Huong dan giai mot so de tuyen sinh lop 10 tinhHai Duong

Lời bình: Tính chất trên là một tính chất hay được dùng trong các đề thi (thực chất nó là tính chất suy ra từ phương tích của một điểm với đường tròn). Nếu học sinh nắm vững tính chất [r]

(1)

Câu (3,0 điểm)

1) Giải phương trình sau: a) 2x

3   b)

4

x 3x  4 2) Rút gọn biểu thức N a a a a

a a

    

    

 

   với a0 a1 Câu (2,0 điểm)

1) Cho hàm số bậc yax 1 Xác định hệ số a, biết đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1

2) Tìm số nguyên m để hệ phương trình x y 3m x 2y

  

   

 có nghiệm (x; y) thỏa mãn điều kiện

2

x xy 30 Câu (1,0 điểm)

Theo kế hoạch, xưởng may phải may xong 280 quần áo thời gian quy định Đến thực hiện, ngày xưởng may nhiều quần áo phải may ngày theo kế hoạch Vì thế, xưởng hồn thành kế hoạch trước ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày xưởng phải may quần áo?

Câu (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao BE CF tam giác ABC cắt H cắt đường tròn (O) E’ F’ (E’ khác B F’ khác C)

a) Chứng minh tứ giác BCEF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh EF song song ví E’F’

c) Kẻ OI vng góc với BC (I  BC) Đường thẳng vng góc với HI H cắt đường thẳng AB M cắt đường thẳng AC N Chứng minh tam giác IMN cân

Câu (1,0 điểm)

Cho a, b, c, d số dương thỏa mãn 2

a b 1

4

a b

c  d c d Chứng minh

2 a d

2 c b 

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu (3,0 điểm)

1) Giải phương trình sau: a) 2x x

3     b)

4

x 3x     4 x 2) Rút gọn biểu thức N a a a a a

a a

    

     

 

  

Câu (2,0 điểm) 1) a 1

2) Giải hệ y m 1, x2m 1

2

x xy 30 (2m 1) (2m 1)(m 1) 30  

2m m 10

   

  m m

(2)

Câu (1,0 điểm)

Gọi số quần áo may ngày theo kế hoạch x (x , x0) Theo giả thiết ta có phương trình 280 280

x x5 

2

x 5x 1400

     x 35, x 40 (loại) Câu (3,0 điểm)

a) BFC BEC 90 

b) Chứng minh hai góc đồng vị E 'F'CEFC( EBC)

c) Có hai trường hợp xảy ra: M, N thuộc đoạn AB AC hai điểm nằm đoạn kéo dài

Xét trường hợp hình vẽ (trường hợp lại chứng minh gần tương tự)

Cách 1. Chứng minh HMHN dựa vào tam giác đồng dạng (không phải vẽ thêm đường phụ)

CAH CBH (cùng phụ với góc ACB)

0

BHI BHM 90 , ANH NHE   90 BHMNHE (vì đối đỉnh) BHIANH

ANH

  BIH AH HN

BI IH

   (1) Tương tự AHM CIH AH HM CI IH

   (2)

Từ (1) (2) BICI suy HM HN HM HN IH  HI  

Cách 2. Chứng minh IH tia phân giác MIN

Hướng suy nghĩ : Phải biết D, I, H thẳng hàng DH phân giác MDN (vẽ thêm đường kính AD)

- Chứng minh DH phân giác MDN

Dễ thấy tứ giác BMHD CNHD tứ giác nội tiếp

MDH HBM HCN NDH

   

- Chứng minh H, I, N thẳng hàng

Tứ giác BDCH hình bình hành (bài toán quen thuộc)

 I trung điểm HD Câu (1,0 điểm)

Biến đổi điều kiện để suy

2 a b

c  d áp dụng định lí Cauchy (Cơ-si) Ta có

4 4 2

a b a b (a b )

(a d b c)(c d) (a 2a b b )cd

c d c d c d c d



          

 

a cd a d4  2b c4 2b cd4 a cd 2a b cd b cd4  2  (a d b c)2  20

2

2 a b

a d b c

c d

   

