Tác động nhóm trên tập hợp và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ ANH ĐÀO TÁC ĐỘNG NHÓM TRÊN TẬP HỢP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Anh Đào MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƢƠNG : NHÓM VÀ p – NHÓM HỮU HẠN 1.1 NHÓM VÀ p- NHÓM HỮU HẠN 1.2.MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 13 CHƢƠNG : TÁC ĐỘNG NHĨM VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 TÁC ĐỘNG NHÓM TRÊN MỘT TẬP 18 2.2 ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT NHÓM 27 2.3 ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 37 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Tác động nhóm phần lý thuyết nhóm, có nhiều ứng dụng quan trọng khơng lý thuyết nhóm mà cịn số lĩnh vực khác tốn học Nhằm tìm hiểu tác động nhóm tập hợp ứng dụng nó, tơi chọn đề tài luận văn thạc sĩ là: ‘‘ Tác động nhóm tập hợp ứng dụng ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p – nhóm - Nghiên cứu tác động nhóm tập hợp - Khảo sát ứng dụng tác động nhóm tập hợp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Các nhóm hữu hạn p – nhóm hữu hạn - Tác động nhóm tập hợp - Những ứng dụng tác động nhóm lý thuyết nhóm, đại số tuyến tính Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập hệ thống tài liệu lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt tài liệu tác động nhóm - Phân tích, khảo sát tư liệu thu thập - Trao đổi thảo luận với người hướng dẫn Cấu trúc luận văn Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Nhóm p – nhóm Chương trình bày sơ lược cấu trúc nhóm,p – nhóm số kiến thức cần thiết làm tiền đề cho chương sau Chương 2:Tác động nhóm ứng dụng Chương nội dung luận văn, trình bày tác động nhóm tập hợp số ứng dụng lý thuyết nhóm đại số tuyến tính CHƢƠNG NHĨM VÀ p – NHĨM Chương trình bày số khái niệm kết lý thuyết nhóm đại số tuyến tính để chuẩn bị cho chương sau, chi tiết liên quan tìm xem tài liệu lý thuyết nhóm đại số tuyến tính 1.1 NHĨM VÀ p- NHÓM HỮU HẠN 1.1.1 Định nghĩa Cho tập khơng rỗng G phép tốn hai ngơi G kí hiệu  , cặp (G,  ) gọi nhóm (i) Với x, y, z  G,(x  y)  z = x  (y  z), (ii) Tồn phần tử ký hiệu  G, gọi phần tử đơn vị, cho x  =  x = x, với x  G, (iii) Với x  G có phần tử nghịch đảo G, nghĩa có phần tử x 1  G cho x  x 1 = x 1  x = Nếu với x, y  G, x  y = y  x (G,  ) gọi nhóm abel (hay nhóm giao hốn) Nếu khơng sợ nhầm lẫn phép tốn, ta cịn nói G nhóm thay cho nhóm (G,  ) Nhóm G gọi nhóm hữu hạn G tập hữu hạn Lúc số phần tử tập hợp G gọi cấp nhóm G kí hiệu |G| Nếu nhóm G khơng phải nhóm hữu hạn ta nói G nhóm (có cấp) vơ hạn 1.1.2 Định nghĩa Một nhóm có cấp lũy thừa số nguyên tố p gọi p – nhóm 1.1.3 Định nghĩa Giả sử G nhóm Một tập khơng