Hàm số và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN GVHD : ThS ĐOÀ N NGỌ C MINH TÚ Giáo viên hướng Th.S Nguyễn SVTH dẫn: LÊ: QUANG PHÚ Thị Sinh Sinh viên thực Lớp:hiện 26ĐNT : Lê Thị Thái Huyền Lớp MSSV : 09ST : 26NT569 - Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013 - Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN MỞ ĐẦU Chương I LÝ THUYẾT CƠ SỞ I Hàm số II Khảo sát hàm số III Các dạng hàm số thường gặp Chương II A Vấn đề CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 11 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 11 A.1 Tính đơn điệu hàm số 11  Tìm giá trị tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) D 11 A.2 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số 14  Dạng 1: Ứng dụng giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình 14  Dạng 2: B Vấn đề  Dạng 1: Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 19 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 24 Tìm giá trị tham số m để (Cm): y = f(x, m) đạt cực đại, cực tiểu x0 24  Dạng 2: Tìm giá trị tham số m để (Cm): y = f(x, m) có n cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước (nếu có) 26  Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 30  Dạng 4: Tìm quỹ tích điểm cực trị 32 SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh C Vấn đề GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 35 D Vấn đề ĐIỂM CỐ ĐỊNH 42  Dạng 1: Điểm cố định mà họ đường cong (Cm) qua 43  Dạng 2: Tập hợp điểm mà khơng có họ đường cong (Cm) qua 45  Dạng 3: E Vấn đề Điểm có n đồ thị (Cm) qua 47 TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC 49  Dạng 1: Tiếp tuyến M(x0; y0) ∈(C): y = f(x) 49  Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho sẵn 51  Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm 53  Dạng 4: Điều kiện tiếp xúc Tính chất số lượng tiếp tuyến 54 F Vấn đề BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ 59 G Vấn đề SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ 69  Dạng 1: Biện luận tương giao hai đường 69  Dạng 2: Chứng minh (Cm): y = f(x, m) tiếp xúc với đường cố định 72 KẾT LUẬN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78 SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số vấn đề liên quan LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu bảo, hướng dẫn tận tình giáo Nguyễn Thị Sinh, đến luận văn tốt nghiệp em hoàn thành Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị Sinh giúp đỡ em nhiều thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn tốt nghiệp Xin chân thành cảm ơn q thầy khoa Tốn, thư viện giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm số ứng dụng hàm số chủ đề xuyên suốt q trình giảng dạy học tập mơn Tốn trường Trung học Phổ thơng, với vai trị công cụ đắc lực, nhằm giải hiệu tốn đại số, hình học giải tích Việc sử dụng đặc trưng hàm số tỏ ưu việt đưa lời giải cho tốn phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình mà có phương pháp khác cho lời giải ngắn gọn Do đó, hầu hết đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm khai thác triệt để ứng dụng nhiều dạng tốn phong phú, địi hỏi học sinh phải nắm đặc trưng tính chất hàm số để đưa lời giải phù hợp “ Hàm số vấn đề liên quan” đề tài nghiên cứu với mong muốn xây dựng hệ thống đặc trưng hàm số phương pháp giải phù hợp với yêu cầu loại tập, giúp cho học sinh củng cố lại toàn kiến thức hàm số tài liệu bổ ích cho sinh viên khoa Tốn giáo viên phổ thơng suốt q trình giảng dạy Phạm vi nghiên cứu Đề tài “ Hàm số vấn đề liên quan” nghiên cứu giải số dạng tốn chương trình phổ thơng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương I: Lý thuyết sở SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số vấn đề liên quan Chương trình bày khái niệm hàm số kiến thức sở hàm số nhằm vận dụng cho chương II Chương II: Các vấn đề liên quan đến hàm số Chương trình bày vấn đề liên quan đến hàm số, vấn đề bao gồm nhiều phương pháp giải tối ưu, dạng tập trình cách giải rõ ràng, logic cung cấp số tập tự giải tổng hợp từ đề thi đại học, cao đẳng năm trước SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Chương I LÝ THUYẾT CƠ SỞ I HÀM SỐ Định nghĩa Giả sử X Y hai tập hợp tùy ý Nếu có quy tắc f cho tương ứng x ∈ X với y ∈ Y ta nói f hàm từ X vào Y, kí