Ánh xạ phủ và tác động nhóm không liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Minh Ngọc ÁNH XẠ PHỦ VÀ TÁC ĐỘNG NHĨM KHƠNG LIÊN TỤC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trần Minh Ngọc ÁNH XẠ PHỦ VÀ TÁC ĐỘNG NHĨM KHƠNG LIÊN TỤC Chun ngành : Hình học tơpơ Mã số : 8460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh – 2021 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc Thầy Nguyễn Thái Sơn Nhờ đó, tơi có ý thức trách nhiệm việc thực Tôi xin phép bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy kính mến Tơi xin chân thành tỏ lịng biết ơn đến Q Thầy Cơ khoa TốnTin Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư phạm TP.HCM giảng dạy tận tình quan tâm,động viên,khích lệ suốt q trình học tập thực luận văn Cuối cùng,tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình bạn bè cổ vũ, động viên để an tâm học tập nghiên cứu Mặc dù nỗ lực khả thời gian có hạn nên luận văn tránh khỏi sai sót Mong Q Thầy Cơ phê bình để luận văn hoàn thiện MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cám ơn Mục lục Mở đầu Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1.Các định nghĩa 1.2.Các tính chất 1.3.Nhóm 1.4.Đẳng cấu nhóm 1.5.Đường tròn 13 1.6.Áp dụng 19 1.7.Nhóm đường tròn 20 1.8.Bổ đề dán 24 Chương 2: Khơng gian phủ tác động nhóm lên tập hợp 25 2.1.Nhập môn 25 2.2.Không gian phủ 27 2.3.Định lý nâng ánh xạ 32 2.4.Tác động nhóm cảm sinh 1  X , x0  37 2.5.Tác động nhóm cảm sinh Aut   1  x0   41 2.6.Tác động nhóm cảm sinh Cov  E X  43 2.7.Sự tương quan tác động nhóm 48 Chương 3: Tác động không liên tục nhóm lên tập hợp 54 3.1.Ánh xạ phủ đồng cấu cảm sinh nhóm 54 3.2.Tác động nhóm khơng liên tục 61 Kết luận 72 Tài liệu tham khảo 73 PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Tơ-pơ đại số ngành học đặc thù Tơ-pơ hình học sử dụng kiến thức Tô-pô để giải tốn đại số ngược lại Trong đó, cơng cụ chủ lực nhóm Nhóm hàm tử từ phạm trù khơng gian Tơ-pơ vào phạm trù nhóm Từ chuyển tốn Tơpơ thành tốn lý thuyết nhóm Ngược lại nhờ Tơ-pơ đại số mà ta giải nhiều toán lý thuyết nhóm Ví dụ sử dụng lý thuyết đồ thị Tơ-pơ ta chứng minh nhóm nhóm tự nhóm tự Để tính nhóm khơng gian Tơ-pơ, ta có nhiều cách, cách thơng dụng dùng ánh xạ phủ Liên hệ với ánh xạ phủ ta nghiên cứu tác động nhóm nhóm cảm sinh nhóm Song song với việc nghiên cứu ánh xạ phủ, mạnh dạn đưa vào khái niệm tác động nhóm tập hợp phối hợp lý thuyết không gian phủ với lý thuyết tác động nhóm để tìm hiểu thêm tác động nhóm Ngồi ta nghiên cứu thêm tác động nhóm Trên tảng Tô-pô đại số mà tiếp thu, chúng tơi muốn tìm hiểu thêm số vấn đề nâng cao Tô-pô đại số kết hợp với lý thuyết nhóm để mở vài hướng để nghiên cứu ánh xạ phủ, khơng gian phủ tác động nhóm tập hợp Do tơi chọn đề tài: “Ánh xạ phủ tác động nhóm khơng liên tục” Mục đích nghiên cứu Thơng qua luận văn