rỗng S  G gọi nhóm G S khép kín luật hợp thành G (tức xy  S với x, y  S ) khép kín phép lấy nghịch đảo G (tức x1  S với x  S ) Ta dùng kí hiệu S  G để S nhóm G Đối với nhóm G bất kì, e G ln nhóm G Các nhóm khác (nếu có) gọi nhóm thực (hay không tầm thường) G 1.1.4 Mệnh đề [7] Giả sử A phận khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương : i) A nhóm X ii) Với x, y A, xy 1  A 1.1.5 Định nghĩa i) Nhóm H gọi p – nhóm G H vừa nhóm G vừa p – nhóm ii) Nhóm H gọi p – nhóm Sylow G H p – nhóm G |H| = p n lũy thừa cao p chia hết |G| 1.1.6 Định nghĩa Nhóm thực M G gọi nhóm cực đại G khơng có nhóm conHnào G để M < H < G 1.1.7 Mệnh đề [5] Giao họ nhóm nhóm G nhóm G 1.1.8 Định nghĩa Cho G nhóm X tập khác rỗng G Nhóm G sinh tập hợp X giao tất nhóm G có chứa X, kí hiệu X X = { x1 x2  xn / xi  X ,  i =  1, n số nguyên dương} n 1.1.9 Nhận xét X nhóm nhỏ G có chứa X Nếu X = Gthì ta nói G nhóm sinh X X tập sinh G 1.1.10 Định nghĩa Một nhóm có tập sinh hữu hạn gọi nhóm hữu hạn sinh 1.1.11 Định nghĩa Một nhóm X gọi cyclic X sinh phần tử a  X, kí hiệu a Phần tử a gọi phần tử sinh X Nhóm cyclic cấp n kí hiệu C(n) 1.1.12 Định nghĩa Giả sử G nhóm với phần tử đơn vị 1, a  G Nếu am  1,  m  * a gọi có cấp vơ hạn Nếu m số ngun dương nhỏ cho a m  m gọi cấp a Cấp phần tử a kí hiệu ord(a) Từ định nghĩa ta có ord(a) = a , ord(a) =  a = 1.1.13 Bổ đề Cho X nhóm với phần tử đơn vị e, a  X có cấp n Khi a k = e n | k Chứng minh Giả sử k số nguyên cho a k = e Vì n cấp a nên n >0 Chia kchonta k = nq + r với q  Z,  r < n Do e = ak  anqr  anq ar Suy a r = e Vì n số nguyên dương bé cho a n = e mà  r < n nên r = 0, k = nq hay k chia hết cho n Ngược lại, k chia hết cho n hay k = nq ak  anq  (a n )q  eq  e 1.1.14 Mệnh đề Cho X Y nhóm cyclic có cấp m n Khi X  Y nhóm cyclic (m, n) = Chứng minh Giả sử X = < g> Y = < h > hai nhóm cyclic có cấp m n, với (m, n) = Ta chứng minh X  Y nhóm cyclic sinh phần tử (g, h) Do |X| = m |Y| = n nên | X  Y | = mn Ta có ( g, h)mn = (gmn, hmn) = ( eX , eY ) Nếu tồn số nguyên dương k cho ( g , h) k = ( g k , h k ) = ( eX , eY ) Do đó, theo bổ đề 1.1.13 k chia hết cho m n Vì (m, n) = nên k chia hết cho mn Suy ord((g, h)) = mn = | X  Y | Vậy X  Y nhóm cyclic sinh (g, h) Đảo lại, giả sử X  Y nhóm cyclic cấp mn sinh phần tử ( g k , hl ) Gọi M bội chung nhỏ m n Ta có ( g k , hl )M = ( g Mk , h Ml ) = ( eX , eY ) Suy M chia hết cho mn hay (m, n) = Vậy mệnh đề chứng minh 1.1.15 Định nghĩa Cho G nhóm H nhóm G Khi với a  G , tập hợp aH  { ah, h  H } Ha  { ha, h  H } gọi lớp kề trái lớp kề phải H G phần tử a 1.1.16 Mệnh đề [5] Hai lớp kề trái H trùng phần tử chung Các lớp kề phải Như thế, nhóm G phân hoạch thành hợp rời lớp kề trái (tương ứng, lớp kề phải) 1.1.17 Định nghĩa Cho G nhóm H  G Ta gọi tập gồm tất lớp kề trái H G tập thương G H kí hiệu G / H G / H = {xH / x  G} Lực lượng tập G/H lớp kề trái H G gọi số nhóm H nhóm G, kí hiệu G : H  1.1.18 Định nghĩa Cho G nhóm với phép tốn nhân, nhóm A G gọi nhóm chuẩn tắc G, kí hiệu A  G nếu: g  G, x  A, g 1 xg  A 1.1.19 Mệnh đề [7] Giả sử A nhóm nhóm G Các điều kiện sau tương đương: i) A nhóm chuẩn tắc ii) xA  Ax với x  G 28 G  G  G với ( g , x)  gx Theo Mệnh đề 2.1.4, tác động cảm sinh đồng cấu nhóm T : G  S  G  với g    g   Tg Hơn nữa, T đơn cấu, thật vậy: Với g , h  G thỏa mãn T ( g )  T (h)  Tg (e)  Th (e)  ge  he , hay g = h  T đơn ánh,  T đơn cấu Vậy định lý chứng minh 2.2.2 Hệ Mỗi nhóm hữu hạn G đẳng cấu với nhóm nhóm đối xứng S n , n  G 2.2.3 Mệnh đề Cho p số nguyên tố G p – nhóm Xét tác động G lên tập hữu hạn X Ký hiệu X G tập tất phần tử cố định tác động G Khi X  X G (mod p) Chứng minh    xT  Theo Hệ 2.1.11, ta có X   Gx  X G    Gx  , T tập xX đại diện quỹ đạo có nhiều phần tử Suy theo Hệ 2.1.15, X  X G    G : Gx  xT Mặt khác, G p – nhóm nên G  p n , theo hệ 2.1.15, x  G Gx  G : Gx  , suy Gx G  G : Gx  G  G : Gx   p m , m  n, x  G Do X  X G (mod p) Mệnh đề chứng minh 29 2.2.4 Mệnh đề Cho G nhóm hữu hạn với H K hai nhóm HK  H K H K Chứng minh Kí hiệu S tập lớp ghép trái K G Xét tác động nhóm H lên tập S phép nhân h  (a K )  h a K với h  H , aK  S Nhóm ổn định ứng với eK  S H eK  h  H / heK  K  h  H / h  K   H  K Vì số nhóm ổn định phần tử eK  S H H K Kí hiệu H  eK quỹ đạo eK Khi H  eK  hH / h  H  Chú ý hK có |K| phần tử hK  h ' K h, h '  H ,  hK  hk / h  H , hK  h ' K   với k  K   HK số phần tử quỹ hH đạo H  eK HK K theo Hệ 2.1.15 ta có HK K  H H K Mệnh đề chứng minh 2.2.5 Định lý Nếu G p – nhóm hữu hạn, G  (G)  Chứng minh G p – nhóm nên G  pn , n   G  p (1) Xét tác động nhóm G lên phép liên hợp G  G  G , với ( g, x)  gxg 1 Với x  G ta có: Gx  gxg 1 / g  G   Gx  g  G / gxg 1  x  {g  G / gx  xg}  CG ( x) 30 G  Z (G)  Với tổng [G : C  G ( x)] lấy theo đại diện x quỹ đạo mà x  Z (G) Mặt khác theo Mệnh đề 2.1.7 Gx  G nên theo định lý Lagrange ta có Gx  p k , k  n , đó: G : Gx   G pn   k  p nk  G : Gx   p Gx Gx p G (2) Từ (1) (2) suy (G)  p Vậy định lý chứng minh 2.2.6 Hệ Cho G nhóm có cấp p r ( r  1) Khi G chứa nhóm chuẩn tắc có cấp pr-1 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo r Với r = 1, hệ hiển nhiên Giả sử hệ với r - (r>1) Ta chứng minh hệ với r (r> 1) Thật vậy, theo Định lý 2.2.5, ta có Z(G)  {1} Ta có p | |Z(G)| nên Z(G) có phần tử g cấp p Gọi N nhóm cyclic sinh g suy |N| = p Vì G /N = N  Z (G) nên |G| pr = = p r -1 |N | p N G, xét nhóm thương G/N ta có : 31 Theo giả thiết quy nạp , G/N có nhóm chuẩn tắc H có cấp pr -2 Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.30,  H  G , N  H mà H /N = H Suy |H | = p r 1 H G Do đó, hệ với r (r> 1) Vậy hệ với r nguyên dương 2.2.7 Mệnh đề Cho p số nguyên tố Khi đó, nhóm có cấp p nhóm abel Chứng minh Cho G nhóm có cấp p2 Z(G) tâm G Theo Định lý 2.2.5, Z(G)  e suy |Z(G)| = p |Z(G)| = p Nếu |Z(G)| = p, |G / Z(G)| = p (do G có cấp p2) Mà p số nguyên tố nên G / Z(G) cyclic nên theo Bổ đề 1.1.23 G abel Suy Z (G)  G, vô lý Vậy |Z(G)| = p2 Z(G) = G nên G abel (do Z(G) abel) Vậy G nhóm abel 2.2.8 Mệnh đề Giả sử p số nguyên tố bé chia hết cấp nhóm hữu hạn G H nhóm số p Khi H nhóm chuẩn tắc G Chứng minh Cho H nhóm G, với G : H   p , G H  p 32 Nhóm G  G G  G H tác động tác động tịnh tiến trái tập H G H : với ( g , aH )  gaH Theo Mệnh đề 2.1.4 tác động cảm sinh đồng cấu:  f :GS G H   S p với g  f g , f g (aH )  g (aH )  Đặt K  Kerf  g  G / f g  1G H  , K G Với g  K f g hoán vị đồng nhất, tức g (aH )  aH với lớp kề aH Bản thân H lớp kề nó, gH = H, suy g  H , K  H Vì G : H   p K  H  G nên G K  G : K   G : H  H : K   p. H : K  Mặt khác, ta có G K đẳng cấu với nhóm S p , nên theo Định lý Lagrange ta có G H p!, suy p. H : K  p !  H : K  ( p  1)! Vì [H : K ] G [H : K ] ( p 1)! , với p số nguyên tố nhỏ chia hết G , nên suy [ H : K ] =1, nghĩa H = K = Kerf, H  G 2.2.9 Mệnh đề Giả sử G nhóm hữu hạn p số nguyên tố chia hết cấp G Khi G chứa nhóm cấp p k với k mà pk||G| Chứng minh Cho G nhóm hữu hạn có G  p n m, (m, p)  Gọi X tập tất tập G có p k phần tử (có cấp p k ) 33 Khi đó: X  C  pk pn m ( p n m)!  k  p !.( p n m  p k )! pk  i 1 pnm  i 1 i p n m.( p n m  1).( p n m  2) ( p n m  p k  1) 1.2.3 ( p k  1) p k p 1 n ( p n m  1).( p n m  2) ( p n m  p k  1) p m i nk m  p m  k 1.2.3 ( p  1) i i 1 k  p nk Ta chứng minh p nk lũy thừa lớn p chia hết |X|, tức ta chứng minh X  p nk 1 p k 1 Thật vậy, |X |= p m  nk i 1 pnm  i , i  p X  p nk 1 i Nếu i = p.u, (u,p) = i  (1, p k  1) pnm  i p n m  pu p( p n1m  u ) p n1m  u     p  X  p nk 1 i pu pu u Xét tác động nhóm G tập X: G  X  X với ( g, H )  gH Theo công thức lớp ta có X   G( H i ) mà X  p nk 1 nên: iI A  X cho quỹ đạo G( A)  g  G / gA thỏa mãn G( A)  p nk 1 Đặt G( A)  pt m ',  t  n  k , (m ', p)  Ta chứng minh GA  p k Thật vậy, ta có: G  GA G : GA   GA  GA  G G( A)  p n m m  p n t t p m ' m' G G : GA  G( A)  G : GA  nên  GA  p k (do n  t  k) Lại có GA  g  G / gA  A , với a  A (3) GAa  ga / g  GA  lớp ghép phải G theo nhóm GA g  GA gA = A nên ga  A Do ta có GAa  A Suy GA  GAa  A  pk Từ (3) (4) ta có GA  p k GA p – nhóm (4) 34 Vậy tồn p – nhóm GA G thỏa mãn GA  p k 2.2.10 Định lý Giả sử G nhóm hữu hạn với p số nguyên tố