On thi tuyen sinh 1020122013

Cho BC b»ng trung b×nh céng cña AB vµ AC, gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c ABC... kiÕn thøc cÇn ghi nhí.[r]

Chủ Đề 1: rút gọn tính giá trị biểu thức. I Ph ơng pháp.

1 Phơng pháp rút gọn cách phân tích thành nhân tử. - Sử dụng HĐT.

- Sử dụng phơng pháp phân tích thành nhân tử. 2 Phơng pháp nhân với biểu thức liên hợp.

Các biểu thức liên hợp thờng gặp: a+b √a −√b ; a + b vµ a2 - ab + b2; a - b vµ a2 + ab + b2. ii bµi tËp.

Bµi Cho biĨu thøc: A=

1− x2 ¿2 ¿

x¿ (xx −3−11+x)(

x3+1

x+1 − x):¿

Víi x √2 ;1

a Rút gọn biểu thức A b Tính giá trị biểu thức cho x = √6+2√2 c Tìm giá trị x để A = 3

Gi¶i a Rót gän A = x 2−2

x

b Thay x= √6+2√2 vào A ta đợc A = 4+2√2

√6+2√2 c A = ⇔ x

2 - 3x - = ⇒ x = 3±√17

2

Bµi 2: Cho biĨu thøc: P = (x√x −1

x −√x −

x√x+1

x+√x ):(

2(x −2√x+1) x −1 )

a Rút gọn P b Tìm x ngun để P có giỏ tr nguyờn.

Giải a ĐK: x 0; x ≠1 Rót gän: P = 2x(x −1)

x(x −1) :

2( √x −1❑z)

x −1 =

√x −1¿2 ¿ ¿ √x −1

¿

b P = √x+1 √x −1=1+

2

x 1 Để P nguyên

√x −1 nguyªn suy √x −1 lµ íc cđa suy víi x =

{0;4;9} P có giá trị nguyên.

Bài 3: Cho biÓu thøc:

√x+√y

P= x

(√x+√y)(1−√y)−

y

¿ (√x+1)¿−

xy

(√x+1)(1−√y)

a Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b Tìm x, y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.

Giải a Điều kiện để P xác định : x ≥0; y ≥0; y ≠1; x+y ≠0 .

 

     

(1 ) (1 )

1

x x y y xy x y

P

x y x y

    



  

   

     

( )

1

x y x x y y xy x y

x y x y

    



  

   

  1  1 

x y x y x xy y xy

x y x y

     



  

       

   

1 1

1

x x y x y x x

x y

     



 

1 

x y y y x

y

  





     

 

1 1

1

x y y y y

y

   



  x  xy  y.

Thay vào ta có cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn. Bài : Cho biÓu thøcA = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+

√x

√x −1) víi x > vµ x  1

a Rút gọn A b Tìm giá trị x để A = 3 Giải a Ta có: A = (x√x+1

x −1 −

x −1

√x −1):(√x+

√x

√x −1) =

((√x+1)(x −√x+1) (√x −1)(√x+1) −

x −1

√x −1):(

√x(√x −1) √x −1 +

√x

√x −1) = (

x −√x+1 √x −1 −

x −1

√x −1):(

x −√x+√x

√x −1 ) =

x −√x+1− x+1 √x −1 :

x

√x −1 =

−√x+2 √x −1 :

x

√x −1

= −√x+2 √x −1 ⋅

√x −1

x =

2−√x x

b A = ⇔ 2−√x

x = ⇔ 3x + √x - = ⇒ x = 4/9

Bµi 5: Cho P = x x x   + 1 x x x    - 1 x x 

 a Rót gän P b Chøng minh: P <

3 víi x  vµ x 

1.

Giải Điều kiện: x x 1 P =

2 x x x   + 1 x x x    - ( 1)( 1)

x

x x



  =

2 ( )

x x   + 1 x x x    -1

x =

2 ( 1)( 1) ( 1)

( 1)( 1)

x x x x x

x x x

      

   = ( 1)( 1)

x x

x x x



   =

x

x x

b Víi x  vµ x 1 Ta cã: P <

1

3 

x x x <

1

 3 x < x + x + ; ( v× x + x + > )  x - 2 x + > 0 ( x - 1)2 > (x  vµ x 1)

Bài : a Xác định x R để biểu thức: A = √x2+1− x −

√x2+1− x lµ mét sè tù nhiªn b Cho biĨu thøc: P= √x

√xy+√x+2+

√y

√yz+√y+1+

2√z

√zx+2√z+2 BiÕt x.y.z = , tÝnh √P . Gi¶i a.