chúng tơi nghiên cứu để đạt kết sau đây: - Các vấn đề không gian phủ, định lý nâng ánh xạ, - Tác động nhóm cảm sinh nhóm - Tác động nhóm cảm sinh nhóm tự đồng cấu - Tác động nhóm cảm sinh nhóm phép biến đổi phủ - Tác động nhóm khơng liên tục phép biến đổi phủ Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu luận văn nhằm mục đích mở rộng hướng giới thiệu giáo trình Tơ-pơ đại số bậc cao học, đồng thời tìm kiếm hướng phát triển để làm cho công việc nghiên cứu ngày phong phú Ở chúng tơi mạnh dạn đưa vào lí thuyết tác động nhóm tập hợp phối hợp kết lí thuyết tác động nhóm với kết truyền thống Tô-pô đại số Chúng hi vọng với phối hợp mở hướng nghiên cứu để làm cho Tô-pô đại số ngày trở nên phổ biến Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương sau: - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị - Chương 2: Khơng gian phủ tác động nhóm lên tập hợp - Chương 3: Tác động không liên tục nhóm lên tập hợp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Các định nghĩa 1.1.1.Định nghĩa Nếu f , g hai đường X cho f 1  g   tích f , g kí hiệu f  g đường X xác định sau:   f  2t   t  f  g t     g  2t  1  t   1.1.2.Định nghĩa Hai đường f , g gọi tương đương, ký hiệu f ~g f , g đồng luân tương đối 0;1 ~ quan hệ tương đương tập hợp đường X Ta ký hiệu lớp tương đương đường f  f  1.1.3.Bổ đề Giả sử f , f1; g , g1 đường X f 1  g0   ; f1 1  g1   Nếu f ~ f1 , g ~ g1 f  g0 ~ f1  g1 Chứng minh Giả sử F : f ~ f1 , G : g0 ~ g1 phép đồng luân tương đối 0,1 thực tương đương Xác định H : I  I  X sau:   F  2t , s   t  H t, s    G  2t  1, s   t   Vì F 1, s   f 1  g0    G  0, s  nên H ánh xạ ánh xạ liên tục theo bổ đề dán Kiểm tra trực tiếp ta thấy H phép đồng luân tương đối 0,1 f  g0 , f1  g1 Vậy f  g0 ~ f1  g1 Như kết bổ đề ta định nghĩa tích hai lớp tương đương đường sau:  f  g    f  g  1.2.Các tính chất Nếu x  X ta định nghĩa đường eX : 0,1  X sau: eX  t   x, t  0;1 1.2.1.Bổ đề Nếu f đường X bắt đầu x kết thúc y Khi đó: eX  f ~ f f  eY ~ f Chứng minh Ta chứng minh eX  f ~ f , trường hợp lại chứng minh tương tự Ta xác định ánh xạ F : I  I  X sau: 1 s   t   x F t, s     f  2t   s   s  t     s  Kiểm tra F phép đồng luân tương đối 0;1 từ eX đến f 1.2.2.Bổ đề Nếu f đường X bắt đầu x kết thúc y Khi đó: f  f ~ eX f  f ~ eY f đường xác định f  t   f 1  t  Chứng minh Ta chứng minh f  f ~ eX 60 3.1.8.Bổ đề Cho p : X '  X ánh xạ phủ không gian tô pô X Cho x0 điểm X , cho w0 , w1 điểm X ' thỏa mãn p  w0   x0  p  w1  Cho H , H1 nhóm 1  X , x0  định nghĩa H  p# 1  X ', w0   , H1  p# 1  X ', w1   Giả sử không gian phủ X ' liên thơng đường Khi nhóm H , H1 1  X , x0  liên hợp Hơn H nhóm 1  X , x0  mà liên hợp với H tồn phần tử w X ' cho p  w   x p# 1  X ', w   H Chứng minh Lấy  : 0,1  X ' đường X ' cho     w0 ,  1  w1 (tồn đường X ' liên thơng đường) Khi đường  X ' đóng w1 xác định đường tương ứng    1 X ' đóng w0 ,    3t   t    1     t     3t  1  t  3      3t   t   Con đường qua đường  từ w0 đến w1 , sau tiếp tục quanh đường  qua đường  theo hướng ngược lại để quay lại từ w1 đến w0 Lấy  : 0,1  X đường X đóng điểm x0 cho   p  cho  : 1  X , x0   1  X , x0  tự đồng cấu nhóm 1  X , x0  định nghĩa cho      . .  