chia hết cấp G Khi G tồn p – nhóm Sylow Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2.9 G tồn p – nhóm H G mà H  p n Giả sử K p – nhóm G thỏa mãn H  K  G Ta có K  H , giả sử K  p n t , (t , p)  Nếu t> tồn số nguyên tố q cho: t  q  t  qe u, e  * , (u, q)  Khi K  qe (upn ), (upn , q)  Theo Mệnh đề 2.2.9, K tồn q – nhóm F mà F  q r Suy K tồn phần tử a cấp q, điều mâu thuẫn K p – nhóm, t = 1, tức K  p n Suy K = H Vậy H p – nhóm Sylow nhóm G, nhóm Sylow G có cấp p n 2.2.11 Định lý Cho G nhóm hữu hạn thỏa mãn G  p n m, (m, p)  p ước nguyên tố cấp G Các phát biểu sau đúng: (i) Mỗi p – nhóm G chứa p – nhóm Sylow (ii) Các p – nhóm Sylow liên hợp với (iii) Nếu r số p – nhóm Sylow G r |m r  modp Chứng minh 35 (i) Chứng minh p –nhóm G chứa p – nhóm Sylow Theo Định lý 2.2.10, tồn p – nhóm Sylow H G Giả sử K p – nhóm G Ta có H  p n Do K p – nhóm nên K  p k với k  n Ta ký hiệu G H tập tất lớp ghép trái G theo nhóm H Khi G p n m    m H H pn G Nhóm K tác dụng tập G H theo quy tắc: (k , gH )  kgH , k  K , với gH  G H K(gH) quỹ đạo gH K gH nhóm ổn định gH Theo Hệ 2.1.15 Định lý Lagrange ta có: K ( gH )   K : K gH  , mặt khác lại có K   K : K gH  K gH  K ( gH ) K gH Nên K  K ( gH )  K ( gH )  pi ,  i  k Vì G H  m  p nên với m  G H    K : K gH   tồn quỹ đạo K(gH) thỏa mãn K ( gH )  Khi K  K gK Suy k  K , kgH  gH  g 1kg  H , k  K  g 1Kg  H  K  gHg 1 Mà gHg 1  H  p n  gHg 1 p – nhóm Sylow Suy K chứa p – nhóm Sylow (ii) Chứng minh p – nhóm Sylow liên hợp với Gọi H K hai p – nhóm Sylow G Tương tự theo (i) ta có:   g 1Hg  K 1 n g Hg  H  K  p  g  G : g 1Hg  K Vậy H K liên hợp với 36 (iii) Chứng minh r m r  mod p Gọi r số p – nhóm Sylow G K p – nhóm Sylow G Theo (ii) nhóm liên hợp với K liên hợp với nên ta có r  G : NG ( K ) Vì K  p n mà K  NG ( K ) nên NG ( K )  p n m ' Theo Định lý Lagrange, ta có: G  NG ( K ) G : NG ( K )  p n m  p n m '.r  r | m Bây ta chứng minh r  (mod p) hay (r  1) p Gọi X tập tất p – nhóm Sylow G, ta có |X| = r Lấy K p – nhóm Sylow G, suy K  X K tác động liên hợp lên X theo quy tắc: k * H  kHk 1 với k  K , H  X Với H  X , ta có quỹ đạo H K ( H )  kHk 1 / k  K  Nhóm ổn định H K K H  k  K / kHk 1  H  Vì K làp – nhóm Sylow nên K  p n Do từ Hệ 2.1.15 Định lý Lagrange ta có: K  K H  K : K H    K : KH  | pn ,   K : K H   pi ,  i  n Nếu K = H K có quỹ đạo: K ( K )  kHk 1 / k  K  {K}  K ( K )  Nếu K  H X K ( H )  pi  Thật vậy, giả sử H  X , K ( H )  1, K ( H )  kHk 1 / k  K   {H } Do kHk 1  K , k  K ,  KH  HK , dễ dàng chứng minh HK nhóm G Theo Mệnh đề 2.2.4 ta có: HK  H K H K  p2n H K Suy HK lũy thừa p, hay HK p – nhóm 37 Do H K p – nhóm sylow G H  HK , K  HK (vô lý giả thiết K  H ) Nên H = HK = K Như X có K thỏa mãn