Định lý liouville về nguyên hàm của các hàm sơ cấp mà không là hàm sơ cấp

+ Vành giao hoán có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là miền nguyên + Miền nguyên được gọi là vành chính nếu mọi ideal của nó được sinh từ một phần tử... Mở rộng của được gọi là mở rộ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HOÀNG TRÍ

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào khác

Tác giả luận văn

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Cấu trúc luận văn dự kiến 2

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 VÀNH, TRƯỜNG 3

1.2 NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 4

1.3 CÁC ĐỊNH LÝ TRƯỜNG 7

1.4 CÁC ĐỊNH NGHĨA KHÁC 15

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ VI PHÂN ĐẠI SỐ 17

2.1 VI PHÂN ĐẠI SỐ 17

2.2 CÁC VÍ DỤ 20

2.3 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN 21

2.3.1 Mệnh đề 21

2.3.2 Hệ quả 22

2.3.3 Hệ quả 22

2.3.4 Mệnh đề 22

2.3.5 Định lý 24

2.3.6 Nhận xét 24

2.4 MỞ RỘNG VÀNH VI PHÂN 25

2.4.1 Định nghĩa 25

2.4.2 Các ví dụ 25

2.4.3 Mệnh đề 26

CHƯƠNG 3 MỞ RỘNG VÀNH VI PHÂN VỚI KHÔNG HẰNG SỐ MỚI

27

3.1 ĐỊNH NGHĨA 27

3.1.1 Mệnh đề 27

3.1.2 Ví dụ 28

3.2 CÁC ĐỊNH LÝ 28

3.2.1 Mệnh đề 28

3.2.2 Mệnh đề 30

3.2.3 Mệnh đề 30

3.2.4 Mệnh đề 31

3.3.5 Hệ quả 34

CHƯƠNG 4 ĐẠO HÀM MỞ RỘNG 35

4.1 VÍ DỤ 35

4.2 CÁC ĐỊNH LÝ 36

4.2.1 Mệnh đề 36

4.2.2 Định lý mở rộng 37

4.2.3 Định lý 44

CHƯƠNG 5 ĐẠO HÀM LOGARIT 47

5.1 MỆNH ĐỀ 47

5.2 MỆNH DỀ 49

CHƯƠNG 6 PHÉP LẤY TÍCH PHÂN CÁC SỐ HẠNG HỮU HẠN 51

6.1 ĐỊNH LÝ ( Liouville ) 52

6.2 HỆ QUẢ ( Liouville ) 57

6.3 HỆ QUẢ ( Liouville ) 59

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong tất cả các giáo trình cơ bản về giải tích toán học, người ta nói rằng các tích phân của các hàm ∫ , ∫ , ∫ cos ,…không biểu diễn được thành các hàm sơ cấp, nhưng người ta không chứng minh điều này Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu các chứng minh về vấn đề trên

Chứng minh gốc là của Liouville vào năm 1835 sau đó được R.C

Churchill viết lại vào năm 2002, với bài báo có tên “ Theorem on Integration

in terms of elementary functions”

Trong luận văn này chủ yếu tham khảo bài báo trên của R.C Churchill

để cho một chứng minh chi tiết

2 Mục đích nghiên cứu

Trong bài báo [1], R.C Churchill đã dùng cách tương tự như chứng minh phương trình bậc 5 không giải được bằng căn thức trong lý thuyết Galois để chứng minh nguyên hàm ∫ không thể biểu diễn dưới dạng các hàm sơ cấp Mục đích của luận văn này là phải tìm hiểu thêm lý thuyết Galois và chứng minh của R.C Churchill về Định lý Liouviile

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

4 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc và tìm hiểu các sách, các tài liệu của giảng viên hướng dẫn, sưu tầm

- Kiểm tra bài báo [1]

- Nêu những khó khăn, vấn đề khó hiểu với giảng viên hướng dẫn để được cung cấp thêm kiến thức còn sót

5 Cấu trúc luận văn dự kiến

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, Luận văn gồm 6 chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Cơ sở đại số vi phân

Chương 3: Mở rộng vành vi phân với không hằng số mới

Chương 4: Mở rộng phép lấy đạo hàm

Chương 5: Vi phân Logarit

Chương 6: Định lý Liouville

f a b f a f b

f ab f a f b

=với , Nếu = thì đồng cấu được gọi là tự đồng cấu của

b Định lý

Giả sử là một đồng cấu vành từ X tới Y thì là một vành con của

và là một ideal của

1.1.2 Định nghĩa Toàn cấu chính tắc

Giả sử A là một ideal của một vành X Ánh xạ

® + a

là một đồng cấu từ vành X tới vành thương / Đồng cấu này còn là toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc

1.1.3 Miền ideal

a Miền ideal chính

+ Ideal sinh ra bởi một phần tử gọi là ideal chính

+ Vành giao hoán có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là miền nguyên

+ Miền nguyên được gọi là vành chính nếu mọi ideal của nó được sinh từ một phần tử

b Định nghĩa

Một ideal ≠ của X là một ideal nguyên tố nếu và chỉ nếu với

, ∈ tích ∈ thì ∈ hoặc ∈

Một vành chính là vành mà mỗi ideal đều là ideal chính

Một miền ideal chính là một miền nguyên mà mỗi ideal đều là ideal chính

1.2 NHỮNG TÍNH CHẤT CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN

1.2.1 Định nghĩa (vành đa thức một biến)

Cho là một vành giao hoán có đơn vị Ký hiệu [ ] là vành các đa thức biến hệ tử trong Một đa thức

( ) = + + ⋯ + ∈ [ ], ∈ ( = 1, , ), ≠ 0 gọi là đa thức một biến bậc , kí hiệu là deg( ), là hệ số cao nhất Khi đó vành chứa trong vành [ ] như một vành con

1.2.2 Định lý

Giả sử là vành giao hoán , ∈ [ ] là những đa thức một biến, bậc

≥ 0, và giả sử hệ số cao nhất của là một đơn vị của Khi đó tồn tại những

đa thức duy nhất , ∈ [ ] thỏa

Nếu = 0, deg < deg thì chúng ta có thể chọn = 0, = Nếu deg = deg = 0, thì chúng ta có thể chọn = 0 và =

Giả sử định lý đúng với những đa thức , deg < ( > 0)

Chúng ta có thể giả sử deg ≤ deg (nếu không chọn = 0, = )

( ) = ( ) + ( ), trong đó deg < Vận dụng giả thiết quy nạp cho ( ), vì định lý đúng khi deg < nên chúng ta có thể tìm , ∈ [ ] sao cho

( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( )

và deg < deg

Do đó chúng ta có thể giả sử rằng ( ) = + ( ) để kết luận sự tồn tại của , ∈ [ ]

Để chứng minh tính duy nhất ta giả sử rằng

= + = + với deg < deg , deg < deg Từ đó suy ra

( − ) = − (1)

Hệ số cao nhất của là đơn vị của , chúng ta có

deg( − ) = deg( − ) + deg (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: deg( − ) = deg( − ) + deg > deg , mâu thuẫn Nên ( − ) = 0, kéo theo = Định lý đã được chứng minh

Giả sử là một phần tử của có bậc nhỏ nhất (≥ 0) Giả sử ≠ 0 là một phần tử bất kì của , theo Định lý 1.2.2 ta có thể tìm được các đa thức , ∈ [ ] sao cho

1.2.4 Định nghĩa (đa thức lồi bất khả quy)

Một đa thức ( ) ∈ [ ] được gọi là đa thức bất khả quy nếu nó có bậc

≥ 1 và không thể viết

( ) = ( )ℎ( ); , ℎ ∈ [ ] (g,h có bậc ≥ 1)

Những phần tử của được gọi là những đa thức hằng

Một đa thức là lồi nếu hệ số cao nhất là 1

Khi đó ( ) = ( ) = 0

Do deg < 1 nên ( ) là một đa thức hằng, vì thế ( ) = 0 Vậy − chia hết ( )

với mỗi ∈ tồn tại ∈ sao cho

= ∈

do đó

=

∈ ∈

Điều này chứng tỏ rằng là một hệ sinh đối với trên

Chúng ta phải chứng tỏ rằng là cơ sở của trên Giả sử

là họ những phần tử của sao cho

(1)

∈ ∈

= 0

do ∈ là cơ sở của trên nên điều trên cho ta

∈

= 0

Mặc khác { } ∈ là cơ sở của trên nên suy ra = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra là độc lập tuyến tính do đó là cơ sở của trên

1.3.3 Định nghĩa (mở rộng đơn)

Mở rộng trường / được gọi là mở rộng đơn nếu tồn tại ∈ sao cho = ( ) Phần tử được gọi là nguyên thủy của mở rộng đơn Chú ý rằng một mở rộng đơn có thể có nhiều phần tử nguyên thủy khác nhau

Nếu không là một đại số trên thì là một siêu việt trên

Mở rộng của được gọi là mở rộng đại số nếu mỗi phần tử của là đại số trên Ngược lại nếu có một phần tử của là siêu việt trên thì được gọi là mở rộng siêu việt trên

1.3.5 Định lý

Giả sử là một mở rộng của và là đại số trên Khi đó có một đa thức lồi bất khả quy duy nhất ( ) [ ] sao cho ( ) = 0 Và bất kì ( ) [ ] sao cho ( ) = 0 thì ( ) chia hết ( )

Chú ý ta kí hiệu đa thức này là ( , )

là ideal sinh bởi ( ), ta có thể giả sử ( ) lồi và Kerφ = ( ( ))

Do là đồng cấu vành nên: [ ]/Kerφ ≅ [ ]

⟺ [ ]/ ( ( )) ≅ [ ]

Mà [ ] một miền nguyên điều này kéo theo ( ) bất khả quy trong [ ]

Cho L là mở rộng của K và , , … , ∈ sao cho là đại số trên

K và là đại số trên ( , , … , ), = 1 Khi đó ( , , … , ) là

mở rộng hữu hạn trên K

Chứng minh

Ta chứng minh bằng quy nạp

Với = 1, ta có ( )/ là mở rộng đơn đại số do là đại số trên

Giả sử ( ) = ( , ) và ( ) ∈ [ ] sao cho ( ) ≠ 0

Ta có ( ) không chia hết ( ) nên tồn tại ( ), ℎ( ) ∈ [ ] sao cho ( ) ( ) + ℎ( ) ( ) = 1

suy ra

Giả sử K là một mở rộng của k Một phần tử a của K, a là một đại số

trên k được gọi là tách được trên k nếu nó là một nghiệm đơn của Irr ( k,a )

Mở rộng K được gọi là mở rộng tách được của k nếu nó là mở rộng đại

số trên k và mỗi phần tử của nó là tách được trên k

Nếu mở rộng của là mở rộng đại số nhưng không tách được thì chúng ta nói rằng K là mở rộng không tách được trên k

1.3.9 Định nghĩa (Trường đóng đại số)

Giả sử là một mở rộng của , đặt:

= { ∈ : là đại số trên } khi đó được gọi là bao đóng đại số tương đối của trong

Một trường F gọi là trường đóng đại số nếu mọi đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 lấy hệ số trong F đều có ít nhất một nghiệm trong F

Giả sử K là một trường Một mở rộng của K được gọi là bao đóng đại số của K nếu là một trường đóng đại số và là một mở rộng đại số của K

1.3.10 Định lý

Bất kì một trường K đều có một bao đóng đại số

Chứng minh

Giả sử là mở rộng của , sao cho là đóng đại số

Giả sử = { ∈ | đạ ố ê } Khi đó là trường và mở rộng đại số của

Thật vậy, vì mọi phần tử của K đều là đại số trên K nên ⊂

Với mọi , ∈ , xét mở rộng ( , )

VÌ , là đại số trên K nên mở rộng ( , ) là đại số trên K và ( , ) ⊂ , nên − , ∈ ( , ) ⊂ , và nếu ≠ 0 thì ∈ ( , ) ⊂

Vậy là một trường và là mở rộng đại số của K

· Cần chứng minh thêm là một trường đóng đại số

Lấy bất kì đa thức khác hằng ( ) = + + ⋯ + ∈ [ ]

Ta thấy rằng ( ) có nghiệm ∈ (do là đóng đại số),

suy ra là đại số trên ( , , … )

Áp dụng định lý 1.3.6, vì ( , , … , ) : ( , , … ) và ( , , … ): là các mở rộng đại số nên ( , , … , ): là mở rộng đại số Suy ra là đại số trên , tức là ∈ Suy ra là một trường đóng đại số

Vậy bất kì một trường K đều có một bao đóng đại số

1.3.11 Nhận xét

Cho K là một trường đóng đại số thì mọi đa thức trong [ ] có bậc lớn hơn 1 đều phân tích thành các đa thức bậc nhất

Chứng minh

Giả sử ( ) ∈ [ ] là đa thức có bậc lớn hơn 1 sao cho ( ) =

∏( − ) ( ) trong đó ( ) ∈ [ ] có bậc lớn hơn hoặc bằng 2

Do K là trường đóng đại số nên ( )có nghiệm trong K, suy ra ( ) = ( − ) ( )

Tiếp tục quá trình như trên ta có được

( ) = ∏ ( − )

Do đó ( ) = ∏( − ) ∏ ( − ) là tích các đa thức bậc nhất

1.3.12 Định nghĩa: Trường nguyên tố

Trong một trường, giao tất cả các trường con của là một trường con của , rõ ràng nó là trường con nhỏ nhất của , và được gọi là trường nguyên

tố của Ở đây ta kí hiệu là ∆

Giả sử J là vành các số nguyên, và e là phần tử đơn vị của Nếu ∈ , chúng ta định nghĩa

ta có 2 trường hợp sau đây:

Trường hợp 1: Giả sử ∅ là một đẳng cấu thì ∆ có vành con đẳng cấu với J, và do đó phải có trường con đẳng cấu với trường thương của J, cụ thể là trường Q các số hữu tỷ Mà ∆ là trường nguyên tố của nên trường con này phải là ∆ Vậy ∆≅

Trường hợp 2: Giả sử nhân ∅ = { ∈ | = 0} là một ideal của

J khác không, ideal này là ideal chính (sinh ra bởi phần tử ∈ ) khác J Do ∅

là đồng cấu vành nên /( ) ≅ (∅) là một miền nguyên nên phải là nguyên tố Do đó ∆ có vành con đẳng cấu với /( ), mà /( ) là một trường nên vành con này chính là ∆ Vậy /( ) ≅ ∆

1.3.13 Nhận xét

Trường nguyên tố của một trường đẳng cấu với trường hữu tỷ Q hoặc

/( ), với J là vành các số nguyên và là số nguyên tố bất kì

· Đặc số của trường: nếu trường nguyên tố của một trường đẳng cấu với /( ), với là số nguyên tố, thì chúng ta nói rằng có đặc số là Trường hợp khác, chúng ta nói có đặc số 0 Đặc số của k được viết tắt là char

· Giả sử và n là một số nguyên Đặt = ( ) , nếu char k = 0 thì = 0 ⇔ = 0 ℎ ặ = 0 Nếu char = , ≠ 0 thì = 0 ⇔ |

· Nếu là một trường con của , thì K và L có đặc số giống nhau

1.4.2 Khai triển phân thức

Trong đại số, khai triển phân thức là việc rút gọn bậc của tử và mẫu của hàm hữu tỉ Người ta sử dụng khai triển phân thức hữu tỉ để thay đổi một hàm hữu tỷ trong dạng ( )

( ) (trong đó , là những đa thức) thành một hàm dạng

∑ ( ))( ) , trong đó ( ) là những đa thức nhân tử của ( ), và có bậc thấp hơn Khai triển phân thức đơn giản biểu diễn một hàm thành tổng các phân

số, trong đó:

o Mẫu số của mỗi số hạng là một lũy thừa của đa thức bất khả quy

o Tử số là một đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức bất khả quy đó

1.4.3 Định lý

Giả sử , là những đa thức trên trường K Viết dưới dạng tích của các lũy thừa các đa thức bất khả quy phân biệt = ∏ thì có có duy nhất những đa thức à với < thỏa

b Giả sử K/F và L/K là các mở rộng trường Ánh xạ

i: K → L được gọi là F- phép nhúng, nếu i là một phép nhúng trường và i|F = id

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ VI PHÂN ĐẠI SỐ

Xuyên suốt phần này, R là vành

Kí hiệu ( , ) Khi đó ( , ) và ( , ) là các vành vi phân

b Đồng cấu vành : → là một cấu xạ của vành vi phân khi giao hoán với phép lấy đạo hàm, nghĩa là

(1.3)

=

c Các vành vi phân cấu thành những vật của một phạm trù, các cấu xạ của vành vi phân tạo thành các cấu xạ của phạm trù đó

d Một ideal i của một vành R là một ideal vi phân nếu nó đóng với

phép lấy đạo hàm, có nghĩa là nếu ∈ ⇒ ′ ∈

( + )( + ) = ( + )

= ( ) + = + + = ( + ) ( + ) + ( + ) ( + )

c Khi : → là một cấu xạ với nhân i, và : → / là một đồng cấu chính tắc, sẽ có một nhân tử hóa

→ ↓ ≈ ↗ / lên các cấu xạ của phạm trù

Nghĩa là tồn tại cấu xạ : / → sao cho =

Chứng minh

Xét tương ứng:

: / → + ↦ ( ) Tương ứng trên là một cấu xạ:

Với + = + ∈ / , − ∈ cho nên

/ ( + ) = ( + ) = ( )

( + ) = ( ) = ( ) = ( )

do đó / = nên là một cấu xạ

Vì ( )) = + nên

( ) = ( + ) = ( ( )) Vậy =

2.2 CÁC VÍ DỤ

Khi ( , ) là một vành vi phân và ∈ , chúng ta định nghĩa ( ) là

vi phân của r Khi , ∈ thỏa ( ) = , chúng ta xem s là vi phân của r và

r là nguyên hàm của s

a Giả sử là biến trên ℝ, vi phân thông thường / ( ) làm cho vành

đa thức đại số ℝ[ ] có cấu trúc của một vành vi phân Tổng quát hơn, khi [ ] là vành đa thức đại số biến , ánh xạ

Để minh chứng cho điều đó, giả sử K là một trường, ∈ [ ] là một

đa thức, và ∈ là nghiệm của Khi đó chúng ta có thể viết

( ) = ( − ) ( ),

trong đó ( ) ∈ [ ] nguyên tố cùng nhau với ( − ), ≥ 1 là số nguyên Khi = 1 thì nghiệm là nghiệm đơn, trường hợp khác nghiệm là nghiệm bội Ứng dụng phép lấy đạo hàm thông thường vào điều trên, chúng ta có

Từ ( ) = 0 cho ta ( − ) ( ) = 0 Vì ( ) ≠ 0 nên > 1 Vậy ∈ là nghiệm bội của ( )

Giả sử là một trường, là biến trên K, và ( ) ∈ [ ] có bậc ≥

1 Giả định một phép lấy đạo hàm thông thường trên [ ] Thì ta có những khẳng định sau đây:

a Khi char (K) = 0 đạo hàm thông thường ( ) của ( ) có bậc − 1 Đặc biệt, ( ) ≠ 0

b Khi char (K) = > 0, đa thức ( ) thỏa mãn ( ) = 0 khi và chỉ khi ( ) có dạng ( ) = ∑ , trong đó | bất cứ khi nào 0 ≠ ∈

Vậy ( ) = ∑ , trong đó | bất cứ khi nào 0 ≠ ∈

" ⟸ " Nếu ( ) = ∑ , trong đó | bất cứ khi nào 0 ≠ ∈ thì

′( ) = = 0

2.3.5 Định lý

Bất kì mở rộng đại số của một trường có đặc số 0 là tách được

Chứng minh

Giả sử K là một trường có đặc số 0, là một mở rộng đại số của trường

K, ∈ nên là đại số trên K

Gọi ( ) = ( , ) ∈ [ ] là đa thức lồi bất khả quy nhận là nghiệm

Do ℎ = 0 nên ′( ) ≠ 0, từ ( ) là đa thức lồi bất khả quy cho

ta ( ), ′( ) nguyên tố cùng nhau Áp dụng Hệ quả 2.3.3 suy ra ( ) không có nghiệm bội trên L, do đó là nghiệm đơn của ( ) = ( , ) Vậy a tách được trên K, suy ra L tách được