với tất đường  X 1 đóng điểm x0 Khi p    1     p    1 , p#     1   61      p#       p#   1  X , x0  Từ kéo theo   H1   H 1 Tương tự  1  H   H1 ,  1       .  với tất đường  1 X đóng điểm x0 Từ kéo theo   H1   H , nhóm H , H1 liên hợp Bây lấy H nhóm 1  X , x0  mà liên hợp với H Khi H    H   1 với đường  X đóng điểm x0 Từ định lý nâng đường cho ánh xạ phủ kéo theo tồn đường  : 0,1  X X ' mà     w0 , p    Đặt w   1 Khi p# 1  X ', w     H    H 1 3.2.Tác động nhóm khơng liên tục Chúng ta nhắc lại tác động nhóm lên tập hợp 3.2.1.Định nghĩa Cho G nhóm, cho X tập hợp Nhóm G gọi tác động đến tập hợp X (tác động trái) với phần tử g  G , xác định hàm tương ứng  g : X  X từ tập hợp X vào nó, (i)  gh   g h với g , h  G (ii) hàm số  e xác định phần tử đơn vị e hàm đồng X Cho G tác động nhóm vào tập hợp X Cho phần tử x  X , quỹ đạo  x G x (dưới tác động nhóm) định nghĩa tập   x  : g  G g X , ổn định x định nghĩa tập g  G :   x   x nhóm G Vì vậy, quỹ đạo phần tử g x X tập hợp chứa tất điểm X mà tạo ảnh x tác động phần tử nhóm G Bộ ổn định x nhóm G bao gồm tất phần 62 tử nhóm mà cố định điểm x Nhóm G gọi tác động tự lên X  g  x   x với x  X g  G thỏa mãn g  e Vì nhóm G tác động tự lên X ổn định phần tử X nhóm tầm thường G Cho e phần tử đơn vị G Khi x  e  x  với x  X x   x G với x  X  x G   g  x  : g  G Cho x, y phần tử G cho  x G   y G   z   x G   y G Khi tồn phần tử h, k  G cho z  h  x   k  y  Khi  g  z    gh  x    gk  y  , g  x    gh 1  z   g  y    gk  z  với 1 g  G ,  xG   y G   z G Từ kéo theo tác động nhóm phân hoạch tập X theo quỹ đạo, để phần tử X xác định quỹ đạo mà quỹ đạo cho tác động nhóm G lên X mà thuộc Chúng ta kí hiệu X G tập hợp quỹ đạo cho tác động nhóm G lên X Bây giả sử nhóm G tác động vào khơng gian tơ pơ X Khi tồn tồn ánh q : X  X G , q  x    xG với x  X Tồn ánh cảm sinh khơng gian tơ pô thương tập hợp quỹ đạo: tập U X G mở q 1 U  tập mở X Chúng ta định nghĩa không gian quỹ đạo cho tác động G lên X không gian tô pô mà tập tập quỹ đạo cho tác động G lên X , tô pô X G tô pô thương cảm sinh hàm q : X  X G Hàm q : X  X G ánh xạ đồng : Chúng ta xem ánh xạ thương từ X  X G 63 Ở quan tâm tới tình tác động nhóm khơng gian tơ pơ làm cảm sinh ánh xạ phủ Tác động nhóm thích hợp tác động nhóm tự khơng liên tục không gian tô pô 3.2.2.