Từ

2 2

a d a c a c

2

c b  c a  c a 

Lời bình: Thoạt nhìn tốn rắc rối có nhiều điều kiện biến Tuy nhiên HS M

N

I O H F'

F

E' E

C B

A

D A

B C

E

E'

F F'

H O

I

(3)

Câu (3,0 điểm)

1) Vẽ đồ thị hàm số y2x4 2) Giải hệ phương trình x 2y

y 2x

 



  



3) Rút gọn biểu thức

3

2

9 a 25a 4a P

a 2a

 



 với a0

Câu (2,0 điểm) Cho phương trình

x 3xm0 (1) (x ẩn) a) Giải phương trình (1) m 1

b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

2

1

x  1 x  1 3 Câu (1,0 điểm)

Khoảng cách hai bến sông A B 46km Một ca nô từ A đến B , rồ quay lại bến A Thời gian 5h (khơng tính thời gian nghỉ) Tính vận tốc ca nơ nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 4km/h

Câu (3,0 điểm)

Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a, M điểm thay đổi cạnh BC (M khác B) N điểm thay đổi cạnh CD (N khác C) cho

MAN 45 Đường chéo BD cắt AM AN P Q

a) Chứng minh tứ giác ABMQ tứ giác nội tiếp

b) Gọi H giao điểm MQ NP Chứng minh AH vng góc với MN c) Xác định vị trí điểm M điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn Câu (1,0 điểm)

Chứng minh a3 b3 ab(a b) với a, b 0 Áp dụng kết chứng minh bất đẳng thức: 3 13 3 13 3 13

a  b 1b  c 1c  a  với a, b, c số dương thỏa mãn abc 1 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

Câu (3,0 điểm) 1) HS tự làm

2) Giải hệ phương trình x 2y x y 2x y

  

 

    

 

3

2

9 a 25a 4a a P

a 2a a a

   

   

  

Câu (2,0 điểm)

a) m x2 3x x1,2



      

b) Điều kiện (1) có nghiệm phân biệt m

 Khi 2 x x x x m

 



 



2 2 2

1 2 2

x  1 x  1 3x x (x x ) 2x x  9 2m

2 2

m 2m 10 m m 2m 10 m 16m 64 (m 8) m

(4)

Câu (1,0 điểm)

Gọi vận tốc canô nước yên lặng x (km/h) (x 4) Theo giả thiết ta có phương trình 48 48

x4x 4 

2

5x 96x 80

    x 0,8 (loại), x20 Câu (3,0 điểm)

a) QAMQBM450

b) Tứ giác ABMQ nội tiếp AQMABM900 Tương tự tứ giác ADNP nội tiếp  NP  AP

c) Hướng suy nghĩ: Dự đốn vị trí M, N để diện tích tam giác AMN lớn

Đặt BMx (0 x a),DNy (0 x a)

AMN ABCD ABM ADN NMC

S S (S S S )

    





2 1

a ax ay (a x)(a y) (a xy)

2

       

Nếu x a y a SAMN 1a2

      

Nếu

AMN

x a y S a

2

    

Vậy M  C, N  D diện tích tam giác AMN lớn Khi AMN ABCD

1

S S a

2

 

Cũng chứng minh SAMN lớn  MN lớn (vì AK = a) Xét hai trường hợp để suy MNmax = a

Câu (1,0 điểm)

Sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh a3 b3 ab(a b)

Ta có a3 b3 ab(a b)   a3 b3 a b ab2  2  0 (a b)(a b) 20 với a, b0 Từ giả thiết abc 1 áp dụng bất đẳng thức ta có

3 3

a   b (a b ) abc ab(a b) abc ab(a b c)       3

1

a b ab(a b c)

 

    (1)

Tương tự ta có: 3 13

b  c 1 bc(a b c)  (2) 3 13

c  a 1ca(a b c)  (3) Cộng hai vế (1), (2), (3) ta :

3 3 3

1 1 1

1 a  b b  c c  a 1ab(a b c)  bc(a b c)  ca(a b c)  

Lời bình:

- Đây bất đẳng thức đơn giản học sinh giỏi khó với học sinh đại trà Tuy nhiên có gợi ý cần tư chút HS làm

