Định lý liouville về nguyên hàm của các hàm sơ cấp mà không là hàm sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ XUÂN ĐỊNH LÝ LIOUVILLE VỀ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP MÀ KHÔNG LÀ HÀM SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ XUÂN ĐỊNH LÝ LIOUVILLE VỀ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP MÀ KHÔNG LÀ HÀM SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đỗ Xuân MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn dự kiến CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 VÀNH, TRƯỜNG 1.2 NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 1.3 CÁC ĐỊNH LÝ TRƯỜNG 1.4 CÁC ĐỊNH NGHĨA KHÁC 15 CHƯƠNG CƠ SỞ VI PHÂN ĐẠI SỐ 17 2.1 VI PHÂN ĐẠI SỐ 17 2.2 CÁC VÍ DỤ 20 2.3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 21 2.3.1 Mệnh đề 21 2.3.2 Hệ 22 2.3.3 Hệ 22 2.3.4 Mệnh đề 22 2.3.5 Định lý 24 2.3.6 Nhận xét 24 2.4 MỞ RỘNG VÀNH VI PHÂN 25 2.4.1 Định nghĩa 25 2.4.2 Các ví dụ 25 2.4.3 Mệnh đề 26 CHƯƠNG MỞ RỘNG VÀNH VI PHÂN VỚI KHÔNG HẰNG SỐ MỚI 27 3.1 ĐỊNH NGHĨA 27 3.1.1 Mệnh đề 27 3.1.2 Ví dụ 28 3.2 CÁC ĐỊNH LÝ 28 3.2.1 Mệnh đề 28 3.2.2 Mệnh đề 30 3.2.3 Mệnh đề 30 3.2.4 Mệnh đề 31 3.3.5 Hệ 34 CHƯƠNG ĐẠO HÀM MỞ RỘNG 35 4.1 VÍ DỤ 35 4.2 CÁC ĐỊNH LÝ 36 4.2.1 Mệnh đề 36 4.2.2 Định lý mở rộng 37 4.2.3 Định lý 44 CHƯƠNG ĐẠO HÀM LOGARIT 47 5.1 MỆNH ĐỀ 47 5.2 MỆNH DỀ 49 CHƯƠNG PHÉP LẤY TÍCH PHÂN CÁC SỐ HẠNG HỮU HẠN 51 6.1 ĐỊNH LÝ ( Liouville ) 52 6.2 HỆ QUẢ ( Liouville ) 57 6.3 HỆ QUẢ ( Liouville ) 59 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong tất giáo trình giải tích tốn học, người ta nói tích phân hàm ∫ ,∫ , ∫ cos ,…không biểu diễn thành hàm sơ cấp, người ta không chứng minh điều Mục tiêu luận văn tìm hiểu chứng minh vấn đề Chứng minh gốc Liouville vào năm 1835 sau R.C Churchill viết lại vào năm 2002, với báo có tên “ Theorem on Integration in terms of elementary functions” Trong luận văn chủ yếu tham khảo báo R.C Churchill chứng minh chi tiết Mục đích nghiên cứu Trong báo [1], R.C Churchill dùng cách tương tự chứng minh phương trình bậc khơng giải thức lý thuyết Galois để chứng minh nguyên hàm ∫ biểu diễn dạng hàm sơ cấp Mục đích luận văn phải tìm hiểu thêm lý thuyết Galois chứng minh R.C Churchill Định lý Liouviile Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng + Lý thuyết Galois + Đại số vi phân - Phạm vi Bài báo R.C Churchill “ Theorem on Integration in terms of elementary functions” Phương pháp nghiên cứu - Đọc tìm hiểu sách, tài liệu