hiệu: f: X → Y x ⟼ y = f(x) Nếu X, Y tập hợp số f gọi hàm số Trong luận văn xét hàm số thực biến số thực, nghĩa là: 𝑋 ⊆ 𝑅; 𝑌 ⊆ 𝑅 X gọi tập xác định (hay miền xác định) hàm số f (Trong luận văn kí hiệu tập xác định hàm số D) Số thực x ∈ X gọi biến số độc lập (gọi tắt biến số hay đối số Số thực y = f(x) ∈ Y gọi giá trị hàm số f điểm x Tập hợp tất giá trị f(x) x lấy số thực thuộc tập hợp X gọi tập giá trị (miền giá trị) hàm số f kí hiệu 𝑇𝑓 , (như Tf = {f(x)|x ∈ X} = f(X)) Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D, ta gọi tập hợp điểm (x; f(x)) với x ∈ D đồ thị hàm số y = f(x) Việc biểu diễn điểm (x; f(x)) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) lên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi vẽ đồ thị hàm số Hàm số đơn điệu a Định nghĩa SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số vấn đề liên quan Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D, khoảng (a; b) tập D Khi ta có: - Hàm số y = f(x) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng (a; b), với ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < 𝑓(x2 ) - Hàm số y = f(x) gọi nghịch biến (hay giảm) khoảng (a; b) với ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > 𝑓(x2 ) Một hàm số đồng biến nghịch biến khoảng (a; b) ta nói hàm số đơn điệu khoảng b Định lý b.1 Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm miền D - Nếu f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D hàm số đồng biến D - Nếu f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ D hàm số nghịch biến D - Nếu f ′ (x) = 0, ∀x ∈ D hàm f hàm D b.2 Định lý 2: Nếu hàm số f đồng biến (nghịch biến) D f ′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ D ( 𝒇′(𝒙) ≥ 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑫) c Tính chất - Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) hàm số y = f(x) + c (c số) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) - Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) hàm số y = kf(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) k > 0; hàm số y = kf(x) nghịch biến (đồng biến) khoảng (a; b) k < - Nếu hàm số y = f(x) y = g(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) hàm số y = f(x) + g(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số vấn đề liên quan - Nếu hàm số y = f(x) y = g(x) không âm khoảng (a; b) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b), hàm số y = f(x).g(x) đồng biến (nghịch biến) khoảng (a; b) Hàm số chẵn, hàm số lẻ a Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D - Hàm số f gọi hàm số chẵn, với x ∈ D, ta có – x ∈ D f(−x) = f(x) - Hàm số f gọi hàm số chẵn, với x ∈ D, ta có −x ∈ D f(−x) = −f(x) b Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ - Đồ thị hàm số chẳn có trục đối xứng trục tung - Đồ thị hàm số lẻ có tâm đối xứng gốc tọa độ O Hàm số tuần hoàn Hàm số y = f(x) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn miền D tồn số T cho với x ∈ D ta có: - x+T∈D - f(x + T) = f(x) Số dương nhỏ (nếu có) số T có tính chất gọi chu kỳ hàm số tuần hoàn f(x) Hàm số bị chặn Hàm số y = f(x) xác định miền D gọi bị chặn miền có số dương M cho |f(x)| ≤ M, ∀x ∈ D II KHẢO SÁT HÀM SỐ SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: Tìm tập xác định hàm số Xét biến thiên hàm số a Tìm giới hạn vơ cực giới hạn vơ cực (nếu có) hàm số Tìm đường tiệm cận đồ thị (nếu có) b Lập bảng biến thiên hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên tìm cực trị hàm số (nếu có), điền kết vào bảng Vẽ đồ thị hàm số a Vẽ đường tiệm cận đồ thị (nếu có) b Xác định số điểm đặc biệt đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm đồ thị với trục tọa độ c Nhận xét đồ thị: Chỉ trục tâm đối xứng đồ thị (nếu có) III CÁC DẠNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP Hàm số bậc hai - Dạng - Tập xác định : : y = ax2 + bx +c (a ≠ 0) D=R (P)   b ;  , có trục đối xứng  2a 4a  - Đồ thị (P) parabol có đỉnh S   x=  b 2a Hàm số bậc ba - Dạng : y = ax3 + bx2 + cx + d - Tập xác định : D = R (a ≠ 0) (C)  b  b  ; y    làm tâm đối xứng a  3a    - Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I   SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh - Dựa vào đồ thị, ta kết sau:  k < -2 ⟺ < m <  k = -2 ⟺ m=  -2 < k < + 2√2 4 ⟺ : (52.1) có hai