- Bất đẳng thức vấn đề rộng, hay khó Bạn muốn có kĩ chứng minh bất đẳng thức? Điều đơn giản! Chỉ cần bạn chịu khó đọc nhiều, tìm hiểu cách khai thác bất đẳng thức thêm “một chút” thông minh thành công 

K Q

N

D C

H P

(5)

Câu (2,0 điểm)

1) Giải phương trình : 2(x 1)  3 x 2) Giải hệ phương trình y x

2x 3y

  

  



Câu (2,0 điểm)

1) Cho hàm số

y f (x) x

2

   Tính f (0); f (2); f ; f

 

  

 

 

2) Cho phương trình x22(m 1)x m  2 1 0(ẩn x) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12x22 x x1 28

Câu (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A 1 : x x x x x x



 

  

   

  với x0 x 1

2) Hai ô tô xuất phát từ A đến B, ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10km nên đến B sớm ô tô thức hai Tính vận tốc hai xe tơ, biết qng đường AB 300km

Câu (3,0 điểm)

Cho đường trịn (O), dây AB khơng qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vng góc với AB H Kẻ MK vng góc với AN (K  AN)

a) Chứng minh bốn điểm A, M, H, K nằm đường tròn b) Chứng minh MN phân giác góc BMK

c) Khi M di chuyển cung nhỏ AB Gọi E giao điểm HK BN Xác định vị trí điểm M để (MK.AN ME.NB ) có giá trị lớn

Câu (1,0 điểm)

Cho x, y thỏa mãn x 2 y3  y 2 x3

Tính giá trị nhỏ biểu thức B x 22xy 2y 22y 10 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu (2,0 điểm)

1) Giải phương trình sau: 2(x 1) x x

    

2) Giải hệ phương trình y x x 2x 3y y

  

 

    

 

Câu (2,0 điểm)

1) f (0) 0; f (2) 2; f 1; f

 

2

 

        

 

2) Điều kiện để phương trình có nghiệm m 1 Khi 2

x x 2(m 1) x x m

  



  



2 2 2

1 2 2

x x x x  8 (x x ) 3x x  8 4(m 1) 3(m  1)

m 8m m 17

       

(6)

Câu (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A 1 : x x

x x x x x x

 

 

    

   

 

2) Gọi vận tốc xe thứ x (km/h) (x10) Theo giả thiết ta có phương trình 300 300

x 10  x 

2

x 10x 3000

     x 60, x 50 (loại) Câu (3,0 điểm)

a) AKM AHM 90  b) BMN BAN KMN 

c) Hướng suy nghĩ: Ta thấy tích MK.AN2SAMN, tứ giác AMEN có hai đường chéo vng góc, điều gợi cho ta sử dụng diện tích để chứng minh, ME  BN

Ta có MKEMNE( MAB)

MENK tứ giác nội tiếp  ME  EN Mặt khác MK.AN 2S AMN; ME.NB 2S BMN

AMBN

MK.AN ME.NB 2S AB.MN

   

max max

(MK.AN ME.NB) MN

  

 MN đường kính hay M cung AB Câu (1,0 điểm)

Điều kiện x, y 2 Biến đổi điều kiện để suy xy đưa B tam thức bậc biến Chứng minh xy từ điều kiện phương pháp loại trừ

Ta có x 2  y3 y x  3x3 x 2  y3 y 2 - Nếu x y x3y , x 23   y 2  x3 x 2  y3 y 2

- Nếu x y x3y , x 23   y 2  x3 x 2  y3 y 2 Vậy x  y B x22x 10 (x 1)   2    9 x

Chú ý: Trường hợp Bmax    9 x 1(thỏa mãn ĐK) Giả sử B (x 4)  29 Bmax 9 Khi ta có

B (x 4)   9 13 x  2(Vì x      2 x (x 4)24)

Lời bình:

- Thực chất tốn tìm cực trị tam thức bậc hai ax2bxc Mấu chốt toán phải đưa biểu thức B biến thông qua điều kiện

Ta tổng qt tốn thành tốn sau:

Cho x, y thỏa mãn : x k y2n 1  y k x2n 1 (k , n )

Tìm GTLN (hoặc GTNN) biểu thức A ax 2bxy cy 2dx ey f  (a  b c 0)