K (K )  K ( H )  pi ,  i  n, H  K Vậy ta có r  X   K (H )  H X   K (H )  K (K )  H K  K ( H )  , H K K ( H )  p , nên suy r  mod p H K 2.3 ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2.3.1 Bổ đề Choma trận A đối xứng, P ma trận vuông cấp với A Khi P A t P ma trận đối xứng, với t P ma trận chuyển vị P Chứng minh A ma trận đối xứng nên A  A t Vì: t ( P A t P)  t ( t P) t A t P  P t A t P  P A t P nên P A t P ma trận đối xứng 2.3.2 Mệnh đề Cho S tập ma trận đối xứng cấp n trường số thực  Khi ánh xạ G L( n,  ) S ,S với ( P, A)  P A tP , xác định tác động nhóm GL(n, ) lên tập S Chứng minh  P1 , P2  GL(n, ),  A  S ta có: t t  PP  PP  * A   PP 2A    PP  A  P2 P1   P1  P2 A t P2  t P1  P1  P2 * A t P1  P1 *  P2 * A  t 38 E * A  E A t E  A, A  S , E  GL  n,   , E ma trận đơn vị cấp n Vậy ta có tác động nhóm GL(n, ) lên tập S Tương tự mệnh đề trên, ta có 2.3.3 Mệnh đề Cho S tập ma trận đối xứng cấp n trường số thực  Khi ánh xạ O( n,  ) S  S , với ( P, A)  P A t P , xác định tác động nhóm ma trận trực giao O(n, ) lên tập S Cho   R,   , ký hiệu Pij , Qij ( ) Ri ( ) ma trận vng cấp n có từ ma trận đơn vị E cấp n, cách đổi chỗ hàng i với hàng j, cộng thêm vào hàng i bội  hàng j nhân phần tử hàng i với số  2.3.4 Nhận xét Nếu A ma trận vuông cấp n, ta có a) Qij ( ) A (tương ứng A Qij ( ) ) ma trận có từ A cách cộng thêm vào hàng i bội  hàng j(tương ứng cộng thêm vào cột j bội  cột i ) b) Pij A (tương ứng A Pij ) ma trận có từ A cách đổi chỗ hàng i với hàng j (tương ứng đổi chỗ cột i với cột j ) c) Các ma trận Pij , Qij ( ) , Ri ( ) ma trận khả nghịch, chúng lập thành hệ sinh nhóm GL(n, ) d) t Pij  Pji , tQij ( )  Qji ( ), t Ri ( )  Ri ( ) 2.3.5 Mệnh đề Với ma trận đối xứng thực A, tồn ma trận P  GL  n,   cho P A t P có dạng chéo tức là: 39 b1 0 b P A t P     0 0    bn  Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo n Giả sử A  (aij ) ma trận đối xứng cấp n Nếu A = mệnh đề hiển nhiên Nếu A  Ta giả sử  aij  0, i  j ,  aii  Thật aii  0, i  1, n Qij ( ) AQji ma trận có aii  Nếu a11  aii  , P1i A Pi1 ma trận có a11  Giả sử a11  a  Xét  a1j   a1j  Qj1   AQ1j   ma trận có dạng :  a   a  j từ đến a   0  A'  0 n, a1j  0, 0      Trong A' ma trận đối xứng cấp n – Áp dụng giả thiết quy nạp ta có điều phải chứng minh Mệnh đề chứng minh 2.3.6 Định nghĩa Một ma trận đối xứng A gọi chéo hóa trực giao được, có ma trận trực giao P cho P 1 A P ma trận chéo 2.3.7 Mệnh đề [8] Với ma trận đối xứng thựcA, tồn ma trận trực giao P cho P 1 A P ma trận chéo Việc tìm ma trận trực giao P cho P 1 A P ma trận chéo gọi chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực 40 Mệnh đề 2.3.3 Mệnh đề 2.3.7 cho ta hệ sau 2.3.8 Hệ Nhóm ma trận trực giao O(n, ) tác động lên tập ma trận đối xứng thực, thông qua tác động ma trận đối xứng thực chéo hóa trực giao Các Mệnh đề 2.3.2,2.3.5, 1.2.12 1.2.15 cho ta hệ sau 2.3.9 Hệ Nhóm ma trận khả nghịch GL(n, ) tác động lên tập ma trận (đối với sở khác nhau) dạng tồn phương  ( x) khơng gian vectơ thựcn chiều V Nhờ tác động mà biểu thức tọa độ dạng toàn phương đưa dạng tắc 41 KẾT LUẬN Luận văn '' Tác động nhóm tập hợp ứng dụng '' thực mục tiêu đề ra, cụ thể 1) Tìm hiểu trình bày lại tác động nhóm tập hợp ví dụ minh họa 2) Tìm hiểu áp dụng kết tác động nhóm để chứng minh số Định lý, Mệnh đề lý thuyết nhóm p – nhóm hữu hạn 3) Khảo sát ứng dụng tác động nhóm đại số tuyến tính Cụ thể giải tốn chéo hóa trực giao ma trận đối xứng thực đưa biểu thức tọa độ dạng toàn phương thực dạng tắc Hy vọng nội dung luận văn cịn tiếp tục bổ sung hồn thiện hơn, nhằm khẳng định tầm quan trọng tính hiệu tác động nhóm tập hợp 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] G Birkhoff, S.Maclane (1979), Tổng quan đại số đại, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Trần Văn Hạo (1977), Đại số cao cấp, tập 1,NXB Giáo dục Hà Nội [3] Bùi Huy Hiền (1997), Bài tập đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài tập đại số số học, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hà Nội [6] S Lang (1973), Đại số, NXB Đại học Trung học chun nghiệp Hà Nội [7] Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Hà Nội [8] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2008), Tốn học cao cấp – Đại số hình học giải tích, NXB Giáo dục Hà Nội [9] Lê Anh Vũ (1997), Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục Hà Nội TIẾNG ANH [10] B Baumslag and B.Chandler (1968), Theory and Problems of Group Theory, McGraw - Hill book company [11] Georgew.Polites (1968), An Introduction to the Theory of Group, International Textbook company WEBSIZE [12] http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/gpaction.pdf [13] vi.wikipedia.org/wiki/Định_lý_Cauchy [14] J.S Milne (2008), Group Theory (2008) ,atwww.jmilne.org/math/course notes/GT.pdf ... tắc 18 CHƢƠNG2 TÁC ĐỘNG NHĨM VÀ ỨNG DỤNG Chương trình bày tác động nhóm tập hợp số ứng dụng 2.1 TÁC ĐỘNG NHĨM TRÊN MỘT TẬP 2.1.1 Định nghĩa Cho G nhóm X tập Ta gọi tác động nhóm G tập X ánh xạ... sĩ là: ‘‘ Tác động nhóm tập hợp ứng dụng ” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu cấu trúc nhóm p – nhóm - Nghiên cứu tác động nhóm tập hợp - Khảo sát ứng dụng tác động nhóm tập hợp Đối tƣợng... CHƢƠNG : NHÓM VÀ p – NHÓM HỮU HẠN 1.1 NHÓM VÀ p- NHÓM HỮU HẠN 1.2.MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 13 CHƢƠNG : TÁC ĐỘNG NHÓM VÀ ỨNG DỤNG 18 2.1 TÁC ĐỘNG NHÓM TRÊN