Định nghĩa Cho G nhóm với phần tử đơn vị e , cho X không gian tô pô Nhóm G gọi tác động tự không liên tục lên X phần tử g G xác định ánh xạ liên tục  g : X  X , điều kiện sau thỏa mãn: (i)  gh   g h với g , h  G (ii) Ánh xạ liên tục  e xác định phần tử đơn vị e G ánh xạ đồng X (iii) Với điểm x G , tồn tập mở U X cho x U  g U   U   với g  G thỏa g  e Cho G nhóm mà tác động tự không liên tục lên không gian tô pô X Với phần tử g G , hàm liên tục tương ứng  g : X  X xác định X đồng phôi Thật vậy, từ điều kiện (i) (ii) định nghĩa kéo theo  g 1  g  g  g ánh xạ đồng X ,  g : X  X 1 đồng phôi với ánh xạ ngược  g : X  X 1 3.2.3.Mệnh đề Cho G tác động nhóm tự không liên tục lên không gian tô pơ X Khi ánh xạ thương q : X  X G từ X vào không gian quỹ đạo tương ứng X G ánh xạ phủ Chứng minh Ánh xạ thương q : X  X G toàn ánh Lấy V tập mở X Khi q 1  q V   hợp gG  g V  tập mở  g V  g chạy khắp nhóm G , q 1  q V   tập X bao gồm tất phần tử X 64 thuộc quỹ đạo phần tử V Nhưng hợp tập mở không gian tô pô tập mở Vì kết luận V tập mở X q V  tập mở X G Lấy x điểm X Khi tồn tập mở U X cho x U  g U   U   với g  G thỏa g  e Bây q 1  q U    gG  g U  Chúng ta khẳng định tập  g U  rời Lấy g , h  G Giả sử  g U   h U    Khi h  g U  h U     Nhưng h : X  X song 1 1 ánh,  h  g U    h U     h  g U     h  h U     h 1 1 1 1 g U   U , Do h g U  U   Từ kéo theo h 1 g  e , e kí hiệu phần tử 1 đơn vị G , g  h Do g , h phần tử G , g  h ,  g U   h U    Chúng ta kết luận ảnh ngược q 1  q U   q U  hợp tập hợp  g U  rời khi g chạy khắp nhóm G Hơn tập hợp  g U  tập mở X Bây U  u G  u với u U u G   g  u  : g  G U   g U    g  e Vì u , v phần tử U , q  u   q  v  u G   v G u  v Từ kéo theo hạn chế q U : U  X G ánh xạ thương q U đơn ánh, q song ánh biến U thành q U  Nhưng q biến tập mở thành tập mở, song ánh liên tục biến tập mở thành tập mở đồng phôi Ta kết luận hạn chế q : X  X G lên tập mở U đồng phôi biến U thành q U  Hơn nữa, với g  G , ánh xạ thương q thỏa mãn q  q  g 1 đồng phôi  g biến  g U  thành U Từ kéo theo ánh xạ thương q 1 65 đồng phôi biến  g U  thành q U  , với g  U Vì kết luận q U  phủ mở X G mà ảnh ngược q 1  q U   hợp tập mở rời  g U  g chạy khắp nhóm G Từ kéo theo ánh xạ thương q: X  X G ánh xạ phủ 3.2.4.Định lý Cho G tác động nhóm tự không liên tục không gian tô pô X liên thông đường, cho q : X  X G ánh xạ thương từ X đến không gian quỹ đạo X G , cho x0 điểm X Khi tồn   toàn cấu  :  X G , q  x0   G với tính chất  ' 1      x0  với đường  X G đóng q  x0  ,  ' kí hiệu đường X thỏa mãn  '    x0 , q  '   Hạt nhân đồng cấu tập   q# 1  X , x0    X G , q  x0  Chứng minh Cho  : 0,1  X G đường đóng khơng gian quỹ đạo với      1  q  x0  Từ định lý nâng đường cho ánh xạ phủ kéo theo tồn đường  ' : 0,1  X với  '    x0 q  '   Bây  '   ,  ' 1 phải thuộc quỹ đạo, q  '          1  q  ' 1  Vì tồn phần tử g G cho  ' 1   g  x0  Phần tử g xác định , nhóm G tác động tự lên X Hơn giá trị g xác định lớp đồng luân sở    1  X , q  x0   Thật vậy, từ mệnh đề 3.1.1 kéo theo  đường X G đóng điểm q  