- Khi nhìn biểu thức dạng ax2bxy cy 2dx ey f  ta thường nghĩ đến việc biến đổi biểu thức dạng (a ' x b' y c')  2(d ' y e') 2 f ' f ' (a ' x b' y c')  2(d ' y e') 2 f ' f ', dấu đẳng thức xảy a ' x b ' y c '

d ' y e '

  



  

 Nhưng với tốn có điều kiện khơng thể

làm

- Cũng thay điều kiện toán điều kiện khác cho sau biến đổi ta thu x y m xmy (m )

A B

E K

N

H O

(7)

Câu (2,0 điểm)

1) Giải phương trình : x 1 x

2

   

2) Giải hệ phương trình x 2y x y

    



Câu (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức A 2





x x



 

  với x0 x4

2) Một hình chữ nhật có chiều dài lớn chiều rộng 2cm diện tích 15cm2 Tính chiều dài chiều rộng hình chữ nhật

Câu (2,0 điểm) Cho phương trình

x 2x (m 3) 0   (ẩn x) a) Giải phương trình m3

b) Tính giá trị m, biết phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện

2

1 2 x 2x x x  12 Câu (3,0 điểm)

Cho tam giác MNP cân M có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O; R) Tiếp tuyến N P đường tròn cắt tía MP MN E D

a) Chứng minh NE2 EP.EM

b) Chứng minh tứ giác DEPN tứ giác nội tiếp

c) Qua điểm P kẻ đường thẳng vng góc với MN cắt đường trịn (O) điểm K (K khơng trùng với P) Chứng minh MN2NK2 4R2

Câu (1,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A 8x2

x

 



1) Giải phương trình : x 1 x x

2

      

2) Giải hệ phương trình x 2y x 10 x y y

 

 



    

 

Câu (2,0 điểm)





2 x x

A

x x



  

 

2) Gọi chiều rộng x (cm) (x0) x2 2x 15 0   x 3, x 5 (loại) Câu (2,0 điểm)

1) m 3 x22x 0 x10, x2 2

2) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt m 4 Khi 2 x x x x m

 



  



Thế x2 2 x1 vào x122x2x x1 2  12 ta x1  2 x24

m m

(8)

Câu (3,0 điểm)

a) ENP EMN EN EP EN2 EP.EM

EM EN

   

b) MNPMPN; PNENPDDNEDPE c) Hướng suy nghĩ:Hệ thức 2

MN NK 4R gợi cho ta nghĩ đến định lí Pythagore (Pitago) đường kính đường trịn

Kẻ đường kính NF  KP // MF  MFPK hình thang cân (hình thang nội tiếp đường trịn hình thang cân)

MP KF MN KF

    (vì tam giác MNP cân) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vng NKF ta có:

2 2 2

KF NK NF MN NK 4R

Câu (1,0 điểm)

Đây dạng tốn tìm cực trị quen thuộc, sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số

Vì x2  1 nên A xác định với x Giả sử a giá trị biểu thức A Khi phương trình a 8x2 ax2 8x a

x



     

 (1) phải có nghiệm

- Nếu a x

  

- Nếu a0 (1) có nghiệm   ' 0 16 a(a 6) 0     a2 6a 16 (a 8)(a 2) a a

a

  

          



Ta có a x a

      ;

a x

a

     

Vậy Amin x 2;Amax x

       

Lời bình: Tơi có biết cách thêm bớt để tìm cực trị loại biểu thức này, tơi thêm bớt dựa kết dùng phương pháp Thực đến chưa hiểu sở để làm điều khơng biết cách làm Nếu bạn biết xin giúp cho tơi 

- Ta có

2 2

6 8x 2(x 1) 2(x 4x 4) 2(x 2)

A

x x x

      

    

  

Vì x2  1 (x 2) 2    0 x A Do Amin    2 x - Mặt khác ta có

2 2

6 8x 8(x 1) 2(4x 4x 1) 2(2x 1)

A

x x x

     

   

  

Vì

x  1 (2x 1) 2   0 x A Do max

1

A x

2

   

