Đang tải... (xem toàn văn)
Số quả bóng ném được vào rổ của mỗi học sinh đều khác nhau.. a) Ta xét hai trường hợp.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH GIA LAI Năm học 2011 – 2012
- MƠN: Tốn
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
-Câu 1. (3,0 điểm)
a) Cho
2
1
2 1 1
x
Tính giá trị biểu thức 2012
4 2 1
A x x x x
b) Chứng minh biểu thức P n n 3( 2 7)2 36n chia hết cho với số nguyên n Câu (3,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình y = x + Tìm đường thẳng điểm M (x; y) thỏa mãn đẳng thức y2 3y x2x0 b) Trong mặt phẳng, hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b Tìm a, b để d qua điểm B(1;2) tiếp xúc với Parabol (P) có phương trình: y = 2x2
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình
2
x y
x y
b) Gọi x x1; hai nghiệm phương trình
2
2012x (20a11)x 2012 0 (a số thực)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức
2
2 1 2
1
1
1
2
3 2
2
x x
x x
P x x
Câu (4,0 điểm)
a)Cho số thực a b c, , cho 1a b c, , 2 Chứng minh rằng:
1 1 10 a b c
a b c
b) Trong hội trại ngày 26 tháng 3, lớp 9A có học sinh tham gia trị chơi ném bóng vào rổ học sinh ném tất 100 bóng vào rổ Số bóng ném vào rổ học sinh khác Chứng minh có học sinh ném tổng số bóng vào rổ khơng 50
Câu 5. (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vng A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM (H, M thuộc BC) Đường tròn tâm H bán kính HA, cắt đường thẳng AB đường thẳng AC D E (D E khác điểm A)
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng MA vng góc với DE
b) Chứng minh điểm B, E, C, D thuộc đường tròn Gọi O tâm đường tròn qua điểm B, E, C, D Tứ giác AMOH hình gì?
c) Đặt ACBˆ ;AMBˆ Chứng minh rằng:
2
sincos 1 sin
(2)
Đáp án.
Câu 1. a) Rút gọn x 2 0,5đ
Thay x 2 vào biểu thức A ta A = 0,5đ
b)
2
3 3
7 36 7
P n n n n n n n n
……….0,5đ
3 ( ) 6( 1) 6( 1)
n n n n n n n n n
……… 0,5đ
= (n 3)(n 2)(n1) (n n1)(n2)(n3)……… … 0,5đ Ta có: P tích số ngun liên tiếp nên chia hết cho ……… ………0,5đ
Câu 2. a) Điều kiện x > Tọa độ M(x; y) nghiệm hệ phương trình:
2
1
3
y x
y y x x
……… 0,25đ
Giải hệ ta x =1; y =2……… 1,0đ Vậy M(1;2) ………0,25đ
b) Vì đường thẳng d qua B(1;2) nên b = 2- a ……… 0,25đ Khi đó, phương trình đường thẳng d có dạng y = ax + – a
Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là:
2
2x ax a (1) ……….… 0,25đ
(d) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép
0 a
……… 0,5đ Với a = suy b = -2……… ………0,25đ Vậy a = 4; b= -2 thỏa yêu cầu toán………0,25đ
Câu 3. a) Ta xét hai trường hợp TH1: y0 ta có hệ phương trình:
2
1
x y x
x y y
(thỏa mãn điều kiện)……… 0,5đ
TH2: y0 ta có hệ phương trình:
7
2 3
1
3 x
x y
x y
y
(thỏa mãn điều kiện)……… …0,5đ Vậy nghiệm hệ phương trình (-3;4);
7
( ; )
3
(3)Ta có 2
20 11
;
2012 a
x x x x
……….0,25đ
Do
2
2 1 2
1 2
3
2
2
x x
P x x x x
(do x x1 1)……… 0,5đ 22 22
3
2 x x x x
=
2
6 x x ……… 0,25đ
=
2
1 2
6 x x x x
……… 0,25đ
2 20 11 24 2012 a
(do 2
20 11
;
2012 a
x x x x
) 0,5đ 24
với a ……… 0,25đ
Vậy GTNN P = 24 Dấu = xảy 11 20 a
……….0,25đ
Câu 4.
a)
1 1 10 a b c b c a 7 a b c
a b c b c a a b c
0,25đ Khơng tính tổng quát, giả sử a b c Khi ta có a b b c ( ) 0
suy ab bc b 2ca 0,25đ Từ suy ;
a a b c c b
c b c a b a 0,5đ
Suy 2
a c c a
a b c b c a b c a a b c
0,5đ Ta cần chứng minh
a c c a
Tức chứng minh
2
1
a c
c a
(*) 0,25đ Bất đẳng thức (*) ln
1
2 1;
2
a c
a c
c a
Từ suy đpcm 0,25đ b) Gọi số bóng ném vào rổ học sinh a a a1; ; ; ;2 a7 xếp từ nhỏ đến lớn
1 (1)
a a a a a a a 0,5 đ
(4)TH1: a516 Suy a6 17;a7 18 Do ta có a5a6a7 51 (2)……… 0,5đ
TH2: a515 suy a14 14;a3 13;a212;a111
Ta có a1a2a3a4 50 0,5đ
Suy a5a6a7 50 (3)
Từ (2) (3) ta có điều phải chứng minh 0,5đ
Câu
H M
O D
E
C B
A
a) Do DAEˆ 900 nên DE đường kính đường trịn tâm H, bán kính HA suy D, H, E thẳng
hàng……… …1,0đ Ta có MAE MCA HADˆ ˆ ˆ ADEˆ ……… ……… ….….0,5đ
Vì ADE AEDˆ ˆ 900 nên MAE AEDˆ ˆ 900
Suy MA vng góc với DE 0,5đ b) Từ ADE MCAˆ ˆ suy tứ giác DBEC nội tiếp đường tròn (O) 0,5đ Do OM vng góc với BC AH vng góc với BC nên AH // OM……… 0,5đ Do OH vuông góc với DE AM vng góc với DE nên OH //AM……… …………0,5đ Vậy tứ giác AMOH hình bình hành………0,5đ c) Do AB < AC nên H thuộc đoạn BM 0,5đ Ta có
1
.sin sin (1)
AH AM BC
(5)Từ (1) (2) suy sin 2sin os c 0,5đ Suy đpcm 0,5đ