giảng viên hướng dẫn, sưu tầm - Kiểm tra báo [1] - Nêu khó khăn, vấn đề khó hiểu với giảng viên hướng dẫn để cung cấp thêm kiến thức cịn sót Cấu trúc luận văn dự kiến Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, Luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Cơ sở đại số vi phân Chương 3: Mở rộng vành vi phân với không số Chương 4: Mở rộng phép lấy đạo hàm Chương 5: Vi phân Logarit Chương 6: Định lý Liouville CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 VÀNH, TRƯỜNG 1.1.1 Đồng cấu vành a Đồng cấu vành Một đồng cấu vành ánh xạ từ vành X tới vành Y cho: f (a + b) = f (a) + f (b) f (ab) = f (a ) f (b) với , Nếu b Định lý Giả sử = đồng cấu gọi tự đồng cấu đồng cấu vành từ X tới Y vành ideal 1.1.2 Định nghĩa Tồn cấu tắc Giả sử A ideal vành X Ánh xạ h: X ® X / A x a x+ A đồng cấu từ vành X tới vành thương / Đồng cấu cịn tồn cấu, gọi tồn cấu tắc 1.1.3 Miền ideal a Miền ideal + Ideal sinh phần tử gọi ideal + Vành giao hốn có đơn vị, khơng có ước gọi miền nguyên + Miền nguyên sinh từ phần tử gọi vành ideal b Định nghĩa ≠ Một ideal , ∈ ∈ tích X ideal nguyên tố với ∈ ∈ Một vành vành mà ideal ideal Một miền ideal miền nguyên mà ideal ideal 1.2 NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 1.2.1 Định nghĩa (vành đa thức biến) Cho vành giao hốn có đơn vị Ký hiệu [ ] vành đa hệ tử Một đa thức thức biến ( )= + +⋯+ ∈ [ ], gọi đa thức biến bậc , kí hiệu deg( ), vành ∈ ( = 1, , ), ≠0 hệ số cao Khi chứa vành [ ] vành 1.2.2 Định lý Giả sử ≥ 0, giả sử hệ số cao , ∈ [ ] thỏa đa thức < ∈ [ ] đa thức biến, bậc vành giao hoán , đơn vị Khi tồn = + Chứng minh Viết ( )= ( )= deg + + + ⋯+ +⋯+ = , deg = , cho Ta chứng minh quy nạp , ≠ đơn vị Nếu deg = deg = 0, deg < deg = 0, chọn = Giả sử định lý với đa thức , deg Chúng ta giả sử deg ≤ deg ( )= ( )= ( > 0) ( ), deg = 0, = ) < ( ), định lý deg , ∈ [ ] cho ( )+ deg < deg < = (nếu không chọn ( )+ Vận dụng giả thiết quy nạp tìm = 0, = Nếu chọn < ( ) ( )+ ( ) Do giả sử ( ) = + luận tồn , ∈ [ ] ( ) để kết Để chứng minh tính ta giả sử với deg < deg , deg Hệ số cao deg( = ( + minh − + < deg Từ suy − ) = − (1) đơn vị , có − ) = deg( Từ (1) (2) ta suy ra: deg( mâu thuẫn Nên ( = − − ) + deg ) = deg( ) = 0, kéo theo = − (2) ) + deg > deg , Định lý chứng 1.2.3 Định lý Nếu trường, vành đa thức biến [ ] vành ideal Chứng minh Giả sử ideal [ ] 47 CHƯƠNG ĐẠO HÀM LOGARIT Trong chương ⊃ mở rộng trường vi phân Ở đây, có hai kết cần để chứng minh định lý Louiville Bất kì phần tử logarit ∈ , người ta nói phần tử / ∈ đạo hàm Từ quy tắc Leibniz người ta thấy phần tử khác khơng , ,…, ∈ số nguyên phép lấy đạo hàm logarit ∏ (4.1) 5.1 MỆNH ĐỀ Giả sử số ,…, (i) ∈ =∑ ∏ = , ,…, người ta có đẳng thức ( ), siêu việt K Giả sử phần tử ( ), () = () + ( ) ∈ , = 1, … , ∈ cho () Khi ta giả định khơng tính tổng qt rằng: (a) tất (b) (c) ( ) thuộc [ ], ( ) không thuộc K lồi bất khả quy, ( ) ( ) khác ≠ không thuộc K Ta kết luận cho tất ≤ ≤ nên cần thêm giả thiết () ∈ [ ] Cho Khi điều kiện (a) – (c) đúng, nói đồng thức (i) chuẩn hóa 48 Chứng minh ( )∈ Với ∏ () , số nguyên với = ( ) nên viết dạng ()∈ >0( Từ (4.1) ta có () () ∏ = = + = + = ∏ ∏ ∏ [ ] đa thức lồi bất khả quy, âm) () ∏ () + ∏ () () ( ∏ () () () ( )) () viết (i) thành dạng tương tự sau (ii) = = + ( + Từ (ii) cho phép ta giả định ( )) () ( + () ( )) + () () ( ) xuất (i) đa thức lồi bất khả quy [ ] phần tử K Điều cho ta giả định (a) (b) (c) Trong (i), ()= chúng lại với nhau, cụ thể ( ), ≠ khơng K ta kết hợp 49 () () + () () = + () () () = () () giả định khơng tính tổng qt biệt ≠ khơng K ( ) phân 5.2 MỆNH ĐỀ Giả sử = ( ), siêu việt K ( ) đa thức lồi bất khả quy cho ( ( )) ∈ Khi đẳng thức chuẩn hóa (i) ta có ( ) ≠ ( ) với = 1, … , =∑ Chứng minh Đầu tiên ý, từ ′ ∈ mở rộng vành vi phân Giả sử ( ) ∈ () () + ∈ [ ], ∈ [ ] không chia hết ( ) () [ ] Mệnh đề 2.4.3, cho ta []⊃ [ ] có tính chất nêu Ta có ( ( )) / ( ) có dạng tối giản, nên xem phần tử trường thương ( ) [ ] Nếu với vài ( ) xuất (i) mà ( ) = ( ), ( ( )) / ( ) phải số hạng khai triển phân thức ∑ định nghĩa khai triển phân thức ∑ () Vì () () () Theo ( ) bất khả quy nên khai triển chứa số hạng có mẫu ( ) khơng có mẫu số, nên từ (i) cho ta hạng tử vừa nêu phải loại bỏ số hạng khai triển phân thức ( ) Điều buộc xuất ( ) mẫu số khai triển phân thức đơn 50 giản ( ) Mỗi lần xuất có dạng ( )/( ( )) , bậc ( ) Giả sử ( ) bé bậc của , tương ứng khai triển ( ( )/( ( )) ) = − ≥ kí hiệu giá trị lớn ( ) ( )( ( )) ( ( )) + ( ( )) ( ( )) với hầu hết thương số hữu hạn dạng ( )/( ( )) , với 1≤ℎ< + Do bậc ( ) bé bậc ( ) ( ) lồi bất khả quy nên ( ) không chia hết ( )( ( )) khai triển phân thức ( )( ( )) ( ( )) giản ∑ 1, … , ( )( ( )) ( ( )) ( ) Cũng thật số hạng khơng có mẫu số nên phải loại bỏ số hạng khai triển phân thức đơn () () , điều khơng thể Do ( ) ≠ ( ), = 51 CHƯƠNG PHÉP LẤY TÍCH PHÂN CÁC SỐ HẠNG HỮU HẠN Trong chương này, K kí hiệu trường vi phân với đặc số Chúng ta chứng minh định lý Liouville Việc cần làm rõ khái niệm hàm sơ cấp