Cách giải ngắn gọn “dễ hiểu”  cách giải Chính dạy cho học sinh, tơi hướng dẫn cho em nhẩm tính cực trị phương pháp miền giá trị, sau trình bày lời giải cách thêm bớt cho lời giải đơn giản

F

K

O

D E

P N

(9)

Câu (3,0 điểm)

1) Giải phương trình sau:

a) 5x 450 b) x(x  2)

2) Cho hàm số

2 x y f (x)

2

 

a) Tính f ( 1)

b) Điểm M





Câu (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức P a a

a a a

   

 

    

 

   với a0 a4

2) Cho phương trình (ẩn x) x22x2m0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện (1 x )(1 x ) 12  22 5

Câu (1,0 điểm)

Tổng số công nhân hai đội sản xuất 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ

3 số cơng nhân đội thứ hai Tính số cơng nhân đội lúc đầu

Câu (3,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) hai điểm B, C (ABAC) Qua A vẽ đường thẳng khong qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD AE ) ĐƯờng thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F

a) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp

b) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM  AC

c) Chứng minh

CE.CF AD.AE AC Câu (1,0 điểm)

Cho biểu thức B (4x 54x45x3 5x 2)22008 Tìm giá trị B x 2

 



1) Giải phương trình sau:

a) 5x 45  0 x b) x(x 2) 5      0 x 2) Cho hàm số

2 x y f (x)

2

 

a) f ( 1)

 

b) Điểm M





 

M M

2

f (x ) y

2

  

Câu (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức P a a a

a a a a a

     

 

        

 

(10)

2) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt m

  Khi 2 x x x x 2m

 



  



Ta có (1 x )(1 x ) 12  22   5 x12x22x x12 22   5 (x1x )2 22x x1 2x x12 22 5   1 4m 4m 2  5 m 0, m 1(loại)

Câu (1,0 điểm)

Gọi số công nhân đội thứ a (người) (13 a 125, a ) Ta có phương trình a 13 2(138 a) a 63

3

    

Câu (3,0 điểm) a) BAF BEF 90 

b) Chứng minh cặp góc so le AFB DMB( AEB) 

c) Hướng suy nghĩ: Chứng minh loại hệ thức thường phải tách riêng tích tổng Nếu bạn nắm tính chất sau : “Cho đường tròn (O) hai cát tuyến MAB MCD Khi ta có MA.MBMC.MD” Ta cần áp dụng tính chất với đường trịn (O) đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF tốn giải

- Ta có CAB CEF hai cát tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABEF CE.CFCB.CA(1)

- Tương tự ABC ADE hai cát tuyến đường tròn (O) AD.AEAB.AC (2)

- Cộng hai vế (1) (2) ta được:

2

CE.CF AD.AE CA.CB AB.AC AC (do B nằm A C)

Chú ý: Đây gợi ý, trình bàybài giải buộc phải chứng minh tam giác dồng dạng

suy kết luận

Lời bình: Tính chất tính chất hay dùng đề thi (thực chất tính chất suy từ phương tích điểm với đường trịn) Nếu học sinh nắm vững tính chất thuận tiện việc chứng minh hình học Việc chứng minh tính chất khơng khó với học sinh trung bình Vậy mà tơi khơng hiểu SGK lại khơng đưa vào chương trình để học sinh có quyền áp dụng Có thể nhà viết SGK muốn củng cố kĩ chứng minh tam giác đồng dạng cho học sinh Vì bạn “chịu khó” chứng minh tính chất sử dụng 

Câu (1,0 điểm)

Hướng suy nghĩ: Nhìn vào đề biết phải rút gọn giá trị x: x 2

2 2

 

 



Nhưng thay trực tiếp vào B (vì B khó rút gọn thế) có lẽ việc tính đáp số thời gian (tơi chưa thử có lẽ tính kiên trì cẩn thận) Tuy nhiên, thời gian 120’ với câu khó có lại hồn thành Vì có lẽ phải nghĩ cách thay hợp lí khác

Nếu giá trị x khơng chứa tử có lẽ tính dễ hơn, phải ??? Chắc liên hợp rồi! Và bạn “tinh ý” chút thấy x

2



  …

5 3

B(4x 4x 5x 5x 2) 20084x x(x 1) 5x  5x 2  2008





2

3 3

4x 5x 5x 2008 ( 4x 5x 2) 2008 4x(x 1)(x 1) x 2008

 

                 

O M

F

C B

A

(11)

Câu (2,5 điểm)

1) Giải phương trình sau : a) 1 x

x x

  

  b) x26x 0 

2) Cho hàm số y





Câu (1,5 điểm)

Cho hệ phương trình 2x y m x 2y 3m

   

   



1) Giải hệ phương trình với m 1

2) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2y210 Câu (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức M b b b

b b b

  

   

     với b0 b9

2) Tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn tổng chúng 55 Tìm hai số Câu (3,0 điểm)

Cho đường trịn tâm O đường kính AB Trên đường (O) lấy điểm C (C không trùng với A, B CACB) Các tếp tuyến đường tròn (O) A, A cắt điểm D, kẻ CH vng góc với AB (H thuộc AB), DO cắt AC E

a) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp

b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB F Chứng minh 2BCF CFB 90  c) BD cắt CH M Chứng minh EM//AB

Câu (1,0 điểm)

Cho x, y thỏa mãn







HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

Câu (2,5 điểm)

1) Giải phương trình sau : a) 1 x

x x

  

  (ĐK x2) x b) x26x 0    x 2

2) y4 Câu (1,5 điểm)

1) m 2x y x x 2y y

   

 

  

  

 

2) Giải hệ xm, y m Thay vào điều kiện x2y210ta

2 2 m

m (m 2) 10 m 2m

m

 

          



Câu (2,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức M b b b

b b b b

  

   

     

(12)

Câu (3,0 điểm) a) OEC OHC 90 

b) CAHHCB (cùng phụ với ABC) CAHBCF (cùng chắn BC)

0 2BCF CFB HCF CFB 90   

c) Hướng suy nghĩ : Ta biết E trung điểm AC, EM // AB M trung điểm AH

 chuyển việc chứng minh MCMH

Trong chứng minh phần b, thực chất muốn chứng minh CB tia phân giác góc HCF, điều gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất đường phân giác định lí Thales (Ta-lét)

Chứng minh:

Hồn tồn tương tự phần b, ta có CA phân giác góc HCD Gọi K giao AC BD Tam giác BCD có CK CB phân giác ngồi góc BCD

Do KM BM CM

KD BD CD

 

  

 (1)

Mặt khác CM // AD CM KM AD KD

  (2), MH //AD MH BM AD BD

  (3) Từ (1), (2), (3) MCCH

Lời bình: Nhiều học sinh quan tâm đến tính chất phân giác tam giác Nhưng ghi nhớ tính chất việc giải số toán liên quan đến độ dài đoạn thẳng dễ dàng hơn, chứng minh hệ thức mà có đoạn thẳng thuộc đường thẳng

Câu (1,0 điểm)

Hướng suy nghĩ: Nhìn vào biểu thức







Đây trường hợp đặc biệt toán tổng quát: Cho







Ta có







2 a

x x a y y a a x x a x x a y a y

y y a

              

 

  x y y2 a x2 a x2y22xyx2y22a x 2a y2a  a xy (x2a)(y2  a) a2 x y2 22axyx y2 2a(x2y ) a2   2axya(x2y )2  2xyx2y2 (x y)2   0 x y

Lời bình: Có “họ hàng” với toán toán sau:

Cho

















2 2

(b P) xy (x a)(y a)

     

2 2 2 2 2

b 2bP P 2x y a(x y ) 2xy (x a)(y a) a

          (1)

Mặt khác P2 x (y2 2 a) 2xy (x2a)(y2 a) y (x2 2a) (2) K

M

F H

E

O D

C

(13)

Câu (2,0 điểm)

Giải phương trình sau :

a) 2x 3 0 b)

x 4x 5 0 Câu (2,0 điểm)

1) Cho phương trình x22x 0  có hai nghiệm x1, x2 Tính giá trị biểu thức

1 x x S

x x

 

a a a

  

    

 

   với a 0 a9

Câu (2,0 điểm)

1) Xác định hệ số m n, biết hệ phương trình mx y n nx my

  

