN TỤC Cho X(t), t trình cấp với hàm trung bình m(t) hàm tự tƣơng quan r(s, t) Ta nói X(t) ergodic lim T T T T X(t)dt m(t)dt 3.3.1 Định lí Quá trình X(t) ergodic 47 lim T T T T r(s, t)dtds 0 Chứng minh Đặt X0(t) = X(t) - m(t) X(t) ergodic l.i.m T T T X0 (t)dt 0 Điều tƣơng đƣơng với E T T X (t)dt (T ) Ta lại ta có E T T T T2 X (t)dt T r(s, t)dtds, 0 nhƣ định lý đƣợc chứng minh 3.3.2 Ví dụ Xét X(t) trình Poisson với cƣờng độ Ta biết m(t) = t, r(s, t) = (s, t) Ta chứng tỏ tính ergodic khơng đƣợc thỏa mãn với trình Thật T T T T r(s, t)dtds min(s, t)dtds 0 T t dt = T sds T t2 dt tds t t T t 48 T t2 )dt (Tt T3 Vậy T lim T T T T3 lim T T r(s, t)dtds 0 lim T T , nên theo định lý X(t) khơng ergodic Bây giả sử X(t) trình dừng với hàm tự tƣơng quan K(t) Khi m(t) = m = const X(t) ergodic T lim T T X(t)dt m Điều kiện ergodic định lý 3.3.1 trở thành lim T T T T K(t s)dtds 0 3.3.3 Mệnh đề Ta có đẳng thức I T2 T T K(t s)dtds T T (1 t )K(t)dt T Chứng minh Ta đặt = t - s T T s I= T T2 K( )d ds s T T s T K( )d ds 0 K( )d ds s Với tích phân thứ ta đổi biến u = T - s với tích phân thứ hai ta đổi biến v = thu đƣợc 49 I T2 u T K( )d du T T T2 K( v)dvds 0 u T s s K( )d du T2 0 T u [K( ) T2 0 T u K( v)dvds K( )d du K( )d ds s Nhớ X(t) q trình thực, K( ) K( ) Lại có T u T T K( )d du K( ) s ( u) d du s T T d K( ) s (u ) du T K( )(T )d Suy I T2 T K( )(T )d T T (1 T )K( )d 3.3.4 Điều kiện Ergodic q trình dừng thơng qua hàm tự tƣơng quan Định lí Q trình dừng X(t) ergodic 50 lim T T T t K t dt T 0, K(t) hàm tự tương quan X(t) Chứng minh: Vì T t K(t)dt T T K(t) dt, nên ta cần chứng minh T lim T T K(t) dt 0 Cho > 0, tồn T0 để |K(t)| < t > T0 Do T0 T K(t) dt T K(t) dt 0 K(t) dt T0 T0 K(t) dt (T T0 ) Vậy ta có lim T T T K(t) dt Vì > nhƣng nhỏ tùy ý nên ta có điều phải chứng minh 3.3.5 Điều kiện Ergodic q trình dừng thơng qua độ đo phổ Định lí Giả sử X(t) q trình dừng có trung bình với độ đo phổ Khi X(t) ergodic ({0}) = Chứng minh Trƣớc hết ta chứng minh 51 T l.i.m T T X(t)dt Z({0}), Z độ đo phổ ngẫu nhiên X(t) Thật vậy, ta có: eit dZ( ) X(t) = Nên UT T T T eit dtdZ( ) T X(t)dt 0 Thay đổi thứ tự lấy tích phân ta có T UT dZ( ) eit dt T Chú ý T V(T, ) eit dt T , = 0, eiT , iT Thành thử lim V(T, ) T 1, = 0, 0, Suy T l.i.m X(t)dt l.i.m V(T, )dZ( ) T T T0 Do |V(T, )| 1, V(T, ) hội tụ tới γ λ L2 ( , ) Vì l.i.m V(T, ) dZ( ) = T dZ( ) Z {0} {0} 52 Nhƣ X(t) ergodic Z({0}) = Mà E|Z({0})|2 = ({0}), nên suy Z({0}) = ({0}) = 1n1 l.i.m X(k) M n nk 1n1 X(k) hội tụ theo xác suất tới Nói riêng, trung bình theo thời gian nk trung bình chung M 53 KẾT LUẬN Luận văn “ Quá trình dừng chặt lý thuyết Ergodic” đƣợc tác giả nỗ lực nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn khoa học, nhiệt tình nghiêm khắc giáo viên hƣớng dẫn Một số kết đạt đƣợc: Chƣơng Luận văn trình bày số kiến thức lí thuyết xác suất giải tích tổ hợp Chƣơng Luận văn trình bày trình dừng, biến đổi tuyến tính q trình dừng Q trình dừng chặt, biểu diễn tích phân độ đo hữu hạn Luật số lớn phép biến đổi bảo tồn độ đo Chƣơng Trình bày chứng minh định lí Ergodic Tính chất Ergodic điều kiện để trình Ergodic Điều kiện Ergodic q trình thơng qua hàm tự tƣơng quan điều kiện Ergodic q trình thơng qua độ đo phổ Một số tồn tại: trình dừng chặt lý thuyết Ergodic đề tài rộng mẻ nên tài liệu nghiên cứu cịn thân tác giả dịch từ tài liệu nƣớc ngồi cịn gặp nhiều khó khăn 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Dƣơng Tôn Đảm (2006), Quá trình ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Hồng – Lê Văn Hạp, Giáo trình giải tích tốn học, Huế [3] Trần Lộc Hùng, Lý thuyết xác suất thống kê toán học, NXB Giáo Dục, Đà Nẵng [4] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Topo đại cương, độ đo tích phân, NXB Đại học Sƣ phạm Hà Nội [5] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất ứng dụng, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [6] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [7] A.N Shiryaev (1995), Probability, Springer [8] Bilingsley P (1968), Convergence of probability measures, Wiley, New York [9] Eugene Wong, Bruce Hajek, Sotchastic processes in engineering systems, Springer – Verlag, New York Berlin Heidelberg Tokyo [10] Lamperti, Stochastic processes theory ... Các tính chất Q trình dừng chặt lý thuyết Ergodic 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Luận văn dừng lại mức độ tìm hiểu kỹ lƣỡng nhằm trình bày lại cách có hệ thống q trình dừng chặt lý thuyết Ergodic 2 Phƣơng... dừng L2 - khả vi cấp n thỏa mãn phƣơng trình (2.1) với t 2.2 QUÁ TRÌNH DỪNG CHẶT 2.2.1 Định nghĩa trình dừng chặt Quá trình {X(t), t } đƣợc gọi trình dừng chặt với với t1 < t2 < < tn phân phối... 26 CHƢƠNG Q TRÌNH DỪNG CHẶT 2.1 QUÁ TRÌNH DỪNG 2.1.1 Các khái niệm Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X (t), t R trình bậc hai X(t) đƣợc gọi trình dừng hàm trung bình μ t số (không phụ thuộc vào t) hàm tự