x0  ,  ' nâng  bắt đầu x0 (để q  '   66    '    x0 ),       X G , q  x0  (để   rel 0,1 ) ,  ' 1   ' 1 Vì kết luận tồn hàm định nghĩa tốt    :  X G , q  x0   G Đặc trưng tính chất  ' 1      x0  với đường  X G đóng q  x0  ,  ' kí hiệu đường X mà  '    x0 q  ' Bây lấy  : 0,1  X G  : 0,1  X G đường X G đóng x0  ' : 0,1  X  ' : 0,1  X nâng  ,  bắt đầu x0 , để q  '   , q  '    '     '    x0 Khi  ' 1      x0  ,  ' 1        x0  Khi đường     ' nâng đường đóng  , nâng  bắt đầu  ' 1 Lấy   tiếp nối đường đường đóng  ,    t    2t     t       2t  1  t   Khi nâng   lên X bắt đầu x0 đường  : 0,1  X   t   '  2t   t      '  2t  1   t          Từ kéo theo 67      x0         1       ' 1             x0         x0    Và              Do hàm  :  X G , q  x0   G đồng cấu Lấy g  G Khi tồn đường  X từ x0 đến  g  x0  , khơng gian X liên thơng đường Do q  đường X G đóng q  x0  , g    q   Điều chứng tỏ đồng cấu  toàn ánh Lấy  : 0,1  X G đường X G đóng q  x0  Giả sử    Ker Khi  ' 1  c  x0   x0  ' đường X đóng x0 Hơn    q#  ' ,    q# 1  X , x0   Mặt khác,    q# 1  X , x0     q  ' với đường  ' X đóng x0 (Theo hệ 3.1.3) Nhưng x0   ' 1      x0  ,     e , e phần tử đơn vị G Do Ker  q# 1  X , x0   3.2.5.Hệ Cho G tác động nhóm tự không liên tục không gian tô pô X liên thông đường, cho q : X  X G ánh xạ thương từ X đến không gian quỹ đạo X G , lấy x0 điểm X Khi   q# 1  X , x0   nhóm chuẩn tắc nhóm  X G , q  x0  không gian quỹ đạo    X G , q  x0  G q#   X , x0   Chứng minh Nhóm q# 1  X , x0   hạt nhân đồng cấu 68    :  X G , q  x0   G Được mô tả khẳng định định lý 3.2.4 Vì nhóm   chuẩn tắc  X G , q  x0  , hạt nhân đồng cấu nhóm chuẩn tắc Đồng cấu  toàn ánh, ảnh nhóm đồng cấu đẳng cấu nhóm thương miền chia hạt nhân 3.2.6.Hệ Cho G tác động nhóm tự khơng liên tục không gian tô pô X đơn liên, cho q : X  X G ánh xạ thương từ X đến không   gian quỹ đạo X G , cho x0 điểm X Khi  X G , q  x0   G Chứng minh Đây trường hợp đặc biệt hệ 3.2.5 3.2.7.Ví dụ Nhóm số nguyên với phép cộng tác động tự không liên tục lên đường thẳng thực Thật với số nguyên n xác định đồng cấu tương ứng: n :  , n  x   x  n với x Hơn  m  m   m n với m, n   ánh xạ đồng Nếu U    ,  2 1  n U   U   với số nguyên không âm n Đường thẳng thực Từ hệ 3.2.6 kéo theo   Bây không gian quỹ đạo lấy q :   ,b  với điểm b  đơn liên đồng phơi với đường trịn Thực ánh xạ thương Khi tồn ánh p :  S mà biến t   cos 2 t ,sin 2 t  cảm sinh ánh xạ liên tục h: thành  S định nghịa không gian quỹ đạo thỏa mãn h q  p , ánh xạ thương q ánh xạ đồng Hơn số thực t1 , t2 thỏa mãn p  t1   p  t2  q  t1   q  t2  Từ kéo theo ánh xạ cảm sinh h :  S song ánh Ánh xạ biến 69 tập mở thành tập mở, W tập mở khơng gian quỹ đạo , p  q 1 W   tập mở S , ánh xạ q 1 W  tập mở phủ p :  S biến tập mở thành tập mở Nhưng p  q 1 W    h W  với tập mở W  S biến tập mở thành tập Vì song