  

 có nghiệm





2) Khoảng cách hai tỉnh A B 108km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B, xe thứ chạy nhanh xe thứ hai 6km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút Tính vận tốc xe

Câu (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M trung điểm AC, I trung điểm OD

a) Chứng minh OM // DC

b) Chứng minh tam giấc ICM cân

c) BM cắt AD N Chứng minh IC2 IA.IN Câu (1,0 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A ( 1; 2 ), B(2; 3) C(m; 0) Tìm m cho chu vi tam giác ABC nhỏ

Giải phương trình sau : a) 2x x

2

    b) x24x 5  0 x1 1, x2 5

Câu (2,0 điểm)

1) Phương trình có tích ac 1 nên ln có hai nghệm phân biệt x1, x2

Theo Viét (Viète) 2 x x x x

 



  

 Ta có

2 2

2 1 2

1 2

x x x x (x x ) 2x x

S

x x x x x x

  

     

a a a a

  

    

  

  

Câu (2,0 điểm)

1) Hệ có nghiệm





  



     

  



2) Gọi vận tốc xe thứ x (kmh) (x6) Ta có phương trình 108 108

x 6x 3240 x 60, x 54

(14)

Câu (3,0 điểm)

a) OM đường trung bình tam giác ACD

 OM // CD

b) Gọi K trung điểm MC  IK đường trung bình hình thang OMCD  IK // OM // CD  IK  MC c) Hướng suy nghĩ: Chứng minh hệ thức ta nghĩ đến việc chứng minh tam giác đồng dạng, phải xét tam giác IAC INC Phần vừa chứng minh tam giác IMC cân nên ta thay IC IM, tam giác IMA đồng dạng với tam giác INM

 IMNIAMIAB  IMAB tứ giác nội tiếp ABI IMC ICM

  

Chứng inh:

IMCICM ( IMC cân), ICMIBA ( ABC cân) IBA IMC

   ABIM tứ giác nội tiếp BAI BMI

 

Mà BAI IAM IAMIMN IAM IMN đpcm Câu (1,0 điểm)

Hướng suy nghĩ: Để tính chu vi tam giác ABC, phải tính độ dài đoạn AB, AC, BC theo tọa độ điểm Ta nghĩ đến cơng thức xác định độ dài đoạn thẳng AB với A(x1; y1), B(x2; y2):

2

1 2

AB (x x ) (y y ) Tuy nhiên HS lớp biết công thức này, biết tốn trở thành tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

C (m 1)  4 (m 2)  9 10 Giải tốn khơng phải chuyện dễ 

Để ý chút ta thấy điểm C nằm trục Ox chu vi tam giác ABC phụ thuộc vào tổng AC CB Nếu phải “tìm đường ngắn từ A đến bờ sơng để xách nước đến điểm B” có cách giải toán “nh nhàng” 

điểm A’ đối xứng với A qua Ox  A’(1; 2) Điểm C(m 0) nằm Ox nên CACA' ì A, B cố định nên chu vi tam giác ABC phụ thuộc vào tổng AC CB hay A'C CB Dễ dàng chứng minh tổng A'C CB nhỏ C giao A’B với Ox

Phương trình đường thẳng A’B là: y 5x 3

 

Hoành độ giao điểm A’B Ox nghiệm phương trình 5x x

3    3

ậy m

 chu vi tam giác ABC nhỏ

ời nh: Điểm A B toán xách nước phải bờ sơng, tốn cho C nằm “bờ sơng” Ox, cịn hai điểm A, B nằm phía với Ox Tuy nhiên, thay đổi giả thiết C khơng nằm Ox, tung độ C phải thỏa mãn điều kiện: hai điểm A, B nằm phía với đường thẳng yyC Chẳng hạn C(m 1), A’(1 0) m hoành độ giao điểm đường thẳng A’B với đường thằng y 1

Như chất toán kết hợp tốn đố hình học (SGK Tốn – Tập 1) (phần đối xứng trục) với toán tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng Trong tốn thay giả thiết C(m 0) giả thiết C(n m) với n số cho trước (để toán phù hợp với HS lớp ) n thỏa mãn điều kiện n 1 n 2 (để A, B phía với đường thẳng x n )

N I

K M O

D

C B