Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.[r]
(1)TTBDVH KHAI TRÍ ĐỀ SỚ 20
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - NĂM 2011 Mơn: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian phát đề
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y=x3−3x2−mx+2 (1) với m tham số thực 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m =
2. Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân
Câu II (3 điểm)
1 Giải phương trình: cos2(2x +π
4)=cotx −tanx −2 Giải bất phương trình:
2 ( 3)
15 9
x x x
x x
Giải phương trình:
2
2
log x (4x 4x 1) log x (2x 7x 3)
Câu III (1 điểm)
Tính ∫cotx −tanx −2 tan 2x
sin 4x dx
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông B, AB = a, BC = a √3 , SA vng góc với đáy, góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) 600 Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB SC Tính thể tích khối chóp S.ABC
Câu V (1 điểm)
Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có bốn nghiệm thực:
2
( 4) 24 m x x x x Câu VI.a (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác kẻ từ A, đường trung tuyến kẻ từ B đường cao kẻ từ C có phương trình: x + y – = 0, x – y + = 0, 2x + y + = Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z = 0, (Q): y + z + = điểm (1; 1; 1)
A Tìm tọa độ điểm M (P), N (Q) cho MN vng góc với giao tuyến (P),
(Q) nhận A trung điểm
(2)-Đáp án đề số 20
Câu Đáp án Điểm
I
(2,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
3 3 2
y=x - x + · Tập xác định: D =
· Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
/
/
3 ,
0
0 , (0) 2, (2)
2
y x x
x
y x x y y
x
=
-é = ê
= Û - Û ê = = =
-ê ë
0,25
Hàm số đồng biến khoảng (¥; 0) (2; +¥), nghịch biến khoảng (0; 2)
- Cực trị: + Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = y(2) = 2;
+ Hàm số đạt cực đại x = yCĐ = y(0) =
- Giới hạn: xlim ¥¥, xlim ¥ ¥
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
/ / 6 6, / / 0 6 6 0 1, (1) 0
y = x- y = Û x- = Û x= y = Þ điểm uốn I(0; 2)
Đồ thị: qua điểm (2; 1), (2; 3)
và nhận điểm uốn I(0; 1) tâm đối xứng
0,25
2 Định m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân
Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt ' 3m m
(1) 0,25
y=x3−3x2−mx+2
¿1
3(x −1).y '+(− 2m
3 −2)x+2− m
3
Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số có phương trình y=(−2m
3 −2)x+2− m
0,25
Đường thẳng cắt trục Ox Oy tai A( m−6
2(m+3);0), B(0; 6− m
3 ) Tam giác OAB cân OA OB
0,5
y’(x) y(x)
¥ 2 +¥
0 +
+
2 ¥
+¥
x y
1
1 3- 1 3+
2
(3)6 2( 3)
9
6; ;
2
m m
m
m m m
Þ
Þ
Với m = A ≡ B≡ O so với điều kiện ta nhận m=−3 II
(3,0 điểm) Giải phương trình: cos
(2x+π
4)=cotx −tanx −2 Đk x ≠kπ
2 , k∈Ζ
Phương trình cho tương đương với:
cos2
1 cos(4 )
2 sin cos
x x
x x p
+ + = - 0,25
2
cos2 sin2 cos2 sin2
1 sin4 (cos2 sin2 )
sin cos sin cos
x x x x
x x x
x x x x
-
-Û - = Û - = 0,25
cos2 sin2 tan2
(cos2 sin2 )sin2 sin4 cos4
x x x
x x x x x
é - = é =
ê ê
Û ê Û ê
- = + =
ê ê
ë ë 0,25
,
8
l x p p l
ị = + ẻ Z
So vi iu kin ta có nghiệm phương trình 2,
l
x=p+ p l ẻ Â
0,25
2 Giải bất phương trình:
2 ( 3)
15 9
x x x
x x
Đk
5
x³
Bất phương trình cho tương đương với
2 ( 3) 5( 2 9 3) 0
2
x x x x
x
- + - - + - <
+ +
3x 4x
Û - + - - <
0,25
Xét hàm số
5
( ) 5,
3
f x = x- + x- - " ³x
Có
3
'( ) 0,
3
2
f x x
x x
= + > " >
-
-nên hàm f x( ) tăng
5
x
" ³
, mặt khác f(3)=0
0,50
Từ suy nghiệm bất phương trình
5
3
3£ x£
0,25
3 Giải phương trình:
2
2
log x (4x 4x 1) log x (2x 7x 3)
(1)
Đk:
1
x x
ìïï >-ïïí ùù ùùợ
(4)Phng trỡnh ó cho tương đương với 4log (2x+3 x+ +1) log2x+1(x+3)=4 (2)
Đặt t =log2x+1(x+3), t¹ Phương trình (2) trở thành: t2- 4t+ =4 0 t=2 0,25
Þ log2x+1(x+3)=2 x+ =3 (2x+1)2 4x2+3x- 2=0 0,25
3 41
8
x=- ±
So với điều kiện, ta nghiệm phương trình (1)
3 41
8
x=- +
0,25
III
(1,0 điểm) òcotx- tansin4x-x 2tan2xdx=ò2cot2xsin4- 2tan2x xdx 0,25
2cot sin4
x dx x
=ò 0,25
2 cos4 sin x dx x
= ò 0,25
1
2sin4x C
= - + 0,25
IV
(1,0 điểm) Cho hình chóp góc hai mặt phẳng (S.ABC có tam giác SAC) (ABCSBC vng ) 60B0, AB Gọi = a, HBC, K = hình chiếu vng góca √3 , SA vng góc với đáy, A SB SC Tính thể tích khối chóp S.ABC
Chứng minh HK^SC 0,25
Þ tam giác AHK vng H
· 600
AKH =
Þ AH =AK.sin600
0,25
Þ 2
2
3
AB AC a
SA
AC AB
= =
- 0,25
2
1 .