nghiệm đơn : (52.1) có nghiệm kép < m < 21 + 2√2 : (52.1) vô nghiệm  k = + 2√2 ⟺ m = 21 + 2√2 : (52.1) có hai nghiệm kép  k > + 2√2 ⟺ m > 21 + 2√2 : (52.1) có bốn nghiệm đơn  m≤0 : phương trình không xác định (hay vô nghiệm) Bài tập 53: Dựa vào đồ thị (C): y = x3 + px + q, biện luận tùy theo số nghiệm phương trình: x + px + q = (53.1) Giải: Khảo sát biến thiên hàm số: y = x3 + px + q (C) - D = R SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 66 Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh - y’ = 3x2 + p  Nếu p≥ 0: hàm số tăng D  (C) cắt Ox điểm nên phương trình (53.1) có nghiệm đơn  Nếu p < thì: p x=- x= Xét p yCĐ.yCT x=± p ⟹ y=q- 2p p = yCĐ ⟹ y=q+ 2p p = yCT y’ = ⟺ p  p  p  27q = q    27  3  Tùy theo vị trí cực điểm (C) Ox ta thấy số điểm chung (C) Ox, suy số nghiệm (53.1)  : (53.1) có nghiệm đơn CĐ.yCT nghiệm kép  yCĐ.yCT > ⟺ * Chú ý: Kết dùng để biện luận cho phương trình bậc ba dạng x + px + q = Bài tập 54: Cho hàm số: y = √9 − x (C) a/ Vẽ đồ thị (C) hàm số b/ Chứng họ đường thẳng (Dm): mx – y + - 4m = qua điểm cố định với m c/ Dùng đồ thị để biện luận thoe m số nghiệm phương trình: √9 − x − mx + 4m − = SVTH: Lê Thị Thái Huyền (54.1) Trang 67 Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hướng dẫn: y = √9 − x a/ Xét ⇔ y≥0 { x + y = 32 (54.2) (54.2) Là phương trình đường trịn tâm O(0; 0) có bán kính R = 3, ứng với y ≥ Vây (C) nửa đường trịn phía Ox y (C) M(4; 3) B O A -3 x b/ M(4; 3) điểm cố định c/ (54.1) ⇔ √9 − 𝑥 = 𝑚𝑥 − 4𝑚 + Ta có: A(3; 0); M(4; 3) ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1; −3) 𝑀𝐴 ⇒ hệ số góc MA là: k1 = Tương tự, ta có: hệ số góc MB là: k2 = hệ số góc MC là: k3 = Từ đó, ta được:  k > k <  < k ≤ k = SVTH: Lê Thị Thái Huyền : (54.1) vơ nghiệm : (54.1) có nghiệm Trang 68 Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh  0 15 trình: Giải: - Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) Ox: x − mx − x + m + = 3 ⇔ SVTH: Lê Thị Thái Huyền x=1 [ x + (1 − 3m)x − (3m + 2) = (55.1) Trang 70 Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh - (Cm) cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn bất phương trình: x12 + x22 + x32 > 15 (55.1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác thỏa mãn x12 + x22 + 12 > 15 ⇔ ∆= (1 − 3m)2 + 4(3m + 2) > {12 + (1 − 3m) − (3m + 2) ≠ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 > 14 ⇔ m < -1 & m > Vậy giá trị m cần tìm là: m < -1 m > Bài tập 56: Cho (C): y = x 1 Tìm m để (d): y = 2x + m cắt (C) điểm x 1 phân biệt A, B cho tiếp tuyến với (C) A B song song Giải: - Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d): x 1 = 2x + m (x ≠ 1) x 1 ⇔ f(x) = 2x + (m − 3)x − (m + 1) = (56.1) - (C) cắt (d) điểm phân biệt A, B (56.1) có nghiệm phân biệt khác ⇔ ∆> { f(1) ≠ ⇔ ∀𝑚 ∈ 𝑅 (56.2) Vậy với giá trị m (C) cắt (d) A(xA,yA), B(xB,yB) - Ta có: (C): y = x 1 x 1 ⇒ y′ = 2 ( x  1) - Hệ số góc tiếp tuyến A với (C): kA = 2 ( x A  1) - Hệ số góc tiếp tuyến B với (C): kB = 2 ( xB  1) SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 71 Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh - Theo giả thiết toán ta được: kA = kB ⇔ m = −1 (56.3) Kết hợp (56.2) (56.3), giá trị cần tìm m = -1 Bài tập 57: Cho hàm số (Cm) 2  x2   x2     + 4m y = f(x, m) = (m + 1)  3m 2 2 1   x x     với m tham số a/ Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm b/ Xác định m k để đồ thị hàm số y = f(x, m) cắt đồ thị hàm số (Ck) k 1  x  y = g(x, k) = 2 Giải: a/ Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) Ox là: 2  x2   x2     + 4m = (m + 1)  - 3m  2 2 1   x x     - Đặt x2 t=  x2 ; (58.1) 0≤𝑡 -3) cắt (C) điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB (Khối D – 2009) Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm): y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ (Khối D – 2009) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm x2  x  số y = điểm phân biệt A, B cho trung điểm x đoạn AB thuộc trục tung (Khối B – 2009) tìm m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số x2  y= điểm phân biệt A, B cho AB = x (Khối B – 2010) Tìm m để đường thẳng y = - 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho ∆OAB có diện tích √3 (O gốc tọa độ) SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 76 Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh (Khối A – 2003) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số: mx2  x  m y= cắt trục hồnh điểm phân biệt hai điểm x 1 có hồnh độ dương (Dự bị khối A – 2002) Cho hàm số y = x –m2 x + m – Xác định m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt 10 (Khối A – 2004) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y  x  3x  điểm A, B cho AB = 2x  1 11.