Giả sử K trường vi phân Một phần tử ∈ phần tử tương đương dự kiến ∈ = \{0}, hàm số mũ Khi viết ( (5.1) Giả sử ()⊃ ( ) thu từ , ) = logarit = ( ) = / nên có cơng thức mở rộng trường vi phân đơn không tầm thường bởi: (a) bổ sung phần tử đại số K đại số K, ∈ với (b) bổ sung logarit phần tử K = ln với , (c) bổ sung hàm số mũ phần tử K = ∈ Một mở rộng trường vi phân ⊃ sơ cấp có chuỗi hữu hạn mở rộng trường vi phân trung gian cho ∈ ⊃ = ⊃ ⊃⋯⊃ = có ba dạng trên, trường hợp gọi sơ cấp K Một hàm sơ cấp có nghĩa phần tử mở rộng trường vi phân sơ cấp hàm số ⊃ ( ) = ℝ ℂ, phần tử L 52 6.1 ĐỊNH LÝ ( Liouville ) ∈ Giả sử K trường vi phân có đặc số giả sử Khi có nguyên hàm mở rộng vành vi phân sơ cấp không số ,…, K có số ,…, (i) , ∈ ≠0 cho =∑ + Chứng minh " ⟹ " Giả sử có phân cho ⊃ = 1,2, … , ⊃⋯⊃ = ≥ tạo từ ∈ và phần tử mở rộng trường vi bổ sung phần tử đại số K, logarit phần tử K, hàm số mũ phần tử K Hơn nữa, có phần tử ∈ cho Chúng ta chứng minh định lý quy nạp với Với ≔ Nếu = đẳng thức cách chọn > kết cho phần tử ⊃ (do ⊃ nạp cho mở rộng sơ cấp ,…, rộng ∈ ⊃ nên ∈ ,…, , ∈ , ∈ tất , , khác với tất ∈ ∈ lần thuộc chứa K · TRƯỜNG HỢP (a): đại số K Gọi ,…, , viết dạng này, với m khác với , số cho (i) Từ mở viết trên, với tất ( )= ), áp dụng giả thuyết quy cần chứng minh kết sau: ,…, = − xem khơng có số mới, thật có ∈ = 1, tồn số nguyên không âm , phần tử Nếu ≥ = bao đóng đại số K có chứa ( ), , 53 ( )= + đa thức lồi bất khả quy +⋯+ ∈ [ ] Giả sử : ()→ - phép nhúng (Định nghĩa 1.4.4) phân biệt từ ( ) vào = 1, … , Trong đó, khơng tính tổng qt ta cho Do là - phép nhúng nên ( ) = ( ( )) = ( ( )) + = = := K với ( )+ ( ( + ( ( )) +⋯+ ) + ⋯+ + ⋯+ ( )= )=0 nghiệm ( ), suy ( ) phải ( ) Suy viết dạng nhân tử ( ) = ∏ ( − ) (1) Sử dụng đồng thức (1) ta + +⋯ ; + +⋯ ; …; … Mở rộng phép lấy đạo hàm ∈ (∗) Mở rộng Định lý 4.2.3(c), kí hiệu Ta thấy đạo hàm cho Thật : § § Với : → mở rộng phép lấy đồng cấu vành ( ), ( ) ∈ ( , ∈ ( ) ( ) = = = = ( ( ) ( ) + ( )) ) = ( ) ( ( ) + ) ( )+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 54 ( ) = Do tính Vì = , + = 1, … , = + ( )+ ( ) )= ( ( ( )′) = ( Viết (i) dạng sau áp dụng ) + ⋯+ = ( ) (3) ,…, , ∈ , ∈ [ ] cho = [ ] ) ( ( )) + ( ( )) () ta ( ( )= =∑ ⟺ ) ( ) với = 1, … , (do (3)) ( ) = ( tức = + ⋯+ [ ], từ () ) ( ( )) ( ) ( ) + + ( () ) ( ) lấy tổng chia cho s, sau áp dụng ghi (4.1) ta = - () ) Bây chọn đa thức = 1, … , = , có nghĩa [ ] = ( ) Bất kì ( ) ∈ Mặt khác, từ (2) ta có ( ( ( )) (2) phép nhúng ta ( ( ) nên