ánh liên tục h : mở, đồng phơi n 3.2.8.Ví dụ Nhóm n số ngun thứ tự với phép cộng tác động tự không liên tục lên n ,  m ,m , ,m   x1 , x2 , , xn    x1  m1 , x2  m2 , , x n  mn  với  m1 , m2 , , mn   n n ,  x1 , x2 , , xn   Không gian quỹ đạo n n n hình xuyến n chiều, đồng phơi với tích n đường trịn Từ hệ 3.2.6 kéo theo nhóm xuyến n chiều đẳng cấu với nhóm n 3.2.9.Ví dụ Cho C2 nhóm cyclic bậc Khi C2  e, a e phân tử đơn vị, a  e, a  e Khi nhóm C2 tác động tự không liên tục vào mặt cầu n -chiều S n với số nguyên không âm n Chúng ta hình dung S n mặt cầu đơn vị có tâm gốc tọa độ n1 Đồng phôi  e xác định phần tử đơn vị e C2 ánh xạ đồng S n ; đồng phôi  a xác định phần tử a C2 ánh xạ xuyên tâm đối biến điểm x S n thành  x n Không gian quỹ đạo S C đồng phôi với không gian xạ ảnh thực n chiều P n Mặt cầu n chiều đơn liên với n  Từ hệ 3.2.6 kéo theo nhóm P n đẳng cấu với nhóm C2 n  70 Chú ý S cặp điểm P điểm đơn Mà S đường trịn (mà khơng đơn liên) P1 đồng phơi với đường trịn Hơn nữa, với b  S , đồng cấu q# : 1  S , b   1  P1 , q  b   tương ứng với đồng cấu từ đến biến số nguyên n thành 2n Điều mâu thuẫn với kết luận hệ 3.2.5 ví dụ 3.2.10.Ví dụ Cho cặp số nguyên  m, n  , cho m,n : mặt phẳng   đồng phôi  định nghĩa  m,n  x, y   x  m,  1 y  n với  x, y   m Lấy  m1 , n1  ,  m2 , n2  thứ tự số nguyên Khi m ,n m ,n  m m ,n  1 1 2 m1 n2 , Cho  nhóm phần tử biểu diễn cặp thứ tự số ngun, tốn tử nhóm #  định nghĩa cho  m1 , n1  #  m2 , n2    m1  m2 , n1   1 m1 n2  với  m1 , n1  ,  m2 , n2   Nhóm  khơng giao hốn, phần tử đơn vị  0,  Nhóm tác động lên : Cho  m, n   đối xứng tương ứng m,n phép tịnh tiến m chẵn phép đối xứng trượt m lẻ Cho cặp số nguyên  m, n  , đồng phôi tương ứng m,n biến đĩa mở quanh điểm  x, y  thành đĩa mở bán kính quanh điểm  m,n  x, y  Từ kéo theo D đĩa mở bán kính quanh điểm  x, y  , D   m,n  D  khác rỗng,  m, n    0,  Vì nhóm  tác động tự không liên tục lên mặt phẳng Không gian quỹ đạo  đồng phôi với chai Klein Để thấy điều này, ý quỹ đạo cắt hình vng đóng đơn vị S , S  0,1  0,1 Nếu  x  1,  y  quỹ đạo  x, y  cắt hình vuông S điểm, đặt 71 tên điểm  x, y  Nếu  x  , quỹ đạo  x,  cắt hình vng hai điểm  x,0  ,  x,1 Nếu  y  quỹ đạo  0, y  cắt hình vng S hai điểm  0, y  , 1,1  y  (chú ý 1,1  y   1,1  0, y  ) Và quỹ đạo đỉnh hình vng S cắt hình vng bốn đỉnh hình vng Sự hạn chế q S ánh xạ thương q :   lên hình vng S tồn ánh liên tục định nghĩa hình vng: dễ dàng xác định ánh xạ đồng Từ kéo theo không gian quỹ đạo  đồng phôi với khơng gian đồng nhận từ hình vng đóng S cách đồng điểm  x,0  ,  x,1 số thực x thỏa mãn  x  , đồng điểm  0, y  , 1,1  y  số thực y thỏa mãn  y  , đồng bốn đỉnh hình vng: Khơng gian đồng chai Klein Mặt phẳng đơn liên Từ hệ 3.2.6 kéo theo nhóm chai Klein đẳng cấu với nhóm  theo định nghĩa 72 KẾT LUẬN Với mục đích đặt luận văn “Ánh xạ phủ tác động nhóm khơng liên tục”, tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị khái niệm kết liên quan đến nhóm bản, khơng gian phủ, nâng ánh xạ, tác động nhóm lên tập hợp cảm sinh nhóm đặc biệt tương quan chúng, tính chất liên quan đến tác động khơng liên tục nhóm lên tập hợp Cụ thể sau:  Trình bày số khái niệm tính chất nhóm đẳng cấu nhóm Từ xây dựng nhóm đường trịn  Trình bày số khái niệm tác động nhóm lên tập hợp tác động phải, tác động trái, tác động hiệu quả, tác động bắc cầu, tác động tự tác động quy  Trình bày khái niệm không gian phủ nâng ánh xạ số tính chất liên quan đến chúng tồn nâng ánh xạ, định lý nâng đồng luân, nâng đường  Trình bày kết liên quan đến tác động nhóm cảm sinh 1  X , x0  , Aut   1  x0   , Cov  E X  tương quan chúng Từ Cov  S n Pn    Trình bày kết liên quan đến tác động nhóm khơng liên tục lên tập hợp nhóm xuyến n chiều đẳng cấu với nhóm n cyclic bậc 2), … , nhóm P n đẳng cấu với C2 (nhóm 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO Buskes, G and van Rooij, A “Topological Spaces, From Distance to Neighborhood”, SpringerVerlag, NY 1997 Do Campo, Manfredo P., Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall, NJ 1976 Dummit, David S and Foote, Richard M., Abstract Algebra, Third Edition, John Wiley and Sons, INC., NJ 2004 Greenberg, M and Harper, J., Algebraic Topology, A First Course, Perseus Publishing, MA 1981 Hatcher, Allen, Algebraic Topology, Cambridge University Press, NY 2009 James, I.M., General Topology and Homotopy Theory, Springer-Verlag, NY 1984 Jones, Gareth A., Symmetries of Surfaces: An Extension of Kulkarni’s Theorem, Glasgow Math J 36 (1994), 173-184 Kulkarni, R.S., Symmetries of Surfaces, Topology 26 (1987), 195-203 Massey, William S., A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, NY 1991 10 May, J.P., A Concise Course in Algebraic Topology, University of Chicago Press, IL 1999 11 Munkres, James R.,Topology, Second Edition, Prentice Hall, NJ 2000 12 Richeson, David S., Euler’s Gem, The Polyhedron formula and the Birth of Topology, Princeton University Press, NJ 2008 13 Rotman, J., An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, NY 1988 74 14 Scott, W.R., Group Theory, Dover, NY 1987 ... đề không gian phủ, định lý nâng ánh xạ, - Tác động nhóm cảm sinh nhóm - Tác động nhóm cảm sinh nhóm tự đồng cấu - Tác động nhóm cảm sinh nhóm phép biến đổi phủ - Tác động nhóm khơng liên tục. .. số kết hợp với lý thuyết nhóm để mở vài hướng để nghiên cứu ánh xạ phủ, không gian phủ tác động nhóm tập hợp Do tơi chọn đề tài: ? ?Ánh xạ phủ tác động nhóm khơng liên tục? ?? Mục đích nghiên cứu... cứu ánh xạ phủ, mạnh dạn đưa vào khái niệm tác động nhóm tập hợp phối hợp lý thuyết không gian phủ với lý thuyết tác động nhóm để tìm hiểu thêm tác động nhóm Ngồi ta nghiên cứu thêm tác động nhóm