P=√x2+1− x − √x

+1+x

(√x2+1− x).(√x2+1+x)

=√x2+1− x −(√x2+1+x)=−2x P lµ sè tự nhiên -2x số tự nhiên ⇔ x = k

2 (trong k Z k )

b Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hợp với x.y.z = ta đợc x, y, z > √xyz=2

Nhân tử mẫu hạng tử thứ với √x ; thay mẫu hạng tử thứ √xyz ta đợc:

P =

√x+2+√xy

¿ √z¿ √x

√xy+√x+2+

√xy

√xy+√x+2+

2√z

¿ Bµi 7: Cho biĨu thøc: D = [√a+√b

1−√ab+

√a+√b

1+√ab] : [1+

a+b+2 ab

a Tìm điều kiện xác định D rút gọn D b Tính giá trị D với a =

2−√3 c T×m GTLN

cña D.

Giải: a Điều kiện xác định D

¿

a ≥0

b ≥0 ab≠1

¿{ { ¿

D = [2√a+2b√a

1−ab ] : [

a+b+ab

1−ab ] = 2√a a+1

b a =

2+√3

¿

√3+1¿2⇒√a=√3+1

2¿

2 2+√3=¿

VËy D =

2+2√3

2 2√3+1

=2√3−2

4−√3

c áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có 2√a≤ a+1⇒D ≤1 Vậy giá trị D 1. Bài 8: Cho biểu thức

A =

4( 1) 4( 1)

1

4( 1)

x x x x

x x x             

  a Tìm điều kiện x để A xác định b Rút gọn A.

Giải: Điều kiện x thỏa mÃn:

2

1

4( 1)

4( 1)

4( 1)

x x x x x x x                    1 x x x x          

  x > vµ x  2

b Rót gän A =

2

2

( 1) ( 1)

( 2)

x x x

x x         =

1 1 2

2

x x x

x x

     

 

+ Víi < x < ta cã A =

2

1 x + Víi x > ta cã A =

2

x

KÕt luËn: Víi < x < th× A =

2

1 x Víi x > th× A =

2

x Bµi 9: Cho biĨu thøc M = 2√x −9

x −5√x+6+

2√x+1 √x −3 +

√x+3

2−√x

a Tìm ĐK x để M có nghĩa rút gọn M b Tìm x để M = c Tìm x Z để M Z. Giải: M = 2√x −9

x −5√x+6+

2√x+1 √x −3 +

√x+3

2−√x

a §K x ≥0; x ≠4;x ≠9 M = 2√x −9−(√x+3)(√x −3)+(2√x+1) (√x −2)

(√x −2) (√x −3)

Biến đổi ta có kết quả: M = x −√x −2

(√x −2) (√x −3) =

(√x+1)(√x −2)

(√x −3) (√x −2)⇔M=

√x+1 √x −3

b M = 5⇔√x −1

√x −3=5⇒√x+1=5(√x −3)⇔√x+1=5√x −15⇔16=4√x⇒√x= 16

4 =4⇒x=16

c M = √x+1 √x −3=

√x −3+4 √x −3 =1+

4

√x −3 Do M Z nên x 3 là íc cđa ⇒ √x −3 nhËn c¸c giá

trị:

Bài 10: Cho biÓu thøc: A =

x2−3¿2+12x2 ¿ ¿ ¿

√¿

+ x+2¿

−8x2

¿

√¿

a Rót gän biĨu thøc A b T×m giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên.

Giải: a §iỊu kiƯn: x 0

A=√x

+6x2+9

x2 +√x

2

−4x+4 ¿x

+3

|x| +|x −2|

+ Víi x < 0: A=−2x

+2x −3

x . + Víi < x 2: A=

2x+3

x + Víi x > : A=2x

2−2x +3

x

b Tìm x nguyên để A nguyên: A nguyên ⇔ x2 + ⋮ |x| ⇔ 3 ⋮|x| ⇔ x =

{−1;−3;1;3} Bµi 11: Cho biÓu thøc: P = ( x −1

x+3√x −4−

√x+1 √x −1):

x+2√x+1

x −1 +1

a Rót gän P b Tìm giá trị nhỏ P. Giải: Điều kiện: x  0; x  1

a Thực đợc biểu thức ngoặc bằng: −5(√x+1)

(√x −1)(√x+4) KQ: P =

√x −1

√x+4 b ViÕt P = 1−

√x+4 lập luận tìm đợc GTNN P = -1/4 x = Bài 12: Cho biểu thức: Q = ( x − y

√x −√y+

√x3−√y3 y − x ):

(√x −√y)2+√xy

x+y

a Tìm ĐKXĐ Q vµ rót gän b Chøng minh Q c So s¸nh Q víi √Q

Giải a ĐKXĐ: x 0, y 0, x y

Q=¿:(√x −√y)

+√xy

√x+√y

¿[(√x+√y)−(√y −√x) (x+√xy+y) (√y −√x)(√y+√x) ]