ta phải có đại số K nên () = ( ( )) ( ) ( ) + ( ) ( ) với 55 ( ) = ( ) ( ) ( )) ∑ + ( ) (∏ ∏ = + ( ) Không tính tổng quát xét ( )=( = + ( + ⋯+ ) + ( +⋯+ +⋯+ )…( … )+ ( … ) ) ( ( + ) + ⋯+ + ⋯+ ) Do tính đối xứng hạng tử biểu thức vừa nêu từ (*) ta có ∏ ( )∈ Áp dụng ta có ( )∈ Tương tự xét ( )= = Cho nên ∑ Vậy ( ) ∈ , = 1, … + +⋯ ( + ⋯+ ) + +⋯+ ∈ viết dạng yêu cầu ( + ⋯+ (*) ) 56 Giả sử siêu việt = cho ( ) ( ) ( ) = () = viết + () , tìm ( ), ( ) ∈ () () Thật vậy, ta giả sử đẳng thức chuẩn hóa Mệnh đề 5.1 · TRƯỜNG HỢP (b): logarit phần tử K, cụ thể = / với ∈ Theo Mệnh đề 2.4.3 từ = / ∈ cho ta [ ] ⊃ ⊂ [] mở rộng vành vi phân từ Ví dụ 2.4.2 cho ta ( ) ⊃ mở rộng trường vi phân ()∈ Giả sử Ta có ( ( ))′ ∈ [ ] đa thức khác hằng, lồi bất khả quy ( ) lồi bất khả quy nên ( ( ))′ có bậc nhỏ [ ] ( ), suy ( ) không chia hết ( ( ))′ Từ Mệnh đề 5.2 tất () ∑ () xuất (ii) thuộc K, cần quan tâm tới ( ) Vì ( )= ( ) xuất tổng ∈ nên ( ( ))′ ∈ từ Mệnh đề 3.2.1(b) ta có ( ) phải có dạng + ̂ , ∈ hệ số cao ∉ ̂ ∈ Thật vậy, ( ) có bậc lớn ( ( ))′ có bậc lớn ( ( ))′ ∉ Đẳng thức (ii) viết gọn lại ∑ mong muốn + + ̂ , xác · TRƯỜNG HỢP (c): hàm số mũ phần tử K, cụ thể / = ′ với ∈ 57 = Trong trường hợp từ ()⊃ ′∈ mở rộng trường vi phân ()∈ Giả sử Với [ ], tương tự trường hợp (b) ta có [ ] đa thức khác hằng, lồi bất khả quy ( ) ≠ , ta có ( ( ))′ ∈ [ ], theo Mệnh đề 3.2.4 () ( ) không chia hết ( ( ))′ Áp dụng Mệnh đề 5.2 đơn thức nên kết luận trước ()= := ( ) (ii) thuộc K Trong tất trường hợp thương () () K, dó bắt buộc ( ( ))′ phải K Sử dụng lần mệnh đề Mệnh đề ≔ ( )∈ 3.2.4 (b) cho ta Nếu ( ) ≠ ∀ có điều cần chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử = = + ( ) = , viết + +( có dạng yêu cầu + )′ " ⇐ " Khi (i) cho = (∑ + )′ 6.2 HỆ QUẢ ( Liouville ) Giả sử ⊂ = ( ) mở rộng trường vi phân khơng số trường có đặc số cách bổ sung hàm số mũ phần tử Giả sử thêm vào ∈ siêu việt E giả sử ∈ ∈ tùy ý Thì có ngun hàm mở rộng trường vi phân sơ cấp không số K có phần tử (i) = + ′ ∈ cho 58 Chứng minh , suy / = ′ ∈ Khi ta có Để đơn giản ta viết siêu việt E " ⇒ " Giả sử phần tử ∈ = ∈ ∈ = () có nguyên hàm nêu, từ Định lý 6.1 ta có có nguyên hàm nêu có số phần tử (ii) Chọn =∑ = + , ∈ ≠ 0, cho ( ) ( ) = = 1, … , với = 1,2, … , và giả định (ii) ( ) đa thức không hằng, lồi bất khả quy Định lý 6.1 [ ] phần tử E Lập luận trường hợp (c) Định lý 6.1 ta kết luận nhân tử lồi bất khả quy mẫu số khai triển phân thức đơn giản ( ), đa thức bất khả quy Và nguyên ( ( )) () ()∈ , ∀ ( ) = ∑ ∈ [ ]\ (ii) ; ∈ , > số Vì (ii) viết thành = + ∑ với = + = + = + + ( ∈ + ′ + ′ ) so sánh hệ số bậc vế cho ta = Đẳng thức (i) có cách chọn " ⟸ " Khi (i) đúng, + = ′ nguyên hàm 59 6.3 HỆ QUẢ ( Liouville ) = ℝ ℂ hàm Cho cấp ∈ ↦ ∈ khơng có nguyên hàm sơ Một nguyên hàm sơ cấp có nghĩa nguyên hàm vài mở rộng trường vi phân sơ cấp không số ( )( Chứng minh siêu việt ( ) Áp dụng Hệ Từ Mệnh đề 3.2.2 cho ta 6.2 hàm cho = có nguyên hàm sơ cấp có hàm +2 Thực khơng có hàm Thật vậy, giả sử , ⟺ nên +2 Vì , −2 − = / ∈ ( ) Khơng tính tổng qt, giả sử ⟺1=( − ′ )/ = − ′ / | ′ đa thức Khơng tính tổng qt, giả sử Vậy + 2( / ) ∈ [ ] ngun tố nên | ′ ′ có bậc nhỏ = Do = ∈ ( ) ∈ [ ] nguyên tố Khi 1= ) +2 ta thấy mâu thuẫn = So sánh bậc nguyên hàm sơ cấp vế 60 KẾT LUẬN Như vậy, sau trải qua trình nổ lực làm việc với giúp đỡ tận tình thầy giáo hướng dẫn, tơi hồn thành luận văn Trong luận văn này, tơi giải số vấn đề sau: + Làm rõ đại số vi phân + Trình bày cách chi tiết định lý Liouville + Chứng minh nguyên hàm ∫ biểu diễn dạng hàm sơ cấp, từ suy dạng nguyên hàm ∫ thể biểu diễn dạng hàm sơ cấp , > không Hy vọng luận văn giúp người đọc hiểu đại số vi phân báo Liouville’s Theorem on Integration in Term of Elementary Functions R.C Churchill 61 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R.C Churchill ( 2006), Liouville’s Theorem on Integration in Term of Elementary Functions, CUNNY September [2] D.S Dumit (2004), abstract algebre, Thrid Edition, University of Vermont [3] T.W Hungerford (1974), Algebra, GTM 73, Springer – Verlag, New York [4] S Lang (1999), Algebra Revised Thrid Editon, Yale University, New Haven [5] P.J McCarthy, (1966), Algebraic Extensions of Field, The University of Kanas [6] M Rosenlicht (1972), Inrtergration in Finite Terms, Am Math Monthly 79, 963 – 972 [7] I Stewart (2004), Galois Theory, Thrid Edition, University of Warwick, United Kingdom ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐỖ XUÂN ĐỊNH LÝ LIOUVILLE VỀ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP MÀ KHÔNG LÀ HÀM SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... 1.3.13 Nhận xét Trường nguyên tố trường đẳng cấu với trường hữu tỷ Q /( ), với J vành số nguyên số nguyên tố 15 · Đặc số trường: trường nguyên tố trường với /( ), với số nguyên tố, nói Trường... nhận nguyên hàm ∈ , có nguyên − ∈ số, mâu thuẫn với (a) Vì phần tử o (b) ⟹ (a) Giả sử (a) không có số ngun hàm ∈ Mặt khác ∈ Vậy ∈ nguyên hàm ∈ , chọn có nguyên hàm R nguyên hàm Điều mâu