(Khối A – 2010) cho hàm số y = 𝑥 – 2𝑥 + (1 – m)x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt 0x điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 thỏa mã: x12 + x22 + x32 < 12.(Khối A – 2011) Cho hàm số: y =  x 1 CMR: với m, đường 2x  thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A B Gọi k1 k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để k1 + k2 đạt giá trị lớn 13 (Dự bị khối B – 2002) Tìm m để đường thẳng (d): y = -x + m cắt đồ thị (C): y = x điểm phân biệt x 1 14.Cho (C): y = x + + Tìm m để (A): y = m cắt (C) điểm x2 phân biệt A, B cho 𝐴𝐵 = √12 15.Cho (C): 𝑦 = mx2  4x  Tìm m để (dm): y = mx + – m cắt (C) x2 điểm phân biệt thuộc nhánh (C) SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 77 Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh 2x  2x  16.Cho (C): y = Với giá trị m (d): y = mx + x 1 cắt (C) hai điểm thuộc hai nhánh khác (C) KẾT LUẬN Đề tài “Hàm số vấn đề liên quan” thu kết sau: Hệ thống bổ sung kiến thức cần thiết hàm số - kiến thức quan trọng chương trình phổ thơng Nghiên cứu, phân loại vấn đề ứng dụng hàm số nhằm phục vụ cho việc học ôn thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng học sinh Phổ thông Trung học Phân loại trình bày phương pháp giải chi tiết, cụ thể cho dạng Toán, giúp học sinh củng cố lại kiến thức nắm bắt vấn đề liên quan đến hàm số cách cụ thể Cung cấp lượng lớn tập, đặc biệt tập đề thi tuyển sinh Cao đẳng Đại học năm gần Đề tài tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh phổ thông bạn sinh viên ngành sư phạm Toán Qua đề tài này, em phần củng cố hệ thống lại, đồng thời mở rộng hoàn thiện kiến thức học trước Tuy nhiên, lực thời gian có hạn đề tài nghiên cứu rộng nên chắn khó tránh sai sót Vì vậy, mong góp ý thầy cô tất bạn để đề tài hoàn thiện SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 78 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số vấn đề liên quan TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2007), Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục Hoàng Kỳ (1992), Đại số sơ cấp, NXB Giáo dục Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc (2004), Phương pháp giải tốn giải tích, NXB Giáo dục Lê Hồnh Phị (2008), Bộ đề thi tự luận toán học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Lê Kim Chung (2009), Giáo trình luyện thi đại học, Lưu hành nội Nguyễn Tiến Quang (2008), Tuyển chọn tốn giải tích 12, NXB giáo dục Nguyễn Văn Thông (2001), 41 chủ đề nâng cao giải tích THPT, NXB Giáo dục Phạm An Hịa (2001), Phương pháp giải tốn khảo sát hàm số luyện thi vào đại học, NXB Trẻ 10 PGS.TS Nguyễn Văn Lộc (2008), 500 tập nâng cao lớp 12, NXB Đại học quốc gia TP HCM 11 Phạm Đức Chính, Phạm Văn Điều (2003), Một số phương pháp chọ lọc giải toán sơ cấp, NXB Đại học quốc gia Hà Nội SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 79 GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Hàm số vấn đề liên quan 12 Trần Phương (2008), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn, NXB Hà Nội 13 Trần Thị Vân Anh (2009), Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi quốc gia mơn Tốn giáo dục đào tạo, NXB ĐHQG Hà Nội SVTH: Lê Thị Thái Huyền Trang 80 ... Sinh Hàm số vấn đề liên quan Chương trình bày khái niệm hàm số kiến thức sở hàm số nhằm vận dụng cho chương II Chương II: Các vấn đề liên quan đến hàm số Chương trình bày vấn đề liên quan đến hàm. .. Huyền Trang 10 Hàm số vấn đề liên quan GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh Chương II CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ A Vấn đề TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A.1 I CÁC DẠNG BÀI... III Các dạng hàm số thường gặp Chương II A Vấn đề CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ 11 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG 11 A.1 Tính đơn điệu hàm số 11