√x+√y x −√xy+y =

√xy

√x+√y

√x+√y x −√xy+y=

√xy

x −√xy+y b √xy 0∀x ; y ≥0 x + y 2 xy (Côsi), mà x y ⇒ x + y > 2 √xy

⇔ x - √xy + y > √xy ⇔ x - √xy + y > VËy Q = √xy

x −√xy+y≥0∀x , y ≥0 x y c Theo câu b, ta cã x - √xy + y > √xy (1) Chia vÕ cña (1) cho x - √xy + y > ⇒

√xy

x −√xy+y<1 VËy 0 Q < 1 + NÕu Q = ⇒ Q = √Q

+ NÕu < Q < ⇒ √Q ( √Q - 1) < ⇒ Q - √Q < 0 ⇒ Q < √Q ∀ x, y vµ x y

Chủ Đề 2: rút gọn tính giá trị biểu thức. I Ph ơng pháp.

1 Định lí Talet:

b Hệ quả: Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác // với cạnh cịn lại tạo thành một tam giác có ba cạnh tơng ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho.

2 Tính chất đờng phân giác tam giác.

Trong tam giác, đờng phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

3 Các trờng hợp đồng dạng tam giác.

a Trờng hợp c.c.c: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác ĐD.

b Trờng hợp c.g.c: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo bởi các cặp cạnh hai tam giác đồng dạng.

c.Trờng hợp g.g:Nếu hai góc tam giác lần lợt hai góc tam giác hai tam giác đó ĐD

d Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng.

e Hai tam giác đồng dạng tỉ số hai diện tích bình phơng tỉ số đồng dạng. ii tập.

Bài 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M, N theo thứ tự trung điểm BC, AC Gọi O giao điểm đờng trung trực tam giác.

1 Chứng minh Δ OMN đồng dạng với Δ HAB Tìm tỉ số đồng dạng. 2 So sánh độ dài AH OM.

3 Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh Δ HAG đồng dạng với Δ OMG. 4 Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng GH = 2GO.

HD gi¶i.

a Ta có MN // AB (MN đờng trung bình) Mặt khác ta có AH // OM (cùng vng góc với BC) dó góc BAH = góc OMN (cặp góc có cạnh tơng ứng //) Tơng tự ta có góc ABH = góc ONM Suy Δ

AHB đồng dạng Δ MON, tỉ số k = 2. b Theo câu a, ta có AH

OM=2 hay AH = 2OM.

c Gọi G giao điểm AM HO, ta có ’ Δ AG H đồng ’

d¹ng MG O hay ’ HG'

MG'=

AH

OM=2 Từ ta có G trùng G ’

hay Δ HAG đồng dạng Δ OMG.

d Tõ câu c, suy H, G, O thẳng hàng Ta cã GH

GO=

GA

GM=2 nên GH = 2.GO.

Bài 2: Cho hình thang vu«ng ABCD (gãc A = gãc D = 900), E trung điểm AD góc BEC = 900

Cho biÕt AD = 2a Chøng minh r»ng: a AB.CD = a2.

b Δ EAB Δ CEB đồng dạng. c BE tia phân giác góc ABC.

HD giải a Δ EAB đồng dạng Δ CDE (g.g) suy ĐPCM. b Theo câu a ta có AB

ED =

BE

EC ⇒

AB

AE=

EB

EC suy Δ ABE đồng dạng Δ EBC (c.g.c).

c Tõ câu b, suy BE tia phân giác góc ABC.

Bài 3: Tam giác ABC cân A có BC = 2a, M trung điểm BC LÊy D thuéc AB, E thuéc AC cho gãc DME gãc B.

a Chứng minh BD.CE khơng đổi.

b Chøng minh r»ng DM lµ tia phân giác góc BDE. HD giải:

a Δ DBM đồng dạng Δ MCE (g.g) suy ĐPCM. b Theo câu a, suy DM

ME =

BD

CM⇒

DM

ME =

BD

BM Δ DME đồng dạng Δ DBM (c.g.c) suy

§PCM.

Bài 4: Cho Δ ABC có hai góc nhọn B C, BC = a, đờng cao AH = h Một hình vng MNPQ nội tiếp tam giác cho: M thuộc AB, N thuộc AC, P Q thuộc BC Hãy tính MP theo a h.

HD gi¶i: Ta cã MN

BC =

AK

AH (tỉ số đờng cao hai Δ đồng dạng tỉ số đồng dạng)

Gäi MN = x, ta cã: x

a= h − x

h ⇒x=

ah

Ta cã MP = MN. √2 (theo Pitago), suy MP = √2 ah

a+h .

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Gọi M trung điểm BC Đờng thẳng qua H vuông góc với MH cắt AB AC theo thø tù ë I vµ K

a Qua C kẻ đờng thẳng // với IK, cắt AH AB theo thứ tự N D CMR: NC = ND. b CMR: HI = HK.

HD gi¶i.

a Ta có NM vng góc với CH (đờng cao thứ tam giác CNH)

suy NM // AD (cùng CH) Tam giác CBD có CM = MB (GT), MN // BD suy ND = NC. b Sử dụng Ta let vào hai cặp tam giác đồng dạng: AIH AND, AKH CAN, suy IH = KH. Bài 6: Cho Δ cân ABC (AB = BC) Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM

BM =

1

4 Trên cạnh BC lÊy

®iĨm N cho CN

BN=6 Đờng thẳng MN cắt đờng cao BH O Từ N hạ NK vng góc BH Từ M

hạ MP vng góc với BH Cho BH = 35cm a CM Δ BKN đồng dạng Δ BHC, tính BK. b Tính BP, OB, HO.

c Gi¶ sư AM

BM=m ;

CN

BN=n TÝnh HO

BO theo m n.

HD giải.

a Hai tam giác đồng dạng với theo TH (g.g) suy BK

BH=

BN

BC ⇒

BK

35 =

1

7 ⇒ BK = (cm).

b Theo c©u a, ta cã KN

HC =

1 7⇒

KN

AH=

1 7⇒

KO

OH=

1 7⇒

KO+OH

OH =

1+7

7 ⇒

30

OH=

8

7⇒OH= 105

4 , OB = 35

4 .

c Từ Δ BKN đồng dạng Δ BHC ta có: BK =

n+1 BH , Δ MBP đồng dạng Δ ABH ta có: BP =

m+1 BH suy HO

BO =

m+n

2 .

Bài Cho hai tam giác ABC DEF mà A thuộc DF, E thuộc BC Gọi I giao điểm AC EF, K giao điểm AB DE.

a CMR Δ IFC đồng dạng Δ AIE, Δ KDB đồng dạng Δ KAE. b CM BD // CF.

HD gi¶i.

a Ta có Δ AIF đồng dạng Δ EIC (g.g), suy Δ IFC đồng dạng Δ AIE(c.g.c) Tơng tự Δ KDB đồng dạng Δ KAE (c.g.c).

Bài 8: Hình thang vng ABCD (góc A = góc D = 900) có hai đờng chéo vng góc với O,

AB = 4cm, CD = 9cm.

a CMR tam giác AOB DAB đồng dạng b Tính độ dài AD.

c CMR tam giác OAB OCD đồng dạng d Tính tỉ số diện tích tam giác OAB OCD. HD giải.

a Δ AOB Δ DAB đồng dạng (g.g). b AD = 6cm.

c Δ OAB Δ OCD đồng dạng (g.g). d SOAB

SOCD =(4

9)

2 =16

81 .

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH, BC = 100cm, AH = 40cm Gọi D hình chiếu của H AC, E hình chiếu H AB.

a CMR Δ ADE đồng dạng Δ ABC. b Tính diện tích tam giác ADE.

HD gi¶i:

a Ta có góc C = góc BAH = góc AED, suy Δ ADE đồng dạng Δ ABC (g.g). b SADE

SABC =(DE

BC)

2 =(AH

BC )

2 =

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, AB = 1, AC = Trên cạnh AC lấy điểm D, E cho AD = DE = EC.

a Tính độ dài BD b CMR tam giác BDE CDB đồng dạng. c Tớnh tng gúc DEB v DCB.

Đáp số: a BD = √2

b BD

DE =√2 ; CD

DB=

2

√2=√2 , nªn BD

DE=

CD

DB , tam giác BDE CDB đồng dạng (c.g.c).

c Gãc DEB + gãc DCB = gãc DBC + gãc DCB = gãc ADB = 450.

Bài 11: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c, đờng phân giác AD. a Tính di BD, DC.

b Tia phân giác gãc B c¾t AD ë I TÝnh tØ sè AI : ID.

c Cho BC b»ng trung b×nh céng AB AC, gọi G trọng tâm tam gi¸c ABC CMR: IG // BC.

HD gi¶i: a BD

DC=

AB

AC=

c b⇒

BD

BD+DC=

AB

AB+AC⇒BD=

ac

b+c;DC=

ab

b+c b AI : ID =

b+c

a .

c CM: AI

ID= AG

GM , từ suy IG // DM (Talét đảo), tức IG // BC.

Bµi 12: Tam giác ABC cân A có BC = 2a, M trung điểm BC Lấy điểm D, E theo thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho gãc DME = gãc B.

a CMR: BD.CE không đổi b CMR: DM tia phân giác góc BDE. c Tính chu vi tam giác ADE tam giác ABC tam giác đều.

HD giải: a CM tam giác BDM đồng dạng tam giác CME (g.g) suy ĐPCM. b Theo câu a, ta có DM

ME =

BD

BM , tam giác DME đồng dạng tam giác DBM (c.g.c) suy góc MDE =

gãc BDM.

c DM phân giác BDE, EM phân giác CDE Kẻ MH vng góc DE, MI vng góc AB, MK vng góc AC Ta có DH = DI, EH = EK, chu vi tam giác ADE = AI + AK = 2AK.

L¹i cã CK = a

2 , AC = 2a nªn AK = 1,5a VËy chu vi tam gi¸c ADE = 3a

Chủ Đề 3: bất ng thc.

I Ph ơng pháp. HS nắm vững:

1 Các tính chất BĐT. 1.1: a > b ⇔ a + c > b + c. 1.2: a > b ⇔

¿

ac>bc,∀c>0

ac<bc,∀c<0 ¿{

¿ 1.3: a > b, b> c ⇒ a > c.

1.4: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d. 1.5: a > b > 0, c > d > ⇒ ac > bd. 1.6: a > b > ⇒ an > bn.

1.7: a > b > ⇒ √a > √b .

2 Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm, bất đẳng thức Bunhiacopxki số bất đẳng thức khác. 2.1: Bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm: Với a 0, b đó: a+b

2 ≥√ab DÊu = x¶y ra“ ”

⇔ a = b

2.2: Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) Dấu = xảy “ ” ⇔ tồn số k

cho x = ka, y = kb (*), a, b 0 (*) đợc viết là: x

a= y b .

ii bµi tËp.

Bµi 1: Cho hai sè d¬ng a, b CMR: a + b ab

HD gi¶i: Ta cã:

¿

a+b ≥2√ab 1+ab≥2√ab

¿{ ¿

(B§T Cosi) ⇒ (a + b)(1 + ab) 4ab suy §PCM DÊu = xảy

khi ¿

a=b

1=ab ¿{

¿

hay a = b = 1.

Bài 2: Cho số a, b, c, d CMR: (a2 + b2)(c2 + d2) (ac + bd)2 (Bất đẳng thức Bunhiacopxki)

HD giải: Khai triển hai vế đa về: (bc - ad)2 (luôn đúng) suy BĐT cần chứng minh

đúng.

DÊu = xảy bc = ad “ ” ⇔ a

b= c d .

Bài 3: Tìm hai số a, b biết rằng:

¿

2a+3b=5

2a2+3b2=5 ¿{

¿ HD gi¶i: Ta cã: 25 = (2a + 3b)2 = (

√2.√2a+√3 √3a )2 [(

√2 )2 + (

√3 )2].[(

√2a )2 + (

√3a )2] =

5.(2a2 + 3a2)

Suy 2a2 + 3a2 DÊu = x¶y vµ chØ “ ” √2

√2a=

√3

√3b hay a = b VËy a = b = 1.

Bµi 4: Cho a, b, k số dơng, a < b CMR: a

b<¿

a+k

b+k (1).

HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: k(a - b) < ⇔ a < b BĐT đúng, (1) đúng. Bài 5: CMR: a2 + b2 + ab + 2(a + b) (1).

HD giải: Xét hiệu VT - VP ta đợc: (a - b)2 + (a - 2)2 + (b - 2)2 Dấu = xảy a = b = 2.“ ”

Bµi 6: CMR ∀ a > b > 0, m > n, ta cã: a m

−bm am

+bm>

an−bn an

+bn (1). HD gi¶i: (1) ⇔ a

m +bm

am+bm−

2bm am+bm>

an+bn

an+bn−

2bn

an+bn ⇔

2bn an+bn>

2bm

am+bm Chia VT cho b

n, chia VP cho

bm

Ta đợc a n

bn< am

bm ⇔ ( a b)

m >(a

b)

n . Bµi 7: (TH 04 - 05) Cho < x < 1 CMR: x(1 - x)

4 (1) T×m GTNN cđa A =

4x2+1

x2

(1− x) .

HD gi¶i (1) ⇔ (x −1

2)

2

≥0 đúng. 2 Từ x(1 - x)

4 ⇒ x2(1 - x)

1

4 x suy A

4x2+1

1 4x

. A 16x +

x 2. √16x.4x = 2.8 = 16 (BĐT Cosi) Dấu = xảy chØ 16x = “ ”

4

x ⇔ x = ±1

2 , mµ

Cho < x < suy x =

2 .

Bµi (TH 09 - 10) Cho x, y, z tho¶ m·n y2 + yz + z2 = - 3x

2

2

HD gi¶i y2 + yz + z2 = - 3x

2

2 ⇔ 2y

2 + 2yz + 2z2 = - 3x2 ⇔ (x + y + z)2 + (x - y)2 + (x - z)2 = 2

⇔ (x + y + z)2 = -[(x - y)2 + (x - z)2] + DÊu = x¶y vµ chØ x = y = z“ ”

⇒ - √2 x + y + z √2 VËy GTLN lµ √2 , GTNN lµ - √2 x = y = z. Bµi 9: (TH 05 - 06) Cho x - y CMR x2 + y2 +

(xyx − y−1)

2

≥2 . HD gi¶i x2 + y2 +

(xyx − y−1)

2

= x2 - 2xy + y2 + 2(xy - 1) +

(xyx − y−1)

2

+2 = (x - y + xy−1

x − y )2 + 2.

Bµi 10: (TH 06 - 07) Cho b > CMR: b b2

+1+

3(b2+1)

2b

7

HD gi¶i Ta cã: b

b2 +1+

3(b2+1)

2b =

b b2

+1+

b2 +1

4b +

5(b2+1)

4b

Ta cã b

b2 +1+

b2+1

4b ≥√ b b2

+1

b2+1

4b =1 (BĐT Cosi) Lại có b

2 + 2b ⇒ 5(b

2 +1)

4b ≥

5 2b

4 =

5

2 DÊu

= x¶y vµ chØ b =

“ ” VËy b

b2+1+

3(b2+1)

2b +

5 =

7 .

Bµi 11: CMR: a = 4b 16 ab

1+4 ab víi a, b dơng (Sử dụng tính chất BĐT).

Bµi 12: CMR: (a2 + 1)(b2 + 4) (2a + b)2 (Chun vÕ vµ chøng minh vÕ trái không âm).

Bài 13: CMR < x < b th× a

b<

a+2010

b+2010 (Tơng tự 4) Bài 14: CMR nÕu a, b > th×: a

2010

−b2010 a2010

+b2010>

a2009−b2009 a2009

+b2009 (Tơng tự 6)

Chủ Đề 4: Tứ giác - Đa giác.

I kiến thức cần ghi nhí.

1 Tỉng c¸c gãc cđa mét tø gi¸c b»ng 3600.

2 Hình thang HThang tứ giác có hai cạnh đối song song. - Hai góc kề cạnh bên hình thang bù (tổng 1800).

- Hình thang vuông hình thang có mét gãc vu«ng.

- Hình thang cân hình thang có hai góc kề đáy nhau. + Trong hình thang cân, hai cạnh bên nhau.

+ Trong hình thang cân, hai đờng chéo nhau. - Cách CM tứ giác thang cân:

+ Hình thang có hai góc kề đáy nhau. + Hình thang có hai đờng chéo nhau.

- Đờng trung bình hình thang: Đoạn nối trung điểm hai cạnh bên Đờng trung bình có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.

- DTHT nửa tổng hai đáy đờng cao.

3 Hình bình hành: HBH tứ giác có cạnh đối //. - Cách CM tứ giác là HBH.

3.1 Các cạnh đối //.

3.2 Các cạnh đối nhau.

3.3 Một cặp cạnh đối // nhau.

3.4 Các góc đối góc kề bù nhau. 3.5 Hai đờng chéo cắt trung điểm đờng. - DT HBH đáy nhân chiều cao.

4 Hình chữ nhật: HCN tứ giác có góc vng Trong HCN hai đờng chéo cắt nhau trung điểm đờng

- C¸ch CM mét tứ giác là HCN. 4.1 Có góc vuông.

4.2 HBH cã mét gãc vu«ng.

4.3 Hthang cân có góc vuông.

- DT HCN tích hai kích thớc (dài nhân rộng).

5 Hình thoi: Hthoi tứ giác có cạnh Trong hình thoi hai đờng chéo vng góc với nhau hai đờng chéo đờng phân giác góc hình thoi.

- Cách CM tứ giác là Hthoi. 5.1 c¹nh b»ng nhau.

5.2 HBH có hai cạnh kề nhau. 5.3 HBH có hai đờng chéo vng góc.

5.4 HBH có đờng chéo đờng phân giác góc.

- DT hình thoi bằng: Tích hai đờng chéo đáy nhân chiều cao.

6 Hình vuông: HV tứ giác có góc vuông có cạnh nhau. - Cách CM tứ giác là HV.

6.1 HCN có hai cạnh kề nhau. 6.2 HCN có hai đờng chéo vng góc.

6.3 HCN có đờng chéo đờng phân giác góc. 6.4 Hthoi có góc vng.

6.3 Hthoi có hai đờng chéo nhau. - DT hình vng cạnh nhân cạnh. 7 Đa giác

7.1 Tỉng c¸c góc đa giác n cạnh (n 2).1800.

7.2 Trong đa giác n cạnh, số đờng chéo n(n −3)

2 .

7.3 Đa giác đa giác có tất cạnh tất góc Số đo góc của đa giác n cạnh (n −2) 180

0

n .

Ii tập.

Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q, E, F lần lợt trung điểm BD, AC, AB, DC, AD BC. a CMR: PM = NQ.

b CMR: MN, PQ,EF đồng quy (cùng qua điểm). HDẫn giải.

a PM, NQ đờng trung bình ứng với cạnh AD của tam giác ABD ACD.

b MN PQ đờng chéo HBH MPNQ, PQ EF các đờng chéo HBH EQFP, từ suy ĐPCM.

Bài 2: Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = a, CD = b, BC = c, AD = d Các tia phân giác góc A D cắt E, tia phân giác góc B C cắt F Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cđa AD vµ AD vµ BC.

a CM AED BFC tam giác vuông. b CM điểm M, E, F, N thẳng hµng.

c TÝnh MN, MF, FN theo a, b, c, d. d CMR nÕu a + b = c + d E trùng F. HDẫn giải.

a CM ADK tam giác cân đỉnh D, từ suy phân giác DE đồng thời đờng cao, DE vng góc AK hay Δ AED vuông Tơng tự với trờng hợp Δ BFC.

b CM cho ME, NF, MN cïng // AB hc CD. c MN =

2 (a + b); FN =

2 c; MF =

2 (a + b - c).

d Ta còng cã ME =

2 d Gi¶ sư E trïng F ta cã ME + FN = MN hay

2 (c + d) =

2 (a + b).

Bài 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a có góc A = 600 Gọi E, F lần lợt trung điểm cạnh AD

CD.

a TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c BEF.

b Tính độ dài đoạn thẳng CE Cos góc ACE. HDẫn giải.

a Ta có Δ ABD đều, BE đờng cao Δ đó, BE = BDsinD = a√3

2 ,

BK = BEcosEBK = a√3

2 .

√3

2 , từ tính đợc SBEF =

3√3a2

b Ta cã MC = 3√3a

4 , EM =

a

4 (dựa vào tam giác đồng dạng), từ ta có EC =

a√7

2 (theo

Pitago), suy cosECM = 3√3

2√7 .

Bài 4: Cho tam giác ABC Gọi I giao điểm tia phân giác góc B C Từ I hạ IM vng góc AB, IN vng góc BC Từ A kẻ đờng thẳng // với MN, cắt BC P CMR:

a Δ IMB = INB.

b Tứ giác MNPA thang cân. HDẫn giải.

a IMB = Δ INB (c¹nh hun - gãc nhän).

b Chỉ tứ giác MNPA có góc AMN PNM nhau.

Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD (AB // CD), gãc A = gãc D = 900

vµ AD = CD =

2 AB Kẻ CH vuông góc với AB Gọi O giao điểm

của AC DH, O giao điểm BD CH CMR:

a ACB vuông cân C b OO = ’

2 CD =

4 AB c OO thuéc ®’ êng trung bình

của hình thang. HDẫn giải

a Tứ giác ADCH hình vng, suy AC vng góc DH AC = DH Tứ giác BCDH HBH do đó BC = DH, BC = AC Vì AC vng góc DH, DH // BC suy AC vng góc BC.

b Theo tính chất đờng trung bình tam giác.

c Gäi M, N lần lợt giao điểm OO với AD BC Chứng minh OM đ ờng trung bình tam giác ADC.

Bi 6: Cho HCN ABCD, tâm O Lấy điểm P tuỳ ý đoạn thẳng OB Gọi M điểm đối xứng C qua P.

a CMR AM // BD.

b Gọi E, F lần lợt chân đờng vng góc hạ từ M xuống AB, DA CMR EF // AC.

c CM ®iĨm F, E, P thẳng hàng. HDẫn giải

a OP l đờng trung bình tam giác ACM. b Chứng minh góc EFA = góc CAD.

c Chứng minh IP IE // với AC (I giao điểm hai đờng chéo HCN AEMF) Bài 7: Cho HBH MNPQ với MQ vng góc MP Gọi E, F lần lợt trung điểm MN PQ.

a CM MEPF hình thoi.

b Gi Mx l tia đối tia MN CMR MQ phân giác góc FMx. HDẫn giải

a MEPF hình bình hành (1 cặp cạnh đối // nhau) có hai đờng chéo vng góc.

b Tam giác MQF tam giác cân F, góc FMQ = góc FQM, mà góc FQM = góc QMx (so le trong), từ suy ĐPCM.

Chủ Đề 5: phơng trình - bất phơng trình bËc nhÊt.

. I kiÕn thøc cÇn ghi nhí.

1 Phơng trình bậc ẩn PT bậc ẩn có dạng: ax + b = (x ẩn, a b số cho)

+ NÕu a 0, PT cã nghiÖm nhÊt x = - b

a .

+ NÕu a = 0, b 0, PT v« nghiƯm. + NÕu a = 0, b = 0, PT cã v« sè nghiƯm.

2 Bất phơng trình bậc ẩn BPT bậc ẩn BPT có dạng ax + b > (hoặc ax + b < 0, ax + b 0, ax + b 0), x ẩn, a b số cho, a 0.

Ta xÐt BPT d¹ng ax + b > 0.

+ NÕu a > 0, BPT cã nghiÖm x > - b

+ NÕu a < 0, BPT cã nghiÖm x < - b

a .

3 Các phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên. C1 Phơng pháp tách giá trị nguyên.

C2 Phơng pháp tìm nghiệm nguyên riêng

Định lí: Phơng tr×nh ax + by = c víi a, b, c nguyên, (a; b) = 1.

Nếu (x0; y0) nghiệm nguyên phơng trình có nghiệm nguyên d¹ng:

¿

x=x0+at

y=y0+bt ¿{

¿ . C3 Phơng pháp bất đẳng thức.

C4: Phơng pháp đa ớc số. ii tập.

Bài 1: Giải phơng trình sau. a x

x −1+

x

x+2=2 (1) b

2x3−1

x3+x+1=2 (2). HDÉn gi¶i

a Điều kiện: x - 0, x + Quy đồng mẫu, khử mẫu giải ta đợc x = 4. b Điều kiện: x3 + x + Quy đồng mẫu, khử mẫu giải ta đợc x = -

2 KiÓm tra lại với

ĐK.

Bài 2: Giải biện luận phơng trình sau theo m: (m - 2)x + m2 - = (1).

HDÉn giải Xét khả xảy với hệ số a = m - 2. + NÕu a Ta cã x = -(m + 2) + NÕu a = 0, PTVSN.

Bài 3: Tìm m ngun để phơng trình sau có nghiệm ngun: (2m - 3)x + 2m2 + m - = 0.

HDÉn gi¶i.

Ta cã 2m - 0 ⇔ m

2 Với m nguyên 2m - 0, PT cho có nghiệm x = (m + 2) -4

2m−3 .

Để phơng trình có nghiệm nguyên 2m - phải ớc 4, hay 2m - {-1; -2; -4; 1; 2; 4). Giải trờng hợp ta đợc m = m = thoả mãn.

Bµi 4: Giải bất phơng trình sau: a x 2

x+1−1>

3x+2

x −1 −3 b |x −1|>|x+1|−2x −3

HDÉn gi¶i.

a ĐK x ± 1 Quy đồng mẫu khử mẫu ta đợc: 8x+2

(x+1)(x −1)<0 , giải ta đợc x < -1 hoặc

−1

4<x<1 .

b XÐt trêng hỵp.

1 Với x < -1 Giải BPT đợc x > -

2 VËy -5

2 < x < -1.

2 Với -1 x < Giải BPT đợc > Vậy -1 x < 1. 3 Với x Giải BPT đợc x > -

2 .

KLC: x > -

2 .

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình 7x + 4y = 23. HDẫn giải.

Biểu thị y qua x ta đợc: y = 23−7x

4 =6−2x+

x −1

4 (hc y = – x +

3−3x

Suy

¿

x=4t+1

y=−7t+4 ¿{

¿

(t Z) (hc

¿

x=3−4t

3

y=4+7t ¿{

¿

) Vì x, y dơng nên t = 0, ¿

x=1

y=4 ¿{

¿ .

Bµi 6: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình:

x+

1

y=

1 (1)

HDẫn giải Phơng pháp đa ớc số nguyªn. (1) ⇔ x+y

xy =

1

2 ⇔ (x - 2)(y - 2) = = 2.2 = (-2).(-2) = 1.4 = (-1).(-4).

Xét khả xảy với (x - 2) (y - 2), ta đợc cặp giá trị (x; y) thoả mãn là: (4; 4), (6; 3), (3; 6).

Bài 7: Giải phơng trình sau. a x −1

x+1+

x+2

x −2=2 b |2x −1|+|x −3|=3 .

Đáp số a x = -4 b x = 1.

Bài 8: Giải biện luận bất phơng trình: m(x 1)

9

x+2m

6 <

x −16

18 (1)

HDÉn gi¶i

(1) ⇔ 2m(x - 1) - 3(x + 2m) < x – 16 ⇔ 2(m - 2)x < 8(m - 2). NÕu m > th× x < 4.

NÕu m < th× x > 4.

NÕu m = 0x < 0, bất phơng trình vô nghiệm.

Bài 9: Tìm nghiệm nguyên dơng bất phơng tr×nh: x

−2x −4

(x+1)(x −3)>1 (1) HDẫn giải

ĐKXĐ: x -1 vµ x 3. (1) ⇔ −1

(x+1)(x −3) > ⇔ (x + 1)(x - 3) < ⇔ (x + 1) (x - 3) trái dấu

x+1>0

x −3<0 ¿{

¿

⇔ -1 < x < (TM)