Ánh xạ trong không gian banach

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN −−− −−− NGUYỄN THỊ MINH KHA ÁNH XẠ TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Cử nhân Tốn Tin KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN NHÂN TÂM QUYỀN Đà Nẵng, 3/2014 Mục lục Lời Cảm ơn Lời nói đầu Không gian vectơ định chuẩn 1.1 Không gian vectơ 1.2 Định nghĩa chuẩn không gian vectơ định chuẩn Các ví dụ 1.2.1 Định nghĩa chuẩn không gian vectơ định chuẩn 1.2.2 Các ví dụ Không gian vectơ định chuẩn với chuẩn xác định tích vơ hướng 1.3 1.4 Tính đầy đủ 12 1.5 Tập đóng - tập mở 15 1.5.1 Định nghĩa tập mở 15 1.5.2 Định nghĩa tập đóng 1.5.3 Định nghĩa điểm dính 17 Giới hạn 20 2.1 2.2 2.3 Tính chất 20 2.1.1 Giới hạn tổng 21 2.1.2 2.1.3 Giới hạn tích 22 Giới hạn ánh xạ hợp 24 2.1.4 Giới hạn bất đẳng thức 24 Ánh xạ liên tục 28 Giới hạn không gian hàm 31 Tập compact 3.1 16 37 Tính chất tập compact 37 Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 3.2 Ánh xạ liên tục tập compact 40 3.3 Quan hệ với phủ mở 41 3.4 Định lý Stone-Weierstrass 43 Chuỗi 48 4.1 Định nghĩa 48 4.2 Chuỗi số nguyên dương 50 4.3 4.4 Chuỗi đan dấu 52 Chuỗi không gian vectơ định chuẩn 56 4.5 Hội tụ tuyệt đối hội tụ chuỗi hàm 58 4.6 Chuỗi lũy thừa 59 4.7 Phép tính đạo hàm tích phân chuỗi 61 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha Lời cảm ơn! Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Nhân Tâm Quyền, thầy hướng dẫn,đã giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán với Thầy khoa Tốn Trường Đại Học Sư Phạm Đà Nẵng, tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành tốt luận văn Cuối em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn lớp động viên, tất người cổ vũ, động viên, giúp đỡ em hoàn thành tốt luận văn Đà Nẵng, tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Minh Kha Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha Lời nói đầu Lý thuyết giải tích hàm chìa khóa để hiểu mơn học giải tích tốn học Đối tượng giải tích hàm cổ điển khơng gian tốn tử ánh xạ tuyến tính liên tục Nền tảng giải tích hàm bao gồm định lý Hahn-Banach, nguyên lý ánh xạ mở định lý đồ thị đóng Dựa vào tảng trên, nhà toán học nghiên cứu tìm hiểu ánh xạ nhiều khơng gian như: khơng gian metric, khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach Vì vậy, để mở rộng vốn hiểu biết ỏi không gian Banach đặc biệt ánh xạ nên em lựa chọn đề tài nghiên cứu "Ánh xạ không gian Banach" Với nội dung nghiên cứu này, luận văn viết thành chương Chương một: Trình bày định nghĩa không gian vectơ định chuẩn, phát biểu định lý, tính chất Ngồi ra, trình bày tập đóng, tập mở, tính đầy đủ khơng gian Banach Chương hai: Trình bày tính chất giới hạn, ánh xạ liên tục không gian Banach Chương ba: Trình bày tính chất tập compact ánh xạ liên tục tập compact khơng gian Banach Chương bốn: Trình bày định nghĩa chuỗi số như: chuỗi số dương, chuỗi đan dấu, chuỗi hàm không gian Banach, phát biểu định lý, tính chất Đà Nẵng, tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Minh Kha Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha Chương Không gian vectơ định chuẩn 1.1 Không gian vectơ Một không gian vectơ trường R tập E với hai ánh xạ mà chúng phép cộng phép nhân với lượng vơ hướng, +:V ×V →V (v, w) → v + w ·:K ×V →V (x, v) → xv thỏa mãn tiên đề sau: a) u + v = v + u với u, v ∈ V b) u + (v + w) = (u + v) + w với u, v, w ∈ V c) Tồn phần tử ∈ E cho 0+v =v+0=v với v ∈ E d) Nếu v ∈ E tồn phần tử −v ∈ E cho v + (−v) = (−v) + v = e) · v = v với v ∈ E , phần tử đơn vị trường R f ) (a · b)v = a · (bv) với a, b ∈ R, v ∈ E g) (a + b)v = av + bv với a, b ∈ R, v ∈ E h) a(v + w) = av + aw với a ∈ R, v, w ∈ E Từ tiên đề ta suy ra: Phần tử E Phần tử −u với u ∈ E Ngoài −u = (−1) · u với u ∈ E Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 1.2 1.2.1 Định nghĩa chuẩn khơng gian vectơ định chuẩn Các ví dụ Định nghĩa chuẩn không gian vectơ định chuẩn Cho E không gian vectơ Một chuẩn E hàm v → |v| từ E vào R thỏa mãn tiên đề sau: i) |v| |v| = v = ii) Nếu a ∈ R v ∈ E |av| = |a||v| iii) Với v, w ∈ E ta có |v + w| giác) |v| + |w| (Bất đẳng thức tam Một không gian vectơ định chuẩn không gian vectơ với chuẩn Một khơng gian vectơ có nhiều chuẩn khác 1.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1.2.1 Cho S tập khơng gian định chuẩn ß(S, R) khơng gian vectơ hàm bị chặn S Nếu f hàm bị chặn S , ta định nghĩa: |f |1 = sup |f (x)| x∈S Ta cần chứng minh |f |1 chuẩn Thật vậy, Nếu |f |1 = |f (x)| = với x ∈ S Do đó, f = Mặt khác, |f |1 ≥ Do tiên đề i) thỏa mãn Nếu c ∈ R, f ∈ ß(S, R) |cf |1 = sup |cf (x)| = |c| sup |f (x)| = |c||f |1 x∈S x∈S Tiên đề ii) thỏa mãn Cho f, g hàm bị chặn S , M1 = |f |1 , M2 = |g|1 Ta có |f (x) + g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ M1 + M2 Điều với x ∈ S Do đó, |f + g|1 = sup |f (x) + g(x)| ≤ |f |1 + |g|1 x∈S Tiên đề iii) thỏa mãn Vậy |f |1 chuẩn Chuẩn gọi chuẩn sup Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha Ví dụ 1.2.2 Ta có chuẩn Rn cho |A| = a21 + a22 + + a2n Nó gọi chuẩn Euclidean, trường hợp tổng qt chuẩn thông thường không gian cho chuẩn vectơ (a, b) √ a2 + b2 Chúng ta xác định chuẩn khác Rn kí hiệu | |2 Cho |A|2 = max |ai | với i = 1, , n, i |A|2 gọi maximum giá trị tuyệt đối phần tử A Chúng ta cần chứng minh |A|2 chuẩn Thật vậy, |A|2 = ⇔ A = = 0, ∀i Hơn nữa, A = ⇒ |A|2 > |ai | > 0, ∀i Với a ∈ R, A = (a1 , , a1 ) ∈ Rn |cA|2 = max |cai | = max |c||ai | = |c| max |ai | = |c||A|2 i i i Với A = (a1 , , an ), B = (b1 , , bn ) ∈ Rn |A + B|2 = max |ai + bi | i Ta có |ai + bi | ≤ |ai | + |bi | ≤ max |ai | + max |bi | ≤ |A|2 + |B|2 i i Suy |A + B|2 ≤ |A|2 + |B|2 Người ta gọi chuẩn chuẩn max Dễ dàng để kiểm tra chuẩn Euclidean với chuẩn sup tương đương với Thật vậy, A = (a1 , , an ) |aj | = a2j ≤ a21 + + a2n Vì |A|2 = max |ai | ≤ |A| i Mặt khác, cho |ak | = max |ai |, i Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha a21 + + a2n ≤ n|ak |2 , |A| = a21 + + a2n ≤ √ n|A|2 Vậy hai chuẩn tương đương 1.3 Không gian vectơ định chuẩn với chuẩn xác định tích vô hướng Một chuẩn không gian vectơ E thường xác định tích vơ hướng: ·:E →R (v, w) → v · w = < v, w > thỏa mãn điều kiện sau: v · w = w · v với v, w ∈ E Với u, v, w ∈ E, ta có: u · (v + w) = u · v + u · w Nếu x số (xv) · w = x · (vw) = v · (xw) Nếu tích vơ hướng xác định dương thỏa mãn tính chất nữa: Nếu v = v · v = 0, v = v · v > Ví dụ 1.3.1 Cho E = Rn không gian n-chiều số thực Nếu A = (a1 , a2 , , an ), B = (b1 , b2 , , bn ) n-chiều số thực, xác định: A · B = a1 b1 + + an bn Chứng minh A · B tích vơ hướng Thật vậy, Nếu A = = Suy a2i > Vậy A · A > Với A = (a1 , a2 , , an ), B = (b1 , b2 , , bn ) ∈ E , A · B = a1 · b1 + + an · bn B · A = b1 · a1 + + bn · an = a1 · b1 + + an · bn Suy A · B = B · A Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 10 Với A = (a1 , a2 , , an ), B = (b1 , b2 , , bn ), C = (c1 , c2 , , cn ) ∈ E, ta có B + C = (b1 + c1 , , bn + cn ) A · (B + C) = a1 · (b1 + c1 ) + + an · (bn + cn ) = a1 · b1 + + an · bn + a1 · c1 + + an · cn = A · B + A · C Với A = (a1 , a2 , , an ), B = (b1 , b2 , , bn ), c ∈ E ta có: cA = (ca1 , , can ) (cA) · B = (ca1 ) · b1 + + (can ) · bn = c(a1 · b1 ) + + an · bn ) = c(A · B) Ta chứng minh c(A · B) = A · (cB) Vậy A · B tích vơ hướng Ví dụ 1.3.2 Bây xét ví dụ chuẩn xác định khơng gian hàm tích vơ hướng Cho E không gian hàm liên tục [0, 1] Nếu f, g ∈ E ta xác định: (f (x) · g(x))dx < f, g >= Bốn tính chất tích vơ hướng xác định dương kiểm tra dẫn đến hệ tính chất tích phân Do đó, ta đạt chuẩn tương ứng gọi chuẩn L2 1/2 |f |2 =< f, f > 1/2 = (f (x)) dx Lưu ý, hàm liên tục bị chặn [0, 1] Ta xác định chuẩn sup khơng gian E hàm liên tục [0, 1] kí hiệu chuẩn sup | |0 Nếu f ∈ E , M = |f |0 1 M dx (f (x)) ≤ Khóa Luận Tốt nghiệp M SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 51 Định lý 4.2.2 Cho an bn chuỗi số với an , bn ≥ với n Giả sử bn hội tụ C > cho ≤ an ≤ Cbn với n đủ lớn, an hội tụ Chứng minh Thay hữu hạn số số hạng an 0, ta giả định an ≤ Cbn với n, ∞ a1 + + an ≤ C(b1 + + bn ) ≤ C bk k=1 Điều với n Do đó, tổng riêng chuỗi chuỗi hội tụ định lý 4.2.1 an bị chặn Định lý 4.2.2 gọi tiêu chuẩn so sánh Nó dấu hiệu dùng thường xuyên để chứng minh chuỗi hội tụ Định lý 4.2.3 Cho an chuỗi số lớn c số, < c < 1, cho an+1 ≤ can với n đủ lớn, an hội tụ Chứng minh Cho N, cho an+1 ≤ can với n ≥ N Ta có : aN +2 < caN +1 ≤ c2 aN , tổng quát quy nạp, aN +k ≤ ck aN Do ∞ ≤ aN (1 + c + + cm ), n=1 chuỗi hội tụ Định lý gọi tiêu chuẩn thử nghiệm Định lý 4.2.4 Cho f hàm xác định với số lớn Giả sử f (x) ≥ với x, f bị giảm ∞ B f (x)dx = lim B→∞ tồn tại, chuỗi f (x)dx ∞ f (n) n=1 hội tụ Nếu tích phân phân kỳ, chuỗi phân kỳ Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 52 Chứng minh Với n ≥ ta có n f (n) ≤ f (x)dx n−1 Do đó, ∞ n f (2) + + f (n) ≤ f (x)dx ≤ f (x)dx Vì vậy, tổng riêng chuỗi bị chặn hội tụ Giả sử ngược lại tích phân phân kỳ, với n ≥ 1, ta có n+1 f (n) ≥ f (x)dx, n n+1 f (1) + + f (n) ≥ f (x)dx n n → ∞ vế phải bất đẳng thức lớn tùy ý Vì vậy, chuỗi phân kỳ 4.3 Chuỗi đan dấu Đầu tiên ta xem xét chuỗi đan dấu Định lý 4.3.1 Cho an chuỗi số cho lim an = n→∞ Hơn nữa, số hạng an đan dấu số dương số âm thỏa mãn |an+1 | ≤ |an | với n ≥ Khi đó, chuỗi hội tụ ∞ | an | ≤ |a1 | n=1 Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 53 Chứng minh Nếu a1 > 0, ta viết chuỗi dạng b1 − c1 + b2 − c2 + b3 − c3 + Với bn , cn ≥ b1 = a1 Cho sn = b1 − c1 + b2 − c2 + + bn , tn = b1 − c1 + b2 − c2 + b3 − c3 + + bn − cn Thì sn+1 = sn − cn + bn+1 Khi ≤ bn+1 ≤ cn , kéo theo sn+1 ≤ sn , s1 ≥ s2 ≥ s3 ≥ t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ , nghĩa sn dãy tăng, tn dãy giảm Khi tn = sn − cn cn ≥ 0, kéo theo tn ≤ sn , vậy, ta có bất đẳng thức sau: s1 ≥ s2 ≥ s3 ≥ ≥ sn ≥ tn ≥ ≥ t2 ≥ t1 Cho , tồn N cho n ≥ N ≤ s n − tn ≤ , m ≥ N , cho m ≥ n |sn − sm | ≤ sn − tn < Do chuỗi hội tụ, giới hạn xem cận lớn dãy sn , cận bé dãy tn Cuối cùng, quan sát giới hạn nằm khoảng s1 t1 = s1 − c1 = b1 − c1 ≥ Điều chứng minh định lý Trường hợp a1 < ta xem xét dạng chuỗi với số hạng −an với n Ta mở rộng định lý 4.3.1 sau: Nếu ta bắt đầu tổng từ số hạng thứ k , giả thuyết thỏa mãn Do ∞ | an | ≤ |ak | n=k Định lý 4.3.1 với số nguyên dương k ≤ m, ta có n | ak | ≤ |am | k=m Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 54 Định lý 4.3.2 Cho {an } dãy giảm số lớn 0, mà giới hạn n → ∞ Cho {bn } dãy số (không thiết số dương) giả sử số C > cho với n, n | bk | ≤ C k=1 bn bị chặn), chuỗi (nghĩa tổng riêng chuỗi an bn hội tụ n ak bk | ≤ Ca1 | k=1 Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh quy nạp n m bk | ≤ C | m ≤ n, với k=1 n | ak bk | ≤ Ca1 k=1 Với n = hiển nhiên Giả sử với n − Nếu an−1 = 0, an = quy nạp ta có khẳng định Nếu an−1 = 0, ta viết a1 b1 + + an−1 bn−1 + an bn = a1 b1 + + an (bn−1 + an bn ) an−1 Cho λ = an /an−1 Rút gọn quy nạp chứng minh |b1 + b2 + + bn−1 + λbn | ≤ C Nhưng ≤ λ ≤ Nếu x, y số bất kì, x + λy nằm x x + y Do đó, |x + λy| ≤ max(|x|, |x + y|) Cho x = b1 + + bn−1 y = bn Vậy ta có chứng minh khẳng định sau định lý Đầu tiên, với m ≤ n ta có n | bk | ≤ | k=m Khóa Luận Tốt nghiệp n m bk | + | k=1 bk | ≤ 2C k=1 SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 55 Cho sn = a1 b1 + + an bn tổng riêng Ứng dụng phần thứ chứng minh đến chuỗi đạt bắt đầu tổng với m, ta có: n ak bk | ≤ 2Cam |sn − sm | = | k=m Khi am → m → ∞ ta kết luận dãy tổng riêng dãy Cauchy hội tụ Vậy ta chứng minh định lý 4.3.2 Hệ 4.3.1 Với số nguyên m ≥ m ≤ n, ∞ n ak bk | ≤ 2Cam | ak bk | ≤ 2Cam | k=m k=m Chứng minh Cố định m, với m ≤ n Ta có n | n m bk | ≤ k=m bk | + k=1 bk | ≤ 2C k=1 Cho sn = a1 b1 + + an bn tổng riêng Ứng dụng phần thứ chứng minh đến chuỗi đạt bắt đầu tổng với m, ta có: n |sn − sm | = | ak bk | ≤ 2Cam k=m Ta cho n → ∞, dùng bất đẳng thức định lý cho giới hạn ta chứng minh ∞ | ak bk | ≤ 2Cam k=m Có phương pháp khác cho giá trị tổng dạng sau n f (k)g(k), k=1 với f, g ánh xạ thích hợp Nó dựa bổ đề sau gọi bổ đề tổng phần Bổ đề 4.3.1 Giả sử f (n + 1) = Cho G(k) = g(1) + + g(k), n n (f (k) − f (k + 1))G(k) f (k)g(k) = k=1 Khóa Luận Tốt nghiệp k=1 SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 56 Chứng minh Ta xác định G(0) = Ta có n n f (k)(G(k) − G(k − 1)) f (k)g(k) = k=1 n k=1 n f (k)G(k − 1).(∗) f (k)G(k) − = k=1 k=1 Cho m = k − 1, k = m + tổng lấy theo m chạy từ đến n − Tuy nhiên, f (1)G(0) = = f (n + 1)G(n) giả định Do n n (∗) = f (k)G(k) − f (m + 1)G(m) m=1 k=1 n = (f (k) − f (k + 1))G(k) k=1 Vậy bổ đề chứng minh Nó hợp lí với cặp ánh xạ f, g vào khơng gian vectơ có tích thỏa mãn tính kết hợp tích phân phối Do ta ứng dụng cơng thức số thực, số phức, hàm, 4.4 Chuỗi không gian vectơ định chuẩn Cho E không gian Banach, chuỗi sau n chuỗi E , dạng |vn | k=1 |vn | hội tụ, định chuẩn số hạng Ta giả định hội tụ Điều dễ thấy, n sn = k=1 tổng riêng, với m ≤ n ta có n |sn − sm | = | n vk | = k=m |vk | k=m n Cho tồn N cho m, n ≥ N m ≤ n |vk | < Do k=m {sn } dãy Cauchy hội tụ E giả sử Banach Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 57 |vn | hội tụ, ta nói Bất kì chuỗi hội tụ tuyệt đối Định lý 4.4.1 Cho E không gian vectơ định chuẩn đầy đủ chuỗi hội tụ tuyệt đối E , chuỗi đạt xếp lại số hạng hội tụ tuyệt đối có giới hạn Chứng minh Sự xếp chuỗi xác định thay đổi trật tự số nguyên dương Z + Nghĩa tồn song ánh σ : Z + → Z + cho xếp chuỗi viết dạng ∞ vσ(n) n=1 Cho , tồn N cho m, n > N cho m ≤ n |vm | + + |vn | < (4.1) Cho N1 > N lớn n > N1 σ(n) > N Điều làm σ phép nội xạ hữu hạn số số nguyên n cho σ(n) ≤ N, k, l > N1 ta có: |vσ(k) | + + |vσ(l)| < , (4.2) Điều chứng minh tổng riêng chuỗi |vσf (n) | dãy Cauchy xếp lại chuỗi hội tụ tuyệt đối Chúng ta phải chứng minh có giới hạn giống Chúng ta muốn đánh giá ∞ m vσ(k) − m vσ(k) − = n=1 k=1 ∞ N − n=1 k=1 (4.3) n=N +1 Với m đủ lớn Chọn M > N với số nguyên n với ≤ n ≤ N ta viết σ(k) với k ≤ M Nếu M tồn σ song ánh Xem xét với m > M , từ (4.1) ta có m | N vσ(k) − m | ≤ n=1 k=1 |vn | < , n=N +1 hiệu bên trái chứa số hạng cho n ≥ N + Do ta đạt đánh giá cho (4.3), nghĩa ∞ m | vσ(k) − k=1 | < n=1 Điều chứng minh giới hạn xếp chuỗi giống với giới hạn chuỗi gốc Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 58 4.5 Hội tụ tuyệt đối hội tụ chuỗi hàm Ta ứng dụng kết trước dãy hàm Cho S tập, {fn } dãy hàm S Tổng riêng: sn = f1 + f2 + + fn sn hàm, Ta nói chuỗi chuỗi sn (x) = f1 (x) + + fn (x) fn (có thể viết fn (x)) hội tụ tuyệt đối |fn (x)| hội tụ với x ∈ S Ta nói chuỗi {sn } hội tụ fn hội tụ dãy hàm Phần lớn, chuỗi fn bị chặn Trong trường hợp này, ta dùng chuẩn sup hội tụ đều, hội tụ tuyệt đối S giống với hội tụ chuỗi |fn | Ví dụ 4.5.1 Chuỗi (−1)n (x + n)/n2 hội tụ với khoảng C ≤ x ≤ C Thật vậy, với n đủ lớn, (x + n)/n2 số dương với n, 0≤ C x+n ≤ + ≤ n2 n2 n n Cho m sn (x) = k=1 (−1)k (x + k) k2 Dùng định lý 4.3.1 định lý 4.3.2 , ta kết luận với m, n lớn, ta có |sn − sm | < hội tụ Tuy nhiên hội tụ khơng tuyệt đối, ta so sánh chuỗi với để thấy chuỗi (x + n)/n2 phân kỳ n Trong trường hợp hội tụ tuyệt đối, ta có tiêu chuẩn Weierstrass: Định lý 4.5.1 Cho {fn } dãy hàm bị chặn cho |fn | ≤ Mn với Mn số thích hợp giả sử Mn hội tụ, fn hội tụ tuyệt đối Nếu fn liên tục tập S fn liên tục Chứng minh Theo giả thuyết định lý fn , Mn chuỗi, chuỗi Mn hội tụ |fn | ≤ Mn Theo tiêu chuẩn so sánh |fn | hội tụ Suy |fn (x)| hội tụ với x ∈ S Vì vậy, fn hội tụ tuyệt đối Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 59 Ta có: | fn | = sup | fn (x)| Tổng riêng sn = f1 + f2 + + fn sn hàm, sn (x) = f1 (x) + + fn (x) Dãy hàm {fn } lấy theo chuẩn sup nên hội tụ Suy Vì {sn } hội tụ đến fn hội tụ fn Theo định lý 2.3.2 chương II, fn liên tục Ví dụ 4.5.2 Chuỗi sinn2 x n2 hội tụ hội tụ tuyệt x | sinn2 x | ≤ n2 n2 ta biết 1/n2 hội tụ Do chuỗi xác định hàm liên tục f (x) Nó khơng xác định hàm khả vi 4.6 Chuỗi lũy thừa Có lẽ chuỗi quan trọng chuỗi lũy thừa, có dạng: an x n với an ∈ R an gọi hệ số chuỗi Ta tìm hiểu tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối chuỗi Bổ đề 4.6.1 Cho {an } ≥ r > cho chuỗi an r n hội tụ, chuỗi hội tụ với x cho ≤ x ≤ r Chứng minh Từ tiêu chuẩn so sánh, ta suy bổ đề Hệ 4.6.1 Nếu {an } dãy số hội tụ tuyệt đối với |x| ≤ r Khóa Luận Tốt nghiệp |an |rn hội tụ, an xn SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 60 Chứng minh Từ định nghĩa, ta suy hệ Ví dụ 4.6.1 Với r > 0, chuỗi rn /n! hội tụ, tiêu chuẩn so sánh: r rn+1 n! = , (n + 1)! rn n tiến tới n → ∞ Dùng tiêu chẩn so sánh, ta suy chuỗi hội tụ tuyệt x hội tụ với |x| ≤ r Ta có, chuỗi x3 x5 x− + − = 3! 5! Và xn /n! ∞ x2n+1 (−1) (2n + 1)! n=0 x2 x4 x− + − = 2! 4! n ∞ (−1)n n=0 x2n (2n)! hội tụ tuyệt x hội tụ với |x| ≤ r Định lý 4.6.1 Cho an xn chuỗi lũy thừa Nếu khơng hội tụ tuyệt x, tồn số s cho chuỗi hội tụ tuyệt |x| < s không hội tụ tuyệt |x| > s Chứng minh Giả sử chuỗi không hội tụ tuyệt x Cho s cận bé r ≥ cho |an |rn hội tụ, |an ||xn | phân kỳ |x| > s hội tụ x < s định lý 4.5.1, khẳng định hiển nhiên Số s định lý 4.6.1 gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Nếu chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt x ta nói bán kính hội tụ vơ hạn Khi bán kính hội tụ 0, chuỗi hội tụ tuyệt x = Định lý 4.6.2 Cho {an } dãy số thực lớn Giả sử lim a1/n n = s Nếu s = 0, bán kính hội tụ chuỗi an xn 1/s Nếu s = s = ∞ bán kính hội tụ chuỗi an xn ∞ tương ứng Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 61 1/n Chứng minh Giả sử s = cho ≤ r < 1/s Với nhỏ, an r xấp xỉ sr, 1/n an r < − với n đủ lớn Do chuỗi an rn hội tụ so sánh 1/n với chuỗi hình học Mặt khác, r > 1/s, an r xấp xỉ sr > 1/n ta có an r ≥ 1+ với n đủ lớn So sánh từ an rn phân kỳ 1/n 1/n Nếu s = cho r ≥ Với nhỏ, an r xấp xỉ sr an r xấp xỉ Suy ⇒ lim a1/n n = n→∞ xỉ vô Suy ra, 1/n 1/n Nếu s = ∞, cho r ≥ Với nhỏ, an r xấp xỉ sr an r xấp ann r phân kỳ Do lim ann r = s Bổ đề 4.6.2 Cho s bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa đạo hàm chuỗi nan xn−1 hội tụ tuyệt |x| < s an xn Chứng minh Gọi lại lim n1/n = n → ∞ Khơng tính tổng qt, ta giả sử an ≥ Cho < c < s thỏa mãn c < c1 < s Ta có an cn1 Với n đủ lớn, n1/n c < c1 , nan cn = an (n1/n c)n hội tụ Điều chứng minh đạo hàm chuỗi hội tụ tuyệt |x| ≤ c Điều với c cho < c < s, đạo hàm chuỗi hội tụ tuyệt |x| < s 4.7 Phép tính đạo hàm tích phân chuỗi Chúng ta đề cập đến dãy Định lý 4.7.1 Cho {fn } dãy hàm liên tục khoảng [a, b], hội tụ đến hàm f (cần thiết liên tục), b lim n→∞ b fn = a f a Chứng minh Ta có b | b fn − a Khóa Luận Tốt nghiệp b f| ≤ | a (fn − f )| ≤ (b − a)|fn − f | a SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 62 Cho , chọn n đủ lớn |fn − f | < /(b − a), kết luận điều cần chứng minh Định lý 4.7.2 Cho {fn } dãy hàm khả vi khoảng [a, b] với a < b Giả sử fn liên tục, dãy {fn } hội tụ đến hàm g , tồn điểm x0 ∈ [a, b] cho dãy {fn (x0 )} hội tụ, dãy {fn } hội tụ đến hàm f mà lấy đạo hàm f = g Chứng minh Với n, tồn cn cho x fn (x) = fn + cn , với x ∈ [a, b] a Cho x = x0 Khi n → ∞ dãy số {cn } hội tụ đến c Cho x tùy ý, cho n → ∞ áp dụng định lý 4.7.1 Ta thấy dãy {fn } hội tụ điểm đến hàm f cho x f (x) = g + c a Mặt khác chuỗi hội tụ đều, (fn − g| ≤ (b − a)|fn − g| g| = | fn − a x x x |fn (x) − f (x)| = | a a Điều chứng minh định lý Hệ 4.7.1 Cho fn chuỗi hàm khả vi với đạo hàm liên tục khoảng [a, b], a < b Giả sử đạo hàm chuỗi fn hội tụ [a, b] fn hội tụ điểm cho điểm Cho f = fn , f hàm khả vi f = fn Chứng minh Ứng dụng định lý 4.7.2, dãy tổng riêng chuỗi Hệ phát biểu giả thuyết cho, ta số hạng chuỗi khả vi số hạng Hệ 4.7.2 Cho an xn chuỗi lũy thừa với bán kính hội tụ s > f (x) = an xn , f (x) = nan xn−1 với |x| < s Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 63 Chứng minh Cho < c < s chuỗi lũy thừa hội tụ với |x| ≤ c Dùng bổ đề 4.6.2 đạo hàm chuỗi nan xn−1 hội tụ tuyệt x < c Do f (x) = nan xn−1 với x < c Điều với c cho < c < s, ta có điều phải chứng minh Hệ 4.7.3 Cho với |x| < s Cho an xn có bán kính hội tụ s, f (x) = F (x) = an xn an xn+1 , n+1 F (x) = f (x) Chứng minh Ta có F (x) = an xn+1 n+1 với |x| < s Áp dụng hệ 4.7.2, ta F (x) = (n + 1)an xn = n+1 an xn = f (x) Vậy hệ chứng minh Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 64 KẾT LUẬN Khóa luận đề cập giải vấn đề sau: • Chương một: Trình bày định nghĩa không gian vectơ định chuẩn,không gian Banach, phát biểu định lý tính chất • Chương hai: Trình bày tính chất giới hạn ánh xạ liên tục không gian Banach • Chương ba: Trình bày tính chất tập compact ánh xạ liên tục tập compact khơng gian Banach • Chương bốn: Trình bày định nghĩa chuỗi số không gian Banach, phát biểu định lý tính chất (Nội dung khóa luận đọc, hiểu dịch từ sách Analysis I, Serge Lang) Mặc dù có nhiều cố gắng, nỗ lực việc tìm tòi nghiên cứu kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu xót nội dung lẫn hình thức Em mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ phía thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn - TS Trần Nhân Tâm Quyền có đóng góp gợi ý đề tài Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha 65 Tài liệu tham khảo [1] Serge Lang Analysis I Columbia University, New York, 1968, 445 pp Khóa Luận Tốt nghiệp SVTH: Nguyễn Thị Minh Kha ... khơng gian như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach Vì vậy, để mở rộng vốn hiểu biết ỏi không gian Banach đặc biệt ánh xạ nên em lựa chọn đề tài nghiên cứu "Ánh xạ không gian. .. 2.2.1 Ánh xạ f ánh xạ liên tục ánh xạ tọa độ fi liên tục, i = 1, , k Chứng minh Vì f liên tục nên hình chiếu ánh xạ tọa độ fi liên tục Hệ chứng minh 2.3 Giới hạn không gian hàm Cho S tập, không gian. .. cf ánh xạ liên tục Do đó, tập ánh xạ liên tục S vào không gian vectơ định chuẩn F không gian vectơ kí hiệu C ◦ (S, F ) Định lý 2.2.1 Cho S tập không gian vectơ định chuẩn F , v ∈ S f : S → F ánh