Phương trình hàm trong chương trình toán bậc trung học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG SIHAVONG VILAYPHONE PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN BẬC TRUNG HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG SIHAVONG VILAYPHONE PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN BẬC TRUNG HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn SIHAVONG VILAYPHONE MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1 SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1.1 Nicole Orsme (1323-1382) 1.1.2 Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667) 1.1.3 Augustin-Louis Cauchy (1789-1885) 1.1.4 Jean d’Alembert (1717-1783) 1.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐỒNG DẠNG 1.3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 10 1.4 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 12 CHƯƠNG 2: CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN 17 2.1 PHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 17 2.1.1 Phương trình hàm Cauchy 17 2.1.2 Ứng dụng phương trình hàm Cauchy 21 2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM JENSEN 24 2.3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM PEXIDER VÀ CÁC DẠNG TỐN LIÊN QUAN 25 2.4 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VINCZE VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN 34 2.5 PHƯƠNG TRÌNH HÀM EULER 49 2.6 PHƯƠNG TRÌNH HÀM D’ALEMBERT 50 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN BẬC TRUNG HỌC 59 3.1 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI GIẢ THIẾT HÀM LIÊN TỤC 59 3.2 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI GIẢ THIẾT HÀM KHẢ VI 62 3.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC 64 3.3.1 Dạng hàm số cần tìm dạng f(x)=ax+b 64 3.3.2 Dạng hàm số cần tìm có dạng ≡ ( )với P(x) đa thức có bậc lớn 67 3.4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM BẰNG CÁCH DÙNG CHUỖI LŨY THỪA 71 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình hàm lĩnh vực tốn học có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Nó có vai trò quan trọng nghiên cứu tin học, trình ngẫu nhiên kể vật lý truyền thơng… Đối với chương trình tốn bậc trung học phương trình hàm lại xuất kỳ thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi cấp, mà đa số học sinh thường quen biết với dạng tốn Hiện nay, nước Cộng hịa dân chủ nhân dân Lào trọng phát triển giáo dục, nên với tinh thần tơi cố gắng tìm hiểu phương trình hàm để phục vụ cho cơng việc giảng dạy tốt Với lý chọn đề tài luận văn thạc sỹ là: “Phương trình hàm chương trình tốn bậc trung học” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lịch sử phát triển phương trình hàm phân loại, ứng dụng chúng giải toán bậc trung học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng mà chúng tơi nghiên cứu tìm hiểu loại phương trình hàm có liên quan đến chương trình tốn bậc trung học Ngồi chúng tơi có nghiên cứu lịch sử hình thành phương trình hàm Phương pháp nghiên cứu Trước hết chúng tơi tìm hiểu thu thập tài liệu liên quan Phương trình hàm Sau chúng tơi tìm hiểu kỹ lưỡng xếp theo dạng toán cụ thể Cấu trúc luận văn Luận văn chia làm chương sau: Chương Lịch sử phát triển phương trình hàm 1.1.Sự đời phương trình hàm 1.2 Các phương trình hàm đồng dạng 1.3 Sự tồn nghiệm 1.4 Một số ví dụ minh họa Chương Các dạng phương trình hàm 2.1 Phương trình hàm Cauchy 2.2 Phương trình hàm Jensen 2.3 Phương trình hàm Pexider 2.4 Phương trình hàm Vincze 2.5 Phương trình hàm Euler 2.6 Phương trình hàm D’Alembert Chương Phương trình hàm chương trình tốn bậc trung học 3.1 Các phương trình hàm với giả thiết hàm liên tục 3.2 Các phương trình hàm với giả thiết hàm khả vi 3.3 Các phương trình đa thức 3.4 Giải phương trình hàm cách dùng chuỗi lũy thừa CHƯƠNG LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1 SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM Trong đại số trường phổ thông trung học, tìm hiểu phương trình đại số liên quan đến nhiều ẩn số thực