Trường hợp cả hai số m,n chẵn ta dùng công thức hạ bậc để bài toán đơn giản hơn.. 2..[r]
(1)Chuyên đề: TÍCH PHÂN I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm sồ thường gặp 1) ∫dx=x+c
2)
1
x
x dx c
∫
3) ∫1xdx=ln|x|+c 4) ∫cosx dx=sinx+c 5) ∫sinx dx=−cosx+c 6) ∫
cos2x dx=tgx+c
7) ∫
sin2x dx=−cot gx+c
8) ∫exdx=ex+c 9) ∫axdx= a
x
lna+c
1)
ax+b¿α+1 ¿ ¿
(ax+b)dx=1
a¿
∫¿
2) ∫
ax+b dx=
aln|ax+b|+c
3)
∫cos(ax+b)dx=1
asin(ax+b)+c
4)
∫sin(ax+b)dx=−1
acos(ax+b)+c
5)
∫cos2
(ax+b) dx=
1
atg(ax+b)+c
6) ∫
sin2(ax+b)dx=−
acotg x+c
II PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
Dạng I : b a
f(x)dx
∫
Đặt x(t)với là hàm số có đạo hàm liên tục đoạn[ ; ] a ( );b ( )
Khi
b
f(x)dx f( (t)) '(t)dt
a
∫ ∫
Các toán dạng I:
a) f(x) k2 x2
Đặt x ksint với t [ 2; ]
2
4 x dx
(2)Ta đặt x 2sin t với t [ 2; ]
x 2sin t dx costdt
x t
x t
6
Vậy
1
2
0
6 6
2
0
0
4 x dx cost costdt
1
4 cos tdt [1 cos2t]dt 2(t sin2t)
3
∫ ∫
∫ ∫
b) 2
1 f(x)
k x
Đặt x ksin t với t ( 2; )
Ví dụ : Tính
2
1 dx x
∫
Ta đặt x sin t với t ( 2; )
x sin t dx costdt
x t
x t
2
Vậy
6
2
0
6
cost
1 x dx dt
cost dt
6
∫ ∫
(3)c) 2
1 f(x)
x k
Đặt x k tan t;t ( 2; )
Ví dụ : Tính
2
1 dx x 4
∫
x tan t với t ( 2; )
1 2
x 2tan t dx 2 dt 2(1 tan t)dt
cos t
x t x t
3
Vậy
2 3
2
0
3
1 dx 2(1 tan t)dt x 4 4(1 tan t) dt
2
∫ ∫
∫
Dạng II : b a
f( (x)) '(x)dx
∫
Đặt t(x) dt'(x)dxvới (a); (b)và F(t) nguyên hàm f(t)
Khi
(b) (b)
b
a (a) (a)
f( (x)) '(x)dx f(t)dt F(t)
∫ ∫
Ví dụ : Tính
2
2x dx x x
∫
1 1
2
2 0
2x dx d(x x 1) ln(x x 1) ln3
x x x x
(4)Ví dụ 2: e
sin(lnx)dx x
∫
esin(ln x) e e
dx sin(ln x)d(ln x) cos(ln x)1 [cos(ln e) cos(ln1)] cos1
x
1∫ 1∫
B PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I.Cơng thức tính tích phân phần:
Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a;b]
Thì
b
b b
udv uv vdu
a∫ a a∫
du=u'(x)dx u=u(x)
v= v(x)dx=V(x)+C dv=v(x)
∫
Đặt
Ta chọn C = suy
b
v(x)dx V(x)
a∫
Ví dụ 1:
1 x
x.e dx 0∫
Tính
x x
u=x du=dx
dv=e dx V=e
Đặt
π
0∫xcosxdx.Ví dụ 2:
Tính
Đặt
u=x du=dx
dv=cosxdx V=sinx
Ví dụ 3: e
(5)Tính
Đặt
dx du= u=lnx
dv=2xdx
V=x
x
Ví dụ 4:
Tính
1 xx e dx
0
∫
Đặt
2 du 2xdx
u x
x
x V e
dv e dx
II Các dạng bản: Dựa vào ví dụ ,ta suy cách đặt bảng sau
Hàm số f(x) Đặt u(x) Ñaët d(v(x))
P(x)sin(ax+b) P(x) Sin(ax+b)dx P(x)cos(ax+b) P(x) Cos(ax+b)dx P(x)ln(ax+b) Ln(ax+b) P(x)dx
P(x)eax+b P(x) eax+bdx eax+bsin(a’x+b’) eax+b(hoặcsin(a’x+b’)) Sin(a’x+b)dx eax+bcos(a’x+b’) eax+b(hoặc cos(a’x+b)) Cos(a’x+b’)dx
(6)III PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
Tích phân dạng : b a
P(x) dx Q(x)
∫
;P(x) Q(x) đa thức
Nếu bậc P(x) lớn ta phải chia P(x) cho Q(x).Ta xét trường hợp bậc P(x) nhỏ bậc Q(x)
Dạng 1: I =
dx (a,c 0)
(ax b)(cx d)
∫
Xác định số A;B cho :
P(x) A B
(ax b)(cx d) ax b cx d
Dạng 2:
P(x)dx (a 0)
(x )(ax bx c)
∫
Nếu 0 : Xác định số A;B;C cho :
1
P(x)dx
x
(x )(ax c)
A B C
x x x x
bx
; x ;x1 2là hai nghiệm pt:
ax bxc = 0
Nếu 0 : Xác định số A;B;C cho
2
0
P(x)dx
x
(x )(ax c)
A B C
(x x )
bx (x x )
x0là nghiệm kép pt:
2
ax bxc = 0
Nếu 0 : Xác định số A;D;E cho :
2
P(x)dx
x
(x )(ax c) ax c
A Dx E
bx bx
ta biến đổi
2 2
Dx E D 2ax b bD dx
I dx dx E
2a 2a
ax bx c ax bx c ax bx c
∫ ∫ ∫
; đưa dạng ta biết tính
Dạng 3: n
P(x)dx (a 0)
(ax b)
∫
(7)3
1 n
n n
P(x)
ax b
(ax b) (ax b) (ax b) (ax b)
A
A A A
ta đặt t = ax + b để tính
Hoặc n m
P(x)dx (a;c 0)
(ax b) (cx d)
∫
;
Xác định số :A ;A ;A1 n;B ;B ;B1 msao cho:
1 n
n m n
3 m
3 m
P(x)
ax b cx d
(ax b) (ax b) (ax b) (cx d)
(cx d) (cx d)
A A A B B
(cx d) B B
Ví dụ 1: Tính tích phân sau :
2
1
I dx
x 5x
∫
1 1
2
0 0
1 dx dx
I dx ln
x x
x 5x
∫ ∫ ∫
( 0)
Ví dụ 2: Tính tích phân sau :
2
dx I
x x
∫
1 1
2 2
0 0
dx dx dx
I
x x 1 3 1 3
x x
2 2 2
∫ ∫ ∫
( 0)
(có dạng 2
1 f(x) x k ) Đặt
1 3
x tan t dx (tan t 1)dt
2 2
dx I x x
∫
Ví dụ 3: Tính tích phân sau :
2 dx
I 2
0 x 8x 16
∫ 2 dx I 2
0 x 8x 16
dx (x 4) ∫ ∫
(8)Dùng đồng thức
Ví dụ : Tính tích phân sau :
2
3 2x 41x 91
2
2 (x 1)(x x 12)
A ∫
3 3
2 2
2
3 2x 41x 91
2
2 (x 1)(x x 12)
4
A dx dx dx
x x x
∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ : Tính tích phân sau :
4x B dx
x 2x x
∫
1 1
3 2
0 0
4x 1 9x dx
B dx dx
5 x
x 2x x x
∫ ∫ ∫
Ví dụ : Tính tích phân sau :
2
x
C dx
x (x 1)
∫
3 3
2
2 2
x dx dx dx
C dx 2
x x
x (x 1) x
∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ : Tính tích phân sau :
5 3x
D 2 dx
4 x 5x
∫
5 5
2
4 4
3x dx dx
D dx ln6
x x
x 5x
∫ ∫ ∫
Ví dụ : Tính tích phân sau : x I dx (x 1) ∫
1 1
3
0 0
x dx dx
I dx
8 (x 1) (x 1) (x 1)
∫ ∫ ∫
Ví dụ : Tính tích phân sau
2
0
dx I
(x 3x 2)
∫
2
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1 dx dx dx
I dx dx
x x (x 1)(x 2)
(x 3x 2) (x 1) (x 2)
(9)1 1
2
0 0
dx dx 2 dx 2 dx ln
x x 16
(x 1) (x 2)
∫ ∫ ∫ ∫
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
2
2
2
6
7
6
1 dx dx
a 2 2
0(x 3x 2) 0(x 3x 2)
1 (2x 3)dx (2x 4)dx
2 d 2
0(x 3x 2) 0(x 3x 2)
1
(2x 5)dx x dx
2 0 x 1
x 2x
(x x
x
b c
e f x)
g
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
6
1 1 x dx
0 x
1 dx h
∫ ∫
(10)MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
1 Dạng sin cos ,
m x nxdx m n
∫
1.1 Trường hợp hai số m,n có số lẻ * Nếu lũy thừa cosx lẻ ta biến đổi usinx.
VD:
3 2
os os cos sin sinx
c xdx c x xdx x d u du
∫ ∫ ∫ ∫
* Nếu lũy thừa sinx lẻ ta biến đổi ucosx
VD:
3 2 2
sin osx c xdx sin osx c xd cosx u 1 u du
∫ ∫ ∫
1.2 Trường hợp hai số m,n chẵn ta dùng cơng thức hạ bậc để tốn đơn giản
2 Dạng ∫{sinmx.cos ,sinnx mx.sinnx,cosmx.cos }nx dx: Sử dụng cơng thức biến tích thành tổng 3 Dạng
tan os
m n
x dx c x
∫
3.1 Nếu lũy thừa cosx chẵn ta biến đổi ut anx 3.2 Nếu lũy thừa tanx lẻ ta biến đổi
1 cos
u
x
, ý sinx '
os
u
c x
VD1:
6
6
4 2
tan tan
1
os os os
x x
dx dx u u du c x c x c x
∫ ∫ ∫
VD2:
5
2
7
tan tan sinx
os os os
x x
dx dx u u du c x c x c x
∫ ∫ ∫
VD3:
3 2
2
sinx 1
tan cos tan
os
xdx x x dx u du u du
c x u u
∫ ∫ ∫ ∫
4 Dạng sin , cos
x x
e ax e bx
∫
Phương pháp: Tích phân phần lần với
1 sin
x
u e dv ax
2 cos
x
u e dv ax
sau (2) (1) để tính tích phân cho