2
ABC
a SD = AB BC =
3
1 .
3 ABC 12
a V = SD SA =
0,25
V
(1,0 điểm) Pt cho viết lại dạng:
2 2
( 4) ( 4) 4( 2)
m x+ x + = +x + x + (1)
Do x = nghiệm (1) dù m lấy giá trị nên:
pt (1)
2
2
4
4 x x m x x + + = + +
+ (2)
Đặt
4 x t x + =
+ , pt (2) trở thành:
4
m t t
= +
0,25
Xét hàm
4 ( ) x f x x + =
+ TXĐ: ¡ , 2
2
'( ) ; '( )
2
( 2)
x
f x f x x
x x
-= = Û =
+ +
1
3; lim ( ) ; lim ( )
2 x x
f f x f x
đ- Ơ đ+Ơ
ổửữ
ỗ =ữ =- =
ỗ ữ ỗố ứ
Bng bin thiờn:
(5)Từ bảng biến thiên ta suy điều kiện t là: 1 < t £ pt
4 x t
x
+ =
+ có
nghiệm phân biệt khi: < t < (3)
Lại xét hàm
4 ( )
g t t t
= +
với 1 < t £ ;
2
4
'( ) t ; '( )
g t g t t
t
-= = Þ =
13
( 1) 5; (1) 5; (2) 4; (3)
3
g - =- g = g = g =
, xlim ( )đ0- f x =- Ơ ; lim ( )xđ0+ f x =+Ơ
Bng bin thiên: 0,25
Từ (3) bảng biến thiên ta suy điều kiện m thỏa yêu cầu toán là:
13
3
m
< < 0,25
VI (2,0 điểm)
1 Cho tam giác ABC có đường phân giác góc A, đường trung tuyến kẻ từ B đường cao kẻ từ C x + y – = 0, x – y + = 0, 2x + y + = Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC Đặt lA: x + y – = 0, mB: x – y + = 0, hC: 2x + y + =
- AẻlA ịA(a; 3-a); BẻmB ịB(b;b+1); CẻhC ịC(c;-1-2c)
- AB^hC Þ 3a + b – = (1)
0,25
Gọi M trung điểm ACÞ
2
;
2
a c a c Mổỗỗỗ + - - ữữữữử
ỗố ứ
MẻmB ị 2a + 3c = (2)
0,25
- Gọi N trung điểm BMÞ
2 2
;
4
a b c a b c Nổỗỗỗ + + - + - ửữữữữ
ỗố ứ
lA ^mB ịNẻlA ị 4b c = (3)
0,25 Giải hệ ba phương trình (1), (2) (3) ta
12 39; , 32 49; , ;
17 17 17 17 17 17
Aổỗỗỗỗ ữữử ổữữBỗỗỗỗ ữữữử ổữCỗỗỗỗ- - ữữữữử
è ø è ø è ø
0,25 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + z = 0, (Q): y + z + = điểm
(1; 1; 1)
A Tìm tọa độ điểm M (P), N (Q) cho MN vng góc với giao tuyến
của (P), (Q) nhận A trung điểm
( ) ( ; ;3 )
M ẻ P ị M x y - x
A trung điểm MNÞ N(2- x; 2- - y; 5- +x)
ẻ ( )ị - =2 (1)
N Q x y 0,25
(2 ; 2 ; )
MNuuuur= - x- - y- + x
Vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng (P) (Q): n1=(1;0;1),n2=(0;1;1)
r r
0,25 x
f’(x) t = f(x)
¥ +¥
1 2
0
+
1
3
1
x g’(x) m = g(x)
1
0
5
3
0
¥
+¥
4
5 13
(6)Þ n =[ , ] ( 1; 1;1)n n1 =
-r r r
MN vng góc với giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) Þ MN nuuuur r =0
Þ 2x y+ =4 (2)
0,25 Giải hệ phương trình gồm (1) (2) ta x=2,y=0
Þ M(2;0;1), (0; 2; 3)N -
-0,25