chưa biết Phương trình hàm giống phương trình đại số, nhiên ẩn nhiều hàm số Bài tốn phương trình hàm xuất thường xun thi tốn Vì vậy, luận văn nghiên cứu giải số vấn đề liên quan đến phương trình hàm bậc phổ thơng trung học Trong chương này, ta tóm lược đơi nét lịch sử phát triển phương trình hàm phát triển chung Toán học 1.1.1 Nicole Orsme (1323-1382) Nicole Orsme nhà toán học người Pháp, ông nhà khoa học lớn thời Trung cổ, ơng có nghiên cứu quan trọng cho khoa học thời Phục hưng Năm 1348, Nicole Oresme giành học bổng đại học Paris, năm Châu Âu xảy nạn dịch Cái chết đen làm chết 1/3 dân số Châu Âu Năm 1355, ơng có thạc sĩ bổ nhiệm làm hiệu trưởng trường Đại học Navarre Pháp Ông nhà khoa học lớn kỉ XIV Ở giai đoạn khó khăn, dịch bệnh mà ơng làm điều sức phi thường, thật điều khơng tưởng Phương trình hàm nhà khoa học nghiên cứu từ sớm Ngay từ kỉ XIV, nhà toán học Nicole Oresme xác định hàm số bậc nghiệm phương trình hàm Cụ thể là, ơng đặt tốn tìm hàm số f(x) thỏa mãn với x, y,z Ỵ R , đơi phân biệt, phương trình hàm sau: y - x f ( y) - f ( x) = z - y f (z) - f ( y) (1.1.1) Và Nicole Orsme tìm nghiệm phương trình (1.1.1) là: f(x)=ax+b với a,b số 1.1.2 Gregoire de Saint-Vincent (1584-1667) Trong vài trăm năm tiếp theo, phương trình hàm biết đến nhiều lại khơng có lý thuyết chung cho phương trình hàm lúc Trong số nhà tốn học lớn có nhà tốn học Gregoire de Saint-Vincent, người đầu lý thuyết Logarithm tìm hàm hypebol phương trình hàm f(xy)=f(x)+f(y) Ơng xét tốn diện tích phần mặt phẳng giới hạn đường y = ; x = 1; x = t;"x, y Ỵ R + ơng kí hiệu diện tích f(t) chứng tỏ f(t) x thỏa mãn phương trình hàm: f(xy)=f(x)+f(y), "x, y Ỵ R + Ngày ta biết hàm f ( x ) = log x với a > 0,a ¹ a Tuy nhiên, việc giải tìm nghiệm phương trình hàm f(x)+f(y=f(xy) "x, y Î R + , phải đến 200 năm sau tìm nhờ cơng Augustin-Louis Cauchy (1789-1885) 1.1.3 Augustin-Louis Cauchy (1789-1885) Augustin-Louis Cauchy sinh Paris năm 1789, năm xảy cách mạng Pháp kéo dài đến 10 năm Khi Cauchy 10 tuổi bố ơng đem gia đình q sống ẩn dật năm 1800 Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm Parthenon Ở vua Napoleon đặt nhiều giải thưởng kỳ thi học sinh giỏi cho tất trường nước Pháp thuộc lớp Cauchy đứng đầu lớp đạt nhiều giải môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp thơ La Tinh Năm 1805, 16 tuổi Cauchy gặp thầy dạy Toán giỏi thi đỗ thứ hai vào trường Đại học Bách Khoa Năm 1807 ông vào học trường Đại học Cầu đường 18 tuổi ông vượt qua bạn học 20 tuổi, bạn học năm trường Năm 1813, ơng dạy tốn Trường Bách Khoa thành hội viên Hàn lâm viện Khoa học Pháp Bước vào tuổi 27, ông nhà tốn học xuất sắc thời giờ, ơng nghiên cứu nhiều lĩnh vực Tuy nhiên, ông chủ yếu biết đến lĩnh vực tốn học cơng nhận người sáng lập nên toán học đại Mặc dù định nghĩa Nicole Oresme tuyến tính hiểu ví dụ phương trình hàm, không đại diện cho điểm khởi đầu cho lý thuyết phương trình hàm Các chủ để phương trình hàm đánh dấu cách xác từ công việc Augustin-Louis Cauchy Một phương trình hàm tiếng mà ta hay gọi phương trình Cauchy có dạng: f ( xc g liên tục nên: Vì vậy: ( ) = (1) ( ) = (1)với Từ (3.3.4) (3.3.5) ta suy ra: ∈ (3.3.5) ( ) = (0) = (1), ∀ ≥ Từ (3.3.3) (3.3.6) suy ra: ( ) = Mà: ( ) + ( ) = 0, ∀ ∈ Vậy: ( ) = , ∀ ∈ = ,∀ ∈ nên c=0 hay ( ) = , ∀ ∈ Bài tốn 3.3.4 Tìm hàm số f: ( ( )+ ) = → thỏa mãn + ( ), ∀ , ∈ (3.3.6) ... Chương Các dạng phương trình hàm 2.1 Phương trình hàm Cauchy 2.2 Phương trình hàm Jensen 2.3 Phương trình hàm Pexider 2.4 Phương trình hàm Vincze 2.5 Phương trình hàm Euler 2.6 Phương trình hàm. .. D’Alembert Chương Phương trình hàm chương trình tốn bậc trung học 3.1 Các phương trình hàm với giả thiết hàm liên tục 3.2 Các phương trình hàm với giả thiết hàm khả vi 3.3 Các phương trình đa thức... 2.4 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VINCZE VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN 34 2.5 PHƯƠNG TRÌNH HÀM EULER 49 2.6 PHƯƠNG TRÌNH HÀM D’ALEMBERT 50 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH