LTDH Chuyen de Tich phan

Trường hợp cả hai số m,n chẵn ta dùng công thức hạ bậc để bài toán đơn giản hơn.. 2..[r]

(1)

Chuyên đề:

TÍCH PHÂN

I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm sồ thường gặp 1)

∫

x

c

2)

1

x

x dx c

 

 

 



∫

3)

∫

x

c

∫

x

c

∫

x

−

x

c

∫

cos2x dx=tgx+c

7)

∫

sin2x dx=−cot gx+c

8)

∫

ex

c

∫

ax

a

x

lna+c

1)

ax+b¿α+1 ¿ ¿

(ax+b)dx=1

a¿

∫

2)

∫

ax+b dx=

aln|ax+b|+c

3)

∫

b

asin(ax+b)+c

4)

∫

b

−

acos(ax+b)+c

5)

∫

(ax+b) dx=

1

atg(ax+b)+c

6)

∫

sin2(ax+b)dx=−

acotg x+c

II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:

Dạng I : b a

f(x)dx

∫

Đặt x(t)với là hàm số có đạo hàm liên tục đoạn[ ; ]  a ( );b ( )

Khi

b

f(x)dx f( (t)) '(t)dt

a



  

∫ ∫

 Các toán dạng I:

a) f(x) k2 x2

Đặt x ksint với t [ 2; ]    

2

4 x dx

(2)

Ta đặt x 2sin t với t [ 2; ]    

x 2sin t dx costdt

x t

6

  



  

     Vậy

1

2

0

6 6

2

0

4 x dx cost costdt

1

4 cos tdt [1 cos2t]dt 2(t sin2t)

3



  

 

    

  

∫

b) 2

1 f(x)

k x

 

Đặt x ksin t với t ( 2; )    

Ví dụ : Tính

2

1 dx x

∫

Ta đặt x sin t với t ( 2; )

   

x sin t dx costdt

x t

2

  



  

     Vậy

6

2

0

6

cost

1 x dx dt

cost dt

6



 



 

∫

(3)

c) 2

1 f(x)

x k

 

Đặt x k tan t;t ( 2; )

 

  

Ví dụ : Tính

2

1 dx x 4

∫

x tan t với t ( 2; )

   

1 2

x 2tan t dx 2 dt 2(1 tan t)dt

cos t

    

x t x t

3

   



 

  

  Vậy

2 3

2

0

3

1 dx 2(1 tan t)dt x 4 4(1 tan t) dt

2



 

 



 

∫

Dạng II : b a

f( (x)) '(x)dx 

∫

Đặt t(x) dt'(x)dxvới  (a); (b)và F(t) nguyên hàm f(t)

Khi

(b) (b)

b

a (a) (a)

f( (x)) '(x)dx f(t)dt F(t)

 

   

∫

Ví dụ : Tính

2

2x dx x x

  

∫

1 1

2

2 0

2x dx d(x x 1) ln(x x 1) ln3

x x x x

  

    

   

(4)

Ví dụ 2: e

sin(lnx)dx x

∫

esin(ln x) e e

dx sin(ln x)d(ln x) cos(ln x)1 [cos(ln e) cos(ln1)] cos1

x

1∫ 1∫     

B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I.Cơng thức tính tích phân phần:

Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a;b]

Thì

b

b b

udv uv vdu

a∫  a a∫

du=u'(x)dx u=u(x)

v= v(x)dx=V(x)+C dv=v(x)

 



 

∫

 

Đặt

Ta chọn C = suy

b

v(x)dx V(x)

a∫ 

Ví dụ 1:

1 x

x.e dx 0∫

Tính

x x

u=x du=dx

dv=e dx V=e

 



 

 

Đặt

π

0∫xcosxdx.Ví dụ 2:

Tính

Đặt

u=x du=dx

dv=cosxdx V=sinx

 



 

 

Ví dụ 3: e

(5)

Tính

Đặt

dx du= u=lnx

dv=2xdx

V=x 

 



 

 



x

Ví dụ 4:

Tính

1 xx e dx

0

 ∫

Đặt

2 du 2xdx

u x

x

x V e

dv e dx

 





 



 

 

 



 



II Các dạng bản: Dựa vào ví dụ ,ta suy cách đặt bảng sau

Hàm số f(x) Đặt u(x) Ñaët d(v(x))

P(x)sin(ax+b) P(x) Sin(ax+b)dx P(x)cos(ax+b) P(x) Cos(ax+b)dx P(x)ln(ax+b) Ln(ax+b) P(x)dx

P(x)eax+b P(x) eax+bdx eax+bsin(a’x+b’) eax+b(hoặcsin(a’x+b’)) Sin(a’x+b)dx eax+bcos(a’x+b’) eax+b(hoặc cos(a’x+b)) Cos(a’x+b’)dx

(6)

III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ

Tích phân dạng : b a

P(x) dx Q(x)

∫

;P(x) Q(x) đa thức

Nếu bậc P(x) lớn ta phải chia P(x) cho Q(x).Ta xét trường hợp bậc P(x) nhỏ bậc Q(x)

Dạng 1: I =

dx (a,c 0)

(ax b)(cx d)



 ∫

 



Xác định số A;B cho :

P(x) A B

(ax b)(cx d) ax b cx d     

Dạng 2:

P(x)dx (a 0)

(x )(ax bx c)



 ∫

    

 Nếu  0 : Xác định số A;B;C cho :

1

P(x)dx

x

(x )(ax c)

A B C

x x x x

bx  

  

  

 

 ; x ;x1 2là hai nghiệm pt:

ax bxc = 0

 Nếu  0 : Xác định số A;B;C cho

2

0

P(x)dx

x

(x )(ax c)

A B C

(x x )

bx   (x x )

  

  



  x0là nghiệm kép pt:

2

ax bxc = 0

 Nếu  0 : Xác định số A;D;E cho :

2

P(x)dx

x

(x )(ax c) ax c

A Dx E

bx   bx

   



 

  ta biến đổi

2 2

Dx E D 2ax b bD dx

I dx dx E

2a 2a

ax bx c ax bx c ax bx c

  

  

 

 

    

       

∫

; đưa dạng ta biết tính

Dạng 3: n

P(x)dx (a 0)

(ax b)



 ∫

(7)

3

1 n

n n

P(x)

ax b

(ax b) (ax b) (ax b) (ax b)

A

A A A



   

    

ta đặt t = ax + b để tính

Hoặc n m

P(x)dx (a;c 0)

(ax b) (cx d)



 ∫

   ;

Xác định số :A ;A ;A1 n;B ;B ;B1 msao cho:

1 n

n m n

3 m

P(x)

ax b cx d

(ax b) (ax b) (ax b) (cx d)

(cx d) (cx d)

A A A B B

(cx d) B B                 

Ví dụ 1: Tính tích phân sau :

2

1

I dx

x 5x



 

∫

1 1

2

0 0

1 dx dx

I dx ln

x x

x 5x

   

 

 

∫

( 0)

2

dx I

x x



 

∫

1 1

2 2

0 0

dx dx dx

I

x x 1 3 1 3

x x

2 2 2

                            

∫

( 0)

(có dạng 2

1 f(x) x k   ) Đặt

1 3

x tan t dx (tan t 1)dt

2 2

     dx I x x



 

 

∫

2 dx

I 2

0 x 8x 16

 ∫   2 dx I 2

0 x 8x 16

dx (x 4)  ∫     

∫

(8)

Dùng đồng thức

Ví dụ : Tính tích phân sau :

2

3 2x 41x 91

2

2 (x 1)(x x 12)

A ∫  

  



3 3

2 2

2

3 2x 41x 91

2

2 (x 1)(x x 12)

4

A dx dx dx

x x x

  ∫          

∫

4x B dx

x 2x x

 

  

∫

1 1

3 2

0 0

4x 1 9x dx

B dx dx

5 x

x 2x x x

 

  



   

∫

2

x

C dx

x (x 1)

 



∫

3 3

2

2 2

x dx dx dx

C dx 2

x x

x (x 1) x



   

 

∫

5 3x

D 2 dx

4 x 5x

  ∫

 

5 5

2

4 4

3x dx dx

D dx ln6

x x

x 5x



   

 

 

∫

Ví dụ : Tính tích phân sau : x I dx (x 1)  

∫

1 1

3

0 0

x dx dx

I dx

8 (x 1) (x 1) (x 1)

   

  

∫

Ví dụ : Tính tích phân sau

2

0

dx I

(x 3x 2)



 

∫

2

1 1 1

2 2

0 0 0

1 1 dx dx dx

I dx dx

x x (x 1)(x 2)

(x 3x 2) (x 1) (x 2)

 

      

   

     

(9)

1 1

2

0 0

dx dx 2 dx 2 dx ln

x x 16

(x 1) (x 2)

     

 

∫

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

2

6

7

6

1 dx dx

a 2 2

0(x 3x 2) 0(x 3x 2)

1 (2x 3)dx (2x 4)dx

2 d 2

0(x 3x 2) 0(x 3x 2)

1

(2x 5)dx x dx

2 0 x 1

x 2x

(x x

x

b c

e f x)

g



∫ ∫

   

 

∫ ∫

   



∫ ∫



 



 

6

1 1 x dx

0 x

1 dx h

∫ ∫

(10)

MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

1 Dạng sin cos





m x nxdx m n

 

∫

1.1 Trường hợp hai số m,n có số lẻ * Nếu lũy thừa cosx lẻ ta biến đổi usinx.

VD:













3 2

os os cos sin sinx

c xdx c x xdx  x d   u du

∫

* Nếu lũy thừa sinx lẻ ta biến đổi ucosx

VD:









3 2 2

sin osx c xdx sin osx c xd cosx  u 1 u du

∫

1.2 Trường hợp hai số m,n chẵn ta dùng cơng thức hạ bậc để tốn đơn giản

2 Dạng

∫

mx

nx

mx

nx

mx

nx dx

3 Dạng

tan os

m n

x dx c x

∫

3.1 Nếu lũy thừa cosx chẵn ta biến đổi ut anx 3.2 Nếu lũy thừa tanx lẻ ta biến đổi

1 cos

u

x



, ý sinx '

os

u

c x



VD1:





6

4 2

tan tan

1

os os os

x x

dx dx u u du c x  c x c x  

∫

VD2:





5

2

7

tan tan sinx

os os os

x x

dx dx u u du c x  c x c x  

∫

VD3:





3 2

2

sinx 1

tan cos tan

os

xdx x x dx u du u du

c x u u

 

      

 

∫

4 Dạng sin , cos

x x

e ax e bx

∫

Phương pháp: Tích phân phần lần với

 

x

u e dv ax

  





 

2 cos

x

u e dv ax

  

  sau (2) (1) để tính tích phân cho