2.3.6 Nhận xét

Định lý 1.9 là sai khi giả thuyết đặc số 0 bị bỏ qua

Lấy ví dụ cụ thể, giả sử t là một biến trên ℤ/2ℤ

Đặt : = ℤ/2ℤ( ) Theo định lý 1.3.10 gọi là bao đóng đại số của

nên √ là nghiệm bội của ( ) Điều này cho ta √ không tách được trên K

Vậy mở rộng ⊃ là không tách được

2.4 MỞ RỘNG VÀNH VI PHÂN

2.4.1 Định nghĩa

Giả sử R là

· Một vành vi phân với phép lấy đạo hàm

· Một vành con của vành S với phép lấy đạo hàm , và

· | =

khi đó ⊃ là một mở rộng vành vi phân, và phép lấy đạo hàm trên R được gọi là mở rộng đến (phép lấy vi phân ) S Tất nhiên vành được thay thế bởi miền nguyên hoặc trường khi R và S ứng với các cấu trúc đó Chỉ số dưới trong à thường được bỏ qua, chẳng hạn chúng ta hiểu một cách đơn giản là mở rộng : → của phép lấy đạo hàm : →

2.4.2 Các ví dụ

(a) Hạt nhân của một phép lấy đạo hàm trên R là vành vi phân con của R, và nó là một trường vi phân con khi R là trường Hơn thế nữa, chứa ảnh của ℤ trên R, có nghĩa là ảnh của ℤ dưới ánh xạ

tắc ≔ ( − )/ , và đây là mở rộng duy nhất của trên Chúng

ta sẽ chứng minh tổng quát ở phần sau

CHƯƠNG 3

MỞ RỘNG VÀNH VI PHÂN VỚI KHÔNG HẰNG SỐ MỚI

Trong phần này ⊃ là mở rộng của vành vi phân với phép lấy đạo hàm được kí hiệu trong cả hai trường hợp là à ↦

3.1.2 Ví dụ

(a) Khi K là một trường vi phân bất kì, bao hàm ⊃ là một mở rộng không hằng số mới

(b) Một ví dụ của một mở rộng trường vi phân mà ở đó điều kiện

không hằng số mới là sai

Xét ⊃ ℝ[ ], trong đó ℝ[ ] là vành của các hàm đa thức trên ℝ và L

là một trường bất kỳ của các hàm khả vi giá trị phức của các biến thực chứa exp Ở đây ℝ[ ] = ℝ và từ =( ) ∈ \ ℝ[ ] suy ra ≃ ℂ là một

mở rộng chính của ℝ[ ] Nên \ℝ[ ] không là mở rộng không hằng số mới

3.2 CÁC ĐỊNH LÝ

3.2.1 Mệnh đề

Giả sử ⊃ là một mở rộng không hằng số mới của trường có đặc số

0 và ∈ \ thỏa mãn ′ ∈ Khi đó:

(a) l siêu việt trên K, và

(b) đạo hàm ( ) của bất kì đa thức ( ) = ∑ ∈ [ ] với

> 0, ≠ 0 là một đa thức bậc n khi và chỉ khi ∉ , và có bậc n -1 trong trường hợp ngược lại

Chứng minh

(a) Giả sử ≔ ′ ∈ , và chú ý rằng từ giả thiết không hằng số mới ta giả thiết rằng ≠ 0

Nếu (a) là không đúng, thì l đại số trên K, theo Định lý 1.3.5 thì tồn tại

đa thức lồi bất khả quy ( ) = + + ⋯ + ∈ [ ], trong đó > 0, 0 ≤ < , ≠ 0 (vì nếu = 0 ∀ thì ( ) = = 0, kéo theo = = 0 ∈ , mâu thuẫn) sao cho

+ + ⋯